Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”

Extensión San Cristóbal, Estado Táchira

TRANSFORMADA DE FOURIER

Profesor: Lda. Yony Hernández

Asignatura: Matemática IV

Alumnos: Sección “D”

Período 2013-2

Enero de 2014

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Introducción

“No tengo buen fundamento” es uno de los argumentos típicos de

algunos alumnos en asignaturas como inglés o matemáticas, para “justificar”

la poca comprensión de contenidos nuevos. La verdad es que tal afirmación

carece de sustento. ¿Por qué? Porque con las posibilidades actuales de

acceso a la información, cualquier persona puede despejar sus dudas,

incluso en temas tan complejos como la transformada de Fourier.

Lo importante tal vez es autoexaminarse, determinando cuáles son

los puntos débiles, antes de sumergirse en las aguas del análisis de Fourier,

que además de las habilidades matemáticas, requiere de mucho “oxígeno”,

voluntad y, a pesar que suena raro, imaginación.

Es que el análisis de Fourier exige un alto grado de uso del hemisferio

derecho del cerebro, además del izquierdo, donde yace el razonamiento

lógico, claro está. Debido a que “graficar” mentalmente o comprender de

dónde viene todo y hacia dónde va en dicho análisis requiere más que

destrezas mecánicas en la aplicación de herramientas matemáticas.

Se puede llegar a ser muy pesimista cuando se tiene en frente un

problema que requiere el análisis de Fourier. Y la realidad es que no es jugar

a los carritos. No obstante, no tiene por qué ser insalvable. Este trabajo no

pretende ser un tratado profundo de Fourier, pero sí acercar a ese análisis

sin tantos miedos, con optimismo, aunque sin exceso de entusiasmo porque

todo lo que vale la pena en la vida requiere esfuerzo.

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Contenido

¿Quién fue Fourier?................................................................................ 4

¿Cómo llegó Fourier a desarrollar su transformada?......................... 5

Serie de Fourier……………………………………………………………… 6

Relaciones de ortogonalidad……………………………………………… 7

Periodicidad de funciones…………………………………………………. 8

Serie de Fourier para períodos diferentes a 2π………………………… 11

Transformadas de Fourier de coseno y seno….…………….………….. 14

Transformada de Fourier……………………………………………………. 17

Interpretación y aplicaciones de la transformada de Fourier………… 18

Ejercicios..……….…………………………………………………………….. 23

Conclusiones………………………………………………………………….. 27

Bibliografía consultada………………………………………………………. 28

Anexo. Tablas de transformadas de Fourier…………………………… 29

Demostración de función gaussiana (Romer)…………………………. 33

Ejercicio aplicando transformada de Fourier (Pedro)……………….. 38

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¿Quién fue Fourier?

Jean Baptiste Fourier fue un científico

francés que vivió de 1768 a 1830. Sus

disciplinas principales eran la física y la

matemática, pero era un apasionado por el

conocimiento. De hecho, fue el primero en

describir el efecto invernadero. Trabajó

principalmente en el estudio de la

transferencia de calor y las vibraciones.

Propuso la aplicación de ecuaciones diferenciales parciales en el

cálculo de la difusión conductiva del calor. También desarrolló las series y la

transformada que llevan su nombre. Es fácil decirlo en pocas líneas, pero en

los siglos XVIII y XIX, había que echarle un camión, aunque claro está,

quienes se dedicaban a las ciencias solían tener recursos económicos para

no cumplir horarios de empleo o cuidar negocios. Hoy, los científicos e

ingenieros no necesariamente tienen esas condiciones, pero sí acceso a

mucha información y a compartirlo con colegas de cualquier parte del mundo

prácticamente en tiempo real. Ah, por cierto, el análisis de Fourier tiene

mucho que ver con las comunicaciones, como se verá más adelante.

A continuación un bosquejo de cómo llegó Fourier a su transformada.

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¿Cómo llegó Fourier a desarrollar su transformada?

Estudios de transferencia de calor y vibraciones

Serie de Fourier

Para períodos

diferentes a 2 π

De una constante

De la función impulso

Transformada de Fourier

Para senos Para

cosenos

De una función periódica

Del escalón unitario

Teoría de comunicaciones: modulación, sinusoidales, otros.

Sistemas lineales: circuitos, mecánica, otros.

Aplicaciones de la

transformada

Problemas de valor en la frontera: vibración, conducción de calor,

potenciales, otros.

