Trabajo Grado Carlos Díez

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MÉTODO GENERAL PARA LA DEMOSTRACIÓN DE

PROPOSICIONES MATEMÁTICAS

Carlos Alberto Díez Fonnegra [email protected]

Trabajo de grado para optar por el título de matemático

Director: Ing. Pervys Rengifo Rengifo

Konrad Lorenz- Fundación Universitaria Facultad de Matemáticas e Ingenierías

Bogotá Noviembre de 2008



RESUMEN Se ha desarrollado un método general para demostrar proposiciones matemáticas, que

está basado en estrategias metacognitivas. Para esto, se hace detallada descripción de las

técnicas de demostración más comunes y de los errores lógicos que se suelen cometer al

demostrar. Tanto las primeras como los segundos se integran en el método, dando así

estructura al proceso demostrativo matemático.

ABSTRACT General method to proof mathematical statements:

A general method based on metacognitive strategies has been developed to proof

mathematical statements. For this, there is a detailed description of the most common

proof techniques and logical mistakes that are usually commited when proving. The first

ones as well as the second ones are integrated in the method, giving structure to the

mathematical proving process.



ÍNDICE GENERAL

INTRODUCCIÓN .............................................................................................. 4

UN DIÁLOGO ILUSTRADOR .............................................................................. 7

1. PRELIMINARES ......................................................................................... 10

1.1. ¿POR QUÉ UN MÉTODO GENERAL PARA DEMOSTRAR? ................................................ 10 1.2. ¿CUÁL ES LA DIFERENCIA ENTRE UNA PRUEBA QUE PRUEBE Y UNA QUE EXPLIQUE? .............. 11 1.3. ¿CUÁL ES LA DIFERENCIA ENTRE ESCRIBIR UNA DEMOSTRACIÓN Y PENSAR UNA

DEMOSTRACIÓN? ............................................................................................... 12 1.4. ¿CUÁL ES LA DIFERENCIA ENTRE ESCRIBIR BIEN LAS DEMOSTRACIONES Y SABER

DEMOSTRAR? .................................................................................................... 12

2. CONCEPTOS DE BASE ................................................................................ 13

2.1. ¿QUÉ ES DEMOSTRAR UNA PROPOSICIÓN MATEMÁTICA? ............................................ 13 2.2. ¿CUÁLES SON LOS PRELIMINARES LÓGICOS Y DE LENGUAJE MATEMÁTICO QUE SE

NECESITAN PARA COMPRENDER EL PROCESO DE DEMOSTRACIÓN? ....................................... 14

3. TÉCNICAS DE DEMOSTRACIÓN .................................................................. 19

3.1. DEMOSTRACIÓN POR REDUCCIÓN AL ABSURDO. ...................................................... 19 3.2. DEMOSTRACIÓN POR CONTRARRECÍPROCO. ........................................................... 20 3.3. DEMOSTRACIÓN POR INDUCCIÓN. ..................................................................... 21 3.4. DEMOSTRACIÓN REGRESIVA- PROGRESIVA. .......................................................... 22 3.5. DEMOSTRACIÓN POR DISTINCIÓN DE CASOS. ........................................................ 26 3.6. DEMOSTRACIÓN DE EXISTENCIA. ....................................................................... 27 3.7. DEMOSTRACIÓN DE UNICIDAD. ......................................................................... 28

4. ERRORES LÓGICOS COMUNES AL HACER DEMOSTRACIONES .................... 31

4.1. USAR LA TESIS COMO HIPÓTESIS Y DEMOSTRAR LA HIPÓTESIS. .................................... 31 4.2. DEMOSTRAR DANDO SALTOS DEMASIADO LARGOS ENTRE LAS PROPOSICIONES. ................. 31 4.3. USAR PROPOSICIONES FALSAS COMO SOPORTE DE LA DEMOSTRACIÓN. .......................... 31 4.4. DEMOSTRACIÓN VERBAL. ................................................................................ 31 4.5. USAR UNA LÓGICA INCORRECTA. ....................................................................... 32 4.6. HACER SUPOSICIONES INCORRECTAS. ................................................................. 32 4.7. SOBRE LAS DEFINICIONES. ............................................................................. 32 4.8. ASUMIR DEMASIADO. .................................................................................... 32

5. CONTEXTOS DE USO DE LAS TÉCNICAS DE DEMOSTRACIÓN...................... 33

5.1. DEMOSTRACIÓN POR INDUCCIÓN ...................................................................... 33 5.2. DEMOSTRACIÓN POR REDUCCIÓN AL ABSURDO ....................................................... 34 5.3. DEMOSTRACIÓN POR CONTRARRECÍPROCO ............................................................ 35 5.4. DEMOSTRACIÓN REGRESIVA-PROGRESIVA ............................................................ 35

6. MÉTODO GENERAL PARA DEMOSTRAR PROPOSICIONES MATEMÁTICAS ... 37

7. CONCLUSIONES ......................................................................................... 45

8. RECOMENDACIONES .................................................................................. 47



INTRODUCCIÓN La demostración matemática, concebida como proceso de pensamiento, da base a la

construcción de la teoría matemática. Sin embargo, no es posible concebirla de esta

forma sin tener antes un dominio de las técnicas, tanto algorítmicas como heurísticas,

involucradas en ésta.

Esto es reconocido por numerosos escritos como los producidos por Solow [Sol93],

Velleman [Vel94] y otros más. Sin embargo, todos estos materiales hacen énfasis en los

aspectos puramente matemáticos de la demostración, sin profundizar en los aspectos

lingüísticos y sin integrar las técnicas en una estructura que permita la selección eficiente

por medio de sus contextos de aplicación. Este es el aporte de este trabajo al

conocimiento de la técnica demostrativa matemática.

Este escrito se desarrolla en seis capítulos principales, a saber: el capítulo de los

preliminares argumenta la necesidad de un método general para demostrar proposiciones

matemáticas y resalta la importancia de comprender que la forma de pensar una prueba

es diferente a la forma de escribirla.

El capítulo sobre los conceptos de base hace una descripción rápida pero completa de

los conceptos lógicos que son prerrequisitos para hacer y comprender las demostraciones

matemáticas: los conceptos estructurales de una teoría matemática, las operaciones

lógicas y los cuantificadores, se explican allí. Además se hace una caracterización de los

tipos de lenguaje en los que están escritas las proposiciones matemáticas y los diferentes

niveles que los componen, para que sirva como herramienta de comprensión

metacognitiva de los teoremas a demostrar. No obstante esta herramienta no se usa

explícitamente en el método por considerarse que lo puede hacer bastante dispendioso, sí

se convierte en un excelente marco de pensamiento de la construcción de la

demostración.

El capítulo sobre las técnicas de demostración presenta cada una de éstas con su

procedimiento explícito y ejemplos que ayudan a su comprensión. Es seguro que en él,

un matemático formado y, más aun, en formación encontrará elementos útiles para

estructurar su conocimiento, que algunas veces (por no decir la mayoría de las veces) es

más que intuitivo.



En el capítulo posterior a las técnicas se presentan algunos errores lógicos que se

cometen comúnmente al hacer demostraciones. Este capítulo se escribe como un intento

de advertir sobre estos errores, pero lo más probable es que se pueda usar como lista de

chequeo posterior a la escritura de la demostración.

Antes de presentar el método, objetivo de este trabajo, se presenta un capítulo que

describe los contextos de uso de cada uno de las técnicas más comunes de demostración.

Este es, al parecer del autor, uno de los aportes más valiosos de este trabajo al

conocimiento de la técnica demostrativa matemática, pues provee un algoritmo para

seleccionar eficientemente la técnica más propicia para cada tipo de proposición, sin

necesidad de hacer uso del método de ensayo y error.

El capítulo central del trabajo es el que se refiere al método, sin embargo, este capítulo

no funcionaría sin la integración con los mencionados anteriormente. Haber escogido

esta forma de presentación (dejar de último este capítulo) evidencia la lógica inductiva del

trabajo. En este capítulo se da un algoritmo general para pensar demostraciones

matemáticas; dicho método se basa en la metacognición de los procesos de comprensión

de las proposiciones involucradas en los teoremas, y provee una estructura para la

selección eficiente de las técnicas de demostración.

Por último, es importante anotar que por la vocación pedagógica y educativa del autor,

las recomendaciones que se proponen al final de este trabajo se inclinan exclusivamente

en este sentido, con el fin de que este método sirva para apoyar la formación de futuros

matemáticos en esta competencia fundamental para su desempeño profesional.



