Institut Suprieur des Sciences Appliques et de Technologie de Sousse Ondes Acoustiques et Traitement des Signaux (Cours avec applications thoriques et pratiques) Par : Ahmed RHIF Dpartement Gnie lectronique Anne Universitaire 2009-2010Version 1.0 - Avril 2010 (Brouillon) Ondes Acoustiques et Traitement des SignauxISSATSO 2010 RHIF AhmedDp. Gnie Electronique 2 Sommaire Partie Thorique Chapitre 1 Gnralit sur le son ............................................................................................. 3 1Caractristiques dun son ............................................................................................... 4 2Propagation dune onde sonore ...................................................................................... 4 3Caractristiques dune onde sonore ................................................................................ 4 4L'impdance acoustique ................................................................................................. 7 5Effet Doppler .................................................................................................................. 7 6Applications ................................................................................................................... 8 Chapitre 2 Les transformations de Fourier ......................................................................... 10 1La dcomposition en srie de Fourier .......................................................................... 10 1.1Quelques proprits ................................................................................................ 11 1.2Applications ........................................................................................................... 12 2La transforme de Fourier ............................................................................................ 15 3Filtrage ......................................................................................................................... 17 4La transforme de Fourier inverse ............................................................................... 18 5Le phnomne de Gibbs ............................................................................................... 19 Chapitre 3 Traitement des signaux numriques ................................................................. 21 1Lchantillonnage des signaux ..................................................................................... 22 2La transforme de Fourier numrique .......................................................................... 22 2.2Existence de la transforme de Fourier .................................................................. 23 2.2Proprits du spectre .............................................................................................. 24 3Transforme de Fourier discrte .................................................................................. 25 Partie Exprimentale Manipulation 0Initiation au logiciel MATLAB .................................................................. 26 Manipulation 1Les Transformations de Fourier .................................................................. 33 Manipulation 2Systmes Linaires Continus Filtrage Analogique ..................................... 40 Manipulation 3Lchantillonnage ....................................................................................... 48 Ondes Acoustiques et Traitement des SignauxISSATSO 2010 RHIF AhmedDp. Gnie Electronique 3 Chapitre 1Gnralit sur le son Introduction Lesonestuneondeproduiteparlavibrationmcaniqued'unsupportfluideousolideet propage grce l'lasticit du milieu environnant sous forme d'ondes longitudinales (cordes vocales,guitare).Parextensionphysiologique,lesondsignelasensationauditive laquelle cette vibration est susceptible de donner naissance. Par consquent le son ne peut pas se propager dans le vide (exemple de la cloche vide). Cloche vide (On ne peut pas couter le son de la rveille puisque il y a du vide au dessous de la cloche) Lasciencequitudielessonss'appellel'acoustique.Lapsychoacoustiquecombine l'acoustiqueaveclaphysiologieetlapsychologie,pourdterminerlamaniredontlessons sont perus et interprts par le cerveau. Terminologie : On appellera source ou excitateur pour ce qui produit le son, milieu pour le fluide ou le solide dans lequel se propage londe sonore, de rcepteur ou puits pour ce qui capte londe. Ondes Acoustiques et Traitement des SignauxISSATSO 2010 RHIF AhmedDp. Gnie Electronique 41Caractristiques dun son Il y a deux types de son : les sons purs et les sons complexes. Les sons purs sont caractriss par une seule frquence. Les sons complexes rsultent de la somme des sons purs de frquences f, 2f, 3f Le domaine des frquences est le suivant : 2Propagation dune onde sonore Lephnomnequisepropageestunepetiteoscillationdematireautourdesaposition initiale.Auseind'unsolidelastique,l'oscillationpeut-trelongitudinalesielles'effectue dansladirectiondepropagationdel'ondeoutransversalesielles'effectue perpendiculairementladirectiondepropagation.Auseind'unfluidecommel'air,la vibration est toujours longitudinale. Lapropagationduneondesonoredansunmilieusetraduitparlexistencedunepression acoustique pac qui sajoute la pression atmosphrique. totale atm acp p p = + 3Caractristiques dune onde sonore Londe sonore peut tre reprsent par plusieurs quation diffrentes la plus simple entre elle est : ) sin( ) ( + = wt A t y avec : A : lamplitude du signal : pulsation du signal : dphasage entre le signal en un point (P) et la source (S) Ondes Acoustiques et Traitement des SignauxISSATSO 2010 RHIF AhmedDp. Gnie Electronique 5 On obtient les quations suivantes de la clrit et de dphasage : xtxC2== La frquence : La vitesse laquelle la source oscille dtermine la frquence ( f ) de l'onde sonore engendre, qui est exprime en Hertz (Hz) ou cycles par secondes. Elle conditionne la hauteur tonale du son. Plus la source oscille en un temps donn, plus sa frquence est leve et le son est aigu. L'amplitude :L'importancedescompressionsetdpressionsdumilieuprovoquesparlemouvementde la sourcecorrespondl'amplitude (A) del'ondeetestexprimeendcibels (dB). L'amplitude dtermine donc l'intensit, le volume de l'onde sonore. La longueur d'onde : Lorsquel'ondesepropagedanslemilieu,ladistancesparantdeuxpointssuccessifsola compressionestmaximaleestappelelongueurd'onde.Cettedistanceestmesurable n'importequelendroitdel'ondemaiselle correspondtoujourslalongueurd'uncycle complet (voir le schma ci-dessous). Souvent reprsente par la lettre greque lambda ( ), elle Ondes Acoustiques et Traitement des SignauxISSATSO 2010 RHIF AhmedDp. Gnie Electronique 6estexprimeenmtreset dpenddelafrquenceainsiquedelavitessedepropagationde l'onde(v). Pluslafrquenceestlevepourunevitessedonne,plusuncycleestcourt. Pluslavitesse estlevepourunefrquencedonne,plusladistanceentredeuxmaxima successifs est importante. Cette relation peut tre rsume par la formule qui suit: T C. = en m, C en ms-1 et T en s C est la clrit du son, elle est de lordre de 340 ms-1 dans lair La priode : Onnoteragalementlanotiondepriode (T) quiestladureensecondessparant deux crtes successives (et donc une longueur d'onde).Cette dure est mesurable n'importe quelmomentdel'ondemaiselle correspondtoujoursla dured'uncyclecomplet(voirle schmaci-dessous).Lapriodeestl'inversedelafrquence:pluslafrquenceest leve, plus la priode est courte et inversement. fT1=et 2 = T Ondes Acoustiques et Traitement des SignauxISSATSO 2010 RHIF AhmedDp. Gnie Electronique 7 Lescaractristiques d'uneonde peuvent,commenouslevoyons,trereprsentesl'aide d'ungraphique ol'amplitudefiguresurl'axevertical(lesvaleurspositivesoungatives correspondent respectivement aux compressions et dpressions du milieu) et le temps sur l'axe horizontal.Si l'onde est pure, l'volution temporelle aura laforme d'une sinusode parfaite cause de la vibrationsimpleetrguliredelasource.Cettevolutionestappelele"mouvement harmonique". 4L'impdance acoustiqueL'impdance acoustique d'un milieu (solide, liquide ou gazeux) est dfinie comme le rapport delapressionacoustiquesurlavitessededplacementenmilieuouvert(cest--direen l'absence d'ondes rflchies).L'impdance acoustique est une proprit du matriau considr et est gale, dans le cas d'un espace illimit, au produit de la masse volumique du matriau par la vitesse du son c dans ce mme matriau : Z = . c Units : tant exprim en kg/m3, c en m/s, Z est exprim en Pa.s/m. Exemples de quelques valeurs de clrit du son dans des milieux diffrents: MilieuAir (OC)Eau (15C)GranitSapinplombacierVerre Clrit (m/s)3321 4403 9505 0001 3005 1005 500 5Effet Doppler Lorsquelasourceestendplacement,lavitessedepropagationrsultanteestgalela vitessedepropagationajoute(vectoriellement)lavitessededplacementdelasource. Cette vitesse de dplacement fait varier la hauteur du son. Soit f la frquence mise par la source et f la frquence capter par le rcepteur :Ondes Acoustiques et Traitement des SignauxISSATSO 2010 RHIF AhmedDp. Gnie Electronique 8v ccf f= ' V est la vitesse de la source en mouvement et C la clrit du son. 6Applications 1) Pourquoi couter aux rails DanscertainsWesternonpeutvoirdesbanditscollerloreilleauraildechemindeferpour surveiller le train qui approche. 1. Justifier cette mthode. 2. Calculer le temps mis par les sons pour se propager depuis un train situ la distance d = 3 km. On donne : Cair = 340 ms-1

Cacier=5100 ms-1 2) Utilisation dun sonar Le sonar est constitu dun metteur ultrason (S) et dun rcepteur (R). Il mesure le temps mis par les ultrasons pour effectuer un aller retour entre le sonar et lobstacle (fond de la mer, sous marin). Puis lappareil affiche la profondeur d qui spare (S) de lobstacle. 1. Situer le domaine des frquences sur une chelle. 2. Quelle est la longueur donde des ultrasons mis dans le milieu marin ? 3. Londe sonore mise se rpercute sur un sous marin. A quelle profondeur dse trouve t-il si le rcepteur reoit londe rflchit avec un dphasage de temps t=0.1s ? On donne : Ceau = 1500 ms-1 fultrason = 20 khz 3) Vol dune chauve-souris Une chauve-souris (C) vole en ligne droite vers un obstacle la vitesse moyenne v=8 ms-1.Elle met un bref signal ultrason quand elle se trouve environ 30 m de lobstacle. Ce signal se rflchit sur lobstacle et atteint la chauve-souris aprs un instant t plus tard. A quelle distance x de lobstacle se trouve-t-elle la rception du signal de retour ? Cair = 340 ms-1 Ondes Acoustiques et Traitement des SignauxISSATSO 2010 RHIF AhmedDp. Gnie Electronique 94) Effet Doppler dans une salle de classe Tout en parlant, un professeur se dplace vers ses tudiants la vitesse v = 1 m/s. On note f la frquence du son mis par le professeur et f ' la frquence de ce mme son peru par les tudiants. 1. Calculer le dcalage en frquence (en %) : ff f '1002. On donne f = 500 Hz. Calculer f '. 3. Une oreille normale ne peut pas distinguer une variation de frquence de moins de 1 %. Quelle conclusion peut-on en tirer ? Ondes Acoustiques et Traitement des SignauxISSATSO 2010 RHIF AhmedDp. Gnie Electronique 10Chapitre 2 Les transformations de Fourier Introduction LanalysedeFourier,miseenplaceparJosephFOURIERmathmaticienfranais,estune analysedetypefrquentielle,tenduedesrgimesquinesontpasforcmentsinusodaux. L'analyse de Fourier est trs utilise en lectricit comme en physique. Les termes des sries de Fourier sont des fonctions sinusodales et cosinusodales. A nouveau, onaperoitl'importancedel'analyseharmoniquedessystmes,puisquelapertinencedeces dcompositions est garantie pour tout systme linaire (principe de superposition). La transformation de Fourier a dj t signale comme un cas particulier mathmatique de la transformationdeLaplace.Elleesttrsemployedanstouteslesbranchestechniquesavec desimplicationsvastesetdiverses:desrelationsd'incertitudesenphysiqueauxespaces rciproques en cristallographie, en passant bien sr par l'lectricit. 1La dcomposition en srie de Fourier Soit f une fonction priodique de priode T. Joseph FOURIER, affirma, dans un mmoire dat de1807,quiltaitpossible,danscertainesconditions,dedcomposerunefonction priodique f sous la forme dune somme infinie de signaux sinusodaux : +=+ + =10)] sin( ) cos( [ ) (nn nnwt b nwt a a t f On a : ===TnTnTdt nwt t fTbdt nwt t fTadt t fTa0000) sin( ) (2) cos( ) (2) (1 Ondes Acoustiques et Traitement des SignauxISSATSO 2010 RHIF AhmedDp. Gnie Electronique 11avec : a0, an, bnsont les coefficients de Fourier On peut donc considrer f comme la somme : dun terme constant a0 dun nombre infini de termes sinusodaux appels harmoniques. n=1 reprsente la composante fondamentale du signal n=1 reprsente la composante harmonique du signal Figure 1: spectre de frquence dun signal priodique Ilestsouventintressantdecaractriserunsignalparsonspectredefrquence.Eneffet, celui-ci met en vidence limportance du fondamental ainsi que la dcroissance plus ou moins rapidedesamplitudesdesharmoniquesderanglev.Ilpeutaussiservirdterminerle nombredharmoniquesncessairespourtransmettrelaquasitotalitdelnergiedusignal (notion de bande passante...). 1.1Quelques proprits Si f est paire : f(t) = f(-t)bn =0 Si f est impaire : f(t) = -f(-t)an =0 Valeur moyenne : = = =Ta dt t fTt f f00) (1) (Valeur efficace :( )+=+ + = 12 2 202 221nn n effb a a f fOndes Acoustiques et Traitement des SignauxISSATSO 2010 RHIF AhmedDp. Gnie Electronique 121.2Applications Exemple 1 OnchercheconcevoirunfiltrepasseBandetrsslectifsurlepremierharmoniqueetle deuxime harmonique. Soit f le signal filtrer. < < < x(t)') legend('x(t) : signal initial','x''(t) : signal rcupr partir de X(f)') xlabel('Temps t (en s)') ylabel('Amplitude du signal') CommeledfinitlatransformedeFourierinverse:TF-1[X(f)]=x(t)estbiencequelon obtientquandonraliselacommandeabs(ifft(X)/Te).Lorsqueloncomparenotresignal x(t)initialaveclesignalx1(t)obtenuprcdemmentparlaTFI,onserendcomptequeles deux courbes se superposent ; preuve que :TF-1[X(f)] = x1(t) = x(t) %D) Decalage frquentiel de la TF Ondes Acoustiques et Traitement des SignauxISSATSO 2010 RHIF AhmedDp. Gnie Electronique 38%1) Definition de la nouvelle fonction x(t) dcale frquentiellement fo=5; y=x.*(exp(i*2*pi*fo*t)); %2) Calcul de la transformee de Fourier de y(t)=x(t)*exp(i*2*pi*fo*t) Y=abs(fftshift(fft(y)*Te)); %3) Trace de nos fonctions X(f) et X(f-fo) figure(4) hold on plot(f1,abs(X1)) plot(f1,Y,'r') hold off %4) Quadrillage, titre, axes & legendes grid axis([-10 10 0 2]); title('Representation frequentielle des signaux x(t) et x(t)*exp(i*2*pi*fo*t)') legend('x(t) -TF-> X(f)','x(t)*exp(i*2*pi*fo*t) -TF-> X(f-fo)') xlabel('Frequence f (en Hz)') ylabel('Amplitude du signal') Ondes Acoustiques et Traitement des SignauxISSATSO 2010 RHIF AhmedDp. Gnie Electronique 39Comme le prouve la dfinition du dcalage frquentiel : TF[x(t)* e(j*2*pi*fo*t)] = X(f-fo) Dans notre cas, fo = 5 Hz. Il est donc normal dobtenir, comme le met en vidence ce graphique, le mme spectre frquentiel mais cette fois-ci dcal de 5 Hz. Bilan du TP : Transforme de FourierCe TP permet de mettre en application dfinitions et proprits concernant la Transforme de Fourier selon deux points de vue: les mthodes formelles et matlab prsentent tout au long de celui-ci leurs atouts et leurs inconvnients.Lamthodeformelleservletrepluslaborieusemettreenplacecarellencessitele calculdelintgraledelaTransformedeFourierdusignalquelonsouhaitetudier. Cependant,elleapparattrelasolutionlaplusprciseetlaplusrigoureusesurleplan purement mathmatique.Lamthodematlabprouvesonefficacitparsasimplicitetsarapiditdutilisation. Aucun calcul nest ncessaire. Malgr cela, cette solution est lgrement moins prcise que la mthode prcdente ; la diffrence tant infime.Le principal problmerencontr au cours de ce TP est la taille de nos vecteurs : ils devaient treobligatoirementdemmetaille(tailleduvecteurabscisse=tailleduvecteurordonne) pour pouvoir obtenir laffichage des diffrents graphes. Ondes Acoustiques et Traitement des SignauxISSATSO 2010 RHIF AhmedDp. Gnie Electronique 40Manipulation 2Systmes Linaires Continus Filtrage Analogique Objectif : Lobjectif de ce travail pratique est de mettre en application les connaissances acquises sur la Transforme de Fourier et le filtrage. Nous verrons, grce Matlab, les diffrences existantes entrelefiltrageidal(Partie1)utilisenthorieetlerel(Partie2)appliqudansdivers domaines tels que la tlcommunication, llectronique, lautomatique Partie I : Convolution, transforme de Fourier et filtrage.Dans cette partie, on tudie le filtrage idal dun signal porte. Avec T(t) = 1 pour T/2 < t < T/20 ailleurs On considre un filtre H(f) passe-bas idal de frquence de coupure fc=2/T. %Dfinitions pralablesT=5;Fe=100;Te=1/Fe;fc=2/T;1) Dfinition du domaine temporel et trac de la fonction porte pour T=5 :Dabord, on discrtise le domaine temporel car Matlab ne peut pas travailler sur du continu . Pour cela, on cr un vecteur t=[-20 20]. On choisit un pas Te=1/Fe=1/100. Autrement dit, entre 20et 20, t prend 4001 valeurs diffrentes. t =-20 + n.Teavec n un entier tel que 0