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Section technicien supérieur Cours de mathématiques Chapitre 5 Transformation de Laplace Aymar de Saint-Seine Année scolaire 2010–2011
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Section technicien supérieur
Cours de mathématiques
Chapitre 5Transformation de Laplace
La transformation de Lapla e (1749-1827) a été introduite par le marquis Pierre Simon deLapla e en 1812, dans son ouvrage Théorie analytique des probabilités, a�n de ara tériserdiverses lois de probabilités.On rapporte que, feuilletant la Mé anique éleste, Napoléon �t remarquer à Lapla e qu'iln'y était nulle part fait mention de Dieu. "Je n'ai pas eu besoin de ette hypothèse",rétorqua le savant.Il serait aussi à l'origine de la méthode de la variation de la onstante utilisée dans larésolution d'équation di�érentielle.Aymar de Saint-Seine
Année scolaire 2010–2011
Chapitre 5 Transformation de Lapla e1. Préliminaires1.1. Intégrales généraliséesDéfinition 1 : Intégrales généralisées
Soit a ∈ R et f une fonction continue sur [a; +∞[. On considère pour tout x ∈]a; +∞[,
le nombre I(x) =
∫ x
a
f(t)dt.Si I(x) admet une limite finie lorsque x tend vers +∞, alors on dit que l’intégrale∫ +∞
a
f(t)dt converge, et on pose
∫ +∞
a
f(t)dt = limx 7→+∞
∫ x
a
f(t)dt.Dans le cas contraire, on dit que
∫ +∞
a
f(t)dt diverge.Remarque : Les propriétés onnues de l'intégrale (linéarité, positivité, . . .) restent valablespour les intégrales généralisées.Exer i e résolu 1 :Cal uler, si elle onverge, la valeur de l'intégrale ∫ +∞
0
e−2xdxSolution : On pose I(x) =
∫ x
0
e−2xdx.∫ x
0
e−2xdx =
[e−2x
−2
]x
0
=e−2x
−2+
1
2Comme limx 7→+∞
I(x) =1
2, on déduit que ∫ +∞
0
e−2xdx onverge et que∫ +∞
0
e−2xdx =1
2
1.2. Fon tions ausalesDéfinition 2 : Fonctions causales
Une fonction f (ou un signal) de la variable réelle t est dite causale si pour tout tstrictement négatif, on a f(t) = 0.Exemple : Fon tion é helon unité ou fon tion de Heaviside :La fon tion é helon unité est la fon tion notée U et dé�nie par U (t) :
{
U (t) = 0 si t < 0U (t) = 1 si t ≥ 0http://ly eeenligne.free.fr/spip/ 2
Cours de mathématiques STS1
2
−1
−2
−3
1 2 3 4−1−2−3−4−5
Remarques :• La fon tion U n'est pas ontinue en 0 ; elle est ontinue seulement à droite en 0.• On rend une fon tion ausale en la multipliant par la fon tion U .Exemple : La fon tion rampe unitéLa fon tion rampe unité est dé�nie surR par f(t) = tU (t), 'est à dire{ U (t) = 0 si t < 0
U (t) = t si t ≥ 0
1
2
−1
−2
−3
1 2 3 4−1−2−3−4−5
Exemple : La fon tion retardéeSi f est une fon tion numérique, alors la fon tion g dé�nie par g : x 7→ f(x+ a) est diteen avan e de a et la fon tion h dé�nie par h : x 7→ h(x− a) est dite retardée de a.La ourbe de g est obtenue par une translation de ve teur a→u dans un repère (O; ~u,~v).La fon tion é helon retardée de 3 est dé�nie par U (t− 3).1
2
−1
−2
−3
1 2 3 4−1−2−3−4−5
b
3
Chapitre 5 Transformation de Lapla eLa fon tion arrée retardée de 2 est dé�nie par f(t− 2) = (t− 2)2U (t− 2)
1
2
3
−1
−2
−3
1 2 3 4−1−2−3−4−5
2→u
Exemple : La fon tion réneauSoient a et b deux réels tels que 0 < a < b et k un réel.La fon tion réneau est dé�nie par f(t) = k [U (t− a)− U (t− b)], 'est à dire f(t) :
f(t) = 0 si t < a
f(t) = k si a 6 t < b
f(t) = 0 si t > bGraphique de la fon tion réneau f(t) = 2 [U (t− 1)− U (t− 4)]
1
2
−1
−2
−3
1 2 3 4−1−2−3−4−5
2. Transformations de Lapla e2.1. Dé�nitionDéfinition 3 : Transformée de Laplace d’une fonction
La transformée de Laplace d’une fonction causale f est la fonction Lf de la variableréelle ou complexe p définie par
Lf (p) =
∫ +∞
0e−ptf(t)dt.Remarques :
• On note aussi par abus d'é riture F (p) ou L [f(t)] (p) au lieu de Lf (p).http://ly eeenligne.free.fr/spip/ 4
Cours de mathématiques STS• Lf (p) existe si et seulement si l'intégrale généralisée ∫ +∞
0
e−ptf(t)dt onverge.Théorème 1 : Linéarité
Soient f et g deux fonctions dont les transformées de Laplace sont L [f ] et L [g] et kun réel. On a :
L [f + g] = L [f ] + L [g]
L [kf ] = kL [f ]Preuve. On utilise uniquement la linéarité de l'intégrale.L [αf + g] =
∫ +∞
0e−pt(αf + g)(t)dt
=
∫ +∞
0e−pt(αf(t) + g(t))dt
=
∫ +∞
0αe−ptf(t) + e−ptg(t)dt
= α
∫ +∞
0e−ptf(t)dt+ ∫ +∞
0e−ptg(t)dt
= αL [f ] + L [g]
�2.2. Transformée de Lapla e des fon tions usellesThéorème 2 : Transformée de Laplace des fonctions uselles :
1. La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie pour p > 0et on a
LU (p) =1
p.
2. La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour tout p > 0 eton a :
L [tU (t)] (p) =1
p2.
3. La transformée de Laplace de t 7→ tnU (t) pour n ∈ N est définie pour tout p > 0et on a :
L [tnU (t)] (p) =n!
pn+1.
4. La transformée de Laplace de t 7→ e−atU (t) avec a ∈ C est définie si Re(p) >Re(a) et on a :
L[
e−atU (t)
]
(p) =1
p+ a.