AGRADECIMIENTOS

Por ser excelentes „conejillos de indias‟ y permitirme enseñarles el método que desarrollo en el trabajo, a María Paula Baquero y Germán Hernández.

Por oficiar como mis supervisores para lograr que reuniera suficiente de mi capacidad

ejecutiva como para hacer este trabajo, a Ana Milena Matallana y María Luisa Ramirez.

Por „dejarme ser‟, creer en mí y darme excelentes ideas, no sólo para este trabajo, sino para la vida, a Pervys Rengifo.

Por haberme traído al mundo (en complicidad con Dios)

y dejarme alguna herencia genética de su inteligencia, a mi mamá.



UN DIÁLOGO ILUSTRADOR Alfa: He descubierto una nueva verdad matemática.

Beta: ¿De verdad? ¿Cuál es?

Alfa: Para cada entero x, si x es par, entonces x2 es par.

Beta: Hmm. . . ¿Estás seguro de que esto es cierto?

Alfa: Claro, ¿no es obvio?

Beta: No, no para mí.

Alfa: Bien. Dame un entero x, y yo te mostraré que lo que te digo es cierto.

Beta (con actitud suspicaz): Listo. Probemos con x = 17.

Alfa: Es fácil. 17 no es par, entonces la proposición „si 17 es par, entonces 172 es par‟ es

trivialmente cierta. Dame uno más difícil.

Beta: Listo, probemos con x = 62.

Alfa: Dado que 62 es par, debo mostrarte que 622 es par.

Beta: Así es.

Alfa (contando con sus dedos): De acuerdo a mis cálculos, 622 = 3844, y 3844 es

claramente un par…

Beta: Espera. No es tan claro para mí que 3844 es par. La definición dice que 3844 es par

si existe un entero y tal que 3844 = 2y. Si tú quieres ir por ahí diciendo que 3844 es par,

tienes que producir un entero y que funcione.

Alfa: ¿Qué tal y = 1922?

Beta: Sí, tú tienes un punto en eso. Entonces tú has mostrado que la proposición „si x es

par, entonces x2 es par‟ es verdad cuando x = 17 y cuando x = 62. Pero x podría ser uno

entre billones de enteros. ¿Cómo podrías saber que es cierta para cada uno de éstos?

Alfa: Sea x un entero.



Beta: ¿Cuál entero?

Alfa: Cualquier entero de todos. No importa cuál sea. Voy a mostrarte que, usando sólo

el hecho de que x es un entero y nada más, si x es par, entonces x2 es par.

Beta: Perfecto… dale.

Alfa: Entonces supón que x es par.

Beta: Pero, ¿y si no lo es?

Alfa: Si x no es par, entonces la proposición „si x es par, entonces x2 es par‟ es

trivialmente cierta. El único caso que hay que tener en cuenta es cuando x sea par.

Beta: Muy bien, ¿entonces qué se hace si x es par?

Alfa: Por la definición de „par‟, nosotros sabemos que existe por lo menos un entero y tal

que x = 2y.

Beta: Sólo uno, de hecho.

Alfa: Yo también pienso eso. De todos modos, sea y un entero tal que x = 2y. Elevando

al cuadrado a ambos lados de la ecuación, tenemos x2 = 4y2. Ahora para probar que x2 es

par, tengo que mostrar un entero que multiplicado por dos sea x2.

Beta: ¿y no funciona 2y2?

Alfa: Sí funciona. Entonces está hecho.

Beta: Y como tú no has dicho nada sobre lo que es x, excepto que es un entero, tú ya

sabes que funciona para cualquier entero.

Alfa: Correcto.

Beta: OK, ahora entiendo.

Alfa: Entonces, acá hay otra verdad matemática. Para cada entero x, si x es impar,

entonces x2 es…

(Traducido de [Hut])



1. PRELIMINARES En esta sección se hacen algunas consideraciones necesarias antes de entrar de lleno en el

aspecto técnico de la demostración matemática.

1.1. ¿Por qué un método general para demostrar? Se ha considerado la demostración matemática como una vía formal para expresar

formas particulares de razonamiento y justificación; se podría pensar que sólo se es capaz

de entender las matemáticas si se es capaz de razonar en términos de demostraciones.

Actualmente, el uso de la demostración en las matemáticas se ha limitado a la

verificación. Pero la demostración tiene un rol más amplio que la sola verificación

matemática; este rol pasa por la creación de nuevo conocimiento matemático, la

educación de los procesos de pensamiento y la comprensión de las ideas matemáticas ya

existentes. Se podría pensar incluso que la demostración es más importante que los

mismos teoremas, porque ayuda a desarrollar y aprender estrategias, formas de

pensamiento y métodos que están incorporados en la verificación.

Y aunque hay variedad de textos que presentan técnicas para demostrar, no hay uno que

presente un método general para demostrar, que permita integrar cada técnica existente

en un solo algoritmo eficiente y comprensible.

Por eso, se hace necesario disponer de un método general de demostración que permita a

los matemáticos tener criterios claros de selección de las mejores estrategias para cada

tipo de proposición.

Este algoritmo se constituye además en uno de los pilares de una tecnología automática

de demostración, pues permite sistematizar en alguna medida los heurísticos

involucrados en el proceso demostrativo.

Es necesario aclarar que el método que se presenta acá tiene un trasfondo pedagógico

importante; en esa medida, es un método diseñado para comprobar las verdades

matemáticas ya probadas, con el fin de generar comprensión de éstas por parte de quien

las demuestra, pero no fue diseñado para refutar proposiciones falsas (aunque en una

versión más adelante se podría desarrollar esta parte), ni mucho menos para determinar si

una proposición es indecidible.



1.2. ¿Cuál es la diferencia entre una prueba que pruebe y una que explique? En numerosos trabajos sobre el aspecto didáctico de la demostración se hace énfasis en

que uno de los usos más productivos de ésta es generar comprensión sobre los objetos

matemáticos. Por eso, al enseñar a demostrar hay que hacer la diferencia entre probar y

probar explicando porque de esto depende que se le saque el mayor partido,

pedagógicamente hablando, al proceso de razonamiento para la demostración.

Para lograr esto hay que definir con claridad tres términos que se suelen confundir en el

argot matemático: explicación, prueba y demostración.

Llamamos explicación a un discurso que trata de hacer inteligible el carácter de verdad,

adquirido por el locutor, de una proposición o de un resultado. Las razones expuestas

pueden ser discutidas, refutadas o aceptadas.

Llamamos prueba a una explicación aceptada por una comunidad dada en un momento

dado. Esta decisión puede ser objeto de un debate cuya significación es la exigencia de

determinar un sistema de validación común a los interlocutores.

En la comunidad matemática sólo pueden aceptarse como pruebas las explicaciones que

toman una forma particular. Son una secuencia de enunciados organizada según reglas

determinadas: un enunciado se reconoce como verdadero cuando es deducido a partir de

los que lo preceden con ayuda de una regla de deducción tomada en un conjunto de

reglas bien definido. Llamamos demostraciones a estas pruebas.

Por otra parte, se reserva la palabra razonamiento para designar la actividad intelectual, en

su mayoría no explícita, de manipulación de informaciones para, a partir de datos,

producir nuevas informaciones. Cuando las informaciones proceden del ámbito

matemático, se habla de razonamiento matemático.

Así pues, una demostración matemática, usada para propósitos didácticos, debe hacer

explícito, en primer lugar, su carácter de explicación, de modo que por vía de la

comprensión cabal, el estudiante acceda a su carácter de prueba. Esto es esencial como

elemento programático de la enseñanza de la demostración. No se puede permitir que lo

que es común en todos los niveles y contextos: que los estudiantes aprenden matemática

que es nueva para ellos pero que consiste de resultados conocidos. Saben que los

resultados son verdaderos pero no entienden por qué son verdaderos.



1.3. ¿Cuál es la diferencia entre escribir una demostración y pensar una demostración?

Una de las falacias más comunes que se le presentan al matemático aprendiz es creer que

el orden en que se escribe una demostración es el mismo orden en el que se piensa.

En el proceso de demostración matemática siempre se conocen (aunque no

necesariamente se comprendan cabalmente) el principio y el fin, sin embargo no se

conoce el camino para ir de uno a otro. Este camino no se descubre „caminándolo‟. Es

necesario planearlo antes de recorrerlo y esto es una de las particularidades que hace

difícil realizar una prueba: la necesidad de pensar recursivamente.

La dificultad del pensamiento recursivo radica en que es necesario proponer las causas o

consecuencias de una proposición, sin conocer a fondo aun de dónde vienen o hacia

donde van, respectivamente. Esto se puede comprender mediante la analogía de la

construcción de un puente [Che04], proceso en el cual siempre se cuenta con los dos

terrenos a conectar, pero es necesario comenzar en ambos sentidos: desde el inicio hacia

el fin y desde el fin al inicio, con el objetivo de encontrarse en el medio con el avance en

las dos vías.

1.4. ¿Cuál es la diferencia entre escribir bien las demostraciones y saber demostrar? En algunos entornos matemáticos se ha filtrado la idea de que hacer demostraciones es

escribir con rigor.

Es cierto que la escritura rigurosa es uno de los mayores pilares de las matemáticas, dado

su carácter deductivo y exacto; sin embargo, no quien sabe escribir rigurosamente, sabe

demostrar proposiciones matemáticas. No, el orden de causalidad no es ese.

Se propone, más bien, que el orden de causalidad se dé a partir de la comprensión de la

prueba. Es decir, la escritura rigurosa debe ser consecuencia de haber entendido la

estructuración y elementos de una demostración.



2. CONCEPTOS DE BASE

2.1. ¿Qué es demostrar una proposición matemática? Demostrar una proposición matemática implica convencer a otras personas, mediante el

recurso de la argumentación, de la veracidad de dicha proposición [Hut]. Detrás de esta

afirmación se puede ver el carácter de construcción comunitaria que tiene la

demostración. Es decir, demostrar es „crear‟ verdades que se constituyen como tal por la

aceptación de una comunidad matemática o, de manera contraria, una comunidad

matemática se construye porque cree las mismas verdades demostradas bajo las mismas

reglas.

Lograr esta aceptación depende de algunos factores que son inherentes a la

demostración.

En primer lugar, la persona que convence y las personas que se pretenden convencer

deben hablar el mismo idioma. Y esto está más allá de que sólo compartan el mismo

lenguaje verbal, sino que ambas partes deben compartir los mismos lenguajes lógico y

conceptual, que les permita llevar la argumentación sobre las mismas bases y por caminos

conocidos y aceptados.

Es necesario ampliar lo formulado en el anterior párrafo para sentar las bases

conceptuales de lo que es una demostración, sobre las cuales se construirá el cuerpo de

este trabajo.

Para que ocurra la demostración matemática debe suceder que se compartan tres tipos de

lenguaje, a saber:

- Lenguaje verbal: se trata del lenguaje en el que están escritas las palabras por

medio de las cuales se comunica la prueba.

- Lenguaje lógico: se trata de la estructura que subyace a la argumentación y que

depende de la teoría lógica usada para probar.

- Lenguaje conceptual: se trata de los significados de los términos (verbales y

matemáticos) que se usan para construir la prueba.



Más aun, cada uno de los anteriores lenguajes tiene tres niveles, que las dos partes deben

compartir:

- Nivel sintáctico: se refiere a los signos, símbolos y señales de las que está

constituido cada tipo de lenguaje.

- Nivel gramatical: se refiere a la forma de organizar los elementos del nivel

sintáctico para dotar de sentido las estructuras. Este nivel tiene asociada la

característica del rigor, que facilita los procesos en el siguiente nivel.

- Nivel semántico: se refiere a los significados de las diferentes estructuras

construidas en el nivel gramatical.

Entonces, compartir los tres tipos de lenguaje en sus tres niveles permite que se puedan

construir y comunicar argumentaciones matemáticas que se constituyan en

demostraciones.

En términos procedimentales, una demostración matemática es una serie de

proposiciones, cada una de las cuales se sigue lógicamente de las anteriores; que empieza

desde algunas proposiciones que se asume (o se conoce) que son ciertas; y que termina

con la proposición que contiene el hecho que se busca probar [Che04]. De esto se puede

deducir que una demostración matemática tiene tres partes secuenciadas en su escritura:

un inicio, un desarrollo y un cierre; sin embargo, estas partes no están necesariamente

secuenciadas así en el proceso de pensamiento para la construcción de la prueba.

2.2. ¿Cuáles son los preliminares lógicos y de lenguaje matemático que se necesitan para comprender el proceso de demostración?

Proposición: enunciado en el que se afirma algo. Este enunciado puede ser verdadero o

falso. En general, las proposiciones matemáticas son el sujeto de la demostración, que

como ya se dijo, es un proceso por el cual se determina la veracidad de una proposición,

llamada tesis, a partir del conocimiento de la veracidad de otras, llamadas hipótesis.



Axioma: es un principio básico que es asumido como verdadero sin recurrir a

demostración alguna. En esta medida son las proposiciones iniciales de una teoría

deductiva, de las cuales pueden derivarse otras proposiciones mediante demostraciones.

Teorema: es una forma de referirse a una proposición que es central en la construcción

de una teoría.

Corolario: es una verdad que se deriva inmediatamente de la veracidad de un teorema,

por lo tanto no necesita una demostración particular.

Lema: es un teorema que es necesario para la demostración de otro y que, por lo tanto,

debe ser demostrado con anterioridad. Regularmente los lemas no pertenecen a la línea

central de la teoría.

Definición: en matemáticas, proposición o conjunto de proposiciones que describen

tautológicamente un término matemático; por lo tanto, una demostración no requiere

demostración y puede ser usada en ambos sentidos: desde el término hacia las

proposiciones o del conjunto de proposiciones hacia el término.

Una forma de representar gráficamente el sentido de los últimos cinco términos

definidos es:

Figura 1. Representación de la relación entre axioma, teorema, lema, corolario y definición.

AXIOMA

TEOREMA

LEMA COROLARIO

DE

F

I

N

I

C

I

Ó

N

TEOREMA

TEOREMA



Proposición recíproca o recíproco: es una implicación cuyo consecuente es el

antecedente de otra (llamada implicación directa) y cuyo antecedente es el consecuente

dicha implicación directa. El valor de verdad de la proposición recíproca no

necesariamente es el mismo de la proposición directa.

Proposición contrarrecíproca o contrarrecíproco: es una implicación cuyo

antecedente es la negación del consecuente de la implicación directa y cuyo consecuente

es la negación del antecedente de la implicación directa. El valor de verdad de la

proposición contrarrecíproca necesariamente es el mismo de la proposición directa.

Operadores lógicos:

Negación: sea una proposición p, entonces „no p‟ o „negación de p‟ se define como:

Verdadera, cuando p es falsa;

Falsa, cuando p es verdadera.

Conjunción: sean p y q dos proposiciones, entonces la proposición compleja „p y q‟ se

define como:

Verdadera, cuando p y q son ambas verdaderas;

Falsa, cuando p es falsa o q es falsa o ambas son falsas.

Disyunción: sean p y q dos proposiciones, entonces la proposición compleja „p o q‟ se

define como:

Verdadera, cuando p es verdadera o q es verdadera o ambas son verdaderas;

Falsa, cuando p y q son ambas falsas.

Implicación: sean p y q dos proposiciones, entonces la proposición compleja „p entonces q‟

se define como:

Falsa, cuando q es verdadera y p es falsa;

Verdadera, en cualquier otro caso.

Si en las implicaciones p es falsa, se dice que su valor de verdad es trivialmente

verdadero.



Equivalencia: sean p y q dos proposiciones, entonces la proposición compleja „p equivale a

q‟ se define como:

Verdadera, cuando ambas proposiciones son verdaderas o ambas falsas;

Falsa, en cualquier otro caso.

Cuantificadores: una proposición puede ser verdadera siempre o en algunas

circunstancias particulares. La forma lógica de poner en evidencia esta condición es

mediante los cuantificadores.

Si una proposición es cierta bajo toda circunstancia de las variables en las que esté

definida, se dice justamente así: que para todo caso de la variable, la proposición es

verdadera. En símbolos: sea ( )p x una proposición cuya variable es x , que se cumple

para todo valor de x , entonces se dice , ( )x p x .

Si una proposición es cierta sólo bajo algunas circunstancias de las variables en las que

esté definida, se dice: que existe algunos casos de las variables para los cuales la

proposición es verdadera. En símbolos: sea ( )p x una proposición cuya variable es x ,

que se cumple para algunos valores de x , entonces se dice , ( )x p x

Cuando se combinan cuantificadores hay que tener en cuenta que el orden en que

afectan a la proposición es muy importante. No necesariamente tiene el mismo valor de

verdad ( )( ), ( )x y p x que ( )( ), ( )y x p x .

Negación de cuantificadores: en algunas técnicas de demostración es necesario hacer negación

de proposiciones compuestas de cuantificadores, por eso se presenta acá la forma de

hacerlo.

Para negar , ( )x p x se dice , ( )x p x ; es decir que la negación de que si para todo x

se cumple ( )p x , es que existe x que hace que se cumpla la negación de ( )p x .



De manera análoga, para negar , ( )x p x se dice , ( )x p x ; es decir que la negación de

que si existe x que hace que ( )p x se cumpla, es que para todo x se cumple la negación

de ( )p x .



3. TÉCNICAS DE DEMOSTRACIÓN

3.1. Demostración por reducción al absurdo. Según Daniel Solow [Sol93], la técnica de demostración por reducción al absurdo parte

de la negación de la tesis dada (siendo la tesis dada B y la negación NO B), y la inclusión

de esta negación en la hipótesis general A, de modo tal que se asumen A y NO B como

verdaderos. A partir de entonces se trabaja progresivamente desde la nueva hipótesis

(que incluye a A y a NO B), hasta llegar a una contradicción que permita asumir como

verdadera a B.

Analogía de esta técnica:

Un hombre quiere probar a su esposa que desde que eran novios a él le gustaba el fútbol.

Ella no le cree porque no recuerda que él fuera así de apasionado por este deporte.

Entonces él le dice que si a él no le gustara tanto el fútbol, él no sabría quiénes juegan en

todos los equipos del campeonato y no se acordaría de los marcadores que ha obtenido

su equipo preferido… e inmediatamente procede a decir marcadores y alineaciones y a

pedirle a ella que los confirme en internet, lo que hace que él demuestre que tiene la

razón.

Pasos para aplicar la técnica de demostración por reducción al absurdo:

1. Incluir como otra hipótesis la negación de B.

2. Proceder progresivamente hasta encontrar una contradicción. La contradicción se

puede encontrar al comparar una proposición derivada de la nueva hipótesis (que

incluye a A y a NO B), con A, con una proposición derivada en la demostración

o con una verdad establecida.

Ejemplo:

Demostremos por reducción al absurdo que si n y m son enteros tales que

2 3 2n n n m m , entonces n es par.

1. Incluir como otra hipótesis la negación de B: n es impar ( n no es par).

2. Proceder progresivamente hasta encontrar una contradicción. La contradicción se

puede encontrar al comparar una proposición derivada de la nueva hipótesis (que



incluye a A y a NO B), con A, con una proposición derivada en la demostración o

con una verdad establecida: como n es impar, entonces 2n y 3n son ambos impares,

de donde 2 3n n n es impar (ya que es la suma de tres impares). Entonces, como

2 2 3m m n n n , se tiene que 2m m es impar. Sin embargo 2m m es siempre

par (ya que 2 ( 1)m m m m y necesariamente alguno de los números m o 1m

es par). Hemos llegado a una contradicción. De allí se tiene que n es par, que es lo

que queríamos demostrar. En este caso tuvimos una contradicción con una verdad

establecida: que al multiplicar un número impar por un número par, el resultado es

un número par.

3.2. Demostración por contrarrecíproco.

En esta técnica se empieza por negar la tesis (B), para convertirla en hipótesis y así

cambiar la hipótesis inicial A por NO B, así mismo se niega la hipótesis (A), para

convertirla en tesis; entonces se trabaja progresivamente únicamente desde NO B, con el

fin de llegar a probar NO A. Esto es posible pues el valor de verdad de A implica B es el

mismo valor de verdad de NO B implica NO A.


Un joven le asegura a su madre que si llueve, él no saldrá con su novia en la noche. Su

madre sale al mercado y vuelve en la noche y no encuentra a su hijo en casa, es decir que

supone que salió con su novia, de lo que puede deducir que cerca de su casa no llovió en

este día.

Pasos para aplicar la técnica de demostración por contrarrecíproco:

1. Cambiar la hipótesis A por la negación de B (NO B).

2. Cambiar la tesis B por la negación de A (NO A).

3. Proceder mediante la técnica de demostración regresiva-progresiva para

demostrar NO A.

Ejemplo:



Demostremos por la técnica de demostración por contrarrecíproco que: si x y p son

dos números enteros donde x p es par, entonces x y p tienen la misma paridad.

1. Cambiar la hipótesis A por la negación de B: x y p son dos números con

paridad opuesta.

2. Cambiar la tesis B por la negación de A: la suma de x y p debe dar como

resultado un número impar.

3. Proceder mediante la técnica de demostración regresiva-progresiva para

demostrar NO A: asumimos que x y p tienen paridad opuesta. Esto implica que

uno de estos números enteros es par y el otro impar, no perdemos la generalidad

si suponemos que x es par y p es impar. Entonces hay números enteros k y m

donde 2x k y 2 1p m . Ahora, computamos la suma

2 2 1 2( ) 1x p k m k m , resulta un número entero impar por la

definición, lo que demuestra NO A.

3.3. Demostración por inducción. “Existe una forma muy especial de B para la cual se ha desarrollado separadamente una

técnica de demostración conocida como inducción matemática, esta inducción debe

considerarse cuando B tiene la forma: Para todo entero 1n , „algo sucede‟, donde algo

que sucede es algún enunciado que depende del entero n . Cuando se considera la técnica

por inducción, las palabras claves que deben buscar son „entero‟ y „ 1 ‟” (Pág. 63,

[Sol93]).

Pasos para aplicar la técnica de demostración por inducción:

1. Verificar que (1)P es verdadero.

2. Suponer que ( )P n es cierta.

3. Demostrar que ( 1)P n es cierta.


(Esta técnica no es aplicable en sentido estricto en la vida diaria, puesto que depende de

procesos infinitos; sin embargo, se podría bosquejar una analogía en un proceso de larga

duración)



Un día, sin más ni más, un aguacero cayó en la ciudad: “llegó el invierno”, pensó Fabiana,

la mayor de las Fernández, que había vivido suficiente para „oler‟ este tipo de aguaceros y

reconocerlos como iniciadores del invierno, que en aquellas tierras era un suceso

inolvidable.

En efecto, al siguiente día y más o menos a la misma hora, volvió a llover

torrencialmente, y parece que fue sólo para que Fabiana pensara: “Me estoy volviendo

vieja, ya hasta puedo predecir con certeza los fenómenos que no la tienen”.

De hecho, ella pudo suponer que como todos los años, en el desfile de la Virgen iba a

llover y que seguiría así por mucho, mucho tiempo…

Ejemplo:

Demostremos por la técnica de demostración por inducción que si 1 2, ... na a a son

números reales y 1 2... 0na a a , entonces 0ia para algún i con 1 i n .

1. Verificar que (1)P es verdadero es trivial porque sólo 1a podría ser cero.

2. Suponer que ( )P n es cierta: es lo mismo que decir que si 1 2... 0na a a entonces

0ia para algún i con 1 i n .

3. Demostrar que ( 1)P n es cierta: para esto suponga que 1 2 1, ... ,n na a a a son

números reales tales que 1 2 1... 0n na a a a . Dado que 1 2 1( ... ) 0n na a a a , se sigue

que 1 2... 0na a a o

1 0na .

Si 1 2... 0na a a , entonces por P(n), 0ia para algún i con 1 i n ., y estaría

probado, o si no, 1 0na , lo que también probaría la proposición.

3.4. Demostración regresiva- progresiva. Es importante hacer acá una anotación acerca del sentido del nombre de esta técnica. El

hecho de que se haya invertido y se llame ahora regresiva-progresiva y no progresiva-

regresiva es debido a que el método general para demostrar proposiciones matemáticas

tiene una lógica estratégica, es decir, una lógica que piensa primero en los productos que

hay que conseguir y luego piensa en los insumos que se necesitan para hacerlo; esto



permite hacer una selección más adecuada y precisa de los insumos con relación a los

productos.

Partiendo de la base de que A es todo aquello que se presupone como verdadero (la

hipótesis) y que B es todo lo que se está demostrando (la tesis), Solow [Sol93], explica

que cuando se busca determinar cómo llegar a la conclusión de que B es verdadero, se

está realizando el proceso regresivo, y cuando se hace uso específico de la información

contenida en A, se está haciendo uso del proceso progresivo.


El pensamiento usado en esta técnica es muy usado en la planeación estratégica, en la que

se comienza haciendo una caracterización detallada del producto a conseguir, para luego

pensar en el método necesario para alcanzarlo; este método se piensa de adelante para

atrás, con el fin de que todos los pasos dispuestos sean suficientes y necesarios para

alcanzar el producto.

Pasos para aplicar la técnica de demostración regresiva-progresiva:

1. Realizar la pregunta de abstracción: Iniciar con la pregunta: “¿cómo o cuándo

puedo concluir que la proposición B es verdadera?” (Pág. 24). Esta pregunta será

nombrada pregunta de abstracción, caracterizada por la ausencia de símbolos o

notaciones del problema específico en consideración.

2. Contestar correctamente la pregunta de abstracción

2.1 Dé una respuesta abstracta: explique lógica y verbalmente cómo podría

demostrar que B es verdadero sin hacer uso de símbolos, datos o notaciones

matemáticas.

2.2 Aplique la respuesta abstracta a la situación específica: responda la respuesta

abstracta haciendo uso de los datos, símbolos o notaciones que sean necesarios

para obtener una respuesta específica. Esta nueva respuesta proporciona una

nueva proposición, B1, con la propiedad de que si se pudiese demostrar que B1

es verdadero, entonces B sería verdadero.



2.3 Continúe dando respuesta a la pregunta abstracta a partir de la primera

proposición derivada de B que obtuvo (B1). Repita este ciclo hasta que sea

posible.

3. Hacer uso del proceso progresivo para derivar algorítmicamente proposiciones

de A que permitan llegar a proposiciones de las que B se deriva.

3.1 Identifique la proposición A que se supone como verdadera.

3.2 Obtenga proposiciones derivadas de A, partiendo de teoremas e integración de

proposiciones anteriores.

3.3 Escoja una de las proposiciones derivadas de A obtenidas (A1, A2, A3), que

permita ayudar a comprobar B.

Ejemplo:

Sea A: el triángulo XYZ de catetos de longitud x e hipotenusa de longitud z isósceles, y

sea B: el triángulo XYZ tiene por área 2

4

z.

1. Realizar la pregunta de abstracción: ¿cómo puedo concluir que el área de un

triángulo isósceles dado se obtiene al elevar la hipotenusa al cuadrado y dividirla

entre cuatro.

2. Contestar correctamente la pregunta de abstracción:

2.1 Dé una respuesta abstracta: esto lo puedo demostrar si soy capaz de demostrar

que multiplicar la hipotenusa al cuadrado y dividirla entre cuatro es igual a usar la

fórmula estándar para obtener el área de cualquier triángulo.

2.2 Aplique la respuesta abstracta a la situación específica: 2

4 2

z xx

2.3 Continúe dando respuesta a la pregunta abstracta a partir de la primera

proposición derivada de B que obtuvo (B1). Repita este ciclo hasta que sea

posible: si abstraemos B1: 2

4 2

z xx obtenemos que B2: 2 22z x , de modo que

esta es otra respuesta algorítmica a la pregunta de abstracción; sin embargo, no es

posible seguir abstrayendo 2 22z x , por lo que hay que empezar a hacer uso del

proceso progresivo.



3. Hacer uso del proceso progresivo para derivar algorítmicamente proposiciones

de A que llegar a 2 22z x .

3.1 Identifique la proposición A. En este caso que A es el triángulo isósceles XYZ de catetos

de longitud x e hipotenusa de longitud z .

3.2 Obtenga proposiciones derivadas de A, partiendo de teoremas e integración de

proposiciones anteriores.

A1: De A podemos deducir el teorema de Pitágoras: 2 2 2x y z , puesto

que XYZ es un triángulo rectángulo.

A2: Como XYZ es además un triángulo isósceles, tendríamos: 2 2 2x x z

A3: la fórmula anterior simplificada quedaría: 2 22x z

3.3 Escoja una de las proposiciones derivadas de A obtenidas (A1, A2, A3), que permita

ayudar a comprobar B: en este caso escogemos la proposición A3 que concuerda con

B2.

La anterior demostración se puede representar de la siguiente manera: A: XYX triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa z

Hipótesis

A1: 2 2 2x y z Teorema de Pitágoras

A2: 2 2 2x x z Por ser XYZ isósceles

A3=B2: 2 22x z Reescritura algebraica

B1: 2 2

4 2

z x

Reescritura algebraica

B: 2

4

zA Puesto que

2

2

xA



3.5. Demostración por distinción de casos. De acuerdo con Balaguera [Bal04], “en muchas ocasiones la situación que propone una

demostración es tal que se puede clasificar en un número finito de casos posibles, o bien

en un conjunto infinito de clases de casos y cada uno de ellos se puede tratar mediante

algún truco diferente para obtener la conclusión a la que queremos llegar” (Pág. 36).


Se quiere demostrar que las personas que han afrontado pérdidas grandes se vuelven más

tolerantes a la frustración. Para esto, se piensa que las variables de género, edad y clases

social pueden influenciar los efectos, y por eso, se decide armar muestras de personas

que se diferencien en estas variables.

Pasos para aplicar la técnica de demostración por distinción de casos:

1. Identificar casos en los cuales se cumpla la tesis propuesta.

2. Demostrar la tesis para cada uno de los casos.

Ejemplo:

Demuestre que para dos números naturales cualesquiera x e y es imposible que se

verifique 2 23 1x y

1. Identificar casos en los cuales se cumpla la tesis propuesta: puesto que el primer

término es múltiplo de 3 es claro que y no lo puede ser. Por lo tanto y es de

una de las dos formas posibles:

Caso a: 3 1y h

Caso b: 3 1y h

2. Demostrar la tesis para cada uno de los casos:

Para el caso a: 2 2 2(3 1) 9 6 1 3(3 2 ) 1 3 1h h h h h k

Para el caso b: 2 2 2(3 1) 9 6 1 3(3 2 ) 1 3 1h h h h h k

En cualquier caso 2y es de la forma 3 1x que nunca puede ser igual a 23x .



3.6. Demostración de existencia. Solow [Sol93] explica que los problemas que tienen cuantificadores de tipo „existe‟ que

surgen de manera natural en muchos postulados matemáticos, deben ser resueltos

haciendo uso de la técnica de demostración por existencia ya que su proposición tendrá

la forma básica: existe un „objeto‟ con una „cierta propiedad‟ tal que „algo sucede‟.


“Yo no creo que exista un político limpio”, dijo Camilo.

“Pues creo que si lo hay, y estoy dispuesto a demostrártelo”, contestó Mariana, y se

dedicó a buscarlo.

Pasos para aplicar la técnica de demostración de existencia:

1. Identificar el cuantificador „existe‟ en la tesis; si éste no lo tiene explícito debe

escribirse nuevamente para que lo contenga explícitamente.

2. Identificar las características del elemento del cual se quiere demostrar su

existencia.

3. Crear un elemento que cumpla las condiciones de la proposición.

*Nota: A veces es útil usar la técnica de reducción al absurdo o la técnica regresiva para

hacer demostraciones de existencia.

Ejemplo:

Si , , , , ,a b c d e f son números reales con la propiedad de que ( ) 0ad bc , entonces las

dos ecuaciones lineales ( )ax by e y ( )ex dy f tiene solución para x e y .

1. Identificar el cuantificador „existe‟ en la tesis; si éste no lo tiene explícito debe

escribirse nuevamente para que lo contenga: si , , , , ,a b c d e f son números reales

con la propiedad de que ( ) 0ad bc , entonces existen x e y que son solución

de las dos ecuaciones lineales ( )ax by e y ( )ex dy f .

2. Identificar las características del elemento del cual se quiere demostrar su

existencia: x e y deben cumplir simultáneamente las ecuaciones ( )ax by e y

( )ex dy f .



3. Crear un elemento que cumpla las condiciones de la proposición: hay dos formas

posibles para encontrar el elemento que cumpla las condiciones: la primera, que

depende de la habilidad de quien está demostrando, es la de intento y

verificación. Esta forma es perfectamente válida pero puede ser dispendiosa; la

segunda se basa en la construcción de los elementos, ya sea por vías algebraicas,

geométricas, analíticas, etc.

Usando la segunda forma, se multiplica la ecuación ax by e por d , y la

ecuación cx dy f por b , y efectuando la diferencia entre las dos ecuaciones,

obtiene ( ) ( )ad bc x de bf . A partir de la hipótesis, ( ) 0ad bc y, por

tanto, dividiendo entre ( )ad bc se tiene ( )

( )

de bfx

ad bc. Un argumento similar

muestra que ( )

( )

af cey

ad bc.

3.7. Demostración de unicidad. La técnica de demostración de unicidad está relacionada con la tesis o como se ha venido

diciendo, con la proposición B. En este caso no sólo se requiere demostrar la existencia

de un objeto con cierta propiedad tal que algo sucede, sino también que el objeto es

único. Se sabe que hay que utilizar esta técnica cuando la tesis contiene la palabra „único‟

así como el cuantificador „existe‟.


“¡Yo conocí a una persona que medía 2,65 metros!”, dijo uno. “Qué casualidad, yo

también conocí una persona de esa altura”, dijo dos. “Era calvo y se llamaba Antonio”,

replicó uno. “Extraño, la persona de la que habló también era calvo y también se llamaba

Antonio; ¿acaso era profesor de matemáticas?”, dijo dos. “Sí, de geometría analítica”,

contesto uno. “Entonces era el mismo, porque con esas características sólo puede haber

uno”, terminó dos.

Pasos para aplicar la técnica de demostración de unicidad:



1. Demostrar que el objeto existe haciendo uso la técnica de demostración de

existencia o por la técnica de demostración por reducción al absurdo.

2. Demostrar la unicidad del elemento que existe; para esto hay dos formas

comunes:

Forma 1:

Suponga que hay dos elementos diferentes que comparten cierta propiedad

común.

Use esta propiedad y la información en A para demostrar que los dos elementos

son iguales entre sí.

Forma 2:


común y para los cuales algo sucede.

Llegue a una contradicción usando la información en A, la propiedad común y lo

que sucede para llegar a una contradicción.

*Nota: En la forma 1 usted puede hacer uso de la técnica regresiva-progresiva para

demostrar que los elementos son iguales.

Ejemplo:

Si r es un número real positivo entonces existe un único número real x tal que 3x r .

1. Demostrar que el objeto existe haciendo uso la técnica de demostración de

existencia o la técnica de reducción al absurdo: se va a suponer que esta parte está

demostrada, pues no es el centro de esta técnica de demostración.

2. Demostrar la unicidad del elemento que existe: en este caso vamos a usar la

forma 2.


común y para los cuales algo sucede: entonces se supone que existen x e y tales

que 3x r y 3y r y además r es positivo.

Llegue a una contradicción usando la información en A, la propiedad común y lo

que sucede para llegar a una contradicción: por consiguiente, 3 3x y y entonces

3 3 2 20 ( )( )x y x y x xy y . Dado que x y , entonces 2 2 0x xy y .



De la fórmula se deduce que: 2 2 2( 4 ) 3

2 2

y y y y yx y puesto que

x es un número real, y debe ser cero, pero entonces 3 0r y contradiciendo

así la hipótesis de que r es positivo.



4. ERRORES LÓGICOS COMUNES AL HACER DEMOSTRACIONES

En esta sección se presentan algunos errores lógicos comunes al demostrar

proposiciones matemáticas. Estos errores se extrajeron y adaptaron del documento How

to write proofs: a quick guide [Che04]. Esta lista de errores se puede usar como una lista de

chequeo para el paso final del método general para demostrar proposiciones

matemáticas.

4.1. Usar la tesis como hipótesis y demostrar la hipótesis.

Esto es un error porque la implicación p q no necesariamente tiene el mismo valor

de verdad de la implicación q p .

4.2. Demostrar dando saltos demasiado largos entre las proposiciones.

Esto incluye:

- No justificar una afirmación que no es obvia.

- No hacer explícitos demasiados pasos entre dos afirmaciones.

- Usar un teorema sin demostrarlo.

- Usar un teorema sin mencionarlo.

4.3. Usar proposiciones falsas como soporte de la demostración.

Cada una de las afirmaciones que se hagan al demostrar una proposición matemática

debe tener sustento en afirmaciones cuya veracidad ha sido demostrada, por eso es

importante ir paso por paso verificando que así sea.

4.4. Demostración verbal.

Aunque no es un error como tal, sí es una mala práctica escribir en palabras no

matemáticas (o por lo menos no „muy matemáticas‟) afirmaciones sobre una



demostración; esto es señal común de que se tiene la idea sobre la demostración, pero

hace falta depurarla aun más.

4.5. Usar una lógica incorrecta.

Este error es muy común y es grave. En esta categoría se incluye:

- Negar una afirmación incorrectamente.

- Probar el recíproco de una proposición en vez de la proposición.

4.6. Hacer suposiciones incorrectas.

Las suposiciones correctas aligeran el peso de una prueba y pueden ayudar a entender

mejor el proceso de demostración; sin embargo, las suposiciones incorrectas pueden

aligerar este peso demasiado y hacer que la demostración sea errónea.

4.7. Sobre las definiciones.

Es normal que se usen definiciones correctas, pero mal usadas; no obstante, es más

normal que se usen malas definiciones.

Pero este es un error muy evitable, pues sólo requiere de una cuidadosa lectura de las

definiciones para hacer una justa correspondencia con las circunstancias de la

demostración que se está llevando a cabo.

4.8. Asumir demasiado.

En el caso de que no se sepa si usar algo o no porque no se ha confirmado que sea

cierto, el consejo es hacer uso de prudencia (que hace verdaderos sabios) y probarlo

antes de usarlo.



5. CONTEXTOS DE USO DE LAS TÉCNICAS DE DEMOSTRACIÓN Antes de presentar el método general para demostrar proposiciones matemáticas, es

necesario describir los contextos de cada una de las técnicas de demostración que van a

estar articuladas en éste.

Sobra decir que disponer de una buena cantidad de técnicas de demostración es

absolutamente inútil si no se dispone de una caracterización detallada de los contextos en

que son aplicables, pues de lo contrario la elección de dicha técnica demostración sería

un juego de intento y error que, aparte de causar frustración, se convertiría en una

mecanización absurda que no implicaría ningún tipo de pensamiento.

No obstante, de las siete técnicas de demostración que se presentan en este escrito, sólo

cuatro merecen una descripción detallada de su contexto de aplicación, puesto que en las

tres restantes el contexto es obvio, éstas son: demostración por distinción de casos, para

la que el contexto se da cuando la tesis tiene diferentes casos que componen una sola

proposición; y las demostraciones de existencia y unicidad, que se hacen en el caso de

que sea explícitamente determinado en la proposición.

Los contextos de las cuatro técnicas restantes se presentan a continuación.

5.1. Demostración por inducción: esta técnica es muy poderosa, pues en realidad no

sólo permite demostrar la veracidad de una proposición, sino de infinitas. Sin embargo,

como ya se vio, es una técnica que encapsula otra demostración, y de esta manera,

implica que se haga la selección y aplicación de otra técnica de demostración.

Esta técnica se debe usar cuando se quiera demostrar una proposición que se cumple

para un conjunto de infinitos números enteros, que tiene mínimo.

Como ejemplos se pueden considerar los siguientes:



1. Para todo entero 1n , 1

( 1)

2

n

k

n nk ; nótese que existe una proposición cada

vez que n es un entero diferente, comenzando desde 1n .

2. Para cada entero 4n , 2!n n ; acá también hay una proposición cada vez que

n es un entero diferente, pero esta vez comenzando desde 4n .

3. Existe un entero 0n tal que 22n n ; esta no es una demostración que se

pueda hacer por inducción, puesto que la proposición no está dada para todos los

enteros a partir de alguno, sino que se trata de encontrar el entero que cumple la

condición. Por eso, esta es una prueba de existencia.

5.2. Demostración por reducción al absurdo: esta técnica se usa cuando la

negación de la tesis dé alguna información útil; o cuando la tesis sea dicotómica, es decir

que la negación de la tesis usa términos que son más significativos que la tesis en forma

afirmativa; o cuando la tesis está expresada en forma negativa, en este caso hay que tener

cuidado con las negaciones implícitas; o cuando hay que hacer pruebas de existencia en

las que es difícil caracterizar el elemento que cumple las condiciones.

Como ejemplos se pueden considerar los siguientes:

1. 2 es irracional; esta proposición se demuestra clásicamente usando la técnica

de reducción al absurdo, pues la negación de la tesis provee información más útil

que en la forma como es expresada originalmente: 2 es racional, ya que así se

podría expresar de la forma a

b con a y b enteros y 0b .

2. Si n es un entero y 2n es par, entonces n es par; acá la negación de la tesis dice

que n es impar, de modo que es una tesis dicotómica que provee información

útil al ser tomada como hipótesis.



3. Ninguna cuerda de un círculo es mayor que un diámetro; en este caso, usar la

técnica de reducción al absurdo hace que se pueda incluir en la hipótesis la

proposición: existe una cuerda mayor que un diámetro.

4. Sea XYZ un triángulo rectángulo isósceles con ángulo recto en Z, entonces el

área de XYZ de puede dar por 2

4

z; en este caso, en cambio, no es prudente

aplicar la técnica de reducción al absurdo puesto que al negar la tesis tendríamos

que 2

4

zA , lo que no nos dice exactamente a qué equivaldría el área.

5.3. Demostración por contrarrecíproco: esta técnica se usa cuando tanto la

hipótesis como la tesis son fáciles de negar y expresadas de esta forma proveen

información más útil para la demostración.