Aplicación de ecuaciones diferenciales

Aplicación de sucesiones a los datos lados

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Serie de Fourier

Si ƒ(t) es una función periódica, que se puede representar por la serie

trigonométrica,

donde ωo= 2π/T, siendo T el período, y a y b las variables; la serie también

puede representarse así, y es llamada serie trigonométrica de Fourier:

Por esta expresión se deduce que la gráfica en series de Fourier,

representa la función periódica como la suma de componentes sinusoidales

que tienen diferentes frecuencias; las componentes sinusoidales de

frecuencia ωn= n ωo, se denomina la enésima armónica de la función

periódica. La primera armónica comúnmente se conoce como la componente

fundamental, porque tiene el mismo periodo de la función y ωo= 2π ƒo =

2π/T, se conoce como la frecuencia angular fundamental, los

coeficientes Cn y los ángulos Θn se conocen como amplitudes

armónicos y ángulos de fase, respectivamente.

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Relaciones de ortogonalidad

Un conjunto de funciones φ k(t) es ortogonal en un intervalo a <t <b

si para dos funciones cualesquiera φm(t) y φn(t) pertenecientes al

conjunto φk(t), cumple:

Como ejemplo, considere un conjunto de funciones sinusoidales que

mediante el cálculo elemental se puede demostrar que

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donde ω o= 2π/T.

Estas relaciones demuestran que las funciones 1, cos ω0t, cos

2ω0t,…, cos nω0t,…, sen ω0t, sen 2ω0t,…, sen nω0t, forman un

conjunto de funciones ortogonales en el intervalo –T/2 <t <T/2.

Periodicidad de funciones

Si se observa la gráfica de la función ƒ(x) = sen x , se nota que cada

vez que se aumenta o disminuye la abscisa x en 2π entonces las

correspondientes ordenadas son las mismas, esto es, si P(x,y) es un

punto de la gráfica de ƒ entonces los puntos M(x-2π, y) y S(x+2π, y)

también pertenecen a dicha gráfica, lo que significa en términos de la

función seno que sen (x-2π) = sen (x+2π) = sen x.

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Esta propiedad de la función seno se denomina periodicidad de

la función y ella facilita el trabajo cuando se desea representar

gráficamente pues es suficiente graficarla en el intervalo de longitud

2π. Por ejemplo, en el intervalo [0, 2π] y se repite la forma en cada

uno de los intervalos… [-4π, -2π], [-2π, 0], [2π, 4π], [4π, 6π], …

cuyas longitudes son iguales a 2π. Este número 2π se dice que es el

período de la función seno. Precisamente de la expresión “seno” viene

el vocablo ya mencionado de “sinusoidal”, que se define como

“relativo a la curva u onda que representa gráficamente a la función

seno.”

Una función ƒ se dice que es periódica de período un número

real no nulo T si verifica la siguiente propiedad:

Para cada x que pertenece al Dominio de ƒ, entonces x+T pertenece

al Dominio de ƒ y además ƒ(x+T) = ƒ(x).

Se observa que si T es un período de ƒ, entonces cualquier múltiplo de

T es otro período.

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Por ejemplo, T= 2π es un período de la función sen x, y también son

períodos los números (-2)2π = -4π, (-1)2π = -2π, (2)2π = 4π, (3)2π =

6π,… En la práctica, cuando se habla del período de una función se

entiende que es el menor período positivo. Así, ya se vio que la

función seno tiene T= 2π.

Observa que la función g(x) = cos x es periódica T= 2π y la

función tangente h(x) = tg x es periódica con período T = π, por lo

tanto cos (x+2π) = cos x, tg(x+π) = tg x.

En general, las funciones periódicas están presentas en muchos

fenómenos de tipo “oscilatorio”: a) la oscilación de un peso suspendido

de un muelle o resorte; b) la oscilación de un péndulo simple; c) las

variaciones de temperatura; d) la transmisión de datos por ondas

electromagnéticas; entre otras.

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Serie de Fourier para períodos diferentes a 2π

Se dice que la sucesión de una función generalizada ƒn(t), para 1,2,…,

converge a la función generalizada ƒ(t), si y sólo si

Para toda funcion de prueba φ (t). Análogamente, una serie

De funciones generalizadas que converge a la función generalizada

ƒ(t) se puede diferencias por términos; así,

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En este caso se dice que la serie converge en el sentido de las

funciones generalizadas, aunque no en el sentido ordinario, la derivada

de una serie convergente de funciones diferenciables puede, en

general, no converger. Si ƒ(t) es una función periódica y contínua y

está dada por

Entonces ƒ’(t) también es periódica y se puede obtener diferenciando

término por término, es decir,

Con el concepto de la función δ y las derivadas generalizadas,

se puede ahora investigar las series de Fourier para las derivadas de

onda con un número finito de discontinuidades en un período.

Si se busca la serie de Fourier para la derivada de la forma de

onda de la figura adjunta, se obtienen la expresión

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Diferenciando término por término se tiene,

Igualando las dos expresiones anteriores se obtiene un resultado

interesante, a saber, la expresión en serie de Fourier de un tren

periódico de impulsos unitarios, es decir,

Por consiguiente,

donde ω o= 2π/T.