5. Transformée de Laplace de sin et cos. Pour tout w ∈ R, on a :
L [cos(ωt)U (t)] (p) =p
p2 + ω2et L [sin(ωt)U (t)] (p) =
ω
p2 + ω2.5
Chapitre 5 Transformation de Lapla eRemarque : Dans la pratique et pour la suite on ne pré ise pas les valeurs de p pourlesquelles L [f(t)] (p) existe.Preuve.1. fait dans exer i e 5.0Ca lulons ∫ x
0e−pt
U (t)dt = ∫ x
0e−ptdt = [−e−pt
p
]x
0
=−e−px + 1
pPuisque p > 0, on a limx 7→+∞
−e−px + 1
p=
1
p, et don LU (p) =
∫ +∞
0e−pt
U (t)dt = 1
p
2. fait dans exer i e 5.0∫ x
0e−pttU (t)dt = ∫ x
0te−ptdt.Si p = 0 alors l'intégrale ∫ x
0tdt diverge.Si p 6= 0, on e�e tue une intégration par parties.
∫ x
0te−ptdt = [
t−e−pt
p
]x
0
−∫ x
0
−e−pt
pdt
=
[
t−e−pt
p
]x
0
+1
p
∫ x
0e−ptdt
=
[
t−e−pt
p
]x
0
+1
p
[−e−pt
p
]x
0
=−xe−px
p+
−e−px
p2+
1
p2Puisque p > 0, on a limx 7→+∞
−xe−px
p= lim
x 7→+∞
−e−px
p2= 0, et don
LtU (p) =
∫ +∞
0te−pt
U (t)dt = 1
p2. On remarque que si p < 0, alors l'intégrale est diver-gente.
3. fait dans exer i e 5.0Il nous faut al uler ∫ +∞
0e−pttnU (t)dt = ∫ +∞
0tne−ptdt = In.Posons, pour tout x > 0 et tout n ∈ N In(x) =
∫ x
0tne−ptdt.Si p = 0, alors In(x) = ∫ x
0tndt = x
n+ 1et l'intégrale diverge.regardons les as où p 6= 0.On sait déjà que I0 =
1
pet I1 = 1
p2.On pro ède à l'aide d'une intégration par parties sur In(x) (on dérive tn).
In(x) =
[
tn−e−pt
p
]x
0
−∫ x
0ntn−1−e−pt
pdt
= xn−e−px
p+
n
p
∫ x
0tn−1e−ptdt
= xn−e−px
p+
n
pIn−1(x)
• Si p > 0, lorsque x tend vers +∞, on a : In =n
pIn−1.Ainsi I2 = 2
pI1 =
2
p3; I3 =
3
pI2 =
6
p4; · · · ... ; In =
n!
pn+1http://ly eeenligne.free.fr/spip/ 6
Cours de mathématiques STS• Si p < 0, omme In(x) = xn
−e−px
p+
n
pIn−1(x), l'intégrale diverge.
4. Il nous faut al uler ∫ +∞
0e−pte−at
U (t)dt = ∫ +∞
0e−(p+a)tdt.Pour ela posons I(x) = ∫ x
0e−(p+a)tdt.
• Si p+ a = 0, alors on I(x) =
∫ x
01dt = x et don l'intégrale diverge.
• Si p+ a 6= 0, alors I(x) = [
−e−(p+a)t
p+ a
]x
0
= − 1
p+ ae−(p+a)x +
1
p+ a.E rivons alors le nombre p+ a sous forme algébrique.Ainsi on pose α = Re(p+ a) et β = Im(p+ a).Don on a e−(p+a)x = e−αxe−iβ et par suite |e−(p+a)x| = e−αx
⋄ Si α < 0, alors l'intégrale diverge.⋄ Si α > 0, alors, omme lim
x 7→+∞
e−αx = 0, l'intégrale onverge. En outre limx 7→+∞
I(x) =
1
p+ a.
5. On utilise les formules d'Euler. (cosωt = eiωt+e−iωt
2 )L [cos(ωt)U (t)] (p) = L
[
eiωt + e−iωt2
]
=1
2
(
L[
eiωt]+ L[
e−iωt])=
1
2
(
1
p− iω +1
p+ iω)
=1
2
(
p+ iω + p− iωp2 + ω2
)
=p
p2 + ω2On pro ède exa tement de la même manière pour sinus.(sinωt = eiωt−e−iωt
2i )L [sin(ωt)U (t)] (p) = L
[
eiωt − e−iωt2i ]
=1
2i (L [
eiωt]− L[
e−iωt])=
1
2i ( 1
p− iω − 1
p+ iω)
=1
2i (p+ iω − p+ iωp2 + ω2
)
=
(
2iω(2i)(p2 + ω2)
)
=ω
p2 + ω2
�7
Chapitre 5 Transformation de Lapla eExer i e résolu 2 :Cal uler la transformée de Lapla e de ha une des fon tions ausales suivantes :1. (2t2 + 3t)U (t)
2. e−5tU (t)
3. e−5t+2U (t)
4. cos(5t)U (t)Solution :1. On utilise la linéarité de la transformée de Lapla e pour dé omposer la fon tionen mor eaux dont la transformée est onnue.
L[
(2t2 + 3t)U (t)]
(p) = L[
2t2U (t)]
+ L [3tU (t)]
= 2L[
t2U (t)]
+ 3L [tU (t)]
= 2× 2!
p3+ 3× 1
p2
=4
p3+
3
p2
=4 + 3p
p3
2. L [e−5tU (t)] (p) =1
p+ 5qui existe que pour p > 5
3. L [e−5t+2U (t)] (p) = e2L [e−5tU (t)] (p) =e2
p+ 5.
4. L [cos(5t)U (t)] (p) =p
p2 + 25.
2.3. PropriétésThéorème 3 : Effet de la multiplication par e−at avec a ∈ RSoit a ∈ R. Si F (p) = L [f(t)U (t)] (p), alors
L[
f(t)e−atU (t)
]
(p) = F (p+ a).Preuve.L
[
f(t)e−atU (t)]
(p) =
∫ +∞
0f(t)e−ate−ptdt = ∫ +∞
0f(t)e−(p+a)tdt = F (p + a). �Exemple : L [t5e−2tU (t)] (p) =
5!
(p+ 2)6.
Théorème 4 : Effet d’un changement d’échelle sur la variable
Soit a ∈ R.
