Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... ·...
Transcript of Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... ·...
![Page 1: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/1.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
Transformasyonlar(İleri Yapı Statiği)
Doç. Dr. Özgür ÖzçelikDokuz Eylül Üniversitesi, Müh. Fak., İnşaat Müh. Böl.
![Page 2: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/2.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
Sunum Ana Hattı
� Transformasyonlar
� Rijit uç bölgesi transformasyonu
� Global – Lokal eksen transformasyonu
� Temel sistem (basit mesnetli kiriş) ve rijit cisim modlarıtransformasyonu
� 2D kiriş durum (state) determinasyonu
� Rijitlik katsayılarının (matrislerinin) fiziksel yorumu
![Page 3: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/3.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
TransformasyonlarGenel Gözlemler
: 1. genelleştirilmiş kuvvet ve deplasman vektörleri
: 2. genelleştirilmiş kuvvet ve deplasman vektörleri
: Bu iki durum arasındaki transformasyon matrisi aşağıdaki gibi verildiyse
Ve bu iki sistemin yaptıkları iş birbirine denkse (work equivalent – work conjugate pairs):
böylece
Böyle bir ilişki mevcutsa, yazılabiliyorsa!
![Page 4: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/4.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
Bu sonuç geneldir ve birbirine işçe denk herhangi iki sistem için geçerlidir. Bir çok durumda dengeden
TransformasyonlarGenel Gözlemler
olduğunu göstermek, uygunluk şartlarından
olduğunu göstermekten daha kolay olmaktadır. Eğer aşağıdaki ilişkiler geçerliyse,
burada k1 ve k2 bu iki sistemin rijitlik matrisi ise, bu durumda aşağıdaki ilişkiyi yazmak mümkündür:
![Page 5: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/5.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
TransformasyonlarRijit Uç Bölgeler - Rasyonelleştirme
Düğüm noktası
Deforme olan eleman
![Page 6: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/6.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
TransformasyonlarRijit Uç Bölgeleri (Rigid End Zone - REZ) Dönüşümü
2D rijit uç bölgeli (REZ) kiriş-kolon elemanı
(Deforme olabilen eleman)
Düğüm noktası
Düğüm noktası
![Page 7: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/7.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
TransformasyonlarRijit Uç Bölgeleri
Kiriş ve kolonlar için oluşturulmuş rijit uç bölgeleri.
![Page 8: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/8.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
TransformasyonlarRijit Uç Bölgeleri Dönüşümü
Rijit uç bölgelerinde global serbestlik dereceleri ve karşı gelen eleman uç kuvvetleri
REZ Üstündeki Serbestlik Dereceleri
![Page 9: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/9.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
TransformasyonlarRijit Uç Bölgeleri Dönüşümü
Deforme olan elemanda global serbestlik dereceleri vekarşı gelen eleman uç kuvvetleri
Deforme olabilen eleman üzerinde
![Page 10: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/10.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
TransformasyonlarRijit Uç Bölgeleri Dönüşümü
arasındaki ilişkiyi bulmaya çalışıyoruz.
İş konjuge (work conjugate) çifti (yaptıkları iş birbirine denkse)
Bu çiftler arasındaki ilişkiye kontra-gradiyen transformasyonu denir. Burada
birinci düğümdeki yerdeğiştirmeleri rijit uç bölgelerinden eleman ucuna taşır, benzer şeyiçin de söylenebilir.
![Page 11: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/11.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
TransformasyonlarRijit Uç Bölgeleri Dönüşümü
Rijit uç bölgesindeki birinci serbestlik derecesine bir birimlik yatay yerdeğiştirme verildi.
birinci kolonu
![Page 12: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/12.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
TransformasyonlarRijit Uç Bölgeleri Dönüşümü
Rijit uç bölgesindeki ikinci serbestlik derecesine bir birimlik düşeyyerdeğiştirme verildi.
İkinci kolonu
![Page 13: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/13.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
TransformasyonlarRijit Uç Bölgeleri Dönüşümü
Rijit uç bölgesindeki üçüncü serbestlik derecesine bir birimlik dönmeverildi.
Üçüncü kolonu
![Page 14: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/14.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
TransformasyonlarRijit Uç Bölgeleri Dönüşümü
ve arasındaki ilişki rijit uç bölgelerinin dengesinde de bulunabilirdi.
Rijit uç bölgelerinin dengesinden.
