Transformada z y polos y zeros
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Transformación de sistemas en planos complejos a dominio de frecuencia Alexis Estévez, Diego Guzmán Departamento de Eléctrica y Electrónica, Universidad de las Fuerzas Armadas – ESPE Sangolquí, Ecuador [email protected] [email protected] Abstract – In this document we will discuss how to move from a plot of poles and zeros to the frequency response of a sequence or LTI system in a graphical environment that allow us to understand better how they work both transformations . Index Terms – Respuesta en frecuencia, Diagrama de polos y ceros, transformación directa gráfica. I. INTRODUCCIÓN Primero para entender bien lo que queremos presentar en este documento debemos aclarar ciertos conceptos que nos ayudaran a mejorar el trabajo en frecuencia, tiempo y el plano complejo para ello iniciaremos estudiando un sistema en el tiempo LTI y sus características: A. Sistema LTI.- En procesamiento de señales, un sistema LTI (Linear Time-Invariant) o sistema lineal e invariante en el tiempo, es aquel que, como su propio nombre indica, cumple las propiedades de linealidad e invariancia en el tiempo. a. Linealidad.- Un sistema es lineal si satisface el principio de superposición, que engloba las propiedades de proporcionalidad o escalado y aditividad. b. Invariancia en el tiempo.- Un sistema es invariante con el tiempo si su comportamiento y sus características son fijas. Esto significa que los parámetros del sistema no van cambiando a través del tiempo y que por lo tanto, una misma entrada nos dará el mismo resultado en cualquier momento c. LTI.- La combinación mediante el principio de superposición de ambas propiedades confiere a los sistemas la característica LTI. B. Sistema en el dominio de la frecuencia.- El dominio de la frecuencia es un término usado para describir el análisis de señales respecto a su frecuencia relacionando con las series de Fourier, las cuales permiten descomponer una señal periódica en un número finito o infinito de frecuencias, en caso de señales no periódicas, está directamente relacionado con la Transformada de Fourier. C. Sistemas en el plano complejo.- Se usa para visualizar la ubicación de las raíces y de los ceros de la función de transferencia de un sistema LTI. La visualización gráfica de las raíces (es decir de aquellos valores que anulan la ecuación característica) y de los ceros (aquellos valores que anulan el numerador de la función de transferencia) permite inferir el comportamiento del sistema. II. RESPUESTA DE FRECUENCIA A PARTIR DE LOS DIAGRAMAS DE POLOS Y CEROS. Para determinar gráficamente la respuesta que se desea obtener en frecuencia tomando como punto de partida los diagramas de polos y ceros de nuestra función de transferencia. Planteando nuestra función de transferencia: () = ( + ) ( + ) (1) Conociendo que p y z son reales, partiendo de la ecuación (1) se la reescribe en función de : () = ( + ) ( + ) (2) Conociendo los factores + y + que son la representación de magnitudes complejas como se puede visualizar en la figura 1.
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Transformada z y polos y zeros
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Transformacin de sistemas en planos complejos a
dominio de frecuencia
Alexis Estvez, Diego Guzmn Departamento de Elctrica y Electrnica, Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
Sangolqu, Ecuador [email protected]
Abstract In this document we will discuss how to move from a plot of poles and zeros to the frequency
response of a sequence or LTI system in a graphical
environment that allow us to understand better how
they work both transformations .
Index Terms Respuesta en frecuencia, Diagrama de polos y ceros, transformacin directa grfica.
I. INTRODUCCIN
Primero para entender bien lo que queremos
presentar en este documento debemos aclarar ciertos
conceptos que nos ayudaran a mejorar el trabajo en
frecuencia, tiempo y el plano complejo para ello
iniciaremos estudiando un sistema en el tiempo LTI y sus
caractersticas:
A. Sistema LTI.- En procesamiento de seales, un sistema LTI (Linear Time-Invariant) o sistema
lineal e invariante en el tiempo, es aquel que,
como su propio nombre indica, cumple las
propiedades de linealidad e invariancia en el
tiempo.
a. Linealidad.- Un sistema es lineal si satisface el principio de superposicin, que
engloba las propiedades de
proporcionalidad o escalado y aditividad.
b. Invariancia en el tiempo.- Un sistema es invariante con el tiempo si su
comportamiento y sus caractersticas son
fijas. Esto significa que los parmetros del
sistema no van cambiando a travs del
tiempo y que por lo tanto, una misma
entrada nos dar el mismo resultado en
cualquier momento
c. LTI.- La combinacin mediante el principio de superposicin de ambas propiedades
confiere a los sistemas la caracterstica LTI.
B. Sistema en el dominio de la frecuencia.- El dominio de la frecuencia es un trmino usado para
describir el anlisis de seales respecto a su
frecuencia relacionando con las series de Fourier,
las cuales permiten descomponer una seal
peridica en un nmero finito o infinito de
frecuencias, en caso de seales no peridicas, est
directamente relacionado con la Transformada de
Fourier.
C. Sistemas en el plano complejo.- Se usa para visualizar la ubicacin de las races y de los ceros
de la funcin de transferencia de un sistema LTI.