L [f(at)] =1
aF (
p
a)http://ly eeenligne.free.fr/spip/ 8
Cours de mathématiques STSPreuve. On pose, pour tout x > 0, I(x) = ∫ x
0f(at)e−ptdt.On e�e tue le hangement de variable z = at, d'où dz = adt.Ainsi I(x) = ∫ ax
0f(z)e− p
az dza
=1
a
∫ ax
0f(z)e− p
azdz.En faisant tendre x vers +∞, on en déduit que I(x) tend vers 1
aF (
p
a). �Remarque : Ce théorème est ohérent ave la formule trouvée pour e−atU (t) et U (t). Il estaussi ohérent ave la formule obtenue pour sin(ωt) puisque L [sin(4t)U (t)] =
4
p2 + 16et que le al ul de 1
4F (
t
4) =
1
4× 1
(
p
4
)2+ 1
=1
4
16
p2 + 16=
4
p2 + 16
Théorème 5 : Théorème du retard
On regarde ce qui se passe si le signal au lieu de commencer à l’instant t = 0,commence à l’instant t = τ avec τ > 0.Soit τ ∈ R.
L [f(t− τ)U (t− τ)] = e−pτLfPreuve. On doit al uler L [f(t− τ)U (t− τ)] (p) =
∫ +∞
0f(t− τ)U (t− τ)e−ptdt.Posons I(x) = ∫ x
0f(t− τ)U (t− τ)e−ptdt pour tout x ∈ R∗+.Comme f(t− τ)U (t− τ) = 0 pour t < τ , on a que I(x) =
∫ x
τ
f(t− τ)e−ptdtOn e�e tue alors le hangement de variable z = t− τ , d'où dt = dz.On a I(x) =
∫ x−τ
0f(z)e−pze−pτdz don I(x) = e−pτ
∫ x−τ
0f(z)e−pzdz.Don , en faisant tendre x vers +∞, on obtient L [f(t− τ)U(t− τ)] (p) = e−pτF (p). �Exemples :
1. L [(t− 10)4U (t− 10)] (p) =4!
p5× e−10p =
24e−10p
p5.
2. L[
cos(2t− π)U (t− π2)]
(p) = L[
cos(2(t− π2))U (t− π
2)]
(p) =p
p2 + 4e−π
2 .
3. L [t2U (t− 3)] (p) =?On ne onnait pas de formule pour t2U (t − 3), mais seulement pour t2U (t) et(t− 3)2U (t− 3).C'est pourquoi, on é rit t2U (t− 3) sous la forme (t− 3)2U (t− 3) + · · ·t2U (t− 3) = (t− 3)2U (t− 3) + 6(t− 3)U (t− 3) + 9U (t− 3).En appliquant le théorème du retard, on obtient :L [t2U (t− 3)] (p) = e−3p 2
p36e−3p 1
p2+ 9e−3p1
p= e−3p
(
2
p3+
6
p2+
9
p
)
4. L [e2tU (t− 2)] (p) = L[e2(t−2)+4U (t− 2)
]
(p) = e4L [e2(t−2)U (t− 2)]
(p) =e4
p− 2e−2p.
9
Chapitre 5 Transformation de Lapla e3. Original d'une fon tion3.1. GénéralitésDéfinition 4 : Original d’une fonction
Si F (p) = L [f(t)U (t)] (p), on dit que f est l’original de F .On note f(t) = L −1 [F (p)].Remarques :• On admet que si l'original existe, alors il est unique.• La te hnique de re her he d'originaux s'apparente à elle de la re her he de primitive.Théorème 6 : Linéarité
La transformation L−1 est linéaire.Preuve. ADMIS �3.2. Exemples de re her he d'originalD'une manière général, la re her he d'originaux s'apparente à elle de la re her he deprimitive.On utilise le tableau des transformées de Lapla e des fon tions usuelles et on utilise lethéorème du retard et l'e�et de la multipli ation par e−at.Exer i e résolu 3 :Cal uler l'original de F (p) =
1
p+
1
2p2− 1
2(p2 + 2)Solution : on sait queL
−1
[
1
p
]
= U (t)
L−1
[
1
2p2
]
=1
2L
−1
[
1
p2
]
=1
2tU (t).Il reste à trouver l'original de 1
2(p2 + 2).Comme l'original de ω
p2 + ω2est sin(ωt)U (t), alors en prenant ω =
√2, on trouve
L −1
[ √2
p2 + 2
]
= sin(√2t)U (t) et par suite L −1
[
1
2(p2 + 2)
]
=1
2√2sin(
√2t)U (t).Ainsi f(t) = U (t) +
1
2tU (t)− 1
2√2sin(
√2t)U (t) =
(
1 +1
2t− 1
2√2sin(
√2t)
)
U (t).http://ly eeenligne.free.fr/spip/ 10
Cours de mathématiques STSExer i e résolu 4 :Cal uler l'original de F (p) =1
2p2 + p− 1.Solution : On dé ompose F en éléments simples et on obtient
F (p) =1
3
( −1
p+ 1+
1
p− 12
)
.On sait que L [U (t)] (p) =1
p. On utilise la multipli ation par e−at pour obtenir : Ainsi
L −1
[
1
p+ 1
]
= e−tU (t) et L −1
[
1
p− 12
]
= e 1
2tU (t).Pour on lure on utilise la linéarité : f(t) =
1
3
(
−e−tU (t) + e 1
2tU (t)
)
=
1
3
(
−e−t + e 1
2t)
U (t).Exer i e résolu 5 :Cal uler l'original de F (p) =1
4p2 + 16p+ 17=
1
4
1
(p+ 2)2 + 14
.Solution : L [sin(ωt)U (t)] =ω
p2 + ω2. On prend don ω =
1
2d'où L −1
[ 12
p2 + 14
]
=
sin(1
2t)U (t).Il faut don rempla er p par p+ 2, don on multiplie par e−2t .on obtient f(t) = 1
4× 2× e−2t × sin(
1
2t)U (t) =
1
2× e−2t × sin(
1
2t)U (t).Exer i e résolu 6 :Cal uler l'original de F (p) =
1
(p+ 1)2 + 1+ 3
e−2p
(p+ 1)2 + 1.Solution : En posant G(p) =
1
(p+ 1)2 + 1, on a F (p) = G(p) + 3e−2pG(p).Cher hons l'original de G.L'original de 1
u2 + 1est sinωtU (t). Il faut rempla er u par p + 1 don en utilisantl'e�et de la multipli ation par e−at, on obtient que l'original de 1
(p+ 1)2 + 1est
g(t) = sin te−tU (t).On utilise la linéarité et le théorème du retard.On obtient alors L −1 [F (p)] = g(t) + 3g(t− 2).Don f(t) = sin te−tU (t) + 3 sin(t− 2)e−(t−2)U (t− 2).
