Trabajo Fin de Grado -...

Equation Chapter 1 Section 1

Trabajo Fin de Grado

Grado en Ingeniería Aeroespacial

Fenómenos de resonancia en el ámbito de la

Compatibilidad Electromagnética

Autor: Ricardo Roldán Rabal

Tutor: Gabriel Cano Gómez

Dep. Física Aplicada III

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2018

Trabajo Fin de Grado

Grado en Ingeniería Aeroespacial

Fenómenos de resonancia en el ámbito de la

Compatibilidad Electromagnética

Autor:

Ricardo Roldán Rabal

Tutor:

Gabriel Cano Gómez

Profesor titular

Dep. Física Aplicada III

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2018

Trabajo Fin de Grado: Fenómenos de resonancia en el ámbito de la Compatibilidad Electromagnética

Autor: Ricardo Roldán Rabal

Tutor: Gabriel Cano Gómez

El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros:

Presidente:

Vocales:

Secretario:

Acuerdan otorgarle la calificación de:

Sevilla, 2018

El Secretario del Tribunal

A mis padres

Agradecimientos

Este trabajo va dedicado íntegramente a mis padres. Víendolo desde retrospectiva, el apoyo recibido por ellos

durante esta larga y dura etapa ha sido esencial para poder llegar al final de ésta. Sin la libertad que me han

otorgado en todo momento para hacer las cosas de la manera que yo creía más conveniente, no hubiera sido

igual de feliz.

Sin embargo, no sería justo no acordarme del resto de personas que de alguna manera u otra han formado parte

de este trayecto. A mi familia y a mis amigos, los cuales me hicieron olvidar de forma momentánea el sufrimiento

en algunas situaciones complicadas de la carrera. Me acuerdo también de aquellos compañeros de la escuela que

se convirtieron en mis amigos, porque sólo ellos saben el sacrificio y el trabajo diario que supone sacar algunas

asignaturas hacia delante.

Asimismo me gustaría agradecer a una pequeña parte del personal docente de la escuela. Especialmente a mi

tutor, cuyas clases me influyeron y hacen que a día de hoy siga teniendo esperanza en la calidad de la docencia

en la escuela, la cual estoy convencido que pasa por fomentar el espíritu crítico de los estudiantes, en lugar de

transmitir contenidos de forma dogmática.

Durante estos años me he caído en numerosas ocasiones, y si no he tenido dudas en volver a levantarme y

afrontar los retos con más ganas, ha sido gracias a todas estas personas mencionadas.

Ricardo Roldán Rabal

Sevilla, 2018

Resumen

Los fenómenos de resonancias están presentes en gran parte de los problemas relacionados con el ámbito de las

interferencias electromagnéticas (EMI) y la compatibilidad electromagnética (EMC). La adecuada compresión

del significado físico de las resonancias y de los parámetros que las determinan nos permite entender y solucionar

sobre la marcha muchos problemas prácticos. En este trabajo se trata de realizar un acercamiento teórico y

experimental a este fenómeno para aumentar su comprensión. En la primera parte se realiza una introducción

teórica al fenómeno de la resonancia, particularizando en los circuitos eléctricos. En esta fase se estudiarán los

conceptos básicos utilizando simulaciones a través del software PSpice. La segunda parte del trabajo consitirá

en ilustrar experimentalmente los conceptos que se estudian en la primera parte. Para ello se realizarán

experimentos relacionados con fenómenos que nos encontramos con frecuencia en el ámbito de la

compatibilidad electromagnética y cuya explicación requiere entender el fenómeno de las resonancias.

Abstract

The phenomena of resonances are present in an important part of the problems related to the field of

electromagnetic interference (EMI) and electromagnetic compatibility (EMC). A proper understanding of the

physical meaning of resonances, and the parameters which determine them, allow us to understand and solve

many practical problems. In this project we try to make a theoretical and experimental approach to this

phenomenon to increase its compression. Firstly, a theoretical introduction to the phenomenon of resonance is

made, concretely, to electrical circuits. At this stage the basic concepts will be studied using simulations through

the PSpice software. The second part of this project consists on illustrating experimentally the concepts that are

studied in the first part. In order to achieve this, some experiments related to the phenomenons we often

encounter in the electromagnetic compatibility field will be carried out, whose explanation requires the

understanding of resonances.

14

Índice

Agradecimientos 9

Resumen 11

Abstract 13

Índice 14

Índice de Tablas 16

Índice de Figuras 18

1 Introducción 25

2 Descripción general de la resonancia 29 2.1 Resonancia eléctrica 29

2.1.1 Resonancia eléctrica en un circuito LC ideal 29 2.1.2 Resonancia eléctrica en un circuito RLC 31 2.1.3 Factor Q 34 2.1.4 Resonancia eléctrica en un circuito RLC serie con oscilaciones forzadas 35

2.2 Analogías electro-mecánicas 35 2.2.1 Análisis de un sistema mecánico con oscilaciones forzadas 35 2.2.2 Equivalencia de modelos matemáticos 37

2.3 Otro ejemplo de resonancia electromagnética: Cavidades resonantes 37 2.3.1 Cavidad resonante rectangular 38 2.3.2 Cavidad resonante cilíndrica 39

3 Estudios de resonancia en circuitos eléctricos 41 3.1 Resonancia en circuitos RLC 41

3.1.1 Circuito RLC Serie 41 3.1.2 Circuito RLC Paralelo 44 3.1.3 Transformaciones serie-paralelo de las impedancias de un circuito RLC 46 3.1.4 Resistencia dinámica 46 3.1.5 Ancho de banda y selectividad 47

3.2 Modelado de dispositivos pasivos reales 48 3.2.1 Autoresonancia de un inductor 48 3.2.2 Autoresonancia de un condensador 49

50

4 Verificación experimental de resonancia en EMC 53 4.1 Efectos parásitos y frecuencia de resonancia en condensadores e inductores 53

4.1.1 Modelo de condensador real. Efectos parásitos y frecuencia de resonancia 53 4.1.2 Modelo de inductor real. Efectos parásitos y frecuencia de resonancia 60

4.2 Resonancias en medidas con sondas de alta impedancia. Estudio de la atenuación de las oscilaciones a través de resistencias 66 4.3 Resonancias en filtros EMI. Uso de resistencias para atenuarlas 77

5 Conclusiones finales 83

6 Bibliografía 85

7 Anexos 86 7.1 Función que obtiene los coeficientes de la función exponencial que interpola los valores máximos de tensión de las sobreoscilaciones 86 7.2 Función que obtiene los coeficientes de la función lineal que interpola los coeficientes α en función de los valores de resistencia utilizados 87

16

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1. Valores de la capacidad, frecuencia de resonancia y ESL obtenidos empíricamente del modelo real de

nuestro condensador analizado……………………………………………………………………………….59

Tabla 2. Valores de la inductancia, frecuencia de resonancia, ESC y ESR obtenidos empíricamente del modelo

real de nuestro inductor analizado…………………………………………………………………………….65

Tabla 3. Cinco primeros valores pico de cada sobreoscilación y el tiempo de establecimiento de la señal recibida

en el osciloscopio a través de la sonda de alta impedancia conectada a una resistencia en serie de 10 Ω………69

Tabla 4. Cinco primeros valores pico de cada sobreoscilación y el tiempo de establecimiento de la señal recibiba

en el osciloscopio a través de la sonda de alta impedancia conectada a una resistencia en serie de 20 Ω……...70

Tabla 5. Resumen de valores valores pico de cada sobreoscilación y el tiempo de establecimiento de la señal

recibiba en el osciloscopio a través de la sonda de alta impedancia conectada a una resistencia en serie de 10 Ω,

20 Ω, 70 Ω, 120 Ω, 200 Ω y 280 Ω…………………………………………………………………………...71

Tabla 6. Conjunto de coeficientes A, α y γ para los distintos valores de resistencias añadidos al sistema

estudiado. Éstos han sido obtenidos a través del cálculo de la recta de regresión ln(Vmáx)=ln(V0)-

γt.…………………………………………………………………………………………………………….73

Tabla 7. Conjunto de coeficientes γ obtenidos tanto de forma teórica a través de simulaciones en PSpice

…………………………………………………………………………………………………………….…77

Tabla 8. Frecuencias de resonancia, valores de las inductancias parásitas y de la tensión máxima para los distintos

valores de la capacidad del condensador del filtro EMI………………………………………………….…...81

Tabla 9. Valores máximos de tensión medidos en el osciloscopio en función de la resistencia añadida en el

sistema (condensador utilizado C=10nF)……………………………………………………………………..81

Tabla 10. Valores obtenidos de los anchos de banda y factor de calidad del filtro paso de baja (C=10nF) para los

distintos valores resistencias utilizados para atenuar la resonancia del sistema………………………………..83


ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. Circuito LC 25

Figura 2. Tensión e intensidad del circuito LC frente al tiempo. En estas representaciones se observa como

evoluciona estas dos magnitudes tal como se ha descrito en la introducción de este capítulo, señalando los

instantes de tiempo de interés (t1, t2 y T). 27

Figura 3. Circuito LC 29

Figura 4. Soluciones gráficas de la ecuación diferencial (4). En la gráfica superior se muestra la caída de

tensión en el condensador, que es proporcional a la carga q(t) (q(t)=V(t)·C) y en la inferior la intensidad i(t)

que pasa a través del circuito. Consideramos que en el instante inicial t=0, existe una carga q0 inicial

contenida en sus electrodos. 30

Figura 5. Circuito RLC serie 31

Figura 6. Respuesta del circuito (Fuente de tensión continua de 10V, R=200Ω, L=100mH, C=0.1mF)

sobreamortiguada. En la gráfica superior se muestra la intensidad recorrida en el circuito y en la inferior la

caída de tensión en el inductor. 32

Figura 7. Respuesta del circuito (Fuente de tensión continua de 10V, R=63.24Ω, L=100mH, C=0.1mF)

críticamente amortiguada. En la gráfica superior se muestra la intensidad recorrida en el circuito y en la

inferior la caída de tensión en el inductor. 33


subamortiguada. En la gráfica superior se muestra la intensidad recorrida en el circuito y en la inferior la

caída de tensión en el inductor. 33

Figura 9. Circuito RLC serie conectado a un generador de onda sinusoidal. 35

Figura 10. Sistema mecánico compuesto por un objeto de masa M conectado a la pared a través de un muelle

de constante elástica K. 36

Figura 11. Circuito RLC serie conectado a un generador de onda sinusoidal. 37

Figura 12. Cavidad resonante rectangular donde se observan las líneas de campo eléctrico y magnético en los

modos TE y TM 38

Figura 13. Cavidad resonante cilíndrica donde se observan las líneas del campo magnético y eléctrico para el

modo TM010 40

Figura 14. Circuito RLC serie. 42

Figura 15. Esquemático en PSpice del circuito RLC Serie. 43

Figura 16. Intensidad frente a la frecuencia del circuito RLC Serie. 43

Figura 17. Esquemático en PSpice del circuito RLC Paralelo. 45

Figura 18. Intensidad frente a la frecuencia del circuito RLC Paralelo. 45

Figura 19. Intensidad del circuito RLC serie frente a la frecuencia para distintos valores de R (Verde R=1K,

Azul R=2K, Amarillo R=4K, Rojo R=5K). 47

Figura 20. Esquemático en PSpice del modelo real de un inductor. 48

Figura 21. Impedancia del modelo de inductor real en función de la frecuencia. 49

Figura 22. Esquemático en PSpice del modelo real de un condensador. 50

Figura 23. Esquemático en PSpice del modelo real simplificado de un condensador 50

Figura 24. Impedancia del modelo de condensador real simplificado en función de la frecuencia 50

Figura 25. A la izquierda esquemático en PSpice del circuito RC montado mostrado a la derecha. 54

Figura 26. Ondas recogidas por las sondas a frecuencias muy bajas. Región resistiva. 55

Figura 27. Ondas recogidas por las sondas a una frecuencia de 100 kHz. Región capacitiva. 55

Figura 28. Ondas recogidas por las sondas a una frecuencia de 667kHz. Frecuencia de resonancia. 56

Figura 29. Ondas recogidas por las sondas a una frecuencia de 10MHz. Región inductiva. 56

Figura 30. Esquemático del modelo LC serie correspondiente al modelo propuesto de condensador real (sin

considerar la ESR). 57

Figura 31. Impedancia en función de la frecuencia del modelo LC en serie correspondiente al modelo propuesto

de condensador real (sin considerar la ESR). 57

Figura 32. Esquemático del modelo de condensador real a la frecuencia de resonancia 58

Figura 33. Esquemático del modelo de condensador real con los valores parásitos ya incluidos 59

Figura 34. Simulación del modelo real del condensador donde se muestra la impedancia del circuito en función

de la frecuencia 59

Figura 35. A la derecha esquemático en PSpice del circuito RL montado mostrado a la izquierda. 60

Figura 36. Ondas recogidas por las sondas a frecuencias muy bajas. Zona resistiva. 61

Figura 37. Ondas recogidas por las sondas a una frecuencia de 100kHz. Zona inductiva. La señal amarilla se

corresponde a la medición del voltímetro a la entrada de la bobina. La señal verde se corresponde a la medición

del voltímetro a la entrada de la resistencia de carga RL 61

Figura 38. Ondas recogidas por las sondas a una frecuencia de 500kHz. Zona capacitiva. La señal amarilla se

corresponde a la medición del voltímetro a la entrada de la bobina. La señal verde se corresponde a la medición

del voltímetro a la entrada de la resistencia de carga RL 62

Figura 39. Esquemático del modelo RLC paralelo correspondiente al circuito RL montado. 63

Figura 40. Impedancia en función de la frecuencia del modelo RLC en paralelo del circuito RL montado. 63

Figura 41. Señal de ganancia de inserción en el analizador de espectro respecto a la frecuencia. 64

Figura 42. Esquemático de un modelo real de inductor con los valores parásitos incluidos. 65

Figura 43. Señal de ganancia de inserción en el analizador de espectro respecto a la frecuencia. 65

Figura 44. Simulación en PSpice del modelo real de un inductor introduciendo en éste los datos para los

elementos obtenidos en el proceso de medida, donde se representa la impedancia del circuito frente a la

frecuencia. 66

Figura 45. Montaje en el que se observa como del generador de funciones parten dos salidas, una consiste en

un cable coaxial que va directamente hacia una de las entradas del osciloscopio y la otra va conectada a la sonda

de alta impedancia. 67

Figura 46. Pulsos cuadrados recogidos por el osciloscopio a una frecuencia de 100kHz y un Vpp de 5V. La

señal amarilla corresponde a la transmitida a través del cable coaxial y la verde la transmitida a través de la

sonda. 68

Figura 47. Detalle de la resonancia producida en uno de los pulsos cuadrados de la Figura 39 donde se observa

la sobreoscilaciones y el rizado de la señal. 68

Figura 48. Sobreoscilaciones debido a la resonancia provocada por la sonda de alta impedancia conectada a una

resistencia de 10 Ω. 69

Figura 49. Sobreoscilaciones debido a la resonancia provocada por la sonda de alta impedancia conectada a una

resistencia de 20 Ω. 70


Figura 50. Sobreoscilaciones debido a la resonancia provocada por la sonda de alta impedancia conectada a

una resistencia de 70 Ω. 70


una resistencia de 120 Ω 71

Figura 52. De izquierda a derecha, sobreoscilaciones debido a la resonancia provocada por la sonda de alta

impedancia conectada a una resistencia de 200 Ω y 280 Ω. 71

Figura 53. Familia de curvas de las distintas aproximaciones exponenciales a las envolventes correspondientes

a cada señal recibida. 72

Figura 54. Esquemático de una sonda pasiva de alta impedancia 10X. 73

Figura 55. Detalle de los valores característicos de la sonda de alta impedancia 10X. 74

Figura 56. Esquemático equivalente al del sistema utilizado para mitigar los fenómenos de resonancia

producidos por una sonda de alta impedancia 10x. 75

Figura 57. Simulación de la tensión respecto al tiempo en PSpice en el que se observa la resonancia producida

por la sonda, atenuada por una resistencia de 10Ω (gráfica izquierda) y 20Ω (gráfica derecha). 76





Figura 60. Montaje del sistema compuesto por un generador de funciones, una tarjeta PCB con diez

condensadores, una resistencia en serie de 1 kΩ y un osciloscopio. 78

Figura 61. Modelo ideal de un filtro paso de baja. 79

Figura 62. Modelo real de un filtro paso de baja donde se ha señalizado los nodos donde se ha medido la señal

de tensión en el montaje real y que se muestra en el osciloscopio. El voltímetro en la fuente de tensión se

corresponde a la señal amarilla y el voltímetro en la resistencia de carga se corresponde a la señal verde en las

Figuras 62 y 63 79

Figura 63. Señales obtenidas en el osciloscopio en el caso del condensador de capacidad 100nF. La señal

amarilla es la obtenida directamente desde el generador de funciones a través de un cable coaxial y la señal

verde es la obtenida a través del condensador y la resistencia de 50Ω. 80

Figura 64. Señales obtenidas en el osciloscopio en el caso del condensador de capacidad 10nF. La señal amarilla

es la obtenida directamente desde el generador de funciones a través de un cable coaxial y la señal verde es la

obtenida a través del condensador y la resistencia de 50Ω. 80

Figura 65. Esquemático del filtro EMI con la adición de una resistencia en serie. 82

Figura 66. Intensidad que recorre el circuito en función de la frecuencia. La señal azul se corresponde a la

resistencia añadida de 20 Ω. La roja con la de 70 Ω, la verde con la de 120 Ω, la amarilla con la de 200 Ω y por

último la morada con la de 280 Ω. 82

1 INTRODUCCIÓN

a tendencia actual del uso cada vez más creciente de dispositivos electrónicos, a la vez del requerimiento

para que estos operen en entornos más pequeños, hace que aparezcan fenómenos de interferencias

electromágneticas (EMI) entre estos dispositivos. Uno de estos fenómenos indeseados es la resonancia

electromagnética, el cual abarcará la mayor parte del objeto de estudio de este trabajo.

En un pendulo simple en movimiento, su energía mecánica presenta un comportamiento oscilante entre sendos

valores máximos y mínimos de energía cinética y potencial gravitatoria. De manera análoga, en un circuito

eléctrico formado por dos elementos eléctricos pasivos, como un condensador y una bobina interconectados, se

produce un intercambio periódico de las energías almacenadas en los dispositivos. Este proceso se ve reflejado

como oscilaciones eléctricas y se dice que el circuito LC paralelo está en resonancia.

Para mostrar de forma introductoria el fenómeno de la resonancia electromagnética contaremos con un sistema

sencillo formado por un condensador eléctrico de capacidad eléctrica C y un solenoide o bobina de

autoinducción L. Dicho sistema se corresponde con el circuito eléctrico LC de la Figura 1. Inicialmente (t=0),

el condensador contiene cantidades de carga +q0 y -q0 en sus electrodos. La diferencia de potencial V0 entre

éstos está determinada por la capacidad eléctrica del condesador, C, de manera que q0=C·V0. El condensador

almacena energía materializada en el campo eléctrico existente entre los electrodos del condesador. Al conectar

los electrodos del condensador a los extremos de una bobina de autoinducción L, se establece una corriente

eléctrica de intensidad variable en el tiempo i(t), que produce la disminución en valor absoluto de las cargas

+q(t) y -q(t) y como consecuencia, en la intensidad del campo eléctrico y de la energía eléctrica existente en el

condensador. Pero en virtud de la ley de Biot y Savart, la corriente eléctrica que recorre la bobina produce la

aparición de un campo magnético variable y, por consiguiente, la existencia de una energía magnética

almacenada en la bobina, que crece mientras disminuye la energía eléctrica del condensador.

Según las leyes de Faraday y de Lenz, el flujo magnético variable a través de la bobina genera una fuerza

electromotriz que se opone al paso de la corriente por la bobina y que es proporcional a la variación instantánea

de la intensidad, siendo L la constante de proporcionalidad. Desde el punto de vista de la teoría de circuitos, se

tendrá que el voltaje V(t) en los extremos de la bobina será:

𝑉(𝑡) = 𝐿𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡 (1)

L

Figura 1. Circuito LC

Introducción

26

Y si en primera aproximación consideramos despreciables o poco significativas las resistencias eléctricas de los

conductores del circuito, V(t) es también el voltaje existente entre los electrodos del condensador:

𝑉(𝑡) =𝑞(𝑡)

𝐶 (2)

Esto significa que en el instante t=t1 en el que los electrodos del condensador se han descargado completamente

y el voltaje se anula, la intensidad de la corriente en el circuito alcanza un valor máximo. Y puesto que, en virtud

del principio de conservación de la carga, en el sistema analizado se verificará que:

𝑖(𝑡) = −𝑑𝑞(𝑡)

𝑑𝑡 (3)

En consecuencia, se tendrá que el proceso del paso de carga eléctrica entre los electrodos del condensador va a

continuar, de manera que se almacenarán de nuevo cantidades opuestas de carga eléctrica en los electrodos del

condensador, pero con la polaridad opuesta con respecto a la del intervalo 0<t<t1. Este cambio en la polaridad

se traduce en que para instantes posteriores a t1, la intensidad de la corriente decrece, lo que produce una

disminución progresiva del campo magnético. La consiguiente disminución de la energía magnética almacenada

en la bobina se corresponde con el aumento de la energía eléctrica en el condensador, asociada a la aparición del

campo eléctrico en el condensador ligado al proceso de separación de carga en los electrodos del mismo, que

concluirá en un instante t2 en el que la intensidad de la corriente se anula, y la cantidades de carga en los

electrodos del condensador, alcanzan de nuevo valores máximos (en valor absoluto), aunque con signos opuestos

a los del instante inicial t=0.

Para instantes posteriores a t2 se repite el anterior proceso de movimiento de carga eléctrica en el circuito (aunque

con la corriente eléctrica circulando en sentido contrario) y la correspondiente transferencia entre las energías

eléctrica y magnética almacenadas en el condensador y en la bobina. El estado inicial del instante t=0 se

recuperaría en el instante t=2·t2, a partir del cual el proceso descrito se repetiría de manera periódica con período

T=2·t2. En el caso ideal en el que las resistencias eléctricas fueran poco significativas y, por consiguiente, las

pérdidas de energía por efecto Joule, las magnitudes eléctricas, en general, y las energías eléctricas y magnéticas

almacenadas en el sistema, en particular, presentarían un comportamiento oscilatorio armónico simple de

duración indefinida.

Realizando una pequeña simulación en PSpice del circuito anteriormente comentado podremos observar como

ocurre todo lo descrito anteriormente en el circuito (Figura 2).

27

27 Fenómenos de resonancia en el ámbito de la Compatibilidad Electromagnética

Figura 2. Tensión e intensidad del circuito LC frente al tiempo. En estas representaciones se observa como

evoluciona estas dos magnitudes tal como se ha descrito en la introducción de este capítulo, señalando los

instantes de tiempo de interés (t1, t2 y T).

2 DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA RESONANCIA

n este capítulo se realizará un análisis detallado de carácter cuantitativo de fenómenos de resonancia. Se

centrará en el estudio de la resonancia electromagnética en un circuito eléctrico y se pondrá de manifiesto

las analogías que guarda con el fenómeno de resonancia en un sistema mecánico.

Finalmente, también se mostrará que, en el caso más general, las resonancias electromagnéticas están ligadas a

que los campos electromagnéticos son funciones del espacio y del tiempo. Así, además en sistemas que permiten

una descripción sencilla en términos de la teoría de circuitos, los fenómenos de resonancia electromagnética

pueden ser observados en sistemas más complejos desde el punto de vista electromagnético, como en sistemas

radiantes o en las llamadas cavidades resonantes.

2.1 Resonancia eléctrica

2.1.1 Resonancia eléctrica en un circuito LC ideal

Empezamos considerando el sistema sencillo descrito en la introducción y esquematizado en el circuito de la

Figura 2, donde hallaremos la ecuación diferencial que rige el circuito para así introducir algunos parámetros

característicos de la resonancia. Así pues, sabiendo que las caídas de tensiones en el condensador y en el inductor

deben ser iguales obtenemos la expresión (4).

𝑞

𝐶− 𝐿

𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡= 0 (4)

A su vez, como se comento anteriormente, debido al principio de conservación de carga se tendrá que la

intensidad de la corriente que sale de un electrodo del condensador y se dirige a la bobina es opuesta a la

variación por unidad de tiempo de la carga eléctrica que hay en dicho electrodo y que verifica q(t)=C·V(t). A

partir de aquí, se obtiene la expresión (5), por lo que derivándola respecto al tiempo y sustituyéndola en (4)

obtenemos la ecuación diferencial final (6).

𝑖(𝑡) = −𝑑𝑞(𝑡)

𝑑𝑡 (5)

E

Figura 3. Circuito LC

Descripción general de la resonancia

30

𝑑2𝑞(𝑡)

𝑑𝑡2+

𝑞(𝑡)

𝐿𝐶= 0 (6)

La solución de esta ecuación diferencial es inmediata. Es de la forma (7) siendo el valor de w0 el expresado en

(8), ya que es la única forma de que la ecuación diferencial tenga solución.

𝑞 = 𝑞0cos(𝑤0 + Ɵ) (7)

𝑤0 =1

√𝐿𝐶 (8)

Gráficamente a partir de las soluciones, tanto la carga como la intensidad que pasa por el circuito tendrán formas

sinusoidales como era de esperar a partir de la descripción realizada en la introducción (Figura 4).

Figura 4. Soluciones gráficas de la ecuación diferencial (4). En la gráfica superior se muestra la

caída de tensión en el condensador, que es proporcional a la carga q(t) (q(t)=V(t)·C) y en la inferior

la intensidad i(t) que pasa a través del circuito. Consideramos que en el instante inicial t=0, existe

una carga q0 inicial contenida en sus electrodos.

Esta w0 es la frecuencia de oscilación de un circuito LC resonador ideal, la cual se denominará frecuencia de

resonancia. La definición física de resonancia es la tendencia de un sistema a oscilar al máximo de amplitud a

una cierta frecuencia. Un sistema puede oscilar a muchas frecuencias, pero sólo la frecuencia asociada al

máximo de amplitud es la correspondiente a la frecuencia de resonancia.

31


2.1.2 Resonancia eléctrica en un circuito RLC

Sin embargo, este sistema que acabamos de analizar en el apartado anterior es completamente ideal, y en la

práctica nunca tendremos un caso como este. Para simular un comportamiento más realista debemos pasar a un

circuito RLC, en el que como observaremos más adelante, encontramos dos tipos: RLC serie y RLC paralelo.

Por ejemplo, analizaremos de forma somera un circuito RLC serie como el de la Figura 5. Aplicando las leyes

de Kirchoff llegamos de forma similar al sistema anterior a la expresión (9).

𝐿𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡+ 𝑖(𝑡) · 𝑅 −

𝑞(𝑡)

𝐶= 0 (9)

Sustituyendo la expresión (5) en (9) y dividiéndola por el valor L, nos queda la ecuación diferencial de nuestro

circuito en función de la carga eléctrica, tal como se ve en (10). El procedimiento y solución de esta ecuación

diferencial viene dada en (11), (12) y (13).

𝑑2𝑞(𝑡)

𝑑𝑡2+

𝑞(𝑡)

𝐿· 𝑅 +

𝑞(𝑡)

𝐿𝐶= 0 (10)

𝑠2 +𝑅

𝐿𝑠 +

1

𝐿𝐶= 0 (11)

𝑠 = −𝛾 ± √𝛾2 − 𝑤02 (12)

𝑞(𝑡) = 𝑞0𝑒−𝛾𝑡cos(√𝑤0

2 − 𝛾2 t) (13)

Como además sabemos que en la ecuación diferencial de la forma (10) el coeficiente que acompaña al término

de orden cero es la frecuencia natural del sistema al cuadrado, y el coeficiente que acompaña al término de orden

uno es el factor de amortiguación, obtenemos que estos dos factores tienen las expresiones dadas en (14), que se

utilizan para simplificar la solución (11).

𝑤0 =1

√𝐿𝐶 𝛾 =

𝑅

2𝐿 (14)

Figura 5. Circuito RLC serie


32

Conviene estudiar la respuesta del sistema en función de los valores expresados en (14), y, por consiguiente, de

los valores de los elementos del circuito. Para ello, observamos que en las raíces expuestas en (12) tendremos

tres tipos de casos en función de lo que valgan el factor de amortiguamiento y la frecuencia de resonancia:

• Si γ>w0 estaremos ante un sistema sobreamortiguado, donde nos encontraremos la suma de dos

exponenciales decrecientes al tener dos raíces reales nuestra solución.

• Si γ=w0 nos encontraremos ante un sistema críticamente amortiguado, donde solo tendremos una raíz

que se corresponde gráficamente a una exponencial decreciente.

• Si γ<w0 estaremos ante un sistema subamortiguado, al tener dos raíces complejas que se corresponden

a un seno decreciente.

A continuación, realizaremos tres simulaciones en PSpice correspondientes a los tres casos explicados,

modificando los valores de la resistencia, el condensador y el inductor, y se mostrarán las respuestas

correspondientes a la intensidad que recorre el circuito y la caída de tensión en el inductor.

Figura 6. Respuesta del circuito (Fuente de tensión continua de 10V, R=200Ω,

L=100mH, C=0.1mF) sobreamortiguada. En la gráfica superior se muestra la

intensidad recorrida en el circuito y en la inferior la caída de tensión en el

inductor.

33


Figura 7. Respuesta del circuito (Fuente de tensión continua de 10V, R=63.24Ω, L=100mH, C=0.1mF)

críticamente amortiguada. En la gráfica superior se muestra la intensidad recorrida en el circuito y en la

inferior la caída de tensión en el inductor.


subamortiguada. En la gráfica superior se muestra la intensidad recorrida en el circuito y en la inferior la

caída de tensión en el inductor.


34

2.1.2.1 Energía almacenada y disipada en un circuito RLC

Un apartado importante dentro del estudio que estamos realizando en un circuito RLC, y que tendrá importancia

en las secciones venideras, es el análisis enérgetico del sistema.

Como se ha comentado anteriormente, el condensador almacena energía a través del campo eléctrico existente

entre las placas, así como el inductor almacena energía a través del campo magnético asociado a éste. Por otra

parte, el papel que juega la resistencia es de disipador de energía, por lo que a continuación se cuantificará las

pérdidas de energía que se producen en el circuito y la energía que se almacena en el condensador y en el

inductor.

Empezaremos con la energía almacenada en el condensador, la cual se expresa:

𝑈𝐶 =1

2

𝑞2

𝐶 (15)

La energía almacenada en el inductor es:

𝑈𝐿 =1

2𝐿𝑖2 (16)

Y la potencia disipada en la resistencia queda como:

𝑃𝑅 = 𝑅𝑖2 (17)

Por lo que haciendo el balance correspondiente de energías:

𝑑

𝑑𝑡(𝑈𝐿 + 𝑈𝐶) = −𝑅𝑖2 (18)

Concluyendo que la energía total del sistema decrece a un ritmo de 𝑅𝑖2, pudiendo dar paso a partir de este

pequeño análisis a la introducción del factor Q.

2.1.3 Factor Q

Uno de los valores clave en el estudio de la resonancia es el llamado Factor Q. Éste se define como el ratio de

energía almacenada en el resonador y la energía suministrada por el generador, que evaluada en cada ciclo

quedaría como viene dado en la expresión (19).

𝑄 = 2𝜋𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎𝐴𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎

𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎𝑑𝑖𝑠𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜= 𝑤0

𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎𝐴𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎

𝑃é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 (19)

Como se comprueba, el factor Q aplicado a sistemas eléctricos es el ratio entre la suma de energías

almacenadas en los inductores y condensadores y las pérdidas de energía por disipación en las resistencias. En

el caso ideal la energía almacenada en el campo magnético del inductor con el tiempo se va convirtiendo en

campo eléctroestático del condensador. A la frecuencia de resonancia, el máximo de energía almacenada en la

red se mantiene transformándose en el inductor y el condensador sin pérdidas. Para la demostración de lo que

vale el factor Q, haremos los cálculos en el instante de tiempo en el que, o el condensador almacena toda la

energía del circuito o el mismo caso pero con el inductor.

En las siguientes secciones se demostrará cuánto vale este factor para los diferentes tipos de circuitos RLC y

cómo afecta al diseño de nuestros sistemas, describiendo como disminuirlo o aumentarlo según nuestros

intereses.

35


2.1.4 Resonancia eléctrica en un circuito RLC serie con oscilaciones forzadas

Por último, antes de comenzar a analizar otros tipos de resonancia, estudiaremos el caso de un circuito RLC

serie con oscilaciones forzadas a través de un generador que establezca una señal sinusoidal de voltaje entre los

extremos de los elementos RLC, tal como se muestra en la Figura 9.

Suponiendo que la tensión generada por la fuente tiene como expresión 𝑉(𝑡) = 𝑉0cos(𝑤𝑡) y analizando la

malla, obtenemos, haciendo uso de la expresión ya obtenida en (10):

𝑑2𝑞

𝑑𝑡2+

𝑅

𝐿

𝑑𝑞

𝑑𝑡+

1

𝐿𝐶𝑞 = 𝑉0cos(𝑤𝑡) (20)

En esta ocasión, la resolución de la ecuación diferencial es más compleja, ya que se trata de una ecuación

diferencial no homogénea cuya solución estará formada por una parte transitoria más una parte estacionaria. Una

vez introducido este caso, podemos dar paso a la explicación de la resonancia mecánica, la cual veremos que es

similar al caso del presente apartado, llegando a una analogía entre las dos resonancias.

2.2 Analogías electro-mecánicas

Los fenómenos de resonancia no son exclusivos de sistemas eléctricos o electromagnéticos. De hecho, existen

otros tipos de sistemas, como por ejemplo sistemas mecánicos en los que las leyes físicas que rigen su

comportamiento llevan a modelos matemáticos idénticos a los que describen y caracterizan el comportamiento

de las magnitudes eléctricas en los circuitos RLC. En el presente capítulo se analizará un sistema mecánico para

obtener de forma analítica el fenómeno de resonancia mecánica y su analogía con los sistemas eléctricos.

2.2.1 Análisis de un sistema mecánico con oscilaciones forzadas

A continuación, se detallará el fenómeno de resonancia mecánica, para el cual supondremos un objeto de masa

M conectado a una pared a través de un muelle de constante elástica K, tal como muestra la Figura 10.

Figura 9. Circuito RLC serie conectado a un generador de onda sinusoidal


36

Figura 10. Sistema mecánico compuesto por un objeto de masa M conectado a la pared a través de un muelle

de constante elástica K

Tal como se observa, el objeto estará sometido a una fuerza externa de forma sinusoidal a una frecuencia

determinada. A partir de la segunda ley de Newton (21), y teniendo en cuenta la fuerza de fricción con un

coeficiente de valor b, obtenemos la ecuación diferencial (22), donde se puede apreciarsimilitudes con la

ecuación diferencial (20).

(21)

𝑀𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+ 𝑏

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑘𝑥 = 𝐹0cos(𝑤𝑡) (22)

La solución de (22) dependerá de los distintos valores posibles que pueden tener los coeficientes de los

términos, y estará compuesta de una parte transitoria más una parte estacionaria. Para nuestro interés, nos

quedaremos únicamente con la parte estacionara de la solución, que es la misma para todas las soluciones

posibles de (22). Esta parte estacionaria (23) puede ser máxima si hacemos que el denominador del módulo

sea mínimo, por lo que forzamos la frecuencia de la fuerza externa a que sea (24) (suponiendo que el

coeficiente de fricción b es muy pequeño y por lo tanto podemos despreciar el término).

𝐹0

√(𝑘−𝑤2𝑀)2+𝑤2𝑏2cos(𝑤𝑡 + Ɵ) (23)

𝑤 = √𝑘

𝑀 (24)

Si, efectivamente, situamos la frecuencia de la fuerza externa en torno a la frecuencia de resonancia, podremos

observar como la amplitud del sistema es máxima, es decir, el sistema habrá entrado en resonancia.

37


2.2.2 Equivalencia de modelos matemáticos

Tal como hemos comentado anteriormente, la resonancia eléctrica y mecánica comparten varias similitudes

que nos hacen pensar que existe una analogía entre estas dos resonancias. Para verificarlo, estudiaremos el

circuito RLC serie de la Figura 11 y obtendremos la ecuación diferencial que gobierna la carga que circula por

el circuito.

Figura 11. Circuito RLC serie conectado a un generador de onda sinusoidal

Suponiendo que la carga está suministrada por una fuente de tensión alterna cuya expresión es una sinusoidal,

sabemos que la ecuación diferencial resultante es la dada en (25). De la misma forma, la expresión referida al

sistema mecánico es la expuesta anteriormente, que reordenando algunos términos queda de la forma (26).

𝑑2𝑞

𝑑𝑡2+

𝑅

𝐿

𝑑𝑞

𝑑𝑡+

1

𝐿𝐶𝑞 = 𝑉0cos(𝑤𝑡) (25)

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+

𝑏

𝑀

𝑑𝑥

𝑑𝑡+

𝑘

𝑀𝑥 = 𝐹0cos(𝑤𝑡) (26)

Comparando las dos expresiones, llegamos a la conclusión de que el coeficiente de fricción y la resistencia

eléctrica son equivalentes, ya que este término representa la disipación de energía en el sistema estudiado. De

igual forma, la constante elástica del muelle equivale a la inversa del valor del condensador, donde juegan un

papel de almacenamiento de energía mecánica o eléctrica según el caso. Por último, la masa del objeto

equivale al valor del inductor y representan la inercia a oponerse al cambio de estado del sistema.

2.3 Otro ejemplo de resonancia electromagnética: Cavidades resonantes

Observando lo visto hasta ahora, podemos decir que las resonancias en circuitos eléctricos, como los

anteriormente analizados, son fenómenos electromagnéticos que en determinados sistemas éstos pueden ser


38

abordados mediante modelos sencillos de la teoría de circuitos. Sin embargo, por lo general, las resonancias de

naturaleza electromagnética se manifiestan en sistemas, desde un punto de vista electromagnético, más

complejos, como lo son las líneas de transmisión o los sistemas radiantes, entre otros. Se tratan de fenómenos

directamente relacionados con el comportamiento en el espacio y en el tiempo de los campos eléctricos y

magnéticos. En la presente sección, analizaremos el fenómeno de resonancia en una cavidad resonante

formada por secciones de guías de onda.

Las cavidades resonantes consisten en un volumen cerrado por paredes metálicas donde la energía eléctrica y

magnética queda almacenada dentro del recinto de la cavidad, y la potencia es disipada en las paredes

metálicas de la cavidad, así como en el material dieléctrico en el interior.

Estas cavidades exhiben propiedades resonantes a determinadas frecuencias y para diferentes modos.

Normalmente, la geometría que nos encontramos en estas cavidades es rectangular o circular, y será las que

estudiemos, ya que de otra forma estaríamos ante un caso bastante complejo de plantear y estudiar.

2.3.1 Cavidad resonante rectangular

En este apartado, trataremos con una guía de onda de longitud d, corcoticrcuitada en ambos erxtremos. Como

se observa en la Figura 12, el ancho y la altura de la geometría transversal es a y b respectivamente. La condición

resonante la podemos plantear al igual que en el caso de los circuitos eléctricos, es decir, imponinendo que la

energía magnética almacenada sea igual a la eléctrica. Además, supondremos inicialmente que no existen

perdidas en la cavidad.

Figura 12. Cavidad resonante rectangular donde se observan las líneas de campo eléctrico y magnético en los

modos TE y TM

El campo eléctrico en su componente transversal tiene la expresión (27), donde e(x,y) representa la variación

transversal del modo, A+ A- representan las amplitudes arbitrarias de las ondas arbitrarias progresivas y

regresivas, y βmn es la constante de propagación para el modo m,n del modo TE o TM.

𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 𝑦)[𝐴+𝑒−𝑗𝛽𝑚𝑛𝑧 + 𝐴−𝑒−𝑗𝛽𝑚𝑛𝑧] (27)

El modo TE (transversal eléctrico) es aquel en el cual no existe ninguna componente del campo eléctrico en la

dirección de propagación, y el modo TM (transversal magnético) es aquel en el cual no existe ninguna

componente del campo magnético en la dirección de propagación.

39


Para que el campo eléctrico en su componente transversal se anule en z=0, sustituyendo en la expresión (27)

llegamos a la conclusión que A+ = -A-, por lo que desarrollando la expresión anterior, en concreto los

exponentes, queda tal como se observa en (28).

𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −2𝑗𝐴+(𝑥, 𝑦)sin(𝛽𝑚𝑛𝑧) (28)

Para que además, se anule en z=d, sustituyendo en la expresión (28) llegamos a la condición (29), con lo que

concluimos diciendo que la constante de propagación βmn debe valer lo expuesto en (30).

sin(𝛽𝑚𝑛𝑑) = 0 (29)

𝛽𝑚𝑛 =𝑙·𝜋

𝑑 l=0,1,2,3… (30)

La constante de propagación por otra parte es igual a lo mostrado en (31), donde k=√𝜀𝜇. Las constantes épsilon

y mu es la permitividad y permeabilidad del material interior en la cavidad respectivamente.

𝛽𝑚𝑛 = √𝑘2 − (𝑚𝜋

𝑎)2

− (𝑛𝜋

𝑏)2

(31)

Despejando k de (31) y haciendo uso de la condición (30) para sustituir βmn , llegamos a la conclusión de que la

frecuencia de resonancia de un modo TE o TM es:

𝑓𝑚𝑛𝑙 =𝑐

2𝜋√𝜇𝜀√(

𝑚𝜋

𝑎)2+ (

𝑛𝜋

𝑏)2+ (

𝑙𝜋

𝑑)2 (32)

Como se puede observar, existe infinidad de frecuencias de resonancias que se corresponden a los diferentes

modos de resonancia. Sin embargo, el modo TM dominante es el TM110 y el respectivo al modo TE es el

TE101.

2.3.2 Cavidad resonante cilíndrica

El desarrollo en este caso será análogo a la cavidad resonante rectangular. Ésta es construida a partir de una

guçia de onda circular cortocircuitada por ambos extremos tal como se ve en la Figura 7. El campo eléctrico

transversal de los modos TEmn y TMmn es el mostrado en (33). En esta ocasión se hará uso de coordenadas

cilíndricas, lo cual facilitará el desarrollo del razonamiento.


40

Figura 13. Cavidad resonante cilíndrica donde se observan las líneas del campo magnético y eléctrico para el

modo TM010

𝐸(𝜌, 𝜃, 𝑧) = (𝜌, 𝜃)[𝐴+𝑒−𝑗𝛽𝑚𝑛𝑧 + 𝐴−𝑒−𝑗𝛽𝑚𝑛𝑧] (33)

De nuevo, la constante de propagación βmn es la mostrada a continuación, donde se especifica según estemos en

modo TE o TM.

𝛽𝑚𝑛(𝑇𝐸𝑚𝑛) = √𝑘2 − (𝜌′𝑚𝑛

𝑎)2

(34) 𝛽𝑚𝑛(𝑇𝑀𝑚𝑛) = √𝑘2 − (𝜌𝑚𝑛

𝑎)2

(35)

Aplicando las condiciones de contorno (campo eléctrico transversal nulo en z=0 y z=d), llegamos nuevamente

a la conclusión (36).

𝛽𝑚𝑛 =𝑙·𝜋

𝑑 l=0,1,2,3… (36)

Siguiendo el mismo procedimiento, las frecuencias de resonancia correspondientes al modo TE y TM son las

expuestas en (37) y (38) respectivamente.

𝑓𝑚𝑛𝑙 =𝑐


𝜌′𝑚𝑛𝑎)2

+ (𝑙𝜋

𝑑)2 (37) 𝑓𝑚𝑛𝑙 =

𝑐


𝜌𝑚𝑛𝑎)2+ (

𝑙𝜋

𝑑)2 (38)

41


3 ESTUDIOS DE RESONANCIA EN CIRCUITOS

ELÉCTRICOS

pesar de la complejidad de los fenómenos de resonancia, los modelos basados en la teoría de circuitos

eléctricos permiten describirlos y analizarlos adecuadamente en este tipo de sistemas electromagnéticos.

En la siguiente sección haremos un análisis y descripción minuciosa sobre la resonancia en los circuitos

LC, tanto en el caso serie como en el paralelo, obteniendo así todos los parámetros de interés para ambos casos,

y qué criterios hay que tener en cuenta a la hora de estudiar el fenómeno. Empezaremos exponiendo los casos

más simples (circuito RLC serie y paralelo) para después ir estudiando algunos aspectos y casos más profundos.

3.1 Resonancia en circuitos RLC

Tal como se adelantaba en la sección 1.1 cuando se describía la resonancia eléctrica en un circuito LC, este caso

es ideal, y en realidad, siempre en los sistemas reales, hay una pequeña resistencia asociada a las conexiones de

los cables, al condensador (debida a la resistencia finita del material dieléctrico del condensador) y al inductor,

lo que, combinado, causa una pérdida de energía por cada ciclo en forma de calor.

Como resultado, si analizásemos la amplitud de la onda generada en el circuito veríamos como esta cae de forma

exponencial en cada ciclo. Para contrarrestar este efecto, debemos introducir una fuente de tensión externa que

suministre la energía necesaria para que las amplitudes sean constantes en el tiempo.

Previo al análisis de los distintos circuitos RLC, conviene definir el concepto de impedancia, el cual es

fundamental para los estudios que se van a realizar. La impedancia es la oposición al paso de la corriente que

presenta un circuito cuando una intensidad recorre éste. Este concepto cobra sentido cuando estamos ante

circuitos alimentados a través de una corriente alterna, es decir, cuando en el circuito se procesan señales

armónicas. En la impedancia se pueden diferenciar dos partes, una real, que es la resistencia, y una parte

compleja a la que se denomina reactancia.

3.1.1 Circuito RLC Serie

Comenzaremos analizando el circuito mostrado en la Figura 14, donde se dispone de un condensador C, un

inductor L y una resistencia R conectados en serie, además de una fuente de tensión alterna. La parte resistiva

es la responsable de las pérdidas térmicas que originalmente se almacenaban en los campos electromagnéticos

y magnéticos.

A

Estudios de resonancia en circuitos eléctricos

42

Figura 14. Circuito RLC Serie

Suponiendo que la tensión que genera la fuente es sinusoidal, tal como se expresa en (39), la impedancia total

será la suma de todas las impedancias correspondientes a cada elemento (40).

𝑉(𝑡) = 𝑉0cos(𝑤0𝑡 + 𝜃) (39)

𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑤𝐿 +1

𝑗𝑤𝐶 (40)

Tomando valor absoluto en esta última expresión:

|𝑍| = √𝑅2 + (𝑋𝐿 − 𝑋𝐶)2 = √𝑅2 + (𝑤𝐿 −

1

𝑤𝐶)2 (41)

donde XL y XC determinan la reactancia equivalente total XRLC del circuito RLC, la cual se hace cero si las dos

reactancias son iguales en valores absolutos.

Bajo esta condición, el valor absoluto de la impedancia de serie está en el mínimo y es igual a R, y además es

real, por lo que la fase es igual a 0.

Si forzamos la condición arriba expuesta, tenemos que:

𝑤𝐿 =1

𝑤𝐶 (42)

Y despejando la frecuencia de resonancia:

𝑤0 =1

√𝐿𝐶 (43)

Resultado que coincide con el obtenido en la sección 1.1 a través de las ecuaciones diferenciales. Por otra parte,

la fase de la impedancia como sabemos es el arcotangente del cociente entre la parte imaginaria y la real de ésta:

𝜑 = arctan(𝑤𝐿−

1

𝑤𝐶

𝑅) (44)

Si realizamos un análisis fasorial breve, vemos que en condiciones resonantes la tensión que cae en la resistencia

tiene fase cero, ya que se trata de un valor real, y la tensión que cae en el inductor y en el condensador es la

misma en cuanto a magnitud, pero con fase opuesta, ya que, para una misma intensidad, la impedancia como

hemos visto anteriormente es opuesta en fase.

XL=XC XRLC=0 RESONANCIA

43


Por otra parte, vamos a continuar realizando con PSpice un barrido de frecuencia frente a la impedancia del

circuito mostrado en la Figura 15, para ver el comportamiento de éste y comprobar efectivamente que hay un

pico de resonancia a la frecuencia dictada en (43). En nuestro caso, con los valores escogidos mostrados en el

circuito, la frecuencia de resonancia en teoría debe estar en torno a 1.6MHz.

Figura 15. Esquemático en PSpice del circuito RLC Serie

Tal como se aprecia en la Figura 16, existe un pico de resonancia en el que el valor de la corriente es máxima.

Observamos que, si la frecuencia del circuito está por debajo de la frecuencia de resonancia, XL (que es

proporcional a la frecuencia) es menor que XC (cuyo valor es inversamente proporcional a la frecuencia) y el

circuito se comporta de forma capacitiva. De forma contraria, si la frecuencia está por encima de la de resonancia,

el circuito tiene un comportamiento inductivo. Por último, cuando nos hallamos en la frecuencia de resonancia,

las dos impedancias complejas son iguales, con lo que la intensidad que recorre el circuito en este punto es

máxima, el circuito es puramente resistivo.

Figura 16. Intensidad frente a la frecuencia del circuito RLC Serie

Para concluir, realizando un último apunte sobre el análisis fasorial, cuando nos encontramos en una frecuencia

menor a la de resonancia, la tensión retrasa la corriente y la diferencia de fase está entre -90º y 0º. Si nos

encontramos por encima de la frecuencia de resonancia, la tensión va por delante de la corriente, y la diferencia

de fase está entre 0º y 90º, algo que se puede intuir a partir de la expresión (44).

Factor Q en circuitos RLC Serie

Antes de especificar el estudio del factor Q en un circuito RLC Serie, vamos a profundizar en el concepto del


44

factor Q en general. Como se introdujo en la sección 2.1.2, esta es una de las variables más importantes a la hora

del estudio de la resonancia en circuitos electrónicos. Este factor mide el ratio de energía almacenada en el

resonador y la energía suministrada por el generador, y para demostrar cuál es su valor en un circuito RLC en

serie, comenzaremos expresando cuánto vale la energía concentrada en el condensador cuando éste está cargado

al completo durante un ciclo (46) (y el inductor está completamente descargado), o al revés, cuánto vale la

energía concentrada en el inductor cuando éste contiene toda la energía (45).

𝑊𝐿 = ∫ 𝑉(𝑡)𝐼(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝐼(𝑡)𝐿𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡𝑑𝑡 = 𝐿 ∫ 𝐼𝑑𝐼 = 0.5𝐿 · 𝐼𝑝

2 = 𝐿 · 𝐼𝑅𝑀𝑆2𝐼𝑝

0

𝑇

0

𝑇

0 (45)

𝑊𝐶 = ∫ 𝑉(𝑡)𝐼(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑉(𝑡)𝐶𝑑𝑉(𝑡)

𝑑𝑡𝑑𝑡 = 𝐶 ∫ 𝑉𝑑𝑉 = 0.5𝐶 · 𝑉𝑝

2 = 𝐶 · 𝑉𝑅𝑀𝑆2𝑉𝑝

0

𝑇

0

𝑇

0 (46)

donde Ip=√2Imáx es la corriente pico a través del inductor y Vp=√2Vmáx es la tensión pico a través del

condensador.

Por otra parte, la energía disipada en la resistencia WR durante un ciclo de resonancia es:

𝑊𝑅 = 𝑃𝑅𝑇0 = 𝑅 · 𝐼𝑅𝑀𝑆2 · 𝑇0 =

2𝜋

𝑤0· 𝑅 · 𝐼𝑅𝑀𝑆

2 (47)

Por lo que, atendiendo a lo expresado en (19), el factor Q para un circuito RLC serie vale:

𝑄𝑠 = 2𝜋𝑊𝐿

𝑊𝑅=

2𝜋𝐿·𝐼𝑅𝑀𝑆2

2𝜋

𝑤0·𝑅·𝐼𝑅𝑀𝑆

2=

𝐿·𝑤0

𝑅=

1

𝑅√𝐿

𝐶 (48)

donde se ha tenido en cuenta que w0 es la frecuencia de resonancia hallada en (43). Es importante notar que si

estuviésemos en un circuito LC ideal donde R=0, el factor Q sería infinito, por lo que es esencial tener el control

de este factor, el cual en configuración serie será inversamente proporcional al valor de R.

Otra forma de llegar al mismo resultado es viéndolo desde el punto de vista de las reactancias. Bajo condición

de resonancia, la reactancia del circuito es nula, lo que significa que la tensión de entrada (Vin) debe ser igual a

la tensión que cae en la resistencia (VR). La amplificación de tensión (o corriente) en este caso es calculada como

el cociente entre la tensión de salida (VL) y la tensión de entrada (Vin), por lo que la ganancia de tensión QS es:

𝑄𝑠 =𝑉𝐿

𝑉𝑖𝑛=

𝑉𝐿

𝑉𝑅=

𝑖·𝑋𝐿

𝑖·𝑅=

𝑤0𝐿

𝑅=

1

𝑤0𝑅𝐶=

1

𝑅√𝐿

𝐶 (49)

donde se ha asumido que las dos reactancias del condensador e inductor son iguales para llegar al resultado final.

Observando esta última expresión, si queremos aumentar este factor necesitamos reducir la resistencia interna

total del circuito o aumentar la reactancia inductiva.

3.1.2 Circuito RLC Paralelo

Ahora buscaremos la frecuencia de resonancia de un circuito RLC paralelo tal como se observa en la Figura 17,

donde R representa las pérdidas térmicas como son la resistencia del inductor, cables y la resistencia

correspondiente al condensador.

45


Figura 17. Esquemático en PSpice del circuito RLC Paralelo

En este circuito, la caída de tensión a través de los tres componentes es, prácticamente (por la resistencia interna

de la fuente de tensión), la misma, donde la corriente de cada componente viene definida por la Ley de Ohm, y

éstos mantienen su propia tensión, corriente y fase. A partir de las Leyes de Kirchoff tenemos que la intensidad

total que recorre el circuito es:

𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = √𝐼𝑅2 + (𝐼𝐿 − 𝐼𝐶)

2 (50)

Si analizamos los casos extremos en cuanto a frecuencia, observamos que cuando tenemos una corriente DC en

el circuito, el inductor no presenta impedancia (cortocircuito), la resistencia mantiene su valor, y el condensador

presenta una impedancia infinita (circuito abierto). Al estar los tres componentes en paralelo, la impedancia

equivalente es nula. En el caso contrario, cuando el circuito trabaja a frecuencias muy altas, el inductor tiene una

impedancia infinita (circuito abierto) y el condensador presenta impedancia nula (cortocircuito), por lo que de

nuevo la impedancia equivalente es nula. Analizando la admitancia total del circuito (51), llegamos a la

conclusión que la frecuencia de resonancia es la misma que en el caso del circuito RLC serie (43).

𝑌 = 𝐺 + 𝑗(𝑌𝐶 − 𝑌𝐿) =1

𝑅+ 𝑗(𝑤𝐶 −

1

𝑤𝐿) (51)

Cuando hay resonancia, la admitancia Y se encuentra en el mínimo, por lo que la impedancia Z es máxima en

ese punto, al contrario que en el caso en serie. Por ende, la intensidad que recorre al circuito en este punto es

mínima. Si realizamos un análisis en frecuencia del circuito mostrado en la Figura 17, podemos comprobar que,

efectivamente, esto ocurre así (Figura 18).

Figura 18. Intensidad frente a la frecuencia del circuito RLC Paralelo

En cuanto al análisis fasorial, un circuito RLC paralelo es púramente resistivo en resonancia, mientras que las


46

corrientes en las ramas capacitivas e inductivas son iguales en magnitud, pero opuestas en fase. Por otra parte,

la tensión en la resistencia es igual a la tensión en la fuente de entrada, mientras que la intensidad total y la

tensión de la fuente de entrada están en fase (ya que la tensión en la resistencia y la fuente de entrada lo están),

y la diferencia de fase entre la fuente de entrada y la intensidad total es cero.

Factor Q en circuitos RLC Paralelo

De forma análoga al procedimiento para hallar el factor Q en circuitos RLC serie, y teniendo en cuenta que este

factor se define como la relación entre energía almacenada y la pérdida de potencia en el circuito:

𝑄 = 𝑤0𝐶·𝑅·𝑉𝐶

2

𝑉𝐶2 = 𝑤0 · 𝐶 · 𝑅 = 𝑅√

𝐶

𝐿 (52)

En este caso, hemos hecho uso de las tensiones existentes en cada elemento en vez de las intensidades como se

hizo en el caso serie, ya que las tensiones, como comentamos al inicio, tienen que ser iguales en todos los

componentes, por lo que nos facilita el cálculo del factor como se observa en (52). Viendo esta expresión,

podemos concluir diciendo que en este caso conviene que la resistencia tenga un valor lo más alto posible, ya

que de esta manera la corriente que pasa a través de R es menor y, por lo tanto, las pérdidas también serán

menores.

3.1.3 Transformaciones serie-paralelo de las impedancias de un circuito RLC

A menudo es útil transformar un circuito RLC serie en su equivalente paralelo y viceversa. Esta transformación

debe hacerse solo a una frecuencia, la cual no afecte al factor Q serie o paralelo de los circuitos.

𝑄𝑆 =𝑋𝑆

𝑅𝑆 (53) 𝑄𝑃 =

𝑅𝑃

𝑋𝑃 (54) asumiendo Q=QS=QP a la frecuencia dada:

𝑍𝑆 = 𝑅𝑆 + 𝑗𝑋𝑆 = 𝑅𝑆 + 𝑗𝑄𝑆𝑅𝑆 = 𝑅𝑆(1 + 𝑗𝑄𝑆) (55)

𝑌𝑃 =1

𝑍𝑆=

1

𝑅𝑆(1+𝑗𝑄𝑆)=

1

𝑅𝑆(1+𝑗𝑄𝑆)·1−𝑗𝑄

1+𝑗𝑄=

1

𝑅𝑆(1+𝑄2)− 𝑗

𝑄

𝑅𝑆(1+𝑄2)=

1

𝑅𝑆(1+𝑄2)−

𝑄𝑋𝑆𝑄(1+𝑄2)

=1

𝑅𝑃− 𝑗

1

𝑋𝑃 (56)

Por lo que llegamos a la conclusión que:

𝑅𝑃 = 𝑅𝑆(1 + 𝑄2)~𝑅𝑆𝑄2 aproximación para Q>10 (57)

𝑋𝑃 = 𝑋𝑆(1 +1

𝑄2)~𝑋𝑆 aproximación para Q>10 (58)

3.1.4 Resistencia dinámica

Tal como hemos descrito con anterioridad, la parte imaginaria de la admitancia Y de un circuito determina la

frecuencia de resonancia, mientras la parte real determina la resistencia dinámica RD. Para obtener este valor en

ambos tipos de circuitos RLC, empezaremos con el caso paralelo, en el que la parte real de la admitancia de este

circuito es, atendiendo a (64):

𝑅 (𝑌(𝑤𝑝0)) =𝑅

𝑅2+(𝑤𝑝0𝐿)2=

𝑅

𝑅2+[√1

𝐿𝐶−𝑅2

𝐿2]

2

𝐿2

=𝑅

𝑅2+(𝐿

𝐶−𝑅2)

=𝑅𝐶

𝐿 (59)

𝑅𝐷 =𝐿

𝑅𝐶 (60)

47


Para hallar la resistencia dinámica en función del factor Q, simplemente manipulando la expresión (60) llegamos

a:

𝑅𝐷 =𝐿

𝑅𝐶= 𝑤0𝐿𝑄𝑆 = 𝑄2𝑅 (61)

Sabemos que R es una entidad física, por lo que necesitamos que sea tan pequeña como sea posible en un circuito

RLC serie, y tan grande como sea posible en un RLC paralelo. Sin embargo, esta pequeña resistencia, en

resonancia, se ve magnificada con un factor Q2. En el caso de estar el circuito en resonancia, el máximo valor

de impedancia ocurre a la frecuencia de resonancia.

Esta propiedad es muy importante para los circuitos RLC paralelo, que indica que, en resonancia, un circuito

RLC paralelo (R es infinito) tendría un factor Q infinito también, y, por lo tanto, la tensión de salida sería infinita,

dañando los componentes del circuito.

3.1.5 Ancho de banda y selectividad

Cuando un circuito entra en resonancia, en el caso serie, la impedancia alcanzará su mínimo y la corriente su

máximo. Definiremos como ancho de banda la diferencia entre las dos frecuencias en las que la intensidad

alcanza el 70.7% del máximo valor de la intensidad. Esto es así ya que:

𝑃 = 𝐼2𝑅 = (0.707𝐼𝑚á𝑥)2𝑅~0.5𝐼𝑚á𝑥

2𝑅 = 0.5𝑃𝑚á𝑥 (62)

El rango f2-f1 muestra donde la intensidad está cerca de su máximo. La selectividad e la capacidad de un circuito

resonante en serie de elegir la corriente máxima que está cerca de la frecuencia de resonancia. Cuanto más

pronunciada sea la curva de selectividad, más rápida es la atenuación de la señal, mayor es el valor pico de la

intensidad, y mejor selectividad, tal como podemos apreciar en la Figura 19, donde se han mostrado diferentes

resultados relativos a diferentes circuitos con los mismos valores de LC, pero con valores de R diferentes. Como

se observa en la simulación, el valor pico de intensidad, y, por lo tanto, la selectividad, es mayor para el caso en

el que la resistencia es menor, así como el ancho de banda.

Figura 19. Intensidad del circuito RLC serie frente a la frecuencia para distintos valores de R (Verde R=1K,

Azul R=2K, Amarillo R=4K, Rojo R=5K)


48

El factor Q lo podemos definir también como el cociente entre la frecuencia de resonancia y el ancho de banda,

en el que cuanto más estrecho sea este último, mejor factor de calidad tendrá. Por lo que, a mayor Q, más

selectividad tendrá el circuito y mayor intensidad pico proporcionará, aunque el coste de esto es que la capacidad

de paso de la señal a la hora de diseñar filtros será menor. En el otro lado, cuanto más ancho sea el BW, mejor

será para dejar pasar más cantidad de señales.

𝑄 =𝑓𝑟

𝐵𝑊 (63)

3.2 Modelado de dispositivos pasivos reales

En la presente sección se analizará cómo en dispositivos pasivos reales, como los condensadores y las bobinas,

aparecen fenómenos de resonancia, los cuales explicaremos mediante modelos circuitales que, además de la

capacidad o la autoinducción que respectivamente caracterizan en primera aproximación a cada uno de estos

dispositivos, en segunda aproximación han de tenerse en cuenta efectos inductivos en los condensadores reales,

y efectos capacitivos en bobinas.

