TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS. IGUALDAD, SIMETRÍA, SEMEJANZA, HOMOTECIA. DIBUJO TÉCNICO 1º...

DT I. TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS. Igualdad, Traslación, Simetría, Giro, Homotecia, Semejanza, Escalas

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

IGUALDADSIMETRÍA

HOMOTECIASEMEJANZA

ESCALAS

Dibujo Técnico I. 1º Bachillerato


TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

IGUALDAD SIMETRÍA HOMOTECIA

ESCALAS SEMEJANZA

A A’

B B’

C C’

D D’

E E’A A´

B´B

C´C O

B

B’

C’C

A

A’

A

O

E

D

D’C’

B’E’

A’

C

B

1

1/2

a a/2

pieza original

pieza a escala1:2


Conceptos fundamentales para entender el TEMA

RAZÓN

MOVIMIENTOS

Elementos dobles o invariantes

PROPORCIÓN

La razón de dos segmentosde longitudes a y b, en esteorden, es el cociente de a entre b:

a b

Las transformaciones geomé-tricas que conservan la forma y el tamaño de la figura ori-ginal reciben el nombre de MOVIMIENTOS

Son aquellos elementos que al aplicarles una transforma-ción geométrica se transfor-man en sí mismos.

La igualdad entre dos razones se llama PROPORCIÓN.Cuatro segmentos longitudinales a, b, c y d son pro-porcionales cuando, tomados de dos en dos, su razónes la misma

a c b d

Las transformaciones geométricas elementales, se CLASIFICAN, SEGÚN LAS CARACTERÍSTICAS MÉTRICASde la figura transformada respecto al original en:

ISOMÉTRICAS: La figura transformada conserva magnitu-des y ángulos de la original. También se denominan MOVIMIENTOS DEL PLANO: IGUALDAD Y SIMETRÍA

ISOMÓRFICAS: La transformación sólo conserva la forma: HOMOTECIA Y SEMEJANZA

ANAMÓRFICAS: La figura tansformada no mantiene la forma del original: EQUIVALENCIA

A´

A

B

B´

O

IGUALDAD

TRASLACIÓN GIRO TRIANGULACIÓN

TRANSPORTE de ÁNGULOSY SEGMENTOSRADIACIÓN COORDENADAS

A A´

B B´d

C C´

D D´

E E´

AA´

B BĆ´

D

D´

EE´

A

A´ A2´

A2A´´ A2´´

B

B´ B2´

BB´´ B2´´

C´´ C2´´

D

D´ D2´

D2D´´ D2´´

E

E´ E2´

E2E´´ E2´´

C

C´ C2´

C2A

AB

B

C

C

D

D

E

E

a

a

b

b

g

g

d

de

e

A A´

B B´

C C´

D DÉ E´

a a´

b b´

g g´

d dé e´


Relaciones de Proporcionalidad: IGUALDAD. Tipos de Procedimientos

TRIANGULACIÓNA

A´

B B´

CC´

D

D´

EE´

Se trazan diagonales para descomponer la figura en triángulos que se pueden transportar fácilmente

COORDENADAS

A

A´

A´

A

B

B´

A2´

A2A´´ A2´´

B

B´ B2´

BB´´ B2´´

C´´ C2´´

D

D´ D2´

D2D´´ D2´´

E

E´ E2´

E2E´´ E2´´

Se escogen los ejes, se determinan las coordenadas de todos los vértices, y se trasladan al otro sistema de coordenadas

C

C´ C2´

C2

TRASLACIÓN

A A´

B B´d

C C´

D D´

E E´Los puntos se desplazan paralelamente en la misma dirección y sentido y a igual distancia.

El resultado es una figura igual a la inicial,con los lados respectivos paralelos

GIRO

Se desplazan todos sus vértices en sentido

circular y con la misma amplitudO


Dos elementos cualesquiera son IGUALES cuando tienen sus lados y ángulos iguales y están dispuestas en el mismo orden.Si, además, al superponer las dos figuras, coinciden exactamente y se confunden en una sóla,

decimos que son IDENTICAS

Relaciones de Proporcionalidad: IGUALDAD. Tipos de Procedimientos

Dos elementos cualesquiera son iguales cuando tienen la MISMA FORMA y la MISMA MEDIDA, de modo que si se superponen, coinciden. Podemos trazar figuras iguales por los siguientes métodos:

RADIACIÓN TRANSPORTE DE ÁNGULOS Y SEGMENTOS

A

A

A A´

B

B

B B´

C

C

C C´

D

D

D D´

E

E

E E´

´

´

´

´

´

Se traza una circunferencia en cualquier punto interior a la figura. Luego se trazan rectas desde el centro de la circun-

ferencia a cada uno de los vértices. Por último, se trans-portan a la nueva figura cada uno de los arcos y las distancias

de las rectas que van del centro a los vértices de la forma.Se transportan todos los ángulos y los segmentos a la nueva figura

CADA UNO DE ESTOS MÉTODOS SE EXPLICARÁ PASO A PASO A CONTINUACIÓN


Traslación de una figura teniendo en cuenta que el punto A´ ya está situado en su nueva posición.

TRASLACIÓN

A

C

E

H

G

F

D

B

A´

I



1. Unimos el punto A con el A´ mediante un segmento

Cuando trasladamos una figura DESPLAZAMOS TODOS

SUS VÉRTICESEN SENTIDO RECTO A UNA DETERMINADA DISTANCIA.

Por tanto, la distancia de cada vérticeal nuevo vértice desplazado

será siempre la misma (segmento r)

TRASLACIÓN

A

C

E

H

G

F

D

B

A´

I

r


A´

A

C

E

H

G

F

D

B

I


TRASLACIÓN

2. Trazamos paralelas al segmento anterior que pasen por cada uno de lospuntos de la figura que vamos a trasladar

r


A´

A

r

A´

C

E

H

G

F

D

B

I


TRASLACIÓN

3. Medimos con el compás el segmento r (distancia de A a A´)


A´

A

r

A´B´

C

E

H

G

F

D

B

I

r


TRASLACIÓN

4. Trasladamos el segmento r, con el compás, sobre la paralela trazada por B, así obtenemos el punto B´.


A´

A

A´

C

E

H

G

F

D

B

r

r

I´

IB´


TRASLACIÓN

5. Repetimos el paso anterior por cada una de las paralelas restantes,de esta forma obtendremos los puntos I´, D´, C´, F´, G´, E´ y H´.


A´

A

A´

C

E

H

G

F

ID

D´

B

r

r

I´

B´


TRASLACIÓN



A´

A

A´

C

C´

E

H

G

F

ID

D´

B

r

r

I´

B´


TRASLACIÓN



A´

A

A´

C

C´

F´

E

H

G

F

ID

D´

B

r

r

I´

B´


TRASLACIÓN



A´

A

A´

C

C´

F´

E

H

G

G´

F

ID

D´

B

r

r

I´

B´


TRASLACIÓN



A´A´

A

C

C´

F´

E

E´H

G

G´

F

ID

D´

B

r

r

I´

B´


TRASLACIÓN



A´A´

A

C

C´

F´

E

E´H

H´

G

G´

F

ID

D´

B

r

r

I´

B´


TRASLACIÓN



A´A´

A

C

C´

F´

E

E´H

H´

G

G´

F

ID

D´

B r

I´

B´


TRASLACIÓN

6. Por último, teniendo todos los puntos, sólo falta unirlos y tendremos una figura IGUAL a la original pero TRASLADADA


GIRO Giro de una figura utilizando como centro del giro el punto O. El punto A´ya está situado.

A

A´

C

E

F

D

B

O



A

A´

C

E

F

D

B

O

F´

AF



A

A´

C

E

F

D

B

O

F´



A

A´

C

E

F

D

B

O

F´

AE

E´



A

A´

C

E

F

D

B

O

F´

E´



A

A´

C

E

F

D

B

O

F´

E´

D´ED



A

A´

C

E

F

D

B

O

F´

E´

D´



A

A´

C

E

F

D

B

O

F´

E´

D´ C´

EC



A

A´

C

E

F

D

B

O

F´

E´

D´ C´



A

A´

C

E

F

D

B

O

F´

E´

D´ C´

B´

AB


TRIANGULACIÓN

TRIANGULAR una figura es descomponer su superficie en

triángulos y posteriormente copiarestos triángulos donde

corresponda.

Dada la figura ABCDE, realizar otra igual mediante el método de TRIANGULACIÓN.

A

C

D

E

B

POR TRIANGULACIÓNA

A´

B B´

CC´

D

D´

EE´

Se trazan diagonales para descomponer la figura en triángulos que se pueden

transportar fácilmente


TRIANGULACIÓN

1. Trazamos diagonales al polígono desdeuno de sus vértices, por ejemplo el A.

Así, conseguimos tres triángulos: ABC, ACD y ADE


A

C

D

E

B


TRIANGULACIÓN

2. A continuación, se trasladan con el compás las medidas de los lados y se van construyendo

los triángulos.Para que la figura no nos quede girada,

comenzamos por trazar uno de los lados paralelo al modelo, por ejemplo el

lado CD


A

C C´

D D´

E

B


TRIANGULACIÓN

3. Sobre el lado C´D´ construimos el

triángulo A´C´D´.Para ello, trazamos

un arco CA desde C´y otro DA desde D´.

Donde se cortan ambos

arcos tenemos el punto A´


A A´

C C´

D D´

E

B

CA D

A


TRIANGULACIÓN

4. Sobre el lado CÁ´ construimos el

triángulo CÁ´B´.Para ello, trazamos

un arco CB desde Cý otro AB desde A´.

Donde se cortan ambos

arcos tenemos el punto B´


A

C C´

CA

AB

CB

DA

D D´

E

B

A´

B´


TRIANGULACIÓN

5. Por último, hacemos lo mismo con el triángulo A´D´E´.


A

C C´

B´

CA

AB

CB

DA

AE

DE

D D´

E

B

A´

E´


TRIANGULACIÓN

6. Una vez tenemos todos los puntos, sólo queda repasar el polígono con una línea de resultado


A

C C´

B´

CA

AB

CB

DA

AE

DE

D D´

E

B

A´

E´


REPRODUCCIÓN POR COORDENADAS

Este procedimiento consiste en reproducir las coordenadas de lafigura inicial sobre otros ejes

Los ejes de coordenadas son dos rectasperpendiculares que permiten asignar

a cada punto del plano dos coordenadasA = 5dB = 2g

Dada la figura ABCD, realizar otra igual mediante el método de REPRODUCCIÓN POR COORDENADAS.