Ésta última ecuación muestra que el tren periódico de impulsos

unitarios consiste de un término constante 1/T y una suma de

armónicos todos con la misma amplitud de 2/T. El tren periódico de

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impulsos unitarios es una función muy útil y por consiguiente es

conveniente denotar esta función mediante un símbolo especial δT(t).

De este modo,

Transformadas de Fourier de coseno y seno

Una transformada integral es una transformación que a partir de

funciones dadas produce nuevas funciones que dependen de una variable

diferente y aparecen en la forma de una integral. Estas transformaciones son

de interés principalmente como herramientas para resolver ecuaciones

diferenciales ordinarias, ecuaciones diferenciales parciales y ecuaciones

integrales y con frecuencia también son de ayuda en el manejo y aplicación

de funciones especiales. La transformada de Laplace (estudiada en el

programa de Matemática IV) es de esta clase y es con mucho la

transformada integral más importante en ingeniería. Desde el punto de vista

de las aplicaciones, las siguientes en importancia serían quizás las

transformadas de Fourier, aun cuando su manejo resulta un tan lo más difícil

que la transformada de Laplace. Dichas transformadas pueden obtenerse a

partir de representaciones en integrales de Fourier. A continuación se

consideran las llamadas transformadas de Fourier de coseno y de seno, las

cuales son reales.

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Transformadas de Fourier de coseno. Para cualquier función ƒ(x)

par, la integral de Fourier es la del coseno,

(1)

Se hace ahora A(w) = √(2/π) . Fc(w), donde c sugiere “coseno”.

Entonces (1b) al escribir v=x, se tiene

(2)

(3)

Importante: En (2) se integra con respecto a x y en (3) con respecto a

w. A partir de ƒ(x), la fórmula (2) da una nueva función Fc(w), llamada la

transformada de Fourier de coseno ƒ(x). La fórmula (3) permite regresar

ƒ(x) a partir de Fc(w) y, por lo tanto, a ƒ(x) se le llama la transformada de

coseno inversa de Fourier de Fc(w).

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El proceso para obtener la transformada F, a partir de una ƒ dada

también se llama transformación de Fourier de coseno o método de la

transformación de Fourier de coseno.

Transformadas de Fourier de seno. De manera similar, para una

función ƒ(x) impar, la integral de Fourier es la integral de Fourier de seno

(4)

Se hace ahora B(w) = √(2/π) . Fc(w), donde s sugiere "seno".

Entonces por (4b), al escribir v = x, se tiene

(5)

llamada la transformada de Fourier de seno de ƒ(x), y por (4a)

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(6)

.'

llamada la transformada de seno inversa de Fourier de Fs(w). Al proceso

de obtener Fs(w) a partir de ƒ(x) también se le llama la transformación de

Fourier de seno o el método de la Transformación de Fourier de seno.

Transformada de Fourier

La función F(ω) se conoce como la integral de Fourier o

Transformada de Fourier de ƒ(t), y la operación de integración se

simboliza frecuentemente por F; esto es:

Análogamente F -1 es el símbolo que se utiliza para indicar la operación

inversa, es decir, obtener ƒ(t) cuando F(ω) está dado, así pues:

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y ƒ(t) se denomina transformada inversa de Fourier de F(ω). Las

ecuaciones anteriores se conocen comúnmente como par de

transformadas de Fourier.

La condición para que exista F(ω) generalmente está dada por:

Dicho de otro modo, la integral del valor absoluto de ƒ(t) debe ser finita.

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Interpretación y aplicaciones de la transformada de Fourier

Si se supone que es periódica con período T, entonces se puede

expresar como

donde

Si ahora se considera que a medida que T→∞, Δω=2πΔƒ, Δƒ=1/T,

entonces las ecuaciones anteriores se convierten, respectivamente, es

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Siguiendo un argumento similar al utilizado en la derivación, se

observa que si Δω→0, n→∞ tal que nΔω→ω. En otros términos, en el

límite, en vez de tener armónicos discretos correspondientes a nω0 , todo

valor de ω es permitido. De esta manera, en vez de Cn se tiene C(ω), y por la

ecuación anterior se tiene que

Según se observa que

Y, puesto que ω=2πƒ , se tiene

Entonces la ecuación de ƒ(t) se convierte en

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Esta ecuación demuestra que ½π|F(ω)| dω representa la magnitud

infinitesimal de un armónico a la frecuencia angular ω. Estos armónicos

tienen frecuencia fundamental cero (ω0→dω) y están separados por

infinitésimos. Aunque |F(ω)| dω es infinitesimal, F(ω) es finito; por esta razón

a la gráfica |F(ω)| vs ω se le denomina espectro contínuo de ω y a |F(ω)|

se le llama generalmente espectro de magnitud de ƒ(t).

