TRABALHO VIBRAÇOES.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
CENTRO TECNOLÓGICO – CT
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA – DEM
VIBRAÇÕES DE SISTEMAS MECÂNICOS
TRABALHO COMPUTACIONAL
VIBRAÇÕES DE SISTEMAS MECÂNICOS
PROF. RAFAEL LUZ TEIXEIRA
ALUNO: MARCO AURÉLIO BAZELATTO ZANONI
VITÓRIA - ES
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
CENTRO TECNOLÓGICO – CT
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA – DEM
VIBRAÇÕES DE SISTEMAS MECÂNICOS
Laboratório 1
1. Fazer os seguintes gráficos de simulação de um sistema mecânico de 1 GDL
(grau de liberdade) sem amortecimento. Escolher as constantes físicas: massa
suspensa e rigidez da mola, e as condições iniciais para deslocamento e
velocidade. Fazer na análise do tempo de amostragem e adotar um valor 5
vezes menor ao encontrado. Todos os dados utilizados para obtenção dos
gráficos abaixo podem ser encontrados no arquivo .m referente a esse
trabalho.
2. Apresentação dos gráficos obtidos pela simulação utilizando o MatLab.
2.1. Deslocamentos relativos às equações 1.7 e 1.15
Gráfico correspondente às equações 1.7 e 1.15 usando a função subplot do
Matlab.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.05
0
0.05Deslocamentos relativos às equações 1.7 e 1.15 (subplot)
Tempo [s]
Des
loca
men
to [
m]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.05
0
0.05
Tempo [s]
Des
loca
men
to [
m]
Figura 1 – Gráfico Deslocamento(m) x Tempo(s) das equações 1.7 e 1.15 em paralelo
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CENTRO TECNOLÓGICO – CT
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VIBRAÇÕES DE SISTEMAS MECÂNICOS
Como esperado, os pontos se sobrepõem, uma vez que as equações 1.7 e
1.15 revelam os mesmos resultados, portanto são iguais.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05Deslocamentos relativos às equações 1.7 e 1.15 (hold on)
Tempo [s]
Des
loca
men
to [
m]
Figura 2 – Gráfico Deslocamento(m) x Tempo(s) das equações 1.7 e 1.15
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Figura 3 – Zomm do gráfico Deslocamento(m) x Tempo(s) das equações 1.7 e 1.15
2.2. Velocidades analítica e computacional obtidas derivando-se a
equação 1.7
As figuras ? abaixo mostram as velocidades analítica e computacional
derivando-se a equação 1.7 utilizando os comandos hold on e subplot do
Matlab. A figura ? mostra um zoom da figura? Para uma melhor visualização.
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Deslocamentos relativos às equações 1.7 e 1.15 (hold on)
Tempo [s]
Des
loca
men
to [
m]
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VIBRAÇÕES DE SISTEMAS MECÂNICOS
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8Velocidades analítica e computacional obtidas derivando-se a equação 1.7 (hold on)
Tempo [s]
Vel
ocid
ade
[m/s
]
Figura 4 – Velocidades analíticas e computacionais obtidas derivando-se a equação 1.7
Figura 4 – Zoom das Velocidades analíticas e computacionais obtidas derivando-se a equação
1.7
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Velocidades analítica e computacional obtidas derivando-se a equação 1.7 (hold on)
Tempo [s]
Vel
ocid
ade
[m/s
]
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1
-0.5
0
0.5
1Velocidades analítica e computacional obtidas derivando-se a equação 1.7 (subplot)
Tempo [s]
Vel
ocid
ade
[m/s
]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1
-0.5
0
0.5
1
Tempo [s]
Vel
ocid
ade
[m/s
]
Figura 5 - Velocidades analíticas e computacionais obtidas derivando-se a equação 1.7
Em paralelo.
2.3. Velocidades analítica e computacional obtidas derivando-se a
equação 1.15
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8Velocidades analítica e computacional obtidas derivando-se a equação 1.15 (hold on)
Tempo [s]
Vel
ocid
ade
[m/s
]
Figura 6 - Velocidades analíticas e computacionais obtidas derivando-se a equação 1.15
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Figura 7 – Zoom do gráfico das velocidades analíticas e computacionais obtidas derivando-se a
equação 1.15
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1
-0.5
0
0.5
1Velocidades analítica e computacional obtidas derivando-se a equação 1.15 (subplot)
Tempo [s]
Vel
ocid
ade
[m/s
]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1
-0.5
0
0.5
1
Tempo [s]
Vel
ocid
ade
[m/s
]
Figura 8 – Gráfico das velocidades analíticas e computacionais obtidas derivando-se a equação
1.15 em paralelo.
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Velocidades analítica e computacional obtidas derivando-se a equação 1.15 (hold on)
Tempo [s]
Vel
ocid
ade
[m/s
]
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2.4. Acelerações analítica e computacional obtidas derivando-se a
equação 1.7
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10Acelerações analítica e computacional obtidas derivando-se a equação 1.7 (hold on)
Tempo [s]
Ace
lere
ção
[m2/
s]
Figura 9 – Gráfico das acelerações analíticas e computacionais obtidas derivando-se a
equação 1.7
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0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
4
5
6
7
8
9
Acelerações analítica e computacional obtidas derivando-se a equação 1.7 (hold on)
Tempo [s]
Ace
lere
ção
[m2/
s]
Figura 10 – Zoom do gráfico das acelerações analíticas e computacionais obtidas derivando-se
a equação 1.7
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-10
-5
0
5
10Acelerações analítica e computacional obtidas derivando-se a equação 1.7 (subplot)
Tempo [s]
Ace
lcer
ação
[m
2/s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-10
-5
0
5
10
Tempo [s]
Ace
lcer
ação
[m
2/s]
Figura 11 – Gráfico das acelerações analíticas e computacionais obtidas derivando-se a
equação 1.7 em paralelo.
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2.5. Acelerações analíticas e computacionais obtidas derivando-se a
equação 1.15
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10Acelerações analítica e computacional obtidas derivando-se a equação 1.15 (hold on)
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m2/
s]
Figura 12 – Gráfico das acelerações analíticas e computacionais obtidas derivando-se a
equação 1.15.
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Acelerações analítica e computacional obtidas derivando-se a equação 1.15 (hold on)
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m2/
s]
Figura 13 – Zoom do gráfico das acelerações analíticas e computacionais obtidas derivando-se
a equação 1.15
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1
-0.5
0
0.5
1Acelerações analítica e computacional obtidas derivando-se a equação 1.15 (subplot)
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m2/
s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1
-0.5
0
0.5
1
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m2/
s]
Figura 14 – Gráfico das acelerações analíticas e computacionais obtidas derivando-se a
equação 1.15 em paralelo.
2.6. Deslocamentos, velocidades e acelerações analíticas e
computacionais obtidos a partir da equação 1.7
Resultados analíticos e computacionais referentes à equação 1.7 podem ser
vistos nos gráficos abaixo.
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.05
0
0.05Deslocamentos, velocidades e acelerações analíticas e computacionais obtidos a partir da equação 1.7 (hold on e subplot)
Tempo [s]
Des
loca
men
to [
m]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1
-0.5
0
0.5
1
Tempo [s]
Vel
ocid
ade
[m/s
]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-10
-5
0
5
10
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m2/
s]
Figura 15 – Gráfico dos deslocamentos, velocidades e acelerações analíticas e computacionais
obtidas a partir da equação 1.7.
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2.7. Deslocamentos, velocidades e acelerações analíticas e
computacionais obtidos a partir da equação 1.15 (hold on e subplot)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.05
0
0.05Deslocamentos, velocidades e acelerações analíticas e computacionais obtidos a partir da equação 1.15 (hold on e subplot)
Tempo [s]
Des
loca
men
to [
m]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1
0
1
Tempo [s]
Vel
ocid
ade
[m/s
]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-10
0
10
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m2/
s]
Figura 16 – Gráfico dos deslocamentos, velocidades e acelerações analíticas e computacionais
obtidas a partir da equação 1.15 em paralelo.
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.05
0
0.05Deslocamentos, velocidades e acelerações analíticas e computacionais obtidos a partir da equação 1.15 (hold on e subplot)
Tempo [s]
Des
loca
men
to [
m]
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Tempo [s]
Vel
ocid
ade
[m/s
]
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
0
2
4
6
8
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m2/
s]
Figura 17 – Zoom do gráfico dos deslocamentos, velocidades e acelerações analíticas e
computacionais obtidas a partir da equação 1.15 em paralelo.
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2.8. Deslocamentos, velocidades e acelerações analíticas e
computacionais obtidos a partir das equações 1.7 e 1.15 (hold on e
subplot)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.05
0
0.05Deslocamentos, velocidades e acelerações analíticas e computacionais obtidos a partir das equações 1.7 e 1.15 (hold on e subplot)
Tempo [s]
Deslo
cam
ento
[m]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1
-0.5
0
0.5
1
Tempo [s]
Veloc
idade
[m/s
]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-10
-5
0
5
10
Tempo [s]
Acele
raçã
o [m
2/s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.05
0
0.05
Tempo [s]
Deslo
cam
ento
[m]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1
-0.5
0
0.5
1
Tempo [s]
Veloc
idade
[m/s
]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-10
-5
0
5
10
Tempo [s]
Acele
raçã
o [m
2/s]
Figura 18 – Gráfico dos deslocamentos, velocidades e acelerações analíticas e computacionais
obtidas a partir da equação 1.7 e 1.15 em paralelo.
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0.5 1 1.5
0.030.0350.04
0.045
Deslocamentos, velocidades e acelerações analíticas e computacionais obtidos a partir das equações 1.7 e 1.15 (hold on e subplot)
Tempo [s]
Des
loca
men
to [
m]
0.5 1 1.5
0.2
0.4
0.6
0.8
Tempo [s]
Vel
ocid
ade
[m/s
]
0.5 1 1.54
6
8
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m2/
s]
0.5 1 1.5
0.02
0.03
0.04
Tempo [s]
Des
loca
men
to [
m]
0.5 1 1.5
0.2
0.4
0.6
0.8
Tempo [s]V
eloc
idad
e [m
/s]
0.5 1 1.5
56789
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m2/
s]
Figura 19 – Gráfico dos deslocamentos, velocidades e acelerações analíticas e computacionais
obtidas a partir da equação 1.7 e 1.15 em paralelo (Zoom contínuo).
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CENTRO TECNOLÓGICO – CT
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VIBRAÇÕES DE SISTEMAS MECÂNICOS
0 0.5 1 1.5 2-0.05
0
0.05Deslocamentos, velocidades e acelerações analíticas e computacionais obtidos a partir das equações 1.7 e 1.15 (hold on e subplot)
Tempo [s]
Des
loca
men
to [
m]
0.70480.7050.70520.70540.7056
0.42
0.44
Tempo [s]
Vel
ocid
ade
[m/s
]
0.61 0.62 0.63
7
8
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m2/
s]
0 0.5 1 1.5 2-0.05
0
0.05
Tempo [s]
Des
loca
men
to [
m]
0.6702 0.6703 0.6704 0.6705
0.1340.1360.1380.14
0.142
Tempo [s]
Vel
ocid
ade
[m/s
]
0.62 0.64 0.66 0.68
8
8.5
9
Tempo [s]
Ace
lera
ção
[m2/
s]
Figura 20 – Gráfico dos deslocamentos, velocidades e acelerações analíticas e computacionais
obtidas a partir da equação 1.7 e 1.15 em paralelo (Zoom discreto).
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA – DEM
VIBRAÇÕES DE SISTEMAS MECÂNICOS
Laboratório 2
Exemplo: Objetivo
Esse trabalho consiste na simulação da resposta de um sistema mecânico
vibratório com amortecimento de 1 grau de liberdade para alguns valores de ksi
(fator de amortecimento) e de wn (freqüência angular natural), além da análise
de convergência e divergência da resolução de um sistema massa mola de 1
GDL sem amortecimento pelo método de Runge-Kutta de 4ª ordem com a
ajuda do software MatlLab. Grande parte do equacionamento foi feita em sala
de aula e o trabalho propõe a avaliação das possíveis respostas do sistema de
acordo com a variação do fator de amortecimento (estudo dos casos
criticamente amortecido, superamortecido e sub-amortecido), bem como a
análise do método de Runge-Kutta e sua convergência para a resolução do
problema sem amortecimento. Uma série de gráficos comentados a seguir
demonstra os resultados obtidos.
Modelo Matemático
Para a resolução da primeira parte do exercício, foram usadas as equações
(1.37), para o caso sub-amortecido, (1.41), para o caso superamortecido e
(1.44), para o caso criticamente amortecido, do material dado em sala, que
são:
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VIBRAÇÕES DE SISTEMAS MECÂNICOS
Sistema 1 GDL Casos Fator de AmortecimentoMassa
(kg)
Rigidez
(N/m)
Frequências
Naturais (Hz)
Criticamente
amortecido1 1 2 5 30 60 100
Superamortecido2
3
[1.001 1.01 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5]
[ 1.5 2.0 2.5 5 ]2
1600
1600
Sub-amortecido
4
5
6
7
8
9
10
[ 0.001 0.003 0.005 ]
[ 0.007 0.009 0.01 ]
[ 0.01 0.04 0.07 0.1 ]
[ 0.1 0.15 0.20 0.25 0.3]
[ 0.2 0.4 0.5 0.7 0.8 ]
[ 0.1 0.15 0.20 0.25 0.3]
[ 0.6 0.7 0.8 0.9 0.98]
2
2
2
2
2
2
2
1600
1600
1600
1600
1600
5 30 60 100
5 30 60 100
O programa ‘Lab2.m’ (em anexo) organiza os casos a serem resolvidos de
acordo com a tabela abaixo (dada pelo professor):
A função ‘funsolv.m’ é a responsável por separar o método de resolução de
acordo com a condição de amortecimento do sistema, resolvê-lo e plotá-lo.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
CENTRO TECNOLÓGICO – CT
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VIBRAÇÕES DE SISTEMAS MECÂNICOS
Várias cores diferentes foram usadas para que a visualização se torne mais
interativa e as condições são as seguintes:
dt = 0,0001 [s]
x0 = 0,020 [m]
v0 = 0,7 [m/s]
A condição de dt foi imposta, pois, após a análise da taxa de amostragem pelo
critério de Nyquist, notou-se que para dt = 0,0001 [s], ter-se-ia resultados
razoáveis.
Resultados e Discussões
A seguir apresenta-se uma seqüência de gráficos que demonstram os
resultados das simulações.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.350
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
Am
plitu
de [
m]
Tempo [s]
Sistema massa mola de 1 GDL criticamente amortecido
5 [Hz]
30 [Hz]60 [Hz]
100 [Hz]
Figura 1 – Resposta do sistema massa-mola-amortecedor criticamente amortecido (ksi = 1)
com m = 1 kg e fn variando.
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA – DEM
VIBRAÇÕES DE SISTEMAS MECÂNICOS
Fica muito claro que, mantidas as outras condições, ao aumentar-se a
freqüência natural, há uma diminuição no tempo de amortecimento do sistema.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
Am
plitu
de [
m]
Tempo [s]
Sistema massa mola de 1 GDL criticamente amortecido
5 [Hz]
30 [Hz]60 [Hz]
100 [Hz]
Figura 2 – Zoom da resposta do sistema massa-mola-amortecedor criticamente amortecido
(ksi = 1) com m = 1 kg e fn variando.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
Am
plitu
de [
m]
Tempo [s]
ksi = 1.001
ksi = 1.01
ksi = 1.1
ksi = 1.2ksi = 1.3
ksi = 1.4
ksi = 1.5
Figura 3 – Resposta do sistema massa-mola-amortecedor superamortecido (ksi > 1) com m = 1
kg, k = 1400 N/m e vários valores de ksi.
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VIBRAÇÕES DE SISTEMAS MECÂNICOS
0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
1
2
3
4
5
6
7
x 10-3
Am
plitu
de [
m]
Tempo [s]
ksi = 1.001
ksi = 1.01
ksi = 1.1
ksi = 1.2
ksi = 1.3
ksi = 1.4
ksi = 1.5
Figura 4 – Zoom da resposta do sistema massa-mola-amortecedor superamortecido (ksi > 1)
com m = 1 kg, k = 1400 N/m e vários valores de ksi.
Seguem agora os resultados para os casos sub-amortecidos.
0 20 40 60 80 100 120-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
Am
plitu
de [
m]
Tempo [s]
ksi = 0.001
ksi = 0.003
ksi = 0.005
Figura 5 – Resposta do sistema massa-mola-amortecedor sub-amortecido (ksi < 1) com m = 1
kg, k = 1400 N/m e vários valores de ksi.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
Am
plitu
de [
m]
Tempo [s]
ksi = 1.5
ksi = 2.0
ksi = 2.5
ksi = 5.0
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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
Am
plitu
de [
m]
Tempo [s]
ksi = 0.001
ksi = 0.003
ksi = 0.005
Figura 6 – Zoom da resposta do sistema massa-mola-amortecedor sub-amortecido (ksi < 1)
com m = 1 kg, k = 1400 N/m e vários valores de ksi.
0 5 10 15-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
Am
plitu
de [
m]
Tempo [s]
Sistema massa mola de 1 GDL subamortecido
ksi = 0.01
ksi = 0.04ksi = 0.07
ksi = 0.1
Figura 7– Rresposta do sistema massa-mola-amortecedor sub-amortecido (ksi < 1) com m = 1
kg, k = 1400 N/m e vários valores de ksi.
5 10 15 20 25 30 35
-0.01
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
Am
plitu
de [
m]
Tempo [s]
ksi = 0.001
ksi = 0.003
ksi = 0.005
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12x 10
-3
Am
plitu
de [
m]
Tempo [s]
Sistema massa mola de 1 GDL subamortecido
ksi = 0.1
ksi = 0.15
ksi = 0.20ksi = 0.25
ksi = 0.3
Figura 8 – Resposta do sistema massa-mola-amortecedor sub-amortecido (ksi < 1) com m = 1
kg, k = 1400 N/m e vários valores de ksi.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12x 10
-3
Am
plitu
de [
m]
Tempo [s]
ksi = 0.2
ksi = 0.4
ksi = 0.5ksi = 0.7
ksi = 0.8
Figura 9 – Resposta do sistema massa-mola-amortecedor sub-amortecido (ksi < 1) com m = 1
kg, k = 1400 N/m e vários valores de ksi.
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Nestes casos sub-amortecidos, percebe-se claramente que o fator de
amortecimento propicia uma resposta mais rápida do sistema em termos de
acomodação.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12x 10
-3
Am
plitu
de [
m]
Tempo [s]
Sistema massa mola de 1 GDL subamortecido
ksi = 0.10 ; fn = 5 [Hz]ksi = 0.15 ; fn = 5 [Hz]
ksi = 0.20 ; fn = 5 [Hz]
ksi = 0.25 ; fn = 5 [Hz]
ksi = 0.30 ; fn = 5 [Hz]ksi = 0.10 ; fn = 30 [Hz]
ksi = 0.15 ; fn = 30 [Hz]
ksi = 0.20 ; fn = 30 [Hz]ksi = 0.25 ; fn = 30 [Hz]
ksi = 0.30 ; fn = 30 [Hz]
ksi = 0.10 ; fn = 60 [Hz]
ksi = 0.15 ; fn = 60 [Hz]ksi = 0.20 ; fn = 60 [Hz]
ksi = 0.25 ; fn = 60 [Hz]
ksi = 0.30 ; fn = 60 [Hz]ksi = 0.10 ; fn = 100 [Hz]
ksi = 0.15 ; fn = 100 [Hz]
ksi = 0.20 ; fn = 100 [Hz]
ksi = 0.25 ; fn = 100 [Hz]ksi = 0.30 ; fn = 100 [Hz]
Figura 10 – Resposta do sistema massa-mola-amortecedor sub-amortecido (ksi < 1) com
m = 1 kg, para vários valores de ksi e freqüências naturais variadas.
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0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5x 10
-3
Am
plitu
de [
m]
Tempo [s]
Sistema massa mola de 1 GDL subamortecido
ksi = 0.10 ; fn = 5 [Hz]ksi = 0.15 ; fn = 5 [Hz]
ksi = 0.20 ; fn = 5 [Hz]
ksi = 0.25 ; fn = 5 [Hz]
ksi = 0.30 ; fn = 5 [Hz]ksi = 0.10 ; fn = 30 [Hz]
ksi = 0.15 ; fn = 30 [Hz]
ksi = 0.20 ; fn = 30 [Hz]ksi = 0.25 ; fn = 30 [Hz]
ksi = 0.30 ; fn = 30 [Hz]
ksi = 0.10 ; fn = 60 [Hz]
ksi = 0.15 ; fn = 60 [Hz]ksi = 0.20 ; fn = 60 [Hz]
ksi = 0.25 ; fn = 60 [Hz]
ksi = 0.30 ; fn = 60 [Hz]ksi = 0.10 ; fn = 100 [Hz]
ksi = 0.15 ; fn = 100 [Hz]
ksi = 0.20 ; fn = 100 [Hz]
ksi = 0.25 ; fn = 100 [Hz]ksi = 0.30 ; fn = 100 [Hz]
Figura 11 – Zoom da resposta do sistema massa-mola-amortecedor sub-amortecido (ksi < 1)
com m = 1 kg, para vários valores de ksi e freqüências naturais variadas.
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0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2
0
2
4
6
8
10
12x 10
-3
Am
plitu
de [
m]
Tempo [s]
Sistema massa mola de 1 GDL subamortecido
ksi = 0.60 ; fn = 5 [Hz]ksi = 0.70 ; fn = 5 [Hz]
ksi = 0.80 ; fn = 5 [Hz]
ksi = 0.90 ; fn = 5 [Hz]
ksi = 0.98 ; fn = 5 [Hz]ksi = 0.60 ; fn = 30 [Hz]
ksi = 0.70 ; fn = 30 [Hz]
ksi = 0.80 ; fn = 30 [Hz]ksi = 0.90 ; fn = 30 [Hz]
ksi = 0.98 ; fn = 30 [Hz]
ksi = 0.60 ; fn = 60 [Hz]
ksi = 0.70 ; fn = 60 [Hz]ksi = 0.80 ; fn = 60 [Hz]
ksi = 0.90 ; fn = 60 [Hz]
ksi = 0.98 ; fn = 60 [Hz]ksi = 0.60 ; fn = 100 [Hz]
ksi = 0.70 ; fn = 100 [Hz]
ksi = 0.80 ; fn = 100 [Hz]
ksi = 0.90 ; fn = 100 [Hz]ksi = 0.98 ; fn = 100 [Hz]
Figura 12 – Resposta do sistema massa-mola-amortecedor sub-amortecido (ksi < 1) com
m = 1 kg, para vários valores de ksi e freqüências naturais variadas.
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0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
3
4
5
6
7
8
9x 10
-3
Am
plitu
de [
m]
Tempo [s]
Sistema massa mola de 1 GDL subamortecido
ksi = 0.60 ; fn = 5 [Hz]ksi = 0.70 ; fn = 5 [Hz]
ksi = 0.80 ; fn = 5 [Hz]
ksi = 0.90 ; fn = 5 [Hz]
ksi = 0.98 ; fn = 5 [Hz]ksi = 0.60 ; fn = 30 [Hz]
ksi = 0.70 ; fn = 30 [Hz]
ksi = 0.80 ; fn = 30 [Hz]ksi = 0.90 ; fn = 30 [Hz]
ksi = 0.98 ; fn = 30 [Hz]
ksi = 0.60 ; fn = 60 [Hz]
ksi = 0.70 ; fn = 60 [Hz]ksi = 0.80 ; fn = 60 [Hz]
ksi = 0.90 ; fn = 60 [Hz]
ksi = 0.98 ; fn = 60 [Hz]ksi = 0.60 ; fn = 100 [Hz]
ksi = 0.70 ; fn = 100 [Hz]
ksi = 0.80 ; fn = 100 [Hz]
ksi = 0.90 ; fn = 100 [Hz]ksi = 0.98 ; fn = 100 [Hz]
Figura 13 – Zoom da resposta do sistema massa-mola-amortecedor sub-amortecido (ksi < 1)
com m = 1 kg, para vários valores de ksi e freqüências naturais variadas.
Estes últimos gráficos são interessantes pois mostram todos os casos
subamortecidos de maneira acoplada no mesmo gráfico.
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Laboratório 3
Modelo Matemático
Na segunda parte do exercício usou-se o Método de Runge-Kutta de 4ª ordem
para a solução de equações diferenciais. Partindo de um sistema massa-mola
de massa m e constante de rigidez da mola k, escrevemos:
Daí, monta-se a matriz característica para a solução:
Essa matriz permite concluir que:
Que ratifica a equação (II), e que:
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É, absolutamente, verdade.
O programa ‘mola.m’ e a função ‘eval_mola.m’ resolvem o problema em
conjunto para a condições:
m = 30 [kg]
k = 1200 [N/m]
x0 = 0,030 [m]
v0 = 0,020 [m/s]
Vale lembrar que, neste caso, há a preocupação com a convergência do
resultado, dependente do número de pontos a serem calculados.
Resultados e Discussões
A convergência neste caso é um fator crítico. O primeiro resultado exposto aqui
é no caso de número de pontos igual a 60.000 e ainda assim é possível notar
uma leve divergência (a amplitude aumenta com o tempo). Nota-se que quanto
maior o número de pontos, menor esse efeito da divergência, sendo ideal então
que se estabeleça uma tolerância no erro do resultado.
A seguir apresenta-se uma seqüência de gráficos que demonstram os
resultados das simulações.
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.05
0
0.05Resposta de um sistema massa-mola de 1GDL
Des
loca
men
to [
m]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Vel
ocid
ade
[m/s
]
Tempo [s]
Figura 1 – Resposta de um sistema massa-mola pelo método de Runge-Kutta de 4ª ordem
(60.000 pontos).
1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.0396
0.0398
0.04
0.0402
Resposta de um sistema massa-mola de 1GDL
Des
loca
men
to [
m]
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
0.251
0.252
0.253
0.254
Vel
ocid
ade
[m/s
]
Tempo [s]
Figura 2 – Zoom dos picos da resposta de um sistema massa-mola pelo método de Runge-
Kutta de 4ª ordem (60.000 pontos).
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.1
-0.05
0
0.05
0.1Resposta de um sistema massa-mola de 1GDL
Des
loca
men
to [
m]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.5
0
0.5
Vel
ocid
ade
[m/s
]
Tempo [s]
Figura 3 – Resposta de um sistema massa-mola pelo método de Runge-Kutta de 4ª ordem
(150 pontos).
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.05
0
0.05Resposta de um sistema massa-mola de 1GDL
Des
loca
men
to [
m]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Vel
ocid
ade
[m/s
]
Tempo [s]
Figura 4 – Resposta de um sistema massa-mola pelo método de Runge-Kutta de 4ª ordem
(1500 pontos).
Nota-se que nestes últimos gráficos a tendência é que quando se aumenta o
número de pontos, se tenha menor erro (convergência).
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Laboratório 4
Implementação computacional dos:
4.1 ) Exemplos 2.1 – 2.2 e 2.3; e
4.2) Efeitos : Batimento e Ressonância
0 5 10 15 20 25-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03Exemplo 2.1
Tempo [s]
Am
plitu
de [
m]
w = 2*wn
Figura 1 – Resposta de um sistema vibratório de um sistema massa-mola do exemplo 2.1.
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0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015Exemplo 2.2
Am
plitu
de [
m]
Tempo [s]
Figura – Resposta de um sistema vibratório de um sistema massa-mola do exemplo 2.2.
2 4 6 8 10 12 14 16 18
-0.05
0
0.05
Am
plitu
de [
m]
Exemplo 2.3
Homogenêo
2 4 6 8 10 12 14 16 18
-1
0
1
Tempo [s]
Am
plitu
de [
m]
Geral
Figura 3 – Resposta de um sistema vibratório de um sistema massa-mola do exemplo 2.3.
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0 2 4 6 8 10 12-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 2 4 6 8 10 12-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Batimento
Tempo [s]
Am
plitu
de [
m]
x
2*fo/((wn2)-(w2))*sin((wn-w)*t/2)
Figura 4 – Resposta de um sistema vibratório em batimento.
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Ressonância
Tempo [s]
Am
plitu
de [
m]
x
fo*t/(2*w)
Figura 5 – Resposta de um sistema vibratório em ressonância.