UNIDAD IV TRANSFORMADA DE LAPLACETablas de Transformadas de Laplace

Transformada de una derivada

Fracciones Parciales

Saúl Olaf Loaiza Meléndez

Transformada de una Derivada

Recurriendo a la definición de la Transformada de Laplace

𝐿 [ 𝑓 ′(𝑡 )]=∫0

∞

𝑒− 𝑠𝑡 𝑓 ′ (𝑡 )𝑑𝑡

∫0

∞

𝑒− 𝑠𝑡 𝑓 ′ (𝑡 )𝑑𝑡= lim𝑁→∞

∫0

𝑁

𝑒− 𝑠𝑡 𝑓 ′ (𝑡 )𝑑𝑡

La Transformada de Laplace ayuda a encontrar la solución de una ecuación Diferencial, vemos la siguiente demostración:

Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites:

Integrando por partes:

𝑢=𝑒−𝑠𝑡

𝑑𝑢=−𝑠𝑒− 𝑠𝑡 𝑑𝑡𝑑𝑣= 𝑓 ′ (𝑡 )𝑑𝑡𝑣= 𝑓 (𝑡 )

Transformada de una DerivadaLa integral anterior nos queda

lim𝑁→∞

∫0

𝑁

𝑒− 𝑠𝑡 𝑓 ′ (𝑡 )𝑑𝑡= lim𝑁→∞ ([𝑒− 𝑠𝑡 𝑓 (𝑡) ]𝑡=𝑁

𝑡=0−∫

0

𝑁

(−𝑠)𝑒− 𝑠𝑡 𝑓 (𝑡 ) 𝑑𝑡)Avanzando los cálculos del primer término:

Así:

lim𝑁→∞

∫0

𝑁

𝑒− 𝑠𝑡 𝑓 ′ (𝑡 )𝑑𝑡= lim𝑁→∞ (𝑒− 𝑠𝑁 𝑓 (𝑁 )− 𝑓 (0)+𝑠∫

0

𝑁

𝑒− 𝑠𝑡 𝑓 (𝑡 )𝑑𝑡)

lim𝑁→∞ ([𝑒− 𝑠𝑁 𝑓 (𝑁 )]−𝑒− 𝑠0 𝑓 (0 )+𝑠∫

0

𝑁

𝑒−𝑠𝑡 𝑓 (𝑡 )𝑑𝑡)

Transformada de una DerivadaComo la función f(t) es seccionalmente continua y de orden exponencial

lim𝑁→∞

𝑒− 𝑠𝑁=0

Además:

Por lo tanto la ecuación queda:

lim𝑁→∞

∫0

𝑁

𝑒− 𝑠𝑡 𝑓 ′ (𝑡 )𝑑𝑡= lim𝑁→∞ (𝑒− 𝑠𝑁 𝑓 (𝑁 )− 𝑓 (0)+𝑠∫

0

𝑁

𝑒− 𝑠𝑡 𝑓 (𝑡 )𝑑𝑡)

lim𝑁→∞

∫0

𝑁

𝑒− 𝑠𝑡 𝑓 (𝑡 )𝑑𝑡=𝐹 (𝑠)

lim𝑁→∞

∫0

𝑁

𝑒− 𝑠𝑡 𝑓 ′ (𝑡 )𝑑𝑡=𝑠𝐹 (𝑠)− 𝑓 (0)

Transformada de una DerivadaQueda demostrado que la transformada de la primera derivada es:

𝐿 [ 𝑓 ′(𝑡 )]=𝑠𝐹 (𝑠 )− 𝑓 (0)

Aplicando le Teorema, para encontrar la segunda derivada

𝐿 [ 𝑓 ′ ′ (𝑡)]=𝑠2𝐹 (𝑠 )−𝑠2−1 𝑓 (0 )−𝑠2−2 𝑓 (2− 1) (0 )𝐿 [ 𝑓 ′ ′ (𝑡)]=𝑠2𝐹 (𝑠 )−𝑠 𝑓 (0 )− 𝑓 ′ (0 )

Transformada de una DerivadaTransformada de la tercera derivada

𝐿 [ 𝑓 ′ ′ ′ (𝑡)]=𝑠3𝐹 (𝑠 )−𝑠2 𝑓 (0 )−𝑠 𝑓 ′ (0 )− 𝑓 ′ ′ (0)

Transformadas de las tres primeras derivadas.

