Transferts thermiques avec changement d’état liquide-solide

Transferts thermiques avec changement d’état liquide-solide

Aspects fondamentauxAspects fondamentaux

ThermodynamiqueEquilibre de phasesq p

Variance et règle des phases

2rCw

C nombre de constituants, r nombre de réactions chimiques, nombre de phases

Corps pur Solutionp p

w = 1 w = 2

Température d’équilibre liquide-solide TF fixe

Température d’équilibre liquide-solide TF variant avec la concentration

2

la concentration


Solution

Eutectique

1w = 1

Température d’équilibre liquide-solide TF fixe

Exemple : il suffit de 23 % en masse (8 5 % en moles) de NaCl dans l’eau pour obtenir un

3

Exemple : il suffit de 23 % en masse (8,5 % en moles) de NaCl dans l eau pour obtenir un MCP fondant à TE = –21 °C


Solution

Si x différent de xE

Fusion progressive

4


Solution

Thermogramme typique d’une solutionSi x différent de xE

Fusion progressive

5


Evaluation de l’énergie mise en cause à l’eutectique EdilEdissEEeau,FEEE THTxTx1T

FEeau,seau,lFeau,FEeau,F TTccTT

Exemple : à –21 °C, pour l’eutectique eau-NaCl, la chaleur latente de la glace’ l d 291 890 J/k i 81 1 kWh/ 3 li d 334 800 J/k in’est plus que de 291 890 J/kg soit 81,1 kWh/m3 au lieu de 334 800 J/kg soit

92,8 kWh/m3 à 0°C. Sachant que pour ce sel ldiss(TE)= 238 kJ/kg et xE =0.23,on obtient lE(TE)= 279500 J/kg.on obtient lE(TE) 279500 J/kg.

6

ThermodynamiqueCristallisation et surfusion

TLiquide

TF

q

TCSolide

C

tempsLiquide métastable

• Degré de surfusion : T = TF – TC

• Phénomène stochastique

7

ThermodynamiqueSurfusion

Le degré de surfusion dépend de plusieurs paramètres :

• d l d l’é h till• du volume de l’échantillon :

V ΔTExemples :

0,3 l mm 3 m 3

Eau 8 K 20 K 36 KParaffines * < 0,5 K 12-14 K

• de l’histoire thermique (cycles antérieurs cristallisation-fusion ),• de la pression :

• de la concentration : (solutions).P ΔT

8

( )

• Utilisation d’un agent nucléant

Théorie de la nucléation

2)TT(T

Bexp)T(A)T(J

Thermodynamique

Théorie de la nucléation

0,9

1

Nucléation

2)TT(T F

0,7

0,8Nucléation

Petits agrégats Cristallisation

0,5

0,6

) /h

eure

N lé ti N lé ti

0,3

0,4J(T)Nucléation

homogèneNucléation hétérogène

*A *A

0,1

0,2homA hetA

** AA

Barrière d’énergie Barrière d’énergie

0-5 -4 -3 -2 -1 0

T (°C)

homhet AA

P b bili é d i lli i d’ é h ill ( 3)9

Probabilité de cristallisation d’un échantillon (cm3) par unité de temps Caractère aléatoire

Cas des solutions

Thermodynamique

Cas des solutions

10

Cas des solutions

Thermodynamique

Cas des solutions

11

Thermique

Cinétique du changement de phase

Représentation schématique des processus de fusion et de solidification

12

Transfert purement conductifThermique

Mise en équations

TTkTTc i

ii

ip

•Equation de la chaleur dans les phases liquide et solide

x

Tkxt

Tc ii,p

dxh

Tk

Tk Fls

•Bilan à l’interface liquide et solide

dth

xk

xk lss

txxls

F

avec xF abscisse du front de fusion, k conductivité thermique, masse volumique h h l i i d f i h l l i d f i lhls enthalpie massique de fusion ou chaleur latente massique de fusion, les indices l et s étant respectivement relatifs aux phases liquide et solide.

13•Conditions aux limites


Transfert purement conductif

•Cas de la fusion en géométrie plane par exemple :

On impose une température de paroi TP, la phase initiale étant solide à la température TF.

Bilan à l’interface liq ide et solideBilan à l’interface liquide et solide

dxh

TTk F

lssFp

l

dth

xk lss

Fl

Solution Solution tSte2tx lF

pll

ll c

k

ls

rpl

hTc

Ste

Nombre de Stefan

14


Thermique


rpl Tc

ls

rpl

hTc

Ste

Nombre de Stefan

15


Méthodes analytiques

•Problème de Stefan

Milieu semi-infini délimité par une surface plane initialement liquide à température uniforme

ps

Fl

Tt,0T,0x,0tTT0,xT,0x,0t

Solution de NeumannPosition de l ’interface

21

tCtx sF

Solution de Neumann

avec S diffusivité thermique du solide, C facteur de proportionnalité fonction du nombre de Stefan.

