Transferts d’énergie par conduction

par Guillaume Legros

Université Pierre et Marie Curie ‒ Paris6 UMR 7190 Institut Jean le Rond d’Alembert email: guillaume.legros@upmc.fr tél: 01 30 85 48 84

Licence 2nde année Jussieu, année 2014/2015

Rappel

Le transfert d’énergie par conduction se produit dans tout référentiel. Il est aisément identifiable dans le référentiel lié à un élément matériel, dès lors qu’il existe un gradient de température. Ce transfert représente l’effet global du transport d’énergie par les porteurs élémentaires (molécules, électrons, …).

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Conditions limites Equation de la chaleur Analogie électrique Conclusions

INTRODUCTION

Rappel

Le transfert d’énergie par conduction se produit dans tout référentiel. Il est aisément identifiable dans le référentiel lié à un élément matériel, dès lors qu’il existe un gradient de température. Ce transfert représente l’effet global du transport d’énergie par les porteurs élémentaires (molécules, électrons, …).

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Conditions limites Equation de la chaleur Analogie électrique Conclusions

INTRODUCTION

Rappel

Le transfert d’énergie par conduction se produit dans tout référentiel. Il est aisément identifiable dans le référentiel lié à un élément matériel, dès lors qu’il existe un gradient de température. Ce transfert représente l’effet global du transport d’énergie par les porteurs élémentaires (molécules, électrons, …).

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Conditions limites Equation de la chaleur Analogie électrique Conclusions

INTRODUCTION

Cas particulier 1: cas d’un fluide

Les porteurs élémentaires (molécules, atomes, ions, …) sont caractérisés par des énergies de translation, éventuellement de vibration/rotation et des énergies électroniques. Le formalisme d’Enskog permet d’accéder avec une bonne précision aux propriétés de transport à partir de considérations au niveau élémentaire.

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Conditions limites Equation de la chaleur Analogie électrique Conclusions

INTRODUCTION

Cas particulier 1: cas d’un fluide

Les porteurs élémentaires (molécules, atomes, ions, …) sont caractérisés par des énergies de translation, éventuellement de vibration/rotation et des énergies électroniques. Le formalisme d’Enskog permet d’accéder avec une bonne précision aux propriétés de transport à partir de considérations au niveau élémentaire.

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Conditions limites Equation de la chaleur Analogie électrique Conclusions

INTRODUCTION

Cas particulier 2: cas d’un solide

Les atomes sont liés entre eux au sein d’un réseau cristallin plus ou moins parfait. Les agents de thermalisation sont appelés phonons, résultant de la transmission de proche en proche des quanta de vibration du réseau. Ces porteurs élémentaires sont éventuellement aidés par les électrons libres. N.B.: conduction thermique ~ conduction électrique

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Conditions limites Equation de la chaleur Analogie électrique Conclusions

INTRODUCTION

Cas particulier 2: cas d’un solide

Les atomes sont liés entre eux au sein d’un réseau cristallin plus ou moins parfait. Les agents de thermalisation sont appelés phonons, résultant de la transmission de proche en proche des quanta de vibration du réseau. Ces porteurs élémentaires sont éventuellement aidés par les électrons libres. N.B.: conduction thermique ~ conduction électrique

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Conditions limites Equation de la chaleur Analogie électrique Conclusions

INTRODUCTION

Cas particulier 2: cas d’un solide

Les atomes sont liés entre eux au sein d’un réseau cristallin plus ou moins parfait. Les agents de thermalisation sont appelés phonons, résultant de la transmission de proche en proche des quanta de vibration du réseau. Ces porteurs élémentaires sont éventuellement aidés par les électrons libres. N.B.: conduction thermique ~ conduction électrique

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Conditions limites Equation de la chaleur Analogie électrique Conclusions

INTRODUCTION

Cas particulier 2: cas d’un solide

Les atomes sont liés entre eux au sein d’un réseau cristallin plus ou moins parfait. Les agents de thermalisation sont appelés phonons, résultant de la transmission de proche en proche des quanta de vibration du réseau. Ces porteurs élémentaires sont éventuellement aidés par les électrons libres. N.B.: conduction thermique ~ conduction électrique

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Conditions limites Equation de la chaleur Analogie électrique Conclusions

INTRODUCTION

Milieu homogène et isotrope

La loi de Fourier permet d’exprimer le vecteur flux surfacique conduit au sein d’un tel milieu:

où λ(T) est appelée conductivité thermique [W/m/K]

T est la température N.B.: Le signe – rend compte du 2nd principe de la

thermodynamique.

Introduction Flux conductifs Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur Flux conducto-convectifs Conditions limites Equation de la chaleur Analogie électrique Conclusions

FLUX CONDUCTIFS

Milieu homogène et isotrope

La loi de Fourier permet d’exprimer le vecteur flux surfacique conduit au sein d’un tel milieu:

où λ(T) est appelée conductivité thermique [W/m/K]

T est la température N.B.: Le signe – rend compte du 2nd principe de la

thermodynamique.

Introduction Flux conductifs Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur Flux conducto-convectifs Conditions limites Equation de la chaleur Analogie électrique Conclusions

FLUX CONDUCTIFS

Analogies

La loi de Fourier est une approximation de la réponse au 1er ordre du milieu à une perturbation thermique. En cela, elle est l’analogue de lois régissant des phénomènes similaires de diffusion. Ex 1: loi d’Ohm sous forme locale où est le vecteur densité de courant

σ la conductivité électrique du milieu le champ électrique V le potentiel électrique

gradVEj σσ −==

j

E

Introduction Flux conductifs Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur Flux conducto-convectifs Conditions limites Equation de la chaleur Analogie électrique Conclusions

FLUX CONDUCTIFS

Analogies

La loi de Fourier est une approximation de la réponse au 1er ordre du milieu à une perturbation thermique. En cela, elle est l’analogue de lois régissant des phénomènes similaires de diffusion. Ex 1: loi d’Ohm sous forme locale où est le vecteur densité de courant

σ la conductivité électrique du milieu le champ électrique V le potentiel électrique

gradVEj σσ −==

j

E

Introduction Flux conductifs Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur Flux conducto-convectifs Conditions limites Equation de la chaleur Analogie électrique Conclusions

FLUX CONDUCTIFS

Analogies

La loi de Fourier est une approximation de la réponse au 1er ordre du milieu à une perturbation thermique. En cela, elle est l’analogue de lois régissant des phénomènes similaires de diffusion. Ex 1: loi d’Ohm sous forme locale où est le vecteur densité de courant

σ la conductivité électrique du milieu le champ électrique V le potentiel électrique

Introduction Flux conductifs Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur Flux conducto-convectifs Conditions limites Equation de la chaleur Analogie électrique Conclusions

FLUX CONDUCTIFS

Analogies

La loi de Fourier est une approximation de la réponse au 1er ordre du milieu à une perturbation thermique. En cela, elle est l’analogue de lois régissant des phénomènes similaires de diffusion. Ex 2: loi de Fick où est le vecteur flux surfacique de masse de

l’espèce S [kg/m2/s] DS la diffusivité de l’espèce S [m2/s] CS la concentration massique en S [kg/m3]

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FLUX CONDUCTIFS

Limitations

La loi de Fourier présuppose l’instantanéité en tout point du milieu de la réponse à une perturbation thermique survenue en 1 point M. Validité: cette hypothèse est valide dans le cas général où les échelles de temps considérées sont grandes en regard du temps de relaxation caractérisant le transfert par collision entre porteurs élémentaires.

Introduction Flux conductifs Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur Flux conducto-convectifs Conditions limites Equation de la chaleur Analogie électrique Conclusions

FLUX CONDUCTIFS

Limitations

La loi de Fourier présuppose l’instantanéité en tout point du milieu de la réponse à une perturbation thermique survenue en 1 point M. Validité: cette hypothèse est valide dans le cas général où les échelles de temps considérées sont grandes en regard du temps de relaxation caractérisant le transfert par collision entre porteurs élémentaires.