A

C

D

B

A

B

a b c d e f g h

1

2

3

4

6

5

7



1. Dibujamos los ejes perpendiculares sobre la figura dada.Podemos hacer que coincidan con el punto B (el situado más

a la izquierda) y el punto D (el situado más abajo).


A

D

B

C



2. Se trazan perpendiculares a los ejes desde el resto de vértices,así determinamos las coordenadas de cada uno


A

D

B

Cc1

c2

a1

a2



3. Se dibujan dos nuevos ejes de coordenadas donde iremos trasladando las coordenadas anteriores con el compás


A A´

D

B

Cc1

c2

a1 a1´

a2 a2´





A A´

D

B B

Cc1

c2

a1 a1´

a2 a2´

DT I. TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS. Igualdad, Traslación, Simetría, Giro, Homotecia, Semejanza, EscalasDT I. TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS. Igualdad, Traslación, Simetría, Giro, Homotecia, Semejanza, Escalas




A A´

D

B B´

C C´c1

c2 c2´

a1 a1´

a2 a2´

c1´





A A´

D D´

B B´

C C´c1 c1´

c2 c2´

a1 a1´

a2 a2´



4. Una vez tengamos todos los vértices pasados por coordenadasa los nuevos ejes, podemos trazar la nueva figura


A A´

D D´

B B´

C C´c1 c1´

c2 c2´

a1 a1´

a2 a2´


RADIACIÓN

Este procedimiento consiste en trazar una circunferencia dentro del polígono y trazar radios en ella que se prolonguen hasta los vértices del polígono.

Luego, a partir de otra circunferencia igual iremos transportando los radiostrazados en la original para conseguir una figura igual.

Dada la figura ABCDEF, realizar otra igual mediante el método de RADIACIÓN.

A

C

DE

F

B


RADIACIÓN

1. Trazamos una circunferencia dentro del polígono (donde queramos)


A

C

D

O

E

F

B


RADIACIÓN

2. Trazamos los radios de circunferencia que van hasta cada uno delos vértices de la figura. Así, conseguimos los puntos 1, 2, 3, 4, 5 y 6.


A

C

D

O

E

F

B

1

4

5

6

32


RADIACIÓN

3. Trazamos una circungerencia O´ del mismo radio que O.


A

C

D

O O´

E

F

B

1

4

5

6

32


RADIACIÓN

4. Situamos uno de los puntos de la circunferencia O sobre la circunferencia O´, por ejemplo el punto 1.


A

C

D

O

E

F

B

4

5

6

32

1

O´

1´


RADIACIÓN Dada la figura ABCDEF, realizar otra igual mediante el método de RADIACIÓN.

A

C

D

O

E

F

B

4

5

6

32

1

O´

2´

1´

5. A partir del punto 1´, vamos transportando con el compás los arcos que producen los radios en la circunferencia al cortarla:

Medimos del 1´ al 2´, del 2´ al 3´...


RADIACIÓN

5. A partir del punto 1´, vamos transportando con el compás los arcos que producen los radios en la circunferencia al cortarla:

Medimos del 1´ al 2´, del 2´ al 3´...


A

C

D

O

E

F

B

4

5

6

32

1

O´

2´

1´

4´

6´

5´

3´


RADIACIÓN

6. Trazamos los radios que pasan por cada uno de los puntos 1´, 2´, 3´, ...


A

C

D

O

E

F

B

4

5

6

32

1

O´

2´

1´

4´

5´

6´

3´


RADIACIÓN

7. Transportamos con el compás las medidas OA, OB, OC, OD, OE, Y OF sobre O´A´, O´B´, O´C´, ...


A

C

D

O

E

F

B

4

5

6

32

1

O´

2´

A´

1´

4´

5´

6´

3´


RADIACIÓN



A

C

D

O

E

F

B

4

5

6

32

1

O´

2´B´

1´

4´

5´

6´

3´

A´


RADIACIÓN



A

C

D

O

E

F

B

4

5

6

32

1

O´

2´

1´

4´

5´

6´

3´

C´

B´

A´


RADIACIÓN



A

C

D

O

E

F

B

4

5

6

32

1

O´

2´

1´

4´

D´

5´

6´

3´

C´

B´

A´


RADIACIÓN



A

C

D

O

E

F

B

4

5

6

32

1

O´

2´

1´

4´

D´

5´

E´

6´

3´

C´

B´

A´


RADIACIÓN



A

C

D

O

E

F

B

4

5

6

32

1

O´

2´

1´

4´

D´

5´

E´

6´

F´

3´

C´

B´

A´


RADIACIÓN

8. Una vez hemos trasladado todos los radios y tenemos los nuevosvértices de la figura, podemos trazarla


A

C

D

O

E

F

B

4

5

6

32

1

O´

2´

1´

4´

D´

5´

E´

6´

F´

3´

C´

B´

A´


TRANSPORTE DE ÁNGULOS Y SEGMENTOS

Este procedimiento consiste en reproducir lla figura copiando sus ÁNGULOS Y SEGMENTOS

Recuerda cómo se transporta un ángulo de un lugar a otro:

Dada la figura ABCDE, realizar otra igual mediante el método de Transporte de ángulos y segmentos.

A

V

V

V

2

22´

1

1

1´

1´

b

b

b

a

a

a

a´

a´

a´

V´

V´

V´

Tenemos el ángulo de vértice V para copiar

Trazamos un arco cual-quiera desde V = 1, 2

Trazamos uno de los ladosdel ángulo (si queremos

que esté en la misma dirección hacemos una paralela)

Trazamos el mismo arco V1 desde V´

Transportamos la distancia 1-2 sobre 1´, así obtenemos 2´. Uniendo V´con 2´ obtenemos un ángulo igual al original

C

D

E

B



1. Comenzamos por copiar un segmento, por ejemplo el AB. Si quiero que la figura mequede en la misma dirección, hago este lado paralelo al original


AA´

B´

C

D

E

B



2. Trasladamos el ángulo B sobre el nuevo lado B´A´.


AA´

B´

C

D

E

B



3. Trasladamos el segmento BC sobre el segmento trazado de ángulo B´.


AA´

B´

C C´

D

E

B



4. Trasladamos el ángulo C y el segmento CD


AA´

B´

C C´

D´D

E

B



5. Trasladamos el ángulo D y el lado DE.


AA´

B´

C C´

D´

E´

D

E

B


TRANSPORTE DE ÁNGULOS Y SEGMENTOS Dada la figura ABCDE, realizar otra igual mediante el método de Transporte de ángulos y segmentos.

AA´

B´

C C´

D´

E´

D

E

B

6. Por último, unimos E´ con A´ y ya completamos la figura


En la simetría, las formas de las figuras mantienen las longitudes respectivas y la medida de los ángulos.

Es, por tanto, una transformación ISOMÉTRICA (misma medida) e ISOMÓRFICA (misma forma).Las posiciones de un punto A y su correspondiente A´, mantienen la misma distancia

respecto a una recta o a un punto, llamados EJE DE SIMETRÍA y CENTRO DE SIMETRÍA respectivamente.

A

A

O

O

B

B´

´

´

´

A´

A´

eje

de s

imetr

ía

Simetría respecto a un EJE

Simetría de la misma figura respectoa un eje y a un punto:

Simetría respecto a un PUNTO

SIMETRÍA AXIAL SIMETRÍA RADIALSIMETRÍA CENTRAL

A

A

A

A´

A´

A´

B´

B´

B

B

C´C

O


SIMETRÍA


SIMETRÍA La SIMETRÍA es un movimiento que mantiene invariable un punto o una recta.

Las figuras transformadas se llaman simétricas, y pueden ser idénticas o iguales a la original.

Dos figuras F y F’ son iguales si existe un movimiento que transforma F en F’.

Dos figuras idénticas son iguales, ya que la IDENTIDAD es un movimiento que transporta una figura en sí misma. El recíproco no siempre es cierto, dos figuras iguales no tienen por qué ser idénticas.

En la simetría axial, la figura que obtenemos tiene los mismos ángulos, los mismos lados y en el mismo orden que la figura inicial, sin embargo, no pueden superponerse. Así pues, son dos figuras iguales, pero no idénticas.

Por tanto, la IGUALDAD GEOMÉTRICA es un concepto diferente al de la IGUALDAD ALGEBRAICA. Cuando decimos que dos números son iguales estamos afirmando que son un único y mismo número, mientras que cuando decimos que dos figuras sean iguales no implica que puedan confundirse en una única figura.

La identidad entre dos figuras F y F’ se denota como F F’, y

la igualdad entre dos figuras G y G’ se denota por G G’

IDENTIDAD E IGUALDAD


SIMETRÍA AXIAL

Dos puntos A y A’ son simétricos enuna simetría axial de eje e si estánsobre la misma recta perpendicular al eje de simetría y además se veri-fica que dichos puntos equidistan deleje de simetría:

AA = A A’e e

r

r’

A

A’

Aee

A ´

A´

eje

de s

imetr

ía

eje de simetría

En toda simetría axial se cumple: Las rectas simétricas se cortan en un

punto del eje de simetría. El eje es la mediatriz de los segmentos

que unen puntos simétricos y la bisectriz del ángulo que forman dos rectas simétricas.

Las figuras que obtenemos mediante una simetría axial son iguales, pero no idénticas.

La simetría axial es un movimiento inverso del plano, es decir, INVIERTE

el sentido de las figuras


SIMETRÍA AXIAL

SIMETRÍA AXIAL DE UNA FIGURA conocido el eje

Dada la figura ABCD y el eje de simetría e, trazar la figura simétrica

eA

B

C

D


SIMETRÍA AXIAL



Se trazan perpendiculares desde cada punto al eje de simetría

eA

B

C

D


SIMETRÍA AXIAL



Transportamos la misma medida de AAe sobre la perpendicular al otro lado del eje, y obtenemos A’

eA Ae A’

B’B

C

D


SIMETRÍA AXIAL



Hacemos lo mismo con el resto de puntos

eA A’

B’B

C

D


SIMETRÍA AXIAL



eA A’

B

C

D

B’

C’



SIMETRÍA AXIAL



eA A’

B

C

D

B’

C’

D’



SIMETRÍA AXIAL



Uniendo los puntos obtenidos tenemos la figura simétrica

eA A’

B

C

D

B’

C’

D’


SIMETRÍA CENTRAL

Dos puntos A y A’ son simétricos en una simetría central de centro O, si A, A’ y O se encuentran sobre la misma recta, y además se cumple que A y A’ equidistan del centro de simetría:

OA = OA’

A O A’

= =

En toda SIMETRÍA CENTRALse cumple:

Cualquier recta que pase por el centro de simetría se transforma en si misma, por ello se llama RECTA DOBLE.

Un ángulo cuyo vértice sea el centro de simetría se transforma en su ángulo opuesto por el vértice.

Las figuras que obtenemos mediante una simetría central son exactamente iguales.

La simetría central es un movimiento directo del plano que mantiene el sentido de las figuras.

Los segmentos simétricos son PARALELOS.Las rectas homólogas que no pasan por el centro son paralelas

SIMETRÍA CENTRAL DE UN SEGMENTO

A

A’

O

B

B’

r

r’

s’

s


SIMETRÍA CENTRAL

SIMETRÍA CENTRAL DE UNA FIGURA conocido el centro de simetría

Dada la figura ABCD y el centro O de simetría, trazar la figura simétrica

O

A

BC

D

E


SIMETRÍA CENTRAL


O

A

A’

BC

D

E



SIMETRÍA CENTRAL


O

A

A’

E’

BC

D

E



SIMETRÍA CENTRAL


O

A

A’

E’

D’

BC

D

E



SIMETRÍA CENTRAL


O

A

A’

E’

D’

BC

D

EC’



SIMETRÍA CENTRAL


O

A

A’

E’

D’

BC

D

EC’

B’



SIMETRÍA CENTRAL

SIMETRÍA CENTRAL DE UNA FIGURA conocido uno de los puntos homólogos

Dada la figura ABCD y el punto A’, homólogo de A, hallar su simetría central

A

A’

B

C D


SIMETRÍA CENTRAL


A

A’

B

C D

Para hacer la simetría central necesitamos sacar el centro de la misma. Como nos dan A y A´, sabemos que el centro estará en la mediatriz del segmento AA’. Así que primero nimos A con A’



SIMETRÍA CENTRAL


A

A’

B

C D

O

Hallamos la mediatriz de AA’, y en en el punto medio de AA’ estaráel centro O de la simetría



SIMETRÍA CENTRAL


A

A’

D’C’

B’

B

C D

O

A continuación realizamos la simetría como se ha visto en

el caso anterior



SIMETRÍA CENTRAL


A

A’

D’C’

B’

B

C D

O



HOMOTECIA

Una homotecia de centro O y razón k (k = 0), es una transformación geométrica del plano que a un punto A le hace corresponder otro punto A’, alineado con O y A, de forma que:

OA’ k= OA

Dos figuras son homotéticas si sus puntos se corresponden en una homotecia.

LA HOMOTECIA es una TRANSFORMACIÓN GEOMÉTRICA ISOMÓRFICA (igual que la semejanza), en la que SE MODIFICA EL TAMAÑO pero NO LA FORMA

O

A

A’

B’B

C

D’


HOMOTECIA

RAZÓN

LA RAZÓN entre dos segmentos homólogos en una homotecia es constante e igual a la razón de homotecia o coeficiente de homotecia.

O

O

A

A’

A’

A

B’

B

B

B’

C

C’

C’

C

Según el valor de k, el tamaño de la figura transformada es mayor o menor que la original, y su posición es la misma que la inicial o queda invertida.

k 1

k -1

0 k 1

-1 k 0

A’B’ OA’ k= = AB OA

HOMOTECIA DIRECTA. k positiva HOMOTECIA INVERSA. k negativaA

A

A’

A’

C’

C’

B

B

B’

B’

C

C


HOMOTECIA

DETERMINACIÓN DE LA HOMOTECIA

Una HOMOTECIA está determinada si disponemos de los siguientes datos:

O O O

B B B

B’ B’ B’

C’ C’ C’C C C

A A A

A’ A’ A’

k=3/2

EL CENTRO y DOS PUNTOS HOMOTÉTICOS

EL CENTRO y LA RAZÓNDE HOMOTECIA

DOS FIGURASHOMOTÉTICAS


HOMOTECIA

PROPIEDADES DE LA HOMOTECIA

Si k es POSITIVO, todos los puntos homólogos quedan a un mismo lado de O, y se llama homotecia directa; SI k ES NEGATIVO, quedan a distinto lado y se llama homotecia inversa

La homóloga de una recta r que pasa por el centro de homotecia es ella misma, r = r’, por eso se llama RECTA DOBLE

La relación entre dos segmentos homólogos AB y A’B’ es igual a la razón de homotecia k. Si aplicamos el Teorema de Thales se cumple que:

La homóloga de una recta s que no pasa por el centro de homotecia es una recta paralela s’

O

HOMOTECIA DIRECTA

HOMOTECIA INVERSA

A’

A

B B’

C’

C’A’

A’

A’

A

A

A

B

B

B

s s’

D

C

r

r’s’

r=r’

s

D’

O

O

O

B’

B’

B’

C

O

B

B’

C’C

A

A’

A’B’ OA’ OB’ k= = = AB OA OB


HOMOTECIA


Los ÁNGULOS HOMÓLOGOS y ’

o y ’ son iguales, puesto que sus lados homólogos son paralelos

SEGMENTOS HOMOTÉTICOSDos segmentos paralelos cualesquiera AB y A’B’ son siempre homotéticos de dos centros O1 y O2 en una homotecia directa y en una homotecia inversa, respectivamente.Los centros de homotecia son las intersecciones de las rectas que unen los extremos de los dos segmentos

Si la razón de homotecia es k=1, todos los puntos del plano son dobles, homólogos de sí mismos, y la transformación es una IDENTIDAD

Si la razón de homotecia es k=-1, la transformación es una SIMETRÍA CENTRAL de centro O

O

A=A’

B=B’

C=C’D=D’

A’

A

B’

B

’

’

O

A’

A

B

O

B’

==

O1O2

A’=Q’

A=P

B’=P’

B=Q


HOMOTECIA


CIRCUNFERENCIAS HOMOTÉTICASDos circunferencias cualesquiera son siempre homotéticas respecto de dos centros O1 y O2 en una homotecia directa e inversa, respectivamente.Los centros de homotecia se hallan sobre la recta que une los centros de las circunferencias y se determinan a partir de sus tangentes interiores y exteriores

C2 O2

O1

T3T1

T2

T4

C1


SEMEJANZA

Dos figuras planas son semejantes o proporcionales cuando tienen sus ángulos

iguales y sus lados proporcionales.Los puntos que se corresponden en ambas

figuras se llaman homólogos, y la relación que existe entre segmentos homólogos recibe el

nombre de RAZÓN DE SEMEJANZA

k 1 : Figura semejante MAYOR que la original

k = 1: Figura semejante IGUAL que el original

k 1 : Figura semejante MENOR que la original

La semejanza puede ser DIRECTA o INVERSA según mantenga o no , respectivamente, el sentido de la figura plana original

A

A

A’B

B’

C

C’D

D’

A’

B

B’

C

C’

DD’

E

E’k 1

k 1

directa

inversa


SEMEJANZA

Trazado de un pentágono semejante a otro dado sabiendo que la razón de semejanza es k= 1/2

A

DC

B E

1er PROCEDIMIENTO


SEMEJANZA


A

O

DC

B E

1er PROCEDIMIENTO

Dibujamos un punto O arbitrario(donde queramos)


SEMEJANZA


A

O

DC

B E

1er PROCEDIMIENTO

Unimos mediante rectas cada unode los puntos de la figura con el

punto O


SEMEJANZA


A

O

D

D’

C

B

1

1/2E

1er PROCEDIMIENTO

Hallamos la mitad (porque la razón es 1/2)de la distancia de cualquier punto al punto O, en este caso hemos cogido el punto D


SEMEJANZA


A

O

D

D’C’

C

B

1

1/2E

1er PROCEDIMIENTO

Una vez obtenido el punto D’, hacemos una paralela al segmento CD que pase por D’.Dicha paralela cortará a la recta CO en el

punto C’


SEMEJANZA


A

O

E

D

D’C’

B’

C

B

1

1/2

1er PROCEDIMIENTO

Hacemos paralelas de todos los segmentosde la misma manera que hemos hechocon el primero, y así obtenemos el resto

de lados y vértices de la figura semejante


SEMEJANZA


A

O

E

D

D’C’

B’

A’

C

B

1

1/2

1er PROCEDIMIENTO




SEMEJANZA


A

O

E

D

D’C’

B’E’

A’

C

B

1

1/2

1er PROCEDIMIENTO




SEMEJANZA


A

DC

B

2º PROCEDIMIENTO

E

1

1/2Consiste en hallar la razón de semejanza enuno de los lados de la figura (en este caso

1/29, y luego, mediante paralelas ir trazando el resto de la figura


SEMEJANZA

Trazado de un cuadrilátero semejante a otro dado sabiendo que la razón de semejanza es k=-2/3

A

D

C

B


SEMEJANZA


A

D

O

C

B

Colocamos un punto O cualquiera


SEMEJANZA


A

D

O

C

B

12

3

Dividimos la distancia AO en tres partes igualesmediante el Teorema de Thales


SEMEJANZA


A

A’

D

O

C

B

12

3

Haciendo centro en O trazamos un arco de radio dos de las tres partes en que hemos dividido AO.

Así obtenemos A’


SEMEJANZA


A

A’

D

O

C

B

12

3

B’


SEMEJANZA


A

A’

D

O

C

B

12

3

Ahora, mediante paralelas vamos sacando los lados y vértices de la figura. Trazando una paralela a BA desde A’, cortaremos la

prolongación de la recta BO y obtendremos el vértice B’


SEMEJANZA


A

A’

B’

C’

D

O

C

B

12

3

Trazando una paralela a CB desde B’, cortaremos la prolongación de la recta CO y obtendremos el vértice C’


SEMEJANZA


A

A’

B’

C’

D’

D

O

C

B

12

3

Trazando una paralela a CD desde C’, cortaremos la prolongación de la recta DO y obtendremos el vértice D’.

Si unimos A’B’C’D’ obtenemos la figura semejante


ESCALAS

La ESCALA es la relación entre las longitudes dibujadas y sus correspondientes reales

La escala se representa mediante una fracción en la que el numerador corresponde al dibujo y el denominador a la realidad.

Se puede expresar de dos maneras. Ej: Escala 2/1 o Escala 2:1Escala 2:1 quiere decir que lo que en la realidad mide uno, en el dibujo ha de medir 2, el doble.