16


Solutions approchées

Milieu semi-infini délimité par une surface plane initialement liquide à température de fusion

Fl TT0,xT,0x,0t

ps Tt,0T,0x,0t

•Champ de température dans la phase en formation de type polynomiale

•Position de l’interface (paroi à température imposée)(p p p )

t2Ste

Ste4tx sF

degré 1 Karman et Polhausen

t1Ste212tx sF degré 2 Goodman

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Comparaison des solutions•Milieu semi-infini délimité par une surface plane initialement liquide à température de fusion

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Méthodes approchées pratiques•Enthalpie sensible négligeable par rapport à la chaleur latente (Ste faible)

Mili i iti l t li id à t é t if + é h tif l iMilieu initialement liquide à température uniforme + échange convectif sur la paroi avec fluide caloporteur

- dans le cas plan : *x

**

xBi1x

dans le cas plan : 0

xBi1Bi2

- dans le cas cylindrique :*x

1

**

21xlnBi1

Bi2x

1

avec 0

*Xxx longueur réduite. symbole de Kronecker ( = – 1 si extraction externe, + 1 si

extraction interne), X0 longueur de référence (l’épaisseur de la plaque dans le cas plan et lerayon de la paroi d’extraction dans le cas cylindrique ou sphérique),Bi nombre de Biot :

kXhBi 0c

Après intégration entre x* = 1 et x* = 0, on obtient pour les trois géométries (plane, cylindriquep g , p g (p , y qet sphérique) :

Bi21

1m21

L’ i t é li bl i Bi < 0 1 St < 2/3

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L’erreur commise sur est négligeable si Bi < 0,1 ou pour Ste < 2/3.En dehors de ce domaine, la vitesse de solidification estimée par l’étude simplifiée est tropimportante.


Méthodes numériques

•Méthodes à suivi de l ’interfaceMéthodes traitant le problème à 2 phases : les équations de transfert sont résoluesséparément dans le liquide et dans le solide, et la position de l’interface est obtenue parla résolution de l’équation de bilan à l’interfacela résolution de l équation de bilan à l interface.Cette approche est adaptée en particulier aux cas où l’on considère la fusion ou lasolidification d’un matériau pur, pour lequel le changement d’état se produit à unetempérature bien déterminée TF.Le problème central est alors le calcul de la position de l’interface, qui donne lieu àdeux approches différentes:•Maillage fixe•Maillage mobile•Maillage mobile

20


Méthodes numériques

•Méthodes enthalpiques

Domaine d’étude une seule phase dont les propriétés thermophysiques dépendentfortement de la température.On se ramène alors à la résolution d’une seule équation de la chaleur, non linéaire,dont le traitement peut être abordé par des schémas classiques de différences finiesdont le traitement peut être abordé par des schémas classiques de différences finiesou d’éléments finis. Cette méthode, qui revient le plus souvent à exprimer l’équationde la conservation de l’énergie sous forme enthalpique, est particulièrement bienadaptée aux problèmes qui concernent l’emploi de matériau à changement de phasenon purs pour lesquels le changement d’état se produit sur une plage de température(paraffines industrielles, par exemple).On exprime l’enthalpie du matériau à changement de phase entre une températurede référence et la température du point considéré par :de é é e ce e e pé u e du po co s dé é p :

lsFplpspspl fhTccfTcf1fch

avec f fraction volumique de liquide.La variation d’enthalpie causée par la conduction de la chaleur entraîne uneLa variation d enthalpie causée par la conduction de la chaleur entraîne unevariation de température suivant une loi bien définie h= f (T) pour le matériau.L’équation de conservation s’écrit alors sous la forme :

TxTk1h m

21

x

xTkxxt m

et s’applique à l’ensemble des deux phases.

Transfert purement conductifMéthodes numériques

Thermique

Méthodes numériques•Méthodes enthalpiques

Trois approches principales :Trois approches principales :- Définition d’un terme source : l’enthalpie est remplacée par son expression en fonction dela température :

dtdfhdiffusiondeterme

dtdTc lsp

dtdt lsp

le terme source intervenant dans les volumes de contrôle où se produit le changement dephase. - Définition d’un intervalle de température 2T arbitrairement petit sur lequel se produit lechangement d’état et linéarisation de la fonction enthalpie sur cet intervalle :

xTxTk

xx1

tTTc m

mp xxxt

avec < cp > = cpS pour T < TF – T, < cp > = cpL pour T > TF + T,

TcTchc plpsls

p

pour TF – T < T < TF + T2T2

cp

pour TF T T TF T

- Définition d’une capacité thermique massique apparente : on représente la variation del’enthalpie avec la température comme une variation finie de la capacité thermique massique:

22

dtdTc

dtdh

app

Transfert sous écoulement forcéThermique

Dans le cas ou le fluide circule à TF, et si l’on suppose que le régime d’écoulement restel i i é bli l l fl id i d l d l i i àen laminaire établi lorsque le fluide arrive au contact de la zone de la paroi maintenue à

une température constante inférieure à TF, on aboutit alors à une résolution analytiquepermettant d’obtenir l’évolution radiale et axiale de l’interface liquide-solide, et de laperte de pression.p pPénétration du liquide à la température de fusion dans un tube de diamètre D initialementvide maintenu en dessous de TF.La profondeur maximale axiale de pénétration Xp est alors donnée par :

PrReX B16

PrReD

X slp pour A<<1

117

BPrRe155.0

DX sl118p

pour A>>1

avec 1hTTc21B 21

lspFs,p et B

PrRe0198.0A sl43

, D/p2Re

21

où le nombre de Reynolds de l’écoulement est basé sur la perte de pression et le diamètre4 5D du conduit, les essais couvrant l’intervalle de nombre de Reynolds 104 à 105

23

Transfert avec couplage conduction-convectionThermique

p gMise en évidence de la convection naturelle

Evolution de la fusion de la stéarine dans une géométrie cylindrique

24

Transfert avec couplage conduction-convection

Thermique

Transfert avec couplage conduction convectionMise en évidence de la convection naturelle

Résultats de simulation : fraction fondue F en fonction du temps t. Influence de la convection naturelle dans le liquide et de la conduction dans le solide (Ste = 0 2)

25

naturelle dans le liquide et de la conduction dans le solide (Ste = 0,2)


Mise en équationsConvection naturelle en régime laminaire. Processus bidimensionnel (cavité rectangulaire). - convection naturelle dans la phase liquide :

• équation de conservation de la masse :div V = 0 avec V vitesse, • équation de conservation de l’énergie :

llll gradTkdivVgradTTc

= 0 llllp gradTkdivVgradTt

c

0

• équation de conservation de la quantité de mouvement :

zTTgp1VVVtV

Fl2

t - conduction dans le solide :

sss

sp gradTkdivt

Tc

- équations d’interface : équations d interface :

dtdxh

nTk

nTk F

lssint

ll

ss

avec Tl(xF) =Ts(xF) =TF, n direction normale à la surface. L’ di i t d é ti l h i d d d éfé ié f it ît t lL’adimensionnement de ces équations par le choix de grandeurs de référence appropriées fait apparaître, outre lenombre de Stefan, les nombres sans dimension classiques de la convection naturelle : - nombre de Prandtl de la phase liquide (Pr = /l) ; - nombre de Rayleigh (RaH=g T H3/L) ;

t d f d l ité li id (A H/L)

26

- rapport de forme de la cavité liquide (A=H/L),avec g accélération de la pesanteur, coefficient de dilatation volumique, T écart entre la température de laparoi chaude et la température de fusion ; H et L respectivement la hauteur et la largeur de la cavité.


Corrélations pour le transfert de chaleurNu = CRan

où le coefficient C dépend de la géométrie, du nombre de Prandtl de la phase fluide et,selon certains auteurs, du nombre de Stefan. Une des dimensions fixes de l’enceinte estutilisée pour définir Nu et Ra.

Il faut noter que ces corrélations ont été établies pour un régime de convection laminaire etpour des matériaux à changement de phase dont la phase liquide est caractérisée par unnombre de Prandtl élevé (Pr » 50). Leur domaine de validité est limité par ailleurs aux

27nombres de Stefan faibles (Ste < 0,20). Les études portant sur une gamme de paramètrescouvrant celle des métaux et alliages (faibles nombres de Prandtl, de l’ordre de 10–2) nefournissent pas d’expressions similaires.

Solidification des mélanges multicomposantsThermique

Modélisation basée sur une formulation enthalpique à domaine unique sur un maillage fixe, la zone de changementde phase étant représentée par un milieu poreux, où la porosité (fraction liquide) varie continûment de 1 à 0.Dans la zone diphasique, les équations sont alors écrites en terme de la valeur moyenne des vitesses ou desgrandeurs scalaires On écrit par ailleurs une équation de conservation supplémentaire pour le solutégrandeurs scalaires. On écrit par ailleurs une équation de conservation supplémentaire pour le soluté.Cette formulation permet de prendre en compte les couplages dans la zone de croissance dendritique. Ceci setraduit par l’ajout d’un terme source respectivement dans les équations de conservation de l’énergie et de laquantité de mouvement :

TT

AuS

huVtTS

u

T

L’enthalpie de changement d’état h varie de 0 à l’enthalpie de changement d’état hls :

lls

lsls

s

TTpourhTTTpourfh

TTpour0h

l i i d l i l i d li id à 0 d l h lidet la vitesse u varie de la vitesse relative du liquide ul à 0 dans la phase solide :

0fuu

u l

l

0en fonction de la fraction liquide f, qui désigne le volume de liquide interdendritique à une température donnée,En dépit de la structure anisotrope et non homogène de la zone de croissance, l’écoulement dans le milieudiphasique est modélisé par une loi de type Darcy utilisant une relation porosité-perméabilité de type Kozeny-Carman :

28

Carman :

3

2

ff1CA

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