Especialización en la Enseñanza de la Matemática para la Escuela Secundaria

Trabajo Final Integrador Los procedimientos instrumentados en una etapa de

modelización

10/05/2016 Universidad Pedagógica

Rodolfo Murúa Tutora: Betina Duarte

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN .............................................................................................. 2

FUNDAMENTACIÓN ........................................................................................ 3

LA VISUALIZACIÓN: ...................................................................................................................................................... 3 LA EXPERIMENTACIÓN: ................................................................................................................................................ 3 LA SORPRESA: ............................................................................................................................................................. 4 LA RETROALIMENTACIÓN:............................................................................................................................................. 4 NECESIDAD DE PRUEBAS Y DEMOSTRACIONES: ................................................................................................................. 5 POSIBILIDAD DE INTERACCIÓN SIMULTÁNEA ENTRE EL MODELO Y LOS GRÁFICOS DE LAS FUNCIONES ELEGIDAS: ......................... 6 PROCEDIMIENTOS INSTRUMENTADOS: ........................................................................................................................... 8

ORGANIZACIÓN DEL TRABAJO ..................................................................... 10

CONOCIMIENTOS PREVIOS .......................................................................................................................................... 11 MODALIDAD DE TRABAJO Y ORGANIZACIÓN DEL TFI ....................................................................................................... 12

ENUNCIADOS DE LA SECUENCIA, OBJETIVOS Y ANTICIPACIONES ................ 12

FASE 1: ANÁLISIS DE VARIAS VARIABLES. ....................................................................................................................... 13 FASE 2: ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN .............................................................................................................................. 17 FASE 3: ESTUDIO DE MÁS RELACIONES .......................................................................................................................... 22 FASE 4: LAS FUNCIONES ............................................................................................................................................. 29

ASUNTO A INDAGAR Y EL ESTUDIO DE DOS PROCEDIMIENTOS INSTRUMENTADOS ....................................................................................... 36

UN PROCEDIMIENTO INSTRUMENTADO PARA “LEER” UN GRÁFICO DINÁMICO .................................................................... 36 UN PROCEDIMIENTO INSTRUMENTADO EN DONDE SE UTILIZAN LAS DOS “VISTAS GRÁFICAS” ............................................... 43

El uso del procedimiento instrumentado para obtener información a favor de una conjetura. ............... 43 El uso del procedimiento instrumentado para rechazar una conjetura ...................................................... 49 El uso del procedimiento instrumentado para hallar una pre-imagen ....................................................... 51

VALOR PRAGMÁTICO Y VALOR EPISTÉMICO DE LOS PROCEDIMIENTOS INSTRUMENTADOS ..................................................... 54

CONCLUSIONES ............................................................................................. 55

BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................... 56

2

Introducción En este Trabajo Final Integrador (TFI) se abordará el tema “Modelización”, en particular

“Modelización con GeoGebra1”.

La modelización matemática es un proceso de investigación

comúnmente usado por matemáticos aplicados y especialistas de

diferentes áreas del conocimiento involucrados en la creación de

modelos matemáticos para describir un fenómeno dado y predecir

comportamientos futuros. Según Bassanezi (2002), “la modelización

consiste esencialmente en el arte de transformar situaciones reales en

problemas matemáticos cuyas soluciones tienen que ser interpretadas

en el lenguaje usual. (Villarreal, 2011, p.3)

En contextos educativos, la modelización matemática puede ser asociada con diferentes

tipos de actividades en clase. Coincidimos2 con Mónica Villarreal en que los estudiantes

deben tener la oportunidad de vivenciar en la clase de matemática un proceso de

modelización completo, incluyendo la posibilidad de elección del tema. Sin embargo

muchas veces los docentes tenemos limitaciones institucionales que no nos permiten llevar

a cabo una experiencia de este tipo. En el caso particular de este TFI, el trabajo de campo

fue llevado a cabo por el autor del mismo en el Taller de Matemática del curso de ingreso

(Curso de Aprestamiento Universitario, CAU) de la Universidad Nacional de General

Sarmiento (UNGS). En esta materia hay un cronograma estipulado con los contenidos a

trabajar en cada clase y todos los temas se trabajan en lápiz y papel, no se hace uso de

computadoras. Es decir, el marco para llevar a cabo esta experiencia del TFI tuvo aspectos

institucionales a tener en cuenta que influyeron en la elaboración de la secuencia de

problemas a llevar a cabo en el aula, en los tiempos y como veremos más adelante en la

gestión de la clase. Coincidimos con Chevallard (1999) en que cualquier práctica

matemática tiene que tener en cuenta la institución porque la matemática es una práctica

social y cultural. Además, “los objetos matemáticos no son objetos absolutos, sino

1GeoGebra es un software de educación matemática. Se puede descargar gratuitamente de la página www.geogebra.org 2 A pesar de ser este un trabajo individual hablaré en primera persona del plural ya que muchas de las ideas esbozadas en este TFI forman parte de un trabajo colaborativo junto a otros colegas.

3

entidades que emergen de las prácticas en el seno de instituciones dadas” (Artigue, 2003,

p.1)

Para esta experiencia se tomó la decisión de elegir una situación en un contexto

extramatemático que se trabaja en el Taller de Matemática del CAU en lápiz y papel y

presentarles a los alumnos un modelo de la misma hecho con el software GeoGebra.

Fundamentación

¿Por qué abordar el tema “Modelización” con GeoGebra? ¿Que trae de nuevo respecto del

lápiz y papel? Arcavi y Hadas mencionan algunas características que se presentan al

trabajar en ambientes computarizados dinámicos. Cabe destacar que el sólo hecho de

utilizar el software no garantiza que un problema presente todas estas características. El

docente es uno de los actores que debería garantizarlas, no solamente a la hora de diseñar la

actividad (aunque quizás esté previamente diseñada) sino también con sus intervenciones

durante la clase.

La visualización: Los ambientes dinámicos no sólo les permiten a los estudiantes construir figuras con

ciertas propiedades y por lo tanto visualizarlas, sino que también le permite al usuario

transformar construcciones en tiempo real. Este dinamismo puede contribuir hacia la

formación del hábito de transformar (o bien mentalmente o por medio de una herramienta)

un ejemplo particular, para estudiar las variaciones, visualmente da indicios de invariantes,

y posiblemente facilita las bases intuitivas para dar justificaciones formales de conjeturas y

proposiciones matemáticas. (Arcavi y Hadas, 2003, p.25, 26)

La experimentación: Esta etapa la consideramos fundamental cuando se explora un modelo realizado con

GeoGebra. Al ser un software dinámico los alumnos pueden fabricarse “infinitos”

ejemplos y al utilizar herramientas de medida pueden visualizar en tiempo real cómo van

cambiando las medidas asociadas que se quieran estudiar del modelo. Un aspecto a

destacar de esta etapa es la formulación de conjeturas3 basadas en la experimentación.

3Entendemos por conjetura a una afirmación que se supone cierta pero que todavía no ha sido validada.

4

Además de la visualización, el desempeño con los ambientes

dinámicos permite a los estudiantes aprender a experimentar, y “a

apreciar la facilidad de obtener muchos ejemplos..., para buscar casos

extremos, ejemplos adversos y de carácter no estereotipados..."

(Yerushalmy, 1993, p. 82). Con estos no sólo se pueden hacer

observaciones, sino que también miden, comparan, cambian (o incluso

distorsionan) las figuras y hacen construcciones auxiliares mucho más

fáciles. La información obtenida de esta manera puede ser un paso

hacia la enunciación de generalizaciones y conjeturas que a su vez

deben servir como base para la siguiente característica importante a

considerar. (Arcavi y Hadas, 2003, p.25,26)

La sorpresa: Esta característica también la creemos importante a la hora de trabajar con este tipo de

problemas. Un alumno puede elaborar una conjetura a partir de la visualización pero luego

en la etapa de la exploración se sorprende de que ella fuera falsa. Esta cuestión quizás lo

lleve a buscar explicaciones de por qué su conjetura inicial fue errónea. Si todo lo que se ve

es cierto, la etapa de exploración pierde sentido. “El reto es encontrar situaciones en las

cuales el resultado de la actividad sea inesperado o contra-intuitivo, de tal forma que la

sorpresa (o el desconcierto) generado cree una clara diferencia con las predicciones

explícitamente enunciadas.” (Arcavi y Hadas, 2003, p.26).

La retroalimentación: En este tipo de actividades brindadas en un ambiente computarizado el docente puede no

intervenir cuando cree que el software es capaz de brindarle al estudiante una

retroalimentación.

La retroalimentación es proporcionada por el ambiente mismo, el cual

reacciona a medida que es requerido. Esto es una implicación “seca”

de la acción del estudiante que será confrontada. Tal retroalimentación

directa es potencialmente más efectiva que el proporcionado por un

profesor, no solamente porque es un afirmación emotiva (carencias de

juicio de valor), sino también porque puede involucrar motivación

para volver a verificar, revisar la predicción y puede motivar la

5

necesidad de una demostración.(Arcavi y Hadas, 2000, p.20)

No coincidimos con los autores cuando mencionan que la retroalimentación que brinda el

software es potencialmente más efectiva que la proporcionada por el docente por no poseer

ningún juicio de valor. Un profesor puede realizar distintos tipos de intervenciones sin

comunicarle al alumno directamente el saber a enseñar y sin emitir juicios de valor. Sin

embargo, creemos que el GeoGebra es un medio interesante para modelizar una situación

dada ya que una vez hecho el modelo se pueden manipular distintos objetos matemáticos,

realizar mediciones, elegir pares de variables para luego hacer los gráficos de las funciones

involucradas. En este proceso los alumnos pueden realizar predicciones, elaborar conjeturas

y efectivamente el software irá brindando retroalimentaciones. Comprender e interactuar

con las retroalimentaciones que brinda el programa también es un objeto de aprendizaje que

debe estar a cargo del docente.

Necesidad de pruebas y demostraciones: Esta es una etapa fundamental en el modo que esperamos que los alumnos “hagan

matemática”. Para clarificar qué entendemos por pruebas y demostraciones comentaremos

algunas definiciones de ciertos autores. Lákatos propone el término prueba para dar cuenta

de un conjunto de explicaciones que no podrían ser consideradas, por diversas razones,

como demostraciones pero que, sin embargo encierran la comprensión del problema que

está en cuestión (Duarte, 2010, p.14). Balacheff a esta definición le agrega una dimensión

social: una prueba es “…una explicación aceptada por una comunidad dada en un momento

dado. Esta decisión puede ser el objeto de un debate cuya significación es la exigencia de

determinar un sistema de validación común a los interlocutores”. (Duarte, 2010, p.20). Para

este mismo autor, la demostración es un tipo de prueba pero que respeta ciertas

características. En sus palabras: “El tipo de prueba dominante en las matemáticas tiene una

forma particular. Se trata de una serie de enunciados que se organizan siguiendo un

conjunto bien definido de reglas” (Balacheff, 2000, p.13). Por último, este autor diferencia

entre pruebas pragmáticas e intelectuales. Las primeras están basadas en la acción y en la

ostención. “Las operaciones y los conceptos que ésta entraña son ejecutados; no son

diferenciados ni articulados, y solamente se prestan para ser observados (Balacheff, 2000,

p. 20). Por el contrario, las pruebas intelectuales se apoyan en formulaciones de las

propiedades en juego y de sus relaciones.

6

Posibilidad de interacción simultánea entre el modelo y los gráficos de las funciones elegidas: Esta última característica no es nombrada por Arcavi y Hadas pero es fundamental

considerarla a la hora de trabajar con GeoGebra. Una posibilidad que brinda el software,

que no tiene el entorno del lápiz y papel, es la interacción simultánea entre un modelo

matemático y la representación gráfica de una función elegida a estudiar. Para explicar esta

cuestión veamos un ejemplo. Supongamos que se les plantea a los alumnos la siguiente

situación: “vamos a estudiar el área de todos los rectángulos de perímetro 20”. Para lo

cual se brinda un archivo4 GeoGebra en donde al mover el punto A se puede generar una

“familia” de rectángulos ABCD de perímetro 20 ().

Como se puede ver en la imagen 1, el GeoGebra permite trabajar con dos vistas, la “Vista

Gráfica5” y la “Vista Gráfica 2”. En la vista de la izquierda está el modelo de la situación

geométrica y en la vista de la derecha están los ejes cartesianos. En la “Vista Gráfica 2” se

puede ingresar un punto cuyas coordenadas dependan de algún objeto geométrico del

modelo. Por ejemplo, si se quiere estudiar el área del rectángulo en función del lado AB, se

puede ingresar en la barra de entrada el punto6de coordenadas P=(AB, Área[A,B,C,D]).

Luego al activarle el trazo al punto se va generando la gráfica de la función, como se

muestra en la imagen 2.

4 Una variable didáctica interesante es la construcción del modelo que se quiere estudiar. Es decir, solicitarle a los alumnos que construyan “la familia” de rectángulos de perímetro 20. Para descargar el archivo ir a https://drive.google.com/open?id=0BxUCabsN8lpZSzByal9PM1B4LTQ y luego a “descargar”. 5 El GeoGebra tiene habilitadas dos vistas gráficas: Vista Gráfica y Vista Gráfica 2. A la primera la denominaremos Vista Gráfica 1. 6 A lo largo del TFI a este punto lo llamaremos “punto genérico o punto móvil”. Es decir, a un punto cuyas coordenadas son variables.

Imagen 1: captura de pantalla de lo que vería el alumno al abrir el archivo.

7

Pero esta no es la única relación que se puede analizar. Se podría estudiar, por ejemplo, el

área del rectángulo ABCD en función de la diagonal BD, esto se ve en la imagen 3.

Ahora bien, la interacción simultánea entre el modelo y la gráfica de la función elegida no

la brinda el software como retroacción a la elección de cierto par de variables a considerar

por parte de un sujeto. Esta interacción será el resultado de una organización didáctica del

docente en donde se tendrán que plantear situaciones para ser analizadas tanto desde la

situación geométrica como desde la representación gráfica de las funciones elegidas.

Imagen 2: en la “Vista gráfica 2” se visualiza el trazo activado del punto P.

Imagen 3: en la “Vista gráfica 2” (en azul) se visualiza el trazo activado del punto genérico F de coordenadas: F=(BD, Área[A,B,C,D])

8

Además, en este “ida y vuelta” entre las “Vistas”, las herramientas del software jugarán un

papel muy importante.

Procedimientos instrumentados: Por último, un asunto que será estudiado en este TFI es el de las “técnicas

instrumentadas”. Toda actividad se puede resolver por una o varias técnicas. Tomaremos

el concepto “técnica” de la Teoría Antropológica de la Didáctica (TAD), es decir, como

una manera de hacer, no necesariamente algorítmica, ni siquiera algoritmizable.

Una técnica es una manera de resolver una tarea y, tan pronto como

vaya más allá del conjunto de tareas rutinarias, para una institución

dada, cada técnica es un conglomerado complejo de razonamientos y

de tareas alternas rutinarias. Las técnicas no solamente tienen un valor

pragmático que les permite que produzcan resultados, tienen también

un valor epistémico puesto que se componen en parte de la

comprensión de los objetos, y son también una fuente de nuevas

preguntas. (Artigue, 2003, p.4).

En palabras de Bosch y Chevallard (1999), “la vida institucional está entonces configurada

por un amplio abanico de tareas ejecutadas según “las maneras de hacer”

institucionalizadas, ley de bronce que tiende a identificar todo tipo de tareas con la técnica

normalmente utilizada en la institución para ejecutar las tareas de ese tipo” (p.6).

A las técnicas utilizadas en un ambiente computarizado Michelle Artigue las llama

“técnicas instrumentadas”. Al igual que en un entorno de lápiz y papel, una técnica

instrumentada resulta interesante si contiene un valor pragmático y uno epistémico. Cuando

se trabaja con un problema en un ambiente computarizado es esperable que surjan por parte

de los alumnos procedimientos propios de ese entorno. Luego esas estrategias serán

discutidas y el docente determinará cuáles son valiosas por sus valores epistémicos y

pragmáticos para luego sistematizarlas y darles el “status” de técnicas. A esos primeros

procedimientos los llamaremos “procedimientos instrumentados”.

El docente, en general, conoce las técnicas que se pueden utilizar al resolver un problema

presentado en lápiz y papel. Por ejemplo, a la hora de abordar el objeto “ecuación” en la

escuela secundaria se puede trabajar la noción de ecuaciones equivalentes y luego

9

determinar qué transformaciones mantienen el conjunto solución. Por ejemplo si

quisiésemos hallar las soluciones de la ecuación

3 + 15

= 2

Podríamos multiplicar por 5 en ambos lados de la igualdad para obtener una ecuación

equivalente más sencilla de analizar:

3 + 15 . = 2.

También conocemos que otra forma de abordar las ecuaciones y que “vive” mucho en la

escuela secundaria es “despejar” la “pasando” las expresiones con la operación inversa.

En este caso se trata de “pasar” el 5 multiplicando al otro lado de la igualdad. Suele ocurrir

que cuando se hace este procedimiento no hay un trabajo previo de ecuaciones equivalentes

y de estudiar el tipo de transformaciones que mantienen a las soluciones de una ecuación.

En este caso la segunda técnica tiene un valor pragmático (si es bien utilizada) porque

efectivamente permite hallar el conjunto solución de una ecuación. Pero, ¿tiene un valor

epistémico? ¿Por qué al hacer estas operaciones se mantiene el conjunto solución de las

nuevas ecuaciones? En cambio, utilizando la estrategia anterior, al multiplicar por 5 de cada

lado se puede argumentar que se está multiplicando el mismo número aunque el valor de x

no esté determinado, con lo cual el conjunto solución de la nueva ecuación tiene que ser el

mismo. Es decir, en la técnica de “pasar” al otro lado con la operación inversa se está más

lejos de entender qué transformaciones conservan las soluciones. Por tal motivo es común

que los alumnos en el ejemplo planteado “pasen” primero el 1 restando:

35 = 2 − 1

y no tengan ningún control de por qué esta transformación no mantiene el conjunto

solución.

Al trabajar en un ambiente computarizado, ¿somos conscientes los docentes de las técnicas

instrumentadas que pueden surgir a la hora de resolver un problema? ¿Conocemos las

relaciones teóricas que se ponen en juego cuando se hace uso de alguna técnica

instrumentada? ¿Conocemos su valor epistémico e instrumental?

Al igual que en un entorno de lápiz y papel, cuando se trabaja por ejemplo con GeoGebra,

es esperable que el docente anticipe (y estudie) algunas de las técnicas instrumentadas que

10

habilita el software para luego seleccionar entre ellas cuáles van a ser institucionalizadas7.

Caso contrario, las técnicas utilizadas en la clase quedarán en un estado artesanal y no

llegarán a tener un status de técnicas expertas (Artigue, 2007).

Por otro lado, en un entorno de lápiz y papel, hay técnicas (en general las

“algoritmizables”) que trascienden a las instituciones y son “universalmente” aceptadas por

la comunidad matemática, por ejemplo, “método de sustitución para resolver ecuaciones”,

“triangulación de gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales”, etc. Por el contrario,

nuestra experiencia como profesores de la escuela secundaria nos habilita a “sospechar”

que las técnicas instrumentadas están bien arraigadas a cada institución, entendiendo al aula

también como una “institución”.

Organización del trabajo

Como mencionamos en la introducción, el trabajo de campo fue realizado en el Taller de

Matemática del CAU de la UNGS. En la primera clase se les planteó a los alumnos la

siguiente situación:

Se quieren construir cajas de cartón utilizando "planchas" de 10 cm x 10 cm. Para lo cual

se tienen que recortar cuatro cuadraditos iguales en las esquinas. Una vez recortados los

cuadrados se pliegan los bordes para armar las cajas.

En el CAU esta situación se presenta en un entorno de lápiz y papel. La principal diferencia

con nuestra propuesta es que la misma será estudiada con un modelo prediseñado por el

docente con GeoGebra. Por otro lado, otra diferencia, no menor, es que en el problema

trabajado en el CAU se indica el estudio de la relación “Área de la base-Longitud de cada

7 El término “Institucionalización” es utilizado por la Teoría de las Situaciones Didácticas de Guy Brousseau. Resumidamente, hace referencia al momento de la clase en donde el docente “ordena” las producciones de los alumnos, las vincula, les da cierto status, las descontextualiza con el objetivo de “sacar a la luz” el contenido que se pretendía enseñar.

11

lado de los cuadraditos recordados”. En cambio, en nuestra propuesta estará del lado de los

alumnos identificar y elegir variables en juego para ser estudiadas antes de analizar algunas

que sí propondrá el docente.

Como se mencionó anteriormente, dada una situación a estudiar, una decisión didáctica que

toman algunos docentes es dejar a su cargo la elección de dos variables para analizar una

sola función. Al hacer esto se corre el riesgo de que el alumno crea que siempre que se le

brinda una situación, hay una sola relación que se puede estudiar de ella. En este sentido, el

principal objetivo de la secuencia es "romper" con esta idea de que dada una situación

existe una única función que la modeliza. Para ello, se aprovecharán las virtudes del

GeoGebra mencionadas en la fundamentación para que los alumnos identifiquen distintas

variables que están involucradas en la situación presentada.

Conocimientos previos Para los alumnos de la UNGS, el Taller de Matemática del CAU es una de las primeras

materias de la universidad. En general, en el aula nos encontramos con mucha diversidad en

cuanto a los conocimientos que los alumnos traen de la escuela secundaria. Teniendo en

cuenta los diseños curriculares de la Provincia de Buenos Aires los alumnos tendrían que

conocer los distintos registros (como ser, tabla, gráfico, fórmula, lenguaje coloquial) de

representación de las funciones en general y haber trabajado con función lineal y

cuadrática. Sin embargo, la experiencia indica que varios alumnos no tienen disponibles

estos conocimientos.

Con respecto a las argumentaciones y validaciones, durante los primeros meses del

transcurso del Taller de Matemática del CAU, predomina el tipo de prueba pragmática

detallado en la introducción. Es un objetivo de enseñanza de la materia que los alumnos

puedan esbozar pruebas intelectuales aunque no se llegue al rigor de las demostraciones. Es

importante aclarar que la mayoría de los estudiantes del CAU, en su escuela secundaria, no

tuvieron una experiencia de una matemática basada en buscar conjeturas, validarlas,

explicitarlas y luego escribir las argumentaciones.

Por otro lado ninguno de los 35alumnos del curso en donde fue puesta en aula la secuencia

tuvo experiencia previa en el uso del software GeoGebra.

12

Las cuatro clases analizadas para este TFI son las primeras en donde se trabaja la noción de

función y los registros de representación: gráfico, tabla y fórmula8. El trabajo con función

lineal y cuadrática es posterior. Sin embargo sí se trabajó antes con ecuaciones lineales y

cuadráticas9.

Modalidad de trabajo y organización del TFI El trabajo de campo fue realizado durante el mes de mayo del 2015 en un curso del Taller

de Matemática del CAU (con 35 alumnos) de la UNGS, durante 4 clases en un total de 10

horas. Habían disponibles entre 5 y 7 computadoras por clase, con lo cual se trabajó con

cinco grupos bastantes numerosos. Se dispuso de un proyector para llevar adelante las

discusiones colectivas10 y fueron grabadas tanto las conversaciones del momento de trabajo

de algunos grupos como estos momentos de discusiones grupales.

En este TFI se presentan las actividades de la secuencia puesta en aula con comentarios

acerca de las intenciones didácticas que se tuvieron en cuenta al diseñarla; se anticipan

posibles estrategias de los alumnos y se proponen ideas para la gestión docente en el aula

en el desarrollo de cada actividad. A continuación, se comenta el asunto a indagar de este

trabajo y luego se analiza basándose en algunas producciones de los alumnos y

transcripciones de diálogos acontecidos en el aula.

Enunciados de la secuencia, objetivos y anticipaciones La experiencia de campo desarrollada para este TFI tuvo una versión preliminar un año

antes que dio lugar a ajustes y modificaciones del diseño a partir del análisis realizado a

posteriori del trabajo realizado durante el 2014.

8 Previamente se trabajó la noción de fórmula pero en el contexto de “problemas para contar”. Aquí también fue trabajada la noción de variable, variable independiente y dependiente. 9En el CAU primero se hace un trabajo con ecuaciones y después se trabaja su enfoque funcional. 10 Entendemos por discusión colectiva al espacio que comúnmente se lo llama “puesta en común”. Creemos que en este espacio no solamente se ponen en común las estrategias de los alumnos sino que se comparan, se analizan, el docente las puede descontextualizar y también agregar preguntas que no estaban explícitas en el enunciado de la actividad.

13

Fase 1: análisis de varias variables.

Enunciados de la fase 1:

Resuelvan en grupos en una hoja aparte para entregar.

Actividad 1. Abran el archivo11 de GeoGebra. Al mover el deslizador “recorte”: ¿Qué

magnitudes cambian en las cajas? ¿La base de todas las cajas es cuadrada? Justifiquen su

respuesta.

Actividad 2. Explorando el archivo anterior decidan cuál o cuáles de las siguientes

afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas.

Si la longitud del lado de cada cuadradito recortado va aumentando...

a)....el área de la base de la caja va disminuyendo.

b).... el área de cada uno de los cuadraditos recortados va aumentando

c).... el área de cada una de las paredes va aumentando.

d).... el volumen12 de las cajas va aumentando.

Justifiquen las elecciones anteriores. Pueden usar comandos que utilicen medidas, pueden

justificar con palabras u otros argumentos que se les ocurran. 11 Para descargar el archivo ir a https://drive.google.com/open?id=0BxUCabsN8lpZXzVrMW1SZ2JOV28 y luego a “Descargar”. 12 Formalmente habría que hablar de capacidad de la caja pero se optó por este término para que los alumnos puedan utilizar la fórmula que calcula el volumen de un prisma cuadrangular.

Imagen 4: captura de pantalla de lo que ve el alumno al abrir el archivo. Al mover el deslizador recorte se pueden visualizar distintas cajas armadas con una plancha de 10 cm x 10 cm.

14

Objetivos de la fase 1. Que los alumnos:

identifiquen que en la situación planteada hay varias magnitudes que cambian;

primero a través de la visualización y luego de la exploración utilizando

herramientas del GeoGebra que miden, conjeturen algunas características de las

relaciones propuestas entre dos variables;

esbocen algún tipo de prueba (ya sea pragmática o intelectual) de sus conjeturas.

“Diseño” de la clase y algunas intenciones didácticas

En una primera instancia no se pretende que se utilicen herramientas del GeoGebra que

midan distancias o áreas, sino que se arriben a conjeturas prescindiendo de las medidas.

Luego sí las conjeturas serán confirmadas o refutadas con el análisis de las longitudes que

se elijan observar. Es decir, se espera que los alumnos pasen de la visualización a la

experimentación (ver página 3).

El archivo “.ggb” tiene marcados todos los puntos de la construcción de la caja para que se

pueda medir cualquier longitud. Por ejemplo si se quiere medir la longitud (ver imagen

4) se puede utilizar la herramienta “Distancia o Longitud” clickeando en los vértices del

segmento.

Una primera cuestión que se les preguntará a los alumnos es “¿saben qué es una

conjetura?” Es decir, se problematizará la idea que los alumnos traigan acerca de qué es

una conjetura en matemática. A lo largo de toda la experiencia se pretenderá que los

estudiantes identifiquen cuándo una conjetura puede ser validada y cuándo refutada. Este

asunto seguramente tenga sus “idas y vueltas” a lo largo de toda la experiencia de este TFI

como a lo largo de la carrera de los estudiantes.

Anticipaciones y una posible gestión docente

Como mencionamos anteriormente, es de esperar que tanto en la actividad 1 como en la 2

en una primera instancia se recurra a lo visual. Después de la actividad 1 se hará una

discusión colectiva sobre las dos preguntas allí formuladas.

Hay algunas cuestiones que puedan resultar obvias y que se pueden comprobar con el sólo

hecho de mover el deslizador y ver que efectivamente ocurre lo que se ve. Por ejemplo que

todas las cajas que se fabriquen de este modo van a tener base cuadrada, o que a medida

15

que aumenta la longitud del lado de cada cuadradito recortado, el área de la base de la caja

va disminuyendo. El docente durante el trabajo en grupos irá haciendo preguntas para que

los alumnos piensen en explicaciones prescindiendo de lo visual. Una posible intervención

docente puede ser: “es cierto que al mover el deslizador se ve que todas las cajas tienen

base cuadrada, ¿por qué ocurre esto independientemente de cuánto se recorte? ¿Cómo se

puede justificar que un cuadrilátero es un cuadrado?” En la discusión colectiva se

distinguirán las explicaciones basadas en lo visual de las que tengan algún razonamiento

más “deductivo”. Más adelante proponemos un ejemplo sobre esta cuestión.

En la actividad 2 quizás se crea que a medida que aumenta la longitud del lado de cada

cuadradito recortado, aumenta el área de cada pared de la caja. En ese caso el docente les

propondrá a los alumnos que vean si esta cuestión es cierta utilizando herramientas del

software que miden longitudes o que calculen áreas. Esta misma cuestión puede ocurrir con

el volumen13, con la diferencia que el GeoGebra no tiene en la barra de herramientas alguna

que mida esta magnitud. Esto dificulta poder hacer un análisis global de la función

“Volumen- Longitud del lado de cada cuadradito recortado” en “tiempo real” ya que es

necesario hacer los cálculos aparte con cada recorte que se elija. Aquí los alumnos tendrán

que hacer, por ejemplo, alguna tabla de valores previamente identificando cuál es la altura

para cada caja. En ambos casos puede estar presente el factor sorpresa mencionado en la

fundamentación del TFI (ver página 4).

Por el otro, quizás el ítem d) resulte más complicado que el c) porque es probable que la

noción de volumen no esté tan estudiada en la escuela secundaria como la de área.

Con respecto a las pruebas, se espera que las características más evidentes sean explicadas

desde lo que se ve. Seguramente haya otras pruebas apoyadas en las medidas calculadas por

el GeoGebra. Es decir, se espera que en el problema 2 predominen las pruebas pragmáticas.

Por ejemplo, para argumentar que la base de la caja es cuadrada independientemente de

cuanto se recorte, los alumnos podrían medir sus lados y sus ángulos interiores.

13 Esta experiencia fue desarrollada con el GeoGebra 2D debido a que no se hizo un análisis didáctico de cómo se podría haber planteado la misma situación con el GeoGebra 3D.

16

Al mover el deslizador recorte se puede visualizar que LK y LH siempre tienen la misma

longitud y que los ángulos interiores miden siempre 90º.

Sin embargo, como mencionamos anteriormente tanto en el momento de trabajo en grupos

como durante la discusión colectiva el docente intervendrá para “acercarse” a alguna

prueba intelectual. En este caso se puede argumentar que como la plancha es de 10 cm x 10

cm, los lados de la base miden 10-2a, donde “a” es la longitud recortada. Además como se

recortan cuadrados, cada ángulo interior de la base de la caja es opuesto por el vértice de un

ángulo recto.

Para rechazar los ítems que no son ciertos, nos apoyaremos en las informaciones numéricas

que brinda el GeoGebra. Es decir, para refutar que el área de cada una de las paredes (y

también el volumen de la caja) va aumentando a medida que aumenta la longitud del lado

de cada cuadradito recortado.

En cuanto a las herramientas del programa, al no estar habilitada en esta primera fase la

“Vista Gráfica 2”, se espera que los alumnos utilicen las herramientas “Distancia o

longitud” o “Área” para argumentar los ítems que sean falsos y para verificar los que sean

verdaderos.

Imagen 5: las longitudes LK y LH fueron medidas con la herramienta “Distancia y Longitud” y los ángulos marcados con la herramienta “Ángulo”.

17

Fase 2: análisis de una función

Enunciados de la fase 2:

Ahora queremos estudiar la relación que hay entre el área de la base de las cajas y la

longitud del lado de cada cuadradito recortado (a esta longitud llamémosla "a").

Actividad 3. En la hoja armen una tabla que relacione estas dos variables e ingresen estos

puntos en la barra de entrada del GeoGebra seleccionando previamente la Vista Gráfica

214.

Ingresen luego en la barra de entrada el punto genérico (a, base15) en la Vista Gráfica 2 y

activen el rastro del punto.

1) ¿Por qué se mueve el punto al mover el deslizador? ¿Qué relación pueden

establecer entre el punto y las cajas? ¿El trazo del punto pasa por todos los puntos

marcados anteriormente? ¿Por qué?

2) Analizando el gráfico resultante respondan:

a) ¿Para qué longitudes de “a” es posible el armado de cajas propuesto? ¿Hay

alguna longitud de “a” para la cual no es posible armar una caja?

b) ¿Cuáles son los posibles valores para el área de la base de la caja?

c) ¿Podrían estimar cuánto vale el área si se recortan 3cm? ¿Cómo hicieron esa

estimación?

d) ¿Hay algún valor de área de la base de la caja que sea 49 cm2? ¿Y 110 cm2? En el

caso de que haya, estimar el valor de la longitud del lado del cuadrado recortado.

3) ¿Cómo pueden responder las preguntas anteriores sin utilizar el gráfico?

Objetivos de la fase 2. Que los alumnos:

comprendan qué representa un punto genérico y luego identifiquen qué significa su

rastro;

estudien función planteada analizando el gráfico generado en la “Vista Gráfica 2” y

la relación entre el mismo y la exploración realizada en la fase anterior; 14 Para abrir la “Vista Gráfica 2” hay que ir a la opción “Vista-Vista Gráfica 2”. 15 Se les comunicará a los alumnos que el nombre “base” en realidad hace referencia al área de la base de la caja.

18

relacionen el gráfico generado en la “Vista Gráfica 2” con el modelo planteado en la

“Vista Gráfica 1”.

“Diseño” de la clase y algunas intenciones didácticas

Como seguramente sea la primera vez que los alumnos tengan que ingresar un punto en la

barra de entrada, se mostrará cómo hacerlo proyectando en el pizarrón la pantalla del

docente. Lo mismo para el ingreso del punto genérico (a,base) y el activado de su trazo. La

intención del ítem 1) es que los alumnos vinculen las “Vistas Gráficas” del GeoGebra y que

arriben a una primera explicación de quién es ese punto que se mueve al mover el

deslizador. Se hará luego una discusión colectiva de este ítem en donde se explicitarán

quiénes son estos objetos nuevos.

La intención del ítem 2) es que se respondan a partir del gráfico generado por el trazo del

punto genérico para luego confrontar en el ítem 3) esas respuestas con la información que

pueda surgir de la “Vista gráfica 1” o quizás a través de la fórmula de la función estudiada.

Anticipaciones y una posible gestión docente

Para armar la tabla de valores es de esperar que los alumnos utilicen las herramientas de

medir del GeoGebra con valores naturales, por ejemplo moviendo el deslizador se puede

lograr un recorte de 2 cm (en la imagen 6 la leyenda “NO=2” se obtiene utilizando la

herramienta “Distancia o Longitud”). Para esta longitud del lado de los cuadraditos

recortados el área de la base de la caja es de 36 cm2 (la leyenda “Área de LKGH=36”se

obtiene utilizando la herramienta “Área”).

Imagen 6: captura de pantalla al ubicar el deslizador que permite un recorte de 2 cm.

19

Muy probablemente en su recorrido por la escuela secundaria los alumnos estudiaron

funciones dadas a partir de una tabla, un gráfico o una fórmula, pero no a partir del trazo de

un punto genérico. Por tal motivo es de esperar que ante la pregunta “¿Por qué se mueve el

punto al mover el deslizador?” se esbocen respuestas muy imprecisas o vagas, como ser:

“porque el deslizador hace que cambie la caja” o que “al mover el deslizador el piso de las

cajas cambia.”Aquí una posible intervención docente puede ser: “en los problemas

anteriores identificamos distintas magnitudes que variaban, ¿cuál es el vínculo entre ellas

y el punto genérico? ¿Qué relación hay entre ellas y el deslizador?”

Respecto de las otras preguntas del ítem 1) quizás se responda que el trazo pasa por los

puntos marcados porque cuando el punto genérico está “arriba” de los ingresados se cumple

la relación antes estudiada en la tabla.

Si algún alumno está “trabado” y no sabe cómo explicar esta cuestión el docente le

propondrá ingresar en la barra de entrada un punto que no cumple esta relación, por

ejemplo (1,10) y luego preguntará“¿por qué el gráfico no pasa por ese punto?”. Al brindar

el docente un ejemplo de un punto que no cumple la relación quizás ayude al alumno a

identificar que dada una coordenada , la coordenada no puede tomar cualquier valor,

sino el de su área correspondiente.

Respecto al ítem 2) se espera que los alumnos observen la gráfica y apelen a sus

conocimientos sobre el estudio de gráficos en lápiz y papel16. Al mover el deslizador se

obtiene el siguiente gráfico:

16 A los gráficos en lápiz y papel los llamaremos gráficos estáticos.

Imagen 7: captura de pantalla de la “Vista Gráfica 2”. Los puntos rojos son los ingresados previamente y el trazo azul es del punto genérico (a, base).

20

Analizando el dominio y el conjunto imagen mirando el gráfico de la imagen 8 se pueden

responder las preguntas a) y b). Si algún grupo se apoya en la situación, puede ocurrir que

no tomen como posibles valores a=0 y a=5 porque no se puede fabricar la caja.

Quizás por el trabajo de los alumnos en lápiz y papel, en el ítem c) se responda que si se

recortan 3 cm el valor del área de la base está entre 15 y 20 cm2. Esta cuestión la podrían

deducir viendo cuál es la imagen aproximada de 3 en el gráfico o quizás apoyando una

regla en la pantalla de la computadora.

Respecto al ítem d) los alumnos pueden inferir, también apelando a sus conocimientos de

los gráficos estáticos, que sí hay un valor de área de la base que sea 49 cm2 pues si miramos

aproximadamente el valor 49 en el eje y existe su correspondiente en el eje x. Esto no

sucede con 110 cm2.

En el ítem 3) se espera que los alumnos analicen la situación planteada desde la “Vista

Gráfica 1” apoyándose en las herramientas de medida anteriormente utilizadas para luego

relacionarla con la Vista Gráfica 2. La imagen 9 ayuda a ilustrar esta cuestión:

Imagen 8: captura de pantalla de la “Vista Gráfica 2” del trazo que genera el punto genérico (a,base) al mover el deslizador.

21

Este es un procedimiento instrumentado que puede surgir en la clase: es decir primero

utilizar la “Vista Gráfica 2” para hallar una imagen aproximada de 3 y luego verificar o

descartar el valor encontrado utilizando las herramientas de medir sobre el modelo de la

“Vista Gráfica 1”. Quizás luego también se controle que en la “Vista Gráfica 2” la

coordenada y del punto móvil esté cerca de 16. En este caso se estarían vinculando las dos

“Vistas Gráficas”. En la fundamentación del TFI (ver página 6) mencionamos que el

GeoGebra permite una interacción simultánea entre el modelo y la representación gráfica

de determinada función. En este caso la interacción es posterior pero también puede ocurrir

que se vayan controlando simultáneamente los valores visualizados en la “Vista Gráfica 1”

con la ubicación del punto móvil de la “Vista Gráfica 2”.

Un valor epistémico que podemos identificar en este procedimiento instrumentado es que

permite identificar la relación entre el punto móvil y las dos variables elegidas del modelo

geométrico presentado. Esto ocurre porque al hallar primero una imagen aproximada

utilizando el punto móvil, luego tomando la decisión de “medir” esas dos variables con

herramientas del programa en la “Vista Gráfica 1” y finalmente manipulando el deslizador

de forma tal que la longitud recortada mida 3 cm, se relacionan las coordenadas del punto

móvil con las dos magnitudes aquí estudiadas. Este valor epistémico es específico del

entorno dinámico.

Imagen 9: como mencionamos anteriormente mirando el gráfico en la “Vista Gráfica 2” se puede deducir que al 3 le corresponde un valor entre 15 y 20. Esto luego se puede corroborar utilizando las herramientas “Distancia o Longitud” y “Área” en el modelo presentado en la “Vista Gráfica 1”.

22

Volviendo a las distintas estrategias anticipadas, puede ocurrir que algún grupo encuentre la

fórmula ( ) = (10 − 2 ) que calcula el área de la base de la caja en función “a”. Aquí

se discutirá cuáles preguntas se pueden responder a través de la fórmula y cuáles no. Por

ejemplo, la fórmula no permite decidir cuáles son los valores que puede tomar la variable

“a”.

En la discusión colectiva luego de analizar las distintas estrategias que hayan surgido para

resolver el ítem 2) el docente pedirá que se vuelvan a leer las respuestas del ítem 1)

preguntando qué les agregarían o cambiarían. La intención de esta pregunta es que los

procedimientos instrumentados que hayan surgido les sirvan a los alumnos para volver a

estudiar la relación entre el punto móvil y las dos variables del modelo.

Finalmente se analizarán las ventajas y desventajas de los distintos tipos de representación

que puede tener esta función. Se discutirá qué nos permite (y qué nos impide) “ver” un

gráfico y qué nos permite “ver” (y qué nos impide) una fórmula.

Fase 3: estudio de más relaciones

Enunciados de la fase 3

Actividad 4. Se tienen planchas de 10 cm x 10 cm y se quieren armar cajas del mismo

modo que en las actividades anteriores, siendo “b” la longitud marcada.

i) Anticipen cómo será el gráfico del área de la base en función de "b". ¿Será creciente o

decreciente? ¿Cuáles son los posibles valores que puede tomar "b"? Hagan un gráfico

aproximado en una hoja aparte.

ii) Ingresen el punto "genérico" (b,base) y discutan si las características que habían

anticipado del gráfico concuerdan con el trazo del punto.

23

Actividad 5. En la fase 1 estudiamos varias relaciones sin disponer de un gráfico. Las

relaciones fueron las siguientes:

Relación 1. Área de la base de la caja en función de la longitud del lado de cada

cuadradito recortado.

Relación 2. Área de cada cuadradito recortado en función de la longitud del lado de cada

cuadradito recortado.

Relación 3. Área de cada una de las paredes de la caja en función de la longitud del lado

de cada cuadradito recortado.

Relación 4. Volumen de la caja en función de la longitud del lado de cada cuadradito

recortado.

a. Ingresen los puntos genéricos de cada relación y activen sus trazos. ¿La

información que muestran los gráficos es coherente con las respuestas de la

actividad 2?

b. En la primera clase un grupo encontró la siguiente “propiedad”17: cuando el área

de cada cuadradito recortado es un cuarto del área de la base de la caja, el área de

cada una de las paredes alcanza su máximo valor. ¿Pueden confirmar/o refutar

esta propiedad viendo algún gráfico? ¿Cuál es el área máxima de cada pared? ¿El

valor es exacto o aproximado?

c. Decidan si es cierta la siguiente afirmación: si el área de cada cuadradito

recortado es un cuarto del área de la base de la caja, entonces el volumen de la

caja alcanza su máximo valor. Justificar.

d. En la primera clase un alumno propuso estudiar el perímetro de un cuadradito

recortado en función de la longitud de su lado. Grafiquen esta relación con el

GeoGebra y discutan las características de su gráfico.

Objetivos de la fase 3. Que los alumnos:

estudien distintas relaciones cambiando tanto la variable dependiente como la

independiente;

analicen si los gráficos determinados por los trazos de los puntos genéricos son 17La palabra propiedad está entrecomillada porque en la primera clase no le dimos ese status, sino que quedó a modo de conjetura.

24

coherentes con las respuestas correctas de la actividad 1;

vinculen la “Vista Gráfica 1” con la “Vista Gráfica 2” con la finalidad de aceptar o

rechazar conjeturas.

“Diseño” de la clase y algunas intenciones didácticas

La actividad 4 tiene la intención de que los alumnos analicen una relación entre magnitudes

en donde la variable independiente no sea la “longitud del lado de los cuadraditos

recortados”. Además se busca problematizar el hecho de que hasta aquí “lo que muevo” es

la variable independiente, ya que en el modelo prediseñado por el docente el deslizador

coincide con el valor de la longitud del lado de cada cuadradito recortado. Antes de la

actividad 5 se hará una discusión colectiva sobre esta actividad. Luego de analizar las

características del gráfico el docente mostrará cómo se ingresa una fórmula en GeoGebra.

En este caso se ingresará en la barra de entrada “x^2” y se analizarán las diferencias entre el

gráfico que produce el rastro del punto (b, base) y el de la función ( ) = .

La actividad 5 original constaba solamente del ítem a). Es decir, esta fase inicialmente

estaba pensada para retomar las cuatro funciones analizadas en la primera clase. Como lo

dice su enunciado, el ítem b) es una conjetura que formuló un grupo en la primera clase. Al

docente le resultó interesante retomarla porque allí se relacionan tres áreas. Por otro lado

también en aquella clase un alumno identificó al perímetro de cada cuadradito recortado

como una magnitud que variaba. Entonces en esta actividad se propuso estudiar la función

“Perímetro de cada cuadradito recortado-Longitud del lado de cada cuadradito recortado”

porque su gráfico resulta ser una recta, muy distinto a todos los anteriores.

Esta actividad es propicia para volver a discutir cuándo una conjetura está validada (o

rechazada) y cuándo no. Aquí el GeoGebra y el “juego” entre las “Vistas Gráficas” aporta

un apoyo que no tiene el entorno del lápiz y papel: cuando alguna cuestión del gráfico de la

“Vista gráfica 2” no se evidencia en el modelo de la “Vista gráfica 1” una conjetura puede

ser desechada. En las anticipaciones se tratará esta cuestión.

Anticipaciones y una posible gestión docente

En la actividad 4 para hacer el gráfico en la hoja aparte quizás los alumnos hagan

previamente una tabla de valores o utilicen la fórmula ( ) = .

25

Quizás pueda resultar confuso el hecho de que ahora no se “controla” a la variable

independiente. Es decir, cuando uno mueve el deslizador varía la longitud recortada, pero

esta variable no es tenida en cuenta en la función que se quiere estudiar.

También puede ocurrir que al mover el deslizador de izquierda a derecha como el punto va

“bajando”, se interprete que el gráfico es decreciente. Veamos este fenómeno en la imagen

10:

Imagen 10: en la pantalla de arriba el deslizador está ubicado en a=0.77. Al mover el deslizador de izquierda a derecha el punto (b,base) va “bajando”. En la pantalla inferior, “a” toma el valor 1.5 y ambas coordenadas del punto B son menores a las del punto móvil anterior.

26

Es decir, puede ocurrir que para responder sobre el crecimiento o decrecimiento del gráfico

se tenga en cuenta el movimiento del punto genérico al mover el deslizador. Es interesante

observar qué esto es un fenómeno que solamente se produce en los gráficos dinámicos.

Respecto del problema 5 quizás si los alumnos ingresan todos los gráficos juntos puede

resultarles difícil identificar cual es cual.

Aunque una ventaja es que al estar todos bajo un mismo sistema de ejes cartesianos los

alumnos se pueden preguntar qué ocurre en las intersecciones. Por ejemplo: ¿por qué hay

tres gráficos que se cortan en el mismo lugar? O también para responder el ítem c) quizás

sea necesario ver el gráfico rojo junto al marrón.

En el ítem b) los alumnos pueden utilizar la herramienta “Área” en el modelo de la “Vista

Gráfica 1” e ir moviendo el deslizador hasta que el punto genérico de la “Vista Gráfica 2”

esté cerca del máximo. Luego seguir moviendo el recorte hasta que efectivamente el área

de NOLM sea un cuarto del área de LKGH:

Imagen 11: captura de pantalla del trazo de los 4 puntos genéricos ingresados.

27

Este procedimiento instrumentado nos permite encontrar más evidencia a favor de que la

conjetura es cierta pero no posibilita validarla. Quizás algún alumno se acerque a una

prueba intelectual si recuerda propiedades de la función cuadrática vistas en la escuela

secundaria. Se validará que el máximo se alcanza si se recortan 2,5 cm cuando se vea más

adelante función cuadrática. Por el contrario, la afirmación enunciada en el ítem c) sí la

podrían descartar utilizando la técnica mencionada.

Imagen 13: aquí se movió el deslizador hasta que el área de NOLM sea un cuarto del área de LKGH.

Imagen 12: en la “Vista Gráfica 1” se visualiza que el área de un cuadradito recortado es un cuarto del área de la base y en la “Vista Gráfica 2” se visualiza que el punto genérico está en el máximo de la

gráfica.

28

En la imagen 13 el área de cada cuadradito recortado es un cuarto del área de la base pero

el punto genérico de la “Vista Gráfica 2” no se encuentra en el máximo de la gráfica

generado por su trazo.

Como mencionamos anteriormente, este es un procedimiento instrumentado que puede

surgir en la clase en donde se vinculan las dos “Vistas Gráficas” para refutar la

afirmación del ítem c). La misma consiste en mover el deslizador hasta que el área de

cada cuadradito recortado sea un cuarto al área de la base y luego ver en la “Vista

Gráfica 2” si el punto genérico “está en el máximo”18.

El ítem d) tiene la intención de que los alumnos se sorprendan cuando vean el trazo del

punto genérico. Hasta acá todos los gráficos fueron curvos. Al presentarse aquí un gráfico

recto seguramente se quiera buscar alguna explicación sobre por qué tiene esa forma.

18 Entrecomillamos “está en el máximo” porque en realidad no es posible saber cuándo el punto genérico está ubicado en el máximo de la función.

29

Fase 4: las funciones

Enunciados de la fase 4:

Actividad 6. Para resolver entre todos. Completen la siguiente tabla para cada función.

Pueden utilizar herramientas del GeoGebra o trabajar en la hoja. Indiquen si hay valores

aproximados. Una vez encontrada la fórmula de las funciones pueden ingresarla en

GeoGebra para corroborarlas.

Función 1. Área de la base de la caja- Longitud del lado de los cuadraditos recortados.

Función 2. Área de los cuadraditos recortados-Longitud del lado de los cuadraditos

recortados.

Función 3. Área de una pared de la caja-Longitud del lado de los cuadraditos recortados.

Función 4. Volumen de la caja- Longitud del lado de los cuadraditos recortados.

Función 5: Área total de la caja- Longitud del lado de los cuadraditos recortados.

V

I

V

D

Dom Im f(1) f-1(30) Máx Mín Int Int Fórmula

1

2

3

4

5

30

Objetivos de la fase 4. Que los alumnos:

resignifiquen los procedimientos instrumentados utilizados en las clases anteriores;

identifiquen cuándo un valor es aproximado, cuándo es exacto y cuándo no se sabe;

identifiquen cuál es la ventaja y desventaja de cada estrategia para hallar (1) y

(30);

vayan descontextualizando la “situación de las cajas” para tener un acercamiento a

los objetos matemáticos en juego.

“Diseño” de la clase y algunas intenciones didácticas

Por una cuestión de tiempo, esta será una clase “colectiva”. Es decir, con el proyector se

mostrará la pantalla de la computadora del docente y se irá llenando la tabla en el pizarrón a

partir de las intervenciones de los alumnos. Una desventaja de este tipo de clases es que

suelen participar los alumnos más “avanzados” en cuanto al conocimiento que disponen.

Por otro lado, dado que el GeoGebra trabaja con aproximaciones numéricas será necesario

distinguir cuándo un valor es exacto, cuándo es aproximado o cuándo no se sabe.

En esta cuarta fase al proponer un análisis comparado de varias funciones se tiene por

intención empezar a realizar un trabajo más descontextualizado. A pesar de que el contexto

de la caja sigue siendo pie de apoyo para pensar y para controlar muchas respuestas, sin

embargo se quiere que los alumnos se vayan acercando a los objetos matemáticos en juego:

distintos registros de representación, variables y su rango de valores, el aspecto de los

gráficos, utilización de las fórmulas para hallar imágenes y pre-imágenes, etc.

Anticipaciones y una posible gestión docente

Con respecto al dominio y al conjunto imagen puede haber nuevamente discrepancias sobre

si considerar o no a los casos límites cuando no se puede armar la caja.

Para hallar (1) y (30) se puede recurrir a distintas estrategias. Por ejemplo para hallar

(1) se puede:

tener en cuenta la situación planteada, es decir, pensar que si se recorta un

centímetro de cada lado, el lado del cuadrado de la base es de 8 cm, por lo tanto los

31

lados del rectángulo de cada pared miden 8 cm y 1 cm respectivamente. Entonces el

valor del área de cada pared cuando se recorta 1 cm es 8 cm2;

hallar la imagen de 1 utilizando la fórmula ( ) = . (10 − 2 );

utilizar la cuadrícula en la “Vista Gráfica 2” y mover el deslizador hasta que el

punto genérico tenga coordenada x=1:

Esta estrategia tiene la desventaja de que hay que confiar en el “ojo” de cada

sujeto para ubicar el punto justo cuando su coordenada x sea 1;

Utilizar las herramientas “Distancia o longitud” y “Área” en el modelo de la

“Vista Gráfica 1”:

Imagen 14: captura de pantalla de la “Vista Gráfica 2” al ubicar el punto (moviendo el deslizador) cuando su coordenada x es 1.

Imagen 15: se puede hallar la imagen de 1 moviendo el deslizador hasta que se muestre la leyenda “AB=1”.

32

En toda esta clase se hará un “ida y vuelta” entre las fórmulas, los gráficos de la “Vista

Gráfica 2” y el modelo presentado en la “Vista Gráfica 1”. Por ejemplo preguntando:

utilizando la fórmula vimos que (1) = 8, ¿cómo podemos ver esta cuestión desde el

gráfico? O: utilizando la cuadrícula y moviendo el deslizador ubicamos la coordenada x

del punto en 1 y pareciera ser que su imagen es 8, ¿cómo podemos ver esta cuestión desde

la “Vista Gráfica 1”? ¿Y desde la fórmula?

Con respecto al cálculo de la pre-imagen de 30 de esta misma función, al utilizar la “Vista

Gráfica 2” se visualiza que no existe dicho valor:

Por el contrario esta conclusión no es inmediata si se quiere resolver la ecuación19

30 = . (10 − 2 )

Notemos que para hallar la pre-imagen de 30 de la función “Volumen de la caja-Longitud

del lado de cada cuadradito recortado” es más probable que haya un “juego” entre las dos

“Vistas Gráficas” porque no es posible calcular el volumen de la caja utilizando las

herramientas de la barra superior del software.

19 Recordemos que los alumnos saben resolver ecuaciones cuadráticas a pesar de no haber visto “Función cuadrática”.

Imagen 16: trazo del punto genérico en la “Vista Gráfica 2”. El punto máximo es (2.5;12.5).

33

En la imagen 17 ver en la “Vista Gráfica 2” la coordenada x del punto genérico puede

resultar un tanto difícil. Aquí es conveniente mirar el valor de AB en la “Vista Gráfica 1”.

Este procedimiento instrumentado es interesante porque pone en juego las dos Vistas

Gráficas. Luego se preguntará si esta solución es exacta o aproximada y además si es

única.

Si algún alumno propone usar la fórmula de la función para hallar la pre-imagen de 30 se

llegará a la conclusión de que no es posible ya que no se tiene el conocimiento de cómo

resolver la ecuación

30 = . (10 − 2 )

Tampoco podrían encontrar fácilmente los valores de “a” al “tanteo” porque las soluciones

de la ecuación no son números enteros.

Por otro lado, a pesar de que el GeoGebra permite seleccionar 15 cifras decimales no

sabemos si el valor hallado es exacto o aproximado, aunque se pueda intuir que es

aproximado.

Al haber una herramienta que calcula áreas, para hallar por ejemplo la pre-imagen de 30 de

la función “Área de la base de la caja-Longitud del lado de cada cuadradito recortado” se

puede recurrir solamente a la “Vista Gráfica 1”. También se puede tener control de que el

punto genérico ingresado en la “Vista Gráfica 2” tenga aproximadamente coordenada

Imagen 17: se puede mover el deslizador hasta que la coordenada y del punto genérico parezca estar en 30.

34

y=30. Pero al intentar usar esta estrategia nos encontramos con que no es posible “atrapar”

a dicho valor.

En este caso el valor obtenido con el GeoGebra es aproximado porque no se pudo “atrapar”

un área de 30. Si se quisiese obtener la pre-imagen de 30 habría que resolver la ecuación

30 = (10 − 2 )

Respecto al máximo de la función 3, puede ocurrir que algunos alumnos respondan que el

máximo se halla en 2,5 y vale 12,5. Nuevamente esta conclusión la dejaremos a modo de

conjetura y la trabajaremos más adelante. Para hallar la coordenada x del máximo de la

función 4, un procedimiento instrumentado puede ser ubicar el punto genérico “a ojo” sobre

el máximo de la gráfica y ver en la “Vista Gráfica 1”cuánto mide la longitud recortada.

Imagen 18: no es posible “atrapar” un valor de 30 para el área de LKGH.

35

En el cierre de esta clase colectiva el docente preguntará para cada función cuáles de las

imágenes de 1 se pueden calcular con GeoGebra y cuáles a través de la fórmula. Luego el

docente puede ubicar el deslizador en = 1 para comprobar que todas las respuestas

pueden ser deducidas utilizando la herramienta “Área” (en el caso del volumen habrá que

multiplicar 64x1 “a mano”).

Imagen 19: cuando el punto genérico es ubicado a “ojo” en el “máximo” de la gráfica, en la “Vista Gráfica 1” se visualiza que la longitud del segmento AB es de 1,7. Quizás los alumnos para lograr más precisión

activen la cuadrícula.

Imagen 20: captura de pantalla de lo que el docente va a mostrarle a su clase luego de que los alumnos respondan la pregunta.

36

Luego formulará la misma pregunta pero para las preimágenes de 30. En este caso se

pretende concluir que para las funciones 2 y 3 (ver trazos naranja y verde de la imagen 20)

es conveniente mirar la “Vista Gráfica 2” y deducir que no existe valor de “a” tal que su

imagen es 30. Con respecto a las otras tres funciones se espera concluir que no es posible

arribar a un valor exacto con GeoGebra y utilizando la fórmula solamente podremos

obtener la pre-imagen de 30 respecto de la primera función.

Con respecto a los máximos y mínimos se concluirá que tenemos mucha evidencia a favor

de que el área máxima de cada pared es 12,5 cm2 cuando se recortan 2,5 cm pero no ocurre

lo mismo con el máximo de la función 4 pues hay varios “candidatos” posibles.

Asunto a indagar y el estudio de dos procedimientos instrumentados En este TFI nos propusimos primero identificar cuáles son los procedimientos

instrumentados llevados a cabo por los alumnos para resolver los problemas planteados y

luego analizar algunos de ellos evaluando su valor pragmático y epistémico. Luego de

analizar las cuatro clases llevadas a cabo decidimos analizar dos procedimientos

instrumentados.

Un procedimiento instrumentado para “leer” un gráfico dinámico Para analizar este procedimiento que surgió por parte de un alumno llamado Nicolás es

necesario recordar la actividad 3 de la secuencia. Allí se querían estudiar algunas cuestiones

de la función “Área de la base de la caja-Longitud del lado de cada cuadradito recortado”.

En el ítem 1) se preguntaba por qué se mueve el punto genérico al mover el deslizador y

por la relación entre dicho punto y las distintas cajas que se forman (ver página 17). Luego

en los ítems 2) y 3) se pedía:

2) Analizando el gráfico resultante respondan:

a) ¿Para qué longitudes de “a” es posible el armado de cajas propuesto? ¿Hay alguna longitud de “a” para la cual no es posible armar una caja? b) ¿Cuáles son los posibles valores para el área de la base de la caja? c) ¿Podrían estimar cuánto vale el área si se recortan 3cm? ¿Cómo hicieron esa estimación? d) ¿Hay algún valor de área de la base de la caja que sea 49 cm2? ¿Y 110 cm2? En el caso de que haya, estimar el valor de la longitud del lado del cuadrado recortado.

3) ¿Cómo pueden responder las preguntas anteriores sin utilizar el gráfico?

37

Como mencionamos en las anticipaciones, nuestra intención era que el ítem 2) se

respondiera a partir del gráfico de la “Vista Gráfica 2” que genera el trazo del punto

genérico (a, base). Sin embargo varios grupos utilizaron en el modelo geométrico de la

“Vista Gráfica 1” herramientas que miden longitudes y áreas. Por lo tanto, en estos grupos

la pregunta 3) no tuvo sentido.

A pesar de que en el enunciado se pedía responder las preguntas utilizando solamente el

gráfico, como varios grupos utilizaron herramientas que miden longitudes y áreas el

docente decidió habilitarlas las durante la clase. Creemos que esto ocurrió porque no le

encontraban sentido a responder las preguntas restringiéndose a la “Vista Gráfica 2” pues

les resultaba más sencillo calcular la imagen de 3 utilizando la herramienta “Área” en el

modelo de la “Vista Gráfica 1”. Sin embargo en algunos grupos, como veremos a

continuación, el docente intervino para que se utilice solamente el gráfico generado por el

trazo del punto genérico. Tomó esta decisión para luego en la discusión colectiva

“confrontar” y “poner en diálogo” las estrategias que sólo utilizaban herramientas de

medida con las que sólo utilizaban el gráfico.

Diálogo entre el docente y Nicolás: análisis utilizando únicamente la “Vista Gráfica

2”.

Nicolás era un estudiante que no interactuaba con sus compañeros y solía trabajar solo. Esta

vez en función de este trabajo aceptó formar parte de un grupo con compañeros que se

conocían entre ellos y que trabajan con Nicolás por primera vez.

El primer día de la experiencia del TFI Nicolás demostró tener un gran interés por el trabajo

en un entorno dinámico. En la segunda clase, su grupo disponía de dos computadoras,

Nicolás se aisló y trabajó sólo con una ellas. En ese contexto se dio el siguiente diálogo:

Diálogo Observaciones

D: ¿Cómo responderían esta

pregunta a partir del gráfico?

El docente hace referencia al ítem 2c)

Nicolás: Primero tenemos que

poner la cuadrícula. Después

busco el 3 en el eje x y voy

agrandando al eje y hasta que

aparezca.

38

Nicolás en su intervención hace referencia al cambio de escala del eje y. La modificación

de la escala de los ejes proviene de la propia exploración de Nicolás con el software, el

docente no había explicado este recurso. Seleccionando la herramienta “Desplaza Vista

Gráfica” y apoyando el cursor sobre el eje y se puede cambiar la escala de este eje. Nicolás

al hacer esto logró hallar la imagen de 3 utilizando solamente la “Vista Gráfica 2”. Es decir

el procedimiento instrumentado del alumno consistió en poner la cuadrícula y luego ir

ajustando las escalas hasta que los valores deseados aparezcan entre los valores que

muestra el GeoGebra en los ejes. Luego se fijó cuál era la imagen de 3 usando la

cuadrícula.

El diálogo continuó de la siguiente forma:

Diálogo Observaciones

D: Ah ok. ¿Y si “a” fuese 3,2? El docente le formula a Nicolás una pregunta que no estaba en el

enunciado con la intención de ver el “alcance” del procedimiento

instrumentado que el alumno había utilizado.

Nicolás: Hago lo mismo.

D: A ver probemos.

Nicolás: Ahora tiene que

agrandarlo un poco más y le da

el valor 3,2.

El docente estaba manejando la computadora de Nicolás.

Imagen 21: En la izquierda se visualiza la “Vista Gráfica 2” original de Nicolás y la de la derecha la “Vista Gráfica 2” con la nueva escala en el eje y. Allí se puede ver que a 3 le corresponde el 16.

39

D: ¿Lo engancharé alguna vez? Aquí el docente se pregunta si al cambiar la escala del eje x aparecerá el

valor 3,2 entre los valores mostrados en el mismo.

Nicolás: Si yo creo que sí, un

poco más.

D: Estoy pensando, si lo logro

enganchar, el tema es

encontrar después el área para

ese recorte.

En este comentario el docente interviene aludiendo al significado de los

puntos en el gráfico. Quiso que Nicolás vuelva a poner el foco en la nueva

pregunta del docente, es decir, en hallar la imagen de 3,2.

Alan: Profe, ¿no es más fácil si

usa la herramienta para buscar

la longitud del corte y la del

área del cuadrado del medio?

Busca el 3,2 y le da el área del

cuadrado.

Alan era un integrante de otro grupo, pero estaba cerca de Nicolás y

estaba escuchando el diálogo.

D: Si, nos estamos

preguntando acá si lo podemos

encontrar usando sólo el

gráfico.

Alan aceptó la propuesta del docente de utilizar solamente la “Vista Gráfica 2” y luego

propuso otro procedimiento que consistía en ingresar el punto (3.2,base) en la barra de

entrada y ver cuándo los dos puntos móviles se superponían.

Elegimos analizar el procedimiento instrumentado de Nicolás porque se pone de manifiesto

la diferencia entre trabajar con un gráfico estático y uno dinámico. En este último se puede

elegir poner o no la cuadrícula, se puede cambiar la escala de los ejes y se puede hacer

zoom, entre otras características. Más adelante profundizaremos sobre esta cuestión.

También creemos que era interesante mostrar el momento en que el docente se anoticia del

procedimiento de Nicolás y ante una estrategia del alumno decide explorar junto a él el

alcance del mismo. Esto se ve reflejado cuando pregunta: “y si “a” vale 3,2?”. En ese

momento no había una relación asimétrica entre docente-alumno sino que se produjo

una situación de trabajo colaborativo entre ellos. Luego se llegó a la conclusión de que

para ciertos valores de “a” era sencillo hallar el valor del área de la base de la caja

40

utilizando este procedimiento, es decir, poniendo la cuadrícula y cambiando las escalas de

los ejes. Sin embargo, hay valores que pueden ser “atrapables” en el eje x pero luego es

muy difícil identificar su imagen en el eje y, por ejemplo el 3,2.

Cabe resaltar que este procedimiento instrumentado no había sido anticipado por el

docente. Más aún, en las anticipaciones sobre este ítem escribimos: “se espera que los

alumnos observen la gráfica y apelen a sus conocimientos sobre el estudio de gráficos en

lápiz y papel”.

Diálogo con toda la clase: análisis de una intervención docente.

Como mencionamos anteriormente, el docente durante el momento de resolución en grupos

tomó por válidas estrategias que involucraban la “Vista Gráfica 1” y en otros les planteó el

desafío de cómo se podría responder la pregunta solamente utilizando la “Vista Gráfica 2”.

Veamos ahora qué ocurrió en la discusión colectiva sobre esta cuestión:

Diálogo Observaciones

D: Algunos hicieron “trampa” y

no usaron el gráfico, usaron

herramientas que miden.

El docente utiliza un tono que sugiere complicidad al hablar de

“trampa”. Se juega la noción de contrato didáctico al hacer referencia a

lo pedido versus lo realizado. En ese sentido aquí está invitando a los

alumnos a que defiendan con argumentos por qué no respetaron la

consigna.

Nicolás: ¿Qué tiene de malo?

D: Nada, pero el enunciado

decía otra cosa. Si ahora

queremos usar sólo el gráfico

rojo, si se recortan 3 cm, ¿es

posible encontrar el área?

El docente hace referencia al gráfico generado por el trazo del punto

(a,base).

Nicolás: Sí.

41

D: ¿Por qué sí? Si me paro en 3,

¿qué responderías?

El docente movió el deslizador hasta que el GeoGebra mostró AB=3, con

lo cual él también utilizó la “Vista Gráfica 1”. Por otro lado, se puede ver

que la pregunta es un tanto artificial porque en la misma “Vista Gráfica

1” ya se visualiza “Área de LKGH=16”. Sin embargo Nicolás respeta la

consigna del docente de responder solamente viendo la “Vista Gráfica

2”.

Nicolás: Que agrando el gráfico

entre 0 y 20 y pongo la

cuadrícula. Después busco el

resultado.

Nicolás aquí hace referencia a su estrategia mencionada anteriormente,

es decir, poner la cuadrícula y cambiar la escala del eje y.

D: Si, una manera es cambiar la

escala y poner la cuadrícula. El

tema es que en los gráficos

estáticos, o sea en lápiz y papel

es imposible hacer esto. Si

estirás la hoja no se agranda.

Una limitación de los gráficos

dados en la hoja es que hay

información que no es exacta. Si

me dan esto en una hoja, no sé

si es 18, 19, 15. Lo mismo, con el

otro, si el área es 49, yo no sé

exactamente el recorte.

Luego el docente continuó con el ítem d) y aquí también hizo referencia a cómo se puede

42

hallar la pre-imagen de un número en un gráfico dado en lápiz y papel.

Presentamos el diálogo anterior porque allí se refleja cómo los aspectos institucionales

influyen a la hora realizar ciertas intervenciones. Al analizar esta clase creemos que la

mención de los gráficos estáticos (los de lápiz y papel) por parte del docente en la discusión

colectiva fue forzada. Si se quisiese estudiar las limitaciones de este tipo de gráficos para

encontrar ciertas imágenes y preimágenes se deberían estudiar con un gráfico de este tipo y

no con uno dinámico. El GeoGebra puede “salvar” algunas limitaciones que se presentan en

los gráficos estáticos. Ya mencionamos que por ejemplo, en los gráficos dinámicos, se

puede cambiar la escala, poner o sacar los ejes y hacer zoom. Pero también el gráfico

dinámico de GeoGebra puede no estar solo, sino que a veces está acompañado del modelo

(y las herramientas que se pueden utilizar) presentado en la “Vista gráfica 1”. Los gráficos

estáticos y los gráficos dinámicos son distintos objetos, por lo tanto, su estudio debe

diferenciarse. Es por esto que en el “mundo” GeoGebra (particularmente en este tipo de

problemas), creemos que ya no se puede hablar de “lectura de gráfico” solamente porque

hay un “juego” de pantallas interactivo e instantáneo.

En función a lo acontecido en esta experiencia, en una futura pasada de esta secuencia

creemos más interesante no indicarles a los alumnos en el enunciado que las respuestas se

tienen que responder mirando el gráfico. Una pregunta interesante es: cómo lograr que en

esta actividad sea necesario vincular la “Vista Gráfica 1” con la “Vista Gráfica 2” y no sea

una imposición del docente al pasar por los grupos. Aunque esta intervención fue muy

valiosa quizás es preferible que este vínculo entre las “Vistas Gráficas” sea más genuino, es

decir que se requiera de él para resolver la actividad. Una posible respuesta a esta pregunta

es cambiando la función por la relación “Volumen de la caja-Longitud del lado de cada

cuadradito recortado”. Más adelante veremos por qué el estudio de esta función habilita a

que la interacción entre las “Vistas Gráficas” sea más genuina.

A pesar de que el docente decidió que Nicolás comparta su estrategia con el resto de sus

compañeros, nos podemos preguntar por qué luego no explicitó que ese podía ser un

procedimiento para hallar la imagen de algunos números “fáciles” detallando en qué

consistía el mismo. También nos podemos preguntar por qué forzó la aparición de los

gráficos en lápiz y papel. Las dos respuestas tienen que ver con lo institucional: en el Taller

de Matemática del CAU solamente se ven gráficos estáticos y su lectura e interpretación se

43

trabaja en los problemas dados en el libro de la materia y luego es evaluada en los

exámenes. Por tal motivo el docente intervino hablando de los gráficos estáticos y no

explicitó en qué consistía el procedimiento instrumentado de Nicolás ya que este no iba a

ser utilizado fuera de la breve experiencia para este TFI.

Un procedimiento instrumentado en donde se utilizan las dos “Vistas Gráficas”

El uso del procedimiento instrumentado para obtener información a favor de una conjetura. Vamos a estudiar primero en qué consiste este segundo procedimiento instrumentado, para

lo cual se analizarán también algunos fragmentos de clase. Luego estudiaremos con que

finalidad la utilizaron los alumnos.

Recordamos que en el ítem c) de la actividad 2 (ver página 13), los alumnos tenían que

decidir si era cierto que a medida que va aumentando la longitud del lado de cada

cuadradito recortado, el área de cada una de las paredes también va aumentando. En un

principio algunos grupos creían que el área de cada pared siempre aumentaba o siempre

disminuía a medida que se aumentaba la longitud recortada. En un primer momento ningún

grupo identificó que el área de cada pared podía aumentar hasta cierto valor de longitud

recortada para luego disminuir.

En un grupo se produjo el siguiente diálogo:

Nahuel: Lo que va en la altura va disminuyendo en ancho, entonces va a tener siempre la misma área.

Adrian: No tiene la misma área ahí, no es lo mismo el área de un cuadrado a la de un rectángulo. El área va

disminuyendo también.

Luego el docente intervino:

D: GeoGebra tiene herramientas que miden, quizás eso les sirva para ver si es cierto o falso algo.

Adrian: Pero también sería visual20.

D: En realidad es más numérico. Tiene algo de visual pero se pueden apoyar en valores. Pero también

pueden utilizar otros argumentos que no sea usando el programa.

Nahuel: ¡El área aumenta y después disminuye! (Nahuel usó las herramientas “Longitud” y “Área”, en su

frase referencia al área de cada una de las paredes)

Adrian: Pero cuando lo vas corriendo para allá disminuye.

20 En el momento de resolución en pequeños grupos en una primera instancia los alumnos respondían: “porque al mover el deslizador se ve….”. En este grupo en particular el docente les había propuesto buscar otros argumentos más allá del visual.

44

Nahuel: No, aumenta hasta cierto punto y después disminuye.

D: El ojo engaña a veces.

Adrian: Aumenta hasta 12.5 y después empieza a disminuir.

Gracias a varias exploraciones este grupo llega a la siguiente conclusión:

Nótese que aquí este grupo fue más allá de la consigna. No sabemos cómo llegaron a

formular esa respuesta pero cuando dicen “aumenta hasta que el cuadradito a recortar sea

un cuarto de la base de la caja, luego va disminuyendo (en referencia al área de cada pared)

están comparando tres áreas: el área de la base, el área de los cuadraditos recortados y el

área de las paredes.

Recordamos que el docente tomó esta propiedad que encontró este grupo en la primera

clase y la incorporó en la actividad 5 (ver página 23). Mencionamos nuevamente los ítems

b) y c):

La técnica instrumentada y su uso para confirmar una propiedad

Diálogo con toda la clase: interacción entre las Vistas Gráficas.

En la discusión colectiva del ítem b) se produjo el siguiente diálogo:

Imagen 22: escrito original del grupo.

b) En la primera clase un grupo encontró la siguiente “propiedad”: cuando el área de cada cuadradito recortado es un cuarto del área de la base de la caja, el área de cada una de las paredes alcanza su máximo valor. ¿Pueden confirmar o refutar esta propiedad viendo algún gráfico? ¿Cuál es el área máxima de las paredes? ¿El valor es exacto o aproximado?

c) Decidan si es cierta la siguiente afirmación: si el área de cada cuadradito recortado es un cuarto del área de la base de la caja, entonces el volumen de la caja alcanza su máximo valor. Justificar.

45

Diálogo Observaciones

D: La frase del ítem b), ¿es cierta o

falsa?

Paula: Cierta.

D: ¿Por qué? ¿Cómo lo justificaron?

Paula: Miramos en el gráfico.

D: Miraron en el gráfico azul. ¿Qué

analizaron de ese gráfico?

Melina: No, primero buscamos en

qué medida el cuadradito recortado

es un cuarto de la base.

Melina y Paula eran integrantes del mismo grupo.

D: Ah, usaron las herramientas de

área y de distancia. ¿Y cuánto les

dio?

Melina: De área, que el cuadradito

recortado es 6,25, que es el cuarto

del verde.

El grupo de Melina utilizó solamente la herramienta “Área”.

D: Pero estoy pensando, cómo

identificaron el 6,25, porque se

mueve todo acá.

46

Melina: Fuimos moviendo y haciendo

cálculos. Fuimos buscando hasta que

el área del cuadradito recortado sea

un cuarto de lo que mostraba la

base, y lo que mostraba era 25.

Al mover el deslizador cambian las tres áreas analizadas. Las

alumnas iban multiplicando por 4 el valor del área de NOLM e

iban viendo si el resultado era igual al valor del área de MLHI.

Esta igualdad se obtiene cuando el área de cada cuadradito

recortado es de 6,25.

Melina: Entonces ahí la propiedad se

cumple, 6,25 es un cuarto de 25. Y

ahí nos fijamos cuánto mostraba en

el área de la pared, que es 12,5.

D: No usaron el gráfico entonces.

Melina: Sí, al mismo tiempo fuimos

viendo si el punto del azul estaba

arriba.

A partir de las intervenciones de Melina podemos analizar el “juego” entre las dos “Vistas

Gráficas” de este procedimiento instrumentado (este grupo también había activado la

cuadrícula de la “Vista Gráfica 2”). Primero se utilizó la herramienta “Área” en el modelo

geométrico de la “Vista Gráfica 1” y luego al mover el deslizador las alumnas iban viendo

el movimiento del punto genérico previamente ingresado. Al hacer esto deducimos que no

fueron multiplicando “ciegamente” por 4 a todos los valores del área del cuadrado NOLM,

sino que tomaron valores dentro de cierto rango, cuando el punto móvil estaba cerca del

punto máximo.

47

Luego continuó el diálogo de la siguiente forma:

Diálogo Observaciones

Alan: Pero acá decía usando

solamente el gráfico. Usando el

gráfico no se puede confirmar.

Alan leía muy en detalle los enunciados y trataba de

respetarlos.

D: Bien, mirando sólo el gráfico no sé

en donde está el “pico” del gráfico

azul. Si lo que sé es que está cerca

del 2. Pero usando juntas las dos

Vistas Gráficas, si engancho justo el

6,25, se ve en el gráfico que el punto

está en el tope. El tema es que hasta

ahora no hicimos una

argumentación, usamos el programa.

El se “ve” es muy subjetivo, ningún alumno puso en duda esta

cuestión.

Carlos: ¿Pero cómo sabés que el área

de las paredes ahí es la máxima?

Paula: Yo todo eso lo vi usando el

programa.

D: Es una buena pregunta la de

Carlos, ¿cómo sabemos que el

El docente en esta intervención hacía referencia a la función

cuadrática. Los alumnos hasta aquí no tenían las herramientas

Imagen 23: En la “Vista Gráfica 1” se cumple la propiedad y en la “Vista Gráfica 2” el punto móvil pareciera estar en el punto máximo del gráfico generado.

48

máximo está acá? En las próximas

clases vamos a estudiar este tipo de

funciones, y eso nos va a dar

herramientas para argumentarlo.

para validar esta conjetura.

Luego de este fragmento del diálogo se continuó con el ítem c).

Hasta aquí vimos cómo este procedimiento instrumentado sirvió para brindar evidencia a

favor de que la conjetura era cierta. Pero no nos permitió asegurar que cuando el área de

cada cuadradito recortado es un cuarto del área de la base, entonces el área de cada pared es

máxima.

En cuanto a la evidencia a favor de la conjetura para hallar el conjunto imagen de la

función, en la última clase Nicolás utilizó su procedimiento instrumentado para

“asegurarse” que efectivamente la coordenada y del punto máximo sea 12,5. Allí se le

asignó a los valores del eje y una distancia de 0,5 y luego se hizo zoom de acercamiento

para verificar que el punto nunca “esté arriba” de 12,5.

En este caso, la búsqueda de una certeza movilizó otro recurso para la validación. Cabe

mencionar que esta combinación de las dos técnicas instrumentadas brinda más evidencia

de que la propiedad a estudiar se cumple, pero no es una prueba intelectual en los términos

de Balacheff que mencionamos en la fundamentación.

Imagen 24: recordamos que esta clase fue “colectiva”. Nicolás le iba dictando qué hacer al docente. Como se puede ver en la imagen, efectivamente la coordenada y del punto móvil está siempre en

12,5 por más zoom de acercamiento que se haga.

49

A continuación veremos un ejemplo en donde el mismo procedimiento puede ser utilizado

para rechazar una conjetura.

El uso del procedimiento instrumentado para rechazar una conjetura Alan, en el momento de trabajo en grupos, utilizó el mismo procedimiento instrumentado

detallado anteriormente para responder el ítem c):

Diálogo Observaciones

Alan: La c) es mentira,

porque esta es la curva

del volumen. Si el

punto está acá en el

máximo, el área azul no

es un cuarto del área de

la base.

Alan también activó la cuadrícula de la “Vista Gráfica 2”. Moviendo el deslizador

ubicó “a ojo” el punto genérico en el máximo del gráfico generado por su trazo.

No sabemos si identificó que el área azul (área de NOLM) no era un cuarto de la

verde (área de LKGH) visualmente o si hizo alguna cuenta.

Aquí queremos aclarar que formalmente con esta estrategia Alan no estaría invalidando la

conjetura ya que la misma está formulada como una implicación, recordemos que era “si el

área de cada cuadradito recortado es un cuarto del área de la base de la caja, entonces el

volumen de la caja alcanza su máximo valor.” El alumno llegó a la conclusión de que si el

punto está en el máximo, el área de cada cuadradito recortado no es un cuarto del área de la

base de la caja. Si la conjetura hubiera sido enunciada con “sí y sólo sí” la conclusión de

Alan habría servido para invalidarla. El docente en ese momento no se percató de esta

cuestión pero luego del análisis posterior de la clase creemos que tampoco era pertinente

abrir esta discusión con Alan porque como mencionamos en los conocimientos previos

recién los alumnos estaban entrando en el “juego” de la argumentación.

