ME.07 Transformarea Fourier

Cuvinte cheie

Functii absolut integrabile, transformarea Fourier, transformate Fourier, derivare,integrare, convolutie, liniaritate. asemanare, ıntarziere, deplasare, formule deinversare, relatia lui Parseval

ME.07.1 Introducere

Transformarea Fourier reprezinta una dintre cele mai semnificative inovatiidin istoria matematicii, cu aplicatii ın foarte multe domenii din matematica,fizica si inginerie.

Primele elemente ale transformarii Fourier apar ın cercetarile lui Newtonprivind reflexia luminii printr-o prisma si descoperirea descompunerii luminiialbe ın culorile spectrului. Idei conexe apar si la Euler, care a enuntat ın 1748posibilitatea reprezentarii configuratiei (?) vibrante ca o combinatie liniara de”moduri normale”.

Jean Baptiste de Fourier (1768 - 1830) ıncepe sa fie preocupat de subiectın 1799, cand participa ın calitate oficiala de fizician la campania lui Napoleonın Egipt. Studiind problema propagarii caldurii, el a ajuns la descoperireaseriilor Fourier, pe care le-a prezentat ın 1807 la Academia Franceza. Plecandde la reprezentarea functiilor periodice prin dezvoltari de sinusuri si cosinusuri,Fourier o extinde la reprezentarea functiilor aperiodice ca integrale de astfel defunctii si astfel apare ideea de transformare Fourier. Aceste idei sunt expuseın cartea ”Teoria analitica a caldurii” publicata de Fourier ın 1822.

Deducerea empirica a transformarii fourier se poate sintetiza astfel: pen-tru o functie periodica de perioada T > 0 are loc reprezentarea ın serie

Fourier complexa f(x) =∞∑

n=−∞c−ne

−inωx iar coeficientii Fourier sunt c−n =

1T

T/2∫−T/2

f(y)einωydy, unde ω = 2πT .

Inlocuind ın serie se obtine formula f(x) = 12π

T/2∫−T/2

f(y)

( ∞∑n=−∞

2πT e−inω(x−y)

)dy.

1

2

Se considera o diviziune echidistanta δ = (ξn)n∈Z a lui R, cu ξn = nω,deci cu norma ν(δ) = ξn+1 − ξn = ω = 2π

T . La limita, pentru T → ∞ rezultaν(δ)→ 0 si se presupune (formal) ca suma din formula , scrisa ca o suma in-

tegrala∞∑

n=−∞e−iξn(x−y)(ξn+1− ξn) tinde la integrala Riemann

∞∫−∞

e−iξ(x−y)dξ.

Formula de mai sus devine la limita reprezentarea functiei f ca integrala

Fourier f(x) = 12π

∞∫−∞

(∞∫−∞

f(y)e−iξ(x−y)dy

)dξ.

Scriind f(x) = 12π

∞∫−∞

e−iξx

(∞∫−∞

f(y)eiξydy

)dξ se defineste transformata

Fourier f(ξ) =∞∫−∞

f(x)eiξxdx iar din formula obtinuta se deduce formula

de inversare f(x) = 12π

∞∫−∞

f(ξ)e−iξxdξ.

In realitate sunt necesare diferite tipuri de conditii care sa asigure convergentaintegralelor improprii ın discutie sau comportari adecvate ale functiilor f(x)si f(ξ), ajungandu-se la extinderi ın cadrul teoriei distributiilor sau la trans-formarea Fourier multidimensionala.

ME.07.2 Transformarea Fourier a functiilor din L1

Notam cu L1 sau L1(R) multimea functiilor absolut integrabile pe R,

adica functiile f : R → C cu proprietatea ‖f‖1 =∞∫−∞|f(x)|dx < ∞. Din

convergenta integralei improprii rezulta limx→±∞

f(x) = 0, ∀f ∈ L1.

Definitie Se numeste transformata Fourier a functiei f ∈ L1 functiaf(ξ) definita de integrala cu parametru

F[f(x)] = f(ξ) =

∞∫−∞

f(x)eiξxdx (1)

Functia f este bine definita, deoarece |eiξx| = 1 si deci |f(ξ)| ≤∞∫−∞|f(x)||eiξx|dx =

∞∫−∞|f(x)|dx <∞.

Se poate arata ca daca f ∈ L1 atunci transformata ei Fourier este ın L∞

si satisface ‖f‖∞ ≤ ‖f‖1. In plus f ∈ C0(R), spatiul functiilor continue carese anuleaza la infinit (lema Riemann- Lebesgue).

Operatorul F definit de (1) se numeste transformarea Fourier. Variabilax ∈ R are de multe ori semnificatia de timp, iar variabila ξ are semnificatia

3

de frecventa; functia f(x) se numeste semnalul ın domeniul timp, iar f(ξ)semnalul ın domeniul frecventa. Marimea |f(ξ)| se numeste amplitudine iarϕ(ξ) = arctg (Im f(ξ)/Re f(ξ)) se numeste faza.

Exemplul 1. f(x) = e−a2x2 , a > 0

Pentru a verifica conditia f ∈ L1 se utilizeaza integrala lui Euler∞∫−∞

e−u2du =

√π. Se obtine, cu schimbarea de variabila u = ax,

∞∫−∞|f(x)|dx =

∞∫−∞

e−a2x2dx =

1a

∞∫−∞

e−u2du =

√πa <∞, deci f ∈ L1.

Calculam transformata Fourier F[e−a2x2 ] =

∞∫−∞

e−a2x2eiξxdx =

∞∫−∞

e−[a2x2−iξx]dx.

Formam un patrat perfect a2x2 − iξx = (ax)2 − 2(ax) iξ2a +(iξ2a

)2−(iξ2a

)2=(

ax− iξ2a

)2+ ξ2

4a2deci F[e−a

2x2 ] = e−ξ2

4a2

∞∫−∞

e(ax−iξ2a)

2

dx. Cu schimbarea

de variabila z = ax − iξ2a si cu Teorema fundamentala Cauchy aplicata in-

tegralei curbilinii complexe∮Γ

e−z2dz (unde Γ este reunuinea axei reale cu

paralela prin iξ2a la axa reala) se obtine F[e−a

2x2 ] = e−ξ2

4a2

∞∫−∞

e−z2dz, deci

F[e−a2x2 ] =

√πa e− ξ2

4a2 .

Exemplul 2. f(x) = e−a|x|, a > 0

Deoarece |x| =

{x , x ≥ 0

−x , x < 0, se obtine F[e−a|x|] =

∞∫−∞

e−a|x|eiξxdx =

0∫−∞

eaxeiξxdx+∞∫0

e−axeiξxdx = 1a+iξe

(a+iξ)x|0−∞+ 1−(a−iξ)e

−(a−iξ)x|∞0 = 1a+iξ +

1a−iξ = 2a

ξ2+a2.

Exemplul 3. Se considera functia r(x) =

{1 , x ∈ (−1/2, 1/2)

0 , ın restcare reprezinta

un semnal de tip puls rectangular de amplitudine 1 si latime 1. (Fig. 1)

Transformarea Fourier este r(ξ) =∞∫−∞

r(x)eiξxdx =1/2∫−1/2

eiξxdx = 1iξe

iξx∣∣∣1/2−1/2

=

2ξei·ξ/2−e−i·ξ/2

2i = 2 sin ξ/2ξ = sinc (ξ/2). Functia sinc se defineste prin sinc(s) =

sin ss si are graficul din Fig. 2.

4

ME.07.3 Proprietatile transformarii Fourier

Transformarea Fourier este un instrument eficient de rezolvare a multor prob-leme din diverse domenii datorita proprietatilor ei care evidentiaza conexiuniledintre operatii ın domeniul timp si operatii ın domeniul frecventa.

1. Liniaritate

F[αf + βg] = αF[f ] + βF[g], ∀f, g ∈ L1, ∀α, β ∈ C (2)

Evident αf+βg ∈ L1, iar din definitia transformatei Fourier si din proprietateade liniaritate a integralei rezulta

+∞∫−∞

[αf(x) + βg(x)]eiξxdx = α+∞∫−∞

f(x)eiξxdx+ β+∞∫−∞

g(x)eiξxdx,

adica egalitatea (2).