Hay tres tipos de escalas:

ESCALA NATURALESCALAS DE REDUCCIÓNESCALAS DE AMPLIACIÓN

Dibujar un objeto a escala significa hacer una figura SEMEJANTE donde la RAZÓN DE SEMEJANZA es la escala.

ESCALA = DIBUJOREALIDAD


ESCALAS

Son aquellas en las que el dibujo obtenido es siempre inferior a la realidad. Ej: Escala 1:2

Son aquellas en las que el dibujo obtenido es siempre superior a la realidad. Ej: Escala 3:1

La pieza dibujada está realizada a escala 1:2, es decir, está reducida a la mitad del tamaño real

La pieza dibujada está realizada a escala 3:1, es decir, está ampliada al triple del

tamaño real

ESCALAS DE REDUCCIÓN ESCALAS DE AMPLIACIÓN

a a/2

pieza original

pieza a escala1:2

a

ax3

3 cm


ESCALAS

Es una recta graduada que acompaña al dibujo y permite reducir las medidas reales midiéndolas sobre el dibujo

Ejemplo de trazado de escala gráfica. ESCALA 3:5

1. Basándonos en el Teorema de Thales, trazamos una recta d, en la que obtendremos las medidas a escala, y

una recta auxiliar r, que parta de d con el ángulo que decidamos nosotros. Sobre la recta d y a partir del punto 0

(donde se cortan r y d ) hemos de marcar la medida que indique el numerador de la escala (3 cm).

ESCALA GRÁFICA

d (Dibujo)

E = 3/5

r (realidad)


ESCALAS



2. Sobre la recta r trazamos las medidas reales que nos indica el denominador de la escala (en este caso 5 cm)

ESCALA GRÁFICA

1

2

3

4

5

3 cm

d (Dibujo)

E = 3/5

r (realidad)


ESCALAS



3. Unimos la 5ª división con el extremode los 3 cm que hemos marcado sobre d. A continuación, aplicamos el Teorema de Thales. Así, los tres cm de d quedan divididos en 5 partes iguales.

ESCALA GRÁFICA

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

3 cm

d (Dibujo)

E = 3/5

r (realidad)


ESCALAS



4. Una vez obtenidas las cinco unidades a escala, realizamos la CONTRAESCALA. Esta contraescala se realiza aplicando el Teorema de Thales sobre una unidad a escala (sobre el segmento d). Se puede colocar a la izquierda del 0. Consiste en dividir una de las nuevas unidades a escala 3/5 en 10 partes iguales.

ESCALA GRÁFICA

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

3 cm

CONTRAESCALA

d (Dibujo)

E = 3/5

r (realidad)


ESCALAS


ESCALA VOLANTE

Consiste en dibujar la escala que hemos obtenido en una tira de papel o cartulina para poder trabajar con ella y medir dibujos que estén realizados a dicha escala para traducirlos a

milímetros

ESCALA GRÁFICA

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

3 cm

CONTRAESCALA

d (Dibujo)

E = 3/5

r (realidad)

0 1 2 3 4 5


ESCALAS

ESCALA TRANSVERSAL

10

10

9

9

9

8 s

r8

8

7

1,47 dm= 2,57 m

2,34 dm

7

7

6

6

6

5

5

5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0

0 1 dm4 cm reales

2 dm 3 dm0

Con esta escala podemos apreciar, no solo las décimas de unidad, sino incluso las centésimas. Como ejemplo, usamos la escala 2:5. Trabajaremos con decímetros. 1dm x 2/5 = 0,4 dm = 4 cm. Por tanto, 4 cm es la unidad (1 dm) reducida en la escala 2:5. Hasta ahora hemos aplicado lo aprendido a la hora de hacer la escala gráfica. Sobre una recta r se lleva la unidad reducida tantas veces como sea posible , enumerando las divisiones tal como se indica en el dibujo: 0, 1, 2, 3... La primera de estas divisiones, entre los puntos 0 y 10, se divide a su vez en 10 partes iguales utilizando el Teorema de Thales. Esta es la contraescala. Luego se trazan 10 rectas paralelas a la recta r con distancias iguales entre sí. Se trazan rectas perpendiculares a r a la distancia de cada unidad (cada dm) que corten a las otras 10 rectas. En la recta s, última de las 10 paralelas, se construye la contraescala de nuevo. Se unen los puntos de división de las contraescalas de r y s de la siguiente manera: el 0 de r con el 1 de s, el 1 de r con el 2 de s,...

La forma de utilizar la escala transversal consiste en hacer coincidir uno de los extremos de la medida con una división entera de alguna de las rectas paralelas, observando que el otro extremo de la magnitud coincida de forma exacta con alguna de las divisiones de la contraescala.

La división entera indica las unidades, la división de la contraescala las décimas y el número de la recta paralela indica las centésimas de unidad.


ESCALAS

TRIÁNGULO UNIVERSAL DE ESCALAS

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ESCALA NATURAL. E 10:10 = 1:1

E 9:10

E 11:10

E 12:10 = 6:5

E 13:10

E 14:10 = 7:5

E 15:10

E 8:10 = 4:5

E 7:10

E 6:10 = 3:5

E 5:10 = 1:2

E 4:10 = 2:5

E 3:10

E 1:10

E 2:10 = 1:5

1. Construimos el TRIÁNGULO RECTÁNGULO ABC, con 100 mm de longitud cada cateto.

2. Prolongamos el cateto AC y la hipotenusa AB

3. Dividimos los catetos AC y BC en 10 partes iguales

4. Trazamos paralelas por los puntos de división del cateto AC

5. Unimos los puntos de división del cateto BC con el vértice A y dividimos en diez partes iguales las paralelas.

Así se obtienen diversas ESCALAS DE REDUCCIÓN: 1:10; 1:5; 1:2.Al prolongar las rectas que concurren en A y trazar más paralelas al lado BC, que representa la ESCALA NATURAL, y a igual distancia que las anteriores, obtenemos diversas ESCALAS DE AMPLIACIÓN: 11:10; 6:5...

A

CB

ES

CA

LA

S A

MP

LIA

CIÓ

NE

SC

AL

AS

RE

DU

CC

IÓN


ESCALAS

Conversión de escalas

De fracción ordinaria a fracción decimal

De fracción decimal a fracción ordinaria

Elección de la Escala

4 Se divide el numerador por el denominador. Así, 4:5 = = 0,8 ESCALA 0,8 5

2 1Reducimos la fracción decimal a fracción quebrada. Así, 0,2 = = = 1:5 ESCALA 1:5 10 5

Siempre que sea posible debe adoptarse la escal 1:1. aunque, para la claridad de algunos detalles, han de emplearse otras.

Debe elegirse la escala más adecuada en función de las dimensiones de la pieza y del formato utilizado, de manera que resulte un dibujo agradable y en el que puedan apreciarse claramente los detalles.


Ejercicios de Simetria

Completa esta figura mediante SIMETRÍA AXIAL



Completa esta figura mediante SIMETRÍA AXIAL MÚLTIPLE




R

R RR

1




R

R

1 1´




1 1´R

R




1 1´




1 1´

R

R

RR




R

RRR




R

R

RR



Completa esta figura mediante SIMETRÍA CENTRAL

O




O

1

1´




O

1

1´

2´

2




O

1

1´

2´ 3´

3 2




O

1

1´

2´ 3´

4´

4

3 2




O

1

1´

2´ 3´

4´ 5´

5 4

3 2




O

1

1´

2´ 3´

4´ 5´

6´

6

5 4

3 2




O

1

1´

2´ 3´

7´

7

4´ 5´

6´

6

5 4

3 2




O

1

1´

2´ 3´

7´

7

8

8´

4´ 5´

6´

6

5 4

3 2




9

O

1

1´

2´ 3´

7´

7

8

8´

9´

4´ 5´

6´

6

5 4

3 2




O

1

1´

2´ 3´

7´

7

8

8´

9´

9

4´ 5´

6´

6

5 4

3 2


Ejercicios de TRASLACIÓN

Traslada la circunferencia de centro O siguiendo la dirección d hasta que sea tangente a la recta r

O

d



O

d

T




O

d

T T´




O O´

d

T T´



Trasladar el segmento AB de manera que en su punto medio, sea tangente a la circunferencia de centro O

O

A

B




O

AT

B




O

A

B

T

M mediatriz




O

A

A´

B

B´

T

M mediatriz



Con centro en V girar la circunferencia O hasta que sea tangente a la recta s

Ejercicios de GIRO

s

O

V



Ejercicios de GIRO

s

O

V

r

r



Ejercicios de GIRO

s

OO´

V

r

r



Ejercicios de GIRO

s

O

O´

V

r

r


Aplica un giro múltiple girando este motivo 90º, 180º y 270º

Ejercicios de GIRO

V

90º



Ejercicios de GIRO

V

180º



Ejercicios de GIRO

V

270º


Haciendo centro en V, girar 60º la figura

Ejercicios de GIRO

V



Ejercicios de GIRO

V

60º

A

A´



Ejercicios de GIRO

V

60º

A

B

A´



Ejercicios de GIRO

V

60º

A

BA´



Ejercicios de GIRO

V

60º

A

BB´ A´AB


Con centro en V girar r hasta conseguir r´y r´´, paralela y perpendicular, respectivamente, a la recta s.

Ejercicios de GIRO

rV

s



Ejercicios de GIRO

rV

s T



Ejercicios de GIRO

rV

sT´

T



Ejercicios de GIRO

rV

sT´

T

T´´


Transformar la figura según una simetría de eje e y un giro de 120 º de centro O

eO

Ejercicios de PRODUCTO DE TRANSFORMACIONES


Transformar la figura según una simetría de eje e y un giro de 120 º de centro O

eO

120º



Trasladar 80 mm horizontalmente la figura a la derecha y al resultado aplicar una simetría inversa de razón -2 con centro O

O




O

80 mm

80 mm




O



A la figura semejante inversa, según el centro O, de la dada, hallar una simetría según el eje e

O

e



O

e

Ejercicios de PRODUCTO DE TRANSFORMACIONESA la figura semejante inversa, según el centro O, de la dada, hallar una simetría según el eje e



O

e

A la figura semejante inversa, según el centro O, de la dada, hallar una simetría según el eje e


O

e

Ejercicios de PRODUCTO DE TRANSFORMACIONESA la figura semejante inversa, según el centro O, de la dada, hallar una simetría según el eje e

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS. IGUALDAD, SIMETRÍA, SEMEJANZA, HOMOTECIA. DIBUJO TÉCNICO 1º...

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