Trabalho de limite cópia 4
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FACULDADES INTEGRADAS CLARETIANAS HENRIQUE BATISTA DA SILVA
CLCULO: LIMITE E DERIVADA
SANTA GERTRUDES 2012
RESUMOEste trabalho tem como intuito fazer uma breve introduo sobre o conceito de limite e como calcul-lo. Veremos uma definio intuitiva, a definio formal, continuidade de limite, abordaremos tambm um pouco sobre taxa de variao, pois todos esses contedos so fundamentais para o entendimento de derivada, que ser abordado com mais detalhes. Palavras-chave: Limite. Derivada. Continuidade. Clculo. Taxa de Variao.
SUMRIO1 LIMITE...................................................................................................................... 4 1.1 NOO INTUITIVA ........................................................................................... 4 1.2 DEFINIO FORMAL ....................................................................................... 6 1.2.1 PROPRIEDADES OPERATRIAS ............................................................ 8 1.3 CONTINUIDADE ............................................................................................... 8 2 TAXA DE VARIAO ............................................................................................ 11 2.1 DEFINIO..................................................................................................... 11 2.2 NOO INTUITIVA ......................................................................................... 11 2.3 INTERPRETAO GEOMTRICA ................................................................. 12 2.4 TAXA DE VARIAO INSTANTNEA ........................................................... 13 2.4.1 NOO INTUITIVA ................................................................................. 13 2.4.2 DEFINIO ............................................................................................. 14 2.4.3 INTERPRETAO GEOMTRICA ......................................................... 15 3 DERIVADA ............................................................................................................. 16 3.1 DEFINIO..................................................................................................... 16 3.2 DEFINIO DE DERIVADA EM UM PONTO ................................................. 17 3.3 DERIVADA E CONTINUIDADE ...................................................................... 18 3.4 TABELA BSICA DE DERIVADA ................................................................... 19 3.5 REGRAS OPERATRIAS DAS DERIVADAS ................................................ 20 3.6 REGRA DA CADEIA ....................................................................................... 21 3.7 DERIVADA DE FUNO IMPLCITA ............................................................. 23 3.8 DERIVADA DE ORDEM SUPERIOR .............................................................. 24 3.9 TAXAS DE VARIAO RELACIONADAS ...................................................... 25 3.10 MXIMO E MNIMO DE FUNES ............................................................. 26 3.10.1 DEFINIO ........................................................................................... 26 3.10.2 TEOREMA DE FERMAT........................................................................ 27 3.10.3 MTODO DO INTERVALO FECHADO ................................................. 29
3.11 CRESCIMENTO, DECRESCIMENTO E CONCAVIDADE ............................ 29 3.11.1 TEOREMA DE ROLLE........................................................................... 29 3.11.2 TEOREMA DO VALOR MDIO ............................................................. 30 3.11.3 INTERVALOS DE CRESCIMENTO OU DECRESCIMENTO ................ 30 3.11.4 CONCAVIDADE ..................................................................................... 30 3.12 REGRA DE LHOSPITAL .............................................................................. 31 3.13 ANTIDERIVADA DE UMA FUNO (OU INTEGRAL) ................................ 31 REFERNCIA BIBLIOGRFICA ............................................................................... 33
4
1 Limite
1.1 Noo Intuitiva
Analisando o desenho acima vemos um corpo se movendo em direo a parede, podemos aproxim-lo o quanto quisermos, mas o corpo nunca ir atravess-la. Podemos dizer ento que a parede um limite na trajetria do corpo.
Veja um exemplo aplicando esse conceito em funes: Dada uma funo f: R R definida por f(x) = 4x + 6, qual o valor de f(x) quando x se aproxima de 2?