2. Asemanare (sau schimbarea scalei timpului)

F[f(ax)] =1

af

(ξ

a

), a > 0 (3)

Formula se obtine din definitie si schimbarea de variabila t = ax :

F[f(ax)] =+∞∫−∞

f(ax)eiξxdx =+∞∫−∞

f(t)eiξat dta = 1

a f(ξa

).

Exemplul 4. Consideram semnalul puls de amplitudine A si la time L,notat rAL (Fig. 3). Se observa ca rAL = Ar(ax) cu a = 1/L.

Din Exemplul 3, aplicand proprietatile de liniaritate si asemanare, obtinem

F[rAL(t)] = F[Ar(ax))] = A · 1asinc ξ

2a = ALsincLξ2 = 2Asin Lξ

2ξ .

Observatie In mod analog se poate demonstra ca pentru a < 0 Ff(ax)] =

1a

−∞∫+∞

f(t)eiξatdt = − 1

a f(ξa

)si cum |a| = −a formula (3) se poate scrie

F[f(ax)] = 1|a| f

(ξa

), a 6= 0.

3. Intarziere

F[f(x− a)] = eiξaf(ξ), a ∈ R (4)

Calculam integrala cu schimbarea de variabila t = x− a:

F[f(x−a)] =+∞∫−∞

f(x−a)eiξxdx =+∞∫−∞

f(t)eiξ(t+a)dt = eiξa+∞∫−∞

f(t)eiξtdt =

eiξaf(ξ).

Exemplul 5. Consideram semnalul puls de amplitudine A, latime L si cen-tru C, rALC(x) = Ar

(L2 (x− C)

)= rAL(x−C). Obtinem, utilizand Exemplul

4:

F[rALC(x)] = F[rAL(x− C)] = eiξCF[rAL(x)] = ALeiξCsincLξ2 .

5

4. Deplasare (translatie)

F[eiaxf(x)] = f(ξ + a), a ∈ R (5)

Un calcul simplu arata ca F[eiaxf(x)] =∞∫−∞

eiaxf(x)eiξxdx =∞∫−∞

f(x)ei(ξ+a)xdx =

f(ξ + a).Exemplul 6. Se considera f(x) = e−x

2+2ix. Se utilizeaza Exemplul 1 cu

a = 1 si deplasarea si se obtine F[e2ixe−x

2]

= f(ξ + 2) =√πe

(ξ+2)2

4 .

5. Derivarea ın domeniul timp

F[f ′(x)] = −iξf(ξ), (6)

F[f (n)(x)] = (−iξ)nf(ξ), n ≥ 1 (7)

Calculul se baxeazape formula de integrare pri n partib∫af ′(x)g(x)dx = f(x)g(x)|ba−

b∫af(x)g′(x)dx cu g(x) = eiξx. Se obtine F[f ′(x)] =

∞∫−∞

f ′(x)eiξxdx = f(x)eiξx|∞−∞−∞∫−∞

f(x)(ieiξx)dx = −iξ∞∫−∞

f(x)eiξxdx = −iξf(ξ), deoarece lim±∞|f(x)eiξx| =

lim±∞|f(x)| = 0, functia f fiind absolut integrabila.

Generalizarea (7) este deci adevarata pentru n = 1. O presupunem adevaratapentru n si o demonstram pentru n+ 1, aplicand (6) functiei f (n):

F[f (n+1)(x)] = F[(f (n)(x)

)′] == −iξF[f (n)(x)] = −iξ(−iξ)nf(ξ) = (−iξ)n+1f(ξ),

deci (7) este adevarata∀n ≥ 1.Formulele (6) si (7) sunt utilizate pentru rezolvarea unor ecuatii diferentiale

si cu derivate partiale.6. Derivarea ın domeniul frecventa

F[ixf(x)] = f ′(ξ), (8)

daca xf(x) ∈ L1 si daca integrala se poate deriva ın raport cu parametrul ξ.

F[(ix)nf(x)] = f (n)(ξ), daca xnf(x) ∈ L1, n ≥ 1 (9)

Intr-adevar, f ′(ξ) =

(∞∫−∞

f(x)eiξxdx

)′=∞∫−∞

f(x)ixeiξxdx = F[ixf(x)], deci

are loc (8). Formula (8) arata ca (9) este adevarata pentru n = 1. Presupunemca (9) este adevarata pentru n. Din nou din (8) obtinem F[(ix)n+1f(x)] =

F[ix ((ix)nf(x))] = (F[(ix)nf(x)])′ =(f (n)(ξ)

)′= f (n+1)(ξ), deci (9) este

adevarata ∀n ≥ 1.

6

7. Integrarea ın domeniul timp

F[

x∫−∞

f(t)dt] =if(ξ)

ξ+ πf(0)δ(ξ) (10)

Notam cu g(x) =x∫−∞

f(t)dt (deci g′(x) = f(x)). Functia g verifica limx→−∞

g(x) =

0 si limx→∞

g(x) =∞∫−∞

f(t)dt =∞∫−∞

f(t)eiξtdt|ξ=0 = f(0), deci nu veifica limx→∞

g(x) =

0. Consideram functia h(x) = g(x) − f(0)H(x), care verifica limx→∞

h(x) =

f(0)− f(0) = 0 (H este functia treapta unitate, a se vedea Exercitiul 10).Din Exemplul 13, H ′ = δ si obtinem h′(x) = f(x)− f(0)δ. Se aplica trans-

formarea Fourier, proprietatea de derivare si F[δ] = 1 si se obtine −iξh(ξ) =

f(ξ) − f(0), de unde h(ξ) = i f(ξ)ξ − i

f(0)ξ . Din g(ξ) = h(ξ) + f(0)F[H(x)] si

F[H(x)] = iξ + πδ(ξ) se obtine (10).

In particular, daca f(0) =∞∫−∞

f(t)dt = 0, atunci F[x∫−∞

f(t)dt] = if(ξ)ξ .

Definitie Se numeste produsul de convolutie al functiilor f si g (sauconvolutia functiilor f si g ) functia f ∗ g definita de

(f ∗ g)(x) =

∞∫−∞

f(t)g(x− t)dt. (11)

8. Produsul de convolutie

F[(f ∗ g)(x)] = f(ξ)g(ξ). (12)

Aplicam definitia transformatei Fourier. Obtinem , schimband ordinea deintegrare ın integrala dubla:

F[(f ∗ g)(x)] =∞∫−∞

(f ∗ g)(x)eiξtdt =∞∫−∞

(∞∫−∞

f(t)g(x− t)dt

)eiξtdx =

∞∫−∞

f(t)

(∞∫−∞

g(x− t)eiξtdx

)dt =

∞∫−∞

f(t)F[g(x − t)]dt. Din proprietatea de

ıntarziere (4) integrala devine∞∫−∞

f(t)eiξtg(ξ)dt =∞∫−∞

f(t)eiξtdt·g(ξ) = f(ξ)g(ξ)

Observatie Se poate arata ca f ∗ g ∈ L1 daca f, g ∈ L1.

Exemplul 7. Se considera functia f(x) =1/2∫−1/2

e−(x−t)2dt. Conform exem-

plelor 1 si 3 putem scrie f(x) =∞∫−∞

r(t)e−(x−t)2dt si urmeaza ca F[f(x)] =

7

F[r(x) ∗ e−x2 ] = F[r(x)]F[e−x2] = e

ξ2

4 sinc(ξ/2).

Exemplul 8. Se considera f(x) =

{1 , x ∈ (−1, 1)

0 , ın rest. Conform exemplului

4, F[f(x)] = 2 sin ξξ . Din formula (12) F[(f ∗f)(x)] = F[f(x)]F[f(x)] = 4 sin2 ξ

ξ2=

4sinc2ξ. Se obtine (f ∗ f)(x) = F−1[4sinc2ξ] =

{2(1− |x|/2) , x ∈ (−2, 2)

0 , ın rest.

(a se vedea exercitiul 8).Exemplul 9. FiltrareFiltrarea este o operatie frecventa ın procesarea semnalelor. Filtrul liniar

este descris de o functie h ∈ L1. Daca semnalul de intrare este functia u, sem-nalul de iesire (ın domeniul timp) este y(t) = (u∗h)(t). Aplicand transformareaFourier se obtine aplicatia intrare-iesire ın domeniul frecventa y(ξ) = h(ξ)u(ξ).Transsformata h = F[h(x)] se numeste functia de transfer de tip Fourier

Consideram filtrul descris de functiah(t) = r(t) din exemplul 3. Iesirea

este y(t) = r(t) ∗ u(t) =∞∫−∞

r(x)u(t − x)dx deci y(t) =1/2∫−1/2

r(x)u(t − x)dx =

1/2∫−1/2

u(t − x)dx. Cu schimbarea de variabila v = t − x se obtine semnalul de

iesire y(t) =t+1/2∫t−1/2

r(x)u(v)dxv.

