Trabajo ricardo perdomo

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    02-Jun-2015
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  • 1. UNIVERSIDAD FERMIN TOROESCUELA DE INGENIERIAMATEMATICA IIRICARDO PERDOMOINTEGRAL DEFINIDALa integracin es un concepto fundamental de las matemticas avanzadas, especialmente en loscampos del clculo y del anlisis matemtico. Bsicamente, una integral es una suma de infinitossumandos, infinitamente pequeos.El clculo integral, encuadrado en el clculo infinitesimal, es una rama de las matemticas en elproceso de integracin o antiderivacin, es muy comn en la ingeniera y en la matemtica engeneral; se utiliza principalmente para el clculo de reas y volmenes de regiones y slidos derevolucin.Fue usado por primera vez por cientficos como Arqumedes, Ren Descartes, Isaac Newton,Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este ltimo y los aportes de Newton generaron elteorema fundamental del clculo integral, que propone que la derivacin y la integracin sonprocesos inversos.Principales objetivos del clculo integralSus principales objetivos a estudiar son:rea de una regin planaCambio de variableIntegrales indefinidasIntegrales definidasIntegrales impropiasIntegral de lneaIntegrales mltiples (dobles o triples)Integrales trigonomtricas, logartmicas y exponencialesMtodos de integracinTeorema fundamental del clculoVolumen de un slido de revolucinTeora

2. se interpreta como el rea bajo la curva de f, entre a y b.Dada una funcinde una variable real y un intervalode la recta real, la integrales igual al rea de la regin del plano limitada entre la grfica de , el eje , y las lneasverticalesy, donde son negativas las reas por debajo del eje .La palabra "integral" tambin puede hacer referencia a la nocin de primitiva: una funcin F, cuyaderivada es la funcin dada . En este caso se denomina integral indefinida, mientras que lasintegrales tratadas en este artculo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen unadistincin entre integrales primitivas e indefinidas.Los principios de la integracin fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. Atravs del teorema fundamental del clculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, laintegracin se conecta con la derivacin, y la integral definida de una funcin se puede calcularfcilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a serherramientas bsicas del clculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniera.Bernhard Riemann dio una definicin rigurosa de la integral. Se basa en un lmite que aproxima elrea de una regin curvilnea a base de partirla en pequeos trozos verticales. A comienzos del sigloXIX, empezaron a aparecer nociones ms sofisticadas de la integral, donde se han generalizado lostipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integracin. La integral curvilnea sedefine para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integracin [a,b] se sustituye por unacierta curva que conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curvase sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional.Las integrales de las formas diferenciales desempean un papel fundamental en la geometradiferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de lasnecesidades de la fsica, y tienen un papel importante en la formulacin de muchas leyes fsicascmo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos modernos de integracin se basan enla teora matemtica abstracta conocida como integral de Lebesgue, que fue desarrollada por HenriLebesgue.Particin de un intervalo [a, b] 3. Una particin del intervalo [a, b] es una coleccin de intervalos contenidos en [a, b], disjuntosdos a dos (sin ningn punto en comn) y cuya unin es [a,b]. La particin de un intervaloqueda determinada por los extremos de los nuevos intervalos, y por esto, la particin se sueleexpresar nombrando dichos extremos. En la figura, la particin de[a, b] es: Estos extremos se suelen escribir en orden creciente, a = x0 < x1 < x2 < x3 < x4 < x5 = bEjemplo de particinFuncin escalonadaSea f una funcin definida en un intervalo [a, b] y tomando valores enR, f:[a,b] R;f es una funcin escalonada cuando existe una particin del intervalo [a, b] demodo que f toma valores constantes en el interior de cada uno de los intervalos de la particin.Ejemplos de funciones escalonadas 1. La funcin f: [-3, 4] R definida por: 4. La particin asociada a f(x) es P = {-3, 2, 4} y en cada intervalo la funcin es constante.Obsrvese que para cada funcin escalonada existe una infinidad de particionesasociadas. Por ejemplo, {-3, -2,0, 2, 3, 4} es otra particin asociada a f, ya que la funcin tomavalores constantes en cada intervalo de la particin.2. El ejemploms representativo de funcin escalonada es la funcin parteLa imagen de un nmero cualquiera mediante E[x] es el mayor nmero entero que es menor oigual que el nmero del que se parte.As, E [3,105] = 3 E [5] = 5 E [-3,001] = -4 E [-1,5401] = -2 E [7,32] = 7 E [-1,52] = -2De una funcin escalonada slo van a interesar los valores que toma en el interior de cadaintervalo que compone la particin, no considerando el valor que toma en los extremos.INTEG. DEF. DE FUNC. ESCALONADA 5. Sea f una funcin escalonada definida en [a, b], y P = {a = x0, x1, x2, ..., xn = b} una particinde [a, b]. Si mi es el valor que toma la funcin f en el intervalo (xi-1, xi) (es decir, si x (xi-1,xi), f(x) = mi ), se llama integral de la funcin f en [a, b] al nmerom1(x1 - x0) + m2(x2 - x1) + m3(x3 - x2) + ... + mn(xn - xn-1)Este nmero se simboliza por:A los nmeros a y b se les llama lmites de integracin, y la anterior expresin se lee integral,entre a y b, de f(x) diferencial de x.Propiedades de la integral definida de una funcin escalonadaLa integral definida de una funcin escalonada no depende de la particin elegida.Esto significa que si se considerandosparticiones P y P de una funcinSi los lmites de integracin, en una integral definida de una funcin escalonada, coinciden,entoncesSi en una integral definida se intercambian los lmites de integracin, el valor de la integralcambia de signo: 6. Ejercicio: clculo de integrales definidas de funciones escalonadasResolucin:Se toma la particin asociada P = {-3, -1, 2, 4}Resolucin:Se toma, por ejemplo, la particin P = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}Por definicin, 7. INTEGRAL DE RIEMANN Ahora se va a definir la integral de una funcin cualquiera definida en un intervalo[a, b] con la nica condicin de que est acotada, es decir, que exista un nmero M > 0, deforma que la funcin, en el intervalo [a, b], siempre tome valores entre -M y M.Volviendo al ejemplo introductorio del tema, f(x) = x, es necesario recordar que para el clculodel rea de un tringulo se tomaron funciones escalonadas g(x) cumpliendo g(x) f(x) paracualquier x [a, b] y otras funciones escalonadas h(x) tales que f(x) h(x) si x [a, b]. Detodo ello resultaba que: En general, para una funcin f(x) acotada, se toman todas las funciones escalonadas g(x)por defecto, y todas las funciones escalonadas por exceso, es decir, g(x) f(x) h(x) cuandox [a, b]. En estas condiciones, si existe un nico nmero I que cumpla 8. para cualesquiera g(x) y h(x) escalonadas, que cumplan g(x) f(x) h(x) six [a, b], al nmero I se le llama integral de f(x) entre a y b.y se lee integral, desde a hasta b, o entre a y b, de f(x),diferencial de x.Significado de la integral definida de una funcinSi una funcin positiva f(x), definida en un intervalo [a,b], es integrable (existe supor la grfica de lafuncin, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b.Si la funcin y = f(x) fuese negativa en el intervalo [a, b], la grfica de la funcin quedara pordebajo del eje de abscisas.En este caso, al tomar funciones escalonadas por exceso y por defecto, sus integralescorrespondientes seran negativas, y puesto que el rea de la regin quedetermina una funcin negativa es: 9. Este hecho no debera llamar la atencin si se tiene presente cmo est definida la integral deuna funcin escalonada: la suma de las reas de los rectngulos que determina con el eje deabscisas, si la funcin escalonada es positiva y la suma de las reas de los rectngulos quedetermina con el eje de abscisas con signo menos, si la funcin escalonada es negativa.Finalmente, si la grfica de una funcin queda parte por encima, y parte por debajo del ejede abscisas, la integral se descompondr en varios sumandos cuando se quiera calcular elrea de la regin que delimita con el eje de abscisas en el intervalo [a, b].En la figura adjunta, se ve claramente que:La definicin de integral de Riemann poco ayuda a su clculo, pues es imposible encontrartodas las funciones escalonadas por defecto y por exceso de otra funcin dada. Hay, noobstante, criterios que son mucho ms tiles de cara a decidir si una funcin acotada esintegrable o no. Uno de ellos se obtiene con el siguiente teorema, cuya demostracin se omitepor escapar de los objetivos de este libro. 10. TeoremaToda funcin continua en un intervalo es integrable en dicho intervalo.Si y = f(x) es una funcin continua definida en un intervalo [a, b], entonces f(x) esCon este teorema resulta evidente la integrabilidad de funciones como sen x, cos x, decualquier funcin polinmica y, en general, de cualquier funcin continua.An as, todava no hay nada que permita calcular de una manera rpida la integral de unafuncin f(x) definida en un intervalo [a, b].TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULOSea una funcin y = f(x) integrable en el intervalo [a, b], por tanto, tiene sentido y existeA partir de f(x) se define una nueva funcin G de la siguiente forma:Obsrvese que se ha llamado t a la variable de la funcin G para no confundirla con la variablex de la funcin f.En estas condiciones, si t0 [a, b] es un punto en el que la funcin f es continua, la funcin Ges derivable en t0 y el valor de la derivada en t0 es G(t0) = f(t0). Es decir, la derivada de lafuncin G en un punto coincide con el valor de f en ese mismo punto, o lo que es lo mismo, sila funcin f es continua, la funcin G es una primitiva de la funcin f. 11. El teorema fundamental del clculo pone todo a punto para encontrar un mtodo que permitaresolver las integrales definidas de un modo sencillo. Basta, para ello, con utilizar la importanteconsecuencia que de l se deriva y que se conoce como Regla de Barrow.Regla de BarrowSi y = f(x) es una funcin continua en el intervalo [a, b], y F(x) una funcin definida en [a,b],derivable y primitiva de f(x), es decir, F(x) = f(x) para cualquier x (a, b), entoncesEste resultado es conocido, frecuentemente, por segunda parte del teorema fundamental delclculo. Es obligado hacer notar que, para resolver una integral definida de una funcincontinua, basta con encontrar una primitiva de la funcin, sustituir en ella los lmites deintegracin superior e inferior respectivamente y restar ambos valores.Claro es que, aunque la regla de Barrow d un mtodo para el clculo de integrales definidas,no siempre es fcil encontrar las primitivas de una funcin.Conviene observar tambin que como F(b) - F(a) es un nmero, es decir, no depende de lavariable x, y que si F(x) es una primitiva de f(x), F(t) es una primitiva de f(t), f(u) es unaprimitiva de f(u), etc., todas las expresiones siguientes tienen el mismo significado:Ejercicio: clculo de reasCalcular el rea encerrada por la curva y = x2, el eje de abscisas y las rectasx = 1 y x = 2. 12. Resolucin:Dos propiedades fundamentales de la integral definidaLas dos propiedades fundamentales del clculo de primitivas siguen siendo vlidas en elclculo de integrales definidas:1. Si K es un nmero real cualquiera, 13. APLICACIONES DE LA INTEGRALClculo del rea de la superficie que determinan dos curvas al cortarse Si en un intervalo (a, b) dos funciones f(x) y g(x) cumplen que f(x) g(x), entoncesrepresenta el rea de la superficie que encierran las dos curvas.En la figura, se ha llamado A, B, C y D a las reas de las cuatro regiones que dos curvas f(x) yg(x) determinan con el eje de abscisas. Teniendo en cuenta que C es el rea de una zonasituada por debajo del eje X:Para calcular el rea encerrada por dos curvas se han de seguir, primeramente, estos pasos:Se trazan las curvas.Se sealan los puntos en los que se cortan las curvas.Se determina la zona de la que hay que calcular el rea. 14. Dependiendo de los resultados que se obtengan en los tres puntos anteriores, se procede acalcular las reas de distintas zonas, entre los lmites de integracin apropiados.As, porejemplo, en la figura anterior la zona encerrada entre las dos curvas es B + C.Para calcular su rea se procede as:Para obtener el rea de la zona B + C hay que restar las reas de A y D y sumar el rea de C.(En C se pone el signo - delante porque al estar g(x) entre c y d por debajo del eje X suintegral sera negativa.) Por tanto:Ejercicio: clculo de reasHallar el rea de la superficie que determinan las curvas f(x) = 4x - x2 y g(x) = x.Resolucin:1. Trazado de las curvas: 15. 2. Puntos de corte de las dos curvas:3. La zona de la que hay que calcular el rea es la zona coloreada. Si se llama A al rea de laparbola entre x = 0 y x = 3 B al rea del tringulo que determinan la rectay = x, el eje de abscisas y la recta x = 3 y S el rea que se quiere calcular, es evidente queS=A-BEl rea tambin se podra haber calculado as: 16. Calcular el rea de la superficie que encierran las curvas f(x) = 6x - x2 yg(x) = x2 - 2x.Resolucin:1. Trazado de las curvas:Mximos y mnimos de f(x):Mximos de mnimos de g(x):2. Puntos de corte de f(x) y g(x):Puntos (0, 0) y (4,8) 17. 3. Se ha de calcular el rea de la zona rayada.Puesto que en el intervalo (0, 4) f(x) > g(x), el rea pedida es:Calcular el rea del crculo de radio r .Resolucin:Para simplificar se supondr la ecuacin de la circunferencia de centro (0, 0) y radio r:Para ms comodidad, y sin que ello afecte a la solucin del problema, se calcular el readel cuarto de crculo situado en el primer cuadrante. El rea total ser cuatro veces el reaanterior. Por otro lado, la ecuacin del cuarto de circumferencia en el primer cuadrante es y =pues la ordenanza es positiva en el primer cuadrante. De todo lo dicho se deduce queel rea del crculo es:Para resolver esta integral se hace el cambio de variablex = r sen t dx = r cos tLos nuevos lmites de integracin se obtienen como sigue: 18. Volmenes de slidosSea un slido cualquiera en el espacio de volumen V, e imagnese una recta L con unpunto de referencia O que corte longitudinalmente al slido. Se supone, por ltimo, que elslido est completamente contenido entre dos puntos de la recta que distan,respectivamente, a y b unidades de longitud del punto O. Elegido un punto cualquiera x del intervalo [a, b], se hace pasar un plano perpendicular a larecta L por el punto x. Se llamar V(x) al volumen de la parte del slido comprendido entre a yx; y A(x) al rea de la seccin que produce el plano en el slido. En estas condiciones, es claroque V(a) = 0 y V(b) = V.Tomado otro punto de L, x + h, muy prximo a x, V(x + h) - V(x) es el volumen de un cilindrode base A(x) y altura h, y por consiguiente su volumen es A(x) h.Se debe observar, de una manera intuitiva, que la funcin A(x) es continua, puesto que altomar h infinitamente pequeo, x + h est infinitamente prximo a x y, por consiguiente, A(x + 19. h) es prcticamente igual a A(x). Es por esto por lo que en el cilindro de bases A(x) y A(x +h) se consider que ambas eran iguales.Es decir, V(x + h) - V(x) = A(x) hDividiendo entre h,En definitiva, V(x) = A(x) y puesto que V(b) = V y V(a) = 0, V = V(b) - V(a), y por el teoremafundamental del clculo,Esta frmula permite calcular el volumen de cualquier slido siempre que se puedadeterminar, en cada punto, el rea de la seccin que produce un plano perpendicular que pasapor ese punto. El plano es perpendicular a una recta elegida que atraviese el slido.Ejercicio: clculo de volmenesCalcular el volumen de un cilindro de radio r y altura h.Resolucin: 20. Si el radio de la base es r y la altura h, se elige como recta L la que coincide con el eje delcilindro, y como punto de referencia O el centro de una de las bases. Al cortar el cilindro por un plano perpendicular a la recta L por cualquier punto x, el rea dela seccin producida es un crculo de radio r . Por tanto, A(x) = r 2.Volmenes de cuerpos de revolucin Dada una funcin continua y = f(x), positiva, definida en un intervalo [a, b], al hacer girar lagrfica de la funcin alrededor del eje de abscisas, genera un cuerpo en el espacio llamado derevolucin.Al cortar por un plano perpendicular al eje de abscisas por un punto x, la seccin que aparecees un crculo de radio f(x), por lo que su rea es:Segn lo estudiado en el apartado anterior, el volumen del cuerpo es:Ejercicio: clculo de volmenes de cuerpos de revolucinCalcular el volumen de una esfera de radio r. 21. Resolucin: Al hacer girar un cuarto de circunferencia, de centro el origen de cordenadas y radio r,alrededor del eje de abscisas, se genera una semiesfera. El volumen de la esfera ser el dobledel volumen de la semiesfera.La ecuacin de la circunferencia es x2 + y2 = r2. Despejando y2: y2 = r2 - x2, [f(x)]2 = y2 = r2 - x2El volumen de la esfera es entonces:Calcular el volumen de un cono recto de altura h y radio de la base r.Resolucin:Si en un sistema de ejes cartesianos se dibuja un tringulo de vrtices (0, 0),(h, 0) y (h, r ), al hacer girar sobre el eje OX la recta determinada por (0, 0) y (h, r ), se generaun cono de altura h y radio de la base r .La ecuacin de la recta que pasa por (0, 0) y (h, r ) es 22. El volumen del cono es entonces: