Trabajos1 ED U2
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8/16/2019 Trabajos1 ED U2
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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LOS MOCHIS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
ECUACIONES DIFERENCIALES
LMAT-EDO
P2.2
MC. Marco Antonio Rodríguez R.
1. COMPETENCIA
Resolver ecuaciones diferenciales lineales de orden superior homogéneas a papel y lápiz y usando
el software Mathematica.
3. PRODUCTO DE APRENDIZAJE ESPERADO
Ejercicios resueltos correctamente.
4. REQUISITOS
- Saber calcular raíces
-Conocer el concepto de valores iniciales
5. EQUIPO y HERRAMIENTAS
Computadora
Software Mathematica
Cañón
5. PROCEDIMIENTO
El profesor modelará algunos de los ejemplos que se enuncian a continuación y realizar los
ejercicios planteados.
6. COMANDOS
El comando Solve[fun, var], calcula las raíces de funciones para la variable var.
El comando factor[polinomio], factoriza una función.
DSolve[ D, y[x], x], Resuelve una EDO
LABORATORIO: LMAT- EDO PRÁCTICA: 2.2
UNIDAD 2 EcuacionesDiferenciales Linealesde Orden Superior
TEMA 2.2 Solución de EDL homogéneas decoeficientes constantes de segundo orden
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ECUACIONES DIFERENCIALES
LMAT-EDO
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MC. Marco Antonio Rodríguez R.
7. EJEMPLOS Y EJERCICIOS
Una ecuación con coeficientes constantes tiene la forma '' ' 0ay by c
. Es posible que esta
ecuación tenga la soluciónmx y e , entonces después de sustituir la solución y sus derivadas
2' y ''mx mx y me y m e en la ED, esta se transforma en
2 0mxe am bm c
Comomxe nunca es cero para valores reales de x, la única forma de que existe de satisfacer a la ED
esta solución es determinando como una raíz de la ecuación cuadrática
2 0am bm c
Esta última ecuación se denomina ecuación auxiliar y sus raíces son:
2 2
1 2
4 4;
2 2
b b ac b b acm m
a a
Habrá tres formas distintas de solución
Si 2 4 0b ac 1 2ym m son raíces reales y distintas
Si 2 4 0b ac 1 2m m son raíces reales e iguales
Si 2 4 0b ac 1 2ym m son raíces complejas. m i
Estudiaremos tres casos:
CASO 1. Las raíces de la ecuación característica son reales y diferentes. → y = 1 21 2m x m xc e c e , es
solución general de la ecuación diferencial.
CASO 2. Las raíces de la ecuación característica son reales e iguales. → y = 1 11 2m x m x
c e c xe , es
solución general de la ecuación diferencial.
CASO 3. Las raíces de la ecuación característica son complejas y conjugadas.
→ y = 1 2( ) ( ) x
e c Cos x c Sen x
es solución general de la ecuación diferencial.
1. Determinamos la ecuación auxiliar2 2 3 0m m
2. Factorizamos la ecuación auxiliar para calcular las raíces o se aplica la ecuación general
EJEMPLO Encuentre la solución general de la ecuación diferencial homogéneade coeficientes constantes '' 2 ' 3 0 y y y
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2
b b acm
a
Usando Mathematica podemos factorizar mediante el comando Factor
Factor[ − 2 − 3]
(−3 + )(1 + )
o determinar directamente las raíces con el comando Solve.
Solve[ − 2 − 3 == 0]
{ → −1}, { → 3}}
3. La solución es = +
1. Ecuación auxiliar + 2 +
= 0
2. solución de la ecuación auxiliar
Solve[ + 2 + 5 4⁄ == 0]
{{ → −1 −
2},{ → −1 +
2}}
3, La solución es = [2]Cos[
] + [1]Sen[
]
Una forma directa de encontrar la solución es usando el comando DSolve[ED, y, x]],
DSolve[''[] + 2′[] + 5 4⁄ [] == 0, [], ]
{{[] → [2]Cos[2
] + [1]Sin[2
]}}
1. + 14 + 49 = 0
EJEMPLO Encuentre la solución general de la ecuación diferencial homogénea
de coeficientes constantes5
'' 2 ' 04
y y y
EJEMPLO Encuentre la solución general de la ecuación diferencial + 14 +49 = 0, con las condiciones iniciales (0) = −2, (0) = 10
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6. ''' 5 '' 3 ' 9 0 y y y y
7. ''' 3 '' 3 ' 0 y y y y
8.
2
2 4 5 0, (1) 0, '(1) 2d y dy y y ydx dx
9. '' ' 2 0; (0) '(0) 0 y y y y y
10. ''' 12 '' 36 ' 0; (0) 0, '(0) 1, ''(0) 7 y y y y y y
EJERCICIO En los ejercicios siguientes encuentre la solución de las ecuaciones detercer orden.
EJERCICIO En los ejercicios siguientes resuelvas las ecuaciones diferenciales convalor inicial.