Transformada Z
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IFBA/GPSC 1
Transformada Z
Processamento Digital de Sinais
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IFBA/GPSC 2
Transformada de Fourier
n
nj
nj
enxX
deXnx
][)(
)(21][
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IFBA/GPSC 3
Transformada Fourier Vantagem:
Análise direta do espectro (componentes de freqüência) do sinal discreto;
Desvantagens: A manipulação algébrica não é prática; Existem muitos sinais discretos cuja
transformada de Fourier não existe.
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IFBA/GPSC 4
Transformada Z
)()( 1 XzX r
j
n
n rezznxzX
qual no ,][)(
A transformada de Fourier é um caso específico da transformada Z.
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IFBA/GPSC 5
Transformada Z Critério de convergência da Transformada de Fourier :
n
nx ][
Critério de convergência da Transformada Z:
n
nrnx ][ A convergência depende, também, dos valores de r,ou seja do |z|.
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IFBA/GPSC 6
Região de Convergência Qual o intervalo de valores de r que
garante a convergência da Transformada Z?
Ex.: ][][ nunx
n
n
znuzX
][)(
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IFBA/GPSC 7
Região de Convergência
1:
1
][
0
0
rROC
r
er
znu
n
n
n
jwnn
n
n
Re
Im
Representação PolarCircunferência Unitária
ROC
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IFBA/GPSC 8
Representação Útil
zer= zeros de X(z), ou seja, as raízes do polinômio no numerador ( Num(z) ).
p= pólos de X(z), ou seja, as raízes do polinômio no denominador ( Den(z) ).
))...()(())...()((
)()()(
21
21
N
M
pzpzpzzerzzerzzerz
zDenzNumzX
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IFBA/GPSC 9
Região de Convergência (ROC): Propriedades A região de convergência é um disco ou
um anel centrado na origem;
A região de convergência não contém pólos;
Se a região de convergência contém a circunferência unitária (r=1) existe a transformada de Fourier.
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IFBA/GPSC 10
Seqüência de Tempo Positivo
O sinal é nulo para n < 0.Ex.:
n. . .
x[n]
A região de convergência (ROC) é composta pela área externa ao maior pólo de valor absoluto finito.
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IFBA/GPSC 11
Exemplo
1)(
][][
zzzX
nunx
1: rROC
Circunferência Unitária
. . .n
x[n] Im
Rex1
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IFBA/GPSC 12
Seqüência de Tempo Negativo O sinal é nulo para n > 0.Ex.:
x[n]
. . .n
A região de convergência (ROC) é composta pela área interna ao menor pólo de valor absoluto finito.
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IFBA/GPSC 13
Exemplo:
Pólos: z=2 e z=3 Zeros: z=12/5
2:
)3/1)(2/1(6
52)(
][)32(][
rROC
zz
z
zX
nunx nn
Re
Im
2 3x x
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IFBA/GPSC 14
Seqüência Bilateral x[n] não é de tempo positivo ou
negativo.
. . .n
. . .1 2:ROC p r p
P1 maior pólo que contribui para n > 0P2 menor pólo que contribui para n < 0
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IFBA/GPSC 15
Exemplo:
1 1[ ] [ ] [ 1]3 2
1212( )
1 13 2
: 1/ 3 1/ 2
n n
x n u n u n
z zX z
z z
ROC r
Re
Im
1/12
-1/3x xoo
1/2
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IFBA/GPSC 16
Seqüência de Duração Finita Têm duração limitada de n=N1 até
n=N2.
nN2
N1
A ROC contém todo plano z, exceto possivelmente em z=0 e/ou z=
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IFBA/GPSC 17
Exemplos Ex.: x[n]=[n], ROC contém todos os
valores de z, incluindo z=0 e z=.
x[n]=[n-1], ROC contém todos os valores de z, excluindo z=0.
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IFBA/GPSC 18
Estabilidade O sistema h[n] é estável se
n
nh ][
Então: Um sistema é estável se a ROC contém a
circunferência unitária.
Um sistema Causal é Estável se todos os pólos estão dentro círculo unitário