50

Luego el diálogo continuó así:

Diálogo Observaciones

Javier: El rosa es el

volumen, ¿y en dónde

ves si el volumen de los

recortes es un cuarto?

Creemos que Javier con esta pregunta no estaba comprendiendo el enunciado.

Alan: Para, para, lo voy

a leer de nuevo. Este es

el valor máximo de las

paredes. La c) es falsa

porque ahí tengo un

cuarto de todo pero el

volumen no es el punto

máximo.

Alan estaba viendo los dos gráficos mostrados en la imagen de arriba a la vez.

Aquí hizo un cambio respecto a la estrategia mencionada anteriormente ya que

movió el deslizador hasta que el área de NOLM sea un cuarto del área de LKGH y

luego vio la ubicación de los puntos móviles. En este caso sí se puede asegurar

que la afirmación del ítem c) es falsa pues el área de cada cuadradito recortado

es un cuarto del área de la base y sin embargo allí no se produce el volumen

máximo de la caja.

Alan: Profe, no

sabemos cómo

justificarlo. Cuando es

un cuarto del área de la

base no es el pico

máximo del volumen.

El punto máximo es

más o menos por ahí,

pero cuando es un

cuarto está por acá, no

El alumno le está mostrando al docente sus dos estrategias para argumentar que

la afirmación del ítem c) es falsa. Primero mueve el deslizador hasta que el punto

móvil rosa está en el máximo del gráfico y luego lo vuelve a mover hasta que el

área de cada cuadradito recortado es un cuarto del área de la base de la caja.

51

es.

Luego el docente fue trabajando junto a los alumnos cómo escribir en palabras lo que Alan

había visualizado.

Mostramos este diálogo porque es un ejemplo en donde el procedimiento instrumentado

sirvió para rechazar una afirmación a discutir (conjetura). Además nos resultó interesante

las dos estrategias que utilizó Alan. Más allá de que una formalmente no era válida para

desechar la conjetura, él visualiza que había un solo máximo, por lo tanto creemos que

intuitivamente sabía que la propiedad trataba de un “sí y sólo sí”.

Finalmente la respuesta del grupo de Alan fue:

En el cierre de esta clase el docente enfatizó en que la “propiedad” del ítem b) quedó como

provisoria y la afirmación del ítem c) quedó refutada por las razones mencionadas.

El uso del procedimiento instrumentado para hallar una pre-imagen Recordemos que en la actividad 6 los alumnos tenían que hallar la pre-imagen de 30

analizando distintas funciones. Cuando se trabajó con la función “Volumen de la caja-

Longitud del lado de cada cuadradito recortado” se produjo el siguiente diálogo:

Diálogo Observaciones

D: ¿Y la pre-imagen del

30? Para hallarla, ¿usamos

el gráfico o las

herramientas de medir

Imagen 25: producción original del grupo de Alan

52

que usamos antes?

Alan: Las dos cosas otra

vez. Primero llevamos el

punto hasta el 30. Ese es

sencillo porque cae justo

en la cuadrícula.

En realidad no era sencillo moviendo el deslizador lograr que la coordenada y

del punto móvil sea 30. En la imagen el valor 0.35 es el correspondiente a la

longitud recortada.

Al hacer un poco de zoom se visualiza que la coordenada y del punto móvil no

es 30.

Para hallar la pre-imagen de 30 de la función “Área de una pared de la caja-Longitud del

lado de los cuadraditos recortados” los alumnos utilizaron la herramienta “Área” e iban

moviendo el deslizador hasta obtener un valor de 30 en el área de una pared, por lo tanto,

no fue necesario visualizar las dos “Vistas Gráficas”. Por el contrario, al no disponer

GeoGebra de una herramienta que calcule el volumen, aquí sí fue necesario ver el gráfico

generado en la “Vista Gráfica 2”. Esta es una variable didáctica interesante a tener en

cuenta: si se quiere que los alumnos vinculen las dos “Vistas Gráficas” sin que sea una

imposición docente, se pueden elegir funciones en donde los valores de alguna de sus

variables no sean calculables mediante herramientas del programa. Recordemos que

en nuestras anticipaciones habíamos escrito: “esto dificulta poder hacer un análisis global

de la función “Volumen- Longitud del lado de cada cuadradito recortado” en “tiempo real”

ya que es necesario hacer los cálculos aparte con cada recorte que se elija”. Luego de la

experiencia creemos que fue una de las funciones más interesantes para trabajar por la

razón antes explicitada.

A continuación mostramos cómo continuó el diálogo:

53

Diálogo Observaciones

Nicolás: Puede hacer

zoom.

Nicolás quería ser más preciso en la respuesta.

D: 30, ¿ahí?

Nicolás: Sí.

D: ¿Y ahora qué hago?

Alan: Miro cuánto mide

AB.

Cuando el docente terminó de ubicar el punto móvil moviendo el deslizador,

en la “Vista Gráfica 1” el GeoGebra mostraba AB=0.35. Sin embargo, si se

hubiera hecho más zoom de acercamiento se podría haber detectado que el

punto móvil no podía tener una coordenada y de 30, esto se debe al “paso”

del deslizador.

D: Bien, enganchamos el

30 acá y una forma es

mirar esto (El docente

señala sobre el eje x, con

el cursor la coordenada x

del punto móvil). El tema

es que es mejor este valor

(se hace referencia al valor

de AB mostrado por el

GeoGebra en la Vista

Gráfica 1) y no el de la

Vista Gráfica 2 porque es

menos exacto, ¿se

entiende eso? Si yo tuviera

54

un gráfico en una hoja

habría que trazar una

recta horizontal, ver

dónde se interseca con el

gráfico, bajar

verticalmente y miran el

número en el eje x. Pero

en GeoGebra es mejor

usar el valor de AB porque

no sé qué número le

corresponde en el eje x.

En esta última intervención el docente hace mención a una estrategia del lápiz y papel para

hallar la pre-imagen de un número. Como mencionamos anteriormente, lo hizo para que los

alumnos luego la tengan en cuenta para resolver los problemas del libro de la materia. Sin

embargo, volvemos a enfatizar que para trabajar una técnica en lápiz y papel lo mejor es

trabajar con un gráfico estático, sino la explicitación de la misma es un tanto forzada.

Luego la clase continuó con el llenado de la tabla “colectivamente”.

Valor pragmático y valor epistémico de los procedimientos instrumentados En la fundamentación del TFI se habló del valor pragmático y del valor epistémico de las

técnicas (en nuestro caso procedimientos), sean o no instrumentadas. El valor pragmático

de estos dos procedimientos instrumentados quedó reflejado en este análisis, ya que a través

de los mismos los alumnos pudieron reafirmar una propiedad, desechar una conjetura o

hallar de forma exacta o aproximada imágenes o preimágenes. En cuanto a su valor

epistémico podemos mencionar que en el primer procedimiento se puso en juego la noción

de escala, que además cada eje puede tener una propia y se trabajó la lectura de un gráfico

(en este caso dinámico). Con respecto al segundo procedimiento instrumentado al

producirse un “ida y vuelta” entre el modelo y los gráficos que generan los puntos

genéricos, creemos que esta interacción ayuda a los alumnos a comprender las

características del punto genérico, su trazo y la relación entre ellos y el modelo. En

55

interesante remarcar que como los procedimientos son instrumentados, algunos de sus

valores epistémicos tienen que ver con conocimientos del entorno dinámico.

Conclusiones

A pesar de que los alumnos no vivenciaron un proceso de modelización completo, creemos

que se cumplió con el objetivo principal de esta secuencia, el cual era “romper” con la idea

de que dada una situación hay una sola función que la modeliza. Para esto el aporte del

software GeoGebra fue fundamental tanto para la identificación de distintas magnitudes

que variaban como para el análisis posterior de las funciones estudiadas.

En la fundamentación del TFI comentábamos que un aspecto a destacar de la etapa de

experimentación al trabajar en ambientes computarizados dinámicos es la formulación de

conjeturas. En esta experiencia pudimos identificar la importancia del GeoGebra en esta

etapa cuando en la primera clase un grupo arribó a la conjetura que relaciona tres áreas del

modelo presentado. Si la situación de las cajas se hubiera analizado en un entorno de lápiz

y papel creemos que esta relación no habría surgido. Luego por una decisión docente la

misma estuvo presente en clases posteriores lo que permitió estudiar una cuestión

transversal de la matemática como es el estudio de cuándo una conjetura está validada,

cuándo se obtiene información a favor y cuándo se puede descartar. Aquí también el

GeoGebra hizo su aporte: como vimos en el estudio del asunto indagado hubieron casos en

donde un procedimiento instrumentado les brindaba a los alumnos información a favor de

una conjetura y otras veces les permitía rechazarla. Para la elaboración de pruebas

intelectuales fue necesario recurrir al lápiz y papel.

Por último, los procedimientos instrumentados que surgieron en estas cuatro clases

quedaron en un estado “artesanal” y no llegaron a tener un status de técnicas. Como

mencionamos anteriormente, la razón de esta cuestión es institucional: en el CAU no se

trabaja con computadoras, por lo tanto, esta experiencia fue una experiencia acotada a estas

cuatro clases, entonces carecía de sentido institucionalizar las técnicas cuando no se iban

más allá de esta breve experiencia.

56

Bibliografía Bosch, M. y Chevallard, Y. (1999). La sensibilité de l’activitémathématiqueauxostensifs. Objetd’étude et problématique, en: Recherches en Didactique des Mathématique vol. 19 n°1, Grenoble, 77-124. Chevallard, Y. (1999). El análisis de las prácticas docentes en la teoría antropológica de lo didáctico, en: Recherches en Didactique des Mathématiques, 19 (2), 221-266. Arcavi, A. & Hadas, N. (2000). El computador como medio de aprendizaje: ejemplo de un enfoque. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 5,25-45. Balacheff, N. (2000). Procesos de prueba en los alumnos de matemáticas. Bogotá, Colombia: Editorial: Una empresa docente: Universidad de los Andes. Bosch, M. (2001). Un punto de vista antropológico: la evolución de los ‘instrumentos de representación’ en la actividad matemática, En L. Contreras, [et al.] (eds.), Cuatro Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación, 15-28. Universidad de Huelva. Artigue, M. (2002). Learning mathematics in a CAS enviorment: the genesis of a reflection about instrumentation and the dialectics between technical and conceptual work, en: International Journal Of Computers for Mathematical Learning nº 7, Netherlands, 245-274. Trouche, L. (2004). Managing the complexity of human/machine interactions in computerized learning environments: guiding students’ command process through instrumental orchestrations. International Journal of Computersfor MathematicalLearning, 9, 281–307. Artigue M. (Julio, 2007). Tecnología y enseñanza de las matemáticas: desarrollo y aportes de la aproximación instrumental. Conferencia llevada a cabo en la XII Conferencia Interamericana de Educación Matemática, México. Duarte B.(2010). Cuestiones didácticas a propósito de la enseñanza de la fundamentación en matemática (tesis doctoral). Universidad de San Andrés. Buenos Aires, Argentina. Nagel M., Motenengro F. (2012). GeoGebra en la escuela secundaria. Relato de experiencia de formación a distancia con profesores del nivel. Sociedad Argentina de Educación Matemática, editorial Premisa. 14, 55. Borsani, V.; Cedrón, M.; Cicala, R.; Di Rico, E.; Duarte, B.; Sessa, C.(2013) La integración de programas de geometría dinámica para el estudio de la variación de magnitudes geométricas: nuevos asuntos para la didáctica. Comunicación presentada en el VII CIBEM. Uruguay.