UNEB – UNIÃO EDUCACIONAL DE BRRASÍLIA

GESTÃO DE FINANÇAS – MÓDULO ESPECÍFICO EM CONTROLADORIA

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Walber Medrado do Amaral

BRASÍLIA – DF

2010

SUMÁRIO

1. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO...............................................................................................3

1.1 SISTEMA DE AMORTIÇÃO CONTANTE – SAC................................................................4

1.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (PRICE) – SAF...................................................6

1.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO – SAA..........................................................9

1.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO ALEMÃO........................................................................10

1.5 SITEMA DE AMORTIZÇÃO MISTO – SAM....................................................................11

1.6 OUTROS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO EXISTENTES...................................................14

1.6.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE – SACRE..............................................14

1.6.2 SISTEMA DO MONTANTE....................................................................................15

2. TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR.....................................................................................16

3. FLUXO DE CAIXA.................................................................................................................18

3.1 EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA.........................................................................24

4. BIBLIOGRAFIA.....................................................................................................................26

2

1. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

A indisponibilidade de recursos para fazer um investimento leva o indivíduo a

contrair um empréstimo ou financiamento. Para honrar este compromisso ele pode

recorrer a diversas formas de pagamento, que recebem o nome de Sistema de

Amortização.

A amortização pode ser entendida como, um processo de extinção de uma dívida

através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento,

de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do capital ou do

pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que

juros são sempre calculados sobre o saldo devedor.

Os principais sistemas de amortização são:

Sistema de Amortização Constante – SAC

Sistema de Amortização Francês (PRICE) – SAF

Sistema de Amortização Americano – SAA

Sistema de Amortização Alemão

Sistema de Amortização Misto – SAM

Logo após a explicação dos principais sistemas de amortização será

demonstrado um resumo breve dos demais sistemas de amortização.

Segundo Antes do estudo destes sistemas, é importante que sejam definidos os

principais termos empregados nas operações de empréstimos e financiamentos que

são eles:

3

Encargos (Despesa) Financeiros: Representam os juros da operação

caracterizando-se como custo para o devedor e retorno para o credor. Os

encargos financeiros podem ser prefixados (desmembramento em juros e

correção monetária) ou pós-fixados (taxa de juros contratada é a taxa

definida como real);

Amortização: Pagamento do capital emprestado, realizado através de

prestações periódicas, mensais, bimestrais, trimestrais, etc.;

Saldo Devedor: Representa o valor do principal da dívida, em um

determinado momento, após a dedução das amortizações já efetuadas

pelo mutuário;

Prestação: Amortização mais encargos financeiros devidos em

determinado período de tempo.

Carência: Deferimento eventualmente acordado no início dos

pagamentos do empréstimo ou financiamento. Registre-se que, os

encargos financeiros, dependendo do estabelecido contratualmente,

podem ocorrer após o prazo do deferimento, juntamente com o principal.

1.1 SISTEMA DE AMORTIÇÃO CONTANTE – SAC

Pode ser definido como um sistema de amortização de uma dívida em prestações

periódicas, sucessivas e decrescentes em progressões aritméticas, em que o valor da

prestação é composto de uma parcela de juros uniformemente decrescente e a outra é de

amortização que permanece constante.

O sistema bancário utiliza esse sistema, geralmente, para empréstimos de longo

prazo.

4

Expressões de cálculo:

Amortização= PVn

J t=PVn

×(n−t+1 )×i

PMT t=PVn

×[1+(n−t +1)×i ]

Onde: PV = principal (valor do empréstimo/financiamento)

n = número de prestações

t = período

Jt = juros do período

PMT = prestação do período

Exemplo:

Uma instituição financeira realizou uma operação de empréstimo no sistema de

amortização constante - SAC no valor de R$ 100.000,00 nas seguintes condições:

Prazo: 10 anos sem carência; Taxa de juros efetiva anual: 25%. Construa uma tabela

com o valor das amortizações anuais, dos juros anuais e das prestações anuais até a

quitação do empréstimo.

Amortização=100 . 000 , 0010 ,00

=10 .000 , 00

J1=100 .000 ,0010 ,00

×(10 ,00−1 ,00+1,00 )×0 ,25=25.000 ,00 e assim por diante até o

período 10.

5

PMT 1=100 . 000 , 0010 ,00

×[ 1+(10 , 00−1 , 00+1 ,00)×0 , 25 ]=35 . 000 , 00e assim por diante até

o período 10.

Tabela SAC

Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação0 100.000,00 - -1 90.000,00 10.000,00 25.000,00 35.000,002 80.000,00 10.000,00 22.500,00 32.500,003 70.000,00 10.000,00 20.000,00 30.000,004 60.000,00 10.000,00 17.500,00 27.500,005 50.000,00 10.000,00 15.000,00 25.000,006 40.000,00 10.000,00 12.500,00 22.500,007 30.000,00 10.000,00 10.000,00 20.000,008 20.000,00 10.000,00 7.500,00 17.500,009 10.000,00 10.000,00 5.000,00 15.000,0010 - 10.000,00 2.500,00 12.500,00

Total - 100.000,00 137.500,00 237.500,00

1.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (PRICE) – SAF

Também conhecido como “Sistema de Prestações Constantes” ou “Tabela

Price“, recebeu esse nome em homenagem ao economista inglês Richard Price, que

incorporou a teoria de juro composto às amortizações de empréstimo. O nome de

Sistema de Amortização Francês dá-se pelo fato de que foi utilizado pela primeira vez

na França, no século XIX.

Esse sistema caracteriza-se pelo pagamento do empréstimo com prestações

iguais, periódicas e sucessivas. É utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio

em geral. As prestações pagas são compostas por uma parcela de juros e outra de

amortização. Como as prestações são constantes à medida que a dívida diminui os juros

também diminuem e, conseqüentemente, as quotas de amortização aumentam.

6

Para um melhor entendimento explicaremos a expressões de cálculo utilizando o

exemplo abaixo:

Um indivíduo pegou um empréstimo no valor de R$ 100.000,00 com um prazo

de 10 anos sem carência utilizando uma Taxa: 25% a.a.

Usando a fórmula séries de pagamentos iguais com termos postecipados:

PMT = PV x FRC (i, n) PMT = 100.000,00 x 0,28007 = R$ 28.007,00

Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação0 100.000,00 - - -1 96.993,00 3.007,00 25.000,00 28.007,002 93.234,25 3.758,75 24.248,25 28.007,003 88.535,81 4.698,44 23.308,56 28.007,004 82.662,76 5.873,05 22.133,95 28.007,005 75.321,46 7.341,30 20.665,69 28.007,006 66.144,82 9.176,64 18.830,37 28.007,007 54.674,03 11.470,79 16.536,20 28.007,008 40.335,54 14.338,49 13.668,50 28.007,009 22.412,42 17.923,12 10.083,88 28.007,0010 8,52 22.403,89 5.603,10 28.007,00

Total - 99.991,47 180.078,50 280.070,00

Amortização = PMT – J

Amortização1= PMT – J1 Amortização1 = PMT – (PV0 x i)

Que nada mais é que a fórmula da P.G. onde:

an = a1 . q n – 1

Pois: 3.007,00 x 1,25 = 3.758,75

3.758,75 x 1,25 = 4.698,44

7

Como o crescimento da amortização é exponencial, o valor da amortização em

um determinado momento t é calculado:

Amortt = Amort1 x (1 + i)t – 1

Logo: Amort6 = 3.007, 00 x (1,25)5 = 3.007,00 x 3,05176 = 9.176,64

Saldo Devedor (SD): Calculado pela diferença entre o valor devido no início do

intervalo de tempo e a amortização do período. Por conseguinte:

SDt = PMT x FVA (i, n – t )

SD7 = 28.007,00 x FVA (25%, 10 – 7) = 28.007,00 x 1,952 = 54.669,64

Juros ( J): Incide sobre o saldo devedor apurado no final de cada período

imediatamente anterior:

J1 = SD0 x i = PV x i

J2 = SD1 x i = (PV – amort1) x i

J3 = SD2 x i = (PV – amort1 – amort2) x i

J4 = SD3 x i = (PV – amort1 – amort2 – amort3) x i

Jt = SDt –1 x i

Calcular:

1. SD3, SD5 e SD9 .

2. Calcular os juros nos períodos 4, 6 e 10, baseados nos saldos devedores encontrados

no item anterior.

Solução:

SD3 = PMT x FVA (25%, 10 – 3) = PMT x FVA (25%, 7)

8

28.007,00 x 3,16114 = 88.534,05

SD5 = PMT x FVA (25%, 10 – 5) = PMT x FVA (25%, 5)

28.007,00 x 2,68928 = 75.318,66

SD9 = PMT x FVA (25%, 10 – 9) = PMT x FVA (25%, 1)

28.007,00 x 0,80 = 22.405,60

J4 = 88.534,05 x 0,25 = 22.133,51

J6 =75.318,66 x 0,25 = 18.829,66

J10 = 22.405,60 x 0,25 = 5.601,40

1.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO – SAA

No Sistema de Amortização Americano – SAA o valor do empréstimo ou

financiamento é quitado de uma só vez, no final do período, sendo os juros pagos

periodicamente.

Para um melhor entendimento explicaremos a expressões de cálculo utilizando o

exemplo abaixo:

Um indivíduo pegou um empréstimo no sistema de amortização americano no

valor de R$ 100.000,00 com um período de 10 anos sem carência a uma taxa de 25%

a.a.

Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestações0 100.000,00 - - -1 100.000,00 - 25.000,00 25.000,002 100.000,00 - 25.000,00 25.000,003 100.000,00 - 25.000,00 25.000,00

9

4 100.000,00 - 25.000,00 25.000,005 100.000,00 - 25.000,00 25.000,006 100.000,00 - 25.000,00 25.000,007 100.000,00 - 25.000,00 25.000,008 100.000,00 - 25.000,00 25.000,009 100.000,00 - 25.000,00 25.000,0010 100.000,00 100.000,00 25.000,00 125.000,00

Total - 100.000,00 250.000,00 350.000,00

Fundo de amortização:

O devedor, paralelamente ao PAA, pode constituir um fundo de liquidez ou

amortização, capaz de liquidar o valor da amortização única, no final do período.

A título ilustrativo, supondo o fundo de liquidez em 10 anos a mesma taxa de

25% aa.:

PMT = FV x FFC (25%, 10) = 100.000,00 x 0,03007 = 3.007,00

1.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO ALEMÃO

O sistema Alemão consiste em liquidar uma dívida onde os juros são pagos

antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde

aos juros cobrados no momento da operação financeira.

É necessário conhecer o valor de cada pagamento P e os valores das amortizações Ak,

k=1,2,3,...,n.

Uso comum: Alguns financiamentos.

Fórmulas necessárias: Para k=1,2,...,n.

10

A prestação mensal do financiamento pode ser calculada com as fórmulas acima.

P = (300.000×0,04)÷[1-(1-0,04)5]=64.995,80

A1= 64.995,80 × (1-0,04)4 = 55.203,96

A2 = 55.203,96 ÷ (1-0,04) = 57.504,13

A3 = 57.504,13 ÷ (1-0,04) = 59.900,13

A4 = 59.900,13 ÷ (1-0,04) = 62.395,97

A5 = 62.395,97 ÷ (1-0,04) = 64.995,80

SISTEMA ALEMÃO

Período Juros Amortização do saldo devedor Pagamento Saldo devedor0 12.000,00 0 12.000,00 300.000,001 9.791,84 55.203,96 64.995,80 244.796,042 7.491,68 57.504,13 64.995,80 187.291,913 5.095,67 59.900,13 64.995,80 127.391,784 2.599,83 62.395,97 64.995,80 64.995,805   64.995,80 64.995,80 0

Totais 36.979,02 300.000,00 336.979,02  

1.5 SITEMA DE AMORTIZÇÃO MISTO – SAM

O Sistema de Amortização misto – SAM foi desenvolvido originalmente para as

operações de financiamento do Sistema Financeiro de Habitação, onde cada prestação

(pagamento) é a média aritmética das prestações respectivas no Sistema Price e no

Sistema de Amortização Constante (SAC).

