Presentacin de PowerPoint

LEYDI JHOANNA SALINAS VARGASDEISY JOHANA JIMNEZ AVENDAODIANA FARLEY PINILLA REDONDOJOS RICARDO GALINDO ESPEJORICARDO GIOVANNY CCERES LENNSTOR LAUREANO BARRIOS PINEDA

PAOLA LORENA SALAZARTUTORAPROBABILIDADVARIABLES ALEATORIASABRIL DE 2013INTRODUCCINEn todo fenmeno, los datos obtenidos tienen un comportamiento especfico, es as como el anlisis de las distribuciones de probabilidad permite determinar que distribucin de probabilidad es la pertinente para un conjunto de datos.

segn la variable aleatoria que este en cuestin, las distribuciones de probabilidad son de tipo discreto y continuo, .VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Una variable aleatoria X es discreta si el nmero de valores que puede tomar es finito (o infinito contable). Debe tomar un valor particular; para ello se requiere primero definir claramente la variable aleatoria.

Simbologa: {X = x} denotar el evento formado por todos los resultados para los que: X = x por tanto P(X = x) ser la probabilidad de dicho evento. La distribucin de probabilidad de una variable aleatoria X es una descripcin del conjunto de posibles valores de X, junto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valores.

Toda distribucin de probabilidad debe satisfacer estos dos requisitos: P( X = x) = 10 P( X = x) 1VARIABLE ALEATORIA DISCRETA4 Cuando la distribucin de probabilidad se describe a partir de una ecuacin, se le denomina funcin de probabilidad.

Esta funcin f(x) = P(X = x) va del conjunto de los valores posibles de la variable aleatoria discreta X (denominado rango de X) al intervalo [0,1] y satisface las siguientes propiedades:f ( x) 0 x f ( x) = 1

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA5EJ. Determinar si la funcin f ( x) = P ( X = x) = x/3 (donde x puede ser 0, 1 2) es una funcin de probabilidad.En la siguiente tabla se resumen los posibles valores de la variable aleatoria X.

x 0 1 2 f(x)=P(X=x) 0 1/3 2/3

Observe que todos los valores de f(x) son positivos, esto es 0. Adems se cumple el segundo requisito:

f ( x) = 0 +1/3+2/3=1VARIABLE ALEATORIA DISCRETA6En ocasiones, es til poder expresar probabilidades acumuladas, esto es, valores para los que X son menores o iguales a un valor especfico x.

El uso de probabilidades acumuladas es una alternativa para describir la distribucin de probabilidad de una variable aleatoria.

VARIABLE ALEATORIA DISCRETAFUNCIN DE DISTRIBUCIN ACUMULADAS7La funcin de distribucin acumulada de una variable aleatoria discreta X, denotada por F(x) es:F ( x) = P( X x) = f (xi ) xi xPara una variable aleatoria discreta X, F(x) satisface las siguientes propiedades:0 F ( x) 1Si x y, entonces F ( x) F ( y )P ( X > x ) = 1 F ( x)F () = 0F (+) = 1VARIABLE ALEATORIA DISCRETAFUNCIN DE DISTRIBUCIN ACUMULADAS8VARIABLE ALEATORIA DISCRETASuponga que la funcin de distribucin acumulada de la variable aleatoria X es: 0 x 8VarianzaV(x)= (5 6)2(4/10) + (6-6)2(3/10) + (7-6)2(2/10)+ (8-6)2(1/10) = 1

FUNCIN DE DISTRIBUCIN ACUMULADASVARIABLE ALEATORIA CONTINUADEFINICINSe dice que una variable aleatoria X es continua si el nmero de valores que puede tomar estn contenidos en un intervalo (finito o infinito) de nmeros reales.

Dichos valores pueden asociarse a mediciones en una escala continua, de manera que no haya huecos o interrupciones.VARIABLE ALEATORIA CONTINUACARACTERSTICASLa distribucin de probabilidad de una variable aleatoria continua X est caracterizada por una funcin f(x) que recibe el nombre de funcin de densidad de probabilidad.

Esta funcin f(x) no es la misma funcin de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

La grfica de la funcin f(x) es una curva que se obtiene para un nmero muy grande de observaciones y para una amplitud de intervalo muy pequea.VARIABLE ALEATORIA CONTINUArecuerde que la grfica de una funcin de probabilidad de una variable aleatoria discreta es escalonada, dando la sensacin de peldaos en ascendencia.

Esta funcin de densidad de probabilidad f(x) permite calcular el rea bajo la curva que representa la probabilidad de que la variable aleatoria continua X tome un valor entre el intervalo donde se define la funcin.CARACTERSTICASVARIABLE ALEATORIA CONTINUA FUNCIN DE DENSIDADFormalmente, la funcin de densidad de probabilidad f(x) de una variable aleatoria continua, se define como tal, si para cualquier intervalo de nmeros reales [a, b] se cumple que:PROPIEDAD F (x) 0 f(x) dx =1 - b P (a x b) = f(x) dx aVARIABLE ALEATORIA CONTINUAPuesto que el rea total bajo f(x) es uno, la probabilidad del intervalo [a,b] es el rea acotada por la funcin de densidad y las rectas X=a y X=b, como se muestra en la figura siguiente

El modelo de variable aleatoria continua implica lo siguiente:P (a x b = P ( a x b) = P ( a x b ) = P ( a x b)VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

VARIABLE ALEATORIA CONTINUALa funcin de distribucin acumulada de una variable aleatoria continua X con funcin de densidad f(x) se define para todo x, como

VALOR ESPERADOTambin llamado Media o Esperanza Matemtica.

Es una medida de posicin para la distribucin de X.

Se representa con el smbolo .

Se calcula sumando el producto de cada valor de X con su Probabilidad correspondiente.

Frmula:

(x) = E(x) = [x f (x)]VALOR ESPERADOEj: Dada la siguiente distribucin de una variable aleatoria:

X 0 1 2F(x) 0,02 0,5 0,89

La Media est dada por:

(x) = E(x) = [x f (x)]

(x) = E(x) = (0x0,02)+(1x0,5)+(2x0,9) = 0 + 0,5 + 1,8= 2,3 24VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIALa Varianza de una Variable Aleatoria es una medida de la dispersin de la distribucin de su probabilidad.

Es calculada ponderando el cuadrado de cada desviacin con respecto a la media con la probabilidad asociada con la desviacin.

2x = V(X) = E(X- x)2 = (X- x)2.F(x)

2x = V(X) = (X2 - fx) - 2x

xxVARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIAEjemplo. Damos la siguiente tabla. Hallar Varianza

No. Ocurrencias Probabilidad1 1/52 2/53 3/54 4/55 5/5

2x = V(X) = (X2 - fx) - 2x

2x = (12 - 1/5) + (22 - 2/5) + (32 - 3/5) + (42 - 4/5) + (52 - 5/5) 2x = (1 - 0,2) + (4 - 0,4) + (9 - 0,6) + (16 - 0,8) + (25 - 1)2x = 0,8 + 3,6 + 8,4 + 15,2 + 242x = 52

xDESVIACIN ESTNDARCorresponde a la raz cuadrada positiva de la varianza.

Se representa con x

Continuando con el ejemplo anterior tendremos:

2x = 52

x = 52

x = 7,2111

TEOREMA DE CHBYSHEVPara demostrar cmo la desviacin estndar es indicadora de la dispersin de la distribucin de una variable aleatoria, el matemtico ruso Pafnuty Lvovich Chbyshev desarroll un teorema en el que ofrece una garanta mnima acerca de la probabilidad de que una variable aleatoria asuma un valor dentro de k desviaciones estndar alrededor de la media.Para cualquier variable aleatoria X con media m y desviacin estndar , la probabilidad de que X tome un valor contenido en k desviaciones estndar de la media, siendo k una constante positiva cualquiera, es cuando menos 1 1 - -------- kSimblicamente, el teorema se expresa de cualquiera de las siguientes maneras:TEOREMA DE CHBYSHEV2

TEOREMA DE CHBYSHEVLa desigualdad de Chbyshev es muy importante, ya que permite determinar los lmites de las probabilidades de variables aleatorias discretas o continuas sin tener que especificar sus funciones de probabilidad. Este teorema asegura que la probabilidad de que una variable aleatoria se aleje de la media no ms de k desviaciones estndar, es menor o igual a 1/k para algn valor de k > 1.

Aunque la garanta no siempre es muy precisa, la ventaja sobre este teorema es su gran generalidad por cuanto es aplicable a cualquier variable aleatoria con cualquier distribucin de probabilidad, ya sea discreta o continua.2TEOREMA DE CHBYSHEVEjemplo.

El nmero de licencias de conduccin expedidas en una ciudad durante el mes de junio puede considerarse como una variable aleatoria cuya distribucin de probabilidad se desconoce, pero se estima que su media sea aproximadamente m=124 y su desviacin estndar =7,5. Segn el teorema de Chbyshev, con qu probabilidad se puede afirmar que se expedirn entre 64 y 184 licencias de conduccin en esa ciudad durante el mes de junio?

TEOREMA DE CHBYSHEVPara dar solucin a este problema se debe conocer cul es ese valor de k. Para ello se parte de la definicin de una desigualdad menor que de un valor absoluto:

Tomando el factor de la izquierda, se tiene

TEOREMA DE CHBYSHEVDe manera que la desigualdad de Chbyshev queda planteada:

De modo que se puede afirmar que se expedirn entre 64 y 184 licencias de conduccin en esa ciudad durante el mes de junio con una probabilidad del 98,44%.Esto quiere decir que: -k + m=64 o bien que k + m=184. Al despejar k de cualquiera de ellas se tiene: