FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA Y CONSTRUCCIÓNCARRERA DE INGENIERÍA CIVIL

Informe de Mecánica de Sólidos

“INERCIA Y TORSIÓN”

Profesor: Orlando Rabello

Asignatura: Mecánica de Sólidos

Ayudantes: Francisco Pizarro

Fernando Ortiz

Alumnos: Pía Cárcamo

Gianella Fatigatti

Valeria Santelices

Astrid Sepúlveda

Ignacio Zúñiga

Fecha de Entrega: 08 Mayo 2013

ÍNDICE

Introducción………………………………………………………………………………..3

Enunciado parte A.………………………………………………………………………...5

Cálculo de Inercias de las figuras ( respecto a su C)..…………….………………6 A) áreas de la figuras ………………..…………………………………………….6 B) Sacado Superior…………………………………….…………………………..9 C)Calculo centro de grave ………………………………………………………..10 D) Steiner de cada figura al centro de gravedad del sacado ……………………...11 E) Sumatoria de inercias y áreas ………………………………………………….12 F) Inercia de las figuras 6a ,6b ,6c y 6d (por fórmulas) …………………………12 G) Centro de gravedad de la figura respecto a X, Y ………………………………13 H)Steiner de figuras 1, 6b ,6c ,6d y sacado superior al centro de gravedad. ……..14 I) Sumatoria de inercias …………………………………………………………..15 J) Cálculo de inercias principales y dirección …………………………………….16

Enunciado parte B ………………………………………………………………………...17

A) Sección Cerrada llena y homogénea ………………………………………….17 B) Sección del marco empotrado constituido por una lámina perimetral de espesor

4mm, soldada en su junta ………………………………………………………. 18 C) Lámina no soldada ……………………………………………………………19

Enunciado parte C ………………………………………………………………………. 21

Navier …………………………………………………………………………… 21 Torsión ……………………………………………………………………………22 Jourawski …………………………………………………………………………24

Anexo

Diagrama de flujo ……………………………………………………………….. 28

Analisis de resultado y conclusiones …………………………………………………..... 30

INTRODUCCIÓN

2

El presente informe “INERCIA Y TORSIÓN”, tiene como objetivo principal inducir conceptos muy importantes de la mecánica de sólidos, tales como cálculo de inercias, torsión, tensiones de corte, desangulación, esfuerzo cortante, entre otros.

Acorde a lo descrito en el punto anterior, es necesario dar a conocer algunos conceptos en esta introducción, lo que ayudará en el entendimiento del informe.

Inercia: la inercia es la propiedad que tienen los cuerpos de permanecer en su estado de reposo o movimiento, mientras la fuerza neta sea igual a cero, o la resistencia que opone la materia al modificar su estado de reposo o movimiento. Como consecuencia, un cuerpo conserva su estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme si no hay una fuerza actuando sobre él.

Momento de inercia (I): medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos.

Tensión: es la fuerza interna aplicada a una determinada sección, que actúa por unidad de superficie o área sobre una determinada forma permitiendo un alargue en su elongación.

Tensiones principales: son dos direcciones mutuamente perpendiculares en las que las tensiones de cortadura son nulas y por lo tanto, sólo existen tensiones normales: σ1 y σ2 (σ1 > σ2).

Tensión de corte: es aquella que, fijado un plano, actúa tangente al mismo. Es importante mencionar que en caso de piezas primaticas, las tensiones cortantes aparecerán en caso de aplicación de un esfuerzo cortante o de un momento torsor.

Torsión: Entendemos por Torsión la deformación de un eje, producto de la acción de dos fuerzas paralelas con direcciones contrarias en sus extremos.

Ángulo de torsión: Si se aplica un par de torsión T al extremo libre de un eje circular, unido a un soporte fijo en el otro extremo, el eje se torcerá al experimentar un giro en su extremo libre, a través de un ángulo θ, denominado ángulo de giro. Cuando el eje es circular, el ángulo es proporcional al par de torsión aplicado al eje.

Esfuerzo cortante: El esfuerzo cortante, de corte, de cizalla o de cortadura es el esfuerzo interno o resultante de las tensiones paralelas a la sección transversal de un prisma mecánico como por ejemplo una viga o un pilar. Se designa variadamente como T, V o Q.

La tensión cortante o tensión de corte: es aquella que, fijado un plano, actúa tangente al mismo. Se suele representar con la letra griega . En piezas prismáticas, las tensiones

3

cortantes aparecen en caso de aplicación de un esfuerzo cortante o bien de un momento torsor.

Momento estático o primer momento de área coincide con el producto del área total multiplicado por la distancia entre el punto considerado al centroide del área.

ENUNCIADO DEL PRIMERA PARTE

4

1) La figura proporcionada representa la sección transversal de un marco. Se desea determinar sus inercias principales y además la dirección en la que estas se encuentran. En esta primera parte se utilizará como unidad de medida [u] la que equivale a 10 [cm]

Tomando en cuenta el enunciado del problema, es necesario analizar, como primer paso, la manera en la que se abordará el problema.

Es posible notar por inspección de la sección transversal, que su inercia no es conocida, por tanto se hace imprescindible separar la sección en figuras conocidas para poder calcular la inercia de la figura en cuestión. El detalle se encuentra expreso en el desarrollo.

A continuación de separar la sección, se calculan las áreas para luego calcular las inercias requeridas.

5

A. Calcular Inercias de las figuras ( respecto a su C )

Figura 1

I x=10[u] x (10[u])3

12=2500

[u¿¿4]3

¿

I y=10 [u ] x103 [u]

12=2500

[u¿¿ 4]3

¿

I xy=0

Figura 2

I x=0,8 [u ] x (2,4 [u])3

36=0,3072[u¿¿4 ]¿

I y=(0,8 [u ])3

x 2,4[u]36

=0,3072 [u¿¿4 ]¿

I xy=(−0,8 [u ])2

x(2,4 [u ])2

72=−0,0512[u¿¿ 4]¿

Figura 3

I x=1 [u ] x ¿¿

I y=¿¿

I xy=¿¿

Figura 4

6

I x=2 [u ] x (1 [u ])3

12=

16

[u¿¿ 4]¿

I y=¿¿

I xy=0

Figura 5

I x=37∗(1,2 [u ] )x ¿¿

I y=(1,2 [u ])3

x0,4 [u ]80

=0,00864 [u¿¿4 ]¿

I x y=(1,2 [u ])2

x (0,4 [u ] )2

120=0,00192 [u¿¿4]¿

Figura 6

I x=0,1098 x (2 [u ])4=1,7568[u¿¿ 4]¿

I y=π x¿¿

I xy=0

Figura 7

7

I x=2,4 [u ] x(2 [u ])3

12=1,6 [u¿¿4 ]¿

I xy=¿¿ [u¿¿4 ]¿

I xy=0

A. Áreas de las figuras

Figura 1:

10 [u ] x 10 [u ]=100[u¿¿2]¿

Figura 2:

0,8 [u ] x2,4 [u ]

2=0,96[u¿¿2]¿

Figura 3:

1 [u ] x1 [u ]2

=0,5[u¿¿2]¿

Figura 4:

2 [u ] x1 [u ]=2 [u¿¿2]¿

Figura 5:

13x 0,4 [u ] x 1,2 [u ]=0,16[u¿¿2]¿

Figura 6:

π x¿¿

Figura 7:

2 [u ] x 2,4 [u ]=4,8 [u¿¿2]¿

B. Sacado superior

8

Posición de los centros de gravedad con respecto a eje x’y’

Figura 2a :

X=1,2 [u ]+ 0,83

[u ]=1,4667 [u ]

Y=1 [u ]+ 2,43

[u ]=1,8 [u ]

Figura 3a :

X=1 [u ]+ 2,43

[u ]=43

[u ]

Y=23

[u ]

Figura 3b :

X=−(1+ 13 ) [u ]=−4

3[u ]

Y=23

[u ]

Figura 4:

X=0 [u ]

Y=0,5 [u ]

Figura 5a :

X=3 x 1,2 [u ]

4=0,9 [u ]

Y=3 x0,4 [u ]

10=0,12 [u ]

9

Figura 5b:

X=−3 x 1,2 [u ]

4=0,9 [u ]

Y=3 x0,4 [u ]

10=0,12 [u ]

Figura 6:

X=0[u]

Y=5 [u ]− 4 x2 [u ]3 π

=4,151 [u ]

Figura 7:

X=0[u]

Y=2[u ]

C. Cálculo de Centro de gravedad

XG=1,4667 [u ] x 0,96 [u ]−1,4667 x0,96+ 4

3x 0,5− 4

3x 0,5+0+0,9+0,16−0,9 x0,16+0+0

0,96+0,96+0,5+0,5+2+0,16+0,16+2 π+4,8

XG=¿0 [u ]¿

YG=¿

1,8x 0,96x 2+ 23x 0,5x 2+0,5 x 2+0,12x 0,16x 2+4,151 x2+2x 4,8

0,96+0,96+0,5+0,5+2+0,16+0,16+2π+4,8¿

Y G=2,56047[u]

10

D. Steiner de cada figura al centro de gravedad del sacado

I x 2=0,3072+0,96 x (2,50212−1,8 )2=0,7805 x2=1,561 [u¿¿ 4]¿

I y 2=64

1875+0,96 x (0−1,4667)2=2,099 x2=4,199 [u¿¿ 4]¿

I xy 2=−0,512+0,96 x (0,70212∗−1,4667 )=−1,0398[u¿¿4 ]+1,0398[u¿¿ 4]=0¿¿

I x 3=136

+0,5 x(2,50212−23 )

2

=1,712 x2=3,424 [u¿¿ 4]¿

I y 3=1

36+0,5x (0−4

3 )2

=0,9167 x 2=1,833 [u¿¿ 4]¿

I xy 3=−172

+0,5 x (1,835x−43 )=−1,237+1,237=0 [u¿¿ 4]¿

I x 4=116

+2 x (2,50212−0,5)2=8,079[u¿¿4 ]¿

I y 4=23+2x (0−0 )2=2

3[u¿¿4 ]¿

I xy 4=0+2 x ( 0,50212x 0 )=0 [u¿¿4 ]¿

I x 5=148

109375+0,16 x (2,50212−3,28 )2=0,098 x2=0,196[u¿¿ 4]¿

I y 5=0,00864+0,16 x (0+0,9 )2=0,138 x2=0,276 [u¿¿ 4]¿

I xy 5=0,00192+0,16 x (−0,778 x−0,778 )=0,099 [u¿¿4]−00,99 [u¿¿ 4]=0[u¿¿ 4]¿¿¿

I x 6=1,7568+2 π x(2,50212−4,151)2=18,839 [u¿¿4]¿

I y 6=2π+2π x (0−0 )2=2π [u¿¿ 4]¿

I xy 6=0+2π x (−1,648x 0 )=0[u¿¿4 ]¿

11

I x 7=1,6+4,8 x (2,50212−2)2=2,8102[u¿¿ 4]¿

I y 7=2,304+4,8 x (0−0 )2=2,304[u¿¿ 4]¿

I xy 7=0+4,8 x (0,50212x 0 )=0[u¿¿4 ]¿

E. Sumatoria de inercias y áreas

I x=34,91 [u¿¿ 4]¿

I y=15,562[u¿¿4 ]¿

A=16,3232[u¿¿4 ]¿

F. Inercia de las figuras 6a ,6b ,6c y 6d (por fórmulas)

I x=1,7568 [u¿¿4]¿

I y=2π=6,2832[u¿¿4 ]¿

I xy=0

I x=6,2832 [u¿¿ 4]¿

I y=1,7568[u¿¿ 4]¿

I xy=0

I x=1,7568 [u¿¿4]¿

I y=6,2832[u¿¿ 4]¿

I xy=0

I x=6,2832 [u¿¿ 4]¿

I y=1,7568[u¿¿ 4]¿

12

I xy=0

G. Centro de gravedad de la figura respecto a X, Y

Distancias a eje X, Y

Figura 1 :

X=0[u]

Y=5 [u ]

Figura 6b:

X=−(5−4 x 23 π )=−4,1512[u]

Y=5 [u ]

Figura 6c :

X=0[u]

Y=( 4 x 23 π )=0,848826[u]

Figura 6d:

X=(5−4 x 23 π )=4,1512[u ]

Y=5 [u ]

13

Sacado superior :

X=0[u]

Y= (5+2,50212 )=7,50212[u]

XG=100x 0−(16,3232 x0+2 π (1,60469+0−1,60469 ))

100−(16,3232+2π+2 π+2π )

XG=0 [u]

Y G=¿ 100 x5−¿ ¿¿

Y G=4,77232[u]

H. Steiner de figuras 1, 6b ,6c ,6d y sacado superior al centro de gravedad.

Figura 1:

I x=2500

3+100x (4,77323−5)2=838,51751[u¿¿4 ]¿

I y=2500

3+100 x (0−0)2=2500

3[u¿¿4 ]¿

I xy=0+100 x (−0,227×0 )=0[u¿¿4 ]¿

Figura 6b:

I x=6,2832+2 π x (4,77323−5 )2=6,6089089 [u¿¿4 ]¿

I y=1,7568+2 π x (0−0)2=110,03017 [u¿¿4 ]¿

14

I xy=0+2π x (−0,22768 x 4.1512 )=−5,939[u¿¿ 4]¿

Figura 6c :

I x=1,7568+2π x (4,77323−0,848826)2=98,47893 [u¿¿ 4]¿

I y=6,2832+2π x (0−0 )2=6,2832[u¿¿ 4]¿

I xy=0+2π x (3,023x 0 )=0[u¿¿4 ]¿

Figura 6c :

I x=6,2832+2 π x (4,77232−5 )2=6,6089089 [u¿¿4]¿

I y=1,7568+2 π x (0 – 4,1512 )2=110,03017 [u¿¿4 ]¿

I xy=0+2π x (−0,22768 x−4,1512 )=5,939[u¿¿4 ]¿

Sacado Superior:

I x=34,91+16,3232 x ( 4,77323−7,56047 )2=161,8[u¿¿4 ]¿

I y=15,562+16,3232 x (0−0 )2=15,562[u¿¿ 4]¿

I xy=0+16,3232 x(−0,22768 x0)=0 [u¿¿4 ]¿

I. Sumatoria de inercias

I x=838,52−(161,8+6,61+98,479+6,61 )=565,021[u¿¿4 ]¿

I y=2500

3−(15,562+110,03+6,2832+110,03 )=591,482 [u¿¿ 4]¿

I xy=0−( 0−05,939+0+5,939 )=0 [u¿¿ 4]¿

15

J. Cálculo de inercias principales y dirección

I c=I x+ I y

2=565,021+591,428

2=578,2245[u¿¿4 ]¿

I r=√( I x+ I y2 )2

+ I xy = √( 565,021−591,4282 )

2

+0=13,2035 [u¿¿4 ]¿

Imáx=591,428 [u¿¿4 ]=591,428 x [10cm ]4=5,91428 x 106[cm4]¿

Imín=565,021[u¿¿4 ]x [10cm ]4=5,65021x 106[cm4]¿

tan (2θ )=2 I xyI y−I x

= 2 x 0591,428−565,021

=0

θ=0 °

16

ENUNCIADO DEL PROBLEMA

2) Suponer que usted tiene la siguiente configuración (Figura 1), con una sección Transversal antes mostrada. Se desea determinar las tensiones de corte y la desangulación, en la ubicación más desfavorable de la sección producto de la torsión. Se sabe que el material utilizado es acero y posee un módulo de elasticidad de E = 200 GP y un módulo de poisson ν = 0,3. Además P = 3T, en las siguientes condiciones:

Para esta segunda parte, se hace necesario aproximar la sección transversal a u círculo, de esta manera se podrán realizar los cálculos que permitirán el cálculo de lo que se indica en el enunciado.

a) Sección cerrada, rellena y homogénea.

Se aproxima la figura a un Círculo de radio 5,29 cm.

I p=π ×R4

2=π ×52,94

2=¿

τ=11564490 [mm2]

17

ϕ=mt× L

G×I p= 3000×2000

7,84×11564490=¿

ϕ=0,066

τ=G×r×ϕL

=mt× L

G×I p=¿

τ=7,84×52,9×0,06620000

=¿

τ=0,0135Ton

mm2=1352,2833

kg

c m2

b) La sección del marco empotrado está constituido por una lámina perimetral de espesor 4 mm, soldada en su junta.

t=0,4 [cm ]

P=3 [T ]

Am=53,776[cm¿¿2]¿

Pm=54,229[cm ]

E=200[GPa]

υ=0,3

mt=100×P=¿100 × 3000 k

mt=3×105 Kg×cm

18

τ=mt

2×t× Am

= 3×105

2×0,4×53,776=¿

τ=6973 ,4Kg

Cm2

G= E2× (1+υ )

= 2×109

2× (1+0,3 )=¿

G=7,84×108 kg

cm2

ϕ=mt×L

G×4× Am

×∫ 1tds=

mt×L

G×4× Am

=¿

ϕ=0,00179 rad

c) La sección del marco esta empotrado por una lamina no soldada de 4mm.

t=0,4 [cm ]P=3T

Am=53,776[cm2]Pm=54,229[cm ]E=200[GPa]υ=0,3

Aexterna - Ainterna=64,841 – 43,141

A=21,69[cm¿¿2]¿

HB

=∞→α=13, β=1

3, η=0,742

19

G= E2× (1+υ )

= 2×109

2× (1+0,3 )=¿

G=7,84×108 kg

cm2

ϕ=mt× L

G×B3×H ×β= 3000×2000

7,84×43×13×564,4681

ϕ=¿63,553

τ h=mt

α×H ×B2 =3000

13×564,4681×42

=¿

τ h=0,9965Ton

mm2=99650

kg

cm2

τ b=η×τh=0,742×0,9965=¿

τ b=0,7394Ton

mm2=73940

kg

cm2

20

ENUNCIADO PROBLEMA

3) Dada la figura 1 mostrada en el problema 2), determinar por medio de las ecuaciones por medio de las ecuaciones de navier y jourawski:

Tensiones normales y de corte para los puntos A) y B) para las secciones ya estudiadas ( cerrada rellena y homogenea, cerrada y ahuecada, abierta).

Dibujar diagramas de tensiones normales y de corte, ademas de flujo de corte para las secciones ya estudiabas.

A) Ubicada a 1,5 m en el brazo horizontal de 3 metros, medido desde el eje del brazo verticar de 4 metros.

B) Ubicado en el empotrado.

NAVIER

σ X=M Z

I Zy

PUNTO A

M Z=P−0,5 P

M Z=1,5 x 105[kgxcm]

SECCIÓN SÓLIDA

I Z=565,021cm4

y=5 ,22768cm

SECCICÓN HUECA

21

I z=229,363

y=5,22768

SECCIÓN ABIERTA

I Z=5995 ,1072

y=28 ,223405

σ x=1,5 x105

5995,1072x28,223405

σ x=706,16098 [ kgcm2

]

PUNTO B

M x=2P

M x=6 x105[kgxcm]

SECCIÓN SÓLIDA

I x=565,021cm4

y=5,22768 cm

SECCIÓN HUECA

I x=229 ,363cm4

y=5,22768 cm

SECCIÓN ABIERTA

22

I x=5995,1072

y=28,223405

σ x=6 x105

5995,1072x28,223405

σ x=2824,6439 [ kgcm2

]

TORSIÓN (PUNTO A)

SECCIÓN SÓLIDA : se aproxima la figura a una circunferencia de radio 5,170 cm

τ= rMtI p

=5,179 x6 x 105

1130,0653=2749 ,7526[ kg

cm2 ]

r=5,179cm

I p=π r 4

2=π x5,1794

2=1130 ,0653cm4

M t=2P=2x 300000=6 x 105[kg x cm ]

SECCIÓN HUECA

e=0,4 cm

M t=2P=2x 300000=6 x 105[kg x cm ]

Am=53,774301cm2

τ= Mt2e Am

= 6 x 105

2x 0,4 x53,774301=13947,183 [ kg

cm2 ]

SECCIÓN ABIERTA

M t=2P=2x 300000=6 x 105[kg x cm ]

H=56,44681

23

β= 0,4

α=13

τ= MtαH β2=

6 x105

13x56,44681 x 0,42

=199302,67 [ kgcm2 ]

JOURAWSKI

PUNTO A

SECCIÓN SÓLIDA: Se aproxima a una circunferencia de r=5,179cm

Q y=−P=−300000 [Kg ]

b=2 r=2×5,179=10,358[Kg ]

I z=565,021[cm4]

d= 4 r3 π

=4×5,1793 π

=2,198[cm ]

A=π r2

2=π ×5,1792

2=42,131963 [cm2 ]

Sx=2,198×42,131963=92,606 [ cm3 ]

τ t=2749,7526 [ Kgcm2

]

τ yx=−300000

10,358×565,021×92,608+2749,7526

τ yx=−1997,3571¿]

SECCIÓN HUECA

24

τ t=13947,138 [ K g

cm2 ]τ yx=

−30000034,3037×229,363

×337,8211+13947,138

τ yx=1066,3574 [ Kgcm2

]

SECCIÓN ABIERTA

τ t=199302,67 [ Kgcm2

]

τ yx=−300000

0,4×5995,1072×159,31212+199302,67

τ yx=179371 ,4 [ Kgcm2

]

25

JOURASKY PARA EL PUNTO B

τ yz=Q y

bIxxSx ± τ torsión

Sx=dxA

PUNTO B

SECCIÓN SÓLIDA: Se aproxima a una circunferencia de r=5,179cm

Q y=−P=−300000 [Kg ]

b=2 r=2×5,179=10,358[Kg ]

I x=565,021[cm4 ]

d= 4 r3 π

=4×5,1793 π

=2,198[cm ]

26

A=π r2

2=π ×5,1792

2=42,131963 [cm2 ]

Sx=2,198×42,131963=92,606 [ cm3 ]

τ t=1351,2833 [ Kgcm2

]

τ yx=−300000

10,358×565,021×92,608−1351,2833

τ yx=−6098,393 [ Kgcm2

]

SECCIÓN HUECA

Q y=−P=−300000 [Kg ]

b=34,8037 [cm ]

I x=229,363 [cm4]

d=28,0027[cm ]

A=12,063876 [cm2 ]

Sx=28,0027×12,063876=337,8211 [cm3 ]

τ t=6970 [ Kgcm2 ]τ y z=

−30000034,8037×229,363

×337,821−6970

τ yz=−19665,776[ Kgcm2

]

SECCIÓN ABIERTA

Q y=−P=−300000 [kg ]

b=0,4 [cm ]

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Ix=5995,1072 [cm4 ]

d=56,446814

=14,111703[cm ]

A=0,4 x56,446812

=11,289362 [cm2 ]

Sx=14,111703 x 11,289362=159,31212 [cm3 ]

τT=99700 [ kgcm2

]

τ yx=−300000

0,4 x5995,1027x159,31312−99700

τ yx=−119630,27 [ kgcm2

]

DIAGRAMAS DE FLUJO

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ANÁLISIS DE RESULTADO Y CONCLUSIONES

El informe presentado, es posible concluir, que este nos presenta un estudio fino y acabado de los objetivos planteados en una primera instancia, es decir, es posible comprender los conceptos de inercia, torsión, esfuerzos, ente otros.

De los resultados obtenidos se tiene que para todos los cálculos, el hecho de utilizar lámina no soldada, este nos entrega un resultado mucho mayor comparada con

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secciones solidas o huecas. El menor valor, es entregado siempre por la sección cerrada, llena y homogénea.

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