La representación anterior de una función no periódica como suma de

exponenciales con la frecuencia fundamental tendiendo a cero, no es un

concepto fácil de aceptar. A veces la interpretación que se sigue del par de

transformadas de Fourier será más directa y de mayor significado:

Es decir, se supone que cualquier función dada tiene dos modos

equivalentes de representación: uno con el dominio del tiempo, ƒ(t), y el otro

con el dominio de la frecuencia, F(ω). La primera ecuación transforma la

función ƒ(t), en el dominio del tiempo, a su función equivalente F(ω), en el

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dominio de la frecuencia, mientras que la segunda ecuación invierte el

proceso. La primera ecuación analiza la función del tiempo en un espectro de

frecuencia y la segunda sintetiza el espectro de frecuencia para obtener

nuevamente la función en términos de tiempo.

Algunos docentes del área de ingeniería de sistemas y

comunicaciones, comparan la transformada de Fourier a ver un fenómeno

desde dos perspectivas distintas, como si la transformada fuese decir lo

mismo en dos idiomas distintos. Por su parte, los estudiantes de física

consideran que la aplicación de la transformada de Fourier tiene hasta

razones estéticas. Por ejemplo, un grupo de la Universidad de Illinois

estudiaba el comportamiento de una pelota de beisbol al ser arrojada,

tomaron datos de simulaciones y graficaron. Ellos se dieron cuenta que

aplicando los principios de Fourier podían interpretar mejor los resultados

sinusoidales.

Hoy, el análisis de Fourier se emplea en áreas tan diversas como la

astronomía, las comunicaciones, la generación de energía, los colisionadores

de partículas subatómicas y hasta las ciencias sociales.

Es interesante la serie de videos (en inglés) del canal

http://www.youtube.com/user/ControlLectures de Brian Douglas:

http://www.youtube.com/watch?v=1JnayXHhjlg

http://www.youtube.com/watch?v=kKu6JDqNma8 , pues explica, enfocado en

los sistemas de control, de dónde surgen las transformadas de Fourier, el por

qué del uso de número complejos (parte real y parte imaginaria) y

gráficamente cómo se ven las funciones periódicas transformadas.

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Ejercicio

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Conclusiones

La transformada de Fourier evidentemente no es jugar carritos. No

obstante, no escapa de la comprensión poniendo atención y empeño.

Básicamente la transformada de Fourier es un mapeo en el cual una función

puede verse desde dos perspectivas diferentes siendo, en el fondo, la misma

cosa. Hay ciertos detalles que son necesarios conocer para mejorar la

interpretación de la transformada de Fourier. Por ejemplo, el empleo de

números complejos. ¿Por qué? Porque usualmente se mueve del dominio

del tiempo al dominio de la frecuencia y cuando se grafica, parte del

resultado sinusoidal está en los cuadrantes III y IV, donde el eje “y” es

negativo. De modo que es más práctico hablar de “i” como parte imaginaria,

o “j” para algunos si se toman en cuenta los cosenos directores “î, ĵ, ќ”.

Además, la frecuencia angular (ω) es la frecuencia (dependiendo del autor “f”

o “v”) por 2π (éste último, dicho en criollo, no es otra cosa que “una vuelta”,

“un giro”, o “una revolución”). También se tiene el concepto de período (T),

que es el inverso de la frecuencia.

Cualquiera pensaría, si ya se tiene la gráfica de una función, ¿para

qué transformarla cambiando de dominio? Pues, para fines prácticos, es

necesario. Por ejemplo, quienes trabajan con electricidad saben que el

comportamiento del flujo de electrones es sinusoidal, y es de esa manera

como mejor se entiende el fenómeno en un osciloscopio. Los astrónomos

observan mejor las estrellas púlsares y sus destellos en una representación

sinusoidal. Eso sin tocar aspectos como los de la transferencia de calor y las

vibraciones. Justamente estos asuntos físicos llevaron a Fourier a desarrollar

su transformada. Hoy, aunque las computadoras dominan el cálculo, los

ingenieros deben conocer los principios de la transformada de Fourier,

porque al final, las máquinas realizan operaciones matemáticas, pero es el

humano quien tiene el poder de decisión y el libre albedrío.

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Bibliografía consultada

Hwei H. (1987) Análisis de Fourier. Addison-Wesley Iberoamericana.

Estados Unidos. (Versión PDF)

Kreyszig, E. (2000) Matemáticas avanzadas para ingeniería, Vol. 2. 3era

Edición. Editorial Limusa S.A. De C.V. México (Versión PDF)

Orellana, M. y Marqués, L. (1998) Matemática I, Vol. 2: Funciones y

representaciones gráficas. Universidad Nacional Abierta. Venezuela.

http://mathworld.wolfram.com/e.html (en inglés)

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Anexo. Tablas de transformadas de Fourier

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Demostración de función gaussiana (Romer

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Ejercicio aplicando transformada de Fourier (Pedro)