Introduction Flux conductifs Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur Flux conducto-convectifs Conditions limites Equation de la chaleur Analogie électrique Conclusions

FLUX CONDUCTIFS

Limitations

La loi de Fourier présuppose sur sa forme basique l’isotropie du matériau.

conductivité du graphite pyrolithique:

a/ parallèlement au plan de clivage

b/ perpendiculairement

Introduction Flux conductifs Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur Flux conducto-convectifs Conditions limites Equation de la chaleur Analogie électrique Conclusions

FLUX CONDUCTIFS

Limitations

La loi de Fourier présuppose sur sa forme basique l’isotropie du matériau.

la loi de Fourier peut se généraliser en traduisant les conductivités sous forme de tenseur

conductivité du graphite pyrolithique:

a/ parallèlement au plan de clivage

b/ perpendiculairement

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FLUX CONDUCTIFS

Ordre de grandeur

La gamme de conductivité thermique s’étend sur une échelle relative de 1 à 5.104.

N.B.: échelle de conductivité électrique = 1 à 1025

bons conducteurs

mauvais conducteurs

Introduction Flux conductifs Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur Flux conducto-convectifs Conditions limites Equation de la chaleur Analogie électrique Conclusions

FLUX CONDUCTIFS

Ordre de grandeur

Application: isolation par lame gazeuse (à condition de réduire la dimension caractéristique du volume dédié au gaz)

ex: laine de verre

bons conducteurs

mauvais conducteurs

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FLUX CONDUCTIFS

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur Conditions limites Equation de la chaleur Conclusions

Phénomène de convection

Rappel: La convection thermique est un transfert d’énergie par rapport à un repère donné, consécutif à un transport macroscopique de masse dans ce repère.

M

dS O

x

z

y

tube de champ

Débit-masse à travers dS:

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur Conditions limites Equation de la chaleur Conclusions

Phénomène de convection

Rappel: La convection thermique est un transfert d’énergie par rapport à un repère donné, consécutif à un transport macroscopique de masse dans ce repère.

M

dS O

x

z

y

tube de champ

dShnvhmdd cv •==Φ ρDébit d’enthalpie associé:

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

Phénomène de convection

Rappel: La convection thermique est un transfert d’énergie par rapport à un repère donné, consécutif à un transport macroscopique de masse dans ce repère.

Débit d’enthalpie associé:

Vecteur flux surfacique associé:

Flux surfacique associé:

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur Conditions limites Equation de la chaleur Conclusions

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

Types de convection

Rappel: La convection thermique est un transfert d’énergie par rapport à un repère donné, consécutif à un transport macroscopique de masse dans ce repère.

•  Convection forcée (ex: radiateur de voiture)

•  Convection naturelle (ex: chauffage par la sol)

•  Convection mixte L’efficacité de chacun de ces types de convection est intimement liée à l’écoulement (laminaire/turbulent) qui lui donne naissance.

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur Conditions limites Equation de la chaleur Conclusions

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

Types de convection

Rappel: La convection thermique est un transfert d’énergie par rapport à un repère donné, consécutif à un transport macroscopique de masse dans ce repère.

•  Convection forcée (ex: radiateur de voiture)

•  Convection naturelle (ex: chauffage par la sol)

•  Convection mixte L’efficacité de chacun de ces types de convection est intimement liée à l’écoulement (laminaire/turbulent) qui lui donne naissance.

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur Conditions limites Equation de la chaleur Conclusions

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

Types de convection

Rappel: La convection thermique est un transfert d’énergie par rapport à un repère donné, consécutif à un transport macroscopique de masse dans ce repère.

•  Convection forcée (ex: radiateur de voiture)

•  Convection naturelle (ex: chauffage par la sol)

•  Convection mixte L’efficacité de chacun de ces types de convection est intimement liée à l’écoulement (laminaire/turbulent) qui lui donne naissance.

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur Conditions limites Equation de la chaleur Conclusions

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

Types de convection

Rappel: La convection thermique est un transfert d’énergie par rapport à un repère donné, consécutif à un transport macroscopique de masse dans ce repère.

•  Convection forcée (ex: radiateur de voiture)

•  Convection naturelle (ex: chauffage par la sol)

•  Convection mixte L’efficacité de chacun de ces types de convection est intimement liée à l’écoulement (laminaire/turbulent) qui lui donne naissance.

