TRANSFORMASI WAVELET KONTINU PADARUANG 𝑳𝒑ℝ𝒏 DENGAN …

TESIS – SM 142501

TRANSFORMASI WAVELET KONTINU PADA RUANG 𝑳𝒑(ℝ𝒏) DENGAN FAKTOR DILASI VEKTOR RIZKY DARMAWAN NRP 1213201052 DOSEN PEMBIMBING: Dr. Mahmud Yunus, M.Si. PROGRAM MAGISTER JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2016

THESIS – SM 142501

CONTINUOUS WAVELET TRANSFORM ON 𝑳𝒑(ℝ𝒏) SPACE WITH VECTOR DILATION RIZKY DARMAWAN NRP 1213201052 Supervisior: Dr. Mahmud Yunus, M.Si. MAGISTER’S DEGREE MATHEMATICS DEPARTEMENT FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCES SEPULUH NOPEMBER INSTITUTE OF TECHNOLOGY SURABAYA 2016

TRANSFORMASI WAVELET KONTINU PADA RUANGLp(Rn) DENGAN FAKTOR DILASI VEKTOR

Nama Mahasiswa : Rizky DarmawanNRP : 1213 201 052Dosen Pembimbing : Dr. Mahmud Yunus, M.Si

ABSTRAK

Transformasi wavelet merupakan pengembangan dari transformasi Fourier.Transformasi Fourier hanya memberikan informasi mengenai frekuensi darisuatu data, sedangkan transformasi wavelet tidak hanya memberikan informasimengenai frekuensi yang ada, melainkan juga memberikan informasi waktu darifrekuensi tersebut. Dari sisi teoritis transformasi wavelet kontinu merupakan topikmatematika yang menarik untuk dikembangkan. Salah satu pengembangan tersebutadalah konsep transformasi wavelet kontinu pada ruang Lp(Rn) dengan faktordilasi vektor yang merupakan perumuman dari transformasi wavelet multivariabel.Disisi lain, identifikasi tentang transformasi linear terbatas dan kontinuitas suatufungsi merupakan topik yang menarik untuk dikaji dalam matematika. Suatutransformasi linier yang terbatas menyatakan bahwa fungsi hasil transformasitidak mungkin melebihi penggandaan fungsi asal. Dalam kalkulus, fungsi kontinumemiliki keterkaitan dengan sifat-sifat limit, integral, dan turunan dari suatu fungsi.Pada penelitian ini diteliti syarat kontinuitas fungsi hasil transformasi dan diselidikibahwa dari transformasi wavelet kontinu pada ruang Lp(Rn ) dengan faktor dilasivektor merupakan transformasi linear terbatas. Dalam penelitian ini diketahuibahwa transformasi wavelet kontinu pada ruang Lp(Rn ) dengan faktor dilasi vektormerupakan transformasi linear terbatas, serta diketahui bahwa syarat cukup agarfungsi hasil transformasinya kontinu adalah fungsi wavelet harus berupa fungsikontinu bertumpuan kompak.

Kata kunci: transformasi wavelet kontinu, ruang Lp(Rn), fungsi kontinu, trans-formasi linear terbatas

iii

CONTINUOUS WAVELET TRANSFORM ON Lp(Rn) SPACEWITH VECTOR DILATION FACTOR

By : Rizky DarmawanStudent Identity Number : 1213 201 052Supervisor : Dr. Mahmud Yunus, M.Si

ABSTRACT

Wavelet transform is an enhancement of Fourier transform. Fourier transformprovides information about frequency of data, while wavelet transform is not onlyprovides information of existing frequencies, but also gives us the information oftime of frequencies. From the theoretical side, the continuous wavelet transformis a mathematical topics of interest to be developed. One such development is theconcept of continuous wavelet transform on Lp(Rn) space with vector dilationfactor, that is a generalization of multivariable continuous wavelet transform . Onanother hand, the identification of bounded linear transformation and continuityof a function is an interesting topic to be studied in mathematics. A boundedlinier transformation represent that output function of transformation is notmore than multiplication of input function. In calculus, continuous function hasrelation with properties of limit, integration, and derivative of a function. In thisresearch we study condition of continuity of output function and we investigatealso that continuous wavelet transform on Lp(Rn) space with vector dilationfactor is bounded linear transformation. In this research we show that continuouswavelet transform on Lp(Rn) space with vector dilation factor is bounded lineartransformation and we also show that sufficient condition for the output functionto be continuous function is wavelet function must be continuous function withcompact support.

Keywords: continuous wavelet transformation, Lp(Rn) space, continuousfunction, bounded linear transformation

v

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirabbil’aalamiin, puji syukur atas kehadirat Allah SWT yang telahmelimpahkan nikmat islam, iman, dan ihsan sehinggan penulis dapat menyele-saikan Tesis yang berjudul ”Transformasi Wavelet Kontinu pada Ruang Lp(Rn)

dengan Faktor Dilasi Vektor” secara optimal. Shalawat dan salam penulis haturkankepada junjungan Nabi besar Muhammad SAW yang telah membawa manusia darizaman kegelapan menuju zaman terang benderang. Tesis ini merupakan salah satupersyaratan akademis untuk memperoleh gelar magister (S-2) di Program StudiMagister Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA)Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya.

Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan tesis ini, penulis mendapat bantuandan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnnya kepada:

1. Orang tua dan saudara penulis yang selalu memberikan dukungan, doa danmotivasi agar penulis dapat meyeleaikan Tesis ini.

2. Bapak Dr. Imam Muklash, M.Si. selaku Ketua Jurusan Matematika ITS,yang telah membantu dan memberi dukungan selama masa perkuliahan danpenyusunan Tesis ini.

3. Bapak Dr. Mahmud Yunus, M.Si. selaku Koordinator Programa StudiPascasarjana Matematika ITS, sekaligus sebagai dosen wali dan dosenpembimbing penulis yang telah bersedia membimbing, memotivasi, danberbagi ilmu dengan sabar kepada penulis sehingga Tesis ini dapat tersele-saikan.

4. Prof. Erna Aprliani, Dr. Subiono, dan Dr. Dwi Ratna selaku dosen pengujiyang banyak memberikan masukan, kritik, dan saran yang membantu penulisdalam penyusunan Tesis ini.

5. Seluruh dosen Pascasarjana Matematika ITS yang telah memberikan ilmupengetahuan yang bermanfaat selama masa perkuliahan, serta staf admin-istrasi dan karyawan Program Studi Magister Matematika-ITS atas segalabantuannya.

vii

6. Keluarga besar mahasiswa Pascasarjana Matematika ITS 2013, dan semuapihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah membantu penulisdalam proses penyusunan Tesis ini.

Semoga Allah SWT selalu memberikan karuniah dan hidayah-Nya kepadasemua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian Tesis ini.

Penulis menyadari bahwa selama masa penelitian dan penyelesaian Tesis inimasih terdapat kekurangan dan kekeliruan. Oleh karena itu, penulis mengharapkritik dan saran dari berbagai pihak yang bersifat membangun sebagai bahanperbaikan dimasa yang akan datang. Semoga Tesis ini dapat bermanfaat bagi semuapihak.

Surabaya, Juni 2016

Penulis

viii

DAFTAR ISI

LEMBAR PENGESAHAN i

ABSTRAK iii

ABSTRACT v

KATA PENGANTAR vii

DAFTAR ISI ix

DAFTAR GAMBAR xi

DAFTAR SIMBOL xiii

BAB I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

BAB II KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI 7

2.1 Kajian Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Wavelet Satu Variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2 Wavelet Multivariabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Dasar Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Transformasi Linear pada L∞p(Rn+ × Rn) . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.2 Fungsi Kontinu pada Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

BAB III METODA PENELITIAN 19

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 21

4.1 Transformasi Wavelet Kontinu pada Ruang Lp(Rn) denganDilasi Vektor sebagai Transformasi Linear Terbatas . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Kontinuitas Fungsi Hasil Transformasi Wavelet Wψf . . . . . . . . . . . 33

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 45

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

ix

DAFTAR PUSTAKA 47

BIODATA PENULIS 49

x

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Grafik Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Gambar 2.2 Grafik Mexican Hat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Gambar 4.1 Grafik B-Spline Order-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Gambar 4.2 Grafik B-Spline Order-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

xi

DAFTAR SIMBOL

ψ fungsi waveletRn himpunan n−tupel bilangan realRn

+ himpunan n−tupel bilangan real positifRn

+ × Rn himpunan pasangan terurut antara elemen di Rn dengan elemen di Rn+

Lp(Rn) ruang fungsi pada Rn dengan modulus pangkat p terintegral LebesgueL∞p(Rn

+ × Rn) ruang fungsi dengan modulus pangkat p terintegral Lebesgue pada Rn

dan terbatas pada Rn+

Wψf Fungsi hasil transformasi waveletC0(Rn) ruang fungsi bertumpuan kompak

xiii

BAB IPENDAHULUAN

Pada bagian ini dijelaskan mengenai hal-hal yang melatar belakangi usulanpenelitian, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, dan manfaatpenelitian.

1.1 Latar Belakang

Gagasan yang mendasari analisis wavelet berasal dari tesis Alfred Haar yangberjudul The Theory of Orthogonal Function Systems pada tahun 1909. Sedangkankata “wavelet” sendiri diberikan oleh Jean Morlet dan Alex Grossman di awal tahun1980-an, yang berasal dari bahasa Perancis “ondelette” yang berarti gelombangkecil. Kata “onde” yang berarti gelombang diterjemahkan kedalam bahasa Inggrismenjadi “wave”, lalu digabung dengan kata aslinya sehingga terbentuk kata baru“wavelet” (Gunawan, 2014).

Transformasi wavelet merupakan perbaikan dari transformasi Fourier. Trans-formasi Fourier hanya memberikan informasi mengenai frekuensi yang muncul darisuatu sinyal, sedangkan transformasi wavelet tidak hanya memberikan informasimengenai frekuensi yang muncul, akan tetapi juga memberikan informasi waktudari frekuensi tersebut (Gunawan, 2014).

Dalam kasus satu variabel, wavelet merupakan suatu fungsi ψ ∈ L2(R), ψ 6= 0

yang memenuhi kondisi ∫Rψ(t) dt = 0

sedangkan transformasi wavelet dari fungsi f ∈ L2(R) adalah

Wψf(a, b) :=1

a1/2

∫Rf(t)ψ

(t− ba

)dt, a ∈ R+, b ∈ R

(Daubechies, 1992). Dalam hal ini, notasi ψ(t) menyatakan konjuget dari ψ(t).Lebih lanjut, parameter a disebut faktor dilasi, sedangkan parameter b disebut faktortranslasi. Ada dua jenis transformasi wavelet, yaitu transformasi wavelet kontinu(TWK) dan transformasi wavelet diskrit (TWD). Perbedaan diantara keduanyaadalah pada nilai parameter translasi dan parameter dilasi. Untuk transformasiwavelet kontinu nilai parameter translasi bernilai real dan nilai parameter dilasi

1

bernilai bilangan real positif, sedangkan pada transformasi wavelet diskrit nilaiparameter translasi bilangan bulat dan nilai parameter dilasi bernilai bilangan bulatpositif. Secara fisis, jika f(t) adalah amplitudo dari sinyal pada waktu ke-t, makafungsi hasil transformasi wavelet kontinu Wψf(a, b) menyatakan amplitudo sinyalpada frekuensi b dan waktu a (Gunawan, 2014).

Analog dengan kasus satu variabel, untuk kasus multivariabel, suatu fungsiψ ∈ L2(Rn), ψ 6= 0 disebut wavelet jika memenuhi kondisi∫

Rnψ(t) dt = 0

sedangkan transformasi wavelet dari fungsi f ∈ L2(Rn) adalah

Wψf(a, b) :=1

an/2

∫Rnf(t)ψ

(t− ba

)dt, a ∈ R+, b ∈ Rn

dengan a adalah faktor dilasi dan b adalah faktor translasi (Daubechies, 1992).

Dalam bidang teknologi, transformasi wavelet diskrit memiliki manfaat yanglebih besar dari transformasi wavelet kontinu , khususnya dalam teknologikomputasi, hal ini disebabkan semua sinyal atau data yang diolah menggunakankomputer selalu dalam bentuk sinyal atau data diskrit. Akan tetapi dari sisiteoritis, transformasi wavelet kontinu merupakan salah satu topik matematika yangmengalami pengembangan. Salah satu pengembangan tersebut adalah transformasiwavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn).