De exemplu, daca semnalul de intrare este functia treapta unitate a lui

Heaviside H(t) =

1 , t > 0

0 , t < 0

1/2 , t = 0

, atunci un calcul simplu arata ca semnalul

de iesire este y(t) =

0 , t ≤ −1/2

t ,−1/2 < t < 1/2

1 , 1/2 ≤ t(se spune ca filtrul este trece-jos).

In domeniul frecventa se obtine y(ξ) = r(ξ)u(ξ), deci functionrea filtruluieste y(ξ) = sinc(ξ/2)u(ξ).

Daca u(t) = H(t) avem H(ξ) = iξ + πδ(ξ) (v. tabelul de transformate),

deci semnalul de iesire este y(ξ) = sinc(ξ/2)(iξ + πδ(ξ)

).

9. Produsul

F[f(x)g(x)] =1

2π

∞∫−∞

f(z)g(ξ − z)dz. (13)

Pentru demonstratie se utilizeaza formula de inversare pentru transformarea

8

fourier (v. ME.07.4) f(x) = 12π

∞∫−∞

f(z)e−izxdz. Schimband ordinea de inte-

grare ın integrala dubla, obtinem

F[f(x)g(x)] =∞∫−∞

f(x)g(x)eiξxdx =∞∫−∞

(1

2π

∞∫−∞

f(z)e−izxdz

)g(x)eiξxdx =

12π

∞∫−∞

f(z)

(∞∫−∞

g(x)ei(ξ−z)dx

)dz = 1

2π

∞∫−∞

f(z)g(ξ − z)dz.

Urmatoarele doua proprietati sunt valabile pentru functii din spatiul L2 =

{f : R→ C|∞∫−∞|f(x)|2dx <∞}. L2 este un spayiu Banach cu norma ‖f‖2 =

∞∫−∞|f(x)|2dx (si spatiu Hilbert cu produsul scalar < f, g >=

∞∫−∞

f(x)g(x)dx).

Se poate arata ca daca f ∈ L1 ∩ L2, atunci f ∈ L2.10. Formula lui Plancherel

∞∫−∞

f(x)g(x)dx =1

2π

∞∫−∞

f(ξ)g(ξ)dξ. (14)

Consideram conjugata transformatei Fourier a functiei g(x) ın care ınlocuim

ξ cu −ξ. Se utilizeaza egalitatea e−iθ = eiθ.

g(−ξ) =∞∫−∞

g(x)e−iξxdx =∞∫−∞

g(x)eiξxdx = F[g(x)]. Inlocuim ın (13) g(x)

cu g(x) si avem F[f(x)g(x)] = 12π

∞∫−∞

f(z)g(−ξ + z)dz. Pentru ξ = 0 se obtine

∞∫−∞

f(x)g(x)eiξxdx|ξ=0 = 12π

∞∫−∞

f(z)g(−ξ + z)dz|ξ=0 adica∞∫−∞

f(x)g(x)dx =

12π

∞∫−∞

f(z)g(z)dz.

ın particular, pentru g(x) = f(x) se obtine relatia lui Parseval

∞∫−∞

|f(x)|2dx =1

2π

∞∫−∞

|f(ξ)|2dξ. (15)

Numarul ‖f‖2 din (15) se numeste energia totala a semnalului f ∈ L2.Functiile din L2 se numesc semnale cu energie. Astfel de semnale sunt exponentialacauzala, functia e−a|t|, a > 0 sau pulsul rectangular r(t). Exista functii careau transformata Fourier dar nu sunt semnale cu enrgie, de exemplu functiasignum sau functia treapta unitate.

Exemplul 10. Consideram exponentiala cauzala f(x) =

{0 , x ≤ 0

Ae−ax , X > 0

(deci f(x) = Ae−axH(x)).

9

Energia totala ın domeniul timp este E =∞∫−∞

f2(x)dx = A2∞∫0

e−2axdx =

−A2

2a e−2ax|∞0 = A2

2a .

Transformata Fourier a semnalului este f(ξ) =∞∫0

Ae−axeiξxdx =∞∫0

Ae−(a+iξ)xdx =

− A2

a+iξe−(a+iξ)x|∞0 = A2

a+iξ = aAa2+ξ2

+i ξAa2+ξ2

. Rezulta |f(ξ)|2 = A2

a2+ξ2, deci mem-

brul drept din (15) este 12π

∞∫−∞

A2

a2+ξ2dξ = A2

a2+ξ2arctg (ξ/a)|∞−∞ = A2

a2+ξ2(π/2−

(−π/2)) = A2

2a .

Observam ca amplitudinea este |f(ξ)| = A√a2+ξ2

iar faza este ϕ(ξ) =

arctg

(ξA

a2+ξ2

aAa2+ξ2

)= arctg (ξ/a).

ME.07.4 Formula de inversare

Consideram functii f ∈ L1 continue pe portiuni ın R. Se noteaza limitelelaterale ale unei functii f ın punctul x astfel: f(x−) = lim

t↗xf(t) si f(x+) =

limt↘x

f(t).

Teorema ∀x ∈ R are loc egalitatea

f(x−) + f(x+)

2=

1

2π

∞∫−∞

f(ξ)e−iξxdξ. (16)

Demonstratie Vom calcula integrala∞∫−∞

e−a2ξ2 f(ξ)e−iξxdξ, unde a > 0. La

limita, pentru a→ 0 se va obtine integrala din (16).Se obtine, folosind definitia transformatei Fourier si schimband ordinea de

integrare,∞∫−∞

e−a2ξ2

(∞∫−∞

f(y)eiξydy

)e−iξxdξ =

∞∫−∞

f(y)

(∞∫−∞

e−a2ξ2eiξ(y−x)dξ

)dy.

Conform exemplului 1, F[e−a2x2 ] =

∞∫−∞

e−a2x2eiξxdξ =

√πa e− ξ2

4a2 si integrala

de mai sus devine∞∫−∞

f(y)√πa e− (y−x)2

4a2 dy si cu schimbarea de variabilay−x2a = v

obtinem∞∫−∞

e−a2ξ2 f(ξ)e−iξxdξ = 2

√π

(0∫−∞

f(x+ 2av)e−v2dv +

0∫−∞

f(x+ 2av)e−v2dv

).

In prima integraladin membrul drept v < 0, deci x + 2av < x, iar ın adoua integrala v > 0 , deci x2av > x. Lua nad limita pentru a → 0 si

10

tinand seama si de egalitatea lui Euler∞∫−∞

)e−v2dv =

√π, egalitatea devine

∞∫−∞

e−a2ξ2 f(ξ)e−iξxdξ = 2

√π(f(x−)+f(x+))

∞∫0

)e−v2dv = 2

√π(f(x−)+f(x+))

√π

2

de unde rezulta formula (16).

Observatia 1. Daca functia f este continua ın punctul x ∈ R rezultaf(x−) = f(x+) = f(x)’ deci (16) devine

F−1[f(ξ)] = f(x) =1

2π

∞∫−∞

f(ξ)e−iξxdξ. (17)

Formula (17) defineste operatorul F−1 numit transformarea Fourier inversa.

Spunem ca o functie f continua pe portiuni este standardizata daca val-oarea ın orice punct de discontinuitate x verifica f(x) = f(x−)+f(x+)

2 . Pentrufunctii standardizate formul a(17) este adevarata, ∀x ∈ R.

Se poate demonstra urmatorul rezultat:

Teorema Transformarea Fourier F si transformarea Fourier inversaF−1

definite initial pe L1 ∩ L2 pot fi extinse prin continuitate la F : L2 → L2 siF−1 : L2 → L2 . In plus, operatorul F−1 este inversul operatorului F.

Observatia 2. Formula de inversiune are loc ın conditii mai slabe decatcontinuitatea pe portiuni.

Teorema (Dini) Daca f ∈ L1 verifica ın punctul x ∈ R conditia ∃δ > 0astfel ıncat functia ϕ(t) = 1

t (f(x + t)− f(x)) este ın L1(−δ, δ) atunci are locformula de inversiune ın punctul x.