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur Conditions limites Equation de la chaleur Conclusions

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

Physique du phénomène

O

l

y

x

T2

T1

O

l T

T T1

T2

profil purement conductif

profil réel

Tm

profil approché

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur Conditions limites Equation de la chaleur Conclusions

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

Formulation

Problème: le flux conduit en proche paroi résulte du couplage entre phénomènes conductifs (transverse à l’écoulement) et phénomènes convectif (parallèle à l’écoulement).

En toute rigueur, il faut résoudre une formulation thermo-mécanique du problème…

O

l T

T T1

T2

Tm

profil approché

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur Conditions limites Equation de la chaleur Conclusions

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

Formulation

Problème: le flux conduit en proche paroi résulte du couplage entre phénomènes conductifs (transverse à l’écoulement) et phénomènes convectif (parallèle à l’écoulement).

En toute rigueur, il faut résoudre une formulation thermo-mécanique du problème…

O

l T

T T1

T2

Tm

profil approché

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur Conditions limites Equation de la chaleur Conclusions

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

Formulation

Approximation: on discrétise le profil de température en 3 parties linéaires.

O

l T

T T1

T2

Tm

profil approché ξ

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur Conditions limites Equation de la chaleur Conclusions

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

Formulation

Approximation:

h est appelé coefficient de transfert convectif à la paroi. h dépend uniquement des propriétés thermophysiques du fluide et de la nature de l’écoulement (donc de la rugosité).

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur Conditions limites Equation de la chaleur Conclusions

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

Formulation

Approximation:

h est appelé coefficient de transfert convectif à la paroi. h dépend uniquement des propriétés thermophysiques du fluide et de la nature de l’écoulement (donc de la rugosité).

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur Conditions limites Equation de la chaleur Conclusions

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

Ordre de grandeur

cas purement conductif cas convectif En général

efficacité des transferts convectifs

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Définitions Physique Formulation Ordre de grandeur Conditions limites Equation de la chaleur Conclusions

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

Ordre de grandeur

cas purement conductif cas convectif En général

efficacité des transferts convectifs

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Définitions Physique Formulation Ordre de grandeur Conditions limites Equation de la chaleur Conclusions

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

Ordre de grandeur

cas purement conductif cas convectif En général

efficacité des transferts convectifs

lTT

fycd 12

0

−−=

+=λϕ

ξλϕ 1

0

TTmfy

cc −−=

+=

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Définitions Physique Formulation Ordre de grandeur Conditions limites Equation de la chaleur Conclusions

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

Ordre de grandeur

cas purement conductif cas convectif En général

efficacité des transferts convectifs

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Définitions Physique Formulation Ordre de grandeur Conditions limites Equation de la chaleur Conclusions

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

Ordre de grandeur

Type de transfert Fluide h (W/m2/K)gaz 5 - 30eau 100 - 1000gaz 10 - 300eau 300 - 1200huile 50 - 1700métal liquide 6000 - 110000ébullition 3000 - 60000condensation 5000 - 110000

convection naturelle

convection forcée

changement de phase (eau)

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Définitions Physique Formulation Ordre de grandeur Conditions limites Equation de la chaleur Conclusions

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

Généralités

De façon classique, la température T est supposée continue aux limites du domaine d’étude. De même, le flux surfacique d’énergie (au sens large) y est supposé continu. Contre-exemples: contact thermique imparfait

interface entre 2 phases

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Conditions limites Généralités cas 1 cas 2 cas 3 Equation de la chaleur Conclusions

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

Généralités

De façon classique, la température T est supposée continue aux limites du domaine d’étude. De même, le flux surfacique d’énergie (au sens large) y est supposé continu. Contre-exemples: contact thermique imparfait

interface entre 2 phases

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Conditions limites Généralités cas 1 cas 2 cas 3 Equation de la chaleur Conclusions

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

Généralités

De façon classique, la température T est supposée continue aux limites du domaine d’étude. De même, le flux surfacique d’énergie (au sens large) y est supposé continu. Contre-exemples: contact thermique imparfait

interface entre 2 phases

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Conditions limites Généralités cas 1 cas 2 cas 3 Equation de la chaleur Conclusions

