Trabajo Final Estadistica-Oscar L Penagos F

8/19/2019 Trabajo Final Estadistica-Oscar L Penagos F

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Universidad La Gran Colombia -Penagos Oscar - Distribución de Gumbel

Resumen El presente trabajo aborda la aplicabilidad hidrológica

de un modelo Probabilístico correspondientes a la!unción de Gumbel para series anuales de caudalesm"#imos$ El estudio se centró en todas las estaciones detipo !luvial de la región del %aule abarcando el río presente en la región como son la cuenca del río %aule

originada en la Cordillera de los &ndes$La !unción de distribución de probabilidad con la cual

los caudales m"#imos se ven ma'ormente re!lejados esla !unción de Gumbel considerando su uso comoaltamente con!iable entregando un coe!iciente dedeterminación promedio para todas las estaciones del()*+ ' una aprobación altamente signi!icativa de la prueba de bondad de ajuste ,olmogorov mirnov$

Cabe agregar .ue para el dise/o de estructurashidr"ulicas tales como canales puentes presasalcantarillados obras asociadas al dise/o ' construcción

de vías es necesario estimar los caudales m"#imos paraun pedio de retorno 012 34 determinado$ Estas crecientes pueden ser calculadas por di!erentes m5todosdependiendo de la disponibilidad de la in!ormaciónhidrom5trica$

La !alta o escases de in!ormación conducen engeneral a despertar dudas sobre los resultados obtenidoslo cual hace .ue los ingenieros dise/adores oinvestigadores asuman una actitud conservadora en losdise/os ' .ue se presente un incremento importante enlos costos de la obra$ En general se cumple la relación amenor in!ormación ma'ores costos 0%617 8 95le:

;((<4$ En ;(=; el >ater 2esource Council 0Concejo De2ecursos 7ídricos4 mostro los an"lisis de variasmetodologías usadas en cuencas no instrumentadas 'encontró .ue todos los m5todos estaban sujetos agrandes errores ' .ue presentaban una tendencia asobreestimar los caudales$

?

6$6@12ODUCC6A@

El caudal punta es el caudal m"#imo .ue se registradurante el aumento inusual del caudal de agua de uncauce natural o arti!icial superando con creces losvalores medios normales$ La predicción de la magnitud

de la creciente para el dise/o de obras hidr"ulicas hasido siempre motivo de controversia debido a .ue losm5todos .ue anali:an caudales punta deben reali:ar una pro'ección hacia el !uturo aplicando teoría de probabilidades con un alto grado de incertidumbre$ Lasestaciones hidrom5tricas registran caudales mínimosmedios ' m"#imos .ue !lu'en por un punto determinadode una cuenca$ Esta in!ormación hidrológica permitecuanti!icar la o!erta hídrica de la cuenca ' estimar loscaudales m"#imos para distintos períodos de retornocon el propósito de solucionar los problemas .ue implicael dise/o de obras hidr"ulicas 0ChoB et al$ ;((*4$

i se conocen con un nivel de apro#imación ra:onablelas magnitudes de las crecientes .ue se van a presentar durante la vida til de una obra es claro .ue lasestructuras se pueden dise/ar con una gran con!ian:a encuanto a los aspectos t5cnicos ' económicos$ En e!ectola estabilidad de una obra durante la vida til de dise/odepende en gran parte de su capacidad para soportar lose!ectos .ue se producen sobre la estructura cuando pasanlas crecientes e#traordinarias$ Estos e!ectos se traducenen impactos presiones socavación taponamientos 'desbordamientos$ Para lograr la seguridad .ue redu:ca elriesgo de !alla de dichas obras se debe construir unmodelo probabilístico ' con ello contar con una !unciónde distribución probabilidad representativa de la variablehidrológica de inter5s indicando claramente su probabilidad de e#cedencia 0%u/o: *4$

Estadística ' probabilidad F Pro!esor Hhonnattan Iapata$

C&LCULO DE C&UD&LEP&2& EL 26O %&ULE

Penagos Jigueroa Oscar Leonardo$

openagos!Kulagrancolombia$edu$coUniversidad La Gran Colombia

;




66$ OHE169O GE@E2&L

El propósito de esta investigación es e#pandir el

conocimiento sobre las distribuciones de

probabilidad .ue mejor pueden representar los

caudales m"#imos de la región del %aule para así

666$ %&2CO 1EO26CO

Estadística Descriptiva

La estadística descriptiva es la rama de las%atem"ticas .ue recolecta presenta ' caracteri:a unconjunto de datos 0por ejemplo edad de una poblaciónaltura de los estudiantes de una escuela temperatura en

los meses de verano etc$4 con el !in de describir apropiadamente las diversas características de eseconjunto$ &l conjunto de los distintos valores num5ricos.ue adopta un car"cter cuantitativo se llama variableestadística$ Las variables pueden ser de dos tipos

M 9ariables cualitativas o categóricas no se puedenmedir num5ricamente 0por ejemplo nacionalidad color de la piel se#o4$

M 9ariables cuantitativas tienen valor num5rico 0edad precio de un producto ingresos anuales4$

Cuando se estudia el comportamiento de unavariable hay que distinguir los siguientes conceptos:

• Individuo cual.uier elemento .ue portein!ormación sobre el !enómeno .ue se estudia$ &sí siestudiamos la altura de los ni/os de una clase cadaalumno es un individuoN si se estudia el precio de lavivienda cada vivienda es un individuo$

• Población: conjunto de todos los individuos0personas objetos animales etc$4 .ue portenin!ormación sobre el !enómeno .ue se estudia$ Por ejemplo si se estudia el precio de la vivienda en unaciudad la población ser" el total de las viviendas dedicha ciudad$

• Muestra: subconjunto .ue seleccionado de una población$ Por ejemplo si se estudia el precio de lavivienda de una ciudad lo normal ser" no recoger in!ormación sobre todas las viviendas de la ciudad 0seríauna labor mu' compleja4 sino .ue se suele seleccionar un subgrupo 0muestra4 .ue se entienda .ue essu!icientemente representativo$

DI!"I#$CI%& DE '"EC$E&CI(

7a' datos .ue pueden ser de mucha utilidad adi!erentes pro!esionales en la toma de decisiones pararesolver problemas o para mostrar resultados deinvestigaciones$ Una ve: .ue se ha'a recogido toda lain!ormación se procede a crear una base de datos donde

se registran todos los datos obtenidos$ &lgunas veces silos datos son mu' complicados se codi!ican esto .uieredecir .ue se le coloca una palabra clave .ue identi!ica untítulo mu' largo$ Cuando 'a est" elaborada la base dedatos se parece a una tabla$ Es importante recordar .uenunca se colocan las tablas ' las gr"!icas juntos por.ueen realidad dicen lo mismo corrientemente se utili:a ouna tabla ' su an"lisis o una gr"!ica ' su an"lisis$

'recuencia

e denomina !recuencia a la cantidad de veces .ue se

repite un determinado valor de la variable e suelenrepresentar con histogramas$

'recuencia (bsoluta

@mero de entradas .ue componen un valor clase enun estudio estadístico 0i4

'recuencia "elativa

2a:ón entre la entrada de un valor Clase QJ$ &bsolutaR$

'recuencia (cumulada

Es la suma de las entradas iguales o menores a la delvalor considerado$

'recuencia "elativa (cumulada

Es la suma de las entradas de ni iguales o menores a la

del valor considerado$

D(!% ()"$P(D%

*+ Clases 6ntervalos





0Lin, - Lsup+

Pasos para identi,icar clases

.(ncho de la muestra/

E0emplo: *1123453267*829

+ Encontrar el nmero de clases

Empírica --- E#periencia --- S F ;S

Clases

T clases

2egla de turges T Clases

3+ Determinar la &mplitud de la clase del intervalo

6+ Establecer las clases

QLin! Lsup4 Lin! %enor 9alor

Q%enor 9alor %enor 9alor V &4

Q%enor 9alor V & %enor 9alor V &4

MEDID( DE !E&DE&CI( CE&!"(;

Cuando se tiene un grupo de observaciones se deseadescribirlo a trav5s de un sólo nmero$ Para tal !in no se

usa el valor m"s elevado ni el valor m"s pe.ue/o comonico representante 'a .ue sólo representan lose#tremos$ Una de las propiedades m"s sobresalientes dela distribución de datos es su tendencia a acumularsehacia el centro de la misma$ Esta característica sedenomina tendencia central$

Las medidas de tendencia central m"s usuales son lamedia aritm5tica la mediana ' la moda$

MEDI(

La media aritm5tica de n valores es igual a la suma de

todos ellos dividida entre n$ e denota por $ Esto es

Cuando los datos tienen m"s de una !recuencia paraobtener la media aritm5tica se agrega otra columna a latabla estadística con el producto de las observaciones 'sus !recuencias$ Es decir si se cuenta con unadistribución de datos entonces se aplica la !órmula

DE<I(CI%& E!=&D("

La desviación est"ndar o desviación típica sede!ine como la raí: cuadrada de los cuadrados delas desviaciones de los valores de la variablerespecto a su media$ Esto es

La desviación est"ndar es una medida estadísticade la dispersión de un grupo o población$ Una grandesviación est"ndar indica .ue la población est"mu' dispersa respecto de la media$ Una desviación


W




est"ndar pe.ue/a indica .ue la población est" mu'compacta alrededor de la media$ Para el caso dedatos agrupados la desviación est"ndar se calcula por medio de

>ID"%;%)I(

El dise/o ' la planeación de obras hidr"ulicas est"nsiempre relacionados con eventos hidrológicos!uturos cu'o tiempo de ocurrencia no puede predecirseN es por eso .ue se debe recurrir al estudiode la probabilidad o !recuencia 0Linsle' et al. ;(==4$

1eniendo en cuenta .ue las precipitaciones ' loscaudales son variables hidrológicas .ue son medidas por las estaciones hidrom5tricas$ Xstas sonconsideradas variables aleatorias ' son de!inidasmediante una !unción .ue les asigna un valorasociado a cada punto del espacio muestra$

Caudales

egn Pi:arro et al., 0;((W4 se denomina caudal ogasto al volumen de agua .ue !lu'e a trav5s de una

sección transversal por unidad de tiempo donde launidad de medida m"s comnmente empleada es mWs$Para el ingeniero hidrólogo el caudal es una variabledependiente en la ma'oría de los estudios puesto .uela ingeniería hidrológica se dedica principalmente aestimar volmenes de !lujo o los cambios en estosvalores debido a la acción del hombre$

Para el c"lculo de caudales e#isten di!erentesmetodologías dependiendo del tipo de in!ormación.ue se disponga la cual puede ser de tipo !luvial o pluvialN si se cuenta con datos !luviom5tricos los

caudales son calculados en !orma directa a trav5s dean"lisis de !recuencia de los gastos medidos encambio si se cuenta con in!ormación pluviom5trica laestimación de crecidas es estimada por medio demodelos basados en las características mor!om5tricasde la cuenca en estudio$

&l considerar los caudales son de gran importancialos .ue representan valores m"#imos$ Linsle' en

0;(==4 se/alan .ue un caudal punta es un caudalm"#imo registrado el cual sobrepasa los valores

normales$ En un hidrograma de crecidas es el valor m"s alto de la curva$ El c"lculo de este tipo decaudales es una de las m"#imas preocupaciones de laingeniería hidrológica con el !in de .ue estain!ormación sea til en el dise/o de obras hidr"ulicasadem"s de permitir su cuanti!icación en volumen ' poder así de!inir estrategias de gestión de los recursoshídricos hecho .ue cada ve: cobra ma'or relevancia$

DI!"I#$CI%& DE )$M#E;

Este m5todo de distribuciones de !recuencia seutili:a para el estudio de los valores e#tremos$ Por ejemplo si hemos elegido el día m"s caudaloso o dema'or precipitación de cada a/o de una serie de a/os$

La probabilidad de .ue se presente un valor a # es

0;4

04

0W4

0*4

e ase de los logaritmos neperianos

media aritm5tica de la muestra

Desviación 1ípica de la muestra

- 7 Consultar en la tabla adjunta segn el

nmero de datos$

1&LE 6

Nº DeDatos µƴ σƴ

10 0.4952 0.9496

15 0.5128 1.020620 0.5236 1.0628

25 0.5309 1.0914

30 0.5362 1.1124

35 0.5403 1.1285

40 0.5436 1.1413

45 0.5463 1.1518

50 0.5485 1.1607


*




55 0.5504 1.1682

56

0.550

79

1.1695

5

60 0.5521 1.1747

65 0.5535 1.1803

70 0.5548 1.1854

75 0.5559 1.189880 0.5569 1.1938

85 0.5578 1.1974

90 0.5586 1.2007

95 0.5593 1.2037

100 0.56 1.2065

%ediante las e#presiones anteriores podremos calcular la!recuencia a partir de un valor X es decir calcular con .u5!recuencia 0o periodo de retorno4 se presentara un ciertocaudal o precipitación$

Para solucionar el caso inverso 0.ue caudal o precipitaciónse producir" cada n a/os4 debemos despejar b en lae#presión 0;4 obteniendo

8 !inalmente despejando en # en 04

69$ P2OLE%&

De una serie de S) caudales e#tremos del rio %aule ubicadoen la cordillera de los andes 0el caudal diario de cada a/o4hemos calculadoMedia = 254.837m³/SegDesv Est"ndar 93.784 m³/SegCal!la"

a# $C!%l es la &"o'a'ilidad de (!e se

s!&e"e !) a!dal de 320 m³/Seg*'# $C!%l es la &"o'a'ilidad de (!e +el d,a

m%s a!daloso del a-o# el a!dal

s!&e"e el alo" de 320 m³/Seg*

9$ &@&L66 DEL P2OLE%&

&po'ados en una !amilia importante de las distribucionesusadas en el an"lisis de !recuencia hidrológico es ladistribución general de valores e#tremos la cual ha sidoampliamente utili:ada para representar el comportamiento decrecientes ' se.uías 0m"#imos ' mínimos4$