3.2.1 Autoresonancia de un inductor

Como hemos comentado, hasta ahora, se ha considerado que los inductores y condensadores utilizados en los

apartados anteriores son ideales en cuanto a su comportamiento, pero como es de esperar, esto en la realidad no

es así. Y como este trabajo está orientado a un estudio práctico de los circuitos, conviene estudiar cómo afecta

la aparición de efectos no ideales en estos componentes.

Comenzando con el inductor, éste presenta unas pérdidas térmicas representadas por una resistencia, y también

tiene unas capacidades parásitas relativas a la propia bobina. Estas capacidades vienen producidas a partir de

cada espira que constituye el inductor, ya que, al estar formado por muchos hilos conductores separados por

dieléctricos, se crean “pequeños condensadores” entre cada bobinado habiendo una diferencia de tensión entre

cada uno. A bajas frecuencias los efectos provocados por éstas pueden ser ignorados. Sin embargo, cuando el

circuito se encuentra sometido a una alta frecuencia, los efectos son notables y tenemos que tenerlos en cuenta

a la hora de modelar el dispositivo. Por lo tanto, un modelo real del inductor sería el mostrado en la Figura 20.

Figura 20. Esquemático en PSpice del modelo real de un inductor

49


Para hallar de forma teórica la frecuencia de autoresonancia, hallaremos la admitancia total del circuito, que es

tal que:

𝑌𝐿 =1

𝑅𝐿+𝑗𝑤𝐿+ 𝑗𝑤𝐶𝐿 =

𝑅𝐿−𝑗𝑤𝐿

𝑅𝐿2+(𝑤𝐿)2

+ 𝑗𝑤𝐶𝐿 =𝑅

𝑅2+(𝑤𝐿)2+ 𝑗(𝑤𝐶𝐿 −

𝑤𝐿

𝑅𝐿2+(𝑤𝐿)2

) (64)

Imponiendo la condición de resonancia, es decir, que la parte imaginaria de (64) sea igual a cero:

𝑤𝑃𝐶𝐿 =𝑤𝑃𝐿

𝑅𝐿2+(𝑤𝑃𝐿)2

(65) 𝑤𝑃 = √1

𝐿𝐶𝐿−

𝑅𝐿2

𝐿2 (66)

Esta frecuencia de resonancia es bastante similar a la hallada con anterioridad en los casos anteriores, de hecho,

sería aproximadamente la misma si considerásemos que RL<<wL, lo cual ocurre con frecuencia. Es de

extremada importancia tener en cuenta y calcular esta frecuencia de autoresonancia a la hora de diseñar e

implementar circuitos, por lo que considerando unos valores típicos en estos casos (ver valores en la Figura 17)

tenemos que la frecuencia teórica de autoresonancia está sobre los 159MHz.

Realizando una simulación en PSpice de la impedancia del circuito, verificamos que, efectivamente, la

frecuencia de resonancia se encuentra en torno a la hallada teóricamente (Figura 21).

Figura 21. Impedancia del modelo de inductor real en función de la frecuencia

3.2.2 Autoresonancia de un condensador

Continuando con el modelo real del condensador (Figura 22), en éste existe una serie de pérdidas térmicas

relacionadas con las dos superficies del condensador (Rplate), y con las pérdidas en el dieléctrico (Rdiel). Por otra

parte, debemos tener en cuenta una autoinducción resultante de la unión de los cables al condensador (Llead), y,

por último, una capacidad parásita también resultante de los cables conectados al condensador (Clead). Sin

embargo, Rdiel es tan grande respecto a los otros valores que puede despreciarse. Clead suele también ser

despreciable respecto a la propia capacidad del condensador, por lo que finalmente nos queda el modelo


50

mostrado en la Figura 23, que es equivalente a un circuito RLC serie.

Figura 22. Esquemático en PSpice del modelo real de un condensador

Figura 23. Esquemático en PSpice del modelo real simplificado de un condensador

Viendo que estamos tratando un modelo serie, de inmediato sabemos que la frecuencia de autoresonancia es la

repetida ya en varias ocasiones (43), en el que tanto el valor de la capacidad como el de la inductancia parásita

cobra especial importancia en este fenómeno. Por tener una idea de donde se encuentra la frecuencia de

resonancia, hemos realizado una simulación de la impedancia frente a la frecuencia en el circuito de la Figura

23, cuyos resultados se muestran a continuación.

Figura 24. Impedancia del modelo de condensador real simplificado en función de la frecuencia

51


4 VERIFICACIÓN EXPERIMENTAL DE

RESONANCIA EN EMC

Stay hungry, stay foolish

Steve Jobs, 2005

n este último capítulo se describirá y analizará los resultados de una serie de experimentos prácticos

realizados en el laboratorio, cuyos objetivos serán observar como los fenómenos de resonancia se dan en

un conjunto de situaciones prácticas relacionadas con la compatibilidad electromagnética. Asimismo, se

obtendrán modelos realizados con PSpice para ver si los resultados de éstos coinciden con los prácticos o no y

su por qué.

4.1 Efectos parásitos y frecuencia de resonancia en condensadores e inductores

Tanto condensadores como indutores son con mucha frecuencia utilizados en el mundo de la electrónica, y

aunque en principio se estudien como elementos ideales, en la práctica se observa que esto no es así y aparecen

efectos no deseados acoplados a ellos, son los llamados efectos parásitos.

4.1.1 Modelo de condensador real. Efectos parásitos y frecuencia de resonancia

Comenzaremos con el estudio del modelo de condensador real. Todos los condensadores tienen asociados a

ellos un efecto inductivo que se modela como una autoinducción parásita en serie (ESL), y, además, una

resistencia parásita en serie (ESR) asociada a las propias pérdidas en el condensador. Esta resistencia parásita

aparece en nuestro modelo debido a las pérdidas asociadas a la conducción de la carga a través del condensador.

Así, una parte de la energía se disipa a través de los cables o patas del condensador, así como en el dieléctrico,

causas que conforman la ESR. Otros factores que afectan al valor de esta resistencia es el material del que están

hechas las placas, así como la temperatura a la que está sometido el circuito o la antigüedad de los componentes

del consendador. Por otra parte, la aparición de la ESL se debe a la autoinducción provocada por el hecho de

estar ante un circuito eléctrico cerrado. Como ya se comentó en la introducción de este trabajo, la Ley de Ampère

establece que una corriente eléctrica produce un campo magnético a su alrededor, y a través de la Ley de Faraday,

el flujo magnético variable a través del circuito genera una fuerza electromotriz que se opone a este cambio. Esta

fuerza es la que se modela en nuestro circuito como una inducción parásita (ESL).

Para reflejar esto en la práctica, se ha realizado un montaje de un circuito RC tal como se aprecia en la Figura

25. En este, se ha conectado un condensador de 100 nF (con una tolerancia de ±20%) a una resistencia en serie

de 10Ω para que el osciloscopio pueda registrar una señal de voltaje cuando lo recorre una cierta intensidad de

corriente y nosotros podamos medir la caída de tensión producida. Por otra parte, añadiremos una resistencia en

paralelo de 1kΩ que hará de resistencia de carga. El objetivo de este montaje es que podamos medir en el

osciloscopio dos señales diferentes, la primera de ella (señal de color amarilla en las Figuras 26 a 29) vendrá a

partir de una sonda conectada en el nodo superior de la Figura 25, la cual medirá el voltaje producida por el

paso de la corriente por la resistencia de carga. Por otro lado, conectaremos otra sonda la cual estará conectada

a una de las patas del condensador y que nos dará la señal verde (Figuras 26 a 29) que mide la tensión generada

por la corriente a través del condensador. Es necesario explicar también que, debido a la introducción de la

E

Verificación experimental de resonancia en EMC

54

resistencia de 10 ohmnios, no va a ser posible medir el valor de la ESR, ya que la resistencia parásita queda

totalmente eclipsada por esta Rc. Sin embargo, más adelante hallaremos otro método para medir este valor.

Una vez explicado esto, se ha procedido al montaje del sistema y se ha conectado el circuito a un generador de

ondas y, por último, al osciloscopio que nos permitirá visualizar las ondas asociadas a la tensión en los distintos

puntos comentados anteriormente. El esquema del circuito seguido es el mostrado en la Figura 25.

Figura 25. A la izquierda esquemático en PSpice del circuito RC montado mostrado a la derecha.

El objetivo de este experimento será hallar el valor de la autoinducción ESL, así como la frecuencia de

resonancia y después realizar un modelo sencillo RLC equivalente al circuito montado donde comprobaremos

dónde se encuentra la frecuencia de resonancia.

Para ello montamos el circuito tal como en la figura anterior, y conectamos las sondas del osciloscopio en los

puntos donde el esquemático indica, donde observaremos dos ondas que irán variando conforme aumentamos

la frecuencia de la onda generada en el generador de funciones. La onda de color amarilla en las Figuras 26 a

29 se corresponde al voltímetro del nodo superior del esquemático de la Figura 25 y la onda de color verde al

voltímetro a la salida de la inductancia parásita. Una vez comenzamos a generar la onda sinusoidal a frecuencias

muy bajas, sabemos que la impedancia correspondiente al condensador es muy alta, por lo que la mayor parte

de la corriente irá por la rama de la resistencia de carga (Figura 26). El hecho de que la impedancia en la rama

del condensador sea tan alta, hace que, aún teniendo al otro lado una resistencia cien veces mayor, gran parte de

la corriente se vaya por esta última rama.

55


Figura 26. Ondas recogidas por las sondas a frecuencias muy bajas. Región resistiva.

Conforme vamos incrementandio la frecuencia de la onda, la impedancia del condensador decrece y cada vez

es mayor la corriente que pasa a través de éste, acercándose a la magnitud de la que pasa por la resistencia de

carga. Sin embargo, tal como se observa en la Figura 27 las dos ondas están desfasadas, ya que el condensador

introduce un retraso en la señal de π/2 respecto a la original.

Figura 27. Ondas recogidas por las sondas a una frecuencia de 100 kHz. Región capacitiva.

Si seguimos aumentando la frecuencia, nos introduciremos poco a poco en una región resistiva de nuevo, en el

que al final las tensiones en uno y otro lado se hacen iguales y están en fase. Aquí es donde se produce la

resonancia del circuito, ya que la impedancia del condensador y la autoinducción se anulan entre sí, quedando

solo parte real en el término de la impedancia y convirtiéndose el condensador en un cortocircuito. De forma

empírica observamos que la frecuencia de resonancia se encuentra en torno a los 670kHz (Figura 28). Sin

embargo, es imposible establecer un valor concreto de la frecuencia de resonancia, más bien, lo que podemos

hacer es hallar un rango de frecuencias donde ocurre el fenómeno de resonancia. Esto es debido

fundamentalmente a la imprecisión en la medida, ya que se observó que, para una serie de frecuencias en torno

a los 670kHz, en concreto para un margen de ±5kHz, las señales seguían estando en fase y con la misma

amplitud. Además, también se debe a la propia imprecisión del osciloscopio, la cual es de ±1kHz, que es la

máxima resolución que es capaz de admitir cuando vamos variando la frecuencia en el generador de funciones

(el cual tiene una resolución de 1µHz).


56

Figura 28. Ondas recogidas por las sondas a una frecuencia de 667kHz. Frecuencia de resonancia.

Si continuamos con la progresión de frecuencia, la impedancia de la autoinducción será la impedancia dominante

en el circuito, y entraremos en la región inductiva, donde la tensión en la rama del condensador va creciendo y

la fase de ésta se adelanta π/2 respecto a la tensión en la otra rama (Figura 29).

Figura 29. Ondas recogidas por las sondas a una frecuencia de 10MHz. Región inductiva.

Con todos estos datos ya podemos calcular el valor de la autoinducción parásita. De nuevo estaremos ante un

rango de valores, debido a las tolerancias utilizadas en el resto de valores. Conociendo el rango de frecuencias

de resonancia (escogeremos el valor central), el valor de nuestra capacidad y la expresión de la frecuencia de

resonancia:

𝐸𝑆𝐿 =1

𝐶(2𝜋𝑓𝑟)2 (67)

Por lo que el rango de valores de la ESL es el mostrado en la Tabla 1, junto con el valor de la capacidad, el rango

de frecuencias de resonancia y el valor de la ESR.

57


Ahora continuaremos realizando un modelo LC que simule las características del estudiado anteriormente. Aquí

omitiremos de momento la ESR porque no la tenemos todavía, como también omitiremos el resto de resistencias

que en realidad son ajenas al dispositivo que pretendemos modelar. Como comentamos en el capítulo anterior,

el modelo de un condensador real se corresponde a un circuito (R)LC serie, donde los valores de cada

componente se corresponden en este caso con la capacidad de 100nF, el valor del ESL y el valor de la resistencia

ESR. Así, diseñamos en PSpice este circuito (Figura 30) y realizamos una simulación como hemos ido haciendo

hasta ahora, obteniendo los resultados esperados (Figura 31) en cuanto a frecuencia de resonancia se refiere.

Figura 30. Esquemático del modelo LC serie correspondiente al modelo propuesto de condensador real (sin

considerar la ESR).

Figura 31. Impedancia en función de la frecuencia del modelo LC en serie correspondiente al modelo

propuesto de condensador real (sin considerar la ESR).

En esta última Figura 31 se observa con claridad las distintas regiones de funcionamiento del condensador. En

la primera zona descendente se aprecia la región capacitiva, donde la impedancia del condensador va

decreciendo y por tanto la intensidad que atraviesa éste aumenta. Conforme seguimos aumentando la frecuencia

vemos que llegamos a un pico de caída de impedancia, que se corresponde a la anulación de las impedancias del

condensador y el inductor entre ellas, así que la intensidad que atraviesa esta rama es máxima en este momento

y estamos en la zona puramente resistiva (frecuencia de resonancia). Si seguimos aumentando la frecuencia

entramos en la región inductiva, donde la impedancia del inductor empieza a ser dominante en su rama y pasa a

tener un comportamiento inductivo. Por tanto, se produce una caída de intensidad en esta rama del circuito, ya


58

que la mayor parte de ésta comienza a circular por la rama donde tenemos la resistencia de carga (en el montaje

realizado).

No podemos continuar con el siguiente apartado sin hacer mención al concepto de ESR. Ésta, como se ha

comentado, es la resistencia parásita que aparece en el modelo real del condensador asociada a las pérdidas

generadas en los medios conductores presentes en el condensador. Para calcular este valor, utilizamos el

analizador de espectros. Conectando éste a nuestro condensador de 100 nF, quitando todas las resistencias

utilizadas hasta ahora, buscamos el valor de la frecuencia de resonancia. Sabemos que cuando el circuito entra

en resonancia, la impedancia que queda en este punto es la correspondiente al valor de la ESR buscada. El valor

de la impedancia mostrado en este punto es el ESR. La influencia de este valor en el circuito está directamente

relacionada con el factor de calidad Q, ya que a menor ESR, mayor Q. No hay que pasar por alto que un valor

de ESR alto puede llevar a cabo pérdidas de potencia considerables, a razón de 𝑃 = 𝐼2𝐸𝑆𝑅.

Por tanto, pasamos a calcular este valor. El circuito equivalente que nos quedaría cuando nos encontramos en la

frecuencia de resonancia es el mostrado en la Figura 32, debido a que las impedancias del condensador a

inductancia parásita se anulan. Los valores de resistencia de la salida del analizador de espectros y de la entrada

vienen dados por el propio analizador, que son de 50Ω.

Figura 32. Esquemático del modelo de condensador real a la frecuencia de resonancia

Como lo que mide nuestro analizador de espectros en el eje Y es la ganancia de inserción en dBµV, y nosotros

queremos el valor de la ESR, tenemos que:

𝑉𝑖 = (𝑅𝑠 +𝐸𝑆𝑅·𝑅𝐿

𝐸𝑆𝑅+𝑅𝐿) · (

𝐸𝑆𝑅+𝑅𝐿

𝐸𝑆𝑅·𝑅𝐿) · 𝑉𝑜 (68)

A su vez, hay que tener en cuenta que cuando el analizador de espectros realiza las medidas, hay una calibración

previa que debemos tener en cuenta, y que mide la tensión en el output del analizador desde directamente un

cable coaxial que parte desde el input. Por lo que:

𝑉𝑖 =𝑅𝐿

𝑅𝐿+𝑅𝑠· 𝑉𝑜′ (69)

Haciendo el cociente 𝑉𝑜′/𝑉𝑜 que es la ganancia real que vamos a observar en el analizador de espectros, tenemos

finalmente que, sustituyendo todos los datos posibles:

𝑉𝑜′

𝑉𝑜= (2 ·

50+𝐸𝑆𝑅

𝐸𝑆𝑅+ 2) (70)

𝐺[𝑑𝐵µV] = 20 · log (2 ·50+𝐸𝑆𝑅

𝐸𝑆𝑅+ 2) (71)

Conectando el condensador únicamente al analizador, obtenemos que la ganancia de inserción obtenida es de

47.91 dBµV (habiendo tenido en cuenta el valor de referencia), por lo que el valor de la ESR es el mostrado en

59


la Tabla 1.

Figura 33. Señal de ganancia de inserción en el analizador de espectro respecto a la frecuencia en el

condensador analizado.

Tabla 1. Valores de la capacidad, frecuencia de resonancia y ESL obtenidos empíricamente del modelo real

de nuestro condensador analizado.

Con todos estos datos, podemos concluir que el modelo final en PSpice obtenido es el señalado en la Figura 34,

y cuyo comportamiento frente a la frecuencia es el mostrado en la Figura 35.

Figura 34. Esquemático del modelo de condensador real con los valores parásitos ya incluidos.

Capacidad Frecuencia de

resonancia ESL ESR

100nF±20nF 670kHz±6kHz 0.57µH±0.12µH 0.409Ω


60

Figura 35. Simulación del modelo real del condensador donde se muestra la impedancia del circuito en

función de la frecuencia

4.1.2 Modelo de inductor real. Efectos parásitos y frecuencia de resonancia

Continuaremos realizando el procedimiento análogo al anterior con un inductor. Un inductor real presenta un

condensador parásito en paralelo, asociado a los hilos que dan vueltas formando la bobina, de forma que cuando

se alcanzan determinadas frecuencias, estos hilos actúan como condensadores, pasando a tener el circuito un

comportamiento capacitivo. Las razones por las que aparecen estas capacidades parásitas son las que se

comentaron en la sección 3.2.1. Estas capacidades vienen producidas a partir de cada espira que constituye el

inductor, ya que, al estar formado por muchos hilos conductores separados por dieléctricos, se crean “pequeños

condensadores” entre cada bobinado existiendo una diferencia de tensión entre cada uno.

Para comprobar estos fenómenos, montaremos un circuito RL como el que se muestra en la Figura 32, donde

el inductor es una bobina formada a partir de un arrollamiento de hilo de cobre sobre un soporte plástico. El

valor del inductor será de 15 mH (con una tolerancia del 5%), mientras que la resistencia de carga conectada

será como en el caso anterior de 1kΩ. El sistema en PSpice quedaría como se muestra en la Figura 35, donde

de nuevo la resistencia asociada a la fuente de tensión es de 50Ω. La resistencia parásita relacionada al cable de

cobre la despreciaremos, ya que ésta iría en serie con el resto de resistencias mencionadas y su valor es mucho

menor.

El modus operandi será el mismo que en el apartado anterior. Alimentaremos el circuito con una fuente de

tensión variable, y mediremos con un osciloscopio la tensión en los dos puntos que se observa en el esquemático

de la Figura 36 mientras incrementamos la frecuencia desde un valor nulo hasta llegar al entorno de los GHz.

Por una parte, la señal de color verde que se observa en las Figuras 37 a 39 corresponde a la medición realizada

por la sonda en el nodo de la resistencia de carga, es decir, en una de las patas de ésta. Así, la señal de color

amarillo corresponderá a la señal medida en el nodo a la entrada de la bobina. El objetivo será hallar el valor de

la capacidad parásita Cp, la frecuencia de resonancia del circuito y realizar un modelo en PSpice que verifique

lo obtenido en el experimento práctico.

61


Figura 36. A la derecha esquemático en PSpice del circuito RL montado mostrado a la izquierda

Comenzamos alimentando el circuito a una frecuencia prácticamente nula, por lo que estaríamos ante un circuito

prácticamente en DC, donde la impedancia del inductor es muy baja, actuando como un cortocircuito, por lo

que nos encontraríamos en la zona resisiva, donde las dos tensiones medidas deben ser iguales en amplitud y

fase como se observa en la Figura 37.

Figura 37. Ondas recogidas por las sondas a frecuencias muy bajas. Zona resistiva.

Si continuamos aumentando la frecuencia, la impedancia del inductor crecerá, ya que 𝑍𝐿 = 𝑗𝑤𝐿, por lo que

parte de la tensión de la fuente caerá en la bobina. Durante este rango de frecuencias (zona inductiva), la

intensidad que recorre el inductor deberá ir cayendo, y, por lo tanto, así lo hará la tensión medida a la salida de

éste, siendo aproximadamente proporcional a la corriente que atraviesa la bobina. Por otra parte, la otra tensión

medida seguirá siendo aproximadamente la que proporciona la fuente de tensión, por lo que a partir de aquí se

deduce que las dos señales no estarán en fase, sino que la segunda señal estará retrasada π/2, tal como se aprecia

en la Figura 38.


62

Figura 38. Ondas recogidas por las sondas a una frecuencia de 100kHz. Zona inductiva. La señal amarilla se

corresponde a la medición del voltímetro a la entrada de la bobina. La señal verde se corresponde a la

medición del voltímetro a la entrada de la resistencia de carga RL

Conforme seguimos aumentando la frecuencia, observamos que llega un momento en el que la tensión a la salida

del inductor alcanza su mínimo y a partir del cual su valor empieza a crecer y el desfase entre las dos señales se

va modificando. Este punto viene dado por la igualdad:

1

𝑤𝐶𝑝= 𝑤𝐿 (72)

La cual coincide con la expresión hallada en el capítulo 3.2.1 donde estudiamos el modelo del inductor real. En

concreto, la expresión (66), donde hallamos la frecuencia de resonancia para el modelo obtenido, es la misma

que la (72) para los casos en los que RL<<wL.

Por tanto, la frecuencia a la que sucede esto es la frecuencia de resonancia del circuito y en nuestro caso se

encuentra en torno a los 180kHz±6kHz. Este rango de frecuencias se debe de nuevo a, por una parte, la

resolución del osciloscopio, donde solo nos muestra la frecuencia en saltos de 1kHz, y, por otra parte, debido a

que el fenómeno de resonancia se observa de nuevo bajo un rango de ±5kHz.

Hasta el momento no se ha tenido que tener en cuenta el efecto del condensador parásito, pero si seguimos

aumentando la frecuencia este efecto empieza a hacerse notar, ya que como se ha comentado, la tensión a la

salida del inductor comienza a aumentar y el desfase entre las dos señales ya no es el mismo. Esto sucede porque

la impedancia del condensador es menor que la de la bobina, por lo que se convierte en el elemento dominante

y se dice que nos encontramos en la región capacitiva, donde la intensidad que recorre al condensador se adelanta

π/2 respecto a la tensión de entrada a la bobina, tal como se observa en la Figura 39.

63


Figura 39. Ondas recogidas por las sondas a una frecuencia de 500kHz. Zona capacitiva. La señal amarilla

se corresponde a la medición del voltímetro a la entrada de la bobina. La señal verde se corresponde a la

medición del voltímetro a la entrada de la resistencia de carga RL

Con el rango de valores de la frecuencia de resonancia obtenido, podemos determinar el rango a su vez del valor

aproximado de la capacidad parásita a partir de la igualdad (72), el cual se muestra en la Tabla 2. Una vez

obtenido éste, pasaremos a realizar un modelo en PSpice equivalente al circuito montado y verificar los

resultados obtenidos en la práctica.

Como hemos visto en la sección 3.2.1, donde estudiábamos el modelo real de un inductor, el circuito

correspondiente a este caso práctico será un (R)LC paralelo. En esta ocasión se ha tenido que incluir una

resistencia de valor muy pequeño ya que PSpice lanzaba un error de bucle al simular el circuito LC y cuya

solución es añadir una resistencia. Dicho esto, el esquemático que nos queda es el presentado en la Figura 40,

donde se muestra la capacidad parásita, así como el inductor a analizar. De nuevo, no se ha podido hallar aún el

valor de la resistencia parásita, lo cual realizaremos más adelante.

Figura 40. Esquemático del modelo RLC paralelo correspondiente al circuito RL montado.


64

Figura 41. Impedancia en función de la frecuencia del modelo RLC en paralelo del circuito RL montado.

Realizamos un barrido de frecuencia al circuito, y comprobamos que efectivamente, la frecuencia de resonancia

se encuentra en torno a los 180kHz como no debe ser de otra manera (Figura 41). De nuevo, se aprecian las tres

regiones de funcionamiento del inductor de forma muy clara. Al comienzo del barrido, nos encontramos en la

zona inductiva, donde al aumentar la frecuencia de la señal, la impedancia del inductor crece a su vez, siendo el

efecto dominante. Esto provoca que la intensidad que recorre la bobina sea cada vez más pequeña, por lo que la

impedancia del circuito va creciendo como se observa. Conforme aumentamos la frecuencia, llegamos a una

pequeña región donde se produce el fenómeno de resonancia, en el que hay un pico máximo de la impedancia

del circuito. En este rango, la intensidad que recorre la bobina se hace mínima, en el que las impedancias del

condensador parásito y el inductor son iguales. A partir de aquí, nos encontramos en la región capacitiva, donde

hay que empezar a tener en cuenta el condensador parásito, ya que la impedancia del condensador es menor que

la de la bobina y por lo tanto se convierte en el elemento dominante. Por tanto, la intensidad que recorre la bobina

cada vez es mayor, haciendo que la pendiente de la impedancia en este tramo sea descendente.

Por último, tal como se hizo en el caso del condensador, también hallaremos el valor de la resistencia parásita

ESR. El procedimiento es exactamente el mismo, ahora conectaremos la bobina sin ningún tipo de otro elemento

al analizador de espectros, de forma que desde la salida del analizador de espectros (tiene una resistencia de

50Ω) generamos una señal que va directamente hacia el inductor, y que vuelve hacia la entrada del analizador

(la cual posee también una resistencia de 50 Ω). Ahí observaremos la ganancia de inserción en la frecuencia de

resonancia (Figura 42).

65


Figura 42. Señal de ganancia de inserción en el analizador de espectro respecto a la frecuencia.

Teniendo en cuenta el valor de referencia obtenemos que la ganancia de inserción es de 55.39 dBµV, y

utilizando la expresión (71), la ESR que calculamos se muestra en la Tabla 2.

Inductancia Frecuencia de

resonancia ESC

ESR

15mH±0.75mH 180kHz±6kHz 52.1pF±6.1pF 0.171Ω

Tabla 2. Valores de la inductancia, frecuencia de resonancia, ESC y ESR obtenidos empíricamente del

modelo real de nuestro inductor analizado.

Por lo tanto, el modelo final de nuestro inductor es el que se muestra en la Figura 43 y cuyo comportamiento

frente a la frecuencia se muestra en la Figura 44.

Figura 43. Esquemático de un modelo real de inductor con los valores parásitos incluidos.


66

Figura 44. Simulación en PSpice del modelo real de un inductor introduciendo en éste los datos para los

elementos obtenidos en el proceso de medida, donde se representa la impedancia del circuito frente a la

frecuencia.

4.2 Resonancias en medidas con sondas de alta impedancia. Estudio de la atenuación de las oscilaciones a través de resistencias

A la hora de hacer medidas experimentales, como es el caso del apartado anterior, se hace uso de sondas que

están conectadas al osciloscopio a través del cual vemos el estado de las magnitudes de nuestro interés. Sin

embargo, estos dispositivos introducen errores y fenómenos no deseados cuando trabajamos a altas frecuencias.

Se trata por tanto de un ejemplo de problema técnico que aparece en el ámbito de las tecnologías de circuitos

eléctricos, debido a los fenómenos de resonancia.

Nuestra motivación en este apartado será estudiar el fenómeno de resonancia que se da a la hora de hacer

mediciones con sondas de alta impedancia y cómo atenuarlas a través de la inclusión de resistencias en el

circuito.

Para ello comenzaremos describiendo la sonda que emplearemos en nuestras mediciones experimentales. Se

trata de una sonda pasiva 10X. Esta sonda está compuesta de una punta de sonda y al otro extremo del cable un

conector que encaja en la entrada del osciloscopio. En la punta de la sonda se tiene un gancho que, a partir de

un muelle, se engancha en el lugar donde queremos realizar la medición.

Como hemos comentado, las medidas y en general, el funcionamiento de un circuito, se ve con asiduidad

afectado por la mera presencia de la sonda, por lo que siempre se intenta que la sonda tenga el menor impacto

posible en el sistema y que las medidas sean lo más fieles posibles a la realidad. Sin embargo, no existe una

sonda ideal, y para evitar fallos de medición se introduce una atenuación que se debe tener en todo momento en

cuenta. La atenuación es la relación entre la amplitud de la señal de entrada de la sonda y la de salida. En nuestro

caso, al tener una atenuación 10X, la señal que observamos en el osciloscopio está reducida en un factor diez.

El sistema que montaremos consistirá por un parte en un generador de funciones LXi TG5011A, el cual

67


programaremos para que genere un pulso cuadrado con una Vpp de 5V y a una determinada frecuencia que

comentaremos después. A la salida realizaremos una bifurcación en la cual por un lado irá conectado un cable

coaxial, que introducirá la menor distorsión posible al osciloscopio, y por otro lado irá conectada la sonda

mencionada a la otra entrada del osciloscopio, cuya señal será la que estudiaremos en profundidad. En la Figura

45 se observa con detalle el sistema mencionado.

Figura 45. Montaje en el que se observa como del generador de funciones parten dos salidas, una consiste en

un cable coaxial que va directamente hacia una de las entradas del osciloscopio y la otra va conectada a la

sonda de alta impedancia.

Empezaremos el experimento configurando el generador de funciones con un pulso cuadrado con un Vpp 5V y

a una frecuencia de 100kHz. Observamos en el osciloscopio (Figuras 46 y 47) como la señal amarilla (dada

por el cable cable coaxial) sigue un pulso prácticamente perfecto sin distorsiones y, sin embargo, la señal verde

presenta unas sobreoscilaciones y un rizado que queremos evitar, introducidas por la sonda al haber elementos

que entran en resonancia.


68

Figura 46. Pulsos cuadrados recogidos por el osciloscopio a una frecuencia de 100kHz y un Vpp de 5V. La

señal amarilla corresponde a la transmitida a través del cable coaxial y la verde la transmitida a través de la

sonda.

Figura 47. Detalle de la resonancia producida en uno de los pulsos cuadrados de la Figura 39 donde se

observa la sobreoscilaciones y el rizado de la señal.

Como el objetivo de este trabajo es profundizar en cómo reducir o suprimir estos efectos debido a la resonancia,

se estudiará cómo la adición de resistencias en serie con la sonda es capaz de realizar nuestro cometido. Así,

comenzaremos configurando nuestro generador de funciones de nuevo a un Vpp de 5V pero a una frecuencia de

50kHz, lo cual nos seguirá permitiendo observar estos fenómenos con total claridad.