Diberikan f ∈ Lp(Rn), maka transformasi wavelet dari f dengan faktor dilasivektor adalah

Wψf(a, b) :=1

(a1a2 · · · an)ρ

∫Rnf(t)ψ

(t1 − b1a1

, · · · , tn − bnan

)dt (1.1)

dengan a = (a1, a2, · · · , an) ∈ Rn+, b = (b1, b2, · · · , bn) ∈ Rn, dan ρ > 0 tetap

(Pathak, 2009). Dengan demikian transformasi wavelet dari fungsi f ∈ Lp(Rn)

seperti persamaan (1.1) dapat juga ditulis ulang sebagai berikut

Wψf(a, b) :=1

(∏n

i=1 ai)ρ

∫Rnf(t)ψ

((ti − biai

)ni=1

)dt, a ∈ Rn

+, b ∈ Rn

untuk pangkat ρ > 0 tetap. Disisi lain, sifat kontinuitas suatu fungsi danpenelitian transformasi wavelet sebagai transformasi linear terbatas merupakantopik yang menarik untuk dikaji. Dalam analisis real, kontinuitas dari suatu fungsi

2

memiliki sifat-sifat tertentu, antara lain nilai limit kiri dan limit kanan dari fungsikontinu adalah sama, fungsi kontinu yang monoton tegas memiliki invers yang jugafungsi kontinu monoton tegas, fungsi kontinu merupakan fungsi terbatas dalamR, dan fungsi kontinu memiliki nilai absolout maksimum dan minimum. Konti-nuitas suatu fungsi juga memiliki peranan dalam kalkulus integral dan diferensial,kontinuitas suatu fungsi pada Rn merupakan syarat cukup agar fungsi tersebuttertintegral Riemann dan merupakan syarat perlu agar fungsi tersebut terdiferensialpada Rn. Lebih lanjut, dalam analisis fungsional, himpunan semua fungsi kontinupada Rn membentuk ruang Banach yang bersifat padat dalam Lp(Rn). Sedangkan,suatu transformasi linear yang terbatas menunjukkan bahwa transfromasi tersebutmemiliki nilai berhingga dalam norma dan mengakibatkan transformasi tersebutkontinu di setiap domain transformasi, disamping itu dari himpunan semua trans-formasi linear terbatas dapat dibentuk suatu ruang Banach tertentu.

Dalam (Pathak, 1998) telah ditunjukkan bahwa transformasi wavelet kontinudari fungsi di L2(R) merupakan transformasi linear terbatas dari ruang L2(R)

ke ruang L2(R × R+), sedangkan dalam (Grossman dan Morlet, 1984) diperke-nalkan transformasi wavelet pada ruang Lp(R), dengan mensubstitusi f ∈ L2(R)

dengan f ∈ Lp(R), dan menunjukkan bahwa transformasi wavelet tersebutmerupakan transformasi linear terbatas dari ruangLp(Rn) ke ruangL2(R)×Lp(Rn).Dalam (Pathak, 2004) juga ditunjukkan bahwa transformasi wavelet kontinu padaruang Lp(Rn) merupakan transformasi linear terbatas dari ruang Lp(R) ke ruangL∞p(R+ × R). Untuk kekontinuan fungsi hasil transformasi wavelet satu variabeldi ruang L2(R) dapat dilihat dalam (Navarro dan Herrera, 2012).

Sedangkan penelitian untuk mendapatkan syarat kontinuitas fungsi hasil trans-formasi dan sifat transformai linear terbatas dari transformasi wavelet padapersamaan (1.1) belum pernah dilakukan. Dalam penelitian ini, didapatkan syaratkontinuitas fungsi hasil transformasi dan diselidiki bahwa transformasi waveletdengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn) merupakan transformasi linearterbatas. Kontinuitas yang dimaksud adalah kontinuitas pada Rn

+ × Rn, sedangkantransformasi linear yang dimaksud adalah transformasi linear dari ruang Lp(Rn) keruang L∞p(Rn

+ × Rn). Ruang L∞p(Rn+ × Rn) adalah ruang fungsi yang berbentuk

L∞p(Rn+ × Rn) :=

{f : Rn

+ × Rn → C∣∣ supa∈Rn+

(∫Rn|f(a, b)|p db

)1/p

<∞

}

3

dengan norma

‖f‖L∞p := supa∈Rn+

(∫Rn|f(a, b)|p db

)1/p

, f ∈ L∞p(Rn+ × Rn)

dan merupakan perumuman untuk kasus multivariabel dari ruang L∞p(R+ × R)

dalam (Grossman dan Morlet, 1984).

Dengan demikian, dalam penelitian ini, pekerjaan yang dilakukan adalahmendapatkan konstanta real positif M > 0 sedemikian hingga Wψf(a, b) padapersamaan (1.1) memenuhi ‖Wψf(a, b)‖L∞p ≤ M‖f‖p, dan mendapatkan syaratagar fungsi Wψf(a, b) pada persamaan (1.1) merupakan fungsi kontinu padaRn

+ × Rn.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang permasalahan di atas, maka rumusan masalah dalampenelitian ini adalah

1. Apakah transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruangLp(Rn) merupakan transformasi linear terbatas ?

2. Bagaimana syarat kekontinuan fungsi hasil transformasi wavelet kontinudengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn) ?

1.3 Batasan Masalah

Permasalahan yang dibahas dalam penelitian ini dibatasi sebagai berikut:

1. Nilai p dan n pada Lp(Rn) masing-masing adalah bilangan asli.

2. Kekontinuan fungsi hasil transformasi yang dibahas adalah kekontinuan padaRn

+ × Rn.

3. Transformasi wavelet kontinu yang dibahas merupakan transformasi lineardari ruang Lp(Rn) ke ruang L∞p(Rn

+ × Rn).

4. Range dari fungsi dalam penelitian ini adalah himpunan bilangan kompleksC.

5. Integral yang digunakan dalam penelitian ini adalah integral Lebesgue.

4

1.4 Tujuan PenelitianBerdasarkan perumusan masalah yang ada, tujuan penelitian ini adalah

1. Mengidentifikasi bahwa transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasivektor pada ruang Lp(Rn) merupakan transformasi linear terbatas dari ruangLp(Rn) ke ruang L∞p(Rn

+ × Rn).

2. Mendapatkan syarat agar fungsi hasil transformasi wavelet kontinu denganfaktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn) merupakan fungsi kontinu pada Rn

+×Rn.

1.5 Manfaat PenelitianManfaat dari penelitian ini antara lain

1. Sebagai tambahan wawasan dan keilmuan dalam matematika khususnya dibidang transformasi wavelet.

2. Sebagai referensi untuk penelitian selanjutnya mengenai transformasiwavelet.

3. Sebagai referensi untuk penelitian dalam bidang sinyal multivariabel.

5

BAB IIKAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI

Pada bagian ini akan diberikan teori-teori yang menunjang dalam prosespenelitian, yaitu konsep teori ukuran dan integral di Rn, transformasi linear terbatas,ruang Lp(Rn), ruang L∞p(Rn

+ × Rn), fungsi kontinu di Rn, himpunan kompak,transformasi wavelet kontinu di ruang L2(R), transformasi wavelet kontinu di ruangL2(Rn), dan transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor di ruangLp(Rn).

2.1 Kajian PustakaPada bagian ini akan diberikan definisi dan sifat-sifat dari transformasi wavelet

satu variabel dari fungsi di ruang L2(R) dan ruang Lp(R), transformasi waveletmultivariabel L2(Rn) dan Lp(Rn), dan transformasi wavelet di ruang Lp(Rn)

dengan faktor dilasi vektor.

2.1.1 Wavelet Satu Variabel

Diberikan L2(R) adalah kelas dari fungsi-fungsi bernilai kompleks pada Rn

yang kontinu dan modulus kuadratnya terintegral Lebesgue pada R. Dalam kasussatu variabel, wavelet merupakan suatu fungsi ψ ∈ L2(R), ψ 6= 0 yang memenuhikondisi rata-rata nol, yaitu ∫

Rψ(t) dt = 0, t ∈ R

sedangkan definisi dari transformasi wavelet kontinu dari fungsi di ruang L2(R)

adalah sebagai berikut

Definisi 2.1.1. (Daubechies, 1992) Diberikan ψ ∈ L2(R) adalah suatu wavelet.

Transformasi wavelet kontinu dari fungsi f ∈ L2(R) adalah fungsi Wψf dengan

Wψf(a, b) :=1

a1/2

∫Rf(t)ψ

(t− ba

)dt, a ∈ R+, b ∈ R (2.1)

Notasi ψ(t) menyatakan konjuget dari ψ(t). Dalam hal ini, parameter a disebutfaktor dilasi, sedangkan parameter b disebut faktor translasi. Secara fisis interpetasidalam analisis sinyal adalah, jika f(t) adalah amplitudo sinyal pada waktu ke-t,

7

maka fungsi hasil transformasi wavelet kontinu Wψf(a, b) menyatakan amplitudosinyal pada frekuensi b dan waktu a (Gunawan, 2014). Waveletψ memenuhi kondisiadmissible, yaitu

Cψ =

∫R

|Ψ(ω)|2

|ω|dω <∞

dengan Ψ(ω) =∫R ψ(t)e−itωdt adalah transformasi Fourier dari ψ. Sedangkan

invers dari transformasi wavelet satu dimensi tersebut adalah

f(t) =1

Cψ

∫R

∫R+

Wψf(a, b)ψ

(t− ba

)da

a3/2db

(Daubechies, 1992) Salah satu contoh wavelet adalah wavelet Haar yang berbentuk

ψ(t) =

1 untuk 0 ≤ t < 1

2,

−1 untuk 12≤ t < 1

0 untuk yang lain

Gambar 2.1: Grafik Haar

dan wavelet Topi Meksiko yang berbentuk

ψ(t) =(1− t2

)exp(−t

2

2), t ∈ R

(Chui, 1992).

Dalam (Grossman dan Morlet, 1984), transformasi wavelet satu variabel darifungsi di L2(R) diperumum di ruang Lp(R), yaitu dengan mensubstitusi f di L2(R)

pada persamaan (2.1) menjadi di f di Lp(R), dalam penelitian tersebut Grossman

8

Gambar 2.2: Grafik Mexican Hat

mendapatkan rumus invers transformasi wavelet kontinu satu variabel di ruangLp(R) tanpa syarat kekonvergenannya, serta menunjukkan bahwa transformasiwavelet satu variabel di ruang Lp(R) merupakan transformasi linear terbatas dariruang Lp(R) ke ruang L∞p(R+ × R) dengan memenuhi

‖Wψf(a, ·)‖L∞p ≤ ‖ψ‖L1 ‖f‖Lp .

(Grossman dan Morlet, 1984). Dalam hal ini norma yang dimaksud adalah normadari ruang fungsi pada R. Disisi lain, dalam (Navarro dan Herrera, 2012) diberikansyarat sehingga fungsi hasil transformasi wavelet di L2(R) merupakan fungsikontinu pada R+ × R, yaitu wavelet ψ harus berupa fungsi kontinu bertumpuankompak, dengan kata lain ψ ∈ C0(R).

2.1.2 Wavelet Multivariabel

Konsep transformasi wavelet dapat diperluas untuk kasus multivariabel. Dalamhal ini definisi wavelet analog dengan definisi wavelet pada kasus satu variabel.Diberikan L2(R)n adalah kelas dari fungsi-fungsi bernilai kompleks pada Rn yangkontinu dan modulus kuadratnya terintegral Lebesgue pada Rn, yaitu

L2(Rn) :=

{f : Rn → C|

∫Rn|f(t)|2 dt <∞

}9

Suatu fungsi ψ ∈ L2(Rn), ψ 6= 0 disebut wavelet jika memenuhi kondisi rata-ratanol, yaitu ∫

Rnψ(t) dt = 0, t ∈ Rn

sedangkan definisi dari transformasi wavelet kontinu dari fungsi di ruang L2(Rn)

diberikan pada definisi di bawah.

Definisi 2.1.2. (Daubechies, 1992) Diberikan ψ ∈ L2(Rn) adalah suatu wavelet.