PSAM = (PPrice + PSAC) ÷ 2

Período PSAC PPrice PSAM

1 72.000,00 67.388,13 69.694,06

2 69.600,00 67.388,13 68.494,07

3 67.200,00 67.388,13 67.294,07

4 64.800,00 67.388,13 66.094,07

11

5 62.400,00 67.388,13 64.894,07

Período Juros Amortização do saldo devedor Pagamento Saldo devedor

0 0 0 0 300.000,00

1 12.000,00 57.694,06 69.694,06 242.305,94

2 9.692,24 58.801,83 68.494,07 183.504,11

3 7.340,16 59.953,91 67.294,07 123.550,20

4 4.942,01 61.152,06 66.094,17 62.398,14

5 2.495,93 62.398,14 64.894,07 0

Totais 36.470,34 300.000,00 336.470,94

Exemplo:

Uma instituição financeira concedeu a um indivíduo um crédito no valor de R$

18.000,00, para ser pago em 08 parcelas iguais, com vencimento da 1a parcela em 30

dias e periodicidade mensal de amortização e juros de 1,50% a.m.. Então:

a) Determine o valor da parcela a ser paga mensalmente;

b) Determine o valor de cada parcela de juros a ser paga e o valor a ser amortizado

mensalmente;

• Prestações Mistas

A questão principal envolvida nesse problema é a do pagamento de um crédito

concedido pelo Banco no valor de R$ 18.000,00. A taxa cobrada pela instituição era de

1,50% a.m. e o prazo para liquidação total do débito era de 08 meses. A priori, podemos

afirmar que nesse período, o Banco deveria receber a quantia de R$ 20.276,86 ( R$

18.000,00 pelo principal e R$ 2.276,86 pelos juros). Uma das formas existentes de

efetuar tal pagamento é utilizar uma modalidade de financiamento denominada Sistema

de Amortização Mista, que é uma composição dos sistemas Price e Amortizações

Constantes.

12

O financiamento nesse sistema é pago em prestações decrescentes, cada uma

sendo subdividida em duas parcelas:

a) juros do período (calculados sobre o saldo da divida no início do período ) e,

b) amortização do principal (correspondente ao pagamento parcial ou integral

do principal e obtida a partir da diferença do valor da prestação e o valor dos juros no

período).

Resumindo, no sistema de Amortização Mista, para qualquer prestação é valida

a relação abaixo:

PRESTAÇÂO = JUROS + AMORTIZAÇÂO

Dessa maneira ao longo do tempo, os juros vão decrescendo ao passo que as

amortizações vão crescendo, de tal modo que a soma dessas duas parcelas se mantenha

sempre igual ao valor da prestação. Sendo assim, o próximo passo é determinar qual o

valor da parcela a ser pago mensalmente, de tal maneira, que efetuando esses 08

pagamentos mensais isso seja equivalente ao pagamento integral do montante da divida

daqui a 08 meses. Logo podemos obter a fórmula matemática para o cálculo do valor da

parcela PSAM:

PSAM = (PPrice + PSAC) ÷ 2

Logo, encontramos o valor para P1, que é de R$ 2.462,26. A partir do valor

encontrado para a parcela, podemos construir uma tabela denominada tabela SAM

utilizando as definições impostas ao sistema e descritas nos itens (a) e (b) acima:

TABELA SAM

Parcela

Valor da parcela Juros Amortização Saldo devedor

13

1a 2.462,26 270,00 2.192,26 15.807,75

2a 2.445,38 237,12 2.208,26 13.599,48

3a 2.428,51 203,99 2.224,51 11.374,97

4a 2.411,63 170,62 2.241,01 9.133,96

5a 2.394,76 137,01 2.257,75 6.876,22

6a 2.377,88 103,14 2.274,74 4.601,48

7a 2.361,01 69,02 2.291,98 2.309,50

8a 2.344,13 34,64 2.309,49 -

A soma das capitalizações de cada parcela é dada pela expressão:

S = 2.462,26 (1+0,015)7 + 2.445,26 (1+0,015)6 + ... + 2.344,13= 20.276,86

que corresponde ao montante do valor emprestado de R$ 18.000,00 capitalizados

mensalmente por um período de 08 meses.