En primer lugar, añadiremos una resistencia de 10Ω en serie con la sonda y observaremos la señal en el

osciloscopio. En ésta anotaremos los valores de la tensión en cada cresta de las sobreoscilaciones para obtener

una relación que describa el amortiguamiento producido. También obtendremos el tiempo de establecimiento

de la señal, que nos será de utilidad para comprobar el efecto que produce las impedancias puramente resistivas

que añadimos.

69



una resistencia de 10 Ω.

Tal como se aprecia en la Figura 48, el valor máximo de la sobreoscilación es de 1.01V (10.1V en realidad),

mientras que los otros cuatro valores se han anotado en la Tabla 3. A estos valores le restaremos 0.5V, ya que

los valores que nos interesan en realidad son los obtenidos de V(t)-V0(t), ya que lo que medimos al principio es

la señal “absoluta” V(t), que consiste en la señal cuadrada Vo(t) a la cual se superpone la señal oscilante

amortiguada v(t), que es la que realmente experimenta la atenuación debida a la resistencias del circuito RLC

equivalente.

Vmáx1 Vmáx2 Vmáx3 Vmáx4 Vmáx5

0.51V 0.3V 0.18V 0.11V 0.06V

Tabla 3. Cinco primeros valores pico de cada sobreoscilación y recibida en el osciloscopio a través de la

sonda de alta impedancia conectada a una resistencia en serie de 10 Ω.

Continuamos realizando lo mismo pero esta vez colocando una resistencia de 20 Ω, y de nuevo anotamos los

resultados en la Tabla 4, a la vista de la señal en la Figura 49.


70



Vmáx1 Vmáx2 Vmáx3 Vmáx4 Vmáx5

0.49V 0.28V 0.16V 0.09V 0.06V

Tabla 4. Cinco primeros valores pico de cada sobreoscilación recibiba en el osciloscopio a través de la sonda

de alta impedancia conectada a una resistencia en serie de 20 Ω.

Se puede empezar a observar, aunque no con mucha claridad, que tanto el primer valor pico como el tiempo de

establecimiento es menor que en el caso anterior. Continuaremos haciendo lo mismo, es decir, aumentando la

resistencia en serie en el sistema y anotando los valores de la señal. Con el objetivo de no enmarañar el

procedimiento, en la Tabla 5 se han anotado todos los valores de nuestro interés para los casos en los que las

resistencias han tenido un valor de 10 Ω, 20 Ω, 70 Ω, 120 Ω, 200 Ω y 280 Ω.



71


Resistencia Vmáx1 Vmáx2 Vmáx3 Vmáx4 Vmáx5 te

10 Ω 0.51V 0.3V 0.18V 0.11V 0.06V 460ns

20 Ω 0.49V 0.28V 0.16V 0.09V 0.06V 456ns

70 Ω 0.45V 0.21V 0.11V 0.05V 0.02V 336ns

120 Ω 0.39V 0.16V 0.07V 0.04V 0.01V 300ns

200 Ω 0.32V 0.1V 0.05V 0.03V 0.001V 200ns

280 Ω 0.22V 0.09V 0.02V 0.01V 0.001V 130ns

Tabla 5. Resumen de valores valores pico de cada sobreoscilación y el tiempo de establecimiento de la señal

recibiba en el osciloscopio a través de la sonda de alta impedancia conectada a una resistencia en serie de 10

Ω, 20 Ω, 70 Ω, 120 Ω, 200 Ω y 280 Ω.



Figura 52. De izquierda a derecha, sobreoscilaciones debido a la resonancia provocada por la sonda de alta

impedancia conectada a una resistencia de 200 Ω y 280 Ω.

Para observar de forma más clara como la adición de impedancias puramente resistivas crean un efecto mitigador


72

en la resonancia producida por la sonda, aproximaremos la envolvente de cada una de las señales a una función

exponencial de la forma 𝑉 = 𝐴𝑒𝛼𝑡, ya que se puede apreciar como la unión de los valores Vmáxn se puede

aproximar a una curva exponencial. Para llevar a cabo esto, a través de Matlab, hemos creado una función (el

código se encuentra en el Anexo al final de este trabajo) que interpola los puntos de la Tabla 5 para cada caso y

representa las seis funciones exponenciales aproximadoras en la misma gráfica. Además, el código nos

devolverá los coeficientes A y α, donde este último nos dará información relevante para nuestro estudio.

Dicho esto, y ejecutado el código, obtenemos el conjunto de curvas exponenciales dadas en la Figura 53, las

cuales se aproximan con cierta precisión a la envolvente de cada señal. Es conveniente señalar que en la Figura

53 se está usando una variable de tiempo adimensional en el eje X. El valor de tau es igual al período T de las

oscilaciones producidas, que observando las señales es de 55ns. Este período esta directamente relacionado con

la frecuencia utilizada en el circuito, ya que T=1/f.

Además, el coeficiente α que nos devuelve Matlab no es el coeficiente de amortiguamiento como podemos

pensar inicialmente. Sabemos que la envolvente en el osciloscopio tiene una expresión 𝑉 = 𝑉0𝑒−𝛾(𝑡−𝑡0) donde

γ es el coeficiente de amortiguamiento tal como lo expresamos en (12). Sin embargo, la expresión que nos da

Matlab es de la forma 𝑉 = 𝑉0𝑒−∝

𝑇(𝑡−𝑡0), por lo que 𝛾 =

𝛼

𝑇. Es preciso señalar también que el valor de t0 es el

tiempo de respuesta de la señal, es decir, el tiempo que tarda en pasar desde el valor de tensión nulo al valor de

tensión del primer pico de resonancia, que en nuestro caso es de 20ns.

Sin embargo, hay otro método para hallar estas aproximaciones de una forma más precisa. Si calculamos la recta

de regresión lineal correspondiente a ln(𝑉𝑚á𝑥) = ln(𝑉0) − 𝛾𝑡, donde t=n·T con n=0, 1, 2, 3, 4, obtenemos los

valores que se muestran en la Tabla 6.

Figura 53. Familia de curvas de las distintas aproximaciones exponenciales a las envolventes

correspondientes a cada señal recibida.

73


Resistencia 10 Ω 20 Ω 70 Ω 120 Ω 200 Ω 280 Ω

A 1.106 1.072 0.981 0.921 0.826 0.684

α -0.528 -0.534 -0.766 -0.871 -1.274 -1.298

γ [s-1] -9.6·106 -9.7·106 -13.9·106 -15.8·106 -23.2 ·106 -32·106

Tabla 6. Conjunto de coeficientes A, α y𝛾 para los distintos valores de resistencias añadidos al sistema

estudiado. Éstos han sido obtenidos a través del cálculo de la recta de regresión ln(Vmáx )=ln(V0)-γt.

Por último, y antes de razonar por qué ocurre este aumento del coeficiente γ (obviando el signo negativo),

obtendremos una expresión lineal que relacione el valor de la resistencia añadido al sistema con el coeficiente γ.

Para esto, crearemos de nuevo una función en Matlab (adjunta en el Anexo) que interpole los valores de la Tabla

6 y que nos muestre en pantalla los coeficientes de la función de tipo 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝑏. Una vez ejecutado el código,

obtenemos que la expresión final es:

γ = −8.05 · 104𝑅 − 5.34 · 106 (73)

Por supuesto, esta función lineal solo nos dará resultados válidos en un rango de valores de resistencia, ya que

la interpolación se ha realizado a partir de solo seis puntos y entre conjunto de valores pequeño (10 Ω-280 Ω).

Una vez obtenido todos estos datos, conviene preguntarse por qué sucede esto. Es decir, por qué el aumento del

valor de la resistencia ayuda a mitigar la resonancia producida por la sonda. Si hacemos memoria de lo expuesto

en los capítulos 3.1.1.1, 3.1.5 y 3.2.2, donde se exponía el factor Q para un circuito RLC serie y el concepto de

ancho de banda y selectividad, así como la autoresonancia de un condensador, observamos que podemos hacer

una analogía con nuestro caso de estudio.

La sonda de alta impedancia que estamos utilizando se modela como un circuito RC compuesto por una

resistencia de 10MΩ y un condensador de 16pF, mientras que del lado del osciloscopio tenemos una resistencia

de 1MΩ y un condenasdor de 95pF. Un esquema típico del circuito lo tenemos en la Figura 54 mientras que

podemos observar con detalle los valores típicos de nuestra sonda en la Figura 55.

Figura 54. Esquemático de una sonda pasiva de alta impedancia 10X


74

Figura 55. Detalle de los valores característicos de la sonda de alta impedancia 10X

Por lo tanto, si añadimos una resistencia en serie al esquemático de la Figura 54 cabría esperar el mismo

comportamiento que el estudiado en la autoresonancia de un condensador. Sabemos que el modelo real de un

circuito RC se trata de un circuito RLC en serie, por lo que el factor Q es el dado en (74).

𝑄 =1

𝑅√𝐿

𝐶 (74)

Como se deduce, al aumentar el valor de la resistencia, el factor de calidad disminuye, y, en consecuencia, los

picos de resonancia serán menores, como se mostró gráficamente al explicar los conceptos de ancho de banda y

selectividad en la Figura 19, por lo que se mitigaría la resonancia producida, el cual era nuestro objetivo de este

capítulo.

Por último, profundizaremos más aún en el estudio de este caso práctico. Para ello, vamos a hallar la relación

existente entre el coeficiente de amortiguamiento hallado de forma empírica (Tabla 6) y el hallado de forma

teórica al principio de este trabajo, donde se expresaba como:

𝛾 =𝑅

2𝐿 (75)

Diseñaremos en PSpice un modelo equivalente al sistema que teníamos en la práctica, donde recordamos que

estaba formado por el generador de funciones (que generaba una onda cuadrada), un conjunto de resistencias en

serie (para reducir la resonancia) junto con la sonda de alta impedancia, y por último el osciloscopio. Por tanto,

haciendo uso del esquemático de la Figura 54, diseñamos nuestro sistema equivalente en PSpice (Figura 56).

Se observa que, en comparación con el esquema de la hoja técnica, en nuestro esquemático hemos despreciado

la resistencia de 10MΩ, así como la de 1MΩ, ya que la corriente no va a pasar por ahí debido a la muy alta

impedancia en estas ramas. También hemos añadido una inductancia, proveniente de la longitud del cable de la

sonda, cuyo valor iremos ajustando de forma numérica hasta que las simulaciones se correspondan

aproximadamente con los datos obtenidos en la práctica. Una aproximación de este valor se puede obtener a

partir de la expresión de la frecuencia de resonancia. Como dijimos anteriormente, el valor del período de las

oscilaciones está en torno a los 60ns, por lo que la inversa de este valor es la frecuencia de resonancia, el cual es

de 16.66MHz. Con esto, el valor de la inducción L nos da un valor de 6.5µH haciendo uso de 𝑓𝑟 =1

2𝜋√𝐿𝐶.

75


Una vez dicho esto, hemos realizado el esquemático en PSpice tal como se observa en la Figura 55. En ella se

aprecia la resistencia interna del generador de funciones de 50Ω, así como la resistencia en serie que utilizamos

para disminuir el fenómeno de resonancia. Por otra parte, como se ha comentado ya, está el valor de la

inductancia que corresponde al creado por el cable de la sonda, y por último hemos añadido los dos

condensadores en serie que conforman el circuito, Cin y Cscope. Por último, hemos puesto una fuente de tensión

que genera el pulso tal como lo configuramos en la práctica, es decir, con un valor pico a pico de 5V y una

frecuencia de 100kHz.

Figura 56. Esquemático equivalente al del sistema utilizado para mitigar los fenómenos de resonancia

producidos por una sonda de alta impedancia 10x.

Una vez construido el modelo, se procede a la simulación mediante PSpice para comprobar si el comportamiento

simulado con el modelo propuesto se parece al comportamiento medido con el osciloscopio, de manera que el

modelo pueda ser validado.

Ya explicado el esquemático utilizado, procedemos a realizar el mejor ajuste posible para encontrar el valor de

la inductancia. Para ello, simularemos el circuito probando distintos valores de L hasta encontrar la solución que

mejor se ajuste a los resultados obtenidos en la práctica. El valor que mejor se ajusta para todos los valores de

resistencias utilizados es 1.5µH. Para dar muestra de ello, simulamos el circuito probando los mismos valores

de resistencias que en la práctica y obtenemos las Figuras 57, 58 y 59.


76

Figura 57. Simulación de la tensión respecto al tiempo en PSpice en el que se observa la resonancia

producida por la sonda, atenuada por una resistencia de 10Ω (gráfica izquierda) y 20Ω (gráfica derecha).





77


Ahora que hemos demostrado gráficamente como nuestro esquemático simula aproximadamente de forma

correcta el sistema del experimento, pasaremos a calcular los coeficientes de amortiguamiento a través de la

expresión teórica 𝛾 =𝑅

2𝐿, los cuales se muestran en la Tabla 7.

Resistencia 10 Ω 20 Ω 70 Ω 120 Ω 200 Ω 280 Ω

γ teórico

(R/2L) [s-1] 3.33·106 6.66·106 23.33·106 40·106 66.6·106 93.3·106

Tabla 7. Conjunto de coeficientes𝛾 obtenidos tanto de forma teórica a través de simulaciones en PSpice.

4.3 Resonancias en filtros EMI. Uso de resistencias para atenuarlas

En la última práctica de este trabajo, estudiaremos las resonancias que se producen en un filtro paso de baja y

como podemos atenuar éstas a través del uso de resistencias. Hay que puntualizar que tan solo estamos tratanto

un ejemplo, a modo de ilustración, de los problemas que los fenómenos de resonancia pueden acarrear en el uso

de filtros EM, y cómo pueden corregirse al menos de forma parcial. La finalidad de un filtro paso de baja no es

más que permitir el paso de señales eléctricas de baja frecuencia, atenuando así las frecuencias más altas del

límite que nosotros deseemos montando el filtro. Así, podríamos considerar un filtro paso de baja como una

“caja negra” en el que entra una señal conocida, y en la salida tendremos casi la misma señal para un rango de

frecuencias bajas, y una señal más atenuada a partir de la frecuencia de corte que nosotros deseemos. La forma

más simple de construir un filtro de este tipo es a partir de un circuito RC, donde el condensador tiene la

capacidad para almacenar energía y hace que, a partir de su alta impedancia cuando el circuito se somete a

frecuencias bajas, deje pasar prácticamente toda la corriente hasta la salida del circuito. También podríamos

construir un filtro paso de baja a partir de un circuito RL, pero no es el caso que vamos a estudiar en esta sección.

Por tanto, disponemos de una tarjeta PCB la cual tendrá insertada diez circuitos diferentes, todos ellos formados

por una línea activa en la que colocamos el condensador. De estos diez circuitos solo estaremos interesados en

cinco de ellos, los cuales únicamente se diferencian en el valor de la capacidad. Los otros cinco mantienen el

mismo valor de la capacidad, sin embargo, se varía la longitud de la pista por donde se conecta el condensador

al camino de retorno.

El montaje del experimento se muestra en la Figura 60, donde tenemos un generador de funciones del que sale

como en el capítulo anterior una bifurcación. En una de las salidas se transmite la señal original hasta el


78

osciloscopio, mientras que por la otra salida se enviá la señal (en nuestro caso se tratará de una señal sinusoidal

de frecuencia variable) hasta el condensador a analizar, que a su vez está conectado a una resistencia de carga

en serie de 50Ω.

Figura 60. Montaje del sistema compuesto por un generador de funciones, una tarjeta PCB con diez

condensadores, una resistencia en serie de 50Ω y un osciloscopio.

El modelo de nuestro modelo de filtro paso de baja se muestra en la Figura 61. No obstante, tal como se ha

descrito en secciones anteriores, este no es un modelo realista, y, de hecho, al hacer un barrido de frecuencia,

observaríamos en el osciloscopio que la señal presenta unos cambios conforme nos vamos acercando a un rango

de frecuencias, donde la intensidad que recorre el circuito alcanzaría un máximo en torno a un rango de

frecuencias, para después bajar conforme seguimos aumentando la frecuencia. Como es de esperar, el

condensador está en resonancia en este rango de frecuencias en el que se alcanza el máximo de intensidad, y

para realizar un modelo real del filtro, habría que incluir en éste una inductancia y una resistencia parásita, tal

como se expresa en la Figura 62. No obstante, la resistencia parásita Rp la despreciaremos ya que en

comparación con el orden de magnitud de la resistencia de carga y la interna del generador es muy pequeña.

79


Figura 61. Modelo ideal de un filtro paso de baja

Figura 62. Modelo real de un filtro paso de baja donde se ha señalizado los nodos donde se ha medido la

señal de tensión en el montaje real y que se muestra en el osciloscopio. El voltímetro en la fuente de tensión se

corresponde a la señal amarilla y el voltímetro en la resistencia de carga se corresponde a la señal verde en

las Figuras 62 y 63

El procedimiento a seguir será el siguiente. Tenemos 5 condensadores a analizar, cuyas capacidades serán de

100nF, 10nF, 1nF, 100pF y 10pF. Empezando con el de mayor valor, sabemos que en un circuito RLC serie

como el que tenemos en la Figura 62, cuando se encuentra en su frecuencia de resonancia, la tensión que se

mide (en este caso en el osciloscopio) será la mínima. La tensión es mínima en este punto porque al anularse las

impedancias del inductor y el condensador, la mayor parte de la corriente pasa a través de la rama del

condensador, siendo muy baja la intensidad que pasa por la resistencia de carga y por ende, lo mismo ocurre con

la caída de tensión. Por lo tanto, comenzaremos a variar la frecuencia de la onda sinusoidal generada hasta

encontrar el mínimo de la tensión medida. La tensión en este punto se hace mínima porque En ese punto,

anotaremos la frecuencia de la onda generada, que es 11.33MHz, como se aprecia en la Figura 63.



verde es la obtenida a través del condensador y la resistencia de 50Ω.


80

Una vez obtenida la frecuencia de resonancia, podremos obtener el valor de la inductancia parásita a través de

la expresión analítica que da la frecuencia de resonancia (74). La inductancia parásita tiene un valor de1.97nH.

𝐿𝑝 =1

𝐶(2𝜋𝑓𝑟)2 (74)

A continuación, realizaremos exactamente lo mismo con el condensador de 10nF. En este caso, se muestra en

la Figura 64 como la frecuencia de resonancia ha variado, en este caso ha aumentado hasta los 35.9MHz, lo cual

tiene lógica sabiendo que la frecuencia de resonancia es inversamente proporcional al valor de la capacidad.

Asimismo, el valor de la inductancia parásita es de 1.83nH.



verde es la obtenida a través del condensador y la resistencia de 50Ω.

Prosiguiendo con el resto de condensadores, en la Tabla 8 se detallan todos los valores de interés obtenidos.

Capacidad 100 nF 10 nF 1 nF 100 pF 10 pF

fr 11.33 MHz 35.9 MHz 109.97 MHz 344.9 MHz 1.1 GHz

Lp 1.97 nH 1.83 nH 2.09 nH 2.13 nH 2.09 nH

Vmáx 4.40 mV 42 mV 128.49 mV 410.94 mV 1.18V

Tabla 8. Frecuencias de resonancia, valores de las inductancias parásitas y de la tensión máxima para los

distintos valores de la capacidad del condensador del filtro EMI.

Una vez obtenidos estos datos, ¿cómo podemos reducir la resonancia producida en el circuito? Como ya se ha

estudiado en los capítulos teóricos, una forma de reducirla es añadiendo impedancias puramente resistivas al

sistema. Por lo tanto, procedemos a añadir de forma progresiva resistencias en serie al conjunto de la Figura 49

y obtendremos cual es el valor de la tensión en la frecuencia de resonancia. En concreto pondremos como objeto

de estudio el condensador de 10nF.

81


Incorporando una resistencia 20Ω, obtenemos que a una frecuencia de 35.9MHz, el valor mínimo de la señal

que llega al osciloscopio es de 32.48mV, con lo que hay una disminución de la tensión respecto al valor de

42mV en el caso sin resistencias. Continuando con la adición de valores mayores de resistencias llegamos a los

datos mostrados en la Tabla 9.

Resistencia

añadida 0 Ω 20Ω 70 Ω 120 Ω 200 Ω 280 Ω

Vmáx 42mV 32.48mV 21.4mV 14.8mV 8.34mV 6.57mV

Tabla 9. Valores máximos de tensión medidos en el osciloscopio en función de la resistencia añadida en el

sistema (condensador utilizado C=10nF).

La explicación que tiene esta disminución de tensión radica en que el valor de la intensidad, conforme

aumentamos la resistencia, disminuye, haciéndolo también el factor de calidad. Si esta intensidad disminuye es

de esperar que la tensión también lo haga, bajo las mismas condiciones de frecuencia y del sistema en general.

Para corroborar esto, realizaremos una serie de simulaciones en PSpice que nos permitirá comparar algunos

datos de interés del circuito bajo las distintas condiciones de resistencias añadidas al circuito. Así pues,

elaboramos el esquemático mostrado en la Figura 65, donde R_añadida será la resistencia que iremos

cambiando en cada caso.

Figura 65. Esquemático del filtro EMI con la adición de una resistencia en serie.


82

Simulando el circuito y representando la intensidad que recorre el circuito, en concreto, en el condensador,

observamos como la resonancia se reduce con notoriedad, tan solo añadiendo una resistencia de 280Ω en nuestro

caso más extremo.

Figura 66. Intensidad que recorre el circuito en función de la frecuencia. La señal azul se corresponde a la

resistencia añadida de 20 Ω. La roja con la de 70 Ω, la verde con la de 120 Ω, la amarilla con la de 200 Ω y

por último la morada con la de 280 Ω.

Como hemos repetido en numerosas ocasiones, el factor de calidad es inversamente proporcional al valor de la

resistencia. Si nuestro objetivo es reducir el pico de resonancia, debemos aumentar el valor de R, pero, sin

embargo, estaremos sacrificando la selectividad de nuestra señal, teniendo un ancho de banda mayor y

permitiendo el paso de mayor cantidad de señales. Para cuantificar esto, se ha calculado tanto el ancho de banda

como el factor Q, sabiendo que el ancho de banda es la diferencia de frecuencias:

𝐵𝑊 = 𝑓2 − 𝑓1 (76)

Estas dos frecuencias son aquellas en las que la amplitud de la onda vale:

IBW=0.707·Imáx (77)

Además, sabemos que el factor de calidad tiene como expresión:

𝑄 =𝑓𝑟

𝐵𝑊 (78)

Por lo que en la Tabla 10 se muestran los resultados obtenidos.

Resistencia

atenuadora 20 Ω 70 Ω 120 Ω 200 Ω 280 Ω

BW 6.14GHz 10.45GHz 14.9GHz 21.7GHz 28.94GHz

Q 5.84·10-3 3.43·10-3 2.4·10-3 1.65·10-3 1.24·10-3

Tabla 10. Valores obtenidos de los anchos de banda y factor de calidad del filtro paso de baja (C=10nF) para

los distintos valores resistencias utilizados para atenuar la resonancia del sistema.

83


5 CONCLUSIONES FINALES

El campo de la compatibilidad electromagnética es un terreno de estudio cada vez más importante en nuestros

días conforme evoluciona la tecnología, ya que la tendencia es crear sistemas y dispositivos cada vez más

complejos electrónicamente. Cuando no se tiene en cuenta los fenómenos relacionados con la compatibilidad

electromagnética pueden aparecer errores en nuestros cálculos o en las medidas que realizamos, debido en parte

a que las frecuencias utilizadas en los dispositivos que diseñamos son cada vez mayores.

Uno de estos fenómenos es la resonancia eléctrica, el cual nos ha llevado la mayor parte del estudio de este

trabajo. La resonancia en general es un fenómeno que tiene presencia en nuestras vidas de forma diaria, y del

que se saca muchas veces partido para nuestros propios intereses. Sin embargo, cuando nos referimos al estudio

de los circuitos eléctricos, la resonancia es un fenómeno que muchas veces es indeseado y el cual deseamos

mitigar de alguna manera, ya que puede provocar fallos en nuestro dispositivo o incluso el deterioro del mismo

por no poder soportar los picos de resonancia.

Conclusiones finales

84

Este trabajo se ha dividido en dos partes bien diferenciadas. Primero, una parte puramente teórica donde se ha

empezado estudiando la resonancia electromagnética de forma puramente teórica, partiendo de un circuito LC

ideal y profundizando en casos realistas, donde las resistencias hacen acto de presencia suponiendo pérdidas

para el circuito y la no idealidad de los circuitos. También se ha estudiado como existen analogías con otros

tipos de resonancias, como la mecánica o con el estudio de cavidades resonantes.

Se ha introducido los conceptos necesarios relacionados con la resonancia electromagnética, como la frecuencia

de resonancia, el factor de calidad, el ancho de banda, la selectividad o la diferenciación entre los dos casos de

circuitos RLC, serie y paralelo. No sólo se han introducido estos conceptos sino que además hemos obtenido las

expresiones analíticas que lo definen, comprobando que la frecuencia de resonancia de un circuito solo depende

del valor de los elementos reactivos del sistema, y que además, esta frecuencia será la misma tanto si nos

encontramos en un circuito RLC serie o paralelo.

Se ha analizado con detalle el comportamiento de los circuitos RLC serie y paralelo, obteniendo las distintas

evoluciones de las magnitudes de interés, como la intensidad o la impedancia del circuito, o expresando cuánto

vale el factor calidad para ambos casos. Todo este estudio ha ido acompañado siempre de una serie de

simulaciones realizadas a través del software PSpice, las cuales han ido corroborando todos los resultados

teóricos obtenidos. Asimismo, se ha remarcado el hecho de que los condensadores y los inductores son

elementos que tienen características resonantes por sí mismas, por lo que se han obtenido los modelos reales de

éstos teniendo en cuenta los efectos parásitos presentes.

La segunda parte del trabajo ha consistido en la verificación experimental de los fenómenos de resonancia

estudiados de forma teórica previamente. En primer lugar, se han utilizado condensadores e inductores reales

para observar cómo se produce la resonancia en el osciloscopio, calculando de forma empírica la frecuencia de

resonancia y obteniendo los valores de los elementos parásitos. De forma paralela, se han obtenido modelos

equivalentes en PSpice que han verificado los resultados que hemos obtenido en la práctica.

En segundo lugar, hemos hecho uso de las sondas de alta impedancia para realizar medidas. Éstas suponen una

fuente de error en las medidas realizadas ya que la sonda está compuesta principalmente de un circuito RC, y

por lo tanto introduce resonancias que son apreciables en el osciloscopio. Una forma de reducir este fenómeno

ha sido a través de la adición de resistencias en serie con la sonda. Conforme íbamos aumentando el valor de la

resistencia, las sobreoscilaciones producidas cada vez eran menores, consiguiendo el objetivo que queríamos.

Además, se ha explicado por qué ocurre esto y cómo el uso de impedancias puramente resistivas afecta al factor

de calidad, disminuyéndolo y haciendo que los picos de resonancia sean cada vez menores. También se ha

obtenido un modelo en PSpice que simulaba el sistema montado en la práctica, obteniendo resultados válidos a

pesar de la interpolación errónea que nos proporciona Matlab, al no mostrar la amortiguación real que se produce

en el sistema.

Por último, se ha estudiado un caso particular de los filtros EMI, el filtro paso de baja. Éste, compuesto por un

condensador y una serie de resistencias ímplicitas en el sistema, sirve para permitir el paso las señales dentro de

un rango de frecuencias determinado (bajas frecuencias en este caso). Como ha ido ocurriendo hasta ahora,

cualquier circuito que contenga, en este caso, un condensador, tendrá propiedades resonantes a frecuencias muy

altas que debemos reducir. Para ello, se han insertado distintas resistencias para ver como, efectivamente, las

ondas sinusoidales mostradas en el osciloscopio presentan cada vez un valor menor, debido a que los picos de

intensidad se hacen también más pequeños. Con todo ello, se ha obtenido un modelo equivalente del filtro en

PSpice y se han realizado las simulaciones pertinentes para comprobar como la resonancia es cada vez menor

conforme aumenta la resistencia. Esta solución tiene una parte negativa, y es que la selectividad de nuestro

sistema cada vez es menor, ya que el ancho de banda aumenta con el valor de la resistencia, por lo cual el filtrado

de señales no sea lo satisfactorio que deseamos, teniendo que buscar una solución de compromiso.

Por último, este trabajo ha servido para comprobar como los fenómenos de resonancia están muy presentes en

el sector tecnológico, que cada vez busca diseñar sistemas más rápidos y complejos pero que en contrapartida

se topa con la aparición de efectos no deseados. Este proyecto ha servido para verificar que es necesario realizar

un estudio teórico extenso previo para comprender por qué ocurren ciertos fenómenos relacionados con la

resonancia electromagnética. De igual manera, se han podido encontrar algunas soluciones sencillas para los

problemas básicos que hemos planteado en el laboratorio y que han tenido un efecto positivo para nuestros

intereses, cumpliendo así uno de los objetivos del trabajo.

85


6 BIBLIOGRAFÍA

[1] Bernal Méndez, Joaquín, Apuntes de la asignatura Propagación de ondas y compatibilidad

electromagnética, Grado Ingeniería Aeroespacial, 2015.

[2] Vega Núñez, Pablo, Medidas en circuitos digitales de alta velocidad, Trabajo Fin de Grado, 2015.

[3] Catalá Camargo, Lucía, Efectos parásitos en condensadores de filtros EMI, Trabajo Fin de Grado, 2015.

Anexos

86

[4] Sobot, Robert, Wireless Communication Electronics, Introduction to RF circuits and Design Techniques,

2012.

[5] Colla, Eugene V, Microwave Cavities, 2015.

[6] Pozar, David M. Microwave Engineering, 2012.

7 ANEXOS

7.1 Función que obtiene los coeficientes de la función exponencial que interpola los valores máximos de tensión de las sobreoscilaciones

for i=1:6 %Creamos un bucle para representar los 6 conjuntos de valores

x=[1 2 3 4 5];

y=[ 0.51 0.3 0.18 0.11 0.06; %conjunto de valores de tensión puestos en filas

0.49 0.28 0.16 0.09 0.06;

87


0.45 0.21 0.11 0.05 0.02;

0.39 0.16 0.07 0.04 0.01;

0.32 0.1 0.05 0.03 0.001;

0.22 0.09 0.02 0.01 0.001];

p=polyfit(x,log(y(i,:)),1); %Creamos los coeficientes de una función exponencial

que interpole nuestros valores

fprintf('exponente a= %2.3f\n',p(1)); %Sacamos por pantalla los coeficientes de

la función exponencial

fprintf('coeficiente c = %3.3f\n',exp(p(2)));

hold on

z=@(x) exp(p(2))*exp(x*p(1)); %Representación de las funciones interpoladoras

fplot(z,[x(1),x(end)])

xlabel('x')

ylabel('V')

grid on

title('Aproximación de las envolventes para las distintas señales')

hold on

end

7.2 Función que obtiene los coeficientes de la función lineal que interpola los coeficientes α en función de los valores de resistencia utilizados

x=[10 20 70 120 200 280];

y=[-9.6e6 -9.7e6 -13.9e6 -15.8e6 -23.2e6 -32e6];

p=polyfit(x,y,1) %obtenemos los dos coeficientes del polinomio y=Ax+