Teorema (Jordan) Daca f este cu variatie marginita pe [−δ, δ] atunci areloc formula de inversiune ın punctul x.

Exemplul 11. Am vazut ca transformata Fourier a semnalului puls rect-angular r(x) (v. Fig. , exemplul 3) este r(ξ) = sinc(ξ/2) = sin ξ/2

ξ . Dinformula de inversiune rezulta ca acest semnal se poate prezenta si sub formaunei integrale r1(x) = 1

π

∫−∞∞ sin ξ/2

ξ (ξ)e−iξxdξ unde, conform teoremei, r1 este

semnalul standardizat r1(x) =

1 , x ∈ (−1/2, 1/2)

0 , x ∈ (−∞,−1/2) ∪ (1/2,∞)

1/2 , x = ±1/2

. (v. Fig.

4)

Exemplul 12. Se considera functia f(ξ) = 2aξ2+a2

. Se cere semnalul ın

domeniul timp f(x)

Conform formulei de inversiune f(x) = aπ

∞∫−∞

e−iξx

ξ2+a2dξ. Vom calcula aceasta

integrala cu teorema reziduurilor. Pentru x ≤ 0 consideram conturul Γ ınsemiplanul superior (Fig. 5)

11

Calculam integrala urbilinie complexa∮Γ

e−izx

z2+a2dz = 2πiRez

(e−izx

z2+a2, ia)

=

2πi e−izx

2z |z=ia = πae

ax (am aplicat formula Rez(P (z)Q(z) , a

)= P (a)

Q′(a) unde P si Q

sunt functii olomorfe si a este pol simplu al functiei P (z)Q(z)).

Deoarece pentru z ∈ BCA avem |Z| = R obtinem |z2 + a2| ≥ |z2| − a2 =R2− a2 si rezulta | 1

z2+a2| ≤ 1

R2−a2 ∀z ∈ BCA , deci lim|z|→∞

1z2+a2

= 0 uniform

ın raport cu θ = arg(z). Conform Lemei a doua Jordan , limR→∞

∫BCA

e−izx

z2+a2dz =

0, deci f(x) = aπ

∞∫−∞

e−iξx

ξ2+a2dξ = a

π limR→∞

∮Γ

e−izx

z2+a2dz = a

ππae

ax = eax.

In mod similar, pentru x > 0 se alege conturul ın semiplanul inferior (Fig.6) si se obtine (tinand seama si de sensul trigonometric)

f(x) = aπ2πiRez

(e−izx

z2+a2,−ia

)= e−ax.

Deci rezultatul este exponentiala bilateralaf(x) = e−a|x| (v. exemplul 2).

ME.07.5 Aplicatii ale transformarii Fourier

Proprietatea 5 din ME.07.3 arata ca prin transformarea Fourier operatia dederivare din domeniul timp se traduce ın domeniul frecventa prin operatiaalgebrica de ınmultire cu variabila (mai exact cu −iξ). De aici rezulta caecuatii diferentiale liniare din domeniul timp devin ecuatii algebrice ın dome-niul frecventa, iar ecuatii cu derivate partiale pot deveni ecuatii diferentiale,rezolvarea lor fiind mult mai usoara decat a ecuatiilor initiale. TransformareaFourier este adecvata problemelor cu conditii la frontiera.

Aplicatia 1. Consideram problema cu conditii la frontiera

y′′(x)− ω2y(x) = h(x), limx→±∞

= 0

Conform formulei (7), F[y′′(x)] = (−iξ)2y(ξ) = −ξ2y(ξ), deci operatorulF transforma ecuatia diferentiala ın ecuatia algebrica −ξ2y(ξ) − ω2y(ξ) =

h(ξ) cu solutia y(ξ) = − h(ξ)ξ2+ω2 . Conformformulei de inversiune solutia ecuatiei

diferentiale va fi y(x) = − 12π

∞∫−∞

h(ξ)ξ2+ω2 e

−iξxdξ.

Fie, de exemplu, h(x) = e−|x| cu transformata Fourier (vezi exemplul 2)h(ξ) = 2

ξ2+1. Rezulta y(ξ) = − 2

(ξ2+1)(ξ2+ω2). Pentru determinarea semnalului

ın domeniul timp putem utiliza teorema reziduurilor ca ın exemplul 11. Ometoda mai simpla se bazeaza pe descompunerea ın fractii simple si identifi-

carea semnalului corespunzator fiecarei fractii: y(ξ) = 1ω2−1

(2

(ξ2+ω2)− 2

(ξ2+1

),

deci (deoarece F[e−a|x|] = 2aξ2+a2

) obtinem y(ξ) = 1ω2−1

(1ωe−ω|x| − e−|x|

), ω 6=

±1. In cazul ω2 = 1, y(ξ) = − 2(ξ2+1)2

, procedam ca ın exemplul 11.

12

Pentru x ≤ 0, g(x) = − 12π

−∞∫∞

2(ξ2+1)2

e−2ξxdξ. Integrandul are polii dubli

ξ = ±i. Aplicam teorema reziduurilor si ıntr-un pol a de ordinul k rez(f, a) =1

k−1 , limz→a

[(z − a)kf(z)]k−1, obtinem

y(x) = − 2

2π· 2πirez

(eiξx

(ξ2 + 1)2, i

)= −2i lim

ξ→i

[(ξ − i)2 e−iξx

(ξ − i)2(ξ + i)2

]=

= −2i limξ→∞

e−iξx(−ix)(ξ + i)2 − 2(ξ + i)

(ξ + i)3=

1

2(x− 1)ex

Analog, pentru x > 0 se calculeaza (cu semnul − impus de sensul trigono-metric, vezi exercitiul 11)

y(x) = 2irez

(e−iξx

(ξ2 + 1)2,−i)

= −1

2(x+ 1)e−x,

deci solutia problemei, pentru ω = ±1 este y(x) = −12(|x|+ 1)e−|x|.

Pentru rezolvarea ecuatiilor cu derivate partiale, ın anumite conditii seextinde formula (7) la functii u(t, x), aplicand transformarea Fourier ın raportcu variabila spatiala x, variabila temporala t ramanand ca parametru liber,deci

F[∂nu

∂xn(t, x)] = (−iξ)nu(t, ξ), n ≥ 1 (18)

Aplicatia 2. Sa se rezolve ecuatia cu derivate partiale ∂u∂t + a∂u∂x = 0 cu

conditia initiala 4(0, x) = f(x), f ∈ L1 ∩ C1.

Consideram transformata Fourier u(t, ξ) = F[u(t, x)] =∞∫−∞

u(t, x)eiξxdx.

Pentru t = 0 obtinem conditia initiala u(0, ξ) =∞∫−∞

u(0, x)eiξxdx =∞∫−∞

f(x)eiξxdx =

f(ξ). De asemenea, derivand ın raport cu t obtinem ∂u∂t (t, ξ) =

∞∫−∞

∂u∂t (t, x)eiξxdx =

F[∂u∂t ]. Din (18) obtinem F[∂u∂t (t, x)] = −iξu(t, ξ), deci operatorul F transforma

ecuatia data ın ecuatia diferentiala cu variabilele separabile ∂u∂t − iξau = 0.

Separam variabilele duu = iξadt, integram si obtinem ln u(t, ξ) = iξat +

lnC(g), unde lnC(g) este constanta de integrare pentru ξ ∈ R, de undeu(t, ξ) = C(ξ)eiξat.

Din conditia initiala se obtine u(0, ξ) = C(ξ) = f(ξ), deci solutia problemeiın domeniul frecventa este u(t, ξ) = f(ξ)eiξat.

Obtinem solutia problemei initiale aplicand formula (4) (ıntarziere): u(t, x) =f(x− at).

13

Aplicatia 3. Se considera problema Cauchy pentru ecuatia omogena acoardei vibrante

1

a2

∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2= 0, u(0, x) = f(x),

∂u

∂t(0, x) = g(x).

Din nou, notam cu u transformata Fourier a amplitudinii u,

u(t, ξ) = F[u(t, x)] =

∞∫−∞

u(t, x)eiξxdx.

Obtinem, pentru t = 0, conditiile initiale pentru problema transformata

u(0, ξ) =

∞∫−∞

u(0, x)eiξxdx =

∞∫−∞

f(x)eiξxdx = f(ξ)

∂u

∂t(0, ξ) =

∞∫−∞

∂u

∂t(0, x)eiξxdx =

∞∫−∞

g(x)eiξxdx = g(ξ)

Conform formulei (18), F[∂2u∂x2

]= (−iξ)2u(t, ξ) = −ξ2u(t, ξ), iar F

[∂2u∂t2

]=

∞∫−∞

∂2u∂t2

(t, x)eitx = ∂2u∂t2

(t, ξ), deci ecuatia coardei vibrante se transforma ın

ecuatia diferentiala ∂2u∂t2

+ ξ2a2u(t, ξ) = 0

Ecuatia caracteristica r2 + ξ2a2 are radacinile r = ±ξai, deci solutiagenerala este u(t, ξ) = C1(ξ) cos(aξt) + C2(ξ) sin(aξt), de unde ∂u

∂t (t, ξ) =−C1(ξ)aξ sin(aξt) + C2(ξ)aξ cos(aξt).

Conditiile initiale dau u(0, ξ) = C1(ξ) = f(ξ) si ∂u∂t (0, ξ) = aξC2(ξ) = g(ξ),deci solutia problemei ın domeniul frecventa este

u(t, ξ) = f(ξ) cos(aξt) +g(ξ)

aξsin(aξt).

Din formulele lui Euler avem cos z = eiz+e−iz

2 si sin z = eiz−e−iz2 , deci

f(ξ) cos(aξt) = 12

(f(ξ)eiaξt + f(ξ)e−iaξt

)si tinand seama de proprietatea de

ıntarziere (vezi (4)), rezulta ca aceasta este transformata functiei 12 [f(x− at) + f(x+ at)].

Pentru a determina functia din care provine a doua expresie utilizam for-

mula (10)(integrarea originalului) F

[x∫−∞

g(v)dv

]= g(ξ)−iξ , deci, daca notam

h(x) =x∫−∞

g(v)dv avem g(ξ)aξ = − i

a h(x+at). Apoi h(ξ) sin(aξt) = h(ξ) eiaξt−e−iaξt

2i =

14

12iF [h(x− at)− h(x+ at)], deci g(ξ)aξ sin(aξt) = − i

a12iF [h(x− at)− h(x+ at)] =

12

(x+at∫−∞

g(v)dv −x−at∫−∞

g(v)dv

)= F

[12a

x+at∫x−at

g(v)dv

]. Prin urmare, solutia

problemei este

u(t, x) =1

2[f(x− at) + f(x+ at)] +

1

2a

x+at∫x−at

g(v)dv.

Am obtinut formula lui D’Alambert, printr-un calcul formal, care a ignoratunele probleme ın utilizarea transformarii Fourier.

Aplicatia 4. Sa se rezolve problema Cauchy pentru ecuatia omogena acaldurii

1

2a

∂u

∂t− ∂2u

∂x2 = 0, u(0, t) = f(x), f ∈ L.

Procedand ca la aplicatia 3, aplicand transformarea Fourier se obtine prob-lema ın domeniul frecventa

∂u

∂t(t, ξ) + a2ξ2u(t, ξ) = 0, u(0, ξ) = f(ξ).

Separand variabilele, obtinem solutia (vezi aplicatia 2)

u(t, ξ) = e−a2ξ2tf(ξ).

Pentru a obtine solutia problemei initiale, vom aplica formula de inversare

g(x) = 12π

∞∫−∞

g(ξ)e−iξxdξ, deci

u(t, x) =1

2π

∞∫−∞

e−a2ξ2tf(ξ)eiξxdξ =

1

2π

∞∫−∞

e−a2ξ2t

∞∫−∞

f(y)eiξydy

e−iξxdξ.

Am ınlocuit f(ξ) si schimbam ordinea de integrare. Rezulta:

u(t, x) =1

2π

∞∫−∞

f(y)

∞∫−∞

e−a2ξ2teiξ(y−x)dξ

dy.

Din exemplul 1 avem F[e−a

2ξ2]

=∞∫−∞

e−a2ξ2eiξxdx =

√πa e− ξ2

4a2 . Daca

ınlocuim x cu ξ, a cu a√t si ξ cu y − x obtinem a doua integrala de mai sus,

deci

u(t, x) =1

2π

∞∫−∞

f(y)

√π

a√te−

(y−x)2

4a2t dy

15

si rezulta formula lui Poisson

u(t, x) =1

2a√πt

∞∫−∞

f(y)e−(y−x)2

4a2t dy

ME.07.6 Transformarea Fourier a distributiilor

Spatiul functiilor test D si spatiul distributiilor D′

Suportul functiei ϕ : R → C este multimea suppϕ = {x ∈ R|ϕ(x) 6= 0}.Se numeste functie test o functie cu suport compact indefinit derivabila.Evident, multimea functiilor test cu adunarea si ınmultirea cu scalari α ∈ Ceste spatiu vectorial complex.

Spunem ca un sir de functii test (ϕn) este convergent la 0 daca exista

o multime compacta K astfel ıncat suppϕn ⊂ K, ∀n ∈ N si limn→∞

ϕ(k)n = 0

uniform, ∀k ∈ N.Notam cu D spatiul functiilot test cu topologia convergentei sirurilor.

Spunem ca ϕnD−→ ϕ daca ϕn − ϕ

D−→ 0.Definitie O functionala liniara si continua f : D→ C se numeste distributie.Notam cu D′ spatiul distributiilor (dualul spatiului D). Se foloseste notatia

f(ϕ) =< f,ϕ > pentru f ∈ D′ si ϕ ∈ D (sau < f(x), ϕ(x) >).O functie f : R → C este local integrabila daca ∀a, b ∈ R cu a < b ,

b∫a|f(x)|dx < ∞. Fiecarei functii local integrabile ıi corespunde o distributie

notata tot cu f , definita pentru ∀ϕ ∈ D prin

< f, ϕ >=

∞∫−∞

f(x)ϕ(x)dx

∫suppϕ

f(x)ϕ(x)dx

(se verifica usor ca functionala f este liniara si continua). Distributiile definitee functii local integrabile se numesc distributii regulate. Celelalte distributiise numesc singulare.

De exemplu distributia Dirac delta definitaa prin < δ, ϕ >= ϕ(0), ∀ϕ ∈ D,este singulara, neputand fi reprezentata printr-o integrala ca mai sus.

Operatii cu distributiiPentru distributii regulate pot fi obtinute formule care definesc anumite

operatii si care sunt extinse la distributiile singulare.1. Inmultirea cu multiplicatori functii indefinit derivabile a : R→ CPentru o functie local integrabila f , distributia af verifica

< af, ϕ >=

∞∫−∞

[a(x)f(x)]ϕ(x)dx =

∞∫−∞

f(x) [a(x)ϕ(x)] dx, ϕ ∈ D,

16

deci pentru orice distributie f−∞,

< af, ϕ >=< f, aϕ > (17)

2. Schimbari liniare de variabila

Cu schimbarea de variabila y = ax + b, deci y = y−ba se obtine

∞∫−∞

daca

a > 0 si−∞∫∞

= −∞∫−∞

daca a < 0. Deci, ın continuare avem, pentru a >

0, 1a

∞∫−∞

f(y)ϕ(y−ba

)dy si pentru a < 0, 1

−a

∞∫−∞

f(y)ϕ(y−ba

)dy.

In concluzie

< f(ax+ b), ϕ(x) >=1

|a|< f(y), ϕ

(y − ba

)>,∀ϕ ∈ D,∀f ∈ D (18)

3. Derivarea distributiilorFie ϕ ∈ D. Deoarece ϕ este cu suport compact, ∃a ∈ R a.ı. suppϕ ⊂

[−a, a] si ϕ(−a) = ϕ(a) = 0. Pentru f functie derivabila, calculam distributia

f ′, utilizand integrarea prin parti: < f ′, vf >=∞∫−∞

f ′(x)ϕ(x)dx =a∫−af ′(x)ϕ(x)dx =

f ′(x)ϕ(x)|a−a −b∫af(x)ϕ′(x)dx = − < f,ϕ > .

Extindem formula la toate distributiile f ∈ D′:

< f ′ϕ >= − < f,ϕ′ >,∀ϕ ∈ D (19)

Prin inductie obtinem

< f (k)ϕ >= (−1)(k) < f,ϕ(k) >,∀n ∈ N∗,∀ϕ ∈ D (20)

Rezulta ca o distributie are derivate de orice ordin.