Transformasi wavelet kontinu dari fungsi f ∈ L2(Rn) adalah fungsi Wψf dengan

Wψf(a, b) :=1

an/2

∫Rnf(t)ψ

(t− ba

)dt, a ∈ R+, b ∈ Rn (2.2)

Transformai wavelet di atas merupakan transformasi linear dari L2(Rn) keL∞(Rn) × L2(Rn). Dalam hal ini parameter a disebut faktor dilasi dan b disebutfaktor translasi. Dari definisi wavelet dan transformasi wavelet di atas, terlihatjelas bahwa fungsi hasil transformasi wavelet merupakan fungsi bernilai kompleks.Integral yang digunakan dalam perhitungan transformasi wavelet di atas adalahintegral Lebesgue, hal ini bertujuan agar fungsi asal dapat dihampiri fungsi basiswavelet secara kombinasi linier dalam konsep almost everywhere, sebab padakenyataannya terdapat basis wavelet tertentu yang menghampiri fungsi asal secarakombinasi linier tetapi tidak terintegral Lebesgue, akibatnya hampiran tersebut tidakdapat dikatakan representasi dari fungsi asal.

Ambil kasus di R3, misalkan f(t, x, y) adalah ampliudo dari suatu sinyal citrahitam putih f yang bergantung pada waktu ke-t, derajat keabuan pada posisihorizontal x, dan derajat keabuan pada posisi vertikal y, maka Wψf(a, b) padapersamaan (2.2) merupakan amplitudo sinyal citra pada frekuensi b = (b1, b2, b3)

yang terjadi pada posisi waktu a, dengan b1, b2, b3 masing-masing merupakanfrekuensi sinyal yang bersesuaian dengan waktu ke-t, derajat warna putih x, danderajat warna hitam y berturut-turut. Seperti halnya pada wavelet satu variabel,wavelet ψ multivariabel juga memenuhi kondis admissible yang berupa

Cψ =

∫Rn

|Ψ(ω)|2

|ω|dω <∞

dengan |ω| =√∑n

i=1 |ωi|2, dan Ψ(ω) adalah transformasi Fourier dari ψ.Sedangkan invers transformasi wavelet multivariabel di L2(Rn) berbentuk

f(t) =1

Cψ

∫Rn

∫Rn+Wψf(a, b)ψ

(t− ba

)da

a3/2db

10

(Daubechies, 1992). Jika f ∈ L1(Rn) ∩ L2(Rn), maka transformasi wavelet multi-variabelnya merupakan transformasi linear terbatas dari ruang L1(Rn) ke ruangL1(Rn

+ × Rn) dengan memenuhi

‖Wψf(a, ·)‖L1 ≤ a1/2(2π)−1 ‖ψ‖L1 ‖f‖L1 .

Beberapa contoh wavelet multivariabel antara lain wavelet Haar multivariabel yangberbentuk

ψ(t) =n∏i=1

ψi(ti), t = (t1, · · · , tn) ∈ Rn

dengan ψi adalah wavelet Haar satu variabel, serta wavelet Topi Meksiko multi-variabel yang berbentuk

ψ(t) =(1− ‖t‖2

)exp(−‖t‖

2

2), t = (t1, · · · , tn) ∈ Rn

(Chui, 1992). Untuk transformasi wavelet kontinu pada ruang Lp(Rn), yaitu trans-formasi wavelet pada persamaan (2.2) dengan mensubstitusi f ∈ L2(Rn) denganf ∈ Lp(Rn) dengan dilasi skalar a > 0, dapat dilihat dalam (Pathak, 2009). Selan-jutnya Pathak memperkenalkan transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasivektor pada ruang Lp(Rn).

Definisi 2.1.3. (Pathak, 2009) Diberikan ψ ∈ L2(Rn) adalah suatu wavelet. Trans-

formasi wavelet kontinu dari fungsi f ∈ Lp(Rn) adalah fungsi Wψf dengan

Wψf(a, b) :=1

(a1a2 · · · an)ρ

∫Rnf(t)ψ

(t1 − b1a1

, · · · , tn − bnan

)dt (2.3)

dengan a = (a1, a2, · · · , an) ∈ Rn+, b = (b1, b2, · · · , bn) ∈ Rn, dan ρ > 0 tetap.

Transformasi wavelet dari fungsi f ∈ Lp(Rn) pada persamaan (2.3) dapat jugaditulis ulang sebagai berikut

Wψf(a, b) :=1

(∏n

i=1 ai)ρ

∫Rnf(t)ψ

((ti − biai

)ni=1

)dt, a ∈ Rn

+, b ∈ Rn

untuk pangkat ρ > 0 tetap.Sebagai contoh perhitungan ambil kasus di R2 untuk pangkat ρ = 1. Diberikan

f ∈ L2(R2) dengan

f (t) =

{1t1t2

untuk 1 ≤ t1 <∞, 1 ≤ t2 <∞0 untuk yang lain

t = (t1, t2) ∈ Rn

11

akan dihitung transformasi waveletnya menggunakan wavelet Haar dua variabel

ψ(t) = ψ1(t1) ψ2(t2), t = (t1, t2) ∈ R2

dengan ψi adalah wavelet Haar satu variabel

ψi(ti) =

1 untuk 0 ≤ ti <

12,

−1 untuk 12≤ ti < 1

0 untuk yang lain

Untuk i = 1, 2 jelas bahwa

ψi

(ti − biai

)=

1 untuk bi ≤ ti <

12ai + bi,

−1 untuk 12ai + bi ≤ ti < ai + bi

0 untuk yang lain

dan f(t) dapat ditulisf(t) = f1(t1)f2(t2)

dengan

fi (t) =

{1ti

untuk 1 ≤ ti <∞0 untuk yang lain

ti ∈ R

Selanjutnya perhitungan transformasi wavelet dengan dilasi vektor dari fungsi fadalah

Wf (a, b) =1

a1a2

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(t) ψ1

(t1 − b1a1

)ψ2

(t2 − b2a2

)dt1dt2

dengan menggunakan teorema Fubini maka perhitungannya dapat dilakukan secarabertahap untuk masing-masing i = 1, 2.• Untuk ai + bi ≤ 1

1

ai

∫ ∞−∞

ψi

(ti − biai

)fi(ti) dti =

1

ai

(∫ ai+bi

−∞ψi

(ti − biai

)· 0 dti

+

∫ 1

ai+bi

ψi

(ti − biai

)fi(ti) dti +

∫ ∞1

0 · 1

tidti

)= 0

12

• Untuk 12ai + bi ≤ 1 dan ai + bi > 1

1

ai

∫ ∞−∞

ψi

(ti − biai

)fi(ti) dti =

1

ai

(∫ 1

−∞ψi

(ti − biai

)· 0 dti

+

∫ ai+bi

1

(−1)1

tidti +

∫ ∞1

0 · 1

tidti

)=

1

ai[− ln t]ai+bi1

= − 1

ailn(ai + bi)

• Untuk bi ≤ 1 dan 12ai + bi > 1

1

ai

∫ ∞−∞

ψi

(ti − biai

)fi(ti) dti =

1

ai

(∫ 1

−∞0 · 0 dti +

∫ bi

1

ψi

(ti − biai

)fi(ti) dti

+

∫ 12ai+bi

bi

1 · 1

tidti +

∫ ai+bi

12ai+bi

(−1) · 1

tidti

+

∫ ∞ai+bi

0 · 1

tidti

)=

1

ai

([ln t]

12ai+bi

bi+ [− ln t]ai+bi1

2ai+bi

)=

1

ailn

((12ai + bi)

2

ai(ai + bi)

)berikutnya, misalkan untuk i = 1, 2

Wif(ai, bi) =1

ai

∫ ∞−∞

ψi

(ti − biai

)fi(ti) dti

maka

Wif(ai, bi) =

− 1ai

ln(ai + bi) untuk 12ai + bi ≤ 1 dan ai + bi > 1,

1ai

ln(

( 12ai+bi)

2

ai(ai+bi)

)untuk bi ≤ 1 dan 1

2ai + bi > 1

0 untuk yang lain

dengan demikianWf (a, b) = W1f(a1, b1)W2f(a2, b2)

13

atau dapat ditulis

Wf (a, b) =

1a1a2

ln(a1 + b1) ln(a2 + b2) untuk 12a1 + b1 ≤ 1, a1 + b1 > 1,

12a2 + b2 ≤ 1, a2 + b2 > 1

− 1a1a2

ln(a1 + b1) ln(

( 12a2+b2)2

a2(a2+b2)

)untuk 1

2a1 + b1 ≤ 1, a1 + b1 > 1,

b2 ≤ 1, 12a2 + b2 > 1

− 1a1a2

ln(

( 12a1+b1)2

a1(a1+b1)

)ln(a2 + b2) untuk 1

2a2 + b2 ≤ 1, a2 + b2 > 1,

b1 ≤ 1, 12a1 + b1 > 1

1a1a2

ln(

( 12a1+b1)2

a1(a1+b1)

)ln(

( 12a2+b2)2

a2(a2+b2)

)untuk b1 ≤ 1, 1

2a1 + b1 > 1,

b2 ≤ 1, 12a2 + b2 > 1

0 untuk yang lain

Secara intuitif, faktor dilasi vektor a pada wavelet ψ menunjukkan bahwa nilaifungsi wavelet ψ(t − b) pada masing-masing elemen dari variabel vektor t − b

mengalami dilasi dengan nilai yang berbeda, yaitu sebesar 1ai

untuk setiap elemenvektor ti−bi, untuk i = 1, 2, · · · , n. Hal ini berbeda dengan wavelet yang memilikifaktor dilasi bilangan real pada transformasi wavelet pada persamaan (2.2), dengannilai fungsi wavelet ψ(t− b) mengalami dilasi dengan nilai yang sama untuk setiapelemen ti − bi dari variabel vektor t− b.

Dalam (Pathak, 1998) telah ditunjukkan bahwa transformasi wavelet kontinudari fungsi di L2(R) merupakan transformasi linear terbatas dari ruang L2(R) keruang L2(R × R+). Selain itu dalam buku tersebut diperoleh syarat agar trans-formasi wavelet pada ruang Lp(R) dengan dilasi vektor mempunyai invers, dengansyaratnya adalah ψ ∈ Lp(Rn), dan rumus inversnya berbentuk

f(t) = (−1)n1

πnAn

∫Rn

∫Rn+Wψf(a, b)aρ−2

1

b− tda db

dengan An =∫Rn+ψ(t)dt. Akan tetapi penelitian untuk mendapatkan syarat konti-

nuitas fungsi hasil transformasi dan syarat transformasi wavelet kontinu pada ruangLp(Rn) dengan dilasi vektor sebagai transformasi linear terbatas belum dilakukan.

2.2 Dasar Teori

Pada bagian ini diberikan teori-teori pendukung yang berguna dalam penelitianini, antara lain konsep transformasi linear terbatas, ruang Lp(Rn), ruang L∞p(Rn

+×Rn), ketaksamaan Holder, teorema Kekontinuan Operator Translasi, fungsi kontinu,dan himpunan kompak

14

2.2.1 Transformasi Linear pada L∞p(Rn+ × Rn)

Pada bagian ini diberikan definisi ruang bernorma, transformasi linear terbataspada ruang bernorma, ruang Lp(Rn), dan ruang L∞p(Rn

+ × Rn).

Definisi 2.2.1. (Yunus, 2005) Misalkan V dan W adalah dua ruang vektor atas F.

Transformasi linear dari V ke W adalah pemetaan T : V → W yang memenuhi

(TL1) Untuk setiap x, y ∈ V berlaku T (x+ y) = T (x) + T (y)

(TL2) Untuk setiap c ∈ F dan x ∈ V berlaku T (cx) = cT (x)

Selanjutnya berikut ini diberikan definisi transformasi linear terbatas pada ruangbernorma.

Definisi 2.2.2. (Yunus, 2005) Misalkan V dan W adalah dua ruang bernorma atas

F. Transformasi linear T : V → W dikatakan terbatas jika terdapat bilangan real

M ≥ 0 sedemikian hingga

‖T (x)‖W ≤M‖x‖V , ∀x ∈ V

Karena pembahasan mengenai transformasi linear terbatas pada transformasiwavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor di ruang Lp(Rn) dalam penelitian inimerupakan transformasi linear dari Lp(Rn) ke ruang L∞p(Rn

+×Rn), maka terlebihdahulu diberikan definisi dari ruang Lp(Rn) dan ruang L∞p(Rn

+ × Rn).Diberikan nilai p yang memenuhi 1 ≤ p ≤ ∞, ruang Lp(Rn) didefinisikan

sebagai

Lp(Rn) :=

{f : Rn → C|

∫Rn|f(t)|p dt <∞

}, untuk 1 ≤ p <∞

danLp(Rn) := {f : Rn → C|ess sup |f(t)| <∞} , untuk p =∞

dengan untuk f ∈ Lp(Rn) didefinisikan norma baku pada Lp(Rn) sebagai berikut

‖f‖Lp :=

(∫Rn|f(t)|p dt

)1/p

, untuk 1 ≤ p <∞

dan‖f‖Lp := ess sup |f(t)| <∞, untuk p =∞.