Um dos mtodos para encontrar esse valor seria substituir x na funo por valores menores do que 2 (1,98; 1,99...) e por valores maiores que 2 (2,009; 2,01).
x
f(x) = 4x + 6
x
f(x) = 4x + 6
1,96 13,84 1,97 13,88 1,98 13,92 1,99 13,96
2,007 14,028 2,008 14,032 2,009 14,036 2,01 14,04
Ao olhar a tabela acima, percebemos que quando x se aproxima de 2, f(x) se aproxima de 14, desse modo, o limite de f(x) = 14 e representado por:
Limx2 f(x) = 4x + 6 = 14.
5
De maneira geral, L o valor do limite de f(x) quando x tende a, com a seguinte notao:
Limxa f(x) = L
Voltando para a funo Limx2 f(x) = 4x + 6, se apenas substitussemos x por 2, chegaramos direto em 14,
Limx2 f(x) = 4x2 + 6 Limx2 f(x) = 8 + 6 Limx2 f(x) = 14. Porm, nem sempre este mtodo vlido, veja o prximo exemplo: Dada uma funo f: R {2, -2} R, definida por:
f(x) =
,
qual o limite da funo quando x se aproxima de 2? Isto :
Limx2 f(x) =
.
No podemos substituir x por 2, pois teramos uma diviso por 0 e isso no existe, o que podemos fazer ento encontrar uma funo equivalente a essa, mas como fazemos isso?
Para encontrar o valor do limite faremos algumas operaes matemticas para chegarmos a uma nova funo equivalente a primeira, no qual possamos substituir x por 2. Observe que o denominador da funo, podemos reescrever a funo sem alter-la: Limx2 f(x) =( )( )
igual a (x 2)*(x +2). Agora
.
6
Dividindo o numerador e o denominador por (
), temos :
Limx2 f(x) =
(
)
.
Substituindo x por 2 no limite acima, obtemos:
Limx2 f(x) =
(
)
,
Limx2 f(x) =
.
Conclumos que:
Limx2 f(x) =
=
Limx2 f(x) =
(
)
=
Limx2 f(x) =
.
1.2 Definio Formal
Seja f(x) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto, possivelmente, no prprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x aproxima-se de a L e escrevemos:
Limxc f(x) = L se, para todo > 0, existe um > 0, tal que | ( ) | < , sempre 0 < | | < .
7
Uma interpretao geomtrica seria:
Exemplo: Mostre usando a definio de limite que limx1 2x + 3 = 5. Temos que provar que para qualquer > 0 existe um nmero tal modo que:
> 0 correspondente de | < . | < : |< | | < , podemos
|
| < , sempre que 0 < |
Vamos primeiramente desenvolver a desigualdade |
|
| 2: Limx2+ Limx2+ x 2 + 1 = 5.
Limx2+
( )(
)
Como limx2- = 5 = limx2+, ento limx2 f(x) = 5 = f(2), o que mostra que f contnua neste ponto.
11
2 Taxa de variao
2.1 Definio
Considere que um valor y dependa de um valor x, suponha que quando x variar de x 0 para x1, y tambm ir variar de y0 para y1. Ento a taxa de variao de y em relao x ser dada por: T=
Usando as notaes x = x1 x0 e y = y1 y0, podemos escrever a taxa de variao como: T=
.
2.2 Noo intuitiva
Vejamos um exemplo para termos uma noo intuitiva sobre taxa de variao:
Certo mvel moveu-se do ponto B para o ponto C conforme as figuras abaixo, qual foi a velocidade mdia nesse trajeto?
8:00 h
A 50 km
B
C
Nessa primeira figura acima, vemos que s 8:00 h o mvel est a 50 km do ponto A.
12
10:00 h
A
B 200 km
Nessa segunda figura acima, vemos que s 10:00 h o mvel est a 200 km do ponto A. Pra acharmos a velocidade mdia no trajeto de B para C usamos a seguinte frmula:
Vm =
=
= 75 km/h
Temos ento que, num intervalo de tempo de 8:00 at 10:00 h o mvel variou sua velocidade em 75 km/h, onde Vm = Velocidade mdia, d0 = distncia inicial, d1 = distncia final, t0 = tempo inicial e t1 = tempo final.