• Sobre o valor de Amortização

A partir da relação principal parcela = juros + amortização, podemos escrever que:

Ck = C1 ( 1+ i)k e Bk = B1 = B2 =................=Bn= V/n, onde Ck e Bk correspondem

respectivamente aos valores amortizados na k-ésima parcela, nos sistemas Price e SAC.

1.6 OUTROS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO EXISTENTES

A seguir serão demonstrados de forma resumida outros dois sistemas de amortização utilizados no mercado brasileiro.

1.6.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE – SACRE

Atualmente utilizado pela Caixa Econômica Federal na concessão de

financiamentos para a aquisição de terrenos e da casa própria. Esse tipo de plano de

amortização tende a evitar o aparecimento do resíduo final. A dinâmica desse sistema é

que o saldo devedor deverá ser refinanciado periodicamente conforme a seguinte regra:

14

a) A prestação P é mantida constante durante no primeiro ano (dois anos em

geral);

b) A prestação é recalculada anualmente de acordo com o SAC, com base no

Saldo devedor existente;

c) Valores pós-fixados (simulação com a TR de 0,5 % a.m.).

1.6.2 SISTEMA DO MONTANTE

Conforme você pode ver na figura 47 no sistema do montante há um único

pagamento (FV) ao final da operação que é a soma do principal e dos juros acumulados.

Os cálculos resumem-se à aplicação das fórmulas de juros compostos.

FV =SDi1×(1+i)n=SDi1+J

FV =SDi1×FVF(i %;n )

2. TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR

15

A taxa interna de retorno é a taxa de juros que iguala, em determinado

momento do tempo, o valor presente das entradas com as saídas previstas de caixa. A

taxa interna de retorno (TIR ou IRR) representa a rentabilidade gerada por

determinado investimento (muito utilizada com um dos indicadores chave em estudos

de análise de viabilidade), ou seja, representa uma taxa de juro tal, que se o capital

investido tivesse sido colocada a essa taxa, obteríamos exatamente a mesma taxa de

rentabilidade final.

Por outras palavras, a TIR representa uma taxa que se utilizada como taxa de

desconto, torna o Valor Atual Líquido igual a zero. A partir do momento em que a

rentabilidade dos projetos de investimento seja conhecida, o critério de decisão sobre

o investimento consiste simplesmente em aceitar os que apresentam uma TIR

superior ao custo de financiamento acrescido de uma determinada taxa de risco que

lhes esteja associada.

O conceito de taxa interna de retorno é muito importante em análise de

investimentos, e por isso precisa ser bem entendido. A TIR é definida como sendo a

taxa de juros que torna nulo o valor presente de um fluxo de caixa. Geralmente, adota-se

a data de início da operação como a data focal de comparação dos fluxos de caixa. Essa

definição nos leva a seguinte expressão algébrica:

∑k=1

n PMT n

(1+i)n−S0=0

Colocando essa expressão em fórmulas de juros compostos, tem-se:

16

PMT 1

(1+i)+

PMT 2

(1+i)2+. ..+

PMT n

(1+i )n−S0=0

A taxa interna de retorno é a raiz dessa equação e seu cálculo é, usualmente,

feito com o auxílio de calculadoras financeiras ou planilhas eletrônicas; na ausência

destas, pode-se utilizar o método de tentativa e erro que consiste em experimentar

diversas taxas de juros até que se identifique aquela que produza a condição de

igualdade mencionada.

O uso da taxa interna de retorno é dificultado quando o fluxo de caixa apresenta

mais de uma mudança de sinal (fluxos de caixa não convencionais) porque nesses casos

pode não haver solução para a equação ou mesmo pode haver várias soluções.

Exemplo:

Calcule a taxa interna de retorno para o seguinte fluxo de caixa: S0=1.000,00;

PMT1=400,00; PMT2=400,00; PMT3=400,00. Períodos em meses.

Sumário de dados: S0=1.000,00; PMT1=400,00; PMT2=400,00; PMT3=400,00,

IRR=?