𝐿 [ 𝑓 (𝑡)]=𝐹 (𝑠 )

𝐿 [ 𝑓 ′ ′ (𝑡)]=𝑠2𝐹 (𝑠 )−𝑠 𝑓 (0 )− 𝑓 ′ (0 )𝐿 [ 𝑓 ′(𝑡 )]=𝑠𝐹 (𝑠 )− 𝑓 (0)

𝐿 [ 𝑓 ′ ′ ′ (𝑡)]=𝑠3𝐹 (𝑠 )−𝑠2 𝑓 (0 )−𝑠 𝑓 ′ (0 )− 𝑓 ′ ′ (0)

Problema 1Use la transformada de Laplace para resolver la EDO𝑑𝑦𝑑𝑡

+3 𝑦=13 sin 2𝑡 , 𝑦 (0 )=6

Aplicando la Transformada de Laplace en cada término y separando las constantes.𝐿 [ 𝑑𝑦𝑑𝑡 ]+3 ∙𝐿 [ 𝑦 ]=13 ∙𝐿 [sin 2𝑡 ]

𝑠𝑌 (𝑠 )− 𝑦 (0)+3𝑌 (𝑠)=13( 2

𝑠2+22 )Simplificando tenemos𝑠𝑌 (𝑠)−6+3𝑌 (𝑠)=( 26𝑠2+4 )

Problema 1Despejando la función Y(s):

Realizando la fracción para tener solo un término para aplicar la transformada inversa.

𝑠𝑌 (𝑠)−6+3𝑌 (𝑠)=( 26𝑠2+4 )𝑠𝑌 (𝑠)+3𝑌 (𝑠 )=( 26𝑠2+4 )+6𝑌 (𝑠 ) (𝑠+3 )=( 26𝑠2+4 )+6𝑌 (𝑠 )=¿

𝑌 (𝑠 )=¿

Problema 1Aplicando la Transformada inversa de Laplace en ambos lados, encontramos la solución de la EDO. Aplicando Fracciones Parciales del lado derecho

Para reducir el sistema, el único factor que se puede cancelar es s+3 para obtener el valor de C,

𝐿−1 [𝑌 (𝑠 ) ]=𝐿− 1¿6 𝑠2+50

(𝑠¿¿2+4) (𝑠+3 )= 𝐴𝑠+𝐵

(𝑠¿¿ 2+4 )+ 𝐶(𝑠+3 )

¿¿

6 𝑠2+50=(𝐴𝑠+𝐵) (𝑠+3 )+𝐶 (𝑠¿¿2+4 )¿

6 (−3)2+50=(𝐴(−3)+𝐵) (−3+3 )+𝐶 ((−3)¿¿2+4)¿10 4=𝐶 (13)8=𝐶

Problema 1Al sustituir el valor de C en la ecuación anterior, se procede a encontrar los valores de A y B, desarrollando el sistema de ecuaciones.

Se tiene el sistema lineal igualando los coeficientes de ambos lados.

6 𝑠2+50=(𝐴𝑠+𝐵) (𝑠+3 )+8(𝑠¿¿2+4)¿

A+8=6

6 𝑠2+50=𝐴𝑠2+3 𝐴𝑠+𝐵𝑠+3𝐵+8𝑠2+326 𝑠2+50=¿

𝐴+8=6… ..(𝐸1)3 𝐴+𝐵=0… ..(𝐸2)3𝐵+32=50… ..(𝐸3)

A=6−8A=−2

3𝐵+32=503𝐵=50−32𝐵=6Al sustituir los valores de A = -2, B = 6 y C = 8 en las fracciones parciales se puede aplicar las tablas de la transformada inversa de laplace

𝐿−1 ¿

Problema 1Separando términos y aplicando las tablas de Laplace, tenemos:

Por lo tanto la solución de la EDO es𝐿−1 ¿𝐿−1 ¿

𝒚 (𝒕)=−𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐𝒕+𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒕+𝟖𝒆−𝟑 𝒕𝐿−1 [𝑌 (𝑠 ) ]=𝐿− 1¿