Estos m5todos se basan en considerar .ue el caudal m"#imoanual es una variable aleatoria .ue tiene una ciertadistribución$ Para utili:arlos se re.uiere tener como datos elregistro de caudales m"#imos anuales cuanto ma'or sea eltama/o del registro ma'or ser" tambi5n la apro#imación delc"lculo de caudal de dise/o el cual se calcula para undeterminado tiempo de retorno 0tr4 observando la complejidadde nuestro problema ' apo'ados por la teoría de Gumbel

teniendo en cuenta los datos .ue tenemos a mano 0los caudalesanuales e#tremos4 podemos cuanti!icar las probabilidades delos sucesos con respecto a los caudales presentes en el 2io%aule$

96$ OLUC6O@

De una serie de S) datos de caudales e#tremos 0el caudaldiario m"#imo de cada a/o4$ 7emos calculado%edia S*$=W< M³/S

Des st%)da" = 93.784 M³/S

a# $C!%l es la &"o'a'ilidad de (!e +el d,a

m%s a!daloso del a-o# el a!dal

s!&e"e el alo" de de 320 M³/S*

1°) De acuerdo con la tabla adjunta para S) datostomamos los valores

µƴ = 0.55079 σƴ = 1.16955

2°) Calculamos Y ' u

7 ;$;)(S ? (W$<=* $;S

S*$=W< - 0.55079$;S

;$<<*

3°) Calculamos el e#ponente b

$;SZ0W-;$<<*4 ;$W)SW

4°) &plicando la ecuación de Gumbel 0;4 para el caudaldel problema 0W M³/S). a &"o'a'ilidad de (!e

se &"ese)te !) aso menor (!e x ser"

7 $<<*< <<$*<+

Por lo tanto la probabilidad de .ue se presente un caso

ma'or .ue x será:

*4 12@@6@7 12A3 22.53

Jinalmente el periodo de retorno es el intervalo de la probabilidad


S




Periodo de retorno ;$SW *$** a/os

'# Caso i)e"so al!la" (!e a!dal se

s!&e"a"a !) 1 de los asos.

i un caudal se supera el ;+ de los a/os$ era in!erior el

((+$ Es decir J0#4 $((Calculamos α ' u mediante las e#presiones 0W4 ' 0*4$En este caso$ 8a las hemos calculado en el apartadoanterior$

&plicando la !ormula 0S4

7 4ln B4ln B1299++ 7 62811

&plicando la !ormula 0)4

*$)$;SV;$<<* S<=$<<* M³/S

966$ CO@CLU6O@E

M a"a la estimai) de a!dales

m%imos &a"a die"e)tes &e"iodos de

"eto")o a'ie)do "egist"os ist"ios

se a !tili:ado el M;todo de

Dist"i'!i) <!m'el &a"a l!ego

&"oede" a alla" la "e!e)ia.M os a!dales del ",o Co""ie)tes las

(!e'"adas tie)e) omo !e)te&"i)i&al a las &"ei&itaio)es (!e

o!""e) d!"a)te todo el a-o sie)do

mao"es e) los meses de e"a)o.M a"a la selei) de !)io)es de

dist"i'!i) de &"o'a'ilidad (!e se

a>!sta"o) m%s al om&o"tamie)to

,d"io de las estaio)es de la !e)a

se !tili:a"o) seg?) la am&lia

e&e"ie)ia de los die"e)tes est!dios

id"olgios &"!e'as de 'o)dad de

a>!ste (!e &"ese)ta) !)a

metodolog,a de so&o"te a"itm;tio

&"o&o"io)a) !) "ite"io m%s &"eiso

e) la selei).

9666$ &@E[O

1abla $ Caudales %"#imos Para El rio %aule

1abla W$ Estadística descriptiva

CAUDAL M³/S

Media 254.837

""o" t,&io 12.532

Media)a 256.000

Moda 111.425Desiai) est%)da"+@i&ia# 93.784

Aa"ia):a de la m!est"a8795.37

1

C!"tosis B0.995

Coeie)te de asimet",a 0.172

a)go 344.775

M,)imo 111.425M%imo 456.200

S!ma14270.8

86

C!e)ta 56.000Niel deo)a):a+95.0# 25.115

Gra!ica ;$ Caudales &n"lisis de Jrecuencia

1abla *$ Estadistica Descriptiva$


)




6L6OG2&J6&- &paricio J$ ;((<$ Jundamentos de 7idrología

de uper!icie$ ;; ed$ %5#ico$ Editorial Limusa$&$ WW p$

- Canavos G$ ;(==$Probabilidad ' Estadística&plicaciones ' %5todos$ Editorial %cGraB-7ill 6nteramericana de %5#ico $&$ )S; P$

- ChoB 9$N %aidment D$N %a's L$ ;((*$7idrología &plicada$ Colombia$ Editorial%cGraB- 7ill 6nteramericana $&$ S=* p$


<

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