Solução: aplicar a definição de TIR,

PMT 1

(1+i)+

PMT 2

(1+i)2+. ..+

PMT 3

(1+i )3=S0

Substituindo os valores dados no enunciado vem,

400(1+i)

+400

(1+ i)2+ .. .+400

(1+i)3=1 . 000

17

A solução dessa equação nos dá como resposta 9,70% a.m. que é a TIR (IRR)

desse fluxo de caixa.

3. FLUXO DE CAIXA

Fluxo de Caixa é um registro ou projeção de uma seqüência de movimentações

financeiras ao longo do tempo, podendo ser apresentado em forma de tabela ou gráfico

como uma previsão de entradas e saídas de uma empresa, família, ou de um empréstimo

isolado. Para analise de um fluxo de caixa é fundamental uma taxa de juros e os

períodos bem definidos.

O principal objetivo do fluxo de caixa é fornecer informações para a tomada de

decisões a partir de uma visão futura dos recursos financeiros que integram suas contas.

Por convenção, em representações gráficas de um fluxo de caixa, setas para cima

representam entrada e setas para baixo representam saída de recursos. Essa

representação ao longo do tempo pode ser feita através do seguinte diagrama:

No âmbito empresarial, O Fluxo de Caixa é um instrumento de controle que tem

por objetivo auxiliar o empresário a tomar decisões sobre a situação financeira da

empresa. Consiste em um relatório gerencial que informa toda a movimentação de

18

dinheiro (entradas e saídas), sempre considerando um período determinado, que pode

ser uma semana, um mês etc.

O relatório de fluxo pode ser utilizado para:

Planejar e controlar as entradas e saídas de caixa num período de tempo

determinado.

Auxiliar o empresário a tomar decisões antecipadas sobre a falta ou

sobra de dinheiro na empresa.

Verificar se a empresa está trabalhando com aperto ou folga financeira

no período avaliado.

Verificar se os recursos financeiros são suficientes para tocar o

negócio em determinado período ou se há necessidade de obtenção de

capital de giro.

Planejar melhores políticas de prazos de pagamentos e recebimentos.

Avaliar a capacidade de pagamentos antes de assumir compromissos.

Conhecer previamente (planejamento estratégico) os grandes números do

negócio e sua real importância no período considerado.

Avaliar se o recebimento das vendas é suficiente para cobrir os gastos

assumidos e previstos no período considerado.

Avaliar o melhor momento para efetuar as reposições de estoque em

função dos prazos de pagamento e da disponibilidade de caixa.

Avaliar o momento mais favorável para realizar promoções de vendas

visando melhorar o caixa do negócio.

Os Fluxos de Caixa podem ser representados sob dirferentes formas e tipos,

exigindo cada um deles um tratamento específico em termos de formulações.

19

Esquematicamente, os fluxos de caixa são identificados com base na seguinte

classificação:

Valor Presente de um Fluxo de Caixa: É a soma dos valores atuais de cada termo

que compõe o fluxo analisado na data zero.

PV =PMT×1−(1+i )−n

i

Valor Futuro de um Fluxo de Caixa: É a soma dos montantes de cada um de seus

termos anteriores relativos a uma determinada data.

FV =PMT×(1+i)n−1

i

20

Como forma de exemplo observe o diagrama de fluxo de caixa a seguir:

O diagrama da figura acima, por exemplo, representa um projeto que envolve

investimento inicial de 800, pagamento de 200 no terceiro ano, e que produz receitas de

500 no primeiro ano, 200 no segundo, 700 no quarto e 200 no quinto ano.

Convenção: dinheiro recebido → flecha para cima → valor positivodinheiro pago → flecha para baixo → valor negativo

Vamos agora considerar o seguinte fluxo de caixa, onde C0, C1, C2, C3, ..., Cn são

capitais referidos às datas, 0, 1, 2, 3, ..., n para o qual desejamos determinar o valor

presente (PV).

