TRANSFORMACIONES LINEALES

T

vi T(vi)

V1 V2

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Definicin

Una Transformacin Lineal de un V1 a un V2, es una funcin A que asocia a cada vector de x V1 un solo vector A(x) V2 de tal forma que

A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2)

A(x) = A(x)

xV, R

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Ejemplos

f : R R f(x) = senx

es lineal?

f(x+y) = f(x)+ f(y) ?

sen(x+y) senx + seny

NO es lineal

: g : R R g(x) = 3x +2

es lineal?

g(x) = 3x +2

g(y) = 3y +2

g(x+y) = g(x) + g(y) ??

g(x+y) = 3(x+y) +2 = 3x +3y +2

g(x)+g(y) = 3x+2+3y+2 = 3x + 3y +4

NO es lineal Laura Gasque 2016-1 3

Otro ejemplo

T : R2 R2 vi = (xi, yi)T(x,y) = (x+y, 2x) es lineal?

1 Parte: T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) ?

T(v1 + v2) = T[(x1,y1) + (x2,y2)]

T(x1 + x2, y1 +y2)

= (x1+x2+ y1+y2 , 2x1+2x2)

T(v1) + T(v2) = T(x1,y1)+ T(x2,y2)

(x1+y1, 2x1) +(x2+y2, 2x2) =

(x1+y1 + x2+y2 , 2x1+ 2x2 )

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Segunda parte: T(vi) = T(vi) ?

T[(x1,y1)] = [T(x1, y1)]?

T(x1, y1)] = (x1 + y1 , 2x1)

(x1 + y1 , 2x1) = (x1 + y1 , 2x1)

S es lineal

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Laura Gasque 2016-1 6

Algunos de los ejemplos que nos van a interesar

Os : R3 R3 v = (x, y, z)

C2(x, y, z) = (-x, -y, z) rotacin alrededor del eje z

xz (x, y, z) = (x, -y, z) reflexin a travs del plano xz

i(x, y, z) = (-x, -y, -z) inversin

E(x, y, z) = (x, y, z) identidad

Puede demostrarse que todas son Transformaciones Lineales

Dos maneras de caracterizar a una

T.L : Rn RN

Definiendo el efecto de la transformacin sobre un vector

cualquiera.

T (x, y, z) = (x, y, z)

Donde x= f(x, y, z)

y= g(x, y, z)

z= h(x, y, z)

Definiendo el efecto de la transformacin sobre un conjunto de

vectores base, por ej., la cannica

T(1, 0, 0) =

T(0, 1, 0) =

T(0, 0, 1) =

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Relacin entre las dos

Todo vector en R3 puede expresarse como

(x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)

T(x, y, z) = T[x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)]

Y por ser lineal . . .

= xT(1, 0, 0)+ yT(0, 1, 0) + zT(0, 0, 1)

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Ejemplo importante: C4(x, y, z) = ( , , )

Encontremos la T.L de R3 R3 que se asocia con una rotacin de 90alrededor del eje z (en sentido opuesto a las manecillas).

Definiendo el efecto de la transformacin sobre un conjunto de vectores base, por ej., la cannica

C4(1, 0, 0) = (0, 1, 0)

C4(0, 1, 0) = (-1, 0, 0)

C4(0, 0, 1) = (0, 0, 1)

C4(x, y, z) = ?Laura Gasque 2016-1 9

C4(1, 0, 0) = (0, 1, 0)

C4(0, 1, 0) = (-1, 0, 0) C4(x, y, z) = ?C4(0, 0, 1) = (0, 0, 1)

C4(x, y, z) = C4[x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)]

= [xC4(1,0,0) + yC4 (0,1,0) + zC4 (0,0,1)] porque C4 es lineal

= x(0,1,0) + y(-1,0,0) + z(0,0,1)

= (0, x, 0) + (-y, 0, 0) + (0, 0, z)

C4(x, y, z) = (-y, x, z)

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Matriz asociada a una Transformacin Lineal

T: V1V2 (puede ser V1=V2, que de hecho, ser nuestro caso ahora )

Escribir el efecto de la T.L. sobre los vectores de la base elegida de V1, como una combinacin lineal de los vectores base

C4(1, 0, 0) = (0, 1, 0) = 0(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + 0(0, 0, 1)

C4(0, 1, 0) = (-1, 0, 0) = -1(1, 0, 0) +0(0, 1, 0) + 0(0, 0, 1)

C4(0, 0, 1) = (0, 0, 1) = 0(1, 0, 0) + 0(0, 1, 0) + 1(0, 0, 1)

0 -1 0 x -y

1 0 0 y = x

0 0 1 z z

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Recuerdan la multiplicacin

de matrices?

Ejercicio: Matrices asociadas a

C42 = C2 : R

3 R3 y C43 : R3 R3

(usando la base cannica)

OJO: Las matrices asociadas a una misma transformacin lineal

son diferentes segn la base que se elija.

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Ejercicio fcil : Matrices asociadas a xy: R

3 R3 xz: R3 R3 yz: R

3 R3

(usando la base cannica)

Y sper fcil: Matriz asociada a la transformacin E

(idntica, o neutra)

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Ejercicio menos fcil: Matrices asociadas a

C3 = : R3 R3 y C3

2 : R3 R3

(usando la base cannica)

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C3(1, 0, 0) = (-1/2, 3/2, 0)

C3(0, 1, 0) = (-3/2, -1/2, 0)

C3(0, 0, 1) = ( 0, 0, 1)

(1,0,0)

= 120

C3(1,0,0) = (-cos60, cos30, 0) = (-1/2 , 3/2, 0)

(0,1,0)

= 120

C3(0, 1, 0) = (-cos30, cos60, 0) = (-3/2, -1/2, 0)

-1/2 -3/2 0

3/2 - 1/2 0

0 0 1

C3 =

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C3 (x, y, z) =

-1/2 -3/2 0 x

3/2 - 1/2 0 y

0 0 1 z

C3 (x, y, z) = (-1/2x -3/2y, 3/2x 1/2y, 0 )

C32(1, 0, 0) = (-1/2, -3/2, 0)

C32 (0, 1, 0) = (3/2, -1/2, 0)

C32 (0, 0, 1) = ( 0, 0, 1)

(1,0,0)

C32(1,0,0) = (-cos60, cos30, 0) = (-1/2 , - 3/2, 0)

= 240

(0, 1, 0)

C32(0,1,0)= (cos30, -cos60, 0) = (3/2, -1/2, 0)

= 240

- 1/2 3/2 0

-3/2 -1/2 0

0 0 1

C32=

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-1/2 -3/2 0

3/2 - 1/2 0

0 0 1

- 1/2 3/2 0

-3/2 -1/2 0

0 0 1= ?

Composicin de Transformaciones Lineales

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Advertencia:

hay algo que ser muy importante ms adelante:

La forma de las matrices que se obtengan para una representacin, dependen del conjunto de vectores base que se usen para generarlas.

Cualquier base Bi de un espacio vectorial de nxn, tiene n vectores.

Es posible expresar a los vectores que forman una base Bj como una combinacin lineal de los vectores que forman la base Bi.

Estas combinaciones lineales generan matrices de cambio de base

Ejemplito en R 3 ?

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Laura Gasque 2016-1 19

C4(1, 0, 0) = (0, 1, 0) = -1(1, 0, 0) + 1(1, 1, 0) + 0(1, 1, 1)

C4(1, 1, 0) = (-1, 1, 0) = -2(1, 0, 0) +1(1, 1, 0) + 0(1, 1, 1)

C4(1, 1, 1) = (-1, 1, 1) = -2(1, 0, 0) + 0(1, 1, 0) + 1(1, 1, 1)

-1 -2 -2

1 1 0

0 0 1

0 -1 0

1 0 0

0 0 1

Ejercicio:: Matrices asociadas a los planos

v v y v

R3 R3 (usando la base cannica)

Plano v pasa por CF,

Plano v pasa por EB

Plano v pasa por AD

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(1,0,0)

(0,1,0)

v (1,0,0) = (-1,0,0) = -1i +0j+0k

v (0,1,0) = (0,1,0) = 0i +1j+0k

v (0,0,1) = (0,0,1) = 0i+0j+1k

v(1,0,0) = ( , 3/2, 0)

v(0,1,0) = (3/2, - , 0)

v(0,0,1) = ( 0, 0, 1)

v (1,0,0) = ( , -3/2, 0)

v (0,1,0) = (-3/2, - , 0)

v (0,0,1)= ( 0, 0, 1)

Plano v pasa por CF,

Plano v pasa por EB

Plano v pasa por AD

v =

-1 0 0

0 1 0

0 0 1

(1,0,0)

(0,1,0)

v

v

v

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v=1/2 -3/2 0

-3/2 -1/2 0

0 0 1

1/2 3/2 0

3/2 -1/2 0

0 0 1

v=

Hagamos todos los productos posibles entre las matrices de este

conjunto: E, C3, C32, v , v, v

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E C3 C32

E

C3

C32

tabla de multiplicar

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E C3 C32

E E C3 C32

C3 C3 C32 E

C32 C3

2 E C3

E

E

E

Ojo con la NO conmutatividad

Convencin 1: el de abajo por el de arriba

Convencin 2 : eleccin de , y

Teorema del rearreglo: SUDOKU Clases: Ejemplo: Encontrar con qu elemento est conjugado cada u...

El conjunto de las transformaciones lineales de R3 R3 :

{E, C3, C32, , , forma un GRUPO con la

composicin.

. . ?

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