2.3 Interpretao Geomtrica
Considere que y uma funo de x, isto , y = f(x). A taxa de variao de y em relao x ser dada por: T=( ) ( )
=
= tg
13
Como podemos ver na figura acima, calcular a taxa de variao a mesma coisa que calcular a tangente do ngulo (alfa), ou seja, calcular a inclinao da reta secante ao grfico de uma funo nos pontos x0; f(x0) e x1; f(x1).
2.4 Taxa de variao instantnea
2.4.1 Noo intuitiva
Considere que um mvel, inicialmente em repouso no ponto A, desloca-se para o ponto B de modo que t segundos aps deixar o ponto A ele tenha percorrido f(t) = 5t2. Qual a velocidade do mvel aps 4 segundos?
Tempo Inicial
A
B
Aps t segundos
A f(t) = 5t2 metros
B
Note que no temos um intervalo de tempo, pois queremos saber a velocidade do mvel em 4s, o que podemos fazer pegar um valor prximo maior e menor que 4, achando assim a velocidade mdia para termos uma noo de qual foi a velocidade no instante 4. f(t) = 5t2, para t0 = 3,9 e t1 = 4 temos: f(t0) = 5t2 f(3,9) = 5*(3,9)2 = 75,05 f(t1) = 5t2 f(4) = 5*(4)2 = 80 Vm =( ) ( ) ( ) ( )
=
Vm = 39,5
14
f(t) = 5t2, para t0 = 4 e t1 = 4,1 temos: f(t0) = 5t2 f(4) = 5*(4)2 = 80 f(t1) = 5t2 f(4,1) = 5*(4,1)2 = 84,05( ) ( ) ( ) ( )
Vm =
=
Vm = 40,5Como a velocidade mdia na proximidade de 4 segundos est prximo de 40, podemos dizer que a velocidade em 4 segundos 40 m/s.
2.4.2 Definio
Considere que y uma funo de x, isto , y = f(x). A taxa de variao instantnea de f(x) em relao ao ponto ser dada por:( ) ( )
Ti = limxa =
=
Se fizermos uma mudana de varivel h = x a, temos eu esse limite equivalente a:( ) ( )
Ti = limh0 =
=
Podemos usar qualquer um desses dois limites para calcular o valor da taxa de variao instantnea de uma funo em um determinado ponto.
15
2.4.3 Interpretao Geomtrica
Temos ento que:( ) ( )
Ti = limh0 =
=
= tg
Com isso vemos quer determinar a inclinao da reta tangente ao grfico de uma funo num ponto a em f(a) equivalente a calcular a taxa de variao instantnea da funo neste ponto.
16
3 Derivada
3.1 Definio
Seja f uma funo diferencivel em todo seu domnio, quando esse limite existe e finito, dizemos que a derivada de f (que escrevemos f(x)), dada por:( ) ( )
f(x) = limux =
.
Podemos tambm substituir u x por h (h = u x), podendo assim reescrever o limite:( ) ( )
f(x) = limh0 =
.
Exemplo: seja f uma funo dada por: f(x) = x2 5x + 6. A derivada de f, para todo x D f :
f(x) = limh0 =
(
)
( )
((
) (
)
)
(
)
Perceba o seguinte: A funo est definida em f(x) = x2 5x + 6, ento f(x + h) seria: f(x + h) = (x + h)2 5(x + h) + 6. A diferena que trocamos todos os x da funo por (x + h), voltando ento temos:
f(x) = limh0 =
(
)
( )
)
(( (
) ( )
)
)
(
)
( ( )
f(x) = limh0 2x + h 5 f(x) = limh0 2x + 0 5
f(x) = 2x 5.
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Ento temos que a funo derivada de f(x) = x2 5x + 6 f(x) = 2x 5.
3.2 Definio de derivada em um ponto
Seja f uma funo e b um ponto em seu domnio, quando esse limite existe e finito, dizemos que a derivada de f no ponto b(que escrevemos f(b)), dada por:( ) ( )
f(b) = limxb =
.