Por ejemplo:

1. S es un subconjunto de un conjunto T de números reales. Si S es no acotado,

entonces T es no acotado; en este caso es mejor usar el concepto de conjunto

acotado, y por esta razón es mejor usar la técnica de demostración por

contrarrecípoco para expresar la implicación así: si T es acotado entonces S es

acotado.

2. Si c es un entero impar, entonces la solución de la ecuación 2 0n n c , no es

un entero impar; en este caso la negación de ambas partes de la implicación

produce proposiciones con sentido que permiten aplicar la técnica de

demostración por contrarrecíproco, quedando la proposición compuesta

expresada así: si la solución de la ecuación 2 0n n c es un entero impar

entonces c es un entero par.

5.4. Demostración regresiva-progresiva: a pesar de que en la mayoría de manuales

sobre demostración esta técnica se presenta en primer lugar, en aras de la determinación

de su contexto de uso es mejor pensar en ésta en último lugar. Así, se debe usar la



demostración regresivo-progresiva cuando no se ha podido usar ninguna de las técnicas

anteriores.

Sin embargo, hay que advertir que la técnica de demostración regresiva-progresiva está

incluida de alguna manera en todos las técnicas anteriores, salvo en la demostración por

reducción al absurdo.



6. MÉTODO GENERAL PARA DEMOSTRAR PROPOSICIONES MATEMÁTICAS El núcleo del presente escrito está expresado en esta sección. En ella se hace una

articulación metacognitiva de todos los elementos que se han presentado anteriormente

en éste.

El método general para demostrar proposiciones matemáticas es:

1. Identifique la proposición de la que se compone la tesis (tenga en cuenta si dicha

tesis tiene diversos casos).

2. Identifique las proposiciones que componen la hipótesis.

3. Asegúrese de comprender cada una de las proposiciones que componen la tesis.

4. Asegúrese de comprender cada una de las proposiciones que componen la

hipótesis.

5. Escoja la técnica de demostración más apropiada. Para esto, tenga como

referencia la anterior sección de este escrito y lleve el siguiente orden:

a. Demostración por casos (esta demostración puede incluir cualquiera de

las técnicas que van a continuación)

b. Demostración de existencia.

c. Demostración de unicidad.

d. Demostración por inducción.

e. Demostración por reducción al absurdo.

f. Demostración por contrarrecíproco.

g. Demostración regresiva-progresiva.

6. Aplique la técnica escogida.

7. Lea la demostración escrita para:

a. Revisar que no se hayan cometido errores lógicos o disciplinares.

b. Resumirla o resecuenciarla, si hay necesidad.



A continuación se hacen algunas anotaciones necesarias para la mejor comprensión del

método.

Se puede notar que antes de analizar la hipótesis, se analiza la proposición que compone

la tesis, esto se debe a que, desde el punto de vista estratégico, la comprensión de la tesis

permite tener posteriormente una „comprensión dirigida‟ de la hipótesis, es decir, permite

leer la hipótesis con preguntas claras que le dan mayor significado a las proposiciones

que la componen.

La comprensión de las proposiciones que están incluidas en la tesis y la hipótesis requiere

que se entiendan los tres tipos de lenguaje en los que están escritas (verbal, lógico y

conceptual) en los tres niveles (sintáctico, gramatical y semántico). De esta comprensión

dependen los tres mecanismos que se presentan como indispensables para llegar a

demostrar una proposición: escoger la técnica más adecuada, derivar progresivamente y

abstraer regresivamente, además de poder usar las estrategias específicas de cada técnica.

Además, el conocimiento de que existen tres tipos de lenguaje con tres niveles cada uno

que es necesario comprender en cada proposición a demostrar ayuda a una persona a

determinar en cuál de ellos puede tener falencias, de modo que se las pueda solventar

particularmente.

La re-lectura de la demostración es vital no sólo para la detección de errores, sino para

profundizar en su comprensión. Esta profundización en la comprensión se evidencia

cuando la persona que está demostrando la proposición es capaz de expresarse más claro

y con menos palabras.

Los siguientes ejemplos ilustran el método usando diferentes técnicas de demostración;

en ellos se escriben de nuevo los pasos del método y se muestra cómo se aplicaron en la

demostración.

Primer ejemplo

Proposición: Para todo entero x , ( 1)x x es par.





La tesis está compuesta de la proposición: ( 1)x x es par. Esta proposición se puede

probar para cuando x es par o para cuando x es impar, por lo tanto hay dos casos que

demostrar.


La hipótesis está compuesta de la proposición o mejor aun


La comprensión de esta tesis pasa por implicar que 1x es el siguiente de x , y que el

hecho de que un número sea par implica que sea divisible por 2 o que se pueda escribir

como dos multiplicado por un entero cualquiera. (Puede haber otras proposiciones que

se pueden implicar de la tesis; mientras más se encuentren, es mejor, sin embargo la

profundidad de estas implicaciones depende del nivel de compresión de cada persona)


hipótesis.

Garantizar esta comprensión, como ya se dijo, pasa por hacer implicaciones, tales como

que si entonces x puede ser par o impar, o x puede ser un número positivo,

negativo o cero. Esta última implicación, no tiene relevancia a la luz de lo que ya se había

comprendido de la tesis; esta es la utilidad de comprender primero la tesis.


referencia la anterior sección de este escrito.

Ya se determinó que esta demostración es por casos ( x es par o impar), sin embargo hay

que determinar con qué técnica se va a proceder para probar cada caso.



Esta proposición no determina que debamos probar existencia ni unicidad, por lo tanto

se piensa si será posible usar la técnica de demostración por inducción; sin embargo se

nota que aunque se trata de demostrar para un conjunto de números enteros (pues x es

entero), éste no tiene mínimo, entonces no se puede usar esta técnica.

Entonces se piensa en la posibilidad de usar la técnica de demostración por reducción al

absurdo, lo cual es posible pero no práctico pues la negación de la tesis no produce

información útil para la demostración. Por la misma razón, y por el hecho de que negar

la hipótesis es muy difícil, se concluye que no se debe usar la técnica de demostración por

contrarrecíproco.

Entonces se nota que sólo queda la técnica de demostración regresiva-progresiva para

ambos casos.


Caso 1: supóngase que x es par. Por lo tanto debe existir un número entero que al

multiplicarse por dos tenga por resultado x . Este entero se llamará k , de modo que

2x k . Entonces remplazamos en la expresión ( 1)x x , así: ( 1) 2 (2 1)x x k k . Acá

se puede notar que la expresión tiene una parte que es factor de dos. Se llamará a esa

parte y , así: (2 1)y k k ; así entonces y es un entero y ( 1) 2x x y , y por lo tanto

( 1)x x es par.

Caso 2: supóngase que x es impar. Por lo tanto debe existir un número entero que al

multiplicarse por dos y sumarle uno tenga por resultado x . Este entero se llamará k , de

modo que 2 1x k .

Entonces remplazamos en la expresión ( 1)x x , así: ( 1) (2 1)(2 2)x x k k . Acá se

puede notar que la expresión tiene una parte que es factor de dos cuando factorizamos

así: 2( 1)(2 1)k k . Se llamará a esa parte y , así: ( 1)(2 1)y k k ; y entonces y es

un entero y ( 1) 2x x y , por lo tanto ( 1)x x es par.






La demostración resumida (nos damos cuenta de que no conviene unir los casos) queda

así:

Caso 1: supóngase que x es par. Escójase un entero k tal que 2x k .

( 1) 2 (2 1)x x k k . Sea (2 1)y k k ; entonces y es un entero y ( 1) 2x x y , por

lo tanto ( 1)x x es par.

Caso 2: supóngase que x es impar. Escójase un entero k tal que 2 1x k .

( 1) (2 1)(2 2)x x k k . Sea (2 1)( 1)y k k ; entonces y es un entero y

( 1) 2x x y , por lo tanto ( 1)x x es par.

Segundo ejemplo

Proposición: El elemento identidad e de un grupo es único.



El elemento identidad, e , de un grupo es único.


e es el elemento identidad de un grupo.


Del hecho de que e sea el elemento identidad de un grupo se deduce que

* *e a a e a para cualquier elemento a del grupo. Además hay que comprender que

no puede haber otro elemento identidad porque e es único.




hipótesis.

Acá no hay nada relevante que entender más allá de que estamos trabajando en una

estructura de grupo y que, por lo tanto, se aplican las propiedades que la definen:

clausurativa, asociativa, elemento identidad y elemento inverso.



No es una demostración por casos, ni de existencia, pero sí es una demostración de

unicidad porque hay que probar que un elemento es único.