11
Chapitre 5 Transformation de Lapla e4. Appli ations de la transformation de Lapla e4.1. Propriétés préliminairesThéorème 7 : Transformée d’une dérivée
Soit f une fonction continue sur R∗+, dérivable par morceaux sur R∗+ et dont ladérivée est continue par morceau sur R∗+. Si F (p) = L [f(t)U (t)] (p), alors
L[
f ′(t)U (t)]
(p) = pF (p)− f(0+)
où f(0+) la limite à droite en 0 de f .Preuve. On suppose que f est de lasse C1 sur R+∗.L [f ′(t)U(t)] (p) =
∫ +∞
0f ′(t)e−ptdt.On pose pour tout x > 0, I(x) = ∫ x
0f ′(t)e−ptdt.On pro ède à l'aide d'une intégration par parties (évidemment, on intègre f ′) :Ainsi I(x) = [
f(t)e−pt]x
0+ p
∫ x
0f(t)e−ptdt = f(x)e−px − f(0+) + p
∫ x
0f(t)e−ptdt.On a for ement lim
x 7→+∞
f(x)e−px = 0 ar sinon on peut démontrer que ∫ +∞
0f(t)e−ptdt est diver-gente. Ainsi lim
x 7→+∞
I(x) = pL [f(t)U(t)] (p)− f(0+). �Exer i e résolu 7 :Soit f la fon tion dé�nie sur R par f(t) = sin(t)U (t).Déterminer la transformée deLapla e de f ′(t).Solution : On applique la formule L [f ′(t)U (t)] (p) = pF (p) − f(0+) ave F (p) =1
p2 + 1et f(0+) = lim
t7→0+sin(t) = 0.On obtient L [f ′(t)U (t)] (p) =
p
p2 + 1. On retrouve ainsi la formule onnue pour
L [cos(t)].Théorème 8 : Transformée d’une dérivée (suite)
Soit f une fonction admettant une transformée de Laplace.Si f ′ une fonction continue sur R∗+, dérivable par morceaux sur R∗+ et si f ′′ est con-tinue par morceau sur R∗+ alors
L[
f ′′(t)U (t)]
(p) = p2F (p)− pf(0+)− f ′(0+).Preuve. On sait que f ′′ = (f ′)′.Posons g = f ′. Don g est de lasse C1 sur R+∗. On peut don lui appliquer le théorèmepré édent.Ainsi L [g′(t)U(t)] (p) = pL [g(t)U(t)] (p)− g(0+).Or g′(t) = f ′′(t) ; on peut alors é rire L [f ′′(t)U(t)] (p) = pL [f ′(t)U(t)] (p)− f ′(0+).Mais, toujours selon le théorème pré édent, on a pL [f ′(t)U(t)] (p) = p (pF (p)− f(0+)).Ainsi L [f ′′(t)U(t)] (p) = p2F (p)− pf(0+)− f ′(0+). �http://ly eeenligne.free.fr/spip/ 12
Cours de mathématiques STSThéorème 9 : Dérivée d’une transformation de Laplace
Si F (p) = L [f(t)U (t)] (p), alors
F ′(p) = L [−tf(t)U (t)] (p)
Preuve. ADMIS �
Théorème 10 : Transformée d’une intégrale
Si F (p) = L [f(t)U (t)] (p) et si ϕ(t) =
∫ t
0f(x)U (x)dx alors
L [ϕ(t)] (p) =1
pF (p) p 6= 0
Preuve. ADMIS �
Théorème 11 : Théorèmes de la valeur initiale et de la valeur finale
Si F (p) = L [f(t)U (t)] (p) et si les fonctions considérées ont des limites dans les condi-tions indiquées, on a :• Théorème de la valeur initiale : lim
p 7→+∞
pF (p) = limt → 0
t > 0
f(t)
• Théorème de la valeur finale : limp → 0
p > 0
pF (p) = limt7→+∞
f(t)
Preuve. ADMIS �
4.2. Résolution d'équations di�érentiellesD'une manière générale, on pro ède en trois étapes :1. Passage du système d'équations di�érentielles ,à un système algébrique gra e à latransformmée de Lapla e ;2. Résolution du système algébrique pour obtenir les transformmées de Lapla e dessolutions ;3. Retour aux solutions du systèmes di�érentielles à l'aide de la re her he d'originaux.13
Chapitre 5 Transformation de Lapla eExer i e résolu 8 :On her he à résoudre l'équation di�érentielle s′(t) + s(t) = U (t) − U (t − 1), ave la ondition initiale s(0+) = 0 et s est une fon tion ontinue sur R+∗ et dérivable parmor eaux.Solution : Notons S la transformée de Lapla e de s.Etape 1 : On applique la transformée de Lapla e à l'équation.L [s′(t) + s(t)] (p) = L [U (t)− U (t− 1)] (p)
L [s′(t)] (p) + L [s(t)] (p) = L [U (t)] (p)− L [U (t− 1)] (p)
pS(p)− s(0+) + S(p) =1
p− 1
pe−p
pS(p) + S(p) =1
p
(
1− e−p)Etape 2 : On her he l'expression de S(p)
(p+ 1)S(p) =1
p
(
1− e−p)don S(p) =
1
p(p+ 1)
(
1− e−p)Etape 3 : On détermine s(t) en her hant l'original de S(t)
S(p) =1
p(p+ 1)− 1
p(p+ 1)e−p.On dé ompose en éléments simples 1
p(p+ 1)=
1
p− 1
p+ 1.Comme L −1
[
1
p
]
= U (t) et L −1
[
1
p+ 1
]
= e−tU (t), on a L −1
[
1
p(p+ 1)
]
= U (t)−e−tU (t).Pour �nir, d'après le théorème du retard, on a aussi L −1
[
1
p(p+ 1)e−p
]
= U (t− 1)−e−(t−1)U (t− 1).On on lut don ques(t) = (1− e−t)U (t)− (1− e−(t−1))U (t− 1).On peut faire le graphique pour bien voir que la fon tion est ontinue sur R.