Exemplul 13. Fie H functia treapta unitate, H(x) =

1 , x ∈ (0,∞)

0 , x ∈ (−∞)12 , x = 0

, H

este evident local integrabila, ∀a, b, 0 < a < b.

b∫a

H(x)dx =

b∫a

dx = b− a <∞

, deci ıi corespunde o distributie regulata H. Pentru orice ϕ ∈ D, < H ′, ϕ >=

− < H,ϕ′ >= −∞∫0

H(x)ϕ′(x)dx = −∞∫0

ϕ′(x)dx = −ϕ(x)|∞0 = ϕ(0) =<

δ, ϕ >, prin urmare, H ′ = δ.

17

Apoi < δ′, ϕ >= − < δ, ϕ′ >= −ϕ′(0) si < δ(n), ϕ >= (−1)n < δ, ϕ(n) >=(−1)nϕ(n)(0).

4. Produsul de convolutiePentru functiile f si g′ local integrabile, produsul de convolutie se de-

fineste prin (f ∗ g)(x) =∞∫−∞

f(t)g(x − t)dt. Atunci distributia regulata core-

spunyatoare f ∗ g verifica urmatoarele:< f ∗ g, ϕ >=∞∫−∞

(f ∗ g)(x)ϕ(x)dx =

∞∫−∞

(∞∫−∞

f(t)g(x− t)dt

)ϕ(x)dx =

∞∫−∞

f(t)

(∞∫−∞

g(x− t)ϕ(x)dx

)dt. Cu schim-

barea de variabila y = x − t avem mai departe (ınlocuind apoi t cu x):∞∫−∞

f(t)

(∞∫−∞

g(y)ϕ(y + t)dy

)ϕ(x)dt =< f(x), < g(y), ϕ(x+ y) >>.

Deci produsul de convolutie al distributiilor este distributia f ∗ g definitade

< f ∗g, ϕ >=< f(x), < g(y), ϕ(x+y) >>=< g(y), < f(x), ϕ(x+y) >> (18)

Exemplul 14. < f ∗ δ, ϕ >=< f(x), < δ(y), ϕ(x + y) >>=< f(x), ϕ(x) >∀ϕ ∈ D, deci f ∗ δ (distributia δ este element unitate fata de convolutie).

< (f ∗ g)(n), ϕ >= (−1)n < f ∗ g, ϕ(n) >=< f(x), (−1)n < g(y), ϕ(n)(x +y) >>=< f(x), < g(n)(y), ϕ(x + y) >>=< f ∗ g(n), ϕ >, ∀ϕ ∈ D, deci (f ∗g)(n) = f ∗ g(n) = f (n) ∗ g.Transformata Fourier a unei distributii

O functie indefinit derivabila ϕ : R → C se numeste functie test tem-perata daca ∀n, k ∈ N lim

x→±∞xnϕ(k)(x) = 0 (ϕ se mai numeste rapid de-

screscatoare sau functie Schwartz). De exemplu ϕ(x) = e−x2

este o functietest temperata.

Multimea notata cu S a functiilor test temperate este xspatiu vectorial

topologic cu topologia definita de convergenta sirurilor (ϕn) ⊂ S: ϕnS−→ 0

daca ∀n, k ∈ N limn→∞

‖xnϕ(k)(x)‖2 = 0.

Definitie O functionala liniarasi continua pe S se numeste distributie tem-perata.

Notam cu S′ spatiu distributiillor temperate (dualul spatiului S ). EvidentD ⊂ S , deci S′ ⊂ D′. S′ include distributiile regulate definite de functiilecu suport compact, functiile continue, functiile marginite (deci s L1 func tiileabsolut integrabile, L2, polinoamele.

Se calculeasa actiunea asupra functiilor test a distributiilor definite defunctiile absolut integrabile. Daca f este absolut integrabila, am vazut ca

transformata ei Fourier este f(ξ) = F[f(x)] =∞∫−∞

f(x)eiξxdx. Pentru orice

18

functie test temperata ϕ definim ϕ(ξ) = F[ϕ(x)].Actiunea distributiei F[f ] definita de functia F[f(x)] asupra functiei ϕ este

< F[f(x)], ϕ >=∞∫−∞

F[f(x)]ϕ(ξ)dξ =∞∫−∞

(∞∫−∞

f(x)eiξxdx

)ϕ(ξ)dξ =

∞∫−∞

f(x)

(∞∫−∞

eiξxϕ(ξ)dξ

)dx =<

f(x),∞∫−∞

eiξxϕ(ξ)dξ >=< f(x),F[ϕ(ξ)] > .

Se extinde formula la distributiile temperate, deci transformata FourierF[f(x)] pentru orice f ∈ S′ este definita de

< F[f(x)], ϕ >=< f(x),F[ϕ(ξ)] > (24)

Definitia are sens deoarece se poate arata ca ϕ ∈ S =⇒ F[ϕ]S.Exemplul 15. Calculam transformata Fourier a distributiei δ (reamintim

ca < δ, ϕ >= ϕ(0)).

< F[δ(x)], ϕ >=< δ(x),F[ϕ(ξ)] >= F[ϕ(ξ)]|x=0 =∞∫−∞

ϕ(ξ)eiξxdξ|x=0 =

∞∫−∞

ϕ(ξ)dξ =< 1, ϕ(ξ) >,

;∀ϕdeci F[δ(x)] = 1.Exemplul 16. Functia f(x) = 1, x ∈ R nu este absolut integrabila,

deci ca functie nu are transformata Fourier. Fiind ınsa marginita, ea de-fineste o distributie temperata, notata cu 1 si vom putea calcula transformataFourier a acestei distributii. In formula de inversiune pentru functii ϕ(x) =

12π

∞∫−∞

ϕ(ξ)e−iξxdξ ınlocuim x cu −x si rezulta ϕ(−x) = 12π

∞∫−∞

ϕ(ξ)eiξxdξ =

12πF[ϕ(ξ)], deci

F[ϕ(ξ)] = 2πϕ(−x) (25)

. Conform formulei (24) avem

< F[1], ϕ >=< 1,F[ϕ(ξ)] >=< 1, 2πϕ(−x)] >= 2π∞∫−∞

ϕ(−x)dx

Inlocuim x cu−x si avem mai departe 2π∞∫−∞

ϕ(x)dx = 2π∞∫−∞

ϕ(−x)eiξxdx|ξ=0 =

2π < δ(ξ), ϕ(ξ) >, deci F[1] = 2πδ.Formula de inversare a transformarii Fourier pentru distributii

< F−1[f(ξ)], ϕ(x) >=1

2π< f(ξ),F[ϕ(−x)] > . (26)

Pentru a demonstra (26), ın egalitatea F[ϕ(−x)] =∞∫−∞

ϕ(−x)eiξxdx schimbam

variabila de integrare x cu −x si obtinem F[ϕ(−x)] =∞∫−∞

ϕ(x)e−iξxdx =

19

2πF−1[ϕ(x)] (conform formulei de inversare pentru functii F−1[ϕ(x)] = 12π

∞∫−∞

ϕ(x)e−iξxdx).

Deci F[ϕ(−x)] = 2πF−1[ϕ(x)]. Atunci membrul drept din (26) devine (folosindsi (24)):

12π < f(ξ),F[ϕ(−x)] >= 1

2π < F[f(x)], 2πF−1[ϕ(x)] >=< F[f(x)],F−1[ϕ(x)] >=<

f(x),FF−1[ϕ(x)] =< f(x), ϕ(x) >=< F−1[f(ξ)], ϕ(x) > .

ME.07.7 Transformarea Fourier ın Matlab

Transformata Fourier (continua) se calculeaza folosind functia Matlab fourier,iar transformata Fourier inversa folosind functia ifourier. Formulele de calcul

sunt fourier(f) =∞∫−∞

f(x)e−iwxdx si ifourier(F ) = 12π

∞∫−∞

F (w)eiwxdw, deci

variabila ξ din capitolele anterioare este aici −w.Sintaxa comenzii fourierF = fourier(f) transforma scalarul simbolic f cu variabila independenta

implicita x ın scalarul simbolic F cu variabila implicita de returnare w. Dacaf este declatrataa ca depinzand de w (f=f(w)) variabila de raspuns va fi v(F=F(v)).