(Jones, 1993) dengan integral yang dimaksud adalah integral Lebesgue pada Rn.Secara umum, ruang Lp(Rn) adalah ruang Banach, tetapi bukan ruang Hilbert sebab

15

tidak didefinisikan Hasil Kali Dalam yang bersesuaian pada Lp(Rn), sedangkanuntuk p = 2, yaitu ruang L2(Rn) adalah ruang Hilbert dengan Hasil Kali Dalam

〈f, g〉L2 :=

∫Rnf(x)g(x)dx, x ∈ Rn

(Jones, 1993). Selanjutnya, diperkenalkan ruang L∞p(Rn+ × Rn) yang merupakan

perumuman untuk kasus multivariabel dari ruang L∞p(R+ × R) dalam (Grossmandan Morlet, 1984), yaitu ruang fungsi yang berbentuk

L∞p(Rn+ × Rn) :=

{f : Rn


(∫Rn|f(a, b)|p db

)1/p

<∞

}

dengan norma


(∫Rn|f(a, b)|p db

)1/p

, f ∈ L∞p(Rn+ × Rn)

Berikut ini diberikan beberapa teorema yang terkait dengan penelitian ini.

Teorema 2.2.1. (Jones, 1993) Diberikan p, q ∈ R dengan 1 ≤ p ≤ ∞ dan q adalah

konjuget eksponen dari p, yaitu

1

p+

1

q= 1.

Misalkan f dan g masing-masing adalah fungsi pada E ⊆ Rn bernilai kompleks.

Jika f ∈ Lp(E) dan g ∈ Lq(E), maka fungsi fg ∈ L1(E), serta berlaku

‖fg‖L1 ≤ ‖f‖Lp‖g‖Lq .

Ketaksamaan di atas dikenal juga dengan Ketaksamaan Holder.

Teorema 2.2.2. (Jones, 1993) Jika f ∈ Lp(Rn) dengan 1 ≤ p <∞, maka berlaku

lim|h|→0

‖f(·+ h)− f‖Lp = 0

dengan |h| = (∑n

i=1 h2i )

1/2.

teorema di atas disebut sebagai teorema Kekontinuan Operator Translasi padaf . Sebagai catatan, nilai p pada definisi ruang Lp(Rn) dan sifat-sifatnya di atasmerupakan bilangan real yang memenuhi 1 ≤ p <∞, sedangkan dalam penelitianini nilai p dibatasi pada bilangan asli.

16

2.2.2 Fungsi Kontinu pada Rn

Tujuan penelitian ini, selain untuk menunjukkan bahwa transformasi waveletdengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn) merupakan transformasi linearterbatas, juga bertujuan untuk memberikan syarat cukup sehingga fungsi hasil trans-formasi wavelet tersebut merupakan fungsi kontinu. Oleh karena itu perlu diberikandefinisi dan sifat-sifat dari fungsi kontinu pada Rn.

Definisi 2.2.3. (Webb, 1991) Diberikan fungsi f : A ⊆ Rn → Rm. Fungsi f

dikatakan kontinu pada titik a ∈ A jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat

δ > 0 sedemikian hingga ‖f(x) − f(a)‖Rm untuk x ∈ A dan ‖x − a‖Rn . Jika f

kontinu pada setiap titik pada A, maka f dikatakan kontinu pada A.

Berdasarkan definisi di atas, fungsi f dikatakan kontinu pada A jika dan hanyajika

‖f(t+ h)− f(t)‖Rm → 0, untuk ‖h‖Rn → 0.

Salah satu contoh fungsi kontinu adalah fungsi konstan dan fungsi linear(Apostol,1996). Beberapa sifat fungsi kontinu antara lain jumlahan, pengurangan, perkalian,pembagian, dan komposisi dua atau lebih fungsi kontinu menghasilkan fungsi yangjuga kontinu.

Teorema 2.2.3. (Webb, 1991) Misalkan fungsi f : A ⊆ Rn → Rm dapat ditulis ke

dalam bentuk (f1, f2, · · · , fn). Fungsi f kontinu pada a ∈ A jika dan hanya jika fikontinu pada a.

teorema di atas menjamin bahwa setiap fungsi kontinu bernilai Rm yangkomponen-komponennya dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi bernilai real,berakibat komponen-komponennya juga merupakan fungsi kontinu, begitu jugasebaliknya. Berikut ini diberikan teorema yang menyatakan hubungan antarahimpunan kompak dengan fungsi kontinu.

Teorema 2.2.4. (Yunus, 2005) Jika X himpunan kompak, maka untuk sebarang

fungsi f : X → X yang kontinu di X mempunyai range f(X) yang juga kompak.

Lebih lanjut, jika f adalah fungsi kontinu bijektif, maka inversnya, yaitu f−1 adalah

fungsi kontinu.

Tumpuan dari fungsi f : A ⊆ Rn → C yang dinotasikan dengan supp(f) adalahclosure suatu himpunan bagian dari domain f sedemikian hingga nilai fungsi f dihimpunan tersebut tidak bernilai nol, dengan kata lain supp(f) adalah himpunanyang berbentuk

supp(f) = {x ∈ A : f(x) 6= 0}

17

Diberikan himpunan C0(Rn), yaitu himpunan semua fungsi kontinu bernilai realyang bertumpuan kompak, yaitu

C0(Rn) = {f : A ⊆ Rn → C : f kontinu, dan supp(f) kompak}

Himpunan C0(Rn) merupakan himpunan bagian dari Lp(Rn) dan bersifat padat diLp(Rn) (closure dari C0(Rn) sama dengan Lp(Rn)) (Jones, 1993).

18

BAB IIIMETODA PENELITIAN

Pada bagian ini diberikan tahapan yang digunakan untuk melakukan penelitianini.

1. Studi Literatur.Pada tahap ini, ditelusuri dan dipelajari literatur tentang dasar teori danreferensi terbaru yang terkait dalam penelitian ini, yaitu pembahasanmengenai transformasi linear pada ruang bernorma, ruang Lp(Rn), trans-formasi wavelet kontinu di ruang L2(R), transformasi wavelet kontinu diruang L2(Rn), dan transformasi wavelet kontinu pada ruang Lp(Rn ) denganfaktor dilasi vektor. Pembahasan ini bertujuan untuk menunjukkan bahwatransformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn)

merupakan transformasi linear pada ruang L∞p(Rn+ × Rn).

2. Menunjukkan bahwa transformasi wavelet kontinu merupakan transformasilinear terbatas.Pada bagian ini diuraikan tahap-tahap yang berupa teorema beserta pembuk-tiannya untuk menunjukkan bahwa transformasi wavelet kontinu denganfaktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn) merupakan transformasi linearterbatas pada ruang L∞p(Rn

+ × Rn).

3. Mendapatkan syarat kekontinuan fungsi hasil transformasi.Pada tahap ini diuraikan syarat kekontinuan fungsi pada Rn

+×Rn dari fungsihasil transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruangLp(Rn).

4. Menulis paper.Pada tahap ini, dilakukan penulisan paper dari hasil penelitian yang telahdidapatkan.

5. Mengikuti seminar nasional.Paper yang telah ditulis selanjutnya dipresentasikan dalam suatu seminarnasional.

19

6. Membuat kesimpulan.Berdasarkan hasil penelitian terhadap transformasi wavelet kontinu denganfaktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn) sebagai transformasi linear terbatasdan syarat kekontinuan fungsi hasil transformasi wavelet kontinu denganfaktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn), maka dibuat suatu kesimpulan yangakan menjawab rumusan masalah yang diberikan sebelumnya.

7. Menulis laporan.Penulisan laporan hasil penelitian dilakukan mulai dari awal pengerjaan.

20

BAB IVHASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini diberikan proses, penjabaran, dan pembuktian untuk membentukteorema yang memaparkan hasil dari penelitian ini, yaitu teorema yang menyatakanbahwa transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn)

merupakan transformasi linear terbatas dari ruangLp(Rn) ke ruangL∞p(Rn+ × Rn),

serta teorema yang memberikan syarat cukup agar fungsi hasil transformasi waveletkontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn) merupakan fungsi kontinupada Rn

+×Rn. Pada pembahasan ini diasumsikan nilai p adalah bilangan asli, akantetapi nilai konjuget dari p, yaitu q, memenuhi 1 ≤ q ≤ ∞. Disamping itu, padapenelitian ini selalu diasumsikan notasi ψ menyatakan fungsi wavelet.

Sebelumnya, untuk mempermudah penulisan, diberikan notasi-notasiberikut. Diberikan ψ adalah wavelet, serta a = (a1, a2, · · · , an) ∈ Rn

+,b = (b1, b2, · · · , bn) ∈ Rn, didefinisikan fungsi ψa,b, ψa, sebagai berikut

ψa,b(t) :=1

(∏n

i=1 ai)ρ ψ

((ti − biai

)ni=1

)ψa, (t) :=

1

(∏n

i=1 ai)ρ ψ

((tiai

)ni=1

)

untuk setiap t = (t1, t2, ·, tn) ∈ Rn dan ρ > 0 adalah tetap. Dengan demikiantransformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn) yangbersesuaian dengan wavelet ψ dapat ditulis

Wψf(a, b) =1

(∏n

i=1 ai)ρ

∫Rnf(t)ψ

((ti − biai

)ni=1

)dt

=

∫Rnf(t)ψa,b(t)dt

=

∫Rnf(t)ψa, (t− b)dt

Jelas bahwa notasi-notasi di atas ekivalen, akan tetapi penggunaanya disesuaikandengan penulisan agar penjabaran dan pembuktian pada lemma-lemma danteorema-teorema pada bab ini agar menjadi lebih sederhana. Dengan mudah dapat

21

diketahui bahwa fungsi wavelet ψ, disamping berada di L2(Rn) juga berada diL1(Rn), hal ini disebabkan sifat

∫Rn ψ(t) = 0 yang berakibat |ψ| terintegral.

Disamping itu fungsi ψa,b juga merupakan elemen di L1(Rn), untuk menun-jukkan hal ini, pandang zi = ti−bi

aiuntuk i = 1, 2 · · · , n, karena ψ ∈ L1(Rn), maka

dengan teknik integral substitusi didapat∫Rn|ψa,b(t)| dt =

1

(∏n

i=1 ai)ρ

∫Rn

∣∣∣∣ψ((ti − biai

)ni=1

)∣∣∣∣ dt=

1

(a1a2 · · · an)ρ

∫Rn

∣∣∣∣ψ(t1 − b1a1, · · · , tn − bn

an

)∣∣∣∣ dt1 · · · dtn=

1

aρ1aρ2 · · · a

ρn

∫Rn

∣∣∣∣ψ(t1 − b1a1, · · · , tn − bn

an

)∣∣∣∣ dt1 · · · dtn=

1

aρn

∫R· · · 1

aρ1

∫R

∣∣∣∣ψ(t1 − b1a1, · · · , tn − bn

an

)∣∣∣∣ dt1 · · · dtn=anaρn

∫R· · · a1

aρ1

∫R|ψ (z1, · · · , zn)| dz1 · · · dzn

=1

aρ−1n

∫R· · · 1

aρ−11

∫R|ψ (z1, · · · , zn)| dz1 · · · dzn

=1

(∏n

i=1 ai)ρ−1

∫Rn|ψ(z)| dz

<∞

ini berarti ψa,b merupakan elemen di L1(Rn), hal ini juga berarti ψa, (· − b) elemendi L1(Rn), sebab ψa,b = ψa, (· − b).