s(t) = 0 si t ∈]−∞; 0[s(t) = 1− e−t si t ∈ [0, 1[s(t) = e−t + e−t+1 si t ∈ [1,+∞[
1
−1
−2
1 2 3 4 5−1−2−3−4−5−6http://ly eeenligne.free.fr/spip/ 14
Cours de mathématiques STS4.3. Résolution de système d'équations di�érentiellesExer i e résolu 9 :Résoudre le système {
x′(t) = 2x(t)− y(t)y′(t) = x(t) + 2y(t)
ave les onditions initiales{
x(0+) = 1y(0+) = 0
.On admet que x, y et leurs dérivées admettent des transformées de Lapla e.Solution : On applique la transformation de Lapla e au système et on obtient :{
L [x′] = L [2x− y]L [y′] = L [x+ 2y]
⇔{
pX(p)− x(0+) = 2X(p)− Y (p)pY (p)− y(0+) = X(p) + 2Y (p)
.On résout le système en X(p) et Y (p) pour obtenirX(p) =
p− 2
(p− 2)2 + 1et Y (p) =
1
(p− 2)2 + 1.On sait que l'original de p
p2 + ω2est cos(ωt)U (t). On prend don ω = 1. Ensuite ondoit rempla er p par p − 2. d'où x(t) = cos te2tU (t). On sait aussi que l'original de
ω
p2 + ω2est sin(ωt)U (t). On prend ω = 1. Ensuite on doit rempla er p par p− 2, d'où
y(t) = sin te2tU (t).5. Exer i esOn peut déterminer des transformées de Lapla e ave Maxima.La syntaxe de la ommande est : lapla e (expr, t, s) où t est la variable de la fon tion ets est la variable de la transformée de Lapla e orrespondante.Par exemple : lapla e (exp (2*t + π) * sin(t) * t, t, s)5.1. Intégrales généralisées5.1 Cal uler, en fon tion de x, le nombre ∫ x
1
1
tdt. En déduire lim
x 7→+∞
∫ x
1
1
tdt.L'intégrale ∫ +∞
1
1
tdt est-elle onvergente ?
5.2 Cal uler, en fon tion de x, le nombre ∫ x
1
1
t2dt. En déduire lim
x 7→+∞
∫ x
1
1
t2dt. L'intégrale
∫ +∞
1
1
t2dt est-elle onvergente ?
5.3 On s'interresse aux intégrales généralisées de la forme ∫ +∞
0
tne−ptdt, où n ∈ N et pest un réel stri tement positif.On pose In(x) =
∫ x
0
tne−ptdt1. Cas où n = 0.
a. Cal uler, en fon tion de x, le nombre I0(x) =
∫ x
0
t0e−ptdt.15
Chapitre 5 Transformation de Lapla eb. L'intégrale ∫ +∞
0
t0e−ptdt est-elle onvergente ? Si oui, donner sa valeur.2. Cas où n = 1.
a. Cal uler, à l'aide d'une intégration par parties, le nombre I1(x) =
∫ x
0
te−ptdt.b. L'intégrale ∫ +∞
0
te−ptdt est-elle onvergente ? Si oui, donner sa valeur.3. Cas où n > 2.
a. Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que In(x) = xn−e−px
p+n
pIn−1(x).
b. Donner et justi�er une relation entre ∫ +∞
0
tne−ptdt et ∫ +∞
0
tn−1e−ptdt.c. En déduire les valeurs de ∫ +∞
0
t2e−ptdt , ∫ +∞
0
t3e−ptdt , · · · , ∫ +∞
0
t7e−ptdt.d. Proposer une formule pour ∫ +∞
0
tne−ptdt.5.2. Fon tions ausales5.4 Dé�nir ha une des fon tions suivantes sans utiliser la fon tion U puis dessiner pour ha une la ourbe représentative de la fon tion.1. f(t) = 3U (t) + U (t− 1) + 3U (t− 2)
2. g(t) = 2U (t)− tU (t− 1) + (t− 2)U (t− 3)
3. h(t) = sin(t)U (t)− sin(t)U (t− π)
4. i(t) = t2U (t)− (t2 − 5t+ 4)U (t− 1) + (t2 − 4t+ 4)U (t− 2)
5. k(t) = t− tU (t)
5.5 Dé�nir ha une des fon tions suivantes par une seule égalité (et don en utilisant lafon tion é helon unité U (t)).
f(t) = 0 si t ∈]−∞; 0[f(t) = t si t ∈ [0, 1[f(t) = 1 si t ∈ [1, 2[f(t) = −t + 4 si t ∈ [2, 4[f(t) = 0 si t ∈ [4,+∞[
;
g(t) = 0 si t ∈]−∞; 0[g(t) = k si t ∈ [0, a[
g(t) =k
a− k si t ∈ [a, 2a[
g(t) = t si t ∈ [2a,+∞[
5.6 Exprimer ha un des signaux suivants à l'aide de la fon tion U (t).1
2
−1
−2
−3
1 2 3 4−1−2−3−4−5
1
2
−1
−2
−3
1 2 3 4−1−2−3−4−5
1
2
−1
−2
−3
1 2 3 4−1−2−3−4−5
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Cours de mathématiques STS1
2
3
4
−1
1 2 3 4−1−2−3−4−5
f(x) = x2
1
2
−1
−2
−3
1 2 3 4−1−2−3−4−5
1
2
−1
−2
−3
1 2 3 4−1−2−3−4−5
5.3. Transformée de Lapla e5.7 Cal uler les transformées de Lapla e de ha une des fon tions suivantes :1. (3t2 − 2t+ 1)U (t)
2. (t4 + t3 + t2 + t+ 1)U (t)
3. (4t4 + 3t3 + 5t2 + 2)U (t)
4. e−3tU (t)
5. e−5t+2U (t)
6. [e−3t + e3t]U (t)
7. eωt + e−ωt
2U (t)
8. eωt − e−ωt
2U (t)
5.8 Cal uler les transformées de Lapla e de ha une des fon tions suivantes :1. sin(3t)U (t)
2. [sin(3t)− 2 cos(3t)]U (t)
3. [t2 + cos(3t)]U (t)
5.9 Cal uler les transformées de Lapla e de ha une des fon tions suivantes :1. e−t sin(3t)U (t) 2. e−3t cos(2t)U (t)
5.10 On onsidère les fon tions e−at sin(ωt)U (t) et e−at cos(ωt)U (t) qui interviennenten physique pour dé rire des phénomènes os illatoires dé roissants.Déterminer les transformées de Lapla e de ha une de es deux fon tions.5.11 Cal uler les transformées de Lapla e de ha une des fon tions suivantes :1. cos(t− π)U (t− π)
2. (t− 5)3U (t− 5)
3. e−t+2U (t− 2)
4. sin(2t− π)U (t− π
2)
5. e−3t+5U (t− 5
3)
6. e−5tU (t− 5)
7. cos(t)U (t− π
2)
5.12 En faisant apparaître le terme t−1, al uler les transformées de Lapla e de ha unedes fon tions suivantes.1. tU (t− 1)
2. t2U (t− 1)
3. e−tU (t− 1)
4. [t2 + 2t]U (t− 1)17
Chapitre 5 Transformation de Lapla e5.13 Cal uler les transformées de Lapla e de ha une des fon tions suivantes.1. (t− 2)U (t− 3)
2. cos(t)U (t− π)
3. tU (t− 2)
4. e−tU (t− 4)
5. t2U (t− 2)
6. t [U (t− 12)− U (t− 2)]
5.14 Cal uler les transformées de Lapla e de ha une des fon tions suivantes.1. sin(4t)U (t)
2. cos2(2t)U (t)
3. e−3t cos(2t)U (t)
4. (t− 2)2U (t− 2)
5. (t− 2)U (t)
6. t2U (t− 3)
7. e−tU (t− π)
8. e−2t sin(t)U (t− π)
5.15 Dessiner les ourbes représentatives des fon tions suivantes, les exprimer à l'aidede l'é helon unité et al uler leurs transformées de Lapla e.1.
