Transformada de Fourier 1

Transformada de FourierA transformada de Fourier, epônimo a Jean-Baptiste Joseph Fourier,[1] é uma transformada integral que expressauma função em termos de funções de base sinusoidal, i.e., como soma ou integral de funções sinusoidaismultiplicadas por coeficientes ("amplitudes"). Existem diversas variações directamente relacionadas destatransformada, dependendo do tipo de função a transformar. A Transformada de Fourier pode ser vista como umcaso particular da Transformada Z.

AplicaçõesAs transformadas contínuas e discretas de Fourier têm muitas aplicações em disciplinas científicas — em física,física e química quântica, teoria dos números, análise combinatória, processamento de sinal, processamento deimagem, teoria das probabilidades, estatística, criptografia, acústica, oceanografia, sísmica, óptica, geometria eoutras áreas. Nos campos relacionados com o processamento de sinal, a transformada de Fourier é tipicamenteutilizada para decompor um sinal nas suas componentes em frequência e suas amplitudes.• As transformadas são operadores lineares e, com a devida normalização, são também unários (uma propriedade

conhecida como o teorema de Parseval ou, mais geralmente, como o teorema de Plancherel, e mais geral ainda, adualidade de Pontryagin).

•• As transformadas são invertíveis, e a transformada inversa tem quase a mesma forma que a transformada.• As funções de base senoidal são funções de diferenciação, o que implica que esta representação transforma

equações diferenciais ordinárias lineares com coeficientes constantes em equações algébricas ordinárias. (Porexemplo, num sistema linear invariante no tempo, a frequência é uma quantidade conservada, logo ocomportamento em cada frequência pode ser resolvido independentemente.)

• Através do teorema da convolução, as transformadas tornam a complicada operação de convolução emmultiplicações simples, o que as torna num método eficiente de calcular operações baseadas em convolução,como a multiplicação polinomial, a multiplicação de números grandes e o cálculo da função densidade deprobabilidades de uma soma de variáveis aleatórias.

• A versão discreta da transformada de Fourier pode ser calculada rapidamente por computadores, utilizandoalgoritmos baseados na transformada rápida de Fourier.

• Conclui-se que a Transformada integral de Fourier, pelos limites de integração, é mais conveniente paraproblemas que possuem dependência espacial.

• Podemos utilizar o método das transformadas para buscar Soluções de equações diferenciais.

Série seno de FourierA seguinte sucessão de funções seno:

são todas ortogonais; nomeadamente:

em relação ao produto escalar entre funções. [2] Qualquer outra função definida no intervalo élinearmente dependente do conjunto de funções (com algumas excepções que discutiremos mais logo); assim,qualquer função definida no dito intervalo pode ser escrita como combinação linear da sucessão :

Transformada de Fourier 2

a série anterior é designada por série seno de Fourier. É fácil demonstrar (usando a ortogonalidade entre as funções) que os coeficientes na série são iguais a:

o integral anterior chama-se transformada seno de Fourier da função .

Série co-seno de FourierOutra sucessão de funções ortogonais é a sucessão de funções co-seno, definida por:

A propriedade de ortogonalidade é:

Qualquer função definida no intervalo é linearmente dependente do conjunto de funções (comalgumas excepções que discutiremos mais logo); assim, uma função pode também ser escrita como uma série

co-seno de Fourier:

onde os coeficientes são iguais a:

e o integral anterior designa-se transformada co-seno de Fourier da função .

Resolução de EDPs usando transformadas de FourierA transformada de Fourier é útil para resolver equações de derivadas parciais, de segunda ordem, com condiçõesfronteira. [2] Se for a variável dependente, e tivermos condições fronteira para e ,começamos por definir a transformada de Fourier da seguinte forma

onde será uma das seguintes funções próprias:

e são certos valores próprios escolhidos em forma adequada.

Transformada de Fourier 3

Propriedade operacionalA transformada da segunda derivada tem a propriedade importante (propriedade operacional) de depender datransformada da função. Por definição, a transformada da segunda derivada parcial é

integrando por partes duas vezes obtemos:

a segunda derivada das funções próprias é sempre (tanto no caso do seno como no caso do co-seno) proporcional a siprópria

Assim, a propriedade operacional é

Como vamos resolver uma equação de segunda ordem, são dadas apenas duas condições fronteira que permitemcalcular dois dos termos dentro dos parêntesis. Podemos usar a liberdade que temos na escolha das funções e valorespróprios, para eliminar os outros dois termos dentro dos parêntesis. Estudaremos as quatro possibilidades:

• Os valores de e são dados. Neste caso será necessário arbitrar

O qual determina as seguintes funções e valores próprios

A transformada correspondente é a transformada seno de Fourier.

• Os valores de e são dados. Neste caso será necessário arbitrar

E, portanto, as funções e valores próprios são

A transformada transformada é a transformada co-seno de Fourier.

• Os valores de e são dados. Nestecaso será necessário arbitrar

E, portanto, as funções e valores próprios são

A transformada correspondente é a transformada seno modificada.

Transformada de Fourier 4

Os valores de e são dados. Neste caso será necessário arbitrar

E, portanto, as funções e valores próprios são

A transformada correspondente é a transformada co-seno modificada.

Transformada contínua de FourierGeralmente, a denominação "Transformada de Fourier" refere-se à Transformada de Fourier para funções contínuas,que representa qualquer função integrável f(t) como a soma de exponenciais complexas com freqüência angularω,medida em rd/s, e amplitude complexa F(ω):

Na área de processamento de sinais, utiliza-se a definição em termos de frequências ordinárias, medidas em hertz:

A relação entre as duas definições é dada por:

Existe também uma definição simétrica, como F0, e que usa a frequência angular, como F, que denotaremos F1

[3]

Propriedades

Linearidade[4]

Similaridade

[5]

Deslocamento[6]

Transformada da derivada

[7]

Transformada de Fourier 5

Teorema da autocorrelação

onde o asterisco superior denota o conjugado complexo e o asterisco normal denota a operação de convolução. Essapropriedade é uma caso especial do Teorema da convolução e está relacionado também ao Teorema de Wiener[8].

Transformada discreta de Fourier(ver artigo principal Transformada Discreta de Fourier)Para uso em computadores, seja para aplicações científicas ou em processamento digital de sinais, é preciso tervalores discretos. Para isso existe a versão da transformada para funções discretas.

.

Um método largamente utilizado para o cálculo computacional desta versão é a Transformada rápida de Fourier (eminglês fast Fourier transform, ou FFT), cuja complexidade é O(n log n) contra O(n2) necessários para o mesmocálculo.

Algumas transformadas de Fourier [9][10]

Nesta tabela, é a delta de Dirac, u(t) é a função de passo Heaviside, sgn(t) é a função sinal, rect(t) é a função

retangular, sinc(t) é a função sinc = e tri(t) é a função triangular.

Tabela 1 - Alguns pares de transformadas de Fourier

Transformada de Fourier 6

Simetria e paridadeO par de funções f(x) e F(ω) exibem propriedades interessantes com relação à simetria e à paridade. Por exemplo, sef(x) for uma função par, F(ω) também o é. Essas propriedades muitas vezes ajudam na análise e inclusive no cálculoda transformada. Por exemplo, se f(x) for par, o intervalo de integração pode ser alterado para [0, ∞] em lugar de[-∞, ∞], dobrando-se o valor calculado da integral. Algumas relações importantes estão listadas na tabela abaixo.

Tabela 2 - Simetria dos pares de transformadas de Fourier[11]

Par Par

Ímpar Ímpar

Real e par Real e par

Real e ímpar Imaginária e ímpar

Imaginária e par Imaginária e par

Complexa e par Complexa e par

Complexa e ímpar Complexa e ímpar

Real e assimétrica Hermitiana[12]

Imaginária e assimétrica Anti-hermitiana[13]

Hermitiana Real

Anti-hermitiana Imaginária

Outro tipo de simetria relaciona-se ao conjugado complexo de f(x), denotado por f*(x), que só tem significadoquando x é um número complexo. Se denotarmos a transformada de Fourier de f(x) por F(ω), a transformada def*(x) será denotada por F*(-ω), ou seja, a reflexão com relação ao eixo ω do conjugado de F(ω). Os casos deinteresse aparecem na tabela abaixo.

Transformada de Fourier 7

Tabela 3 - Relação dos conjugados dos pares de transformadas de Fourier[14]

Real

Imaginária

Par

Ímpar

A tabela abaixo apresenta propriedades interessantes a partir dos fatos das duas tabelas anteriores.

Tabela 4 - Propriedades dos conjugados dos pares de transformadas de Fourier[15]

onde:

• é a parte real de g(x)• é a parte imaginária de g(x)

Notas[1] Aspects de l’œuvre de Fourier (http:/ / www. franceculture. com/

emission-continent-sciences-aspects-de-lâ��oeuvre-de-fourier-les-transformees-2011-02-07. html) émission Continent Sciences sur FranceCulture, 7 février 2011

[2] [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. Creative CommonsAtribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 22 julho. 2013.

[3] BRACEWELL, R. - The Fourier Transform and its Applications, 3rd. Ed., New York: McGraw-Hill, 2000, Cap. 2, pp. 5 e 6, ISBN978-0-1381-4757-0

[4] BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 6, pág. 110[5] BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 6, pág. 108[6] BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 6, pág. 111[7] BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 6, pág. 124[8] BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 6, pág. 122[9] University of Alabama in Huntsville - Table of Fourier Transform Pairs, disponível em http:/ / www. ece. uah. edu/ courses/ ee426/ fourier.

pdf, acessado em 21/09/2012[10] M. Spiegel - Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas, São Paulo, McGraw Hill do Brasil, 1973, pp. 174 a 178[11] BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 2, pág. 13[12][12] Ou seja, complexa com a parte real par e a parte imaginária ímpar.[13][13] Ou seja, complexa com a parte real ímpar e a parte imaginária par.[14] BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 2, pág. 14[15] BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 2, pág. 16

Transformada de Fourier 8

Ligações externas• Всё о Mathcad (http:/ / www. allmathcad. com) Predefinição:Ref-ru• Determinação online (http:/ / wims. unice. fr/ wims/ wims. cgi?session=6WA23CFB0C. 3& + lang=en& +

module=tool/ analysis/ fourierlaplace. en) da transformada ou da inversa da transformada, wims.unice.fr• Biblioteca em Java (http:/ / www. patternizando. com. br/ 2013/ 05/

transformadas-discretas-wavelet-e-fourier-em-java/ )• Equações Diferenciais e Equações de Diferenças,Jaime.E.Villate (http:/ / people. ufpr. br/ ~jcvb/ online/

eqdiferenciais. pdf) (em português)

Fontes e Editores da Página 9

Fontes e Editores da PáginaTransformada de Fourier  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=39158962  Contribuidores: Albmont, Allmathcad, AnselmoLacerda, Arthurdefreitas, Christianini,D.F., Clara C.,Daimore, Darwinius, E2m, Joaotg, Kaktus Kid, Kurumin.pb, Lechatjaune, LeonardoRob0t, Luciano C Silva, MarceloB, MaskedAce, Mindello, Mschlindwein, Najlavaralta, Nuno Tavares, R. F.Camargo, Salgueiro, Thepalerider2012, Tiagoft, Williantoshio, Yanguas, 50 edições anónimas

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