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

C.L. 1: milieu opaque et milieu transparent

Continuité du flux surfacique suivant (Ox): avec

x 0

Fluide transparent Solide opaque

λS , TS λf , Tf

h

( )[ ] RS

x

SS TThxT

ϕλ +−=∂∂

−=

00

0

T0

aeR ϕϕϕ −=

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Conditions limites Généralités cas 1 cas 2 cas 3 Equation de la chaleur Conclusions

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

C.L. 1: milieu opaque et milieu transparent

Continuité du flux surfacique suivant (Ox): avec

x 0

Fluide transparent Solide opaque

λS , TS λf , Tf

h T0

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Conditions limites Généralités cas 1 cas 2 cas 3 Equation de la chaleur Conclusions

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

C.L. 2: 2 milieux opaques

Continuité du flux surfacique suivant (Ox):

cdSϕ 0=Rϕ

x 0

Liquide opaque Solide opaque

λS , TS λf , Tf

h

( )[ ]00

0 TThxT

Sx

SS −=∂∂

−=

λ

T0

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Conditions limites Généralités cas 1 cas 2 cas 3 Equation de la chaleur Conclusions

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

C.L. 2: 2 milieux opaques

Continuité du flux surfacique suivant (Ox):

x 0

Liquide opaque Solide opaque

λS , TS λf , Tf

h T0

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Conditions limites Généralités cas 1 cas 2 cas 3 Equation de la chaleur Conclusions

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

C.L. 3: milieu semi-transparent et milieu transparent

Continuité du flux surfacique radiatif (pas d’absorption surfacique):

Continuité du flux surfacique conductif:

x 0

Fluide transparent Solide semi transparent

λS , TS λf , Tf

h T0

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Conditions limites Généralités cas 1 cas 2 cas 3 Equation de la chaleur Conclusions

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

C.L. 3: milieu semi-transparent et milieu transparent

Continuité du flux surfacique radiatif (pas d’absorption surfacique):

Continuité du flux surfacique conductif:

x 0

Fluide transparent Solide semi transparent

λS , TS λf , Tf

h T0

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Conditions limites Généralités cas 1 cas 2 cas 3 Equation de la chaleur Conclusions

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

Formulation intégrale

On réalise le bilan sous forme intégrale: où

P: puissance volumique engendrée en un point M du système (ex: effet Joule)

(V)

dS

S

Système indéformable fixe continu matériel

∫∫∫∫∫ +•−=∂∂

∂= VVS ext dVPdSnqt

ε

Rcd qqq +=

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Conditions limites Equation de la chaleur Forme intégrale Forme locale Conclusions

EQUATION DE LA CHALEUR

Formulation intégrale

On réalise le bilan sous forme intégrale: où

P: puissance volumique engendrée en un point M du système (ex: effet Joule)

(V)

dS

S

Système indéformable fixe continu matériel

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Conditions limites Equation de la chaleur Forme intégrale Forme locale Conclusions

EQUATION DE LA CHALEUR

Formulation locale

Pour un régime stationnaire: Avec le théorême de la divergence:

(V)

dS

S

Système indéformable fixe continu matériel

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Conditions limites Equation de la chaleur Forme intégrale Forme locale Conclusions

EQUATION DE LA CHALEUR

Formulation locale

Pour un régime stationnaire: Avec le théorême de la divergence:

(V)

dS

S

Système indéformable fixe continu matériel

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Conditions limites Equation de la chaleur Forme intégrale Forme locale Conclusions

EQUATION DE LA CHALEUR

Formulation locale

Pour un régime stationnaire: soit sous forme locale:

(V)

dS

S

Système indéformable fixe continu matériel

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Conditions limites Equation de la chaleur Forme intégrale Forme locale Conclusions

EQUATION DE LA CHALEUR

Formulation locale

Pour un régime stationnaire: soit sous forme locale:

(V)

dS

S

Système indéformable fixe continu matériel

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Conditions limites Equation de la chaleur Forme intégrale Forme locale Conclusions

EQUATION DE LA CHALEUR

Formulation locale

Pour un régime stationnaire: avec les conditions aux limites abordées précédemment, cette équation conduit à un problème mathématique clos, à solution unique.

(V)

dS

S

Système indéformable fixe continu matériel

Introduction Flux conductifs Flux conducto-convectifs Conditions limites Equation de la chaleur Forme intégrale Forme locale Conclusions

EQUATION DE LA CHALEUR