f(t) = 0 si t ∈]−∞; 0[f(t) = 2k si t ∈ [0; a[f(t) = k si t ∈ [a; b[f(t) = 0 si t ∈ [b; +∞[
2.
f(t) = 0 si t ∈]−∞; 0[f(t) = t si t ∈ [0; 1[f(t) = e−t+1 si t ∈ [1; +∞[
3.
f(t) = 0 si t ∈]−∞; 0[f(t) = sin t si t ∈ [0; 2π[f(t) = 0 si t ∈ [2π; +∞[
4.
f(t) = 0 si t ∈]−∞; 0[f(t) = t si t ∈ [0; 1[f(t) = 1 si t ∈ [1; 2[f(t) = −t + 3 si t ∈ [2; 3[f(t) = 0 si t ∈ [3; +∞[5.4. Re her he d'originaux
5.16 Cal uler les originaux de ha une des fon tions suivantes :1. F (p) =
3!
p4
2. F (p) =−3
p2 + 9
3. F (p) =1
p3
4. F (p) =1
p+ 1
5. F (p) = e−2p × 1
p
6. F (p) =p
p2 + 1e−2p
5.17 Cal uler les originaux de ha une des fon tions suivantes :1. F (p) =
3
p+ 42. F (p) =
3
p2 + 4http://ly eeenligne.free.fr/spip/ 18
Cours de mathématiques STS3. F (p) =
3
(p+ 4)2
4. F (p) =3
p2 − 4
5. F (p) =1
2p+ 4
5.18 Cal uler les originaux de ha une des fon tions suivantes :1. F (p) =
3p
p2 + 4
2. F (p) =3p
p2 − 4
3. F (p) =3e−p
p+ 4
4. F (p) =1 + e−p
p3
5.19 Re her her les originaux de ha une des fon tions rationnelles suivantes. (On mettraau préalable F (p) sous la forme indiquée).1. F (p) =
2
(p+ 1)(p+ 2)
(
F (p) =a
p+ 2+
b
p+ 1
)
2. F (p) =1
p2(p+ 1)
(
F (p) =a
p2+
b
p+
c
p+ 1
)
3. F (p) =1
(p+ a)(p+ b)(a 6= b)
4. F (p) =6p+ 6
(p2 + 2)(p+ 2)
(
F (p) =ap
p2 + 2+
b
p2 + 2+
c
p+ 2
)
5. F (p) =p
p2 + 4p+ 5
(
F (p) =ap+ 2
(p+ 2)2 + 1+
c
(p+ 2)2 + 1
)
5.5. Appli ations à la résolution d'équations di�érentielles5.20 L'étude d'un mouvement amorti amène à onsidérer la fon tion f telle que :
f(t) = 0 si t < 0f ′′(t) + 2f ′(t) + 2f(t) = e−t pour t > 0 (1)f(0) = 1 et f ′(0) = 0
Partie A : Détermination de la transformée de Laplace de fOn note F la transformée de f .1. Cal uler en fon tion de F (p) :
L [f ′′(t)] (p) ; L [f ′(t)] (p) et L [f ′′(t) + 2f ′(t) + 2f(t)] (p)
2. Cal uler L [e−tU (t)] où U est l'é helon unité.3. Appliquer la transformée de Lapla e à l'équation di�érentielle (1) et en déduirel'expression de F (p) en fon tion de p.
Partie B : Détermination de f
1. Véri�er que F (p) =1
p+ 1+
1
(p+ 1)2 + 1.19
Chapitre 5 Transformation de Lapla e2. Déduire du résultat pré édent l'expression de f(t) pour t positif.
5.21 Résoudre l'équation di�érentielle y′′ + 4y′ + 4y = 0 où y est la fon tion ausale detransformée de Lapla e Y véri�ant y(0+) = 0 et y′(0+) = 1.5.22 Résoudre l'équation di�érentielle y′′ + 3y′ + 2y = 0 où y est la fon tion ausale detransformée de Lapla e Y véri�ant y(0+) = 0 et y′(0+) = 1.5.23 Résoudre l'équation di�érentielle y′′ + 2y′ + y = 0 où y est la fon tion ausale detransformée de Lapla e Y véri�ant y(0+) = 1 et y′(0+) = 0.5.24 Déterminer la solution ausale de l'équation di�érentielle :
{
x′′(t) + 4x(t) = cos(3t)U (t)x(0+) = 1 et x′(0+) = 0
5.25 On onsidère le système diférentielle{
x′(t) = 5x(t)− y(t)y′(t) = x(t) + 5y(t)
ave les onditions initiales {
x(0+) = 1y(0+) = 0où y et x sont des fon tions ausales de la variable t, ontinues sur ]0; +∞[.
1. Montrer que la transformation de Lapla e appliquée au système di�érentiel onduitau système :{
(p− 5)X(p) + Y (p) = 1−X(p) + (p− 5)Y (p) = 0
2. En déduire que les expressions de X(p) et Y (p) sontX(p) =
p− 5
1 + (p− 5)2et Y (p) =
1
1 + (p− 5)2
3. En déduire les expressions de x(t) et y(t).5.26 Résoudre ha un des systèmes di�erentielles suivant dans lesquel x et y sont deuxfon tions ausales de transformées de Lapla e X et Y .
x′ = 2x+ y
y′ = x+ 2yx(0) = 0 et y(0) = 1
;
x′ = 3x+ 2yy′ = x+ 2yx(0) = 3 et y(0) = 0
http://ly eeenligne.free.fr/spip/ 20
Cours de mathématiques STS5.6. Appli ations à des as pratiques5.27 On onsidère le ir uit i-dessous et on se propose d'étudier en fon tion du temps(exprimée en se ondes), l'intensité du ourant i(t) (exprimée en ampères) suivant la for eéle tromotri e appliquée aux bornes.
f(t)On sait que l'équation di�érentielle régissant le ir uit est :12
didt(t) + 10i(t) = f(t). (1)
Partie ADans ette partie, on suppose que f(t) = 5.
