Transformasi Linier (Pemetaan Linier) - Telkom...

Transformasi Linier (Pemetaan Linier)Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016

MZI

Fakultas InformatikaTelkom University

FIF Tel-U

November —Desember 2015

MZI (FIF Tel-U) Transformasi Linier November — Desember 2015 1 / 93

Acknowledgements

Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:

1 Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1, 2014, oleh Adiwijaya.2 Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres.3 Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri.4 Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh Kasiyah M. Junus dan SitiAminah.

5 Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh L. Y. Stefanus.

Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukanuntuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Andamemiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirimemail ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.


mailto:[email protected]

Bahasan1 Motivasi: Untuk Apa Mempelajari Transformasi Linier?

2 Definisi Transformasi dan Tranformasi Linier

3 Transformasi dengan Matriks di Ruang Euclid

4 Nilai dan Vektor Eigen dari Operator Linier

5 Kernel, Nulitas, Peta, dan Rank dari Transformasi Linier

6 Transformasi Nol dan Operator Identitas

7 Metode Konstruksi Matriks Standar

8 Beberapa Operator Refleksi di R2 dan R3

9 Beberapa Operator Proyeksi di R2 dan R3

10 Beberapa Operator Rotasi di R2 dan R3

11 Operator Dilasi/ Dilatasi dan Kontraksi di R2 dan R3

12 Operator Kompresi, Ekspansi, dan Transveksi di R2 dan R3


Motivasi: Untuk Apa Mempelajari Transformasi Linier?















Transformasi Linier dan Grafika KomputerSalah satu penerapan dari materi transformasi linier yang akan kita pelajaridigunakan dalam grafika komputer (computer graphics) untuk mengkonstruksisuatu objek tertentu.



Pada kuliah Aljabar Linier ini, kita tidak hanya meninjau transformasi linier diruang Euclid saja. Kita juga akan melihat transformasi-transformasi linier yangmengaitkan dua ruang vektor yang struktur matematikanya berbeda (contoh:tranformasi linier dari ruang matriks ke ruang polinom). Untuk itu, kita perlumendefinisikan tranformasi linier dengan definisi formal yang jelas.


Definisi Transformasi dan Tranformasi Linier















Mengingat Kembali: Definisi Fungsi

Definisi FungsiJika A dan B adalah dua himpunan (keduanya tak kosong) maka suatu fungsif : A→ B adalah sebuah pengaitan yang mengaitkan setiap a ∈ A dengan satub ∈ B.

Selanjutnya jika f : A→ B adalah sebuah fungsi, himpunan A disebut sebagaidomain (daerah asal) dari f dan ditulis dom (f) dan himpunan B disebut sebagaikodomain (daerah hasil) dari f dan ditulis cod (f). Kita juga mengatakan bahwaf adalah fungsi dari A ke B.

Misalkan a ∈ A. Jika f (a) = b, maka b disebut sebagai peta (image) dari a dan adisebut sebagai prapeta (preimage) dari b. Lebih jauh kita memilikiIm (f) = R (f) = Peta (f) = ran (f) = jangkauan (f) ={b ∈ B | b = f (a) untuk suatu a ∈ A}.



Transformasi antar Ruang Vektor

Definisi (Transformasi antar Ruang Vektor)Misalkan V dan W adalah dua ruang vektor dan f : V →W adalah sebuahfungsi. Kita juga mengatakan bahwa fungsi tersebut adalah transformasi dari Vke W . Ketika V =W , maka f : V → V kita katakan sebagai operator pada V .

ContohDiberikan fungsi f : R2 → R3 yang dijelaskan berikut

f (x, y) =(x+ y, x− y, x2

)untuk (x, y) ∈ R2

Fungsi f adalah transformasi dari R2 ke R3. Kita juga dapat menulis

f

([xy

])=

x+ yx− yx2

Evaluasi dari f dapat dilakukan dengan sederhana. Sebagai contoh:f (1, 1) = (2, 0, 1) dan f (0, 2) = (2,−2, 0).






f (x, y) =(x+ y, x− y, x2



f

([xy

])=

x+ yx− yx2

Evaluasi dari f dapat dilakukan dengan sederhana. Sebagai contoh:f (1, 1) =

(2, 0, 1) dan f (0, 2) = (2,−2, 0).






f (x, y) =(x+ y, x− y, x2



f

([xy

])=

x+ yx− yx2

Evaluasi dari f dapat dilakukan dengan sederhana. Sebagai contoh:f (1, 1) = (2, 0, 1) dan f (0, 2) =

(2,−2, 0).






f (x, y) =(x+ y, x− y, x2



f

([xy

])=

x+ yx− yx2

Evaluasi dari f dapat dilakukan dengan sederhana. Sebagai contoh:f (1, 1) = (2, 0, 1) dan f (0, 2) = (2,−2, 0).



Transformasi Linier antar Ruang Vektor

Definisi (Transformasi Linier antar Ruang Vektor)Misalkan V dan W adalah dua ruang vektor dan f : V →W adalah sebuahtransformasi dari V ke W . Fungsi f dikatakan sebagai transformasi linier (ataupemetaan linier) apabila memenuhi dua sifat berikut

1 (sifat kehomogenan) untuk setiap α ∈ R dan ~v ∈ V berlakuf (α~v) = αf (~v).2 (sifat aditif) untuk setiap ~u,~v ∈ V berlaku f (~u+ ~v) = f (~u) + f (~v).

Perlu diketahui bahwa operasi perkalian skalar α~v terjadi di V , sedangkan operasiperkalian skalar αf (~v) terjadi di W . Kemudian operasi penjumlahan ~u+ ~v terjadidi V dan operasi penjumlahan f (~u) + f (~v) terjadi di W .Ketika V =W , maka f dikatakan sebagai operator linier pada V .

Definisi di atas menyatakan bahwa jika suatu fungsi f : V →W adalahtransformasi linier apabila f mempertahankan operasi perkalian skalar danpenjumlahan untuk vektor-vektor yang dipetakan.

Kemudian operator linier merupakan transformasi linier dari suatu ruang vektor kedirinya sendiri.





1 (sifat kehomogenan) untuk setiap α ∈ R dan ~v ∈ V berlakuf (α~v) = αf (~v).

2 (sifat aditif) untuk setiap ~u,~v ∈ V berlaku f (~u+ ~v) = f (~u) + f (~v).








1 (sifat kehomogenan) untuk setiap α ∈ R dan ~v ∈ V berlakuf (α~v) = αf (~v).2 (sifat aditif) untuk setiap ~u,~v ∈ V berlaku f (~u+ ~v) = f (~u) + f (~v).






LatihanTentukan apakah fungsi-fungsi berikut merupakan transformasi linier/ operatorlinier.

1 T : R2 → R2 dengan T (x, y) = (−y, x).2 T : R3 → R2 dengan T (x, y, z) = (x− y + z, 0).3 T : R→ R dengan T (x) = 2x+ 1.4 T : R2 → R2 dengan T (x, y) = (x, y + 1).5 T : R4 → R2 dengan T (x1, x2, x3, x4) = (1,−1).



Solusi:1 T : R2 → R2 dengan T (x, y) = (−y, x) adalah sebuah operator linier padaR2. Kita memiliki

1 T ((x1, y1) + (x2, y2)) = T (x1 + x2, y1 + y2) = (− (y1 + y2) , x1 + x2) =(−y1, x1) + (−y2, x2) = T (x1, y1) + T (x2, y2).

2 T (α (x, y)) = T (αx, αy) = (−αy, αx) = α (−y, x) = αT (x, y).

2 T : R3 → R2 dengan T (x, y, z) = (x− y + z, 0) adalah suatu transformasilinier dari R3 ke R2. Kita memiliki

1 T ((x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)) = T (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) =(x1 + x2 − (y1 + y2) + z1 + z2, 0) = (x1 − y1 + z1, 0) + (x2 − y2 + z2, 0) =T (x1, y1, z1) + T (x2, y2, z2).

2 T (α (x, y, z)) = T (αx, αy, αz) = (αx− αy + αz, 0) = α (x− y + z, 0) =αT (x, y, z)

3 T : R→ R dengan T (x) = 2x+ 1 bukan transformasi linier, karenaT (0 · 0) = T (0) = 1 6= 0 · 1 = 0 · T (0).

4 T : R2 → R2 dengan T (x, y) = (x, y + 1) bukan transformasi linier (dankarenanya bukan pemetaan linier) karenaT (0 (0, 0)) = T (0, 0) = (0, 1) 6= 0 (0, 0) = 0 · T (0, 0).

5 T : R4 → R2 dengan T (x1, x2, x3, x4) = (1,−1) bukan transformasi linierkarenaT (0 (0, 0, 0, 0)) = T (0, 0, 0, 0) = (1,−1) 6= 0 (1,−1) = 0 · T (0, 0, 0, 0).



Solusi:1 T : R2 → R2 dengan T (x, y) = (−y, x) adalah sebuah operator linier padaR2. Kita memiliki

1 T ((x1, y1) + (x2, y2)) = T (x1 + x2, y1 + y2) = (− (y1 + y2) , x1 + x2) =(−y1, x1) + (−y2, x2) = T (x1, y1) + T (x2, y2).

2 T (α (x, y)) = T (αx, αy) = (−αy, αx) = α (−y, x) = αT (x, y).2 T : R3 → R2 dengan T (x, y, z) = (x− y + z, 0) adalah suatu transformasilinier dari R3 ke R2. Kita memiliki

1 T ((x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)) = T (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) =(x1 + x2 − (y1 + y2) + z1 + z2, 0) = (x1 − y1 + z1, 0) + (x2 − y2 + z2, 0) =T (x1, y1, z1) + T (x2, y2, z2).

2 T (α (x, y, z)) = T (αx, αy, αz) = (αx− αy + αz, 0) = α (x− y + z, 0) =αT (x, y, z)

3 T : R→ R dengan T (x) = 2x+ 1 bukan transformasi linier, karenaT (0 · 0) = T (0) = 1 6= 0 · 1 = 0 · T (0).

4 T : R2 → R2 dengan T (x, y) = (x, y + 1) bukan transformasi linier (dankarenanya bukan pemetaan linier) karenaT (0 (0, 0)) = T (0, 0) = (0, 1) 6= 0 (0, 0) = 0 · T (0, 0).

5 T : R4 → R2 dengan T (x1, x2, x3, x4) = (1,−1) bukan transformasi linierkarenaT (0 (0, 0, 0, 0)) = T (0, 0, 0, 0) = (1,−1) 6= 0 (1,−1) = 0 · T (0, 0, 0, 0).



Sifat-sifat Dasar Transformasi Linier

TeoremaDiberikan ruang vektor V dan W dan sebuah transformasi linier T : V →W ,maka

1 T(~0V

)= ~0W , dengan ~0V dan ~0W berturut-turut menyatakan vektor nol di

V dan W ,2 T (−~v) = −T (~v) untuk setiap ~v ∈ V3 T (~u− ~v) = T (~u)− T (~v) untuk setiap ~u,~v ∈ V .


Transformasi dengan Matriks di Ruang Euclid















Transformasi Linier dengan Matriks

TeoremaDiberikan dua ruang Euclid Rm dan Rn. Jika A adalah sebuah matriks n×mdan TA : Rm → Rn adalah transformasi yang didefinisikan sebagai

TA (~v) = A~v

maka TA adalah sebuah transformasi linier. Kita juga menulisTA (~v) = [TA]~v = [T ]~v. Hal ini berarti [T ] = [TA] = A.

Bukti

Untuk setiap α ∈ R dan ~v ∈ Rm kita memilikiT (α~v) = A (α~v) = αA~v = αTA (~v). Kemudian untuk setiap ~u,~v ∈ Rm kitamemiliki TA (~u+ ~v) = A (~u+ ~v) = A~u+A~v = TA (~u) + TA (~v). Jadi TA adalahtransformasi linier.



Transformasi Linier dengan Matriks

TeoremaDiberikan dua ruang Euclid Rm dan Rn. Jika A adalah sebuah matriks n×mdan TA : Rm → Rn adalah transformasi yang didefinisikan sebagai

TA (~v) = A~v

maka TA adalah sebuah transformasi linier. Kita juga menulisTA (~v) = [TA]~v = [T ]~v. Hal ini berarti [T ] = [TA] = A.

BuktiUntuk setiap α ∈ R dan ~v ∈ Rm kita memilikiT (α~v) = A (α~v) = αA~v = αTA (~v). Kemudian untuk setiap ~u,~v ∈ Rm kitamemiliki TA (~u+ ~v) = A (~u+ ~v) = A~u+A~v = TA (~u) + TA (~v). Jadi TA adalahtransformasi linier.



CatatanPerlu diingat bahwa pada teorema tersebut, [T ] maupun [TA] adalah matriksberukuran n×m yang sama dengan A. Kita mengatakan bahwa [T ] maupun[TA] sebagai matriks standar dari transformasi linier antar ruang Euclid yangbersesuaian dengan transformasi linier TA.


Nilai dan Vektor Eigen dari Operator Linier
















DefinisiMisalkan V adalah sebuah ruang vektor atas C dan T : V → V adalah sebuahoperator linier. Suatu vektor tak nol ~v ∈ V dikatakan sebagai vektor eigen dari Tyang bersesuaian dengan nilai eigen λ ∈ C apabila T (~v) = λ~v.

Catatan

Ketika V adalah ruang Euclid Rn maka [T ] adalah sebuah matriks persegi berorden. Akibatnya nilai maupun vektor eigen dari T dapat diperoleh dengan mencarinilai dan vektor eigen dari [T ].




DefinisiMisalkan V adalah sebuah ruang vektor atas C dan T : V → V adalah sebuahoperator linier. Suatu vektor tak nol ~v ∈ V dikatakan sebagai vektor eigen dari Tyang bersesuaian dengan nilai eigen λ ∈ C apabila T (~v) = λ~v.

CatatanKetika V adalah ruang Euclid Rn maka [T ] adalah sebuah matriks persegi berorden. Akibatnya nilai maupun vektor eigen dari T dapat diperoleh dengan mencarinilai dan vektor eigen dari [T ].


Kernel, Nulitas, Peta, dan Rank dari Transformasi Linier















Kernel dan Peta dari Transformasi Linier

DefinisiDiberikan ruang vektor V dan W dan suatu transformasi linier T : V →W .Kernel (atau inti) dari T didefinisikan sebagai

ker (T ) = Inti (T ) ={~v ∈ V | T (~v) = ~0W

}Pada notasi di atas, ~0W menyatakan vektor nol di W .Selanjutnya daerah hasil, range, peta, atau jangkauan dari T didefinisikan sebagai

Im (T ) = R (T ) = Peta (T ) = ran (T ) = jangkauan (T )

= {~w ∈W | ~w = T (~v) untuk suatu ~v ∈ V } .



Kernel dan Peta sebagai Subruang

TeoremaJika T : V →W adalah sebuah transformasi linier, maka ker (T ) adalah subruangdari

V .

TeoremaJika T : V →W adalah sebuah transformasi linier, maka Im (T ) adalah subruangdari W .




TeoremaJika T : V →W adalah sebuah transformasi linier, maka ker (T ) adalah subruangdari V .

TeoremaJika T : V →W adalah sebuah transformasi linier, maka Im (T ) adalah subruangdari

W .




TeoremaJika T : V →W adalah sebuah transformasi linier, maka ker (T ) adalah subruangdari V .

TeoremaJika T : V →W adalah sebuah transformasi linier, maka Im (T ) adalah subruangdari W .



Nulitas dan Rank dari Transformasi Linier

Misalkan T : V →W adalah sebuah transformasi linier. Karena ker (T ) maupunIm (T ) berturut-turut adalah subruang dari V dan W , maka kita dapat meninjaudimensi dari ker (T ) dan dimensi dari Im (T )

Definisi (nulitas dan rank)Jika T : V →W adalah transformasi linier, maka

nulitas (T ) =

dim (ker (T ))

danrank (T ) = dim (Im (T )) .






nulitas (T ) = dim (ker (T ))

danrank (T ) =

dim (Im (T )) .






nulitas (T ) = dim (ker (T ))

danrank (T ) = dim (Im (T )) .



Kaitan dengan Matriks Standar

CatatanKetika V dan W keduanya berturut-turut adalah ruang Euclid Rm dan Rn, sertaT memiliki matriks standar [T ], maka kita memiliki

ker (T ) = ker [T ] = null ([T ])

dan

nulitas (T ) = nulitas ([T ])

serta

Im (T ) = R (T ) = Peta (T ) = col ([T ])

dan

rank (T ) = rank ([T ]) .

Hati-hati dalam penulisan notasi, karena null dan col (biasanya) hanya kitagunakan untuk matriks saja, sedangkan ker dan Im (biasanya) bolehdigunakan baik untuk matriks maupun transformasi linier.


Transformasi Nol dan Operator Identitas
















Transformasi NolDiberikan ruang Euclid Rm dan Rn dan matriks O yang berukuran n×m, makatransformasi TO : Rm → Rn adalah sebuah transformasi linier yang memetakansetiap ~v ∈ V ke ~0. Kita memiliki ker (TO) =

Rm dan Im (TO) ={~0}. Akibatnya

nulitas(TO) = m dan rank(TO) = 0.

Operator IdentitasDiberikan ruang Euclid Rn dan matriks identitas I berorde n, maka transformasiTI : Rn → Rn adalah sebuah operator linier yang memetakan setiap ~v ∈ V ke

dirinya sendiri. Kita memiliki ker (TI) ={~0}dan Im (TI) = Rn. Akibatnya

nulitas(TI) = 0 dan rank(TI) = n.




Transformasi NolDiberikan ruang Euclid Rm dan Rn dan matriks O yang berukuran n×m, makatransformasi TO : Rm → Rn adalah sebuah transformasi linier yang memetakansetiap ~v ∈ V ke ~0. Kita memiliki ker (TO) = Rm dan Im (TO) =

{~0}. Akibatnya









{~0}. Akibatnya

nulitas(TO) =

m dan rank(TO) = 0.








{~0}. Akibatnya

nulitas(TO) = m dan rank(TO) =

0.








{~0}. Akibatnya



dirinya sendiri. Kita memiliki ker (TI) =

{~0}dan Im (TI) = Rn. Akibatnya






{~0}. Akibatnya



dirinya sendiri. Kita memiliki ker (TI) ={~0}dan Im (TI) =

Rn. Akibatnyanulitas(TI) = 0 dan rank(TI) = n.





{~0}. Akibatnya




nulitas(TI) =

0 dan rank(TI) = n.





{~0}. Akibatnya




nulitas(TI) = 0 dan rank(TI) =

n.





{~0}. Akibatnya






Metode Konstruksi Matriks Standar















Transformasi Linier di Ruang Euclid dan Matriks Standar

PermasalahanMisalkan T : Rm → Rn adalah sebuah transformasi linier. Apakah untuk setiap~x ∈ Rn transformasi T dapat direpresentasikan sebagai

T (~x) = A~x

untuk suatu matriks A yang berukuran n×m? Dengan perkataan lain, apakahsetiap transformasi linier antar ruang Euclid memiliki matriks standar yangbersesuaian dengan transformasi tersebut?

Ya, kita akan membuktikan hal ini.



Transformasi Linier di Ruang Euclid dan Matriks Standar

PermasalahanMisalkan T : Rm → Rn adalah sebuah transformasi linier. Apakah untuk setiap~x ∈ Rn transformasi T dapat direpresentasikan sebagai

T (~x) = A~x

untuk suatu matriks A yang berukuran n×m? Dengan perkataan lain, apakahsetiap transformasi linier antar ruang Euclid memiliki matriks standar yangbersesuaian dengan transformasi tersebut? Ya, kita akan membuktikan hal ini.



TeoremaJika T : Rm → Rn adalah sebuah transformasi linier, maka T (~x) = A~x untuksuatu matriks A yang berukuran n×m dengan

A =[T (~e1) T (~e2) · · · T (~em)

],

{~e1, ~e2, . . . , ~em} adalah basis standar untuk Rm

Selanjutnya kita akan menulis A = [T ] dan mengatakan bahwa [T ] adalah matriksstandar untuk T yang bersesuaian dengan basis standar {~e1, ~e2, . . . , ~em}.



BuktiMisalkan ~x = (x1, x2, . . . , xm) ∈ Rm, maka

~x =

x1~e1 + x2~e2 + · · ·+ xm~em

dengan {~e1, ~e2, . . . , ~em} adalah basis standar dari Rm. Karena T adalahtransformasi linier, maka

T (~x) = T (x1~e1 + x2~e2 + · · ·+ xm~em)= T (x1~e1) + T (x2~e2) + · · ·+ T (xm~em)= x1T (~e1) + x2T (~e2) + · · ·+ xmT (~em)

=[T (~e1) T (~e2) · · · T (~em)

]

x1x2...xm

= A~x,

dengan A =[T (~e1) T (~e2) · · · T (~em)

].




~x = x1~e1 + x2~e2 + · · ·+ xm~em


T (~x) = T (x1~e1 + x2~e2 + · · ·+ xm~em)=

T (x1~e1) + T (x2~e2) + · · ·+ T (xm~em)= x1T (~e1) + x2T (~e2) + · · ·+ xmT (~em)

=[T (~e1) T (~e2) · · · T (~em)

]

x1x2...xm

= A~x,

dengan A =[T (~e1) T (~e2) · · · T (~em)

].




~x = x1~e1 + x2~e2 + · · ·+ xm~em


T (~x) = T (x1~e1 + x2~e2 + · · ·+ xm~em)= T (x1~e1) + T (x2~e2) + · · ·+ T (xm~em)=

x1T (~e1) + x2T (~e2) + · · ·+ xmT (~em)

=[T (~e1) T (~e2) · · · T (~em)

]

x1x2...xm

= A~x,

dengan A =[T (~e1) T (~e2) · · · T (~em)

].




~x = x1~e1 + x2~e2 + · · ·+ xm~em


T (~x) = T (x1~e1 + x2~e2 + · · ·+ xm~em)= T (x1~e1) + T (x2~e2) + · · ·+ T (xm~em)= x1T (~e1) + x2T (~e2) + · · ·+ xmT (~em)

=[T (~e1) T (~e2) · · · T (~em)

]

x1x2...xm

= A~x,

dengan A =[T (~e1) T (~e2) · · · T (~em)

].



Metode Konstruksi Matriks StandarPermasalahanMisalkan T : Rm → Rn adalah sebuah transformasi linier. Bagaimana caramengkonstruksi matriks standar [T ] yang bersesuai dengan T?

Misalkan [T ] = A. Ide dari metode konstruksi matriks standar A sebenarnyasudah dijelaskan pada bagian-bagian sebelumnya. Diberikan basis standar untukRm sebagai berikut

{~e1, ~e2, . . . , ~em} ,kita memiiki

T (~e1) = A~e1, T (~e2) = A~e2, . . . , T (~em) = A~em.

Untuk 1 ≤ i ≤ m, A~ei adalah matriks kolom dengan n baris. Misalkan

A =

a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m...

.... . .

...an1 an2 · · · anm






T (~e1) = A~e1, T (~e2) = A~e2, . . . , T (~em) = A~em.

Untuk 1 ≤ i ≤ m,

A~ei adalah matriks kolom dengan n baris. Misalkan

A =

a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m...

.... . .

...an1 an2 · · · anm






T (~e1) = A~e1, T (~e2) = A~e2, . . . , T (~em) = A~em.

Untuk 1 ≤ i ≤ m, A~ei adalah matriks kolom dengan n baris. Misalkan

A =

a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m...

.... . .

...an1 an2 · · · anm



Akibatnya

A~ei =

a11 a12 · · · a1i · · · a1ma21 a22 · · · a2i · · · a2m...

.... . .

......

aji aj2 · · · aji · · · ajm...

......

. . ....

an1 an2 · · · ani · · · anm

0...010...0

=

a1ia2i......aji...ani

Ini berarti A~ei adalah kolom ke-i dari matriks A.

Dengan demikian matriks standar dari T adalah [T ] dengan

[T ] =[T (~e1) T (~e2) · · · T (~em)

]



Akibatnya

A~ei =

a11 a12 · · · a1i · · · a1ma21 a22 · · · a2i · · · a2m...

.... . .

......

aji aj2 · · · aji · · · ajm...

......

. . ....

an1 an2 · · · ani · · · anm

0...010...0

=




[T ] =

[T (~e1) T (~e2) · · · T (~em)

]



Akibatnya

A~ei =

a11 a12 · · · a1i · · · a1ma21 a22 · · · a2i · · · a2m...

.... . .

......

aji aj2 · · · aji · · · ajm...

......

. . ....

an1 an2 · · · ani · · · anm

0...010...0

=




[T ] =[T (~e1) T (~e2) · · · T (~em)

]



Metode Konstruksi Matriks StandarBerikut adalah langkah-langkah untuk mengkonstruksi matriks standar [T ] untuktransformasi linier T : Rm → Rn.

1 Tentukan peta dari basis standar untuk Rm, yaitu T (~e1), T (~e2), . . . , T (~em).2 Matriks standar [T ] adalah

[T ] =[T (~e1) T (~e2) · · · T (~em)

]





[T ] =

[T (~e1) T (~e2) · · · T (~em)

]





[T ] =[T (~e1) T (~e2) · · · T (~em)

]



Latihan Menentukan Matriks Standar

LatihanTentukan matriks-matriks standar dari transformasi-transformasi linier berikut:

1 T : R2 → R2 dengan T (x, y) = (−y, x).2 T : R3 → R2 dengan T (x, y, z) = (x− y + z, 0).3 T : R2 → R3 dengan T (x, y) = (x− y,−x, y).

Solusi soal 1:

Karena T dari R2 ke R2, maka [T ] =[a bc d

]. Kita memiliki T (1, 0) = (0, 1)

dan T (0, 1) = (−1, 0). Tinjau bahwa

[T ]

[10

]=

[01

]⇒[a bc d

] [10

]=

[01

]⇒[ac

]=

[01

], jadi a = 0

dan c = 1.

[T ]

[01

]=

[−10

]⇒[a bc d

] [01

]=

[−10

]⇒[bd

]=

[−10

], jadi

b = −1 dan d = 0.Jadi diperoleh matriks standar [T ] =

[0 −11 0

].






Solusi soal 1:

Karena T dari R2 ke R2, maka [T ] =

[a bc d

]. Kita memiliki T (1, 0) = (0, 1)


[T ]

[10

]=

[01

]⇒[a bc d

] [10

]=

[01

]⇒[ac

]=

[01

], jadi a = 0

dan c = 1.

[T ]

[01

]=

[−10

]⇒[a bc d

] [01

]=

[−10

]⇒[bd

]=

[−10

], jadi


[0 −11 0

].






Solusi soal 1:


]. Kita memiliki T (1, 0) =

(0, 1)


[T ]

[10

]=

[01

]⇒[a bc d

] [10

]=

[01

]⇒[ac

]=

[01

], jadi a = 0

dan c = 1.

[T ]

[01

]=

[−10

]⇒[a bc d

] [01

]=

[−10

]⇒[bd

]=

[−10

], jadi


[0 −11 0

].






Solusi soal 1:


]. Kita memiliki T (1, 0) = (0, 1)

dan T (0, 1) =

(−1, 0). Tinjau bahwa

[T ]

[10

]=

[01

]⇒[a bc d

] [10

]=

[01

]⇒[ac

]=

[01

], jadi a = 0

dan c = 1.

[T ]

[01

]=

[−10

]⇒[a bc d

] [01

]=

[−10

]⇒[bd

]=

[−10

], jadi


[0 −11 0

].






Solusi soal 1:


]. Kita memiliki T (1, 0) = (0, 1)


[T ]

[10

]=

[01

]⇒[a bc d

] [10

]=

[01

]⇒[ac

]=

[01

], jadi a = 0

dan c = 1.

[T ]

[01

]=

[−10

]⇒[a bc d

] [01

]=

[−10

]⇒[bd

]=

[−10

], jadi


[0 −11 0

].



Solusi soal 2:


[a b cd e f

]. Kita memiliki

T (1, 0, 0) = (1, 0), T (0, 1, 0) = (−1, 0), dan T (0, 0, 1) = (1, 0). Tinjau bahwa

[T ]

100

= [ 10

]⇒[a b cd e f

] 100

= [ 10

]⇒[ad

]=

[10

], jadi

a = 1 dan d = 0.

[T ]

010

= [ −10

]⇒[a b cd e f

] 010

= [ −10

]⇒[be

]=

[−10

],

jadi b = −1 dan e = 0.

[T ]

001

= [ 10

]⇒[a b cd e f

] 001

= [ 10

]⇒[cf

]=

[10

], jadi

c = 1 dan f = 0.

Jadi diperoleh matriks standar [T ] =[1 −1 10 0 0

].



Solusi soal 2:

Karena T dari R3 ke R2, maka [T ] =[a b cd e f

]. Kita memiliki

T (1, 0, 0) =

(1, 0), T (0, 1, 0) = (−1, 0), dan T (0, 0, 1) = (1, 0). Tinjau bahwa

[T ]

100

= [ 10

]⇒[a b cd e f

] 100

= [ 10

]⇒[ad

]=

[10

], jadi

a = 1 dan d = 0.

[T ]

010

= [ −10

]⇒[a b cd e f

] 010

= [ −10

]⇒[be

]=

[−10

],


[T ]

001

= [ 10

]⇒[a b cd e f

] 001

= [ 10

]⇒[cf

]=

[10

], jadi

c = 1 dan f = 0.


].



Solusi soal 2:


]. Kita memiliki

T (1, 0, 0) = (1, 0), T (0, 1, 0) =

(−1, 0), dan T (0, 0, 1) = (1, 0). Tinjau bahwa

[T ]

100

= [ 10

]⇒[a b cd e f

] 100

= [ 10

]⇒[ad

]=

[10

], jadi

a = 1 dan d = 0.

[T ]

010

= [ −10

]⇒[a b cd e f

] 010

= [ −10

]⇒[be

]=

[−10

],


[T ]

001

= [ 10

]⇒[a b cd e f

] 001

= [ 10

]⇒[cf

]=

[10

], jadi

c = 1 dan f = 0.


].



Solusi soal 2:


]. Kita memiliki

T (1, 0, 0) = (1, 0), T (0, 1, 0) = (−1, 0), dan T (0, 0, 1) =

(1, 0). Tinjau bahwa

[T ]

100

= [ 10

]⇒[a b cd e f

] 100

= [ 10

]⇒[ad

]=

[10

], jadi

a = 1 dan d = 0.

[T ]

010

= [ −10

]⇒[a b cd e f

] 010

= [ −10

]⇒[be

]=

[−10

],


[T ]

001

= [ 10

]⇒[a b cd e f

] 001

= [ 10

]⇒[cf

]=

[10

], jadi

c = 1 dan f = 0.


].



Solusi soal 2:


]. Kita memiliki


[T ]

100

= [ 10

]⇒[a b cd e f

] 100

= [ 10

]⇒[ad

]=

[10

], jadi

a = 1 dan d = 0.