O problema consiste em trazer todos os capitais futuros para uma mesma data de

referencia. Neste caso, vamos trazer todos os capitais para a data zero. Do diagrama de

fluxo de caixa visto acima, concluímos que o valor presente - PV - do fluxo de caixa

será:

Esta fórmula pode ser utilizada como critério de escolha de alternativas,

conforme podemos ver nos exercícios a seguir.

Exercício 01: Numa loja de veículos usados, são apresentados ao cliente dois

planos para pagamento de um carro:

21

Plano A: dois pagamentos, um de $ 1.500,00 no final do sexto mês e outro de $

2.000,00 no final do décimo segundo mês.

Plano B: três pagamentos iguais de $ 1.106,00 de dois em dois meses, com início

no final do segundo mês.

Sabendo-se que a taxa de juros do mercado é de 4% a.m., qual o melhor plano de

pagamento?

SOLUÇÃO :

Inicialmente, devemos desenhar os fluxos de caixa correspondentes:

PLANO A:

PLANO B:

Teremos para o plano A:

Para o plano B, teremos:

22

Como o plano A nos levou a um menor valor atual (ou valor presente), concluímos que

este plano A é mais atraente do ponto de vista do consumidor.

Exercício 02: Um equipamento é vendido à vista por R$ 50.000,00 ou a prazo,

com entrada de $ 17.000,00 mais três prestações mensais iguais a R$ 12.000,00 cada

uma, vencendo a primeira um mês após a entrada. Qual a melhor alternativa para o

comprador, se a taxa mínima de atratividade é de 5% a.m.?

SOLUÇÃO:

Vamos desenhar os fluxos de caixa:

À vista:

À prazo:

Vamos calcular o valor atual (ou valor presente PV) para esta alternativa:

Como o valor atual da alternativa a prazo é menor, a compra a prazo neste caso, é a

melhor alternativa, do ponto de vista do consumidor.

Exercício 03: Um equipamento pode ser adquirido pelo preço de R$ 50.000,00 à

vista ou, a prazo conforme o seguinte plano:

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Entrada de 30% do valor à vista, mais duas parcelas, sendo a segunda 50%

superior à primeira, vencíveis em quatro e oito meses, respectivamente. Sendo 3% a.m.

a taxa de juros do mercado, calcule o valor da última parcela.

SOLUÇÃO:

Teremos:

Resolvendo a equação acima, obtemos x = 19013,00

Portanto, o valor da prestação é R$19013,00.

3.1 EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA

Dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes se, a uma determinada taxa de juros, seus valores atuais forem iguais. As expressões que traduzem a equivalência de fluxo de caixa são:

PV = FV

(1+i)n

PV=PMT×((1+ i)n−1

i×(1+i )n )

A metodologia de equivalência de fluxos de caixa é utilizada para a comparação de fluxos de caixa e a determinação de planos de pagamentos alternativos.

Para um melhor entendimento, exemplificaremos abaixo essa comparação:

24

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2.0004.000

4.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1.387,76

F2

Exemplo 01: Os fluxos de caixa F1 e F2 são equivalentes?

SOLUÇÃO:

i = 5% a.m.

Para F1 = F2 é necessário que PV1 = PV2

PV 1=2000

(1+0 , 05)2+4000

(1+0 , 05 )5+6000

(1+0 , 05)8

PV1 = 1904,76 + 3628,12 + 5442,18

PV1 = 10.715,91

PV 2=1387 ,76×( (1+0 , 05)10−1

0 , 05×(1+0 , 05 )10 )=10 .715 , 91

Resposta: Os fluxos de caixa F1 e F2 possuem o mesmo principal, ou seja, são equivalentes.

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F1

4. BIBLIOGRAFIA

Vieira Sobrinho, José Dutra – Matemática Financeira – Ed. Atlas – 1997.

Faria, Rogério Gomes de – Matemática Comercial e Financeira – 5ª ed. – Ed.Makron Books – 2000.

Mathias,Washington F. & Gomes, José M. - Matemática Financeira - Ed. Atlas 1995.

Assaf Neto, Alexandre – Matemática Financeira e suas aplicações – 4ª ed. – Ed. Atlas – 1998.

Samanez, Carlos P. – Matemática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos – 2ª ed. – Ed. Makron Books – 1999

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