1. Düğüm Noktasının Dengesi
![Page 15: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/15.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
TransformasyonlarRijit Uç Bölgeleri Dönüşümü
Eğer ve
![Page 16: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/16.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
TransformasyonlarGlobal ve Eleman Lokal Referans Sistemleri Dönüşümü
: İş konjuge (work conjugate) çifti ise bunlar arasındaki ilişki aşağıdaki gibi kurulur:
burada
Lokal Koordinatlar Doğrultusundaki Serbestlik Dereceleri
![Page 17: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/17.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
TransformasyonlarGlobal ve Eleman Lokal Referans Sistemleri Dönüşümü
R’nin birinci kolonu
R’nin ikinci kolonu
R’nin üçüncü kolonu
ϕ
11∆ =
ϕ
ϕ
![Page 18: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/18.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
ve arasındaki ilişki düğüm noktası dengesinde de bulunabilirdi:
TransformasyonlarGlobal ve Eleman Lokal Referans Sistemleri Dönüşümü
![Page 19: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/19.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
TransformasyonlarGlobal ve Eleman Lokal Referans Sistemleri Dönüşümü
R rotasyonel matrisi ortogonaldir:
Eğer ve
![Page 20: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/20.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
TransformasyonlarRijit Cisim Modları (Rigid Body Modes)
Temel sistem: basit mesnetli kiriş
Rijit cisimmodlarının olmadığı deformasyon durumu
Temel deformasyonlar
Temel kuvvetler
![Page 21: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/21.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
: İş konjuge (work conjugate) çifti ise bunlar arasındaki ilişki aşağıdaki gibi kurulur:ve
TransformasyonlarRijit Cisim Modları (Rigid Body Modes)
: rijit cisim modlarını çıkaran (removes) transformasyon matrisidir.
![Page 22: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/22.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
TransformasyonlarRijit Cisim Modları (Rigid Body Modes)
Geometriden ve küçük açılar ve yer değiştirmeler kabulünden (lineer/lineerleştirilmiş geometri – 1st order):
Lokal koordinatlar
Lokal koordinatlar
Uygunluk durumu dikkate alındı!
![Page 23: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/23.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
TransformasyonlarRijit Cisim Modları (Rigid Body Modes)
Bu ilişki matris formda yazılırsa:
Deplasman transformasyon matrisi veya uygunluk matrisi
![Page 24: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/24.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
TransformasyonlarRijit Cisim Modları (Rigid Body Modes)
ve : arasındaki ilişki eleman dengesinden de bulunabilirdi:
![Page 25: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/25.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
TransformasyonlarRijit Cisim Modları (Rigid Body Modes)
Rijit modların olmadığı 2D kiriş-kolon elemanı ve serbestlik dereceleri
Rijit modların olduğu 2D kiriş-kolon elemanı ve serbestlik dereceleri
![Page 26: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/26.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
TransformasyonlarÖzet
burada
ve iş konjuge çiftleri olduklarından:
veya
ÖNEMLİ!
ÖNEMLİ!
![Page 27: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/27.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
TransformasyonlarÖzet
Lokal x’ ve y’ eksenlerinde rijit modların olmadığı eleman rijitlik matrisi
Global x ve y eksenlerinde rijit modların da olduğu eleman rijitlik matrisi
ÖNEMLİ!
![Page 28: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/28.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
TransformasyonlarÖzet
Temel sistemden global referans sistemine kuvvetlerin ve şekil değiştirmelerin transformasyonu.
![Page 29: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/29.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
TransformasyonlarRijit Cisim Modları (Rigid Body Modes)
:
:
:
:
′
′
Δ
Δ
Δ
Δ
Rijit uç bölgeleri – Global Eksenler
Deforme olabilen eleman – Global Eksenler
Deforme olabilen eleman – Lokal Eksenler
Temel sistem serbeslikleri
![Page 30: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/30.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
TransformasyonlarÖzet – Örnek Rijitlik Matrisi (Euler-Bernoulli Kirişi)
burada
![Page 31: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/31.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
Rijit uç bölgeli eleman
Rijit uç bölgesiz eleman
Rijit uç bölgesiz lokal koordinatlardaki sistem
Rijit cisim modsuz eleman
Yer değiştirmeler
(Girdi)
Rijitlik matrisi ve kuvvetler
(Çıktı)
![Page 32: Transformasyonlar (İleri YapıStatiği)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/Adv Structural Analysis... · İleri Yapı Statiği –Kiriş Teorisi Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijituç](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013104/5a7c10067f8b9a2e6e8c6a8d/html5/thumbnails/32.jpg)
İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi
Matlab ÖdeviTransformasyon Uygulaması
d1x
d1y
d2x
d2y
1
2 E = 70 GPaA = 4570 mm2
I = 34.5x106 mm4
d1x = 20 cmd1y = 40 cmd2x = 15 cmd2y = 30 cmL = 4 m
Ø = 30o
4EI/L 2EI/L 0
2EI/L 4EI/L 0
0 0 EA/L
E, A, I, L
2 boyutlu Euler-Bernoulli kirişi için rijit uç bölgelerine karşılık gelen (1 ve 2 düğümlerindeki serbestlik dereceleri), global koordinatlardaki k rijitlik matrisini bulunuz.