F=fourier(f, v) ınlocuieste ın raspuns w cu v. F=fourier(f, u, v) ınlocuiestex cu u si w cu v.

Exemple

1.

syms x;

f = exp(-x^2);

F=fourier(f) Raspuns: F = pi^(1/2)/exp(w^2/4)

// Graficele celor doua semnale: f (in domeniu timp) si F (in domeniul

// frecventa) se realizeaza cu comenzile:

x = -2: .1 : 2; w = -2*pi: .1: 2*pi;

f = exp(-x.^2); F=pi^(1/2)*exp(w.^2/4);

plot(x. f)

plot(w, F)

2.

syms a, w;

a=2;

f= exp(-a*abs(w));

F=fourier(f) Raspuns: F=4/(v^2 + 4)

3.

syms v u;

f= exp(-v)*heaviside(v)

20

\\ heaviside este functia treapta unitate H

F=fourier(f,v, u) Raspuns: F= 1/(i*u + 1)

4.

syms x;

f= exp(i*x);

F=fourier(f) Raspuns: F=2*pi*dirac(1 - w)

\\dirac(w) este distributia Dirac

5.

syms x;

f=cos(x);

F=fourier(f) Raspuns: F=pi*(dirac(- w - 1) + dirac(1 - w))

6.

f=1/(x^2 + 1);

F=fourier(f) Raspuns: F=(pi*heaviside(w))/exp(w) + pi*heaviside(-w)*exp(w)

7.

syms y z;

f=heaviside(y);

F=fourier(f,y,z) Raspuns: F= pi*dirac(-z) - i/z

Sintaxa comenzii ifourier

f = ifourier(F) transforma scalarul simbolic F cu variabila independentaimplicita w ın scalarul simbolic f cu variabila implicita de returnare x. DacaF este declarata ca depinzand de x variabila de raspuns va fi t.

f=ifourier(fF, u) ınlocuieste ın raspuns variabila implicita x cu u.

f=ifourier(F, v, u) ınlocuieste F(w) cu F(v) si f(x) cu f(u).

Exemple

1.

syms w;

F=2*i/w;

f= ifourier(F) Raspuns: f = 1 - 2*heaviside(x)

2.

F=2*pi*dirac(w);

f= ifourier(F) Raspuns: f = 1

3.

syms w a

a=2;

F=2*a/(w^2+a^2);

f= ifourier(F, u) Raspuns: f = (2*pi*heaviside(-u)*exp(2*u) + (2*pi*heaviside(u))/exp(2*u))/(2*pi)

4.

syms v u;

21

F=2*pi*dirac(v+3);

f= ifourier(F,v, u) raspuns: f = 1/exp(3*i*u)

5.

syms w;

F=i*pi*exp(-abs(w))/w;

f= ifourier(F) Raspuns: f = atan(-x)

// atan reprezinta functia arctan

6.

syms x;

F= cos(x);

f= ifourier(F) Raspuns: f = dirac(- t - 1)/2 + dirac(1 - t)/2

ME.07.8 Probleme rezolvate

Sa se determine transformatele Fourier ale urmatoarelor functii.

1. f(x) = 1x2+a2

, a > 0

Rezolvare Consideram integrala curbilinie complexa∮Γ

eiξz

z2+a2dz.

Pentru ξ > 0 consideram conturul din semiplanul superior (Fig. 7).

Se uitilizeaza teorema reziduurilor∮Γ

f(z)dz = 2πin∑j=1

Rez(f(z), aj) daca

a1, ..., aj , ..an sunt punctele singulare ale functiei f situate ın domeniul marginit

de curba ınchisa Γ. Functia eiξz

z2+a2are ın domeniu polul simplu ia. Reziduul

ıntr-un pol simplu z0 se poate calcula cu formula Rez(P (z)Q(z) , z0

)= P (z0)

Q′(z0) , Avem∮Γ

eiξz

z2+a2dz = 2πiRez

(eiξz

z2+a2, ia)

= 2πi eiξia

2ia = πae−ξa. Pentru a aplica Lema a

doua Jordan evaluam, pentru z ∈ BCA: |z2 + a2| ≥ |z2| − a2 = R2 − a2,

deci 0 ≤ | 1z2+a2

| ≤ 1R2−a2

R→∞−−−−→ 0; rezulta ca e converge unform la 0 pen-

tru R → ∞, deci limR→∞

∮BCA

eiξz

z2+a2dz = 0, Cum

∮Γ

eiξz

z2+a2dz =

∮AB

eiξz

z2+a2dz +

∮BCA

eiξz

z2+a2dz =

R∮−R

eiξz

z2+a2dz +

∮BCA

eiξz

z2+a2dz, la limita pentru R → ∞ obtinem

f(ξ) =∞∮−∞

eiξx

x2+a2dx = π

ae−ξa..

Analog, pentru ξ < 0 se alege conturul simetric din planul inferior, secalculeaza reziduul ın −ia si se obtine f(ξ) = π

aeξa.. Deci transformata Fourier

este f(ξ) = πae|ξ|a.

2. g(x) = 1(x−3)2+16

, h(x) = ei2x

x2+9.

Rezolvare Din proprietatea de ıntarziere aplicata functiei f(x) = 1x2+16

,

F[g(x)] = F[f(x− 3)] = eiξ3f(ξ) = π4 e−4|ξ|ei3ξ.

22

Proprietatea de deplasare se aplica functiei f(x) = 1x2+9

si se obtine

F[ei2x

x2+9

]= f(ξ + 2) = π

3 e−3|ξ+2|.

3. Stiind ca F[e−a|x|] = 2aξ2+a2

, sa se determine transforata Fourier a

functiei h(x) = a2

x2+a2.

Rezolvare Din proprietatea de dualitate (v. exemplul 16) F−1[f(ξ)] =2πf(−x) obtinem F[ 2a

ξ2+a2] = 2πe−a|−x| = 2πe−a|x|. Interschimband ξ cu x

si folosind pfroprietatea de liniaritate, obtinem F[

a2

x2+a2]]

= a2F[

2ax2+a2

]=

a2e−a|−ξ| = aπea|ξ| (rezultat ın concordanta cu problema 1).

4. f(x) =

{1√x

, x > 0

0 , x < 0.

Rezolvare F[f(x)] =∞∫0

x−1/2eiξxdx. Consideram schimbarea de variabila

t = −iξx si aplicand teorema fundamentala Cauchy pentru conturul din Fig.

8 obtinem (folosind si functia Γ(a) =∞∫0

ta−1e−tdt,Γ(1/2) =√π):

F[f(x)] =∞∫0

i−1/2ξ−1/2t−1/2e−t iξdt = i−1/2

ξ−1/2

∞∫0

t−1/2e−tdt =√

2/2(1+i)

ξ−1/2 Γ(1/2) =√π2 (1 + i) 1√

ξ..

5. f(x) = eax(1−H(x)) =

0 , x ∈ (0,∞)

eax , x ∈ (−∞, 0)

1/2 , x = 0

, a > 0

Rezolvare

F[f(x)] =0∫−∞

eaxeiξxdx =0∫−∞

e(a+iξ)xdx = 1a+iξe

(a+iξ)x|0−∞ = 1a+iξ deoarece

limx→−∞

|e(a+iξ)x| = limx→−∞

eax = 0.

6. f(x) = eiax, g(x) = cos ax, h(x) = sin ax.RezolvareAplicam deplasarea (5) si F[1] = 2πδ(ξ) (exemplul 16):F[eiax] = F[eiax · 1] = 2πδ(ξ + a).

Cu formulele lui Euler cosx = eix+e−ix

2 , sinx = eix−e−ix2 si folosind liniari-

tatea obtinem F[cosx] = 12

(F[eiax] + F[e−iax]

)= 1

2 (2πδ(ξ + a) + 2πδ(ξ − a)) =π(δ(ξ + a) + δ(ξ − a)).

Analog F[sinx] = −iπ(δ(ξ + a)− δ(ξ − a)).

7. Functia triunghi (Fig. 9) f(x) =

{1− |x| , x ∈ (−1, 1)

0 , ın rest.