La técnica de demostración de unicidad consiste en suponer que hay dos elementos

identidad diferentes, así 1 2e e y llegar a la conclusión de que son el mismo.

Si ambos elementos 1e y 2e son elementos idénticos deben cumplir que pertenezcan al

grupo y que: 1 1* *e a a e a y

2 2* *e a a e a para todo a del grupo. Entonces

1 2 2 1 1* *e e e e e pero 1 2 2 1 2* *e e e e e de modo que

2 1e e así que sólo hay un

elemento idéntico.




Al revisar la demostración se nota que para usar la transitividad de la última parte de la

prueba no es necesario decir que 1 2 2 1 1* *e e e e e y 1 2 2 1 2* *e e e e e , sino que sólo

basta decir 1 2 1*e e e y que 1 2 2*e e e , lo que acorta la demostración y la hace más clara.

Tercer ejemplo



Proposición: La suma de un número racional y un número irracional es irracional.




Para todo x , ; y para todo y ,


De que x y sea irracional se deriva que x y no se puede escribir de la forma a

b con

a y b enteros.


hipótesis.

Si x es racional, se puede escribir de la forma a

b con a y b enteros; pero como y es

irracional, no se puede escribir de esta forma.



Esta proposición no involucra casos; ni hay que generar un elemento para mostrar su

existencia; ni pide demostrar que un elemento es único; tampoco es una prueba sobre

números enteros, lo que hace que no pueda seguirse una demostración por inducción;

como la hipótesis es débil, sería provechoso agregar la negación de la tesis a dicho

conjunto de hipótesis, de modo que se proceda hasta llegar a una contradicción, esto es

usar la técnica de demostración por reducción al absurdo.




Lo primero es negar la tesis e incluirla como una hipótesis más:

Existe un número racional x y un número irracional y tal que x y es racional.

Luego se procede progresivamente hasta encontrar una hipótesis:

Se puede ver que ( )y x y x , y como se asumió que x y y x son racionales, y

como la diferencia de dos números racionales es un número racional, entonces y debe

ser racional, pero eso contradice la hipótesis, y eso demuestra la tesis.



Al re-leer la demostración se puede pensar que se usó demasiado de prisa el hecho de

que la diferencia de dos números racionales es un número racional. Por lo tanto,

conviene dejar en claro que esto es cierto, así:

a c ad bc

b d bd que es un racional pues y y puesto que

tanto b como d son diferentes de cero.


Después de haber hecho la precisión anterior, la demostración queda suficientemente

clara.



7. CONCLUSIONES

1. Es innegable que la demostración es pilar de la construcción matemática, de

hecho esto se puede ver en los diversos usos que tiene. Demostrar proposiciones,

incluso aquellas cuya veracidad ya está determinada, es tal vez la forma más

eficiente de ganar profunda comprensión sobre éstas; a través de la

demostración, los matemáticos en formación desarrollan los procesos de

pensamiento matemático que les permitirán desenvolverse en su profesión; y,

como es obvio, la demostración es la forma como las matemáticas „de punta‟ se

desarrollan, conjeturando y probando cada vez más y más útiles proposiciones

que hacen avanzar no sólo a esta área del conocimiento, sino a todas aquellas que

se nutren con su verdades.

2. Demostrar implica compartir cultura. El hecho de que una demostración de una

proposición sea comprendida por varias personas, las involucra en una misma

comunidad cultural que comparte códigos y significados.

3. La utilidad de las otras técnicas de demostración diferentes a la regresiva-

progresiva se hace evidente en este escrito: no siempre es sencillo obtener una

demostración directa de una proposición tal como está propuesto. No obstante

hay corrientes matemáticas que desprecian las otras técnicas (sobre todo la

reducción al absurdo), el matemático se privaría de poderosas herramientas si,

por un purismo estéril, decidiera no utilizar más que la técnica regresiva-

progresiva.

4. Aunque las demostraciones matemáticas se escriben desde el inicio hasta el final,

no necesariamente se piensan en ese mismo orden. Las diversas técnicas

expuestas en este escrito hacen evidente que gestar una demostración implica una

lógica diferente a la que se explicita comúnmente en su escritura. Esto trae una

derivada pedagógica: en la enseñanza de las matemáticas (que pocas veces es

realmente enseñanza de la lógica demostrativa) los profesores „relatan‟ las

demostraciones tal como están escritas, enseñando pasivamente la falacia de que

tal como se escribe es como se piensa para demostrar.



5. Para demostrar una proposición es necesario comprender los tres tipos de

lenguaje en los que está expresada: verbal, lógico y conceptual, cada uno en sus

tres niveles: sintáctico, gramático y semántico, pues sólo esto garantiza la

posibilidad de generar implicaciones valiosas y pertinentes que conduzcan a la

demostración de la tesis.

6. Los tres tipos de lenguaje son importantes para la demostración de proposiciones

matemáticas, sin embargo, el lenguaje lógico es el que le da el armazón a la

prueba, por eso es esencial. Allí radica la importancia de comprender la forma de

funcionamiento de los principios lógico matemáticos (operadores lógicos,

cuantificadores) para tener éxito en la formulación de demostraciones.

7. El método general para demostrar proposiciones matemáticas resalta la

importancia de los lenguajes como vigas estructurales que sostienen la

comprensión de las ideas; también explicita los contextos de uso de cada técnica

de demostración y los ordena para facilitar su selección; por último, reúne todas

las técnicas de demostración usuales y las articula en un solo algoritmo, lo que

hace que su comprensión y uso se faciliten. Por estas razones se justifica la valía

de este método como desarrollo de conocimiento matemático.

8. No obstante este texto presenta un método general de demostración que hace

visibles todas las „cartas‟ que permiten comprender e integrar las técnicas para

probar proposiciones matemáticas, la destreza en este proceso sólo se adquiere

con la práctica, que además de automatizar la habilidad, se conjuga con la

metacognición para generar técnicas particulares y personalmente efectivas.



8. RECOMENDACIONES El método general para demostrar proposiciones matemáticas, tal como está expuesto en

este escrito, se convierte en la enseñanza nuclear de un curso para aprender a probar

matemáticamente. Por eso, recomiendo a quien quiera basarse en éste que integre esta

enseñanza con las de la lógica para fortalecer la formación inicial de los matemáticos.

El proceso demostrativo matemático requiere de altas dosis de creatividad, pero

contrario a lo que podría pensarse, dicha creatividad no surge espontáneamente, sino que

es fruto de una profunda comprensión (en los tres tipos de lenguaje y sus tres niveles) de

las proposiciones que componen un teorema. Por esto, sugiero a quien vaya a usar este

método de manera pedagógica que enseñe la forma de identificar en una proposición

cada uno de los tipos de lenguaje y sus niveles, de manera que sirvan para hacer

metacognición sobre la forma de pensar al formular la demostración.

Con base en el método estructurado en este escrito, sería posible hacer una investigación

sobre las mayores dificultades que tienen las personas al demostrar proposiciones

matemáticas. Esto podría ayudar a crear metodologías de intervención para ayudar a los

matemáticos en formación, e incluso formados, a mejorar su comprensión de las

matemáticas y del proceso demostrativo.



BIBLIOGRAFÍA [Bal04] J. Balaguera, Demostraciones matemáticas: inédito (2004).

[Che04] E. Cheng, How to write proofs: a quick guide:

http://www.math.uchicago.edu/_eugenia (2004)

[Cus] L. Cusick, How to Write Proofs - A short tutorial on the basics of mathematical

proof writing, http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.html

[Hut] M. Hutching, Introduction to mathematical arguments:

http://math.berkeley.edu/~hutching/teach/113/proofs.pdf

[Lar02] V. Larios Osorio, Demostraciones y conjeturas en la escuela media:

http://www.uaq.mx/matematicas/redm/ (2002).

[Mar99] A. Martínez Recio, Una aproximación epistemológica a la enseñanza y el

aprendizaje de la demostración matemática: Tesis doctoral (1999)

[Mon07] V. Montoro, Concepciones de estudiantes de profesorado acerca del aprendizaje de la

demostración: Revista Electrónica de Investigación en Educación en

Ciencias (2007).

[Nap02] J. Nápoles Valdés, La enseñanza de la demostración matemática: Tesis doctoral

(2002)

[Sol93] D. Solow, Cómo entender y hacer demostraciones en matemáticas, México: Ed.

Limusa (1993)

[Vel94] D. Velleman, How to Prove It: A Structured Approach, EE.UU.: Cambridge

University Press (1994)

Trabajo Grado Carlos Díez

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