1. Déterminer la solution i1 de l'équation (1) véri�ant i1(0) = 0.2. Etudier le sens de variation de i1 sur [0; +∞[.3. Représenter graphiquement i1 dans un repère orthormal pour 0 6 t 6 0.5 (unitégraphique : 20 m).
Partie BOn suppose maintenant que la for e éle tromotri e f est dé�nie par :
f(t) = 0 si t < 0f(t) = 5 si 0 6 t < 0.5f(t) = 0 si t > 0.5
1. a. Donner l'expression de f(t) en utilisant la fon tion e helon unité.b. En déduire la transformée de Lapla e de f .
2. a. Déterminer les réels a et b tels que, pour tout réel p stri tement positif, on ait :10
p(p+ 20)=
a
p− b
p + 20.
b. En déduire les originaux de Lapla e des fon tions dé�nies par :F1(p) =
10
p(p+ 20)et F2(p) =
10e− p
2
p(p+ 20)
3. a. En appliquant la tranformée de Lapla e à l'équation (1), déterminer, à l'aidedes questions pré édentes, la solution i2 de l'équation di�érentielle (1) véri�anti2(0) = 0.
b. Montrer que ette solution peut s'é rire :{
i2(t) = i1(t) si 0 6 t < 0.5
i2(t) =1
2(e10 − 1)e−20t si t > 0.521
Chapitre 5 Transformation de Lapla e5.28 Le but de et exer i e est l'étude de l'intensité du ourant dans les mailles du réseau i-dessous.
eR1
R2
R3
L2
L3
i1i
i2On suppose R1 = 30, R2 = 10, R3 = 20, L2 = 2, L3 = 4. Les fon tions e, i, i1 et i2 sontdé�nies sur R.On sait par ailleurs que• pour tout t < 0 : e(t) = i(t) = i1(t) = i2(t) = 0.• pour tout t > 0 : i(t) = i1(t) + i2(t).Les lois de l'éle tri ité montre que les fon tions i1(t) et i2(t) sont solutions sur l'intervalle[0; +∞[ du système di�erentielle :
5i1(t) +di1dt (t)− 10i2(t)− 2
di2dt (t) = 0
20i1(t) +di1dt (t) + 15i2(t) =
1
2e(t)
i1(0+) = i2(0
+) = 0On suppose que les fon tions e, i1 et i2 admettent des transformées de Lapla e que l'onnotera respe tivement E, I1 et I2.1. Montrer que la transformation de Lapla e appliquée au système di�érentiel onduitau système :
{
(p+ 5)I1(p)− (2p+ 10)I2(p) = 0
(p+ 20)I1(p) + 15I2(p) =1
2E(p)
2. En déduire les expressions de I1(p) et I2(p). On obtiendra :I1(p) =
E(p)
2p+ 55; I2(p) =
E(p)
2(2p+ 55)(On supposera que les onditions p 6= −5 et p 6= −55
2sont i i véri�ées).
3. Dans ette question la fon tion e est dé�nie par :e(t) = 110U (t)− 110U (t− 1
10)
a. Déterminer E(p).b. Déterminer deux réels A et B tels que, pour tout p appartenant àR−{0;−55
2},on ait : 1
p(2p+ 55)=
A
p+
B
2p+ 55
c. En déduire les expressions de i1(t), i2(t), et i(t) sur [0; +∞[http://ly eeenligne.free.fr/spip/ 22
Cours de mathématiques STSd. Donner l'expression de i(t) sans utiliser la fon tion e helon unité.
5.29 Le but de et exer i e est l'étude de l'intensité du ourant éle trique dans deux ir uits d'un montage ave transformateur.Partie A : Calculs préliminairesSoit τ un nombre réel stri tement positif. On onsidère les fon tions H et H dé�nies par :
H(p) =1
p(1 + τp); G(p) =
1
p2(1 + τp).
1. Soit h la fon tion dé�ne par h(t) = (
1− e− tτ
)
U (t).Montrer que H est la transformée de Lapla e de h.2. Soit g la fon tion dé�ne par g(t) = (
t− τ + τe− tτ
)
U (t).Montrer que G est la transformée de Lapla e de g.Partie B : Etude du montage électriqueOn onsidère le montage éle trique suivant :
v
i1
R1
L1
M
i2
R2L2
Les onstantes L1, L2, R1, R2 et M sont des réels stri tements positifs ara téristiques du ir uit.Lorsque le ir uit est ex ité par un signal d'entrée t 7→ v(t), les intensités du ourant dansles deux bran hes du montage sont les fon tions t 7→ i1(t) et t 7→ i2(t).Pour tout t négatif ou nul, v(t), i1(t) et i2(t) sont nuls.Les lois de l'ele tri ité montrent que les fon tions i1(t) et i2(t) sont solutions sur l'intervalle[0; +∞[ du système di�erentielle :
R1i1(t) + L1di1dt (t) +M
di2dt (t) = v(t)
Mdi1dt (t) + L2
di2dt (t) +R2i2(t) = 0
i1(0+) = i2(0
+) = 0On suppose que les fon tions v, i1 et i2 admettent des transformées de Lapla e que l'onnotera respe tivement V , I1 et I2.1. Montrer que la transformation de Lapla e appliquée au système di�érentiel onduitau système :
{
(R1 + L1p)I1(p) +MpI2(p) = V (p)MpI1(p) + (L2p +R2)I2(p) = 023
Chapitre 5 Transformation de Lapla e2. Dans la suite ,on suppose que :
L1 = 0, 5 ; L2 = 2 ; R1 = 2 ; R2 = 4 et; M = 1Résoudre alors le système. On obtiendra :I1(p) =
p+ 2
3p+ 4V (p) et I2(p) =
−p
6p+ 8V (p)
3. Dans ette question, le signal d'entrée est la fon tion v dé�nie par v(t) = tU (t).a. Montrer que l'on a I1(p) =
1
4
1
p(
1 + 34p) +
1
2
1
p2(
1 + 34p)
b. Déterminer alors, en utilisant les résultat de la partie A), i1(t) et i2(t).4. Dans ette question, le signal d'entrée est la fon tion v dé�nie par v(t) = tU (t) −
2(t− 1)U (t− 1) + (t− 2)U (t− 2).a. Tra er la ourbe représentative de la fon tion v, dans un repère orthonormal.b. Déterminer la transformée de Lapla e de la fon tion v.c. En utilisant les résultat de la question 3, déterminer i1(t) et i2(t).d. Sur ha un des intervalles ]−∞; 0[; [0; 1[; [1; 2[ et [2; +∞[, pré iser l'expressionde i1(t) et i2(t) sans utiliser la fon tion e helon unité.Pour on lure la question 4, une repésentation graphique des intensités i1 et
i2 serait né essaire ; elle- i a été réalisée sur un périphérique graphique ; on aobtenu les tra és suivants :1 2 t0
0.1
i(t)i1(t)i2(t)
5.30 On onsidère la fon tion f dé�nie par tout t réel par f(t) = V0 [U (t)− U (t− τ)],où τ représente un réel stri tement positif.Par ailleurs, un système est régi par l'équation :v(t) +
1
RC
∫ t
0
v(x)dx = f(t). (E)où R et C sont des réels stri tement positifs.1. a. Donner dans un repère orthogonal la représentation grahique de la fon tion f .(On prendra pour réaliser le graphique V0 = 2 et τ = 1.)