Rezolvare

F[f(x)] =∞∫−∞

f(x)eiξxdx =0∫−1

(1 + x)eiξxdx +1∫0

(1 − x)eiξxdx. Integram

23

prin parti. Rezulta f(ξ) = (1 + x)(1/iξ)eiξx|−10 − (1/iξ)0∫−1

eiξxdx + (1 −

x)(1/iξ)eiξx|10 + (1/iξ)1∫0

eiξxdx = 1iξ −

1i2ξ2

eiξx|0−1− 1iξ

1i2ξ2

eiξx|10 = 1ξ2

(1− e−iξ−

eiξ + 1 = 2ξ (1− cos ξ) = 4 sin2(ξ/2)

ξ2= sinc2(ξ/2).

8. g(x) =

{1− |x|2 , x ∈ (−2, 2)

0 , ın rest.

Rezolvare

Din asemanare F[f(ax)] = 1a f( ξa), ıntrucat g(x) = f(x/2) (unde f este

functia triunghi din exemplul precedent), cu a = 1/2 rezulta F[g(x)] = g(ξ) =2f(2ξ) = 2sinc2(ξ).

9. f(x) = sign(x) =

1 , x ∈ (0,∞)

0 , x = 0

−1 , x ∈ (−∞, 0)

.

Rezolvare

Functia f nu este derivabila ın 0 deoarece derivatele laterale sunt f ′s = −1si f ′d = 1.

Calculam derivata cu sensul distributiilor, cu formula < f ′(x), ϕ(x) >=− < f(x), ϕ′(x) >,∀ϕ ∈ D.

Avem (folosind faptul ca ϕ este cu suport compact, deci limx→±∞

ϕ(x) = 0):

< f ′(x), ϕ(x) >= −∞∫−∞

f(x)ϕ′(x)dx = −

(0∫−∞

(−1)ϕ′(x)dx+∞∫0

ϕ′(x)dx

)=

ϕ(x)|0−∞−ϕ(x)|∞0 = ϕ(0) +ϕ(0) = 2ϕ(0) =< 2δ, ϕ >, deci f ′(x) = sign′(x) =2δ.

Aplicam formula (6) de derivare. F[f ′(x)] = −iξf(ξ) = 2F[δ] = 2, decif(ξ) = 2

iξ si se obtine F[sign(x)] = 2iξ .

10. F[H(x)], undeH este functia trea[ta unitateH(x) =

1 , x ∈ (0,∞)

0 , x ∈ (−∞, 0)

−1 , x = 0

.

Rezolvare

Are loc formula H(x) = 12(1 + signx), deci F[H(x)] = 1

2(F[1] +F[signx]) =12

(2πδ(ξ) + 2i

ξ

). Rezulta F[H(x)] = i

ξ + 2πδ(ξ).

Sa se determine f(x) = F−1[f(ξ)] pentru urmatoarele transformate Fourier:

11. f(ξ) = A[H(ξ + a)−H(ξ − a)]

Rezolvare

f(x) = F−1[f(ξ)] = 12π

∞∫−∞

f(ξ)eiξxdξ = A2π

a∫−ae−iξxdξ = A

2π

(− 1ixe−iξx|a−a

)=

Aπx ·

eiax−e−iax2i = A

π ·sin axx = Aa

π sinx.

24

12. f(ξ) = 2πδ(ξ − a).

Rezolvare

f(x) = (1)(2π)

∞∫−∞

2πδ(ξ − a)eiξxdξ =< δ(ξ − a), eiξx >= eiξx|ξ=a = eiax.

13. f(ξ) = π[δ(ξ + 2) + δ(ξ − 2)]; g(ξ) = −iπ[δ(ξ + 2)− δ(ξ − 2)].

Rezolvare

Folosind rezultatul exercitiului 12, obtinem:

f(x) = 12

(ei2x + e−i2x

)= cos 2x; g(x) = 1

2i

(ei2x − e−i2x

)= sin 2x.

14. f(ξ) = ξ2+aξ+a2

ξ(ξ2+a2).

Rezolvareξ2+aξ+a2

ξ(ξ2+a2)= A

ξ + Bξ+Cξ2+a2

; ξ2 +aξ+a2 = Aξ2 +Aa2 +Bξ2 +Cξ implica A+B =

1, C = a,Aa2 = a2, de unde A = 1, B = 0, C = a. Rezulta f(ξ) = 1ξ + a

ξ2+a2;

din tabelul de transformate, rezulta f(x) = −isign(x) + e−a|x|.

ME.07.9 Probleme propuse

1. Sa se determine transformatele Fourier ale functiilor:

a) H(t)− 1;

b) 2sgn(x)− 2;

c) 4e−2xH(x) + 2H(x);

d) e−3x cos 2xH(x);

e)(2e−x − e−2x)H(x);

f) ei2x cos 3x;

g) sign(x)e−a|x|;

h) cos πx2 (H(x+ 1)−H(x− 1)).

2. Sa se determine f(x) = F−1[f(ξ)] pentru urmatoarele func tii f(ξ):

a) 2π[δ(ξ + 2)− δ(ξ − 2) + δ(ξ)];

b) 2iξ + 6πδ(ξ);

c) 42+iξ + 2πδ(ξ + 1);

d) iξ(iξ+2)(iξ+4) ;

e) ξ2

(iξ2+1)(iξ2+2);

f) iξ + πδ(x).

3. Sa se calculeze derivata rampei unitate f(x) =

{0 , x ≤ 0

x , x > 0.

4. Sa se rezolve problema t∂u∂x + ∂u∂t = 0, u(0, x) = f(x), f ∈ C1(R, t > 0, x ∈

(−∞,∞).

Indicatie Se aplica transformarea Fourier, proprietatea de derivare si seobtine problema −iξu(t, ξ) + d

dt u(t, ξ) = 0, u(0, ξ) = f(ξ) care are solutia

25

u(t, ξ) = f(ξ)eit2

2ξ de unde u(t, x) = f(x− t2

2 ).

5. Sa se rezolve problema 14∂u∂t −

∂2u∂x2

= 0, u(0, x) = e−x2.

26

ME.07.10 Tabele cu transformate Fourier

f(x) f(ξ) =

∫R

f(x)eixξdx

1.f(x) 2πf(−ξ)

2.f(x) f(ξ)

3.f(−x) = f(x) 2fc(ξ) = 2

∫R+

f(x) cos(xξ)dx

4.f(−x) = −f(x) − 2ifs(ξ) = 2i

∫R+

f(x) sin(xξ)dx

5.f(xa

+ b), a > 0 ae−iabξf(aξ)

6.f(− x

a+ b), a > 0 aeiabξf(−aξ)

7.f(ax)eibx, a > 0 1

af(ξ + b

a

)8.

f(ax) cos(bx), a > 0 1

2a

[f(ξ + b

a

)+ f

(ξ − ba

)]9.

f(ax) sin(bx), a > 0 1

2ai

[f(ξ + b

a

)− f

(ξ − ba

)]10.

xnf(x), n ∈ N (−i)nf (n)(ξ)

11.f (n)(x), n ∈ N (−i)nξnf(ξ)

12.1

1 + x2πe−|ξ|

13.e−ax

2

, a > 0√π

ae−ξ

2/4a

14.(a− ix)−ν , Re(a) > 0, Re(ν) > 0 2π

Γ(ν)ξν−1e−aξ, daca ξ > 0,

0, daca ξ < 0

15.(a− e−x)e−λx, a > 0, 0 < Re(λ) < 1 πeλ−1+iξctg

(|πλ+ iπξ|

)

27

f(x) f(ξ) =

∫R

f(x)eixξdx

16.e−λx ln

(|1− e−x|

), −1 < Re(λ) < 0

π

λ+ iξctg (πλ+ iπξ)

17.e−λx ln

(1 + e−x

), −1 < Re(λ) < 0

π

(λ+ iξ) sin(πλ+ iπξ

)18.

Pn(x) =1

2nn!

((x2−1)n

)(n), daca |x| <

1,0, daca |x| > 1, n ∈ N

(−1)n√

2π

ξJn+ 1

2, (ξ),

Jν(x) =

+∞∑k=0

(−1)k

n!Γ(k + ν + 1

(x2

)2k+1

19.1√

1− x2Tn(x), Tn(x) =

cos(n arccosx), daca n ∈ N, |x| < 1,0, daca |x| > 1

(−i)nπJn(ξ)

20.1

Γ(ν − x)Γ(µ+ x)0, daca |ξ| >π,(

2 cos(ξ/2))µ+ν−2

Γ(µ+ ν − 1)e

i2(µ−ν)ξ, daca |ξ| <

π