Traitement Numérique du Signal (Partie...

EII2

Traitement Numérique du Signal

(Partie 2)

Support de cours

Olivier [email protected]

http://r2d2.enssat.fr/enseignements/Tns/Tns.php

2

Plan du cours Partie II

IV. Analyse des filtres numériques 1. Spécification, classification, représentation

2. Analyse fréquentielle

3. Structures des filtres RII et RIF

V. Transformées en TNS 1. TFD, convolution linéaire

2. TFR : Transformée de Fourier Rapide

VI. Quantification - évaluation de la précision 1. Quantification

2. Effets de la quantification en TNS

3

Plan du cours Partie II (suite)

VII. Synthèse des filtres numériques RII 1. Invariance Impulsionnelle

2. Transformation Bilinéaire

VIII. Synthèse des filtres numériques RIF 1. Introduction

2. Filtres à Phase Linéaire

3. Méthode du Fenêtrage

4. Échantillonnage en Fréquence

4

Plan du cours (fin)

IX. Analyse spectrale 1. Effets de la troncature

2. Caractéristiques des fenêtres

3. Influence sur l'analyse

X. Systèmes multi-cadences1. Définition

2. Décimation

3. Interpolation

5

IV. Analyse des filtres numériques

1. Spécification, classification, représentation

2. Analyse fréquentielle

3. Structures des filtres RII et RIF

Notes :

6

Définition – Système Linéaire Discret (SLD) modifiant la représentation

temporelle et fréquentielle de signaux

1. IntroductionUn filtre numérique peut être représenté par :

– une fonction de transfert en z : H(z) = Y(z) / X(z)

Filtre Numérique

x(n) <=> X(z)y(n) <=> Y(z)

h(n) <=> H(z)

IV Filtrage Numérique1 Introduction

H(z)X(z) Y(z)

Notes :

7

H(z)X(z) Y(z)

a) Forme directe

H1(z)

X(z)Y(z)

b) Forme parallèle

H2(z)

HM(z)

. . .

H1(z)X(z) Y(z)

c) Forme cascade

H2(z) HM(z). . .


h(n)x(n) y(n)

∑

∑∞

=

∞

=

−=

−=

0

0

)()()(

])[()()(

k

k

knhkxny

TknhkTxnTy

+

Notes :

8


si x(n) = δ(n) alors y(n) = h(n)

– une équation aux différences (récursive ou non récursive)

∑∑==

−−−=N

i

i

M

i

i inyainxbny10

)(.)(.)(

Notes :

9

IV Filtrage Numérique2 Spécification d’un filtre numérique

2. Spécification d’un filtre numérique

– Gabarit fréquentiel

Passe-Bas (ou Passe-Haut) défini par sa sélectivité, son ondulation

en BP et son atténuation en BA

fFe/2fp

1

|H(f)|

1-δ1

1+δ1

δ2

fa

f

fp

0 dB

|H(f)| (dB)

20log(1-δ1)

20log(1+δ1)

20logδ2

fa

a) Gabarit fréquentiel linéaire b) Gabarit fréquentiel en dB

Bande passanteBande de transition

Bande atténuée

Notes :

10

IV Filtrage Numérique2 Spécification d’un filtre numérique

Passe-Bande (ou Réjecteur de Bande) défini par sa fréquence

centrale, sa sélectivité, son ondulation en BP et son atténuation

en BA

ffe/2fp+

1

|H(f)|

1-δ1

1+δ1

δ2

fa+fa- fp-

Notes :

11

IV Filtrage Numérique3 Classification des filtres numériques

3 Classification des filtres numériques

Un filtre numérique peut être classé selon :

– la durée de sa réponse impulsionnellefinie : les filtres RIF ont leur réponse impulsionnelle à support fini

i.e. h(n) = 0 pour n<0 et n>N

infinie : les filtres RII ont leur réponse impulsionnelle à support infini

i.e. h(n) ≠ 0 ∀n

– le type de représentation temporellerécursifs : la sortie y(n) dépend de l’entrée courante, des entrées précédentes et

des sorties précédentes

non récursifs : la sortie y(n) ne dépend que de l’entrée courante et des entrées

précédentes

Notes :

12

IV Filtrage Numérique3.1 Filtres numériques non récursifs

3.1 Filtres numériques non récursifs(ou transversaux)

Les coefficients bn du filtre sont les valeurs de la RI (h(n) = bn). Ceci

montre qu'un filtre non récursif est à Réponse Impulsionnelle

Finie (RIF).

M est appelée la longueur du filtre.

)()(

)()(

)()()(

)()(

0

00

0

inbnh

znhzbzH

zXzHzY

inxbny

M

i

i

M

n

nM

i

i

i

M

i

i

−=⇒

==⇒

=

−=

∑

∑∑

∑

=

=

−

=

−

=

δ

Notes :

13

IV Filtrage Numérique3.1 Filtres numériques non récursifs

• Principales propriétés

– Les RIF sont toujours stables (pas de pôles)– Les RIF peuvent avoir une caractéristique de phase linéaire

• Retard constant en fréquence (temps de propagation de groupe)• Pas de distorsion harmonique• Symétrie de la RI

– A sélectivité équivalente, ils sont toujours plus coûteux (en temps de calcul) que leur équivalent RII

Notes :

14

IV Filtrage Numérique3.2 Filtres numériques récursifs

3.2 Filtres numériques récursifs

En pratique on a N=M, N est appelée l'ordre du filtre.

)(

)(

1

)(

)()()(

1

0

10

zD

zN

za

zb

zH

inyainxbny

N

i

i

i

M

i

i

i

N

i

i

M

i

i

=+

=⇒

−−−=

∑

∑

∑∑

=

−

=

−

==

Notes :

15


– Si N(z) n'est pas divisible par D(z) (cas général), on a un nombre

infini de termes dans la division polynomiale.

Les coefficients cn sont les valeurs de la RI (h(n) = cn). Ceci montre

qu'un filtre récursif est, dans le cas général, à Réponse

Impulsionnelle Infinie (RII).

– Si N(z) est divisible par D(z) (cas particulier), on a un nombre fini de

termes dans la division polynomiale. Dans ce cas, le filtre est RIF.

