Transformasi Peubah Acak Teknik CDF
-
Upload
tiara-lavista -
Category
Education
-
view
1.467 -
download
27
description
Transcript of Transformasi Peubah Acak Teknik CDF
Slide 2 of 22
7:20
Introduction
Prinsip prosedur statistika:
Populasi (N)Sampel(n)
Random sampel
Estimasi perameter
Contoh: Ingin mengestimasi mean populasi
Secara intuitive kita mengambil sampel observasi sebanyak n lalu menghitung
sebagai estimasi bagi
1 2 1...
n
in i
xx x xx
n n
Slide 3 of 22
7:20
Introduction
Seberapa tepat mengestimasi ?x
Bergantung pada para r.v. dan efek mereka terhadap distribusi dari estimator:
1 2, ,..., nX X X
1
n
ii
XX
n
Estimate/estimasi/realisasi sampel
Estimator/Statistik
/R.V.
Error of Estimation = x Ukuran ketepatan estimasi
Karena adalah salah satu kemungkinan sampel dari All PossibleSamples, maka kita tertarik terhadap
x(| | ) ....?P x k
Slide 4 of 22
7:20
Introduction
Karena adalah merupakan salah satu nilai dari , maka akan dapat dihitung jika pdf dari diketahui / bisa diturunkan
x (| | )P x k XX
Karena maka pdf dari bergantung pada
joint pdf dari
1 2 ... nX X XXn
1 2, ,..., nX X X
X
(| | )P x k
( )f X
Slide 5 of 22
7:20
Introduction
Dalam aplikasi, adalah random sample artinya: saling independent masing2 berdistribusi identik
1 2, ,..., nX X X1 2, ,..., nX X X1 2, ,..., nX X X
i.i.d= independent identical distribution
Sehingga berlaku:
1 2 1 2( , ,..., ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) nn nf x x x f x f x f x f x
Dalam teori sampling:Random sample adalah sampel yg diambil sedemikian rupa sehingga setiap elemen dari populasi memiliki peluang yang sama untuk terpilih sebagai sampel
Asumsi independent akan terpenuhi jika (infinite) atau (finite) tetapi cukup besar
N N N
n
Asumsi identik merupakan konsekuensi logis mengingat semua kemungkinan nilai dari masing-masing adalah sama, yaitu nilai-nilai observasi yang berasal dari populasi yang sama
1 2, ,..., nX X X
Slide 6 of 22
7:20
Introduction
Dengan adanya asumsi i.i.d dari maka pdf daridapat dicari dengan metode transformasi r.v. variabel yang disebut sebagai metode MGF
X1 2, ,..., nX X X
Transformasi R.V.
Metode CDF
Metode PDF
Metode MGF
Efektif untuk continuous r.v. univariate
Metode secara umum (metode Jacobian)
Efektif hanya untuk kasus random sampel
Berdasarkan uniqueness theorems:Dua buah R.V. berdistribusi sama MGF-nya sama
Slide 7 of 22
7:20
Contoh Kasus
MisalkanX = kapasitas produksi suatu mesin giling padi menjadi beras per hari (dalam satuan ton)Dalam hal ini X merupakan r.v., karena produksi per hari akan bergantung kepada operator, kondisi mesin, kondisi gabah yg digiling dllMisal pdf dari X adalah: ( ) 2 , 0 1f x x x Jika untuk setiap ton beras mendapat bayaran 300 ribu dengan overhead cost sebesar 100 ribu, maka keuntungan per ton penggilingan padi adalah:
Y=3X-1 (dalam satuan ratus ribu)Untuk keperluan inferensi tentang keuntungan, perlu diketahui pdf dari Y
Y merupakan sebuah r.v. continuous yang merupakan fungsi dari satu buah r.v. lain yaitu X atau secara umum ( ) 3 1Y g X X
Slide 8 of 22
7:20
Metode CDF
Metode CDF:
mengsumsikan bahwa jika suatu R.V X memiliki CDF
( ) ,maka fungsi dari X, misalnya ( ) jugamemiliki bentuk CDF yang sama.
XF x Y g x
Sehingga kita bisa mengekpresikan CDF Y dalam bentuk yang sama dengan CDF nya X
( ) [ ] [ ( ) ]YF y P Y y P g x y
dan pdf y didapat dari
( ) ( )Y Ydf y F ydy
Slide 9 of 22
7:20
Metode CDF
Untuk kasus mesin giling beras maka:
2( 1) 3 ( 1) 3
1 1( ) ( ) (3 1 )3 3
1 ( ) 2 3
Y X
y y
X
y yF y P Y y P X y P X F
yf x dx x dx
Batas nilai r.v. X dan nilai r.v. Y:
13 1 3
10 1 0 13
-1 2
YY X X
yx
y
2
0 , 1
1( ) , -1 2 3
1 , 2
Y
y
yF y y
y
2 ( 1), -1 2 ( ) 9( )0 , lainnya
YY
y ydF yf ydy
Slide 10 of 22
7:20
Kasus univariate secara umum
Jika diketahui distribusi r.v. X distribusi dari Y=g(x) ~?Misal:X : Waktu nyala lampu (minggu)Y : Waktu nyala lampu (hari) Y=7X
Fungsi lain yg mungkin menarik adalah, misalnya:
ln( )X
Z XQ e
Fungsi dari suatu R.V. adalah juga R.V.Distribusi prob. dari Y, Z, Q diturunkan dari distribusi probabilitasnya XDistribusi prob. dari Y, Z, Q disebut “distribusi turunan” dari R.V. X
Slide 11 of 22
7:20
Metode CDF: another contoh
2Misal ( ) 1 , 0xXF x e x ~ ?XY e
2
( ) [ ] [ ] [ ln( )] (ln( ))
1 ,1
XY
X
F y P Y y P e yP X yF y
y y
3( ) ( ) 2 ,1Y Ydf y F y y ydy
Batas: XY e00 1x y e
x y e 1 y
Slide 12 of 22
7:20
Metode CDF: another contoh lagi
Misal X adalah continuous R.V. dan Y=X2, maka:
2( ) [ ] [ ]
( ) ( )Y
X X
F y P X y P y X y
F y F y
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 [ ( ) ( )] , 02
Y Y
X X
X X
X X
df y F ydyd F y F ydy
d df y y f y ydy dy
f y f y yy
Slide 19 of 22
7:20
Metode CDF: bivariate case
1 1
2 2
~ ( ) ~ ( )
X f xX f x 1 2( , ) ~ ? pdf of Y g x x Y
1 2
1 2
1
2
Y X XY X X
XY X
Slide 20 of 22
7:20
Metode CDF:multivariate case
Teorema:
1 2
1 2
1 2 1
Misalkan ( , ,..., ) adalah vektor -dimensi dari kontinu R.V. dengan joint pdf ( , ,... ). Jika ( ) adalah fungsi dari maka
( ) [ ( ) ]
... ( , ,... ) ...
k
k
Y
k k
X X X kf x x x
Y g XF y P g y
f x x x dx dx
X
XX
dimana { | ( ) }
r
r
AA g y x x Batas integralnya
adalah fungsi dari y
Slide 21 of 22
7:20
Metode CDF: contoh
1 2Misal , dimana ~ (1) dan 0, maka ( ) ~ ?i YY X X X Exp x f y
2
1 2( )1 2
0 0
( )
1
y xyx x
Y
y y
F y e dx dx
e ye
( ) ( )
, 0
Y Y
y
df y F ydyye y