Podemos tambm substituir x b por h (h = x b), podendo assim reescrever o limite:( ) ( )
f(b) = limh0 =
.
Podemos usar qualquer um desses dois limites para calcular a derivada em um ponto.
Vejamos um exemplo de clculo de derivada em um ponto: Temos uma funo f(x) = x2 5x + 6 e queremos saber f(4), j calculamos que a derivada dessa funo f(x) = 2x 5, ento f(4) = 2.4 5 = 3. Vamos conferir para ver se isso verdade. Usando o primeiro limite temos:
f(4) = limx4 =
( )
( ) (
(
)
)
(
)
)(
( x 1) f(4) = limx4 x 1 = 3.
Lembrando que para utilizarmos o segundo limite temos algumas observaes a fazer:
f(4) = limh0 =
(
)
( )
((
) (
)
)
(
)
.
18
A funo est definida em f(x) = x2 5x + 6, substituindo x por 4: f(4) = 42 5.4 + 6. F(4 + h) seria: f(4 + h) = (4 + h)2 5(4 + h) + 6, temos:
f(4) = limh0 =
(
)
( )
)
((
) (
) (
)
( )
)
(
(h + 3)
f(4) = limh0 (h + 3) f(4) = limh0 0 + 3 f(4) = 3.
3.3 Derivada e Continuidade
Podemos encontrar funes que no tm derivada em um ponto, mesmo que tenham derivadas laterais esquerda e direita (que do valores diferentes) e ser contnua neste ponto, ou seja, a continuidade de uma funo no garante a existncia da derivada. Por outro lado, se a funo for derivvel em se domnio implica que ela contnua.
Exemplo: A funo modular definida por f(x)=|x|, lembrando que por definio: x, se x 0 | | -x, se x < 0, ento a derivada seria:
f(0) = limx0- =
| |
| |
| |
limx0- = -1,
f(0) = limx0+ =
| |
| |
| |
limx0+ = 1.
Vemos ento que no existe limite no ponto x = 0 e conseqentemente no existe a derivada, s que essa uma funo contnua para todo x pertencente ao domnio de f. Observe seu grfico a seguir:
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3.4 Tabela bsica de derivada
Temos uma tabela que nos ajudar a encontrar mais facilmente a derivada de uma funo: f(x) c xn ax loga x sen x cos x cos x - sen x f(x) 0 nxn-1 ax ln a
Vejamos uma explicao um pouco detalhada:
Na primeira linha da tabela, seja uma funo f(x) = c, com c uma constante real qualquer. A derivada ser f(x) = 0. Exemplo: f(x) = 8(pode ser qualquer nmero real), a derivada ser f(x) = 0. Na segunda linha da tabela, seja f(x) = xn, sendo n natural e no nulo. A derivada ser f(x) = nxn-1, como se passssemos o n multiplicando x, e no expoente fizssemos n 1. Exemplo: f(x) = x3, a derivada ser f(x) = 3x3-1 f(x) = 3x2. Na terceira linha da tabela, seja f(x) = , sendo n natural no nulo, x > 0 caso n seja par e x 0 caso n seja mpar e diferente de 1. A derivada ser f(x) =
.
20
Exemplo: Se f(x) = , a derivada ser f(x) =
f(x) =
.
Na quarta linha da tabela, seja f(x) = ax, com a R*+ \ {1}. A derivada ser f(x) = ax ln a. Exemplos: Seja f(x) = 2x, a derivada ser 2x ln 2. Agora seja f(x) = ex a derivada ser f(x) = ex. Na quinta linha da tabela, seja f(x) = loga x, com a R*+ \ {1}. A derivada ser f(x) =
.Exemplo: Seja f(x) = log2x, a derivada ser .
Na sexta linha da tabela, seja f(x) = sen x, a derivada ser f(x) = cos x. Na stima linha da tabela, seja f(x) = cos x, a derivada ser f(x) = - sen x.
3.5 Regras operatrias das derivadas
Sejam f e g funes diferenciveis em um mesmo domnio D, podemos afirmar que:
[(cf(x)] = cf(x), sendo c uma constante qualquer. Exemplo: seja uma funo f(x) = 5x3, pela definio teremos: f(x) = (5x3) 5(3x3-1) 5(3x2) f(x) = 15x2.
[f(x) + g(x)] = f(x) + g(x); Exemplo: seja uma funo f(x) = 2x + cos x, pela definio teremos: f(x) = (2x + cos x) (2x) + (cos x) f(x) = 2x ln 2 sen x.
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[f(x)g(x)] = f(x)g(x) + f(x)g(x); Exemplo: seja uma funo f(x) = ln x sen x, pela definio teremos: f(x)= (ln x sen x) (ln x)sen x + ln x(sen x) f(x) = sen x + ln x cos x.
*
( ) ( )
+
=
( ) ( ) ( ) [ ( )]
( )
, com g(x) 0 no domnio D.
Exemplo: seja uma funo f(x) = tg x, pela definio teremos: f(x) = (tg x) (
) (
(
) [ ) ]
(
)
(
)(
)
f(x) = sec2 x.
[f(x) - g(x)] = f(x) - g(x); Exemplo: seja uma funo f(x) = x2 - , pela definio teremos: f(x) = (x2 - ) (x2) ( ) f(x) = 2x
.
3.6 Regra da Cadeia
A Regra da Cadeia ir nos fornecer uma frmula para encontrar a derivada de funes composta (uma funo que tem outra funo em seu domnio). Sejam f e g funes diferenciveis, sendo que a imagem de g est contida no domnio de f. A funo h dada por h(x) = f(g(x)) diferencivel e sua derivada dada por: h(x) = f(g(x))g(x).
22
Devemos observar duas funes, a externa (que chamaremos de f(u)) e a interna (que chamaremos de g(x)), para depois aplicar a Regra da Cadeia. f(g(x))g(x) = f g(x)derivada da interna
(
g(x)
).
derivada da externa
conserva a interna
Exemplo: Calcule a derivada de h(x) =
.
A funo externa ser: f(u) = . A funo interna ser: g(x) = x2 + 5
Calculando as derivadas de f(u) e g(x) teremos:
f(u) = f(u) =
.
g(x) = x2 + 5 g(x) = 2x Note que: f(u) =
f(g(x)) =
( )
f(g(x)) =
Agora temos tudo o que precisamos para calcular h(x). h(x) = f(g(x))g(x) h(x) =
. (2x) .
h(x) =
Podemos tambm usar a notao de Leibniz para aplicar a Regra da Cadeia em uma funo. Na notao de Leibniz, se y = f(u) e u = g(x), ento temos que:
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Olhando para essa expresso, parece que temos uma um produto sobre as 2 fraes s que no isso, no podemos simplificar os du, pois essa expresso apenas uma representao de outra e isso impede a simplificao.
Faamos o mesmo exerccio anterior usando a notao de Leibniz. Calcule a derivada de h(x) = seja:
y = f(u) = y = f(u) = u = g(x) =
u = g(x) = 2x
Desse modo, temos que:
2(x)
3.7 Derivada de Funo Implcita
Dizemos que uma funo explcita quando a varivel y est em funo da varivel x. Exemplo: y = x2 1, com x R.
E dizemos que uma funo implcita quando a varivel y no est em funo da varivel x. Exemplo: x2 + y2 = 1, com x [-1; 1]
Em alguns casos podemos reescrever uma funo implcita com uma funo explicita, por outro lado, existem casos que so difceis e at impossveis de reescrever uma funo implcita como uma funo implcita, mas podemos facilmente reescrever funes explcitas em funes implcitas.
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Para calcular a derivada de uma funo implcita necessrio usarmos a Regra da Cadeia, vejamos um exemplo:
Considere que a varivel y depende da varivel x atravs da funo implcita: x2 + y2 = 1, com x [-1; 1], calcule a derivada de y.