La visualizacin grfica de las races (es decir de
aquellos valores que anulan la ecuacin
caracterstica) y de los ceros (aquellos valores que
anulan el numerador de la funcin de
transferencia) permite inferir el comportamiento
del sistema.
II. RESPUESTA DE FRECUENCIA A PARTIR DE LOS DIAGRAMAS DE POLOS Y CEROS.
Para determinar grficamente la respuesta que se desea
obtener en frecuencia tomando como punto de partida
los diagramas de polos y ceros de nuestra funcin de
transferencia.
Planteando nuestra funcin de transferencia:
() =( + )
( + ) (1)
Conociendo que p y z son reales, partiendo de la
ecuacin (1) se la reescribe en funcin de :
() =( + )
( + ) (2)
Conociendo los factores + y + que son la representacin de magnitudes complejas como se puede
visualizar en la figura 1.
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Fig. 1. Determinacin de la respuesta de frecuencia en
plano complejo.
La amplitud de nuestra funcin de transferencia se
expresara de la siguiente manera
() =||
||| + | (3)
Expresado mediante la Fig.1
() =| |
| || | (4)
Y el ngulo de nuestra funcin de transferencia se define:
() = + + (5)
() = [
] 900 [
] (6)
() = 1 2 (7)
Donde los ngulos , 1 y 2 estn definidos en la figura que se muestra en la figura 1, lo que nos indica que trabaja
en un sentido positivo es decir en un sentido anti horario.
En un sistema de lazo cerrado el anlisis de su respuesta
transitoria se conoce que los polos complejos conjugados
muy cerca del eje produce una oscilacin alta de su respuesta. En cuanto tiene que ver con la respuesta
frecuencial los polos producirn un pico elevado.
Sea la funcin de transferencia:
() =
( + 1) + ( + 2) (7)
Donde 1 y 2 con complejos conjugados como en la figura siguiente:
Fig. 2. Determinacin de la respuesta en frecuencia en
plano complejo.
Con esto la funcin de transferencia quedara de la
siguiente manera:
|()| =
| + 1| + | + 2| (8)
|()| =
| || | (9)
() = 1 2 (10)
Donde los ngulos 1 y 2 se muestran en a figura 2. Si la respuesta no es de picos elevados, la funcin de
transferencia no tendr polos complejos conjugados cerca
de , esta funcin no tendr respuesta transitoria alta. La respuesta en frecuencia nos muestra la posicin de los
polos y ceros de esta funcin se pueden estimar las
caractersticas de respuesta transitoria de la respuesta de
frecuencia.
III. USANDO MATLAB
Para realizar la transformacin de polos zeros a respuesta en frecuencia, se implementara mediante el uso
de comandos de MATLAB.
zp2ss convierte una representacin-polo-cero ganancia de
un sistema dado a una representacin de espacio de estado
equivalente.
[A, B, C, D] = zp2ss (z, p, k) encuentra una sola entrada,
salida mltiple, espacio de estados
= + = +
El comando a utilizar es zp2ss, a continuacin
z =
4.9498 0
-
-4.9498 1.6362
p =
0
-5.7753
5.3851
0.2083
k =
1.8182
4.5455
>> [A,B,C,D] = zp2ss(z,p,k)
A =
-0.1818 31.1818 -6.4786 0
1.0000 0 0 0
0 1.0000 0 0
0 0 1.0000 0
B =
1
0
0
0
C =
0 1.8182 -0.0000 -44.5460
0 4.5455 -7.4373 0
D =
0
0
IV. CONCLUSIONES
Despus de entender inicialmente como funciona
cada seal en cada una de las representaciones como
el tiempo, frecuencia y plano complejo podemos
darnos cuenta que pasar de un diagrama de ceros y
polos a una representacin en el dominio de
frecuencia se torna fcil ya que al entender todos los
conceptos principales podemos relacionar la
transformada z con al transformada de Fourier
mediante una forma grfica para mejorar el estudio
de cualquier sistema entre los dos parmetros.
BIBLIOGRAFIA
[1] Ing. Mario Perez, Anala Perez, Dra. Bioing Elisa,
RESPUESTA EN FRECUENCIA DE SISTEMAS LINEALES, INVARIANTES EN EL TIEMPO. Universidad Nacional de San Juan Facultad de Ingeniera
Departamento de Electrnica y Automtica.
[2] Universidad de Oviedo, ANALISIS DE SISTEMAS EN EL DOMINIO DE FRECUENCIA, Ingeniera de Sistemas y Automtica.
[3] Procesado de seales [Online]. Desde:
http://www.ehu.eus/Procesadodesenales/tema4/t87.htm
[4] Respuesta de Sistemas de Control Discreto y
Estabilidad. [Online]. Desde:
http://www.isa.uma.es/C14/Presentaciones%20de%20Cl
ase%20%28ppt%29/Document%20Library/RESPUEST
A%20DE%20SISTEMAS%20DE%20CONTROL%20D
ISCRETO%20Y%20ESTABILIDAD.pdfv
[5] Procesado de seales [Online]. Desde:
http://www.ehu.eus/Procesadodesenales/tema6/102.html