b. Déterminer la transformée de Lapla e de la fon tion f .2. On suppose que la fon tion v est nulle pour t < 0, et qu'elle admet une transforméede Lapla e, notée p 7→ V (p).http://ly eeenligne.free.fr/spip/ 24
Cours de mathématiques STSa. Résoudre, en utilisant la transformation de Lapla e, l'équation (E).b. En déduire que la fon tion v est dé�nie par :
v(t) = 0 si t < 0
v(t) = V0e −1
RCt si 0 6 t < τ
f(t) = V0e −1
RCt(
1− e τRC
) si t > τ
3. Dans ette question, on s'interesse à la représentation graphique de la fon tion v.a. Cal uler v(τ−) dé�nie par v(τ−) = lim
t → τ
t < τ
v(t) et montrer que v(τ−) < V0.b. Montrer que la � saut � σ de la fon tion v, dé�ni par σ = v(τ−) − v(τ) estégal à V0.c. Etudier les variations de v pour t > τ .d. Donner l'allure de la représentation graphique de la fon tion v dans un repèreorthogonal. On prendra pour réaliser le graphique, RC = 1, V0 = 2 et τ = 1.
5.31 Soit un système � Entrée-Sortie �, où le signal d'entrée t 7→ e(t) et le signal desortie t 7→ s(t) sont des fon tions ausales.On suppose que les fon tions e et s admettent des transformées de Lapla e E et S.On de�nit la fon tion de transfert H du système par S(p) = H(p)E(p).Dans et exer i e, on a H(p) =1
1 + 2pet e(t) = tU (t).
1. Déterminer E(p) puis S(p).2. Déterminer les onstantes, A,B et C tels que :
1
p2(1 + 2p)=
A
p2+
B
p+
C
2p+ 1
3. En déduire s(t) et tra er une allure de sa représentation graphique.5.32 On onsidère un système � Entrée-Sortie �représenté i-dessous.
e(t) s(t)
On note s le signal de sortie asso ié au signal d'entrée e. Les fon tions s et e sont desfon tions ausales. On admet que les fon tions s et e admettent des transformées deLapla e notées respe tivement E et S.La fon tion de transfert H du système est dé�nie par S(p) = H(p)E(p).Dans et exer i e, on a H(p) =1
p+ 1et e(t) = tU (t)− 2U (t− 1)− (t− 2)U (t− 2).
1. Tra er la ourbe représentative de la fon tion e dans un repère orthonormal.2. Pour p > 0, déterminer E(p) et en déduire S(p).3. Déterminer les onstantes, A,B et C, puis les onstantes D et E telles que :
1
p2(p+ 1)=
A
p2+
B
p+
C
p+ 1
2
p(p+ 1)=
D
p+
E
p+ 125
Chapitre 5 Transformation de Lapla e4. En déduire s(t).5. Exprimer s(t) sans utiliser la fon tion e helon unité.
5.33
Partie A – Equation différentielle : Méthode traditionnelleOn onsidère l'équation di�érentielle :(ED) : y′′ + 2y′ − 3y = −4.etdans laquelle t est une variable réelle positive, où y est une fon tion de la variable t, y′ sadérivée première et y′′ sa dérivée se onde.
1. Résoudre l'équation di�érentielle homogène asso iée.2. Déterminer une solution parti ulière y0 de (ED) qui sera de la forme : y0(t) = a.t.et.3. Déduire des deux questions pré édentes les solutions générales yG de (ED).4. Déterminer la solution unique f de (ED) véri�ant les onditions initiales :{ f(0) = 0
f ′(0) = 1.
Partie B – Equation différentielle : Méthode LaplaceOn onsidère l'équation di�érentielle(ED) : y′′ + 2y′ − 3y = −4etU (t)où f est une fon tion ausale de la variable t, f ′ sa dérivée première et f ′′ sa dérivéese onde.
1. Fa toriser p2 + 2p− 3.2. Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout p non égal à 1 ou -3 :
p− 5
(p− 1)2(p+ 3)=
a
(p− 1)2+
b
p− 1+
c
p+ 3
3. En appliquant la transformée de Lapla e à (ED), déterminer l'espressino de F (p).4. Cal uler F (p).5. En déduire f(t).
Partie C – Etude de la solutionSoit f la fon tion, de la variable réelle positive t, dé�nie par :t 7−→ f(t) =
1
2
(
et(1− 2t)− e−3t)
1. Etudier les variations de f sur R+.2. Dessiner Cf ourbe représentant f dans un repère orthonormé d'unité égale à 5 m,sur l'intervalle [0; 5
4
].3. Ha hurer le domaine D ompris entre Cf , l'axe des abs isses et les deux droitesd'équations t = 0 et t = 1.4. Cal uler ∫ 1
0
f(t)dt ; ( on pro edera à une intégration par partie).5. Cal uler l'arrondi au entième de la valeur moyenne de f sur D.http://ly eeenligne.free.fr/spip/ 26
Table des matières1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1 Intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Fon tions ausales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Transformations de Lapla e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1 Dé�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Transformée de Lapla e des fon tions uselles . . . . . . . . . . . . . 52.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Original d'une fon tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Exemples de re her he d'original . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Appli ations de la transformation de Lapla e . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.1 Propriétés préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Résolution d'équations di�érentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 Résolution de système d'équations di�érentielles . . . . . . . . . . . 155 Exer i es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.1 Intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2 Fon tions ausales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.3 Transformée de Lapla e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.4 Re her he d'originaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.5 Appli ations à la résolution d'équations di�érentielles . . . . . . . . 195.6 Appli ations à des as pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