[T ]

010

= [ −10

]⇒[a b cd e f

] 010

= [ −10

]⇒[be

]=

[−10

],


[T ]

001

= [ 10

]⇒[a b cd e f

] 001

= [ 10

]⇒[cf

]=

[10

], jadi

c = 1 dan f = 0.


].



Solusi soal 2:


]. Kita memiliki


[T ]

100

= [ 10

]⇒[a b cd e f

] 100

= [ 10

]⇒[ad

]=

[10

], jadi

a = 1 dan d = 0.

[T ]

010

= [ −10

]⇒[a b cd e f

] 010

= [ −10

]⇒[be

]=

[−10

],


[T ]

001

= [ 10

]⇒[a b cd e f

] 001

= [ 10

]⇒[cf

]=

[10

], jadi

c = 1 dan f = 0.

Jadi diperoleh matriks standar [T ] =

[1 −1 10 0 0

].



Solusi soal 2:


]. Kita memiliki


[T ]

100

= [ 10

]⇒[a b cd e f

] 100

= [ 10

]⇒[ad

]=

[10

], jadi

a = 1 dan d = 0.

[T ]

010

= [ −10

]⇒[a b cd e f

] 010

= [ −10

]⇒[be

]=

[−10

],


[T ]

001

= [ 10

]⇒[a b cd e f

] 001

= [ 10

]⇒[cf

]=

[10

], jadi

c = 1 dan f = 0.


].



Solusi soal 3:


a bc de f

. Kita memilikiT (1, 0) = (1,−1, 0) dan T (0, 1) = (−1, 0, 1). Tinjau bahwa

[T ]

[10

]=

1−10

⇒ a bc de f

[ 10

]=

1−10

⇒ ace

= 1−10

, jadia = 1, c = −1, dan e = 0.

[T ]

[01

]=

−101

⇒ a bc de f

[ 01

]=

−101

⇒ bdf

= −10

1

, jadib = −1, d = 0, dan f = 1.


1 −1−1 00 1

.



Solusi soal 3:


a bc de f

. Kita memilikiT (1, 0) =

(1,−1, 0) dan T (0, 1) = (−1, 0, 1). Tinjau bahwa

[T ]

[10

]=

1−10

⇒ a bc de f

[ 10

]=

1−10

⇒ ace

= 1−10

, jadia = 1, c = −1, dan e = 0.

[T ]

[01

]=

−101

⇒ a bc de f

[ 01

]=

−101

⇒ bdf

= −10

1

, jadib = −1, d = 0, dan f = 1.


1 −1−1 00 1

.



Solusi soal 3:


a bc de f

. Kita memilikiT (1, 0) = (1,−1, 0) dan T (0, 1) =

(−1, 0, 1). Tinjau bahwa

[T ]

[10

]=

1−10

⇒ a bc de f

[ 10

]=

1−10

⇒ ace

= 1−10

, jadia = 1, c = −1, dan e = 0.

[T ]

[01

]=

−101

⇒ a bc de f

[ 01

]=

−101

⇒ bdf

= −10

1

, jadib = −1, d = 0, dan f = 1.


1 −1−1 00 1

.



Solusi soal 3:


a bc de f

. Kita memilikiT (1, 0) = (1,−1, 0) dan T (0, 1) = (−1, 0, 1). Tinjau bahwa

[T ]

[10

]=

1−10

⇒ a bc de f

[ 10

]=

1−10

⇒ ace

= 1−10

, jadia = 1, c = −1, dan e = 0.

[T ]

[01

]=

−101

⇒ a bc de f

[ 01

]=

−101

⇒ bdf

= −10

1

, jadib = −1, d = 0, dan f = 1.


1 −1−1 00 1

.


Beberapa Operator Refleksi di R2 dan R3















Refleksi terhadap Sumbu x di R2



Garfield:

Garfield after reflected about the x axis:



Kita memiliki T([

xy

])=

[x−y

]untuk setiap (x, y) ∈ R2. Matriks standar

dari T , yaitu [T ], adalah

[1 00 −1

]karena

[1 00 −1

] [xy

]=

[x−y

]Kita memiliki ker (T ) = {(0, 0)} dan Im (T ) = R2. Akibatnya nulitas(T ) = 0 danrank(T ) = 2. Nilai eigen dari T adalah λ1 = −1 dan λ2 = 1.



Kita memiliki T([

xy

])=

[x−y


dari T , yaitu [T ], adalah[1 00 −1

]karena

[1 00 −1

] [xy

]=

[x−y

]Kita memiliki ker (T ) =

{(0, 0)} dan Im (T ) = R2. Akibatnya nulitas(T ) = 0 danrank(T ) = 2. Nilai eigen dari T adalah λ1 = −1 dan λ2 = 1.



Kita memiliki T([

xy

])=

[x−y



]karena

[1 00 −1

] [xy

]=

[x−y

]Kita memiliki ker (T ) = {(0, 0)} dan Im (T ) =

R2. Akibatnya nulitas(T ) = 0 danrank(T ) = 2. Nilai eigen dari T adalah λ1 = −1 dan λ2 = 1.



Kita memiliki T([

xy

])=

[x−y



]karena

[1 00 −1

] [xy

]=

[x−y

]Kita memiliki ker (T ) = {(0, 0)} dan Im (T ) = R2. Akibatnya nulitas(T ) = 0 danrank(T ) = 2.

Nilai eigen dari T adalah λ1 = −1 dan λ2 = 1.



Kita memiliki T([

xy

])=

[x−y



]karena

[1 00 −1

] [xy

]=

[x−y




Refleksi terhadap Sumbu y di R2



Garfield and Garfield after reflected about the y axis:



Kita memiliki T([

xy

])=

[−xy



[−1 00 1

]karena

[−1 00 1

] [xy

]=

[−xy




Kita memiliki T([

xy

])=

[−xy


dari T , yaitu [T ], adalah[−1 00 1

]karena

[−1 00 1

] [xy

]=

[−xy


{(0, 0)} dan Im (T ) = R2. Akibatnya nulitas(T ) = 0 danrank(T ) = 2. Nilai eigen dari T adalah λ1 = −1 dan λ2 = 1.



Kita memiliki T([

xy

])=

[−xy



]karena

[−1 00 1

] [xy

]=

[−xy

]Kita memiliki ker (T ) = {(0, 0)} dan Im (T ) =

R2. Akibatnya nulitas(T ) = 0 danrank(T ) = 2. Nilai eigen dari T adalah λ1 = −1 dan λ2 = 1.



Kita memiliki T([

xy

])=

[−xy



]karena

[−1 00 1

] [xy

]=

[−xy

]Kita memiliki ker (T ) = {(0, 0)} dan Im (T ) = R2. Akibatnya nulitas(T ) = 0 danrank(T ) = 2.




Kita memiliki T([

xy

])=

[−xy



]karena

[−1 00 1

] [xy

]=

[−xy




Refleksi terhadap Bidang xy di R3



Kita memiliki T

xyz

=

xy−z

untuk setiap (x, y, z) ∈ R3. Matriks

standar dari T , yaitu [T ], adalah

1 0 00 1 00 0 −1

karena 1 0 00 1 00 0 −1

xyz

= x

y−z

Kita memiliki ker (T ) = {(0, 0, 0)} dan Im (T ) = R3. Akibatnya nulitas (T ) = 0dan rank (T ) = 3. Nilai eigen dari T adalah λ1 = −1 dan λ2,3 = 1.



Kita memiliki T

xyz

=

xy−z



1 0 00 1 00 0 −1

karena 1 0 00 1 00 0 −1

xyz

= x

y−z

Kita memiliki ker (T ) =

{(0, 0, 0)} dan Im (T ) = R3. Akibatnya nulitas (T ) = 0dan rank (T ) = 3. Nilai eigen dari T adalah λ1 = −1 dan λ2,3 = 1.



Kita memiliki T

xyz

=

xy−z



1 0 00 1 00 0 −1

karena 1 0 00 1 00 0 −1

xyz

= x

y−z

Kita memiliki ker (T ) = {(0, 0, 0)} dan Im (T ) =

R3. Akibatnya nulitas (T ) = 0dan rank (T ) = 3. Nilai eigen dari T adalah λ1 = −1 dan λ2,3 = 1.



Kita memiliki T

xyz

=

xy−z



1 0 00 1 00 0 −1

karena 1 0 00 1 00 0 −1

xyz

= x

y−z

Kita memiliki ker (T ) = {(0, 0, 0)} dan Im (T ) = R3. Akibatnya nulitas (T ) = 0dan rank (T ) = 3.

Nilai eigen dari T adalah λ1 = −1 dan λ2,3 = 1.



Kita memiliki T

xyz

=

xy−z



1 0 00 1 00 0 −1

karena 1 0 00 1 00 0 −1

xyz

= x

y−z




Refleksi terhadap Bidang xz di R3



Kita memiliki T

xyz

=

x−yz



1 0 00 −1 00 0 1

karena 1 0 00 −1 00 0 1

xyz

= x−yz




Refleksi terhadap Bidang yz di R3



Kita memiliki T

xyz

=

−xyz



−1 0 00 1 00 0 1

karena −1 0 0

0 1 00 0 1

xyz

= −xy

z




Refleksi terhadap Garis y = x di R2



Kita dapat mencari persamaan untuk T dan matriks standar [T ] secara simultan.

Misalkan [T ] =[a bc d

]adalah matriks standar dari refleksi terhadap garis

y = x, maka

refleksi dari (1, 0) terhadap garis y = x menghasilkan (0, 1), jadi[a bc d

] [10

]=

[ac

]=

[01

]refleksi dari (0, 1) terhadap garis y = x menghasilkan (1, 0), jadi[a bc d

] [01

]=

[bd

]=

[10

]Akibatnya diperoleh matriks standar [T ] =

[0 11 0

]dan T

([xy

])=

[yx

].

Kita memiliki ker (T ) = {(0, 0)} dan Im (T ) = R2. Akibatnya nulitas (T ) = 0dan rank (T ) = 2. Nilai eigen dari T adalah λ1 = −1 dan λ2 = 1.






y = x, maka

refleksi dari (1, 0) terhadap garis y = x menghasilkan

(0, 1), jadi[a bc d

] [10

]=

[ac

]=

[01


] [01

]=

[bd

]=

[10


[0 11 0

]dan T

([xy

])=

[yx

].







y = x, maka


] [10

]=

[ac

]=

[01


] [01

]=

[bd

]=

[10


[0 11 0

]dan T

([xy

])=

[yx

].







y = x, maka


] [10

]=

[ac

]=

[01

]refleksi dari (0, 1) terhadap garis y = x menghasilkan

(1, 0), jadi[a bc d

] [01

]=

[bd

]=

[10


[0 11 0

]dan T

([xy

])=

[yx

].







y = x, maka


] [10

]=

[ac

]=

[01


] [01

]=

[bd

]=

[10


[0 11 0

]dan T

([xy

])=

[yx

].







y = x, maka


] [10

]=

[ac

]=

[01


] [01

]=

[bd

]=

[10


[0 11 0

]dan T

([xy

])=

[yx

].


{(0, 0)} dan Im (T ) = R2. Akibatnya nulitas (T ) = 0dan rank (T ) = 2. Nilai eigen dari T adalah λ1 = −1 dan λ2 = 1.






y = x, maka


] [10

]=

[ac

]=

[01


] [01

]=

[bd

]=

[10


[0 11 0

]dan T

([xy

])=

[yx

].

Kita memiliki ker (T ) = {(0, 0)} dan Im (T ) =

R2. Akibatnya nulitas (T ) = 0dan rank (T ) = 2. Nilai eigen dari T adalah λ1 = −1 dan λ2 = 1.






y = x, maka


] [10

]=

[ac

]=

[01


] [01

]=

[bd

]=

[10


[0 11 0

]dan T

([xy

])=

[yx

].

Kita memiliki ker (T ) = {(0, 0)} dan Im (T ) = R2. Akibatnya nulitas (T ) = 0dan rank (T ) = 2.







y = x, maka


] [10

]=

[ac

]=

[01


] [01

]=

[bd

]=

[10


[0 11 0

]dan T

([xy

])=

[yx

].




Refleksi terhadap Garis y = −x di R2






y = −x, makarefleksi dari (1, 0) terhadap garis y = −x menghasilkan (0,−1), jadi[a bc d

] [10

]=

[ac

]=

[0−1

]refleksi dari (0, 1) terhadap garis y = x menghasilkan (−1, 0), jadi[a bc d

] [01

]=

[bd

]=

[−10


[0 −1−1 0

]dan

T

([xy

])=

[−y−x

]. Kita memiliki ker (T ) = {(0, 0)} dan Im (T ) = R2.

Akibatnya nulitas (T ) = 0 dan rank (T ) = 2. Nilai eigen dari T adalah λ1 = −1dan λ2 = 1.






y = −x, makarefleksi dari (1, 0) terhadap garis y = −x menghasilkan

(0,−1), jadi[a bc d

] [10

]=

[ac

]=

[0−1


] [01

]=

[bd

]=

[−10


[0 −1−1 0

]dan

T

([xy

])=

[−y−x









] [10

]=

[ac

]=

[0−1


] [01

]=

[bd

]=

[−10


[0 −1−1 0

]dan

T

([xy

])=

[−y−x









] [10

]=

[ac

]=

[0−1

]refleksi dari (0, 1) terhadap garis y = x menghasilkan

(−1, 0), jadi[a bc d

] [01

]=

[bd

]=

[−10


[0 −1−1 0

]dan

T

([xy

])=

[−y−x









] [10

]=

[ac

]=

[0−1


] [01

]=

[bd

]=

[−10


[0 −1−1 0

]dan

T

([xy

])=

[−y−x









] [10

]=

[ac

]=

[0−1


] [01

]=

[bd

]=

[−10


[0 −1−1 0

]dan

T

([xy

])=

[−y−x

]. Kita memiliki ker (T ) =

{(0, 0)} dan Im (T ) = R2.








] [10

]=

[ac

]=

[0−1


] [01

]=

[bd

]=

[−10


[0 −1−1 0

]dan

T

([xy

])=

[−y−x

]. Kita memiliki ker (T ) = {(0, 0)} dan Im (T ) =

R2.








] [10

]=

[ac

]=

[0−1


] [01

]=

[bd

]=

[−10


[0 −1−1 0

]dan

T

([xy

])=

[−y−x


Akibatnya nulitas (T ) = 0 dan rank (T ) = 2.

Nilai eigen dari T adalah λ1 = −1dan λ2 = 1.







] [10

]=

[ac

]=

[0−1


] [01

]=

[bd

]=

[−10


[0 −1−1 0

]dan

T

([xy

])=

[−y−x




Beberapa Operator Proyeksi di R2 dan R3















Proyeksi terhadap Sumbu x di R2



Garfield:

Garfield projected on the x axis:



Kita memiliki T([

xy

])=

[x0



[1 00 0

]karena

[1 00 0

] [xy

]=

[x0

]Kita memiliki ker (T ) = span {(0, 1)} dan Im (T ) = span {(1, 0)}. Jadi kernel dariT adalah sumbu y pada R2 dan peta dari T adalah sumbu x pada R2. Akibatnyanulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 1. Nilai eigen dari T adalah λ1 = 0 dan λ2 = 1.



Kita memiliki T([

xy

])=

[x0


dari T , yaitu [T ], adalah[1 00 0

]karena

[1 00 0

] [xy

]=

[x0


span {(0, 1)} dan Im (T ) = span {(1, 0)}. Jadi kernel dariT adalah sumbu y pada R2 dan peta dari T adalah sumbu x pada R2. Akibatnyanulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 1. Nilai eigen dari T adalah λ1 = 0 dan λ2 = 1.



Kita memiliki T([

xy

])=

[x0



]karena

[1 00 0

] [xy

]=

[x0

]Kita memiliki ker (T ) = span {(0, 1)} dan Im (T ) =

span {(1, 0)}. Jadi kernel dariT adalah sumbu y pada R2 dan peta dari T adalah sumbu x pada R2. Akibatnyanulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 1. Nilai eigen dari T adalah λ1 = 0 dan λ2 = 1.



Kita memiliki T([

xy

])=

[x0



]karena

[1 00 0

] [xy

]=

[x0

]Kita memiliki ker (T ) = span {(0, 1)} dan Im (T ) = span {(1, 0)}. Jadi kernel dariT adalah sumbu y pada R2 dan peta dari T adalah sumbu x pada R2. Akibatnyanulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 1.

Nilai eigen dari T adalah λ1 = 0 dan λ2 = 1.



Kita memiliki T([

xy

])=

[x0



]karena

[1 00 0

] [xy

]=

[x0

]Kita memiliki ker (T ) = span {(0, 1)} dan Im (T ) = span {(1, 0)}. Jadi kernel dariT adalah sumbu y pada R2 dan peta dari T adalah sumbu x pada R2. Akibatnyanulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 1. Nilai eigen dari T adalah λ1 = 0 dan λ2 = 1.



Proyeksi terhadap Sumbu y di R2



Garfield:

Garfield projected on the y axis:



Kita memiliki T([

xy

])=

[0y

]untuk setiap (x, y) ∈ R2. Matriks standar dari

T , yaitu [T ], adalah

[0 00 1

]karena

[0 00 1

] [xy

]=

[0y

]Kita memiliki ker (T ) = span {(1, 0)} dan Im (T ) = span {(0, 1)}. Jadi kernel dariT adalah sumbu x pada R2 peta dari T adalah sumbu y pada R2. Akibatnyanulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 1. Nilai eigen dari T adalah λ1 = 0 dan λ2 = 1.



Kita memiliki T([

xy

])=

[0y


T , yaitu [T ], adalah[0 00 1

]karena

[0 00 1

] [xy

]=

[0y


span {(1, 0)} dan Im (T ) = span {(0, 1)}. Jadi kernel dariT adalah sumbu x pada R2 peta dari T adalah sumbu y pada R2. Akibatnyanulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 1. Nilai eigen dari T adalah λ1 = 0 dan λ2 = 1.



Kita memiliki T([

xy

])=

[0y



]karena

[0 00 1

] [xy

]=

[0y

]Kita memiliki ker (T ) = span {(1, 0)} dan Im (T ) =

span {(0, 1)}. Jadi kernel dariT adalah sumbu x pada R2 peta dari T adalah sumbu y pada R2. Akibatnyanulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 1. Nilai eigen dari T adalah λ1 = 0 dan λ2 = 1.



Kita memiliki T([

xy

])=

[0y



]karena

[0 00 1

] [xy

]=

[0y

]Kita memiliki ker (T ) = span {(1, 0)} dan Im (T ) = span {(0, 1)}. Jadi kernel dariT adalah sumbu x pada R2 peta dari T adalah sumbu y pada R2. Akibatnyanulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 1.

Nilai eigen dari T adalah λ1 = 0 dan λ2 = 1.



Kita memiliki T([

xy

])=

[0y



]karena

[0 00 1

] [xy

]=

[0y

]Kita memiliki ker (T ) = span {(1, 0)} dan Im (T ) = span {(0, 1)}. Jadi kernel dariT adalah sumbu x pada R2 peta dari T adalah sumbu y pada R2. Akibatnyanulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 1. Nilai eigen dari T adalah λ1 = 0 dan λ2 = 1.



Proyeksi terhadap Bidang xy di R3



Kita memiliki T

xyz

=

xy0

untuk setiap (x, y, z) ∈ R3. Matriks standardari T , yaitu [T ], adalah

1 0 00 1 00 0 0

karena 1 0 00 1 00 0 0

xyz

= xy0

Kita memiliki ker (T ) = span {(0, 0, 1)} dan Im (T ) = span {(1, 0, 0) , (0, 1, 0)}.Jadi kernel dari R adalah sumbu z pada R3 dan peta dari T adalah bidang xypada R3. Akibatnya nulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 2. Nilai eigen dari T adalahλ1 = 0 dan λ2,3 = 1.



Kita memiliki T

xyz

=

xy0


1 0 00 1 00 0 0

karena 1 0 00 1 00 0 0

xyz

= xy0


span {(0, 0, 1)} dan Im (T ) = span {(1, 0, 0) , (0, 1, 0)}.Jadi kernel dari R adalah sumbu z pada R3 dan peta dari T adalah bidang xypada R3. Akibatnya nulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 2. Nilai eigen dari T adalahλ1 = 0 dan λ2,3 = 1.



Kita memiliki T

xyz

=

xy0


1 0 00 1 00 0 0

karena 1 0 00 1 00 0 0

xyz

= xy0

Kita memiliki ker (T ) = span {(0, 0, 1)} dan Im (T ) =

span {(1, 0, 0) , (0, 1, 0)}.Jadi kernel dari R adalah sumbu z pada R3 dan peta dari T adalah bidang xypada R3. Akibatnya nulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 2. Nilai eigen dari T adalahλ1 = 0 dan λ2,3 = 1.



Kita memiliki T

xyz

=

xy0


1 0 00 1 00 0 0

karena 1 0 00 1 00 0 0

xyz

= xy0

Kita memiliki ker (T ) = span {(0, 0, 1)} dan Im (T ) = span {(1, 0, 0) , (0, 1, 0)}.Jadi kernel dari R adalah sumbu z pada R3 dan peta dari T adalah bidang xypada R3. Akibatnya nulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 2.

Nilai eigen dari T adalahλ1 = 0 dan λ2,3 = 1.



Kita memiliki T

xyz

=

xy0


1 0 00 1 00 0 0

karena 1 0 00 1 00 0 0

xyz

= xy0

Kita memiliki ker (T ) = span {(0, 0, 1)} dan Im (T ) = span {(1, 0, 0) , (0, 1, 0)}.Jadi kernel dari R adalah sumbu z pada R3 dan peta dari T adalah bidang xypada R3. Akibatnya nulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 2. Nilai eigen dari T adalahλ1 = 0 dan λ2,3 = 1.



Proyeksi terhadap Bidang xz di R3



Kita memiliki T

xyz

=

x0z


1 0 00 0 00 0 1

karena 1 0 00 0 00 0 1

xyz

= x0z

Kita memiliki ker (T ) = span {(0, 1, 0)} dan Im (T ) = span {(1, 0, 0) , (0, 0, 1)}.Jadi kernel dari T adalahg sumbu y pada R3 dan peta dari T adalah bidang xzpada R3. Akibatnya nulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 2. Nilai eigen dari T adalahλ1 = 0 dan λ2,3 = 1.



Kita memiliki T

xyz

=

x0z


1 0 00 0 00 0 1

karena 1 0 00 0 00 0 1

xyz

= x0z


span {(0, 1, 0)} dan Im (T ) = span {(1, 0, 0) , (0, 0, 1)}.Jadi kernel dari T adalahg sumbu y pada R3 dan peta dari T adalah bidang xzpada R3. Akibatnya nulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 2. Nilai eigen dari T adalahλ1 = 0 dan λ2,3 = 1.



Kita memiliki T

xyz

=

x0z


1 0 00 0 00 0 1

karena 1 0 00 0 00 0 1

xyz

= x0z


span {(1, 0, 0) , (0, 0, 1)}.Jadi kernel dari T adalahg sumbu y pada R3 dan peta dari T adalah bidang xzpada R3. Akibatnya nulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 2. Nilai eigen dari T adalahλ1 = 0 dan λ2,3 = 1.



Kita memiliki T

xyz

=

x0z


1 0 00 0 00 0 1

karena 1 0 00 0 00 0 1

xyz

= x0z

Kita memiliki ker (T ) = span {(0, 1, 0)} dan Im (T ) = span {(1, 0, 0) , (0, 0, 1)}.Jadi kernel dari T adalahg sumbu y pada R3 dan peta dari T adalah bidang xzpada R3. Akibatnya nulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 2.




Kita memiliki T

xyz

=

x0z


1 0 00 0 00 0 1

karena 1 0 00 0 00 0 1

xyz

= x0z

Kita memiliki ker (T ) = span {(0, 1, 0)} dan Im (T ) = span {(1, 0, 0) , (0, 0, 1)}.Jadi kernel dari T adalahg sumbu y pada R3 dan peta dari T adalah bidang xzpada R3. Akibatnya nulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 2. Nilai eigen dari T adalahλ1 = 0 dan λ2,3 = 1.



Proyeksi terhadap Bidang yz di R3



Kita memiliki T

xyz

=

0yz


0 0 00 1 00 0 1

karena 0 0 00 1 00 0 1

xyz

= 0yz

Kita memiliki ker (T ) = span {(1, 0, 0)} dan Im (T ) = span {(0, 1, 0) , (0, 0, 1)}.Jadi kernel dari T adalah sumbu x pada R3 dan peta dari T adalah bidang yzpada R3. Akibatnya nulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 2. Nilai eigen dari T adalahλ1 = 0 dan λ2,3 = 1.



Kita memiliki T

xyz

=

0yz


0 0 00 1 00 0 1

karena 0 0 00 1 00 0 1

xyz

= 0yz


span {(1, 0, 0)} dan Im (T ) = span {(0, 1, 0) , (0, 0, 1)}.Jadi kernel dari T adalah sumbu x pada R3 dan peta dari T adalah bidang yzpada R3. Akibatnya nulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 2. Nilai eigen dari T adalahλ1 = 0 dan λ2,3 = 1.



Kita memiliki T

xyz

=

0yz


0 0 00 1 00 0 1

karena 0 0 00 1 00 0 1

xyz

= 0yz


span {(0, 1, 0) , (0, 0, 1)}.Jadi kernel dari T adalah sumbu x pada R3 dan peta dari T adalah bidang yzpada R3. Akibatnya nulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 2. Nilai eigen dari T adalahλ1 = 0 dan λ2,3 = 1.



Kita memiliki T

xyz

=

0yz


0 0 00 1 00 0 1

karena 0 0 00 1 00 0 1

xyz

= 0yz

Kita memiliki ker (T ) = span {(1, 0, 0)} dan Im (T ) = span {(0, 1, 0) , (0, 0, 1)}.Jadi kernel dari T adalah sumbu x pada R3 dan peta dari T adalah bidang yzpada R3. Akibatnya nulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 2.




Kita memiliki T

xyz

=

0yz


0 0 00 1 00 0 1

karena 0 0 00 1 00 0 1

xyz

= 0yz

Kita memiliki ker (T ) = span {(1, 0, 0)} dan Im (T ) = span {(0, 1, 0) , (0, 0, 1)}.Jadi kernel dari T adalah sumbu x pada R3 dan peta dari T adalah bidang yzpada R3. Akibatnya nulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 2. Nilai eigen dari T adalahλ1 = 0 dan λ2,3 = 1.


Beberapa Operator Rotasi di R2 dan R3















Rotasi Sebesar θ Berlawanan Jarum Jam di R2

Jika θ ≥ 0, biasanya rotasi sebesar θ dilakukan berlawanan jarum jam, sedangkanrotasi sebesar −θ dilakukan searah jarum jam.



Garfield:

Garfield after counterclockwise rotation by π/2 :





]adalah matriks standar dari rotasi sebesar θ yang

berlawanan arah jarum jam. Dengan cara yang serupa seperti sebelumnya, kitaakan menentukan T (1, 0) dan T (0, 1) terlebih dulu. Tinjau gambar berikut:






berlawanan arah jarum jam. Dengan cara yang serupa seperti sebelumnya, kitaakan menentukan T (1, 0) dan T (0, 1) terlebih dulu.

Tinjau gambar berikut:






berlawanan arah jarum jam. Dengan cara yang serupa seperti sebelumnya, kitaakan menentukan T (1, 0) dan T (0, 1) terlebih dulu. Tinjau gambar berikut:



Kita memiliki

T (1, 0) =

(cos θ, sin θ). Jadi[a bc d

] [10

]=

[ac

]=

[cos θsin θ

].

T (0, 1) = (− sin θ, cos θ). Jadi[a bc d

] [01

]=

[bd

]=

[− sin θcos θ

].

Akibatnya diperoleh matriks standar [T ] =[cos θ − sin θsin θ cos θ

]dan

T (x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ). Kita memiliki ker (T ) = {(0, 0)}dan Im (T ) = R2, sehingga nulitas(T ) = 0 dan rank(T ) = 2. Nilai eigen dari Tadalah λ1 = cos θ − i sin θ dan λ2 = cos θ + i sin θ.



Kita memiliki

T (1, 0) = (cos θ, sin θ). Jadi

[a bc d

] [10

]=

[ac

]=

[cos θsin θ

].


] [01

]=

[bd

]=

[− sin θcos θ

].


]dan




Kita memiliki

T (1, 0) = (cos θ, sin θ). Jadi[a bc d

] [10

]=

[ac

]=

[cos θsin θ

].

T (0, 1) =

(− sin θ, cos θ). Jadi[a bc d

] [01

]=

[bd

]=

[− sin θcos θ

].


]dan




Kita memiliki


] [10

]=

[ac

]=

[cos θsin θ

].

T (0, 1) = (− sin θ, cos θ). Jadi

[a bc d

] [01

]=

[bd

]=

[− sin θcos θ

].


]dan




Kita memiliki


] [10

]=

[ac

]=

[cos θsin θ

].


] [01

]=

[bd

]=

[− sin θcos θ

].

Akibatnya diperoleh matriks standar [T ] =

[cos θ − sin θsin θ cos θ

]dan




Kita memiliki


] [10

]=

[ac

]=

[cos θsin θ

].


] [01

]=

[bd

]=

[− sin θcos θ

].


]dan

T (x, y) =

(x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ). Kita memiliki ker (T ) = {(0, 0)}dan Im (T ) = R2, sehingga nulitas(T ) = 0 dan rank(T ) = 2. Nilai eigen dari Tadalah λ1 = cos θ − i sin θ dan λ2 = cos θ + i sin θ.



Kita memiliki


] [10

]=

[ac

]=

[cos θsin θ

].


] [01

]=

[bd

]=

[− sin θcos θ

].


]dan

T (x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ). Kita memiliki ker (T ) =

{(0, 0)}dan Im (T ) = R2, sehingga nulitas(T ) = 0 dan rank(T ) = 2. Nilai eigen dari Tadalah λ1 = cos θ − i sin θ dan λ2 = cos θ + i sin θ.



Kita memiliki


] [10

]=

[ac

]=

[cos θsin θ

].


] [01

]=

[bd

]=

[− sin θcos θ

].


]dan

T (x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ). Kita memiliki ker (T ) = {(0, 0)}dan Im (T ) =

R2, sehingga nulitas(T ) = 0 dan rank(T ) = 2. Nilai eigen dari Tadalah λ1 = cos θ − i sin θ dan λ2 = cos θ + i sin θ.



Kita memiliki


] [10

]=

[ac

]=

[cos θsin θ

].


] [01

]=

[bd

]=

[− sin θcos θ

].


]dan

T (x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ). Kita memiliki ker (T ) = {(0, 0)}dan Im (T ) = R2, sehingga nulitas(T ) = 0 dan rank(T ) = 2.

Nilai eigen dari Tadalah λ1 = cos θ − i sin θ dan λ2 = cos θ + i sin θ.



Kita memiliki


] [10

]=

[ac

]=

[cos θsin θ

].


] [01

]=

[bd

]=

[− sin θcos θ

].


]dan




Rotasi Sebesar θ dengan Sumbu Rotasi x di R3

Pada gambar di atas, x adalah vektor yang dirotasi dan w adalah hasil rotasi darix.




Misalkan [T ] =

a b cd e fg h i

adalah matriks standar dari rotasi sebesar θ yangberlawanan arah jarum jam dengan sumbu rotasi adalah sumbu x di R3. Serupaseperti sebelumnya, kita akan menentukan T (1, 0, 0), T (0, 1, 0), dan T (0, 0, 1)terlebih dulu. Dengan hasil yang diperoleh untuk rotasi pada R2, kita memiliki

T (1, 0, 0) = (1, 0, 0). Jadi

a b cd e fg h i

100

= adg

= 100

T (0, 1, 0) = (0, cos θ, sin θ). Jadi a b cd e fg h i

010

= beh

= 0cos θsin θ

T (0, 0, 1) = (0,− sin θ, cos θ). Jadi a b cd e fg h i

001

= cfi

= 0− sin θcos θ




1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

danT (x, y, z) = (x, y cos θ − z sin θ, y sin θ + z cos θ). Kita memilikiker (T ) = {(0, 0, 0)} dan Im (T ) = R3, sehingga nulitas(T ) = 0 danrank(T ) = 3. Nilai eigen dari T adalah λ1 = 1, λ2 = cos θ + i sin θ, danλ3 = cos θ − i sin θ.





danT (x, y, z) =

(x, y cos θ − z sin θ, y sin θ + z cos θ). Kita memilikiker (T ) = {(0, 0, 0)} dan Im (T ) = R3, sehingga nulitas(T ) = 0 danrank(T ) = 3. Nilai eigen dari T adalah λ1 = 1, λ2 = cos θ + i sin θ, danλ3 = cos θ − i sin θ.





danT (x, y, z) = (x, y cos θ − z sin θ, y sin θ + z cos θ). Kita memilikiker (T ) =

{(0, 0, 0)} dan Im (T ) = R3, sehingga nulitas(T ) = 0 danrank(T ) = 3. Nilai eigen dari T adalah λ1 = 1, λ2 = cos θ + i sin θ, danλ3 = cos θ − i sin θ.





danT (x, y, z) = (x, y cos θ − z sin θ, y sin θ + z cos θ). Kita memilikiker (T ) = {(0, 0, 0)} dan Im (T ) =

R3, sehingga nulitas(T ) = 0 danrank(T ) = 3. Nilai eigen dari T adalah λ1 = 1, λ2 = cos θ + i sin θ, danλ3 = cos θ − i sin θ.





danT (x, y, z) = (x, y cos θ − z sin θ, y sin θ + z cos θ). Kita memilikiker (T ) = {(0, 0, 0)} dan Im (T ) = R3, sehingga nulitas(T ) = 0 danrank(T ) = 3.

Nilai eigen dari T adalah λ1 = 1, λ2 = cos θ + i sin θ, danλ3 = cos θ − i sin θ.





danT (x, y, z) = (x, y cos θ − z sin θ, y sin θ + z cos θ). Kita memilikiker (T ) = {(0, 0, 0)} dan Im (T ) = R3, sehingga nulitas(T ) = 0 danrank(T ) = 3. Nilai eigen dari T adalah λ1 = 1, λ2 = cos θ + i sin θ, danλ3 = cos θ − i sin θ.



Rotasi Sebesar θ dengan Sumbu Rotasi y di R3




Sama seperti sebelumnya, kita dapat mencari persamaan untuk T dan matriks

standar [T ] secara simultan. Kita memiliki [T ] =

cos θ 0 − sin θ0 1 0sin θ 0 cos θ

danT (x, y, z) = (x cos θ + z sin θ, y,−x sin θ + z cos θ). Kemudianker (T ) = {(0, 0, 0)} dan Im (T ) = R3, sehingga nulitas(T ) = 0 danrank(T ) = 3. Nilai eigen dari T adalah λ1 = 1, λ2 = cos θ + i sin θ, danλ3 = cos θ − i sin θ.






danT (x, y, z) =

(x cos θ + z sin θ, y,−x sin θ + z cos θ). Kemudianker (T ) = {(0, 0, 0)} dan Im (T ) = R3, sehingga nulitas(T ) = 0 danrank(T ) = 3. Nilai eigen dari T adalah λ1 = 1, λ2 = cos θ + i sin θ, danλ3 = cos θ − i sin θ.






danT (x, y, z) = (x cos θ + z sin θ, y,−x sin θ + z cos θ). Kemudianker (T ) =







danT (x, y, z) = (x cos θ + z sin θ, y,−x sin θ + z cos θ). Kemudianker (T ) = {(0, 0, 0)} dan Im (T ) =







danT (x, y, z) = (x cos θ + z sin θ, y,−x sin θ + z cos θ). Kemudianker (T ) = {(0, 0, 0)} dan Im (T ) = R3, sehingga nulitas(T ) = 0 danrank(T ) = 3.







danT (x, y, z) = (x cos θ + z sin θ, y,−x sin θ + z cos θ). Kemudianker (T ) = {(0, 0, 0)} dan Im (T ) = R3, sehingga nulitas(T ) = 0 danrank(T ) = 3. Nilai eigen dari T adalah λ1 = 1, λ2 = cos θ + i sin θ, danλ3 = cos θ − i sin θ.



Rotasi Sebesar θ dengan Sumbu Rotasi z di R3






cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 00 0 1

danT (x, y, z) = (x cos θ + y sin θ,−x sin θ + y cos θ, z). Kemudianker (T ) = {(0, 0, 0)} dan Im (T ) = R3, sehingga nulitas(T ) = 0 danrank(T ) = 3. Nilai eigen dari T adalah λ1 = 1, λ2 = cos θ + i sin θ, danλ3 = cos θ − i sin θ.






danT (x, y, z) =

(x cos θ + y sin θ,−x sin θ + y cos θ, z). Kemudianker (T ) = {(0, 0, 0)} dan Im (T ) = R3, sehingga nulitas(T ) = 0 danrank(T ) = 3. Nilai eigen dari T adalah λ1 = 1, λ2 = cos θ + i sin θ, danλ3 = cos θ − i sin θ.






danT (x, y, z) = (x cos θ + y sin θ,−x sin θ + y cos θ, z). Kemudianker (T ) =







danT (x, y, z) = (x cos θ + y sin θ,−x sin θ + y cos θ, z). Kemudianker (T ) = {(0, 0, 0)} dan Im (T ) =







danT (x, y, z) = (x cos θ + y sin θ,−x sin θ + y cos θ, z). Kemudianker (T ) = {(0, 0, 0)} dan Im (T ) = R3, sehingga nulitas(T ) = 0 danrank(T ) = 3.







danT (x, y, z) = (x cos θ + y sin θ,−x sin θ + y cos θ, z). Kemudianker (T ) = {(0, 0, 0)} dan Im (T ) = R3, sehingga nulitas(T ) = 0 danrank(T ) = 3. Nilai eigen dari T adalah λ1 = 1, λ2 = cos θ + i sin θ, danλ3 = cos θ − i sin θ.


Operator Dilasi/ Dilatasi dan Kontraksi di R2 dan R3















Operator Dilasi dan Kontraksi

Definisi (Dilasi/ Dilatasi dan Kontraksi)

Diberikan ruang vektor R2 atau R3 dan sebuah bilangan real positif k.Transformasi linier

T (~v) = k~v

dikatakan sebagai

1 kontraksi (contraction) dengan faktor k apabila 0 < k ≤ 12 dilasi (dilation) dengan faktor k apabila k > 1



Operator kontraksi

Operator dilasi



Garfield:

Garfield after a contraction:

Garfield after a dilation:



Pada operator dilasi maupun kontraksi, kita memiliki

T (x, y) =

(kx, ky) untuk setiap (x, y) ∈ R2,T (x, y, z) = (kx, ky, kz) untuk setiap (x, y, z) ∈ R3

Akibatnya matriks standar dari T adalah

[T ] =

[k 00 k

]di R2; [T ] =

k 0 00 k 00 0 k

di R3.

Mengingat k 6= 0, maka ker (T ) ={~0}, Im (T ) = R2 jika T merupakan operator

pada R2 dan Im (T ) = R3 jika T merupakan operator pada R3. Oleh karenanyanulitas(T ) = 0 serta rank(T ) = 2 jika T merupakan operator pada R2 danrank(T ) = 3 jika T merupakan operator pada R3. Nilai eigen dari T adalah k,dengan ma (k) = 2 jika T adalah operator pada R2 dan ma (k) = 3 jika T adalahoperator pada R3.




T (x, y) = (kx, ky) untuk setiap (x, y) ∈ R2,T (x, y, z) =

(kx, ky, kz) untuk setiap (x, y, z) ∈ R3


[T ] =

[k 00 k

]di R2; [T ] =

k 0 00 k 00 0 k

di R3.






T (x, y) = (kx, ky) untuk setiap (x, y) ∈ R2,T (x, y, z) = (kx, ky, kz) untuk setiap (x, y, z) ∈ R3


[T ] =

[k 00 k

]di R2; [T ] =

k 0 00 k 00 0 k

di R3.








[T ] =

[k 00 k

]di R2; [T ] =

k 0 00 k 00 0 k

di R3.

Mengingat k 6= 0, maka ker (T ) =

{~0}, Im (T ) = R2 jika T merupakan operator







[T ] =

[k 00 k

]di R2; [T ] =

k 0 00 k 00 0 k

di R3.

Mengingat k 6= 0, maka ker (T ) ={~0}, Im (T ) =

R2 jika T merupakan operatorpada R2 dan Im (T ) = R3 jika T merupakan operator pada R3. Oleh karenanyanulitas(T ) = 0 serta rank(T ) = 2 jika T merupakan operator pada R2 danrank(T ) = 3 jika T merupakan operator pada R3. Nilai eigen dari T adalah k,dengan ma (k) = 2 jika T adalah operator pada R2 dan ma (k) = 3 jika T adalahoperator pada R3.






[T ] =

[k 00 k

]di R2; [T ] =

k 0 00 k 00 0 k

di R3.


pada R2 dan Im (T ) =

R3 jika T merupakan operator pada R3. Oleh karenanyanulitas(T ) = 0 serta rank(T ) = 2 jika T merupakan operator pada R2 danrank(T ) = 3 jika T merupakan operator pada R3. Nilai eigen dari T adalah k,dengan ma (k) = 2 jika T adalah operator pada R2 dan ma (k) = 3 jika T adalahoperator pada R3.






[T ] =

[k 00 k

]di R2; [T ] =

k 0 00 k 00 0 k

di R3.


pada R2 dan Im (T ) = R3 jika T merupakan operator pada R3. Oleh karenanyanulitas(T ) = 0 serta rank(T ) = 2 jika T merupakan operator pada R2 danrank(T ) = 3 jika T merupakan operator pada R3.

Nilai eigen dari T adalah k,dengan ma (k) = 2 jika T adalah operator pada R2 dan ma (k) = 3 jika T adalahoperator pada R3.






[T ] =

[k 00 k

]di R2; [T ] =

k 0 00 k 00 0 k

di R3.




Operator Kompresi, Ekspansi, dan Transveksi di R2 dan R3















Operator Kompresi dan Ekspansi

Pada dilasi/ kontraksi, setiap koordinat dari x maupun y (dan z jika ada)dikalikan dengan suatu bilangan real positif k.

Pada kompresi dan ekspansi(terkadang juga disebut sebagai shear), hanya satu koordinat saja yangdikalikan dengan suatu bilangan real positif k. Kompresi terjadi jika 0 < k ≤ 1dan ekspansi terjadi jika k > 1.



Operator Kompresi dan Ekspansi

Pada dilasi/ kontraksi, setiap koordinat dari x maupun y (dan z jika ada)dikalikan dengan suatu bilangan real positif k. Pada kompresi dan ekspansi(terkadang juga disebut sebagai shear), hanya satu koordinat saja yangdikalikan dengan suatu bilangan real positif k. Kompresi terjadi jika 0 < k ≤ 1dan ekspansi terjadi jika k > 1.



Ilustrasi kompresi di R2

Ilustrasi ekspansi di R2



Garfield:

Garfield after compression along x and y axis, respectively :

Garfield after expansion along x and y axis, respectively :



Persamaan dan Matriks Standar Operator Kompresi danEkspansi

Operator kompresi maupun ekspansi terhadap sumbu x pada R2 memilikipersamaan T (x, y) =

(kx, y) untuk setiap (x, y) ∈ R2. Matriks standar dari T

adalah [T ] =[k 00 1

].

Operator kompresi maupun ekspansi terhadap sumbu y pada R2 memilikipersamaan T (x, y) = (x, ky) untuk setiap (x, y) ∈ R2. Matriks standar dari T

adalah [T ] =[1 00 k

].

Pada keempat operator yang dijelaskan di atas, kita memiliki ker (T ) = {(0, 0)}dan Im (T ) = R2, sehingga nulitas(T ) = 0 dan rank(T ) = 2. Nilai eigen dari Tadalah λ1 = 1 dan λ2 = k.




Operator kompresi maupun ekspansi terhadap sumbu x pada R2 memilikipersamaan T (x, y) = (kx, y) untuk setiap (x, y) ∈ R2. Matriks standar dari T

adalah [T ] =

[k 00 1

].



].







].

Operator kompresi maupun ekspansi terhadap sumbu y pada R2 memilikipersamaan T (x, y) =

(x, ky) untuk setiap (x, y) ∈ R2. Matriks standar dari T


].







].


adalah [T ] =

[1 00 k

].







].



].

Pada keempat operator yang dijelaskan di atas, kita memiliki ker (T ) =

{(0, 0)}dan Im (T ) = R2, sehingga nulitas(T ) = 0 dan rank(T ) = 2. Nilai eigen dari Tadalah λ1 = 1 dan λ2 = k.






].



].

Pada keempat operator yang dijelaskan di atas, kita memiliki ker (T ) = {(0, 0)}dan Im (T ) =

R2, sehingga nulitas(T ) = 0 dan rank(T ) = 2. Nilai eigen dari Tadalah λ1 = 1 dan λ2 = k.






].



].

Pada keempat operator yang dijelaskan di atas, kita memiliki ker (T ) = {(0, 0)}dan Im (T ) = R2, sehingga nulitas(T ) = 0 dan rank(T ) = 2.

Nilai eigen dari Tadalah λ1 = 1 dan λ2 = k.






].



].




Operator kompresi maupun ekspansi terhadap sumbu x pada R3 memilikipersamaan T (x, y, z) =

(kx, y, z) untuk setiap (x, y, z) ∈ R2. Matriks standar

dari T adalah [T ] =

k 0 00 1 00 0 1

.Operator kompresi maupun ekspansi terhadap sumbu y pada R3 memilikipersamaan T (x, y, z) = (x, ky, z) untuk setiap (x, y, z) ∈ R2. Matriks standar


1 0 00 k 00 0 1

.Operator kompresi maupun ekspansi terhadap sumbu z pada R3 memilikipersamaan T (x, y, z) = (x, y, kz) untuk setiap (x, y, z) ∈ R2. Matriks standar


1 0 00 1 00 0 k

.Pada keenam operator yang dijelaskan di atas, kita memiliki ker (T ) = {(0, 0, 0)}dan Im (T ) = R3, sehingga nulitas(T ) = 0 dan rank(T ) = 3. Nilai eigen dari Tadalah λ1,2 = 1 dan λ3 = k.



Operator kompresi maupun ekspansi terhadap sumbu x pada R3 memilikipersamaan T (x, y, z) = (kx, y, z) untuk setiap (x, y, z) ∈ R2. Matriks standar


k 0 00 1 00 0 1



1 0 00 k 00 0 1



1 0 00 1 00 0 k






k 0 00 1 00 0 1

.Operator kompresi maupun ekspansi terhadap sumbu y pada R3 memilikipersamaan T (x, y, z) =

(x, ky, z) untuk setiap (x, y, z) ∈ R2. Matriks standar


1 0 00 k 00 0 1



1 0 00 1 00 0 k






k 0 00 1 00 0 1



1 0 00 k 00 0 1



1 0 00 1 00 0 k






k 0 00 1 00 0 1



1 0 00 k 00 0 1

.Operator kompresi maupun ekspansi terhadap sumbu z pada R3 memilikipersamaan T (x, y, z) =

(x, y, kz) untuk setiap (x, y, z) ∈ R2. Matriks standar


1 0 00 1 00 0 k






k 0 00 1 00 0 1



1 0 00 k 00 0 1



1 0 00 1 00 0 k






k 0 00 1 00 0 1



1 0 00 k 00 0 1



1 0 00 1 00 0 k

.Pada keenam operator yang dijelaskan di atas, kita memiliki ker (T ) =

{(0, 0, 0)}dan Im (T ) = R3, sehingga nulitas(T ) = 0 dan rank(T ) = 3. Nilai eigen dari Tadalah λ1,2 = 1 dan λ3 = k.





k 0 00 1 00 0 1



1 0 00 k 00 0 1



1 0 00 1 00 0 k

.Pada keenam operator yang dijelaskan di atas, kita memiliki ker (T ) = {(0, 0, 0)}dan Im (T ) =

R3, sehingga nulitas(T ) = 0 dan rank(T ) = 3. Nilai eigen dari Tadalah λ1,2 = 1 dan λ3 = k.





k 0 00 1 00 0 1



1 0 00 k 00 0 1



1 0 00 1 00 0 k

.Pada keenam operator yang dijelaskan di atas, kita memiliki ker (T ) = {(0, 0, 0)}dan Im (T ) = R3, sehingga nulitas(T ) = 0 dan rank(T ) = 3.

Nilai eigen dari Tadalah λ1,2 = 1 dan λ3 = k.





k 0 00 1 00 0 1



1 0 00 k 00 0 1



1 0 00 1 00 0 k




Transveksi pada R2

Transveksi merupakan suatu bentuk shear yang lebih umum dari kompresimaupun ekspansi. Transveksi dengan faktor k ∈ R pada R2 adalah transformasiyang memiliki persamaan T (x, y) = (x+ ky, y) atau T (x, y) = (x, y + kx).

Jika T (x, y) = (x+ ky, y) maka titik (x, y) dipetakan ke titik yangordinatnya sama tetapi absisnya digeser sebanyak ky dengan y adalah nilaiordinat titik mula-mula.

Jika T (x, y) = (x, y + kx) maka titik (x, y) dipetakan ke titik yang absisnyasama tetapi ordinatnya digeser sebanyak kx dengan x adalah nilai absis titikmula-mula.



Transveksi pada arah x

Transveksi pada arah y



Garfield:

Garfield after transvection in the x direction:

Garfield after transvection in the y direction:



Persamaan dan Matriks Standar Operator Transveksi

Jika T (x, y) = (x+ ky, y) adalah suatu transveksi pada arah x dengan

faktor k, maka matriks standar untuk T adalah [T ] =

[1 k0 1

].

Jika T (x, y) = (x, y + kx) adalah suatu transveksi pada arah y dengan

faktor k, maka matriks standar untuk T adalah [T ] =[1 0k 1

].

Pada dua operator di atas, kita memiliki ker (T ) = {(0, 0)} dan Im (T ) = R2.Akibatnya nulitas(T ) = 0 dan rank(T ) = 2. Nilai eigen dari T adalah λ1,2 = 1.





faktor k, maka matriks standar untuk T adalah [T ] =[1 k0 1

].


faktor k, maka matriks standar untuk T adalah [T ] =

[1 0k 1

].







].



].

Pada dua operator di atas, kita memiliki ker (T ) =

{(0, 0)} dan Im (T ) = R2.Akibatnya nulitas(T ) = 0 dan rank(T ) = 2. Nilai eigen dari T adalah λ1,2 = 1.






].



].

Pada dua operator di atas, kita memiliki ker (T ) = {(0, 0)} dan Im (T ) =

R2.Akibatnya nulitas(T ) = 0 dan rank(T ) = 2. Nilai eigen dari T adalah λ1,2 = 1.






].



].

Pada dua operator di atas, kita memiliki ker (T ) = {(0, 0)} dan Im (T ) = R2.Akibatnya nulitas(T ) = 0 dan rank(T ) = 2.

Nilai eigen dari T adalah λ1,2 = 1.






].



].



Transformasi Linier (Pemetaan Linier) - Telkom...

Documents

Transcript of Transformasi Linier (Pemetaan Linier) - Telkom...