Podemos escrever y = f(x), assim reescrevemos a funo: x2 + [f(x)]2 = 1, com x [-1; 1], derivando os componentes da equao temos:
{ x2 + [f(x)]2 = 1} = (1) 2x + 2f(x)f(x) = 0 f(x) = -
( )
.
Usando as notaes y = f(x) e y = f(x), podemos dizer que:
x2 + y2 = 1 y = -
( )
.
3.8 Derivada de Ordem Superior
At agora vimos derivada de uma funo f, que representamos f, s que uma derivada nada mais do que outra funo e podemos querer acha a derivada da deriva, que representamos por (f), ou f. Note que, f tambm uma funo e podemos calcular sua derivada, ou seja, (f), ou simplesmente f. Dizemos que f a derivada de 1 ordem de f, a f a derivada de 2 ordem e f a de 3 ordem de f. De modo geral, f(n) representa a derivada de ordem n de f e a notao f(0) a prpria funo. Destacamos que nem toda funo possui derivada de qualquer ordem. Exemplo: Dada a funo f(x) = x sen x, calcule f, f e f.
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f(x) = (x) senx + x(sen x) f(x) = sen x + x cos x. f(x) = (sen x) + (x) cos x + x(cos x) f(x) = 2cos x x sen x. f(x) = (2cos x) [(x) sen x + x(sen x)] f(x) = -3sen x x cos x.
3.9 Taxas de variao relacionadas
Temos algumas grandezas que possuem taxas de variao relacionadas entre si, em algumas situaes queremos saber a taxa de variao de uma das grandezas sendo que conhecemos a taxa de variao de outra. Por exemplo, quando enchemos um balo esfrico, a taxa de variao do seu volume est relacionada com a taxa de variao de seu raio. Se soubermos a taxa de variao do volume podemos saber a taxa de variao do raio.
Exemplo: Suponha que um balo esfrico inflado de modo que a taxa de variao de seu volume seja 10 cm3/s. Qual seria a taxa de variao de seu raio no instante em que ele for igual a 40 cm?
Sabemos que o volume V de uma esfera de raio r dado por V =
r3, s que esse
raio est variando com o tempo. Aplicando a Regra da Cadeia (com a denotao de Leibniz) teremos:
=
V=
r3 V = 4r2
= 4r2
10 = 4(40)2
=
cm/s
26
3.10 Mximo e mnimo de funes
Uma boa aplicao de clculo diferencial a resoluo de problemas de otimizao. Um problema de otimizao se baseia em achar um valor de certa grandeza de modo a maximizar ou minimizar o valor de outra grandeza relacionada a ela. Um exemplo, temos que fabricar uma lata cilndrica para conter 1 litro de determinada substncia, precisamos saber qual o raio da base dessa lata para podermos minimizar a rea da superfcie dessa lata, com isso gastaremos menos material para fabricar essa lata e reduzindo o custo na sua fabricao.
3.10.1 Definio
Seja f uma funo definida no domnio D.
Dizemos que f tem mnimo global (ou mnimo absoluto) em x = c se, f(x) f(c) para todo x D. O valor de f(c) chamado de mnimo global (ou absoluto).
Dizemos que f tem mximo global (ou mximo absoluto) em x = c se, f(x) f(c) para todo x D. O valor de f(c) chamado de mximo global (ou absoluto).
27
Dizemos que f tem mnimo local (ou mnimo relativo) em x = c se, f(x) f(c) para todo x em algum intervalo aberto de D contendo c. O valor de f(c) chamado de mnimo local (ou mnimo relativo).
Dizemos que f tem mximo local (ou mximo relativo) em x = c se, f(x) f(c) para todo x em algum intervalo aberto de D contendo c. O valor de f(c) chamado de mximo local (ou mximo relativo).
3.10.2 Teorema de Fermat
Para resolvermos problemas de otimizao ou maximizao, precisamos saber o mximo ou mnimo da funo, usamos para isso o teorema de Fermat.
28
Se f tem mnimo ou mximo local em c e f(c), ento f(c) = 0.
Perceba que na figura acima, tantos para os pontos de mnimo e mximo local, se calcularmos a derivada (se ela existir) nesses pontos, vemos que a inclinao da reta tangente paralelo ao eixo x. Vale pena destacar o seguinte, o contrrio do teorema de Fermat no valido, ou seja, se f(c) = 0, no necessariamente a funo tem mnimo ou mximo local em c. Um exemplo seria a funo f(x) = (x 1)3, sua derivada em f(1) = 0, s que ela no tem um ponto de mximo ou mnimo local em 1, como a figura abaixo mostra:
Outra observao importante que, o ponto c no qual f(c) = 0 ou f(c) no existe chamado de ponto crtico de f. Vejamos um exemplo que ilustra o teorema de Fermat: Sabe que a funo f(x) = x2 4x + 5 tem um ponto mnimo em x = 2. Verifique que f(2) = 0. Resolvendo ento: f(x) = x2 4x + 5 f(x) = 2x 4 f(2) = 2.2 4 f(2) = 0
29
3.10.3 Mtodo do Intervalo Fechado
Para encontrar o mximo ou mnimo global de uma funo contnua f em um intervalo [a,b], temos que:
Calcular o valor de f em seus pontos crticos. Calcular o valor de f em a e b. O maior valor dos passos anteriores o valor mximo global e o menor desses valores o mnimo global.
3.11 Crescimento, Decrescimento e Concavidade
Vamos estudar como obter informaes sobre o grfico de uma funo atravs de suas derivadas.
3.11.1 Teorema de Rolle
Seja f uma funo contnua em [a,b], diferencivel em (a, b) e tal que f(a) = f(b). Existira pelo menos 1 c (a, b) tal que f(c) = 0. Vejamos um interpretao geomtrica desse teorema:
30
3.11.2 Teorema do Valor Mdio
O Teorema de Rolle aplicado no Teorema do Valor Mdio para acharmos o resultado. Seja f uma funo contnua em [ a, b] e diferencivel em (a, b). Existira pelo menos um c (a, b) tal que f(c) =( ) ( )
.
3.11.3 Intervalos de Crescimento ou Decrescimento
O Teorema do Valor Mdio aplicado para acharmos os intervalos de crescimento ou decrescimento.
Seja uma funo f contnua no intervalo [a, b]. Se f(x) > 0 para todo x (a, b), ento a funo crescente no intervalo [a, b]. Se f(x) < 0 para todo x (a, b), ento a funo decrescente no intervalo [a,b].
3.11.4 Concavidade
Seja f uma funo contnua no intervalo [a, b]. Se f(x) > 0 para todo x (a, b), ento f tem concavidade para cima no intervalo [a, b]. Se f(x) < 0 para todo x (a, b), ento f tem concavidade para baixo no intervalo [a,b].
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Dizemos que P um ponto de inflexo se o grfico de f muda sua concavidade em P. 3.12 Regra de LHospital O teorema chamado Regra de LHospital nos ajuda que calcular limites com indeterminaes do tipo 0/0 ou /. Sejam f e g diferenciveis e g(x) 0 para x prximo de c (exceto possivelmente em c). Considere que: limxc f(x) = 0 e limxc f(x) = 0, ou ainda limxc f(x) = e limxc f(x) = .( ) ( )
Se limxc
existe, ento:( ) ( ) ( ) ( ).
limxc
= limxc
Exemplo: Calcule limx1
.
Note que limx1 ln x = 0 e que limx1 x -1 = 0, teremos ento limx1 . Aplicando agora a Regra de LHospital obtemos:
limx1
= limx1
( (
) limx1 )
limx1
limx1 1.
3.13 Antiderivada de uma Funo (ou Integral)
Temos algumas situaes em que no conhecemos diretamente uma funo, mas apenas a sua taxa de variao, nesses casos precisamos descobrir a funo utilizando essa informao.
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Pela definio, dizemos que F uma antiderivada de f no intervalo I, se F(x) = f(x), para todo x I. Exemplo: A funo F(x) = x3 uma antiderivada de f(x) = x2, pois F(x) = f(x).
O teorema nos diz que, se F uma antiderivada de f no intervalo I, ento F + c, sendo c uma constante, uma derivada de f. Dizemos que F + c uma famlia de antiderivadas de f. Exemplo: Determine uma famlia de antiderivada de f(x) = x2 + 1. Em seguida, determine a antiderivada g tal que g(1) = 2. Primeiro temos que pensar em uma funo F que F(x) = x2 1.
Percebendo que (
x3) = x2 e (-x) = -1, temos ento que, uma famlia de x3 x + c.
antiderivadas de f ser: F(x) =
Agora precisamos achar uma antiderivada g(x) = Aplicando a equao temos:
x3 x + c, tal que g(1) = 2.
g(x) =
x3 x + c g(1) =
13 1 + c = 2
1-2=-cc=
.
Temos ento que:
g(x) =
x3 x +
.
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REFERNCIA BIBLIOGRFICA
01. Clculo I - Noo Intuitiva de Limite. Desenvolvido por Luiz C. M. Aquino, 2012. Disponvel em . Acesso em: 4 abr. 2012.
02. Clculo I - Definio Formal de Limite. Desenvolvido por Luiz C. M. Aquino, 2011. Disponvel em . Acesso em: 4 abr. 2012.
04. Clculo I - Limites e Continuidade. Desenvolvido por Luiz C. M. Aquino, 2011. Disponvel em . Acesso em: 5 abr. 2012.
09. Clculo I - Taxa de Variao. Desenvolvido por Luiz C. M. Aquino, 2011. Disponvel em . Acesso em: 5 abr. 2012.
10. Clculo I - Funo Derivada. Desenvolvido por Luiz C. M. Aquino, 2012. Disponvel em . Acesso em: 6 abr. 2012.
11. Clculo I - Tabela Bsica de Derivadas. Desenvolvido por Luiz C. M. Aquino, 2011. Disponvel em . Acesso em: 6 abr. 2012.
12. Clculo I - Regras Operatrias das Derivadas. Desenvolvido por Luiz C. M. Aquino, 2012. Disponvel em . Acesso em: 6 abr. 2012.
13. Clculo I - Regra da Cadeia. Desenvolvido por Luiz C. M. Aquino, 2011. Disponvel em . Acesso em: 6 abr. 2012.
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14. Clculo I - Derivada de Funo Implcita. Desenvolvido por Luiz C. M. Aquino, 2011. Disponvel em . Acesso em: 7 abr. 2012.
16. Clculo I - Derivada de Ordem Superior. Desenvolvido por Luiz C. M. Aquino, 2011. Disponvel em . Acesso em: 7 abr. 2012.
18. Clculo I - Taxas de Variao Relacionadas. Desenvolvido por Luiz C. M. Aquino, 2011. Disponvel em . Acesso em: abr. 8 2012.
19. Clculo I - Mximo e Mnimo de Funes. Desenvolvido por Luiz C. M. Aquino, 2011. Disponvel em . Acesso em: 8 abr. 2012.
20. Clculo I - Crescimento, Decrescimento e Concavidade do Grfico de Funes. Desenvolvido por Luiz C. M. Aquino, 2011. Disponvel em . Acesso em: 9 abr. 2012.
23. Clculo I - Regra de L'Hospital. Desenvolvido por Luiz C. M. Aquino, 2011. Disponvel em . Acesso em: 9 abr. 2012.
24. Clculo I - Antiderivada de uma Funo. Desenvolvido por Luiz C. M. Aquino, 2012. Disponvel em . Acesso em: 9 abr. 2012.