Trabaljo de Calculo 4 de Hugo
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Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la Educación
trabajo 4“la aplicación de la integral
indefinida”Integrantes de grupo:
• GASPAR AROTINCO HUGO• FABIAN MEJIA
• KAQUI ROQUE LENINProfesor:
BERNAL SANTILLAN, RAUL AUGUSTOSección:C111- D
2015-II
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INTRODUCCIÓN• Teóricamente el concepto y la forma de aplicar y
calcular un integral definida es uno de esos conceptos claves, tanto por las ideas implicadas en su definición como por las múltiples aplicaciones que tiene al interior o al exterior de la matemática. Por lo tanto ningún concepto se aprende en matemática de una sola vez y para siempre existe todo un proceso de aprehensión por parte del sujeto. La matemática es la ciencia de los resultados exactos; esto no debe llevar sin embargo a olvidarse o mirar con desdén las aproximaciones ya que las mas de las veces, son el camino que nos hacen posible llegar a lo exacto; son también quienes nos posibilitan comprobar resultados
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INTEGRAL INDEFINIDA
Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o anti derivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:F'(x) = f(x).Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)Integral indefinidaIntegral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.Se representa por ∫ f(x) dx.Se lee como "la integral indefinida de f(x) respecto a x" Por lo tanto, f(x) dx es una conjunto de funciones; no es una función sola, ni un número.La función f que se está integrando se llama el integrando, y la variable x se llama la variable de integración.C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:∫ f(x) dx = F(x) + CPara comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
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APLICACIÓN DE LA INTEGRAL INDEFINIDA A LA FÍSICA
Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo. Con una velocidad inicial de 20 m/s como se
muestra en la figura.1.-¿Cuánto tiempo tardara la pelota en
llegar al suelo y con que velocidad llagará?.
2.-¿Cuánto tiempo estará subiendo la pelota y que tan alto llegará?
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SOLUCIÓNCONDICIONES INICIALES:
V =20 m/s cuando t =0 y s =0 cundo t = 0 y la gravedad g =10m/s
Donde:
S = la posición de la pelota ala cabo de t segundos.
V = la velocidad de la piedra en t segundos.
a = -g: la aceleración de la gravedad, quela consideramos constante.
dv = -10 dt por lo tanto ∫ dv =∫- 10 dt
v = -10t +c
si v =20 cuando t = 0
20 = -10(0)+c
C = 20
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Por lo tanto se tiene que la velocidad en cualquier instante
1 V = -10t + 20
Pero v = y en consecuencia = -10t+ 20
ds = (-10t + 20) dt
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Pero v = =-10 t + 20
Donde integrando a ambos lados obtenemos
ds =(-10t + 20)dt
∫ ds =∫ (-10t + 20)dt
S= -5t² + 20t + c₁
Como s = 0 cuando t0 0, deduce que c₁= 0
Es decir, la ecuación de movimiento en cualquier instante t es:
2 S =5t² + 20 t
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Con las ecuaciones 1 y 2 podemos responder la s siguientes preguntas planteados en el problema
TIEMPO DURANTE EL CUAL ESTA SUBIENDO LA PELOTA Y MÁXIMA ALTURA ALCANZADA
Hacemos v =0 en la ecuación (1)
entonces 0 =-10t +20
t= 2s
Y si este valor de t lo remplazamos en (2) obtenemos la altura alcanzada por al pelota es decir:
S = -5t(2²) + 20(2) = 20 m
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TIEMPO PARA LLEGAR AL SUELO Y LA VELOCIDAD CON QUE LLEGARÁ
Hacemos S = 0 en la ecuación (2)
Entonces, o = -5t²+ 20t
Donde t = 0s y t =4 s
Es decir t = o en el momento en iniciar el movimiento
t =4s es el tiempo que demora la piedra en caer al suelo.
Por lo tanto v = -10(4) + 20 = 20 m/s.
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CONCLUSIÓN
• La piedra estará subiendo durante 2 segundos y alcanzar{a una altura máxima de 20 metros.
• La piedra tardará 4 segundos en llegar al suelo y llegará con una velocidad de -20 m/s.
• El calculo integral hace una función importante en nuestra vida diaria o cotidiana frente a nuestra labor o profesión.