Suatu transformasi akan bermakna jika memiliki nilai berhingga, oleh karenadalam hal ini perlu ditunjukkan bahwa fungsi hasil transformasi wavelet kontinudengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn), yaitu Wψf(a, b) memiliki nilaiberhingga. Dari kenyataan f ∈ Lp(Rn) dan ψa,b ∈ L1(Rn), maka fungsi

∣∣fψa,b∣∣merupakan fungsi terukur dan memiliki nilai berhingga. Berikutnya akan ditun-jukkan nilai integral dari

∣∣fψa,b∣∣ adalah berhingga. Untuk menunjukkan hal ini,pandang dua kasus, yaitu untuk |f(t)| < 1 dan |f(t)| ≥ 1, ∀t ∈ Rn. Untuk|f(t)| < 1, ∀t ∈ Rn, maka diperoleh∣∣∣f(t)ψa,b(t)

∣∣∣ < ∣∣∣ψa,b(t)∣∣∣ , ∀ t ∈ Rn,

22

akibatnya dari sifat integral didapat∫Rn

∣∣∣f(t)ψa,b(t)∣∣∣ dt ≤ ∫

Rn

∣∣∣ψa,b(t)∣∣∣ dt<∞

Sedangkan untuk |f(t)| ≥ 1, ∀t ∈ Rn. Dari p ∈ N, maka berlaku

|f(t)| ≤ |f(t)|p , ∀ t ∈ Rn

dilain pihak f ∈ Lp(Rn), yang berarti∫Rn |f(t)|p dt <∞, akibatnya dari sifat

integral didapat ∫Rn|f(t)| dt ≤

∫Rn|f(t)|p dt <∞.

maka ∫Rn|f(t)| dt <∞.

Disisi lain, karena∫Rn

∣∣∣ψa,b(t)∣∣∣ dt < ∞, maka ψa,b terbatas, dengan kata lainterdapat konstanta real positif K sedemikian hingga∣∣∣ψa,b(t)∣∣∣ < K, ∀ t ∈ Rn,

hal ini berakibat ∣∣∣f(t)ψa,b(t)∣∣∣ < K |f(t)| .

Dengan demikian, dari sifat integral diperoleh∫Rn

∣∣∣f(t)ψa,b(t)∣∣∣ dt < K

∫Rn|f(t)| dt

<∞

Jadi, diperoleh

Wψf(a, b) =

∫Rnf(t)ψa,b(t)dt

≤∫Rn

∣∣∣f(t)ψa,b(t)∣∣∣ dt

<∞, ∀ a ∈ Rn+, b ∈ Rn

23

Ini artinya, nilai fungsi hasil transformasi wavelet kontinu dari fungsif ∈ Lp(Rn) dengan faktor dilasi vektor, yaitu Wψf(a, b) adalah berhingga, untuksetiap a ∈ Rn

+, b ∈ Rn.

4.1 Transformasi Wavelet Kontinu pada Ruang Lp(Rn) dengan Dilasi Vektorsebagai Transformasi Linear Terbatas

Telah dijelaskan sebelumnya pada bab 2 bahwa transformasi linear merupakanpemetaan atau fungsi dari suatu ruang vektor ke ruang vektor yang lain yangmemenuhi sifat linearitas (additif dan homogen). Pada subbab ini akan ditunjukkanbahwa transformasi wavelet dengan dilasi vektor dari fungsi f ∈ Lp(Rn), yaituWψf merupakan transformasi linier terbatas, khususnya dengan domain Lp(Rn)

serta kodomain L∞p(Rn+ × Rn), dengan L∞p(Rn

+ × Rn) merupakan ruang fungsiyang berbentuk

L∞p(Rn+ × Rn) :=

{f : Rn


(∫Rn|f(a, b)|p db

)1/p

<∞

}

dengan norma


(∫Rn|f(a, b)|p db

)1/p

, f ∈ L∞p(Rn+ × Rn)

Sebelumnya, untuk menunjukkan suatu relasi merupakan transformasi linearterbatas atau tidak, terlebih dahulu perlu ditunjukkan bahwa relasi tersebutmerupakan pemetaan yang bersifat linear(additif dan homogen). Oleh karena itu,terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa transformasi wavelet dengan dilasi vektorWψf merupakan transformasi yang linier, yaitu bersifat additif dan homogen. Akantetapi sebelum itu, akan ditunjukkan bahwa transformasi wavelet Wψf merupakanwell-define. Ambil sebarang f1, f2 ∈ Lp(Rn), dengan f1(t) = f2(t), ∀t ∈ Rn,maka

Wψf1(a, b) =

∫Rnf1(t)ψa,b(t)dt

=


= Wψf2(a, b), a ∈ Rn+, b ∈ Rn

Jadi, transformasi wavelet Wψf adalah well defineSelanjutnya akan ditunjukkan Wψf memenuhi sifat additif dan homogen.

Ambil sebarang f1, f2 ∈ Lp(Rn) dan c ∈ R, maka dari sifat intgeral, untuk

24

a ∈ Rn+, b ∈ Rn berlaku

Wψ(f1 + f2)(t) =

∫Rn

(f1 + f2)(t)ψa,b(t)dt

=

∫Rn

(f1(t) + f2(t))ψa,b(t)dt

=

∫Rnf1(t)ψa,b(t) + f2(t)ψa,b(t)dt

=

∫Rnf1(t)ψa,b(t)dt+


= Wψf1(a, b) +Wψf2(a, b)

Ini berarti Wψf bersifat additif. Berikutnya dari sifat integral, juga diperoleh

Wψ(cf1)(t) =

∫Rn

(cf1)(t)ψa,b(t)dt

=

∫Rncf1(t)ψa,b(t)dt

= c


= cWψf1(a, b)

Ini artinya Wψf bersifat homogen. Jadi transformasi wavelet kontinu dengan dilasivektor dari fungsi di Lp(Rn) merupakan transformasi linear dari ruang Lp(Rn) keruang L∞p(Rn

+ × Rn).

Berdasarkan definisi transformasi linear terbatas yang dijelaskan di bab 2,untuk menunjukkan transformasi linear T : Lp(Rn)→ L∞p(Rn

+ × Rn) merupakansuatu transformasi linear terbatas, harus didapatkan suatu konstanta real positif Msedemikian hingga

‖T (f)‖L∞p ≤M ‖f‖Lp

Dalam hal ini, nilai M tidak bergantung pada f .

Nilai konstanta M pada ketaksamaan dalam definisi transformasi linier terbatasdi atas menunjukkan bahwa norma fungsi hasil transformasi di domain trans-formasi tidak mungkin melebihi penggandaan norma fungsi asal di domain asalfungsi. Dalam bidang terapan, dapat dikatakan bahwa sinyal hasil transformasitidak mungkin sama dengan sinyal asal, melainkan menghampiri sinyal asal.

Dilain pihak fungsi hasil transformai wavelet kontinu dengan dilasi vektor darifungsi f ∈ Lp(Rn) merupakan elemen di ruang Lp(Rn). Untuk keperluan ini,misalkan yi = ti − bi, i = 1, 2, · · · , n, maka dengan teknik integrasi substitusi,

25

didapat∫Rnψa, (t− b)dt =

∫R· · ·∫Rψa, (t1 − b1, · · · , tn − bn)dt1 · · · dtn

=

∫R· · ·∫Rψa, (y1, · · · , yn)dy1 · · · dyn

= (−1)n∫R· · ·∫Rψa, (t1 − b1, · · · , tn − bn)db1 · · · dbn

=

∫Rnψa, (y)dy

= (−1)n∫Rnψa, (t− b)db

hal ini juga berarti ∫Rnψa, (t− b)db = (−1)n

∫Rnψa, (t− b)dt (4.1)

Selanjutnya, diberikan f ∈ Lp(Rn), maka∫Rn

∫Rnf(t)ψa, (t− b)db dt =

∫Rnf(t)

(∫Rnψa, (t− b)db

)dt

=

∫Rnf(t)

((−1)n

∫Rnψa, (t− b)db

)dt

=

∫Rnf(t) · 0 dt

= 0

<∞

akibatnya dari teorema Fubini, diperoleh∫RnWψf(a, b)db =

∫Rn

∫Rnf(t)ψa, (t− b)dt db

=

∫Rn

∫Rnf(t)ψa, (t− b)db dt

<∞

dengan demikian diperoleh ∫Rn|Wψf(a, b)| db <∞

Hal ini berakibat, |Wψf(a, ·)| terbatas, dengan kata lain terdapat konstanta real

26

positif A sehingga |Wψf(a, b)| < A, ∀ b ∈ Rn dengan a ∈ Rn+ tetap. Oleh

karena itu ∫Rn|Wψf(a, b)|p db < Ap−1

∫Rn|Wψf(a, b)| db

<∞, ∀a ∈ Rn+ (4.2)

Ini artinya Wψf(a, ·) ∈ Lp(Rn).

Secara intuitif dapat dikatakan bahwa transformasi wavelet dengan dilasi vektorWψf merupakan elemen di Lp(Rn) terhadap faktor translasinya, sebab pada (4.2)terlihat bahwa faktor translasi bmengalami integral, sedangkan faktor dilasi a hanyabertindak sebagai konstanta.

Dengan mengunakan kenyataan bahwa Wψf(a, ·) merupakan elemen diLp(Rn), maka dapat diperoleh beberapa sifat dari transformasi wavelet kontinupada ruang Lp(Rn) dengan dilasi vektor, yaituWψf , yang dinyatakan dalam lemmaberikut

Lemma 4.1.1. Diberkan f ∈ Lp(Rn), a ∈ Rn+ dan Wψf adalah transformasi

wavelet dari f . Misalkan q adalah konjuget eksponen dari p, maka

(a) Fungsi f(t)ψa, (t− ·) elemen Lp(Rn).

(b) Fungsi (Wψf(a, ·))p−1 elemen Lq(Rn).

(c) Fungsi∥∥∥f(t)ψa, (t− ·)

∥∥∥Lp

terintegral pada Rn.

Bukti. (a) Dari∫Rn

∣∣∣ψa, (t− b)∣∣∣ dt <∞, maka

∫Rn

∣∣∣ψa, (t− b)∣∣∣ db <∞, akibatnya

terdapat konstanta real positif C sedemikian hingga∣∣∣ψa, (t− b)

∣∣∣ < C, ∀b ∈ Rn

hal ini berakibat ∣∣∣ψa, (t− b)∣∣∣p < Cp−1

∣∣∣ψa, (t− b)∣∣∣

maka dari sifat integral diperoleh∫Rn

∣∣∣ψa, (t− b)∣∣∣p db < Cp−1

∫Rn

∣∣∣ψa, (t− b)∣∣∣ db

<∞

27

oleh karena itu∫Rn

∣∣∣f(t)ψa, (t− b)∣∣∣p db = |f(t)|p

∫Rn

∣∣∣ψa, (t− b)∣∣∣p db

<∞

Jadi f(t)ψa, (t− ·) elemen Lp(Rn).(b) Karena q konjuget eksponen dari p,maka (p − 1)q = p, akibatnya berdasarkan(4.2) diperoleh∫

Rn

∣∣|Wψf(a, b)|p−1∣∣q db =

∫Rn

(|Wψf(a, b)|p−1

)qdb

=

∫Rn|Wψf(a, b)|p db

<∞

Ini berarti (Wψf(a, ·))p−1 elemen Lq(Rn)

(c) Dari f ∈ Lp(Rn) maka |f | terintegral, dengan demikian dari (4.1) didapat

∫Rn

∥∥∥f(t)ψa, (t− ·)∥∥∥Lpdt =

∫Rn

(∫Rn

∣∣∣f(t)ψa, (t− b)∣∣∣p db)1/p

dt

=

∫Rn|f(t)|

(∫Rn

∣∣∣ψa, (t− b)∣∣∣p db)1/p

dt

=

∫Rn|f(t)|

((−1)n

∫Rn

∣∣∣ψa, (t− b)∣∣∣p dt)1/p

dt

<∞

Lemma 4.1.1 di atas merupakan sifat khusus dari transformasi wavelet dengandilasi vektor Wψf . Terlihat bahwa faktor translasi b merupakan variabel yangdikenai operator integral pada sifat-sifat pada Lemma 4.1.1 di atas, sedangkan faktortranslasi a hanya bertindak sebagai konstanta.

Lemma 4.1.1 dan (4.2) di atas menunjukkan keterkaitan antara fugnsi hasiltransformasi wavelet kontinu dengan dilasi vektor, yaitu Wψf dengan ruang darifungsi asalnya, yaitu ruang Lp(Rn). Pada (4.2) menunjukkan bahwa fungsi hasiltransformasi wavelet dengan dilasi vektor Wψf berada di ruang Lp(Rn), sedangkanpada Lemma 4.1.1 a) menyatakan bahwa hasil kali fungsi dengan waveletnya ygtelah mengalami translasi dan dilasi sebelum konvolusi atau integral juga berada

28

dalam ruang Lp(Rn). Untuk Lemma 4.1.1 b) menunjukkan keterkaitan antarafungsi hasil transformasi wavelet dengan dilasi vektor Wψf dengan ruang fungsikonjuget dari fungsi asal, yaitu ruang Lq(Rn), dengan fungsi hasil transformasiWψf berada dalam ruang Lq(Rn) jika fungsi hasil transformasi Wψf dipangkatkansebesar p − 1. Sedangkan Lemma 4.1.1 c) dapat dikatakan sebagai kelanjutandari Lemma 4.1.1 a), jika dalam Lemma 4.1.1 a) ditunjukkan bahwa perkalianfungsi dengan wavelet berada dalam Lp(Rn), maka dalam lema 4.1.1 c) ditunjukkanbahwa norma dalam Lp(Rn) dari perkalian fungsi dengan waveletnya berada dalamLp(Rn) atau terintegral.

Berdasarkan Lemma 4.1.1 di atas, dapat dibentuk suatu lemma lain yangmemberikan suatu ketaksamaan pada transformasi wavelet kontinu dari fungsif ∈ Lp(Rn) dengan dilasi vektor yang nantinya berguna untuk membuktikan bahwatransformasi wavelet kontinu pada ruang Lp(Rn) dengan dilasi vektor merupakantransformasi linear terbatas dari ruang Lp(Rn) ke ruang L∞p(Rn

+ × Rn).

Lemma 4.1.2. Diberikan f ∈ Lp(Rn), ψ wavelet, a ∈ Rn+ dan Wψf adalah trans-

formasi wavelet dari f . Misalkan q adalah konjuget eksponen dari p, maka∥∥∥∥∫RnWψf(a, ·)

∥∥∥∥Lp≤∫Rn

∥∥∥f(t)ψa, (t− ·)∥∥∥Lpdt

Bukti. Diberikan p ∈ N dan q adalah konjuget eksponen dari p dengan 1 ≤ q ≤ ∞,ini artinya

1

p+

1

q= 1

makap

q= p− 1,

selanjutnya dengan menggunakan ketaksamaan Holder yang berlaku padaLemma 4.1.1 (a) dan (b) serta dari teorema Fubini, maka diperoleh

‖Wψf(a, ·)‖pLp =

∥∥∥∥∥ 1

(∏n

i=1 ai)ρ

∫Rnf(t)ψ

((ti − biai

)ni=1

)dt

∥∥∥∥∥p

Lp

=

∥∥∥∥∫Rnf(t)ψa,−(t− ·)dt

∥∥∥∥pLp

29

maka diperoleh

‖Wψf(a, ·)‖pLp =

(∫Rn

∣∣∣∣∫Rnf(t)ψa,−(t− b)dt

∣∣∣∣p db)1

p

p

=

∫Rn


∣∣∣∣p db=

∫Rn


∣∣∣∣p−1 ∣∣∣∣∫Rnf(t)ψa,−(t− b)dt

∣∣∣∣ db

≤∫Rn


∣∣∣∣p−1 ∫Rn|f(t)ψa,−(t− b)|dt db

=

∫Rn

(∫Rn


∣∣∣∣p−1 |f(t)ψa,−(t− b)|dt

)db

=

∫Rn

(∫Rn


∣∣∣∣p−1 |f(t)ψa,−(t− b)|db

)dt

(teorema Fubini)

=

∫Rn

(∫Rn|f(t)ψa,−(t− b)| db


∣∣∣∣p−1)dt

≤∫Rn

∥∥∥f(t)ψa,−(t− ·)∥∥∥Lp

∥∥∥∥∥(∫

Rnf(t)ψa,−(t− ·)dt

)p−1∥∥∥∥∥Lq

dt

(Ketaksamaan Holder)

=

∥∥∥∥∥(∫


)p−1∥∥∥∥∥Lq

∫Rn

∥∥∥f(t)ψa,−(t− ·)∥∥∥Lpdt

(4.3)

ruas kanan ketaksamaan (4.3) di atas adalah berhingga sebab dari Lemma 4.1.1 (b)

nilai∥∥∥∥(∫Rn f(t)ψa,−(t− ·)dt

)p−1∥∥∥∥Lq

adalah berhingga dan dari Lemma 4.1.1 (c)

nilai∫Rn

∥∥∥f(t)ψa,−(t− ·)∥∥∥Lpdt juga berhingga. Berikutnya asumsikan

nilai dari∥∥∥∥(∫Rn f(t)ψa,−(t− ·)dt

)p−1∥∥∥∥Lq6= 0, lalu bagi kedua ruas dengan∥∥∥∥(∫Rn f(t)ψa,−(t− ·)dt

)p−1∥∥∥∥Lq

maka ruas kanan ketaksamaan (4.3) di atas

menjadi ∫Rn

∥∥∥f(t)ψa,−(t− ·)∥∥∥Lpdt

30

sedangkan ruas kiri ketaksamaan (4.3) menjadi

‖Wψf(a, ·)‖pLp

∥∥∥∥∥(∫


)p−1∥∥∥∥∥−1

Lq

=

∥∥∥∥∫Rnf(t)ψa,−(t− ·)dt

∥∥∥∥pLp

∥∥∥∥∥(∫


)p−1∥∥∥∥∥−1

Lq

=

∫Rn


∣∣∣∣p db(∫

Rn


∣∣∣∣(p−1)q db)− 1

q

=

(∫Rn


∣∣∣∣p db)(∫Rn


∣∣∣∣p db)− 1q

=(∫Rn


∣∣∣∣p db)1− 1q

=(∫Rn


∣∣∣∣p db) 1p

=∥∥∥∥∫Rnf(t)ψa,−(t− b)dt

∥∥∥∥Lp

=∥∥∥∥∫RnWψf(a, ·)

∥∥∥∥Lp

akibatnya ketaksamaan (4.3) menjadi

‖Wψf(a, ·)‖Lp ≤∫Rn

∥∥∥f(t)ψa,−(t− ·)∥∥∥Lpdt

Dengan menggunakan sifat ketaksamaan pada Lemma 4.1.2 di atas dapatdibentuk teorema yang menyatakan bahwa transformasi kontinu pada ruang Lp(Rn)

dengan dilasi vektor merupakan transformasi linear terbatas, dengan kata lain,dibentuk teorema yang menunjukkan terdapat konstanta real positif M sedemikianhingga transformasi linear terbatas T : Lp(Rn)→ L∞p(Rn

+ × Rn) memenuhi

‖T (f)‖L∞p ≤M ‖f‖Lp

Teorema 4.1.1. Transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor dari

fungsi f ∈ Lp(Rn) untuk ρ = 1 merupakan transformasi linear terbatas dari ruang

Lp(Rn) ke ruang L∞p(Rn+ × Rn) dengan memenuhi

‖Wψf(a, ·)‖L∞p ≤ ‖ψ‖L1 ‖f‖Lp .

31

Bukti. Diberikan a = (ai)ni=1 ∈ Rn

+, t = (ti)ni=1, b = (bi)

ni=1 ∈ Rn, dan

ρ > 0, selanjutnya, misalkan ti−biai

= zi, maka ti = ziai + bi, dengan teknik integralsubstitusi diperoleh

∫R

(∫R

∣∣∣∣∣ 1

aρif(t1, · · · , tn)ψ

(t1 − b1a1

, · · · , tn − bnan

)∣∣∣∣∣p

dbi

)1/p

dti =

aiaρi

∫R

(∫R

∣∣∣f(z1a1 + b1, · · · , znan + bn)ψ (z1, · · · , zn)∣∣∣p dbi)1/p

dzi =

1

aρ−1i

∫R

∣∣∣ψ (z1, · · · , zn)∣∣∣ (∫

R|f(z1a1 + b1, · · · , znan + bn)|p dbi

)1/p

dzi

akibatnya, dengan menerapkan teorema Fubini, didapat∫Rn

∥∥∥f(t)ψa, (t− ·)∥∥∥Lpdt =

∫Rn

(∫Rn

∣∣∣∣∣ 1

(∏n

i=1 ai)ρf(t)ψ

((ti − biai

)ni=1

)∣∣∣∣∣p

db

)1/p

dt =

∫Rn

(∫Rn

∣∣∣∣∣ 1∏ni=1 a

ρi

f(t1, · · · , tn)ψ

(t1 − b1a1

, · · · , tn − bnan

)∣∣∣∣∣p

db

)1/p

dt =∏ni=1 ai∏ni=1 a

ρi

∫Rn

∣∣∣ψ (z1, · · · , zn)∣∣∣ (∫

Rn|f(z1a1 + b1, · · · , znan + bn)|p db

)1/p

dz =

1∏ni=1 a

ρ−1i

∫Rn

∣∣∣ψ (z1, · · · , zn)∣∣∣ dz(∫

Rn|f(z1a1 + b1, · · · , znan + bn)|p db

)1/p

=

1∏ni=1 a

ρ−1i

∫Rn

∣∣∣ψ (z)∣∣∣ dz(∫

Rn

∣∣∣∣∣f(

n∑i=1

ziai + bi

)∣∣∣∣∣p

db

)1/p

=

1

(∏n

i=1 ai)ρ−1 ‖ψ‖L1 ‖f‖Lp

dengan demikian, dari Lemma 4.1.2 diperoleh∥∥∥∥∫RnWψf(a, ·)

∥∥∥∥Lp≤∫Rn

∥∥∥f(t)ψa, (t− ·)∥∥∥Lpdt

=1

(∏n

i=1 ai)ρ−1 ‖ψ‖L1 ‖f‖Lp

maka untuk ρ = 1 berlaku∥∥∥∥∫RnWψf(a, ·)

∥∥∥∥Lp≤ ‖ψ‖L1 ‖f‖Lp

32

dengan demikian

supa∈Rn+

∥∥∥∥∫RnWψf(a, ·)

∥∥∥∥Lp≤ ‖ψ‖L1 ‖f‖Lp .

Jadi‖Wψf(·, ·)‖L∞p ≤ ‖ψ‖L1 ‖f‖Lp .

karenaT (f) = Wψf(a, ·)

maka didapat‖T (f)‖L∞p ≤ ‖ψ‖L1 ‖f‖Lp .

Ini artinya transformasi wavelet kontinu Wψf dengan faktor dilasi vektormerupakan transformasi linear terbatas dari ruang Lp(Rn) ke ruang L∞p(Rn

+×Rn),sebab terdapat konstanta M > 0 dengan M = ‖ψ‖L1 sedemikian hingga

‖T (f)‖L∞p ≤M ‖f‖Lp .

Teorema di atas menyatakan bahwa transformasi wavelet kontinu dengan faktordilasi vektor pada ruang Lp(Rn) merupakan transformasi linear terbatas dari ruangLp(Rn) ke ruang L∞p(Rn

+ × Rn). Ini secara tidak langsung telah membuktikanasumsi sebelumnya bahwa fungsi hasil transformasi wavelet kontinu dengan dilasivektor dari fungsi f ∈ Lp(Rn), yaitu Wψf merupakan elemen di ruang L∞p(Rn

+ ×Rn). Hal ini merupakan perumuman dari hasil yang diperoleh Grossman yangmenyatakan bahwa transformasi wavelet satu variabel dari fungsi f ∈ Lp(R)

merupakan transformasi linier terbatas dari ruang Lp(R) ke ruang L∞(R)×Lp(R).

4.2 Kontinuitas Fungsi Hasil Transformasi Wavelet Wψf

Pada bagian ini diberikan syarat agar fungsi hasil transformasi wavelet padaruang Lp(Rn) dengan dilasi vektor merupakan fungsi kontinu pada Rn

+ × Rn, akantetapi terlebih dahulu perlu diberikan lemma-lemma yang berguna untuk membantupembentukan teorema beserta pembuktiannya sebagai berikut.

33

Lemma 4.2.1. Jika ψ ∈ C0(Rn) maka ψa,b ∈ C0(Rn) untuk a ∈ Rn+ dan b ∈ Rn.

Bukti. Diberikan ψ ∈ C0(Rn), ini berarti ψ kontinu dan bertumpuan kompak padaRn. Terlebih dahulu akan ditunjukkan ψa,b kontinu. Jelas bahwa ψa,b : Rn → Rn

dan berbentuk

ψa,b(t) =1

(∏n

i=1 ai)ρψ

((ti − biai

)ni=1

), ∀t = (t1, · · · , tn) ∈ Rn

dengan a = (a1, · · · , an) ∈ Rn+, b = (b1, · · · , bn) ∈ Rn dan ρ > 0 adalah tetap.

Selanjutnya, untuk i = 1, 2, ..., n, didefinisikan fungsi ri : R→ R dengan

ri(ti) =ti − biai

, ∀ti ∈ R

dengan ai ∈ R+, bi ∈ R adalah konstanta. Jelas ri adalah fungsi kontinu padaR untuk setiap i = 1, 2, ..., n, sebab ri fungsi linier. Dilain pihak pandang fungsir : Rn → Rn yang didefinisikan dengan

r(t) = (r1(t1), r2(t2), · · · , rn(tn))

=

(t1 − b1a1

,t2 − b2a2

, ...,tn − bnan

), ∀t ∈ Rn (4.4)

Karena ri kontinu pada R untuk setiap i = 1, 2, ..., n, maka r kontinu pada Rn.Berikutnya, pandang fungsi komposisi ψ ◦ r yang berbentuk

(ψ ◦ r)(t) = ψ(r(t))

= ψ

(t1 − b1a1

,t2 − b2a2

, ...,tn − bnan

)= ψ

((ti − biai

)ni=1

), ∀t ∈ Rn (4.5)

karena wavelet ψ kontinu pada Rn dan r kontinu pada Rn, maka dari sifat fungsikomposisi, diperoleh ψ ◦ r kontinu pada Rn. Sementara itu, dari persamaan (4.4)dan (4.5) diperloeh

ψa,b(t) =1

(∏n

i=1 ai)ρ (ψ ◦ r)(t), ∀t ∈ Rn

ini berarti ψa,b = 1

(∏ni=1 ai)

ρψ ◦ r. Dengan demikian, ψa,b kontinu pada Rn.

Berikutnya akan ditunjukkan ψa,b bertumpuan kompak. Diberikan himpunan

34

A ⊆ Rn+ sedemikian hingga untuk setiap t = (t1, t2, · · · , tn) ∈ A berlaku

ψa,b(t) =1

(∏n

i=1 ai)ρψ

((ti − biai

)ni=1

)6= 0.

Ini berarti tumpuan dari ψa,b adalah A. Telah diketahui ψa,b = 1

(∏ni=1 ai)

ρψ ◦ r.Misalkan dalam hal ini domain dari fungsi r dibatasi hanya pada A ⊆ Rn

+. Karenaψ bertumpuan kompak, maka dari definisi fungsi 1

(∏ni=1 ai)

ρψ ◦ r di atas, didapat

range dari r yaitu r(A) adalah himpunan kompak. Di lain pihak jelas bahwaa radalah fungsi injektif (sebab r fungsi linier), maka r mempunyai invers, dengandemikian, dari sifat himpunan kompak, diperoleh r−1(A) = A adalah kompak. Iniartinya tumpuan dari 1

(∏ni=1 ai)

ρψ ◦ r, yaitu A adalah kompak. Mengingat bahwa

ψa,b = 1

(∏ni=1 ai)

ρψ ◦ r, maka tumpuan dari ψa,b adalah kompak.

Jadi ψa,b kontinu dan bertumpuan kompak pada Rn, dengan kata lainψa,b ∈ C0(Rn).

Lemma 4.2.1 di atas menunjukkan bahwa kekontinuan dan tumpuan kompakdari fungsi wavelet berakibat kekontinuan dan tumpuan kompak pada fungsiwavelet setelah mengalami translasi dan dilasi. Dengan kata lain, translasi dandilasi pada wavelet tidak merubah kekontinuan dan tumpuan kompak dari wavelettersebut, jika wavelet tersebut kontinu dan bertumpuan kompak.

Selanjutnya, teorema di bawah ini menyatakan bahwa transformasi waveletkontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn) yaitu Wψf , bersifat kontinuterhadap faktor translasinya jika wavelet yang bersesuaian merupakan fungsikontinu bertumpuan kompak. Kekontinuan yang dimaksud adalah kekontinuan atasnorma Lp(Rn) dan pada domain fungsinya, yaitu Rn.

Lemma 4.2.2. Jika wavelet ψ ∈ C0(Rn), hb = (hb1 , · · · , hbn) ∈ Rn maka

lim|hb|→0

∥∥∥∥∥ 1

(∏n

i=1 ai)ρψ

((· − (bi + hbi)

ai

)ni=1

)− 1

(∏n

i=1 ai)ρψ

((· − biai

)ni=1

)∥∥∥∥∥Lq

= 0

untuk 1 ≤ q ≤ ∞, dengan a = (a1, ..., an) ∈ Rn+, b = (b1, ..., bn) ∈ Rn dan ρ > 0

adalah tetap.

35

Bukti. Jelas bahwa

1

(∏n

i=1 ai)ρψ

((ti − (bi + hbi)

ai

)ni=1

)=

1

(∏n

i=1 ai)ρψ

((ti + (−hbi)− bi

ai

)ni=1

)Diberikan ψ ∈ C0(Rn), maka dari Lemma 4.2.1, ψa,b ∈ C0(Rn). SedangkanC0(Rn) padat di Lq(Rn), sehingga C0(Rn) ⊆ Lq(Rn), akibatnya ψa,b ∈ Lq(Rn)

maka dari definisi fungsi ψa,b dan dari teorema kekontinuan operator translasiberlaku

lim|hb|→0

∥∥∥∥∥ 1

(∏n

i=1 ai)ρψ

((· − (bi + hbi)

ai

)ni=1

)− 1

(∏n

i=1 ai)ρψ

((· − biai

)ni=1

)∥∥∥∥∥Lq

= 0

untuk 1 ≤ q <∞. Disisi lain, karena ψ kontinu, maka

lim|hb|→0

∣∣∣∣∣ 1

(∏n

i=1 ai)ρψ

((ti − (bi + hbi)

ai

)ni=1

)− 1

(∏n

i=1 ai)ρψ

((ti − biai

)ni=1

)∣∣∣∣∣Lq

= 0

sehingga diperoleh

lim|hb|→0

supt∈Rn

∣∣∣∣∣ 1

(∏n

i=1 ai)ρψ

((ti − (bi + hbi)

ai

)ni=1

)− 1

(∏n

i=1 ai)ρψ

((ti − biai

)ni=1

)∣∣∣∣∣Lq

= 0

ini artinya

lim|hb|→0

∥∥∥∥∥ 1

(∏n

i=1 ai)ρψ

((· − (bi + hbi)

ai

)ni=1

)− 1

(∏n

i=1 ai)ρψ

((· − biai

)ni=1

)∥∥∥∥∥Lq

= 0

untuk q =∞.

Lemma di atas mirip dengan Teorema Kekontinuan Operator Translasi padafungsi di ruang Lp(Rn, hanya saja perbedaannya, pada lemma di atas nilai qmemenuhi 1 ≤ q ≤ ∞, sedangkan pada teorema kekontinuan operator translasinilai q hanya memenuhi 1 ≤ q <∞.

36

Di bawah ini diberikan lemma yang menunjukkan bahwa fungsi wavelet bersifatkontinu terhadap faktor dilasinya.

Lemma 4.2.3. Didefinisikan fungsi G : Rn+ → Rn dengan

G(a) =1∏ni=1 a

ρi

ψ

((ti − biai

)ni=1

)∀a = (a1, · · · , an) ∈ Rn

+

dengan t = (t1, · · · , tn), b = (b1, · · · , bn) ∈ Rn dan ρ > 0 adalah tetap. Jika

wavelet ψ kontinu pada Rn maka G kontinu pada Rn+.

Bukti. Diberikan ψ kontinu pada Rn. Selanjutnya, Untuk i = 1, 2, ..., n,didefinisikan fungsi vi : R+ → R dengan

vi =ti − biai

, ∀ai ∈ R+

dengan ti, bi ∈ R adalah tetap. Jelas vi adalah fungsi kontinu pada R+ untuk setiapi = 1, 2, ..., n, sebab vi fungsi rasional. Dilain pihak pandang fungsi v : Rn

+ → Rn

yang didefinisikan dengan

v(a) = (v1(a1), v2(a2), ..., vn(an))

=

(t1 − b1a1

,t2 − b2a2

, ...,tn − bnan

), ∀a ∈ Rn

+ (4.6)

dengan t, b ∈ Rn adalah tetap. Karena vi kontinu pada R+ untuk setiapi = 1, 2, · · · , n, maka v kontinu pada Rn

+. Selanjutnya, karena wavelet ψ kontinupada Rn, maka ψ juga kontinu pada Rn

+, dengan demikian, jika diberikan fungsikomposisi ψ ◦ v yang berbentuk

(ψ ◦ v)(a) = ψ(r(a))

= ψ

(t1 − b1a1

,t2 − b2a2

, · · · , tn − bnan

)= ψ

((ti − biai

)ni=1

)(4.7)

maka ψ ◦ v kontinu pada setiap a ∈ Rn+. Sementara itu, jelas fungsi rasional

p : Rn+ → R yang berbentuk

p(a) =1∏ni=1 a

ρi

,∀a ∈ Rn+

37

adalah kontinu pada Rn+. Dengan demikian, dari persamaan (4.6) dan (4.7) fungsi

G berbentuk

G(a) =1∏ni=1 a

ρi

ψ

((ti − biai

)ni=1

)= p(ψ̄ ◦ v)(a), ∀a ∈ Rn

+

Terlihat bahwaG adalah komposisi dari fungsi-fungsi kontinu, akibatnyaG kontinudisetiap titik ∀a ∈ Rn

+. Jadi G kontinu pada Rn+.

Dari Lemma 4.2.2 dan Lemma 4.2.3 di atas, dapat dikatakan bahwa fungsiwavelet ψ bersifat kontinu terhadap faktor translasi dan dilasinya, jika wavelet ψmerupakan fungsi kontinu dan bertumpuan kompak pada Rn. Perbedaan denganLemma 4.2.1, jika pada Lemma 4.2.1 wavelet ψ yang telah dikenai translasi dandilasi, yaitu ψa,b bersifat kontinu pada Rn, maka pada Lemma 4.2.2 dan Lemma4.2.3 wavelet ψ kontinu pada Rn terhadap faktor translasi dan dilasinya. Tenu sajadengan syarat cukup yang diberikan, yaitu wavelet ψ harus kontinu dan bertumpuankompak pada Rn.

Selanjutnya, lemma di bawah ini merupakan akibat dari Lemma 4.2.3.

Lemma 4.2.4. Jika wavelet ψ ∈ C0(Rn), ha = (ha1 , · · · , han) ∈ Rn+ maka

lim|ha|→0

1

(∏n

i=1(ai + hai))ρψ

((ti − bi

(ai + hai)

)ni=1

)=

1

(∏n

i=1 ai)ρψ

((ti − biai

)ni=1

)t ∈ Rn dengan a = (a1, ..., an) ∈ Rn

+, b = (b1, ..., bn) ∈ Rn dan ρ > 0 adalah

tetap.

Bukti. Diberikan ψ ∈ C0(Rn). Tinjau kembali fungsi G pada Lemma 4.2.3, makafungsi G dapat ditulis sebagai

G(a) =1∏ni=1 a

ρi

ψ

(t1 − b1a1

,t2 − b2a2

, · · · , tn − bnan

)=

1

(∏n

i=1 ai)ρψ

((ti − biai

)ni=1

)∀a ∈ Rn

+

Karena G kontinu pada Rn+ (dari Lemma 4.2.3), maka

lim|ha|→0

∣∣∣∣∣ 1

(∏n

i=1(ai + hai))ρψ

((ti − bi

(ai + hai)

)ni=1

)− 1

(∏n

i=1 ai)ρψ

((ti − biai

)ni=1

)∣∣∣∣∣= 0

38

akibatnya

lim|ha|→0

1

(∏n

i=1(ai + hai))ρψ

((ti − bi

(ai + hai)

)ni=1

)=

1

(∏n

i=1 ai)ρψ

((ti − biai

)ni=1

)

Berdasarkan Lemma 4.2.1 sampai Lemma 4.2.4 sebelumnya, maka dibentukteorema yang memberikan syarat cukup agar fungsi hasil transformasi waveletdengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn) merupakan fungsi kontinu padaRn

+ × Rn.

Perhatikan kembali ha = (ha1 , · · · , han) ∈ Rn+ dan hb = (hb1 , · · · , hbn) ∈

Rn. Diberikan h ∈ R2n dengan h = (ha1 , · · · , han , hb1 , · · · , hbn). Selanjutnya,misalkan H adalah fungsi sedemikian hingga

H(a, b, t) =1

(∏n

i=1 ai)ρψ

((ti − biai

)ni=1

)dengan demikian dari Lemma 4.2.2 dan Lemma 4.2.4 masing-masing berlaku

lim|hb|→0

‖H(a, b+ hb, ·)‖Lq = H(a, b, ·) dan lim|ha|→0

|H(a+ ha, b, ·)| = H(a, b, ·)

ini berarti, untuk setiap ε > 0 terdapat δb > 0 dan δa > 0 sedemikian hingga

‖H(a, b+ hb, ·)−H(a, b, ·)‖Lq < ε, jika |hb| < δb.

dan|H(a+ ha, b, ·)−H(a, b, ·)| < ε, jika |ha| < δa.

Disisi lain, telah diketahui h = (ha1 , · · · , han , hb1 , · · · , hbn), maka diperoleh

|h| < (δa + δb)1/2 .

Ini artinya, untuk |h| → 0 berlaku

‖H(a, b+ hb, ·)−H(a, b, ·)‖Lq = 0, dan |H(a+ ha, b, ·)−H(a, b, ·)| = 0

tanpa mengurangi keumuman maka juga berlaku

‖H(a+ ha, b+ hb, ·)−H(a+ ha, b, ·)‖Lq = 0

39

Dengan demikian dari ketaksamaan Holder diperoleh∣∣∣∣∫Rnf(t)H(a+ ha, b+ hb, t)dt−

∫Rnf(t)H(a, b, t)dt

∣∣∣∣≤ ‖f‖Lp ‖H(a+ ha, b+ hb, ·)−H(a, b, ·)‖Lq= 0

untuk |h| → 0. Hasil tersebut membawa pada teorema berikut.

Teorema 4.2.1. Diberikan ψ adalah wavelet. Jika wavelet ψ ∈ C0(Rn), maka

fungsi hasil transformasi wavelet kontinu dari fungsi f ∈ Lp(Rn) dengan dilasi

vektor, yaitu Wψf , merupakan fungsi kontinu pada Rn+ × Rn.

Bukti. Diberikan ψ ∈ C0(Rn), maka jelas ψa,b ∈ C0(Rn), akibatnya ψa,b ∈ Lq(Rn)

sebab C0(Rn) padat di Lq(Rn). Berikutnya, misalkan

H(a, b, t) =1

(∏n

i=1 ai)ρψ

((ti − biai

)ni=1

)maka transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn)

dapat ditulis

Wψf(a, b) =1

(∏n

i=1 ai)ρ

∫Rnf(t)ψ

((ti − biai

)ni=1

)dt

=


Dengan demikian, dari ketaksamaan Holder diperoleh

|Wψf(a+ ha, b+ hb)−Wψf(a, b)| =∣∣∣∣∫Rnf(t)H(a+ ha, b+ hb, t)dt−


∣∣∣∣≤∫Rn|f(t)H(a+ ha, b+ hb, t)− f(t)H(a, b, t)| dt

=

∫Rn|f(t)| |H(a+ ha, b+ hb, t)−H(a, b, t)| dt

≤ ‖f‖Lp ‖H(a+ ha, b+ hb, ·)−H(a, b, ·)‖Lq (4.8)

untuk 1 ≤ q ≤ ∞. Selanjutnya, dari ruas kanan pada ketaksamaan (4.8) di atas,

40

dengan menerapkan ketaksamaan segitiga didapat

‖H(a+ ha, b+ hb, ·)−H(a, b, ·)‖Lq= ‖H(a+ ha, b+ hb, ·)−H(a+ ha, b, ·) +H(a, b+ hb, ·)−H(a, b, ·)‖Lq≤ ‖H(a+ ha, b+ hb, ·)−H(a+ ha, b, ·)‖Lq + ‖H(a, b+ hb, ·)−H(a, b, ·)‖Lq

(4.9)

dari ruas kanan ketaksamaan (4.9) di atas. Dari Lemma 4.2.4, untuk |ha| → 0 makaberlaku

‖H(a+ ha, b+ hb, ·)−H(a+ ha, b, ·)‖Lq = ‖H(a, b+ hb, ·)−H(a, b, ·)‖Lq(4.10)

Berikutnya dari Lemma 4.2.2, untuk |hb| → 0, maka pada ketaksamaan (4.9) danpersamaan (4.10) berlaku

‖H(a, b+ hb, ·)−H(a, b, ·)‖Lq = 0.

Dengan demikian untuk |h| → 0 dengan h = (ha1 , · · · , han , hb1 , · · · , hbn) ∈ R2n

berlaku

‖H(a+ ha, b+ hb, ·)−H(a+ ha, b, ·)‖Lq = ‖H(a, b+ hb, ·)−H(a, b, ·)‖Lq(4.11)

dan‖H(a, b+ hb, ·)−H(a, b, ·)‖Lq = 0. (4.12)

akibatnya dari persamaan (4.11) dan (4.12) ruas kanan pada ketaksamaan (4.9)menjadi nol. Dengan demikian dari ketaksamaan (4.8) berlaku

lim|h|→0

|Wψf(a+ ha, b+ hb)−Wψf(a, b)| = 0

Ini artinya fungsi hasil transformasi wavelet dengan dilasi vektor dari fungsif ∈ Lp(Rn), yaitu Wψ, kontinu pada Rn

+ × Rn.

Teorema 4.2.1 di atas menyatakan bahwa syarat cukup sehingga fungsi trans-formasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor dari fungsi f ∈ Lp(Rn)

merupakan fungsi kontinu pada Rn+ × Rn adalah wavelet ψ merupakan fungsi

kontinu bertumpuan kompak pada domain Rn. Salah satu contoh wavelet satuvariabel yang kontinu dan bertumpuan kompak adalah wavelet Daubechies danwavelet yang diperoleh dari fungsi skala B-Spline dengan order lebih dari satu atau

41

wavelet B-Spline dengan order lebih dari 1 , misalnya saja wavelet B-Spline order-2yang berbentuk

ψ(t) =

16t untuk 0 ≤ t < 1

2,

−76t+ 2

3untuk 1

2≤ t < 1

83t− 19

6untuk 1 ≤ t < 3

2

−83t+ 29

6untuk 3

2≤ t < 2

76t− 17

6untuk 2 ≤ t < 5

2

−16t+ 1

2untuk 5

2≤ t < 3

0 untuk yang lain

atau wavelet B-Spline order-3 yang berbentuk

Gambar 4.1: Grafik B-Spline Order-2

ψ(t) =

1240t2 untuk 0 ≤ t < 1

2,

− 31240t2 + 2

15t− 1

30untuk 1

2≤ t < 1

103120t2 − 221

220t+ 229

240untuk 1 ≤ t < 3

2

−313120t2 + 1027

120t− 1643

240untuk 3

2≤ t < 2

225t2 − 779

40t+ 339

16untuk 2 ≤ t < 5

2

−225t2 + 981

40t− 541

16untuk 5

2≤ t < 3

313120t2 − 701

40t+ 2341

80untuk 3 ≤ t < 7

2

−103120t2 + 809

120t− 3169

240untuk 7

2≤ t < 4

31240t2 − 139

120t+ 623

240untuk 4 ≤ t < 9

2

− 1240t2 + 1

24t− 5

48untuk 9

2≤ t < 5

0 untuk yang lain

Sedangkan contoh wavelet kontinu bertumpuan kompak pada R2 adalah wavelet

42

Gambar 4.2: Grafik B-Spline Order-3

B-Spline order lebih dari pada R2, yaitu

ψ(t) = ψ1(t1)ψ2(t2), t = (t1, t2) ∈ R2

dengan ψi(ti) adalah wavelet B-Spline di R.

43

BAB VKESIMPULAN DAN SARAN

Pada bab ini, diberikan kesimpulan dari hasil penelitian yang telah dilakukan.Selain itu, diberikan saran untuk penelitian selanjutnya

5.1 KesimpulanBerdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan, diperoleh kesimpulan

sebagai berikut

1. Transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn)

adalah transformasi linear terbatas dari ruangLp(Rn) ke ruangL∞p(Rn+×Rn)

untuk ρ = 1 dengan konstanta M = ‖ψ‖L1 .

2. Syarat cukup fungsi hasil transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasivektor pada ruang Lp(Rn) merupakan fungsi kontinu pada Rn

+ × Rn adalahwavelet ψ merupakan fungsi kontinu bertumpuan kompak pada Rn.

5.2 SaranSaran yang diberikan untuk penelitian berikutnya khususnya yang berkaitan

dengan transformasi wavelet kontinu pada ruangLp(Rn) dengan dilasi vektor antaralain:

1. Pada penelitian berikutnya dapat diteliti tentang invers transformasi waveletkontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn).

2. Pada penelitian berikutnya dapat diteliti mengenai terapan dari transformasiwavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn).

45

DAFTAR PUSTAKA

Apostol, J.R.L, (1996), Calculus Volume 2, John Wiley and Sons, Inc.

Ashino, R. (2002), Some Topics On Wavelets, Divison Mathematical Sciences,Osaka Kyoiku University, Kashiwara, Osaka, 582-8582, Japan.

Navarro, J., and Herrera, O. (2012). ”Convergence of Discrete WaveletTransform”, International Journal of Wavelets, Multiresolution and Infor-mation Processing, World Scientific Publishing Company, Vol.10, No.6.

Bartle, R.G., (1992), The Element of Integration and Lebesgue Measure., JohnWiley and Sons, Inc.

Chui, C.K. (1992), An Introduction to Wavelets, Academic Press, Inc., Boston, MA.

Daubechies, I. (1992), Ten Lectures on Wavelets, SIAM, Pennsylvania.

Grossman, A., and Morlet, J. (1984). ”Decomposition of Hardy Function IntoSquare Integrable Wavelets of Constant Shape ”, SIAM Journal Mathe-matical Analysis, Vol.15, (page 723-736).

Gunawan, H. (2014), Catatan Kuliah Analisis Fourier dan Wavelet, Jurusan Matem-atika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, KK Analisis danGeometri, Institut Teknologi Bandung, Bandung.

Jones, F., (1993), Lebesgue Integration On Euclidean Space, John Wiley and Sons,Inc.

Koornwinder, T. H. (1993.), Wavelets: An Elementary Treatment of Theory and

Applications, World Scientific,.

Pathak, R.S., (2009), The Wavelet Transform., Atlantis Press/World Scientific, Paris.

Pathak, R.S., (2004). ”The Wavelet Transform of Distributions”, Tohoku Math.Journal, Vol.56, (page 411-421).

Pathak, R.S., (1998). ”Continuity and inversion of the wavelet transform”, IntegralTransforms and Special Functions, Taylor and Francis Online, Vol.6, (issue1-4).

47

Webb, J.R.L, (1991), Functions of Several Variables, Ellis Horwood in Mathematicsand its Applications.

Yunus, M. (2005), Modul Ajar Pengantar Analisis Fungsional, Jurusan Matem-atika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut TeknologiSepuluh Nopember, Surabaya.

48

BIODATA PENULIS

Penulis bernama Rizky Darmawan, lahir di Sidoarjo, tanggal 7 Februari1990. Penulis menempuh pendidikan sekolah formal dimulai di SD NegeriBanyu Urip III Surabaya (lulus tahun 2002), lalu melanjutkan di SMP Negeri10 Surabaya (lulus tahun 2015), dan terakhir melanjutkan di SMA Negeri 6Surabaya (lulus tahun 2008). Setelah lulus SMA, penulis melanjutkan kuliah S1pada tahun 2008 lewat jalur SNMPTN 2008 dan diterima di Institut TeknologiSepuluh Nopember, mengambil jurusan Matematika di Fakultas Matematika danIlmu Pengetahuan Alam, lulus pada tahun 2013. Selama menempuh pendidikanS1, penulis mengambil bidang minat Analisis dan Aljabar. Setelah menyele-saikan studi S1, pada tahun 2013, penulis melanjutkan kuliah S2 di Jurusan yangsama, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam diInstitut Teknologi Sepuluh Nopember, lewat program beasiswa fresh graduate

dari Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Selama menempuh pendidikan S2,penulis mengambil bidang minat Analisis Terapan. Untuk menjalin jejaringinformasi yang berhubungan dengan Tesis ini, dapat ditujukan ke alamat e-mail:[email protected]

49

TRANSFORMASI WAVELET KONTINU PADARUANG 𝑳𝒑ℝ𝒏 DENGAN …

Documents

Transcript of TRANSFORMASI WAVELET KONTINU PADARUANG 𝑳𝒑ℝ𝒏 DENGAN …