Transferts thermiques

Transfert de chaleur par rayonnement1 Grandeurs caracteristiques

2 Modele du corps noir

3 Rayonnement de surfaces opaques

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Partie 1

Grandeurs caracteristiques

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Concepts fondamentaux

Tout corps a une temperature T > 0 emet du rayonnement.

Rayonnement = energie emise due a l’oscillation des electrons de lamatiere

Rayonnement volumique ou surfacique (d < 1µm)

Le transport de l’energie ne necessite pas de matiere:propagation d’ondes electromagnetiques caracterisees par unelongueur d’onde λ, ou une frequence ν = c

λ avec c la vitesse de lalumiere

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Caracteristiques du rayonnement

Nature spectrale (longueur d’onde λ)

Nature directionnelle

→ Equations integrales (6= EDP)

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Angle solide

Systeme de coordonnees spheriques (r , θ, φ)

dΩ = sin θdθdφ

Milieu opaque: pas de transmission→ emission dans l’hemisphereau-dessus de la surface∫

hemispheredΩ = 2πsr

sr: steradians (unites des anglessolides)

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Flux radiatif - Luminance de la surface emettrice

Surface d’emission elementaire dS

Angle solide elementaire dΩ

Intervalle de longueur d’onde dλ

Flux energetique d3Φ emis par dS dans dΩ et dans la gamme delongueurs d’onde [λ, λ+ dλ]:

d3Φ = L(T , λ, θ, φ)dλdSdΩ

L(T , λ, θ, φ) luminance directionnelle (Wm−3sr−1)

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Intensite de la surface emettrice

Intensite du rayonnement = Flux de chaleur par unite d’angle solide

d2I (T , λ, θ, φ) =d3Φ

dΩ

Loi de Bouguer d2I (T , λ, θ, φ) = L(T , λ, θ, φ)dλdS cos θ

Intensite totale: integree sur tous les λ:

dI =d2Φ

dΩ= L(T , θ, φ)dS cos θ

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Emission Lambertienne (isotropie)

Isotropie: la luminance L ne depend pas de la directionEmission Lambertienne dans la direction θ:

dI (T ) = dI0(T ) cos θ

dI0 intensite normale a la surface dI0(T ) = L(T )dS

→ Intensite nulle pour les directions tangentes a la surface emettrice

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Emittance de la surface emettrice

Emittance monochromatique M(T , λ) (Wm−3)= Densite de flux radiatif obtenu par integration sur l’hemisphere

M(T , λ)dλ =1

dS

∫hemisphere

d3Φ

Emittance totale: integree sur tous les λ= densite de flux representant les pertes radiatives de la surface danstoutes les directions sur toutes les longueurs d’onde (emissive power)

Emittance totale M(T ) =

∫ ∞0

M(T , λ)dλ

Emission Lambertienne →

M(T ) = L(T )

∫hemisphere

cos θdΩ = L(T )

∫ 2π

0dφ

∫ π/2

0sin θ cos θdθ

M(T ) = πL(T )

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Eclairement de la surface receptrice

Eclairement monochromatique E ′(λ) (′ ↔ reception)= Densite de flux obtenue a partir du flux incident dΦi sur unesurface dS ′ en provenance de l’hemisphere environnant:

E ′(λ) = dΦidS ′ = 1

dS ′

∫hemisphere d

2Φi

Flux emis par dS incident sur dS ′:d2Φi = L(T , θ, φ)dΩdS cos θ avec dΩ = dS ′ cos θ′

r2

d2Φi = L(T , θ, φ)dS′dS cos θ′ cos θ

r2 = dE ′dS ′cosθ′ dS cos θr2

d2Φi = dE ′dS ′cosθ′dΩ′ avec dΩ′ = dS cos θr2

dΩ′ angle sous lequel on voit la surface dS

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Eclairement

Soit dE ′0 l’eclairement energetique pour une surface placee normalementau rayonnement incident

dE ′ = dE ′0 cos θ′

Eclairement solaire isotrope E ′0 = L(T )Ω′s

Application: Ω′s ∼ 6 10−5sr →Eclairement solaire normal E ′0 = 1389Wm−2 hors atmosphereA la latitude (θ) de Paris, par ciel clair E ′ ∼ 800− 900Wm−2

Reception isotrope → E ′(T ) = πL(T )

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Facteurs de forme

Hypothese d’isotropie de la surface d’emission → Facteurs de forme

Flux de chaleur echange entre deux elements de surface:

d2Φ1 = L(T1)dΩ12dS1 cos θ12

Facteur de forme elementaire Fd1→d2 = Fraction d’energie emise par dS1

et incidente sur dS2

Fd1→d2 =cosθ21cosθ12dS1

πd212

→ Reciprocite: dS1Fd1→d2 = dS2Fd2→d1

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Differents types de milieux

Milieux transparents: Pas d’emission, d’absorption, de reflexion→ tout le rayonnement est transmis

Surfaces ideales: Modele du corps noir→ tout le rayonnement est absorbe

Surfaces reelles opaques: emission, absorption, reflexion→ pas de transmission

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Partie 2

Corps noir

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Emission d’un corps noir: Repartition spectrale de Planck(I)

Enceinte vide isotherme parallellepipedique l1, l2, l3Photons de frequence ν :

Energie d’un photon e = hν, quantite de mouvement |p| = hν/c0

h constante de Planck (h = 6.6255 10−34 Js)

Les photons ne peuvent sortir de l’enceinte → ∆xi = liPrincipe d’incertitude → ∆pi = h/li→ Vh = Π3

i=1∆pi volume d’incertitude dans l’espace des moments p.

Volume dans l’espace des moments des photons caracterises par |p|(ν): V = 4πp2dp

Etats de polarisation Np = 2

Nombre d’etats distincts dNe pour les photons dans la gamme defrequences [ν, ν + dν]:

dNe = NpV

Vh= 8π

h2ν2

c20

hdν

c0

l1l2l3h3

= 8πν2

c30

l1l2l3

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Emission d’un corps noir: Repartition spectrale de Planck(II)

Probabilite pour qu’un photon ait l’energie ν (Bose-Einstein):

Pν =1

exp(hν/kT )− 1

k constante de Boltzmann (k = 1.3805 1023 JK−1)

Nombre de photons dNν avec une frequence dans [ν, ν + dν]:dNν = PνdNe

Energie rayonnante volumique entre ν et ν + dν: U0dν = hνl1l2l3

dNν

Rayonnement isotrope → on montre que U0 = 4πν2 L

0(λ,T )avec L0(λ,T ) luminance

Repartition spectrale de Planck: L0(λ,T ) =2hc2

0λ−5

exp( hc0kλT )− 1

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Loi de Planck

Temperature T ↑:

Luminance max L0m ↑

Longueur d’onde λm ↓λmTm = 2898µmK

Loi de Wien

Loi unique pour L0/Lm(y) et λ/λm(x)

98% du rayonnement dans [λm/2, 8λm]

Fraction d’energie z entre 0 et λ/λm :

z(x = λ/λm) =∫ x

0 L0(x ′,T )dx∫∞0 L0(x ′,T )dx ′

(cf PC)

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Approximations de la loi de Planck

→ λT 1: Loi de Rayleigh

L0(λ,T ) = 2c0kλ−4T

→ λT 1: Loi de Wien

L0(λ,T ) = 2hc20λ−5exp(− hc0

kλT)

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Rayonnement d’un corps noir

Corps noir: emetteur isotrope

→ M(λ,T ) = πL0(λ,T )

Emittance totale : densite de chaleur perdue par le systeme

M(T ) =

∫ ∞0

M0(λ,T )dλ

L0(λ,T ) =2hc2

0λ−5

exp( hc0kλT )− 1

Changement de variable w = hc0kλT →

dww = −dλ

λ∫ ∞0

L0(λ,T )dλ =σT 4

π

Loi de Stefan-BoltzmannM = σT 4

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Validite du modele du corps noir

Modele corps noir: bonne approximation pour rayonnement solaire

Belorizky et Pique

Toute surface placee dans une cavite isotherme de proprietesradiatives quelconques est soumis a un rayonnement de corps noir

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Partie 3

Surfaces reelles

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Rayonnement reel

Luminance reelle: L(T , λ, θ, φ) ≤ L0(T , λ)

On considere seulement les cas τ = 0 (opaque) et τ = 1 (transparent).

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Rayonnement reflechi

Reflexion speculaire ou diffuse

Isotropie → Reflexion diffuse

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Caracteristiques de l’emissivite d’une surface reelle

monochromatique directionnelle ε(T , λ, θ, φ) = L(T ,λ,θ,φ)L0(T ,λ)

monochromatique hemispherique εh(T , λ) = M(T ,λ)M0(T ,λ)

totale directionnelle εd(T , θ, φ) =∫∞

0 ε(T ,λ,θ,φ)L0(T ,λ)dλ∫∞0 L0(T ,λ)dλ

totale hemispherique εt(T ) = M(T )M0(T ) =

∫∞0 ε(T ,λ)M0(T ,λ)dλ∫∞

0 M0(T ,λdλ)

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Loi fondamentale du rayonnement thermique

Equilibre thermique → Loi de Kirchoff:

Absorptivite = Emissivite

α(λ,T , θ, φ) = ε(λ,T , θ, φ)

Simplifications:

Isotropie: ε ne depend pas de la direction ε(T , λ) = α(T , λ)

Corps gris: ε ne depend pas de λ → ε(T , θ, φ) = α(T , θ, φ)

Corps noir: αλ = ελ = 1

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Bilan d’energie pour un corps opaque isotrope

Flux emis − Flux absorbe = 0

Flux incident − Flux partant = 0avec :Flux partant = Flux emis+ Flux reflechiFlux incident = Flux absorbe + Flux reflechi

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Linearisation du transfert radiatif

Taux de transfert d’energie d’une surface S a Ts assimilable a uncorps gris d’emissivite ε entouree par les parois d’une cavite C a Tc

E = εσ(T 4s − T 4

c )

Coefficient d’echange

E = εσ(T 2s + T 2

c )(T 2s − T 2

c )

E = εσ(T 2s + T 2

c )(Ts + Tc)(Ts − Tc)

E = hrayo(Ts − Tc)avec hrayo = εσ(T 2s + T 2

c )(Ts + Tc)

Applications Batiment:hrayo ∼ 6Wm−2K−1 > hconvection naturelle ∼ 4Wm−2K−1

hglobal = hrayo + hconvection naturelle ∼ 10Wm−2K−1

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Tableau recapitulatif

milieux Transmittivite Emissivite

transparents τ = 1 ε = 0

opaques τ = 0 0 < ε ≤ 1

opaques corps noir τ = 0 ε = 1

semi-transparents 0 < τ < 1 0 < ε < 1

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