UNIVERSIDADGRAN MARISCAL DE AYACUCHO

FACULTAD DE INGENIERÍANUCLEO - ANACO

SISTEMA “K” DE “n” UNIDADES(MIXTOS)

Profesor: Alumnos:Ing. Lauribel Macuares Morales Erick

Ríos JosefinaRivero NelsonRodríguez Maggy Romero FidelMendoza Efrain

Anaco, Agosto del 2010.

Introducción

El progreso reciente en la ciencia y la tecnología ha hecho de la ingeniería en

sistemas más fuerte que antes. El creciente nivel de sofisticación en los procesos

industriales de alta tecnología implica que los problemas de confiabilidad no sólo

continuarán existiendo sino que requerirán de soluciones cada vez más complejas.

Además, la falla de sistemas está teniendo efectos más significativos sobre la sociedad

como conjunto..

Un sistema es una colección de componentes interrelacionados para lograr

realizar una función específica. La confiabilidad es la probabilidad de que un sistema

funcione satisfactoriamente por lo menos un periodo de tiempo dado cuando se usa bajo

ciertas condiciones. Por lo tanto, se le llama “confiabilidad del sistema” a la

probabilidad de que dicho sistema funcione satisfactoriamente de acuerdo a los

objetivos para los cuales fue diseñado. Frecuentemente, la no-confiabilidad se refiere a

la probabilidad de falla. La confiabilidad de un sistema es una medida de qué tan bien

un sistema se encuentra en su objetivo de diseño. Un sistema puede ser caracterizado

como un grupo de niveles o subsistemas integrados para desarrollar una o más

funciones operacionales especificadas.

En la descripción de la confiabilidad de un sistema dado, es necesario especificar

la configuración del sistema, que describe cómo el sistema se conecta, y las reglas de

operación. Esto porque define la manera en la cual se comportará la función de

confiabilidad del sistema. Algunas medidas del funcionamiento del sistema son: la tasa

de falla, el tiempo medio a la falla, la disponibilidad, el tiempo medio entre fallas y el

tiempo medio a las reparaciones, dependiendo de la naturaleza y complejidad del

sistema donde algunas medidas son usadas en lugar de otras.

En este trabajo se estudiara la forma para medir la confiabilidad de sistemas,

cuando se tiene información de la confiabilidad de sus subsistemas o componentes, y se

conoce su estructura. Además, proporcionará un panorama más amplio acerca de las

aplicaciones modernas de la confiabilidad.

Sistemas “K” de “n” Unidades (Mixtos):

Un sistema K de n funciona satisfactoriamente cuando K equipos de un numero

total n operan correctamente.

Esta configuración es básicamente la misma del sistema en paralelo pero con

una excepción, la cual es que al menos “K” unidades deben funcionar normalmente para

el éxito del sistema, es decir el sistema puede operar hasta un determinado numero de

unidades en falla (existen cargas compartidas). Físicamente están conectados en

paralelo, pero operacionalmente no lo están. Para estos casos se recomienda representar

el esquema funcional con un solo bloque recordando que dentro de el hay una serie de

combinaciones.

Esta conexión se representa como el ejemplo que se muestra en la Figura Nº 28:

Algunas redes de confiabilidad como la mostrada en la figura nº 28, son mas que

una simple combinación serie y paralelo por lo tanto se requiere de una técnica de

solución diferente conocida como “Método del Espacio de Eventos”.

Este método, se basa en considerar todas las combinaciones del número de

equipos que puedan fallar, sin que afecte la producción, cuando existen cargas

compartidas, es decir que el sistema se mantiene operativo con fallas de equipos. La

metodología del calculo consiste en identificar cuales combinaciones no afectan la

producción es decir representan éxito del sistema y cuales combinaciones si afectan la

producción. Para determinar las combinaciones que representan el éxito del sistema hay

que conocer el número de equipos que en tanto funcionen, aseguran la operación normal

del sistema.

La probabilidad de éxito del sistema se obtiene sumando las probabilidades de

las combinaciones. Las probabilidades pueden sumarse porque cada combinación es

mutuamente excluyente. La probabilidad de cada combinación se obtiene multiplicando

las probabilidades de éxito y las de fallas de equipos. Si un sistema tiene “n” equipos,

cada uno con un modo de falla, habrá 2 ⁿ combinaciones. Donde el 2 se debe a los

eventos de sobrevivencia y falla y “n” representa el número de equipos conectados.

Para facilitar la comprensión del método en referencia, la metodología de

cálculo será explicado mediante un ejemplo:

La probabilidad de éxito de este sistema puede obtenerse usando el Método de

Espacio de Eventos. Con tres (3) elementos en la red son posibles ocho (8)

combinaciones de elementos (2³ = 8). Estas combinaciones se listan en grupos

de acuerdo al número de elementos en falla.

Eventos posibles para el caso en estudio:

Combinaciones Grupo Nº de Equipos en Falla

ABC 0 Ningún equipo falla

(A)BC

A(B)C

AB(C)

1 Solo un equipo falla

Tabla 11. Listado de Eventos para el Sistema k de n en Estudio

Nota: Los elementos entre paréntesis representan a los que fallan.

De las 16 combinaciones posibles, solo se consideran 4 de ellas, las cuales

corresponden al grupo cero y uno de la tabla 11, ya que son las que aseguran la

operación normal del sistema, de acuerdo al numero de equipos que se permiten que

fallen sin que se afecte la producción.

La confiabilidad del sistema S(s) en estudio viene dado por:

S(s) = ∑ⁿ Gi Sumatoria de los grupos de acuerdo al numero de elementos en falla, i=1 permitida por el sistema.

S(s) = ∑ⁿ Gi = ABC + (A)BC + A(B)C + AB(C) i=1

Otra forma de expresar la ecuación es la siguiente:

S(s) = ∑ SA * SB * SC * FA * SB * SC * SA * FB * SC * SA * SB * FC

i=1

La ecuación anterior, se utiliza cuando se permite según el esquema de

confiabilidad, que solo un equipo falle y el sistema siga operando, normalmente.

Determinación de Criterios Generales para definir Sistemas “K” de

“n” (Mixtos):

Este tipo de interconexión ocurre lo mismo que en un sistema paralelo es decir,

no existe un acuerdo entre autores para diferenciarlo de los demás por lo tanto, también

fue necesario definir los siguientes criterios:

Este sistema es básicamente lo mismo del sistema paralelo pero con una

excepción, la cual es que al menos “k” unidades debe funcionar normalmente

para el éxito del sistema, en vez de una unidad como en el caso de paralelo.

Un solo equipo no tiene la capacidad suficiente para suplir el resto. Son sistemas

con equipos extras capaces de compartir cargas.

Los sistemas en serie y paralelo son casos especiales de esta configuración. El

sistema en serie es un sistema K de n, con k = n, y el sistema en paralelo es un

sistema k de n con k = 1.

Conclusiones

El término confiabilidad, como fue estudiado anteriormente, es usado para

expresar un cierto grado de seguridad de que un dispositivo o sistema opera

exitosamente en un ambiente específico durante un cierto periodo de tiempo. Sin

embargo, el incremento en la complejidad de los sistemas, la competitividad en el

mercado, y la creciente competencia por presupuesto y recurso han originado la

expansión de la disciplina a muchas otras áreas. Cuando la confiabilidad se define

cuantitativamente puede ser especificada, analizada, y se convierte en un parámetro del

diseño de un sistema que compite contra otros parámetros tales como costo y

funcionamiento.

Los sistemas se pueden dividir, en términos reales o ideales, en partes llamadas

subsistemas, que, a su vez, pueden ser sucesivamente subdivididos. En las evaluaciones

de confiabilidad, sin embargo, se establece que tal división concluye cuando se alcanza

el nivel del componente, esto es, la mínima parte de la que se conocen los modos y la

estadística de sus fallas. La tasa de falla un concepto esencial en materia de

confiabilidad expresa la variación en el tiempo de la probabilidad de que un

componente, que haya funcionado durante un período dado, falle en el instante

siguiente.

El tipo más simple de sistemas son los sistemas en serie, en el cual todos sus

componentes deben estar trabajando para que el sistema funcione apropiadamente, y el

sistema en paralelo en el cual se requiere que al menos un componente funcione para

que el sistema opere correctamente. Estos presentan extremos, en el primer caso, de un

sistema que no está capacitado para resistir fallas, y en el otro, uno con una cantidad

grande de redundancia. Estos casos hacen pensar en sistemas más complejos a la vez,

tales como sistemas “k de n”, un sistema de n componentes que es capaz de funcionar

correctamente si al menos k de los componentes operan correctamente, y varios

sistemas que consisten de la combinación de subsistemas en serie y paralelo formando

un tipo de estructura de cadena.

Como hemos visto anteriormente, la confiabilidad de un sistema complejo,

compuesto por una serie de piezas, puede llegar a ser muy mala, pero a pesar de una no

muy mala confiabilidad individual. Esto es tanto más cierto ya cuanto mayor sea la

variabilidad del desempeño de cada uno de los componentes del sistema y su grado de

dependencia o independencia mayor será su probabilidad de falla y se contara con una

menor confiabilidad. En efecto, si no llevamos a cabo una actividad de mejora y de

control será muy difícil obtener confiabilidades resultantes elevadas.

Ejercicios:

Sistemas k-out-of-n¸ La configuración k-out-of-n consiste en una

generalización del sistema en paralelo en la que se requiere el

funcionamiento de k de las n unidades para que el sistema funcione. Por

ejemplo un avión que tiene cuatro motores pero que con al menos dos de

ellos en funcionamiento puede volar, es un sistema 2-out-of-4.

SYSTEM OPERATIONAL

SYSTEM FAILED

La función estructura de un sistema k-out-of-n es:

La función de fiabilidad, cuando se consideran componentes independientes

y con idéntica fiabilidad R , es:

Ejemplo.- Consideremos un sistema formado por 6 unidades de bombeo en el que es

necesario que al menos 4 de ellas funcionen. Cada bomba tiene una fiabilidad del 85%

para el periodo que dura cierta misión. ¿Cuál es la fiabilidad del sistema durante esa

misión?

Se trata de un sistema 4-out-of-6

Efecto de aumentar el número de unidades necesarias para el

funcionamiento del sistema, mientras el total de unidades permanece constante.

Ejemplo: sistema k-out-of-6 con R=0,85

Fiabilidad de un sistema k-out-of-n con componentes no idénticas.- Un método de

cálculo de la fiabilidad consiste en determinar todas las posibles

combinaciones distintas de funcionamiento y calcular la probabilidad de cada una de

ellas.

Ejemplo.- Un sistema de ordenadores contiene 3 HD cuya configuración lógica es una

disposición en paralelo. Al menos dos de ellos deben funcionar para que

el sistema funcione correctamente. Los tres HD tienen la misma capacidad y velocidad

pero han sido suministrados por distintos fabricantes y poseen distinta fiabilidad. La

fiabilidad de HD1 es 0,9, la de HD2 es de 0,88 y la de HD3 0,85,

durante un determinado periodo de tiempo.

El sistema funciona si se da alguna de las siguientes situaciones:

1. Los tres HD funcionan.

2. HD1 falla pero HD2 y HD3 funcionan.

3. HD2 falla pero HD1 y HD3 funcionan.

4. HD3 falla pero HD1 y HD2 funcionan.

La probabilidad de que funcione el sistema es:

Si los tres tuvieran la misma fiabilidad, entonces

Combinación de subsistemas en serie y en paralelo.- La fiabilidad del

sistema resultante se calcula evaluando primero la fiabilidad de cada

subsistema para posteriormente combinarlos de manera adecuada.