Teoría de ControlTeoría de ControlCurso 2001

Transformada de Laplace - Conceptos Básicos

Definición:

Sea f (t) una función de t definida para t > 0. La Transformada de Laplace de f(t) se

define como:

L { f (t) } = F(s) = ∫ e-st f(t)dt

Algunas Propiedades de la Transformada de Laplace:

1. Suma y Resta

Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t) respectivamente. Entonces:

L { f1(t) f2(t) } = F1(s) F2(s)

2. Multiplicación por una constante

Sea k una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces:

L { kf(t)} = kF(s)

3. Diferenciación

Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) es el límite de f(t) cuando t tiende a cero. La

Transformada de Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f(t) es:

L { df(t)/dt} = sF(s) - lím f(t) = sF(s) - f(0)

En general, para las derivadas de orden superior de f(t):

L { dnf(t)/dtn} = sn F(s) - sn-1 f(0) - sn-2 f(1)(0) - ..... - f (n-1)(0).

4. Teorema del Valor Inicial

Si la Transformada de Laplace de f(t) es F(s), entonces:

Lím f(t) = Lím s F(s)

si el límite existe.

Transformadas de Laplace de algunas Funciones Elementales:

1

0

t 0

t 0 s

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f(t) L {f(t)} = F(s)

1 K k/s

2 t 1/s2

3 tn n!/sn+1

4 eat 1/ s-a

5 sen at a/ s2 + a2

6 cos at s/ s2 + a2

7 senh at a/ s2 - a2

8 cosh at s/ s2 - a2

Ejercicio Resuelto:

Hallar la Transformada de Laplace de la siguiente f(t) por medio del uso de tabla:

f(t) = 3 e -4t + 1/2 cos 5t + 3/4 t3 + 8

Aplico Transformada de Laplace:

L {f(t)} = L { 3 e -4t + 1/2 cos 5t + 3/4 t3 + 8 } (1)

Ya que la Transformada de Laplace de una suma es igual a la suma de las Transformadas de

Laplace de cada término, (1) se puede expresar como:

L {f(t)} = L { 3 e - 4t } + L { 1/2 cos 5t } + L { 3/4 t3 } + L { 8 } (2)

Ahora sólo queda reemplazar cada término de (2) por su correspondiente Transformada

expresada en la tabla, y aplicar las propiedades:

L {f(t)} = F(s) = 3*( 1/s+4 ) + 1/2*( s/s2 + 25 ) + 3/4*( 3! / s4 ) + 8/s

por lo tanto:

F(s) = 3/s+4 + s / 2*( s2 + 25) + 9/2 t - 4 + 8/s

Transformada Inversa de Laplace - Conceptos Básicos

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Definición:

Sea F(s) la Transformada de Laplace de una función f (t). La Transformada Inversa de Laplace

(o Antitransformada) de F(s) se denota:

L-1 { F(s)} = f(t)

Método para hallar la Antitransformada de Laplace:

Existen varios métodos para determinar la antitransformada de Laplace; en este apunte se

explicará el Método de las Fracciones Parciales.

Cualquier función racional de la forma P(s) / Q(s), donde P(s) y Q(s) son polinomios en los

cuales el grado de P(s) es menor que el de Q(s), puede escribirse como una suma de

fracciones parciales de la forma A / (as + b)r , donde A es una constante y r = 1,2,3 .... Al hallar

las antitransformadas de cada fracción parcial, se halla L-1 { P(s)/ Q(s)}.

Ejercicio resuelto : Hallar L-1 { (3s + 7) / (s2 - 2s - 3)}

Como se ve, es de la forma L-1 { P(s)/ Q(s)}, donde P(s) = 3s + 7 y Q(s) = s2 - 2s - 3; se

puede observar también que el grado de Q(s) > P(s).

El polinomio Q(s) se puede expresar como s2 - 2s - 3 = (s+1)(s-3). Entonces:

3s + 7 3s + 7 A B (1)

s2 - 2s - 3 (s - 3)(s + 1) s - 3 s + 1

Multiplicando por (s - 3)(s + 1) se obtiene:

3s + 7 = A (s + 1) + B (s - 3) = (A + B)s + A - 3B (2)

Igualando los coeficientes de las potencias iguales de s a ambos lados de la ecuación

resultante (2), hallo los valores de los coeficientes A y B:

A + B = 3

A - 3B = 7

Calculando, resulta A = 4 y B = -1. Reemplazando en (1) :

3s + 7 A B 4 1 (3)

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(s - 3)(s + 1) s - 3 s + 1 s - 3 s + 1

Para hallar la Antitransformada de Laplace, se busca en la Tabla de Transformadas de Laplace

y se reemplazan los términos:

L -1 3s + 7 L -1 4 L -1 1

(s - 3)(s + 1) s - 3 s + 1

4 L -1 1 L -1 1

s - 3 s + 1

f (t) = 4 e 3t - e - t

Aplicación de la Transformada de Laplace a las Ecuaciones Diferenciales

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La Transformada de Laplace presenta gran utilidad para resolver ecuaciones

diferenciales. Si se quiere resolver una ecuación diferencial de segundo orden:

d2y/dt2 + dy/dt + y = F(t) o sea y'' + y' + y = F(t) (1)

donde y son constantes sometidas a ciertas condiciones iniciales o condiciones de frontera

y(0) = A e y'(0) = B (2).

Tomando la Transformada de Laplace a cada lado de (1) y usando (2), se obtiene una

ecuación algebraica para determinar L { y(t)} = Y(s). La solución requerida se obtiene al calcular

la antitransformada de Laplace de Y(s).

Ejercicio resuelto : Resolver y'' + y = t , con y(0) = 1 , y'(0) = -2.

Tomando la Transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación diferencial, y

utilizando las condiciones iniciales dadas, se tiene:

L { y''} + L { y } = L { t }

s2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + Y(s) = 1/s2

s2 Y(s) - s + 2 + Y(s) = 1/s2

Entonces: Y(s) * [s2 + 1] = 1/s2 + (s - 2)

Despejando Y(s):

Y(s) = [1/s2 + (s - 2)] / [s2 + 1]

Y(s) = 1/s2 - 1/s2 + 1 + s/s2 + 1 - 2/ s2 + 1

Y(s) = 1/s2 + s/s2 + 1 - 3/s2 + 1

Aplicando Antitransformada a cada término:

L -1 {Y(s)} = L -1 {1/s2 + s/s2 + 1 - 3/s2 + 1}

Se obtiene de la tabla:

y(t) = t + cos t - 3 sen t

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