• Exemple : filtre moyenneur

∑∑∞

=

−∞

=

− ==00

)()(n

n

i

i

i znhzczH

Notes :

16


– Si N(z)=1 : filtre tout-pôle

– Si D(z)=1 : filtre RIF

• Principales propriétés

– Les RII peuvent être instables : structure à base de pôles et de zéros

– Bande de transition faible

– Synthèse par réutilisation des méthodes analogiques

– Instabilité numérique due au rebouclage : forme cascade plus stable

)(

)(

1

)(

1

0

zD

zN

za

zb

zHN

i

i

i

M

i

i

i

=+

=

∑

∑

=

−

=

−

∏

∏

=

=−

−

−=

N

i

i

M

i

i

MN

pz

zz

zbzH

1

10

)(

)(

)(

Notes :

17

IV Filtrage Numérique4 Analyse fréquentielle

4. Analyse fréquentielleL'analyse fréquentielle est l'étude du module, de la phase et du temps

de propagation de groupe du filtre H.

Ω est la pulsation relative : Ω = ωT = 2πfT

La fonction de transfert en fréquence H(ejΩ) est périodique de période

2π.

Ω2π

|H(ejΩ)|

π

ΩΩ

== j

j

ezzH

eH)(

)(

Notes :

18


ConclusionTrois domaines de représentation

– Temporel h(n), équation aux différences

– Fonction de transfert en z, diagramme des pôles/zéros

– Fréquentiel H(Ω), module, phase

ΩΩ

== j

j

ez

zHeH

)()(

0 1

( )

( ) . ( ) . ( )M N

i i

i i

h n

y n b x n i a y n i= =

= − − −∑ ∑

∑∑∞

=

−∞

=

− ==00

)()(n

n

i

i

i znhzczH

TZ

TZI

jz e Ω=

TF TFI

Notes :

19


Exemple 1

pordre1.avi

( )

1 1

zH z

z a

a

a

=−

∈

− ≤ ≤

Notes :

20


Exemple 2

pzordre1.avi

( )

,

0.9 , 0.9

zH z

z a

a b

a b

=−

∈

− ≤ ≤

Notes :

21


Exemple 3

paordre2.avi

( )( )( *)

1

zH z

z p z p

p

p

=− −

∈

≤

Notes :

22


Exemple 4

prordre2.avi

( )( )( *)

0.9

zH z

z p z p

p

p

=− −

∈

=

Notes :

23

IV Filtrage Numérique5 Structures de réalisation

5. Structures de réalisation– Filtres RIF

∑=

−=N

i

i inxbny0

)()(

+

+

+

Z-1

Z-1

b1

bN-1

bN

x(n-1)

x(n-N)

x(n) y(n)b0

+

Z-1

+

Z-1

+

Z-1

b1

bN-1

bN

y(n)b0

x(n)

a) Structure directe b) Structure transposée

Notes :

24


– Filtres RII

∑∑

∑∑

=

−=

−

==

+×=×==⇒

−−−=

N

i

i

i

N

i

i

i

N

i

i

N

i

i

za

zbzD

zNzD

zNzH

inyainxbny

1

0

10

1

1

)(

1)(

)(

)()(

)()()(

RII

Z-1

Z-1

b1

bN-1

bN

x(n-1)

x(n-N)

x(n) y(n)

Z-1

Z-1

-a1

-aN-1

-aN

y(n-1)

y(n-N)

+

+

+

+

+

+

Z-1

Z-1

b1

bN-1

bN

x(n) y(n)

Z-1

Z-1

-a1

-aN-1

-aN

+

+

+

RIF

a) Structure directe

b0b0

Notes :

25


– Filtres RII

−=

−−=

=

=

×+

=×=

∑

∑

∑∑

=

=

=

−

=

−

N

i

i

N

i

i

N

i

i

iN

i

i

i

inwbny

inwanxnw

zWzNzY

zXzD

zW

zb

za

zNzD

zH

0

1

0

1

)()(

)()()(

)().()(

)(.)(

1)(

1

1)(

)(

1)(

x(n) y(n)

RII

Z-1

Z-1

-a1

-aN-1

-aN

+

+

+

+

+

+

Z-1

Z-1

b1

bN-1

bN

RIF

b0

w(n)

Notes :

26


– Filtres RII

– Forme cascade de filtres du second ordreb) Structure canonique transposée

+

Z-1

+

Z-1

-a1

-aN-1

-aN

+

+

Z-1

b1

bN-1

bN

y(n)b0

x(n)y(n)

Z-1

Z-1

-a1

-aN-1

-aN

Z-1

b1

bN-1

bN

b0x(n) +

+

+

+

+

+

w(n)

w(n-1)

w(n-N)

∏∏+

=−−

−−+

= ++

++==

2

1

12

2,

1

1,

2

2,

1

1,0,2

1

1 1)()(

N

i ii

iii

N

i zaza

zbzbbzHizH

H1(z)X(z) Y(z)

H2(z) HK(z). . .

a) Structure canonique directe

Notes :

27

V. Transformées en TNS

1. TFD, convolution linéaire

2. TFR : Transformée de Fourier Rapide

Notes :

28

V Transformées en TNS1 Rappels

• TFSD : Transformée de Fourier d'un Signal Discret

x(nT) non périodique

• Propriétés– Linéarité

– Décalage en temps/fréquence

– Produit de convolution en temps/fréquence

– Théorème de Parseval

– Transformées de fonctions réelles

Ω=

=

=

Ω

−

Ω

∞

−∞=

Ω−Ω

∞

−∞=

−

∫

∑

∑

deeXnTx

enTxeX

enTxeX

jnj

n

jnj

n

TjnTj

π

π

ωω

π)(

2

1)(

)()(

)()(

Notes :

29

V Transformées en TNS2 Transformée de Fourier Discrète

• TFD– En pratique, on prend seulement un nombre fini d'échantillons de

x(nT). On ne peut donc obtenir qu'un nombre fini d'échantillons

fréquentiels de X(ejΩ).

−==

−==

∑

∑−

=

+

−

=

−

1

0

2

1

0

2

1..0)(1

)(

1..0)()(

N

k

N

nkj

N

n

N

nkj

NnekXN

nx

NkenxkX

π

πx(n) est considéré comme périodique de période N, x(n) = x(n+qN)

X(k) est donc également périodique de période N, X(k) = X(k+qN)

n

x(n)

N-1

Pas temporel : T=1/Fe

k

X(k)

N-1

Pas fréquentiel : 1/NT=Fe/N

TFD

Notes :

30


• Propriétés– Linéarité

– Décalage en temps/fréquence

– Produit de convolution en temps/fréquence• Convolution discrète

• Convolution circulaire (ou périodique)

– Théorème de Parseval

– Transformées de fonctions réelles

• Relation entre TFSD et TFD– Signaux de durée finie ou périodique

– Cas général ?

Notes :

31

TFD

X(k) ⇔x(n)

x(n) et X(k) sont, dans le cas général, des nombres complexes.

X = W . x (2)

X(0)

X(1)

.

.

X(N-1)

=

1 1 . . 1

1 WN1

WN2

. WNN-1

. WN2

WN4

. WN2(N-1)

. . . . .

1 WNN-1

WN2(N-1)

. WN(N-1) 2

×

x(0)

x(1)

.

.

x(N-1)

• Définition

• Forme Matricielle


−==

−==

∑

∑−

=

+

−

=

−

1

0

2

1

0

2

1..0)(1

)(

1..0)()(

N

k

N

nkj

N

n

N

nkj

NnekXN

nx

NkenxkX

π

π

nkN

j

kn

N

N

j

N

eW

eW

π

π

2

2

−

−

=

=

Notes :

32


La TFD revient à calculer un produit matrice-vecteur où chaque élément est de type complexe. La complexité de calcul de la TFD est de N2 multiplications, et de N(N-1) additions sur des nombres complexes. Ceci revient à une complexité de 4N2

multiplications réelles et N(4N-2) additions réelles. Cet algorithme se comporte donc en O(N2), mais ne possède pas de problèmes d'adressage car les x(n) et les Wi sont rangés dans l'ordre en mémoire.

Complexité de calcul

– En 1965, Cooley et Tuckey [COOLEY 65] ont publié un algorithme applicable quand N est le produit de 2 ou plusieurs entiers dont la complexité est en O(Nlog2N)

Wk(N-n)N = (W

knN )* (3.1)

WknN = W

k(n+N)N = W

(k+N)nN (3.2) Périodicité

Wn+N/2N = -W

nN (3.3) Symétrie

W2knN = W

knN/2 (3.4)

Propriétés des Wn

N = e -2jπnN

Notes :

33

En exploitant la propriété 3.4, on obtient :

(4)

où G(k): TFD sur N/2 points d'indices pairs,H(k): TFD sur N/2 points d'indices impairs.

X(k)= x(n).WNnk

n pair

∑ + x(n).WNnk

nimpair

∑

X(k)= x(2n)

n=0

N/2−1

∑ .WN2nk + x(2n +1)

n=0

N/2−1

∑ .WN(2n+1)k

X(k)= x(2n)

n=0

N/2−1

∑ .WN/2nk +WN

k. x(2n+ 1)

n=0

N/2−1

∑ .WN/2nk

X(k)= G(k) + WNk .H(k) k =0,1,...., N−1

X(k +N

2) = x(2n)

n=0

N/2−1

∑ .WN/2n(k+N/2) + WN

k+N/2. x(2n +1)

n=0

N/2−1

∑ .WN/2n(k+N/2)

X(k +N

2) = G(k)−WN

k.H(k)

V Transformées en TNS3 Transformée de Fourier Rapide

• TFR (FFT) partagée dans le temps (DIT)

Notes :

34

••• TFR DIT •••

x(0)

x(2)

x(4)

x(6)

x(1)

x(3)

x(5)

x(7)

TFD

N/2 pts

TFD

N/2 pts

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

W80

W81

W82

W83

W84

W85

W86

W87

O(N )2 O(N)

Xm(p)

Xm(q)

Xm+1 (p)

Xm+1 (q)

-1WNr

Xm+1 (p) = X m(p) + WrN Xm(q)

Xm+1 (q) = X m(p) - WrN Xm(q) (6)

Complexité d'un papillon : 1 multiplication complexe, 2 additions/soustractions complexes

Papillon DIT

N/2 papillons2 TFD de taille N/2

Notes :

35

••• TFR DIT •••

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

X(8)

X(9)

X(10)

X(11)

X(12)

X(13)

X(14)

X(15)

so

rtie

ord

re n

orm

al

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

X(8)

X(9)

X(10)

X(11)

X(12)

X(13)

X(14)

X(15)

en

tré

e o

rdre

bit-r

eve

rse

d

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

2

3

4

5

6

7

0

2

4

6

0

2

4

6

0

2

FFT DIT RADIX-2 en place sur 16 points

A

B

A'

B'

FFT FFT inverse

A' = A + BW B' = A - BW W= e

A' = A + BW B' = A - BW W= e

k -kk

k -k

DIT:

(Décimation en

temps)

-2j π

N

-2j π

N

0

2

0

2

0

2

N2 log2N multiplications de nombres complexes,

N log2N additions/soustractions de nombres complexes, ou,

2 N log2N multiplications de nombre réels,3 N log2N additions/soustractions de nombre réels.

Notes :

36

••• TFR DIF •••

X(0)

X(2)

X(4)

X(6)

X(1)

X(3)

X(5)

X(7)

TFD N/2 pts

TFD N/2 pts

x(0)

x(1)

x(2)

x(3)

x(4)

x(5)

x(6)

x(7)

W80

W81

W82

W83

Xm(p)

Xm(q)

Xm+1 (p)

Xm+1 (q)

-1 WNr

Xm+1(p) = Xm(p) + Xm(q)

Xm+1(q) = [Xm(p) - Xm(q)] WrN (8)

• TFR (FFT) partagée dans les fréquences (DIF)

(7)

X(k) = x(n)

n=0

N/ 2−1

∑ .WNnk + x(n)

n=N/ 2

N−1

∑ .WNnk

X(k) = x(n)

n=0

N/ 2−1

∑ .WNnk + WN

k.N/ 2. x(n +

N

2)

n=0

N/2-1

∑ .WNnk

X(k) = x(n) + (−1)k.x(n +

N

2)

n=0

N/ 2−1

∑ WNnk

[ ]

Notes :

37

••• TFR DIF

A

B

A'

B'

FFT FFT inverse

A' = A + B B' = (A-B) W W= e

A' = A + B B' = (A-B) W W= e

k -k k

-2j π

N

-2j π

N

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

X(8)

X(9)

X(10)

X(11)

X(12)

X(13)

X(14)

X(15)

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

X(8)

X(9)

X(10)

X(11)

X(12)

X(13)

X(14)

X(15)

0

1

2

3

4

5

6

7

0

2

4

6

0

2

4

6

0

4

0

4

0

4

0

4 0

0

0

0

0

0

0

0

FFT DIF RADIX-2 en place sur 16 points

entr

ée:

ord

re n

orm

al

sort

ie:

ord

re b

it-r

ever

sed

DIF:

(Décimation en

fréquence)

Notes :

38

Transformée de Fourier Rapide

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

X(8)

X(9)

X(10)

X(11)

X(12)

X(13)

X(14)

X(15)

0

0

0

0

0

0

0

0

4

4

4

4

0

0

0

0

7

3

5

1

6

2

4

0

6

6

2

2

4

4

0

0

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

X(8)

X(9)

X(10)

X(11)

X(12)

X(13)

X(14)

X(15)

en

tré

e:

ord

re n

orm

al

so

rtie

: o

rdre

bit-r

eve

rse

d

FFT DIT RADIX-2 en place sur 16 points

A

B

A'

B'

FFT FFT inverse

A' = A + BW B' = A - BW W= e

A' = A + BW B' = A - BW W= e

k -kk

k -k

DIT:

(Décimation en

temps)

-2j π

N

-2j π

N

Notes :

39


A

B

A'

B'

FFT FFT inverse

A' = A + B•W B' = A - B•W W= e

A' = A + B•W B' = A - B•W W= e

k -k

-2jš

N

FFT GEOMETRIE CONSTANTE sur 16 points

entr

ée:

ord

re b

it-r

ever

sed

sort

ie:

ord

re n

orm

al

Géométrie

Constante

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

X(8)

X(9)

X(10)

X(11)

X(12)

X(13)

X(14)

X(15)

k-2jš

N

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

X(8)

X(9)

X(10)

X(11)

X(12)

X(13)

X(14)

X(15)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

4

4

4

4

0

2

4

6

0

2

4

6

0

1

2

3

4

5

6

7

k -k

Notes :

40


X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

X(8)

X(9)

X(10)

X(11)

X(12)

X(13)

X(14)

X(15)

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

X(8)

X(9)

X(10)

X(11)

X(12)

X(13)

X(14)

X(15)

FFT DIF RADIX-4 en place sur 16 points

entr

ée:

ord

re n

orm

al

sort

ie:

ord

re b

it-r

ever

sed

0

1

2

3

0

0

0

0

FFT FFT inverse

A' = A+B+C+D B' = (A-jB-C+jD)W C' = (A-B+C-D)W D' = (A+jB-C-jD)W W = e

k

2k

-2jš N

A

D

B

C

A'

D'

B'

C'

k

2k

3k

3k

A' = A+B+C+D B' = (A-jB-C+jD)W C' = (A-B+C-D)W D' = (A+jB-C-jD)W W = e

-k

-2k

-2jš N

-3k

Notes :

41

V.4 Convolution et corrélation1 Définitions

• Corrélation– Soit x1 et x2, 2 signaux de durée finie [0 ... N-1], la corrélation est :

• Convolution linéaire– Soit x et h, 2 signaux de durée finie respectivement N et M, la

convolution est définie par :

Le signal y(n) est de durée [0 ... N+M-2]

∑−

=

+=1

0

21 )()()(N

i

nixixny

∑∑∞

=

∞

=

−=−=

∗=

00

)()()()()(

))(()(

ii

inxihinhixny

nhxny

Notes :

42


• Exemple de convolutionN > M

i

x(i)

N-1 i

h(i)

M-1

i

h(-i)

*

∑=

−=n

i

inhixny0

)()()(

n

y(n)

in

h(n-i)

n-M+1

N+M-2

∑∞

=

−=0

)()()(i

inhixny

Notes :

43


• Propriétés– Y(z) = H(z) X(z) (TZ)

– Y(k) ≠ H(k) X(k) (TFD)

• Vue matricielle de la convolution

O(N2)

−

×

−

−=

−+ )1(

.

.

)1(

)0(

)1(..00

)0(...0

0...)1(

0..)0(.

0..0)0(

)2(

.

.

)1(

)0(

Nx

y

x

Mh

h

Mh

h

h

MNy

y

y

Notes :

44

V.4 Convolution et corrélation2 Convolution circulaire

• Convolution circulaire– Soit x et h, 2 signaux périodiques de période N, la convolution

circulaire est définie par :

Le signal y(n) est de période N

h(n-i) est évalué modulo N

TFD : Y(k) = H(k).X(k)

)()()(

)()()(1

0

nhnxny

inhixnyN

i

∗=

−= ∑−

=

Notes :

45

V.4 Convolution et corrélation2 Convolution circulaire

• Convolution circulaire– On passe de la convolution circulaire à la convolution linéaire en

remplissant de zéros chaque séquence jusqu'à M+N-1

*

x(n)0….0

N+M-1

h(n)0….0

y(n)

Notes :

46

V.4 Convolution et corrélation3 Convolution rapide

• Convolution rapide– Passer dans le domaine de Fourier par une TFD : la convolution se

transforme en produit

– Utiliser la FFT sur P points pour accélérer les calculs

– Compléter les suites x(n) et h(n) par des zéros jusqu’à P >

N+M-2, avec P = 2p.

O(Nlog2N)

X

x(n)0….0

Longueur P

h(n)0….0

y(n)

FFT

FFT

FFT-1

Notes :

47


– Problème : h(n) et x(n) doivent être de durée finie

– Application : FIR rapide• h(n) de durée M : H(k) peut être calculé une fois pour toute

• x(n) de durée infinie

• Convolution sectionnée– x(n), de durée infinie, est découpé en blocs xk de taille M

∑

∑∞

−∞=

∞

−∞=

=

=

+<≤

=

k

k

k

k

k

nyny

nxnhny

ailleursO

MknkMpournxnx

)()(

)(*)()(

)1()()(

Notes :

48


• Méthode OLA (Overlap Add)– Blocs xk de taille M

– Addition des recouvrements entre les yk

• Méthode OLS (Overlap Save)– Blocs xk de taille N+M avec recouvrement

– Troncature des yk sur M points, addition entre les yk

Notes :

49

VI QuantificationÉvaluation de la précision

Introduction : pourquoi la quantification ?

1. Formats de codage (rappels)Virgule fixe, complément-à-2

2. Modèle de quantificationCaractéristiques de quantificationModèle de bruit, caractéristiques de dépassement

3. Bruit de conversionFiltrage d’un bruit

4. Limitation des chemins de données

5. Effets en TNSFiltrage RIF, RII, cycles limites, quantification des coefficients

Notes :

50

Codage en virgule fixe complément à 2

• Rappel codage en virgule fixe

• m : distance (en nombre de bits) entre la position du bit le plus significatif pMSB et la position de la virgule pV

• n : distance entre la position de la virgule pV et la position du bit le moins significatif pLSB

S bm-1 bm-2 b1 b0 b-1 b-2 b-n+2 b-nb

-n+1

2-n

2-121 20

Partie entière Partie fractionnaire

∑−

−=

+−=1

22m

ni

i

i

mbSx

m npMSB

pLSB2m-1-2m

Notes :

51

Qx(n) xQ(n) = Q[x(n)] = k.q x(n) xQ(n)

+

e(n) = Q[x(n)] - x(n)

VI Quantification2 Modèle en VFCG

• Modèle bruit additif

– Définition : approximation de chaque valeur d’un signal x(n) par un

multiple entier du pas de quantification élémentaire q.

– e(n) est l’erreur de quantification

• Sources de bruit– Bruit de conversion A/N

– Limitation des chemins de données de l’architecture cibleÉlimination de bits lors d’un changement de format

Notes :

52

VI Quantification2 Caractéristiques de quantification

(a) Arrondi

Q(x) = k.q si (k-0.5).q ≤ x < (k+0.5).q

(b) Troncature

Q(x) = k.q si k.q ≤ x < (k+1).q

Q(x)

3q

2q

q xq 2q

Q(x)

3q

2q

q xq 2q

P(e)

1/q

q/2-q/2

e

P(e)

1/q

0-q

e

Etude statistique

• e(n) est une séquence d’un processus aléatoire continu et stationnaire

• e(n) est décorrélée de x(n)

• e(n) est un bruit blanc additif

• la distribution de probabilité de e(n) est uniforme sur l’intervalle de quantification

• ergodicité : moyennes temporelles = moyennes statistiques

• moyenne me = moyenne temporelle

• variance σe2 = puissance du bruit

variance = q2/12

Notes :

53

VI Quantification2 Caractéristiques de quantification

• Bruit lié à l’élimination de k bits

• Processus aléatoire discret

• Moments

S bm-1 b0 b-1 b-n+2 b-nb

-n+1b

-j-1b

-j

2-n2-120

n

2m-1 2-j-12-j

j k

Bits restants Bits supprimés

)( ep

ne 2.

)( ep

ne 2.

(a) Arrondi (b) Troncature

( )k

bb

q 22

2 2112

0 −−== σµ ( ) ( )k

b

k

b

qq 22

2 2112

212

−− −=−= σµ

( )jq

−= 2

Notes :

54

VI Quantification2 Caractéristiques de dépassement

Dx(n) D[x(n)]

– Valeurs de x(n) lorsqu'il sort de la dynamique de codage

Saturation

– Complexe

– Moins d'effets indésirables

Modulaire

– Effets indésirables

Xmax

XmaxXmax

D(x) D(x)

Notes :

55

VI Quantification2 Caractéristiques de dépassement

– Afin d'éviter le dépassement, on diminue l'amplitude avant ou

pendant le traitement par un facteur d'échelle A < 1 (scaling).

• A peut être combiné avec les valeurs des coefficients

• A puissance de 2 (en pratique)

• Critères– Critère du pire-cas (ou norme L1)

Pas de dépassement tant que |x(n)|<Xmax

– Critère de puissance (ou norme L2)Pas de dépassement tant que Px<Pmax

– Critère bande étroite (ou norme Chebychev)Pas de dépassement tant que |x(n)| < Xmax, avec x(n) sinusoïdal.

h(n)x(n) y(n)A

Notes :

56

VI Quantification3 Bruit de conversion A/N

xQ(n) = Q[x(n)]

e(n) = xQ(n) - x(n)

|e(n)| ≤≤≤≤ q/2

Quantification en conversion A/N Quantification d'une sinusoïde

n

x(n)

3q

2q

q

n

xQ(n)

3q

2q

q

n

e(n)

q/2

- q/2

CANx(n) xQ(n)

Notes :

57

CAN

Q

x(n) x(n) xQ(n)+

e(n)

Filtre

H(z)

xQ(n) y(n)Filtre

H(z)

y(n)

Filtrage d'un bruit

• Exemple : filtrage du bruit de conversion

• En entrée du filtre– Signal x(n) + Bruit de conversion e(n)

Le RSB augmente de 6dB par bit ajouté

2

2)1(2

2

2

2

2

22

2

log1077.402.6log10

2.1212/

',12

xdB

x

bx

e

x

xe

bRSBRSB

qRSB

entréedsignaldupuissanceq

σ

σσ

σσ

σσ

++==

===

=

−

Notes :

58

VI Quantification4 Limitation des chemins de données

• Limitation des chemins de données de l’architecture cible– Multiplication => Quantification

– Addition => Débordement

0,1101 0,8125

+ 0,1001 + 0,5625

01,0110 1,375

0,1101 0,8125

x 0,1001 x 0,5625

00,0111 0101 0,4570 3125

Notes :

59

Exemple du filtre FIR

• Sources de bruit :

×c0

+

z-1 z-1 z-1

bg mem

+bgm0

+

bx

×c1

+

+bgm1

×cN-2

+

+bgm N-2

×cN-1

+

+bgm N-1

+

x (n)

y (n)

)(nx )(nyh+

bx

bg mem

+

N.bgm

Notes :

60

Exemple du filtre FIR

• Puissance du bruit en sortie (arrondi)

∑−

=′ ++=

1

0

2222

.

N

i

bbbb igmmemeyσσσσ

∑∑−

=

+∞

−∞=

++=1

0

22222

.)(

N

i

bb

m

bb igmmemeymh σσσσ

12.

1212

221

0

22

2 mimemN

m

me

b

qN

qc

qy

++= ∑−

=

σ

Notes :

61

VII. Synthèse des filtres numériques RII

1. Introduction

2. Rappels sur la synthèse des filtres analogiques

3. Invariance impulsionnelle

4. Transformation bilinéaire

Notes :

62

VII Synthèse des filtres RII1 Introduction

• Recherche de H(z) correspondant aux spécifications (gabarit)– Transposition des méthodes de synthèse applicables aux filtres

analogiques, puis transformation de H(p) vers H(z)Invariance impulsionnelle

Transformation bilinéaire

– Synthèse directe en z

– Méthodes d'optimisation : minimiser un critère d'erreur entre courbe

réelle et courbe idéale

Notes :

63

VII Synthèse des filtres RII2 Synthèse de filtre analogique

Spécification

Gabarit analogique

Gabarit normalisé

Normalisation

Ordre du filtre

HNorm(p)

Approximation de H(p)

Types de filtre

(Butterworth, Chebyshev,...)

H(p)

Dénormalisation

Filtrage numérique Filtrage analogique

Transformation p=f(z)

invariance impulsionnelle,

bilinéaire

Choix d’une structure Rauch, Sallien-Key,

Biquadratique

Notes :

64


• Normalisation– Calcul de la sélectivité s

ω1

1

|HNorm(p)|

1-δ1

1+δ1

δ2

1/s

ω0

|HNorm(p)| (dB)

−∆1

∆1

∆2

a) Gabarit prototype linéaire b) Gabarit prototype en dB

1 s

Notes :

65


• Ordre du filtre et fonction de transfert normalisée– Butterworth, Chebyschev, Elliptique, Bessel, Legendre, ...

– HNORM(pN)

• Dénormalisation– Passe-bas : pN = p / ωc

– Passe-haut : pN = ωc / p

– Passe-bande : pN = 1/B (p / ω0 + ω0 / p)

• On obtient une fonction de transfert H(p) respectant le gabarit analogique spécifié

⇒ Passage vers H(z)

Notes :

66

VII Synthèse des filtres RII3 Invariance impulsionnelle

• Le filtre numérique et le filtre analogique ont la même réponse impulsionnelle

t

ha(t)

Ha(p)x(t) y(t)

filtre analogique

t

h(nT)

H(z)x(nT) y(nT)

filtre numérique

T

h(nT) = ha(t) / t = nT

Notes :

67


• Le filtre numérique et le filtre analogique ont la même réponse impulsionnelle

– Conserve la réponse temporelle et la stabilité

– Phénomène de recouvrement de spectre du à l'échantillonnage

– Non respect de la spécification fréquentielle

∑∑∑∑

−−−−====

→→→→ →→→→→→→→

−−−−

====−−−−

)(1

,1

)()(

)()()()(1

pHdeppôles

ipT

a

TznTt

a

L

a

ai

pez

pHRésiduszH

directenformulatioou

zHnThthpH

( )∑ +=Ω

kT

k

a

jjjH

TeH

πω 21)(

Notes :

68

• Réponse fréquentielle

– Normalisation(xT) ou (/H(0))


1

Ha(p)

1/T

p

Ω

2Π−2Π Π

H(Ω)

Notes :

69

VII Synthèse des filtres RII4 Transformation bilinéaire

• Approximation d'une intégrale par la méthode des rectangles1

1

1

1

12−

−

+−

=z

z

Tp

t

e(nT)

nT(n-1)T

S(n) = S(n-1) + T[e(n) + e(n-1)]/2

H(z)e(n) s(n)

1/pe(t) s(t)

Intégrateur

analogique

Intégrateur

numérique

1Appelée également, selon les sources, méthode des trapèzes

Notes :

70


– Conservation de la stabilité

– Relation entre fréquences numériques et analogiques

plan p

p = jωa

plan z

z = ejωT

π 0

Notes :

71


– Distorsion en fréquence connue

fe/2

filtre analogique filtre numérique

fe/2

π

π/T

ωa

ωT

−π

=22

Ttg

Tnumériqueanalogique ωω

Notes :

72


• Procédure de synthèse

– A partir du gabarit en fréquence numérique ωn

– Effectuer une prédistorsion en fréquence

– Synthèse de H(p) par méthodes du chapitre V.2

– Transformation bilinéaire

=22

Ttg

Tna ωω

1

1

1

12)(

)(

−

−

+−

==

z

z

Tp

pHzH

Notes :

73

ΩπΩp

1

|H(ejΩ)|1-δ1

1+δ1

δ2

Ωa

ωa

p

1

|Ha(

j ωa)|

1-δ

1

1+

δ 1

δ 2

ωa

a

π

ωa

ωa

Ω

ωa=2/T tan(Ω/2)

2π

Notes :

74

VII Synthèse des filtres RIIExemple

• Filtre numérique analogique du premier ordre

– Invariance impulsionnelle : Hi(z)

– Transformation bilinéaire : Hb(z)

CR

ppH

c

c

.

1

1

1)(

====

++++====

ω

ω

fc = 1 KHz, fe = 10 Khz

Notes :

75

VIII. Synthèse des filtres numériques RIF

1. Introduction

2. Filtres à Phase Linéaire

3. Méthode du Fenêtrage

4. Échantillonnage en Fréquence

Notes :

76

VIII Synthèse des filtres RIF1 Introduction

• Recherche de H(z) correspondant aux spécifications (gabarit)– Synthèse directe en z

– Filtres à phase linéaire ou minimale

• 3 méthodes de synthèse– Méthode du fenêtrage

– Méthode de l'échantillonnage fréquentiel

– Méthodes d'optimisation : minimiser un critère d'erreur entre courbe

réelle et courbe idéale

Notes :

77

VIII Synthèse des filtres RIF2 Phase linéaire

• Filtre à phase minimale– Zéros dans le cercle unité

• Filtre à phase linéaire

– Condition pour avoir une phase linéaireSymétrie ou antisymétrie par rapport à α = (N-1)/2

Ω−=Ω

−Ω

Ω= ΩΩ

αβϕ

ϕ

)(

)(:)(

).()( )(

amplitudemodulepseudoAavec

eAeHjj

Notes :

78


réponse impulsionnelle symétrique

β=0

réponse impulsionnelle antisymétrique

β=±π/2

N impair

α entier

N pair

α non entier

h(n)

α N-1

h(n)

α N-1

h(n)

α N-1

h(n)

α N-1

Type I

Type II

Type III

Type IV

Notes :

79


N impair

N pair

ααα

αα

…1),(2),(

)cos()(

0

0

=−==

Ω= ∑=

Ω−Ω

nnhaha

naeeH

n

n

n

jj

0)(

2/1),2/(2

])cos[()(2/

1

2/1

=

=−=

Ω−= ∑=

Ω−Ω

π

α

H

NnnNhb

nbeeH

n

N

n

n

jj

…

0)()0(

1),(2

)sin()(1

2

==

=−=

Ω= ∑=

Ω−Ω

π

αα

αα

π

HH

nnhc

nceeeH

n

n

n

jj

j

…

0)0(

2/1),2/(2

])sin[()(2/

1

2 2/1

=

=−=

Ω−= ∑=

Ω−Ω

H

NnnNhd

ndeeeH

n

N

n

n

jj

j

…

απ

Tout filtre

Passe Haut

Passe Bande

Dérivateur

Passe Haut

Dérivateur

Type I

Type II

Type III

Type IV

Réponses fréquentielles

Notes :

80


N impair

N pair

Tout filtre

Passe Haut

Passe Bande

Dérivateur

Passe Haut

Dérivateur

π 2π

Type I

Type II

Type III

Type IV

π 2π

π 2π

π 2π

Réponses fréquentielles

Notes :

81

VIII Synthèse des filtres RIF3 Méthode du fenêtrage

• Développement en série de Fourier du filtre idéal

– Filtre non causal, de type RII

• Passage de h(n) idéal au RIF approché par fenêtrage de h(n)

∫−ΩΩ Ω=

π

ππdeeHnh jnj ).(

2

1)(

∑∞

−∞=

Ω−Ω =n

jnjenheH )()(

)().()( nwnhnha =

Notes :

82


• Exemple : filtre passe-bas idéal

Filtre passe-bas idéal

c

cc

n

nnh

ΩΩΩ

=)sin(

)(π

ΩπΩc

1

−Ωc−π

|H(ejΩ)|

Notes :

83


• Prise en compte d'une condition de phase linéaire par décalage de αααα

• Fenêtrage de h(n))()()()().()( ΩΩΩ ∗=⇔= jjj

aa eWeHeHnwnhnh

H(Ω) W(Ω)*

=

H(Ω)^

Notes :

84

∆Ω

∆A

1+∆A

H(Ω)^

H(Ω)

W(Ω)

11−∆A


– Largeur de la zone de transition ∆Ω ⇔ 1/2 largeur du lobe principal

– Atténuation ∆A ⇔ amplitude du premier lobe secondaire

Notes :

85


• Fenêtres usuelles– Rectangle, Triangle, Hanning, Hamming, Blackman, Kaiser, ...

– Réponses temporelles

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

w(n

)

RectangulaireBartlettHanningHammingBlackman

Notes :

86


• Fenêtres usuelles– Réponses fréquentielles (linéaire, dB)

0 0.2 0.4−80

−60

−40

−20

0

W d

B

Fenêtre rectangulaire

0 0.2 0.4−80

−60

−40

−20

0

W d

B

Fenêtre de Bartlett

0 0.2 0.4−80

−60

−40

−20

0

W d

B

Fenêtre de Hanning

0 0.2 0.4−80

−60

−40

−20

0

W d

B

Fenêtre de Hamming

0 0.2 0.4−80

−60

−40

−20

0

W d

B

Fenêtre de Blackman

0 0.1 0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

|W| l

inea

ire


Notes :

87


• Influence de la fenêtre

– Le type de fenêtre influe sur ∆A et ∆Ω

– Le nombre de points influe sur ∆Ω

Fenêtre Lobesecondaire

Demi largeur dulobe principal

Atténuationminimum

Rectangulaire -13dB 2π/N -21dBTriangulaire -25dB 4π/N -25dBHanning -31dB 4π/N -44dBHamming -41dB 4π/N -53dBBlackman -57dB 6π/N -74dB

Notes :

88

VIII Synthèse des filtres RIF4 Méthode de l'échantillonnage

• Échantillonnage en fréquence– Échantillonnage du filtre idéal

– TFD inverse de H(kΩe)

– Méthode valable pour tout type de filtre

– Possibilité d'utiliser un fenêtrage

ΩπΩc

1

H(ejΩ)

H(kΩe)

2π

∑−

=

Ω=1

0

.2

)(1

)(N

k

knN

j

e ekHN

nh

π

Notes :

89

IX. Analyse spectrale

1. Effets de la troncature

2. Caractéristiques des fenêtres

3. Influence sur l'analyse

Notes :

90

IX Analyse spectrale1 Définition

• Analyse spectrale de signaux continus– Etude du contenu fréquentiel (spectre) d'un signal continu xc(t)

– Nombre limité d'échantillons du signal d'entrée pour la TFD

• Troncature temporelle– xN(n) = x(n) . wN(n) avec wN(n) fenêtrage sur N points

– T0 = N.T : horizon d'observation

xc(t)Filtre P.Bas

anti-repliement

Ωc = π

CAN

Fe

x(n)x

fenêtre wN(n)

xN(n)FFT

||2

φ

Notes :

91

IX Analyse spectrale2 Troncature temporelle

• Troncature temporelle– xN(n) = x(n) . wN(n) avec wN(n) fenêtrage sur N points

• Influence sur le spectre– Convolution fréquentielle

• TFD du signal tronqué

Lk

j

NN

L

n

L

nkj

NN

eXkX

NL

LkenxkX

/2

1

0

2

)()(

1..0)()(

π

π

=Ω

Ω

−

=

−

=

≥

−== ∑

)(*)()( ΩΩΩ = j

N

jj

N eWeXeX

Notes :

92

IX Analyse spectrale2 Troncature temporelle

• Exemple – Fenêtre rectangulaire, N=31

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1fenêtre rectangulaire

n

w r[n]

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f

Ampl

itude

|Wr(e

(j.2.pi.f))|

Notes :

93

IX Analyse spectrale3 Influence de la fenêtre

0 5 10 15 20 25 30 35−1

−0.5

0

0.5

1

(a) : Fonction cos(2pi fo n) échantillonnée tronquée sur N=32 points

x N(n

)

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

(c) : XN

(k)=TFDxN

(n)−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

(b) : XN

(ej2pif

)=TFxN

(n(

– fonction cosinus fenêtrée sur N=32 points

Notes :

94

• Influence de la fenêtre

– Le type de fenêtre influe sur λ et ∆Ωm

– Le nombre de points influe sur ∆Ωm


Fenêtre Lobe secondaire λ = 20log|W(fs)/W(0)|

Largeur du lobe principal LLP = ∆Ωm

Rectangulaire -13dB 4π/N Triangulaire -25dB 8π/N Hanning -31dB 8π/N Hamming -41dB 8π/N Blackman -57dB 12π/N

W(Ω)

Ω

f∆Ωm

∆Ωm/2

λ

fs1/NT

π

fe/2

Notes :

95


• Fenêtres usuelles– Rectangle, Triangule, Hanning, Hamming, Blackman, Kaiser, ...

– Réponses temporelles

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

w(n

)

RectangulaireBartlettHanningHammingBlackman

Notes :

96


• Fenêtres usuelles– Réponses fréquentielles (linéaire, dB)

0 0.2 0.4−80

−60

−40

−20

0

W d

B


0 0.2 0.4−80

−60

−40

−20

0

W d

B

Fenêtre de Bartlett

0 0.2 0.4−80

−60

−40

−20

0

W d

B

Fenêtre de Hanning

0 0.2 0.4−80

−60

−40

−20

0

W d

B

Fenêtre de Hamming

0 0.2 0.4−80

−60

−40

−20

0

W d

B

Fenêtre de Blackman

0 0.1 0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

|W| l

inea

ire


Notes :

97

IX Analyse spectrale4 Paramètres de l'analyse

• Finesse en fréquence– Capacité de l'analyseur à détecter 2 raies proches

– Masquage fréquentiel

– Largeur du lobe principal : LLP = 2∆Ω

– Dépend de N et du type de fenêtreExemple sur transparent 9

• Finesse en amplitude– Capacité de l'analyseur à détecter des raies de faibles amplitudes ou

masquée par une autre raie proche

– Masquage d'amplitude ou bruit de l'analyse

λ = 20log|W(fs)/W(0)|

– Dépend du type de fenêtreExemple sur transparent 10

Notes :

98


−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1Spectre théorique

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

1.5Spectre pour N=21

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1


−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1



Notes :

99


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30

0.5

1Spectre théorique

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30

0.5

1Spectre pour N=128, fenetre rectangulaire

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30

0.2

0.4

0.6Spectre pour N=128, fenetre de Hamming

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30

0.2

0.4

0.6Spectre pour N=256, fenetre de Hamming

Notes :

100

IX Analyse spectrale5 Zero-padding

– Ajout de L-N zéros à la suite de x(n) avant TFD sur L points

0 1 2 3 4 5 6 70

0.5

1

wr[n] (N=8 points)

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

Notes :

101

X. Systèmes multi-cadences

1. Définition

2. Décimation

3. Interpolation

Notes :

102

X Systèmes multi-cadences1 Définition

• Systèmes multi-cadences– Systèmes dans lesquels on pourra avoir plusieurs fréquences

d'échantillonnage dans une même chaîne de traitement

– Ils tirent partie de la forme spectrale d'un signal en gardant Fe

toujours à sa valeur optimale-> Réduction de la complexité

ωω0

1

−ω0

Xc(ω)

t

xc(t)

Notes :

103

X Systèmes multi-cadences1 Définition

t

x(nT)

T ωω0

1/T

−ω0

X(ejΩ)

π/T−π/T

t

xd(nT')

T' ω

1/T' Xd(ejΩ)

π/T'−π/T'

Notes :

104

X Systèmes multi-cadences2 Décimation

• Décimation d'un facteur M

– Pour éviter le recouvrement de spectre, le signal xc(t) doit être à

bande limitée et respecter le théorème de Shannon par rapport à T'

↓Mx(nT) xd(nT')

T' = MT

↓Mx(nT) xd(nT')

T' = MT

F'e = Fe/M

t t

∑−

=

−ΩΩ =

=1

0

)/2/( )(1

)(

)()(

M

i

MiMjj

d

d

eXM

eX

nMxnx

π

00

0

/'/(MT) = /T'

0)(

ωωππ

ωωω

≥=≥

≥=

MFeeFouet

pourX c

Notes :

105

• Filtres à décimation– Filtre suivi d'un décimateur

T' = MT

• Optimisation du filtre à décimation

X Systèmes multi-cadences2 Décimation

x(nT) Filtre Passe BasGain = 1

ΩΩΩΩc = ππππ/M↓M

v(nT) y(nT')

x(nT)T T T

b1

+

b2

+

b3

+

b0

↓2v(nT) y(nT')

Notes :

106

X Systèmes multi-cadences3 Interpolation

• Interpolation d'un facteur L– Objectif : augmenter la fréquence d'échantillonnage d'un signal x(n)

échantillonné à la période T d'un facteur L

• Elévateur de fréquence– Ajout de L-1 zéros entre 2 échantillons de x(n)

LTTavecnTxLnxnx ci /'),'()/()( ===

↑Lx(nT) xe(nT')

tt

)()(

)()(

0

...,2,,0),/()(

'

Ljj

e

TjTj

e

e

eXeX

eXeX

ailleurs

LLnLnxnx

ΩΩ =

=

±±=

=

ωω

Pas d'effet sur le spectre

Notes :

107


• Interpolateur– Succession d'un élévateur de fréquence et d'un filtre passe-bas idéal

de gain L, de période d'échantillonnage T' et de fréquence de coupure

Fc = 1/2T (i.e. Ωc = π/L).

ω

1/T X(ejΩ)

π/T−π/Tt

tω

1/T' Xe(ejΩ)

π/T−π/T π/T'−π/T'

↑Lx(nT) xe(nT') Filtre Passe Bas

Gain = LΩΩΩΩc = ππππ/L

xi(nT')

Notes :

108


• Optimisation du filtre à interpolation

• Multiplication de Fe par un facteur rationnel R=L/M– T' = T.M/L

x(nT)T T T

b1

+

b2

+

b3

+

b0

↑2v(nT')

y(nT')

↓My(nT')

↑Lx(nT) Filtre Passe Bas

Gain = LΩc = min(π/L, π/M)

Traitement Numérique du Signal (Partie...

Documents

Transcript of Traitement Numérique du Signal (Partie...