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Instituto Tecnológico de Querétaro

Ingeniería Mecatrónica

Mecánica de Fluidos

Ecuación de continuidad y Ecuación de Bernoulli

Héctor Noguez Cruz

09/12/2013

INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DE FLUIDOS, ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

La dinámica de fluidos estudia y describe las leyes que rigen el movimiento de los fluidos. Para

describir el movimiento de un fluido primero debemos describir como se mueve un fluido.

Para el estudio de la dinámica de fluidos se puede tomar el movimiento de estos como sobre una

línea a la que llamaremos línea de corriente.

Esta línea de corriente está compuesta de varias

partículas que se mueven bajo estas líneas de

corriente, podemos analizar el movimiento de una de

estas pasticulas en un instante dado bajo las

condiciones variables que describen su movimiento

como lo son: densidad (ρ(x,y,z,t)); posición (

(x,y,z,t)); velocidad ( (x,y,z,t)), presión (P (x,y,z,t)).

Ahora imaginemos un tubo de corrientes, lo cual es gráficamente lo siguiente.

Un tubo conformado por varias líneas de corriente.

Ahora con fines de análisis se imagina que el tubo no

tiene ni entradas, ni salidas, es decir el tubo es cerrado,

también simplificando el modelo se dice que el fluido

estudiado es incompresible, lo cual significa que su

densidad es constante, también el flujo es irrotacional, es

decir que el fluido no posee un movimiento angular, al

igual que se desprecia la viscosidad del fluido y por último consideramos un flujo estacionario, es

decir que las magnitudes físicas de interés no dependen del tiempo.

Ya sabiendo esto podemos deducir la ecuación de continuidad. Se imagina una cierta porción de

fluido que entra por un lado del tubo de corrientes por otra porción que sale de él. Los cuales se

consideran como diferenciales de masa es decir tenemos

Dónde el volumen puede considerarse como

En la cual es el desplazamiento que tubo la partícula en ese instante. Sustituyendo la ecuación

queda de la siguiente manera.

Ahora esta partícula lleva una cierta velocidad ahora podemos relacionar esto con el

desplazamiento dS de la siguiente forma

Y sustituyendo queda

También se pueden tener las mismas consideraciones para la salida del flujo por lo cual se puede

escribir los siguiente

Teniendo esto podemos deducir las razones de cambio de la masa por unidad de tiempo tanto a la

entrada como a la salida lo cual sería de la siguiente forma

y

Ahora como no hay entradas ni salidas de fluido, es decir que existe una conservación lo cual

quiere decir que

Lo cual quiere decir que

Pero sabemos que las densidades son constantes es decir que lo cual nos lleva a una

cancelación en la ecuación quedando de la siguiente forma.

Esto quiere decir que lo cual es el fundamento de la ecuación de continuidad.

Al producto Av se le denomina Q=caudal=constante. (Que es una magnitud escalar)

⁄

Lo cual nos lleva a la siguiente expresión del caudal

ECUACIÓN DE BERNOULLI

La ecuación de Bernoulli se deduce a través del teorema de la conservación de la energía mecánica

que es :

∑ (la sumatoria de fuerzas no conservativas)

Dónde

∑

Lo que nos da

∑

Ahora sabiendo que

Sustituyendo en la ecuación anterior tenemos que

∑

Entonces por la ecuación de continuidad vista anteriormente

Como no hay ni entrada ni salida de líquido podemos decir que la cantidad de masa movida al

principio y al final del análisis debe ser la misma

Lo que quiere decir que

Y como vimos si es un fluido incompresible las densidades son iguales y por lo tanto las dos

cantidades de volumen son iguales es decir:

∑

Ahora pasamos con el análisis del cambio de la energía mecánica

Donde K es la energía cinética y U la energía potencial.

Entonces

Desarrollando quedaría

(

) (

)

Como dedujimos anteriormente

Sustituyendo y factorizando

(

)

Teniendo ya la expresión de cambio de energía mecánica y sumatoria de fuerzas no conservativas

se reescribe la ecuación inicial del teorema de la conservación de la energía mecánica:

(

)

Las diferencias de volumen son iguales por lo tanto se hacen uno y la expresión queda como

Lo cual reacomodando términos da como resultado

Donde

Lo que nos lleva a pensar que

(

)

Lo que implica que

(

)

PROBLEMAS DEMOSTRATIVOS DE BERNOULLI y ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

Practica demostrativa

Explicar mediante la ecuación de Bernoulli un problema físico en el que se sopla aire a través de un

embudo de la siguiente manera. Se debe explicar porque la pelota se mantiene en el embudo en

lugar de salir disparada cuando se sopla por el embudo.

Para este problema primero consideremos dos puntos de estudio

uno ubicado dónde el aire está en movimiento P1 y otro ubicado

en la parte baja donde el aire esta aparentemente en reposo P2.

Y pongamos también un punto de referencia para ubicar los

puntos.

Los puntos P1 y P2, están infinitesimalmente cerca de la

línea de referencia, así que despreciaremos las distancias,

además consideramos que la velocidad 2 es cero , por lo

cual la ecuación de Bernoulli queda como

De lo anterior se obtiene que

Esto quiere decir que

Esto se sabe puesto que la diferencia de presiones debe dar una cantidad positiva ya que aún si la

velocidad es negativa con respecto al punto de referencia esta se elevará al cuadrado y la

densidad es una cantidad positiva.

Y ahora sabiendo que

Y sabiendo que

Podemos deducir que la fuerza ejercida perpendicularmente sobre la superficie de la pelota en el

punto 1 es menor a la ejercida en el punto dos, la diferencia de fuerzas entrega una fuerza que

empuja a la pelota hacia el embudo y esta es la razón por la cual no se cae.

Problema 1

Una regadera tiene 20 agujeros circulares cuyo radio es de 1 mm. La regadera está conectada a

una manguera de 0.8 cm de radio. Si la rapidez del agua en la manguera es de 3 m/s. ¿Con que

rapidez saldrá el agua por cada agujero?

Como se muestra en el dibujo la manguera no tiene reducciones ni fugas de ningún tipo así que

suponemos que la velocidad y flujo es el mismo en toda la manguera. Por tanto sabemos que la

velocidad V1=3 m/s y la A1 y v2=? A2

Ahora por la ecuación de continuidad tenemos que

Pero esto se consideraría en el caso de que se tratara solo de u agujero considerando los 20 se

tendría que repartir el caudal entre los 20 agujeros lo que resultaría en una modificación a la

ecuación anterior

Por lo tanto sustituyendo valores

Entonces v2=9.6 m/s

Esto es la velocidad en un agujero.

Problema 2

Durante un huracán está soplando aire sobre el tejado de una casa a una velocidad de 110 km/h.

a) ¿Cuál es la diferencia de presión entre el interior y el exterior que tiende a levantar el tejado?

b) ¿Cuál sería la fuerza ascensional en un tejado de 93 m2 de área?

(La densidad del aire a 20°C es de 1.2 Kg/m3)

Veamos los datos que tenemos primero tomamos igual que en el ejemplo anterior el techo como

punto de referencia para los dos sistemas donde las distancias de los puntos de estudio son

despreciables, es decir iguales a cero. Tenemos que en el punto 1 hay una v1=110 km/h=30.55 m/s

Y1=0, P1=?. Mientras que dentro de la casa tenemos que v2=0, y2=0 y P2=?

Por tanto la ecuación de Bernoulli toma la siguiente forma

Lo cual si despejamos para que nos quede la diferencia de presiones queda

Sustituyendo con valores

1.2)(30.55)2/2= 560.18 Pa

En el inciso b) se nos pide determinar cuál sería la fuerza ascensional ejercida sobre el tejado si

este tuviera 93 m2 de Área.

Tenemos que F=PA y la fuerza ascensional del tejado sería la diferencia entre la fuerza que empuja

el techo hacia abajo y la que lo empuja hacia arriba.

Factorizando el área ya que es la misma (el tejado)

Pero sabemos que

Problema 3

Un tanque está lleno de agua hasta una altura H. En una de sus paredes se taladra un orificio a

una profundidad h, bajo la superficie del agua. Calcular:

a) La rapidez con que sale el agua por el orificio, b) El alcance x del chorro medido desde la

base del tanque. C) A que profundidad h se debe perforar un agujero para que el alcance

x sea máximo y d) A que profundidad debe abrirse otro agujero para que el alcance sea el

mismo que el del inciso b).

H=10m h=2m

a) Para este inciso se nos pide determinar la velocidad a la que sale el agua en el punto dado

consideremos entonces los datos que nos dan.

Para el punto p1 tenemos que P1=atm, v1=0 el líquido está prácticamente estático en este punto

por lo tanto consideramos esta velocidad cero, y1=2 m

Para el punto 2 P2=atm también porque se toma el fluido cuando ya está saliendo, v2= ¿ , y2=0

Por tanto la ecuación de Bernoulli toma la siguiente forma

Despejando la velocidad

√

Lo que resulta

√ √

b) Este inciso nos pide el alcance del chorro de agua, para lo cual debemos recurrir a las

ecuaciones de tiro parabólico.

Dónde y

Ahora no conocemos el tiempo pero conocemos la posición en y, para lo cual nos apoyamos de la

ecuación

La velocidad en y es igual a cero por tanto

√

Pero y=H-h que al estar por debajo de mi punto de referencia se convierte en –(H-h)

√ √

Sustituyendo en la ecuación de desplazamiento en x

(√

) (√ )(√

) √

√

√

Lo que sutituyendo nos da

√

c) En este inciso se nos pide calcular el punto que nos da el desplazamiento en x máximo.

Para esto recurrimos al teorema del valor máximo de cálculo diferencial.

Primero necesitamos una expresión de la función a maximizar en términos de una solo variable

para lo cual nos apoyaremos de la expresión encontrada en el inciso anterior

√

Por lo que

[

]

√

Igualamos a cero para encontrar un máximo ó mínimo

√

Para comprobar que es un máximo usamos el criterio de la segunda derivada

√

√

Sustituyendo valores

√

( )

√(

)

√

( )

√(

)

Lo cual nos indica que es un máximo

Ahora si continuando el valor máximo de x es cuando

Sustituyendo tenemos que la x máxima es de

√

√

√

Por lo tanto Xmax=10m

d) A que profundidad debe abrirse otro agujero para que el alcance sea el mismo que el del

inciso b).

Para esto también tomamos la expresión encontrada en el inciso b)

√

Considerando como conocida x podemos tener la siguiente expresión

Reacomodando esta ecuación obtenemos una ecuación de segundo grado

Resolviendo la ecuación de segundo grado tenemos

Por tanto la otra altura a la que debe estar es m

Comprobando lo anterior tenemos que

√ √ √

Bibliografía Merlo, L. A. (9 de Enero de 2013).

https://www.youtube.com/channel/UCvThY8eyKOnPxhJquurcW1Q. Obtenido de

https://www.youtube.com/watch?v=IisrIpvtlME&list=PLgeh_RfSoZhJXjxxTQ_1WDsr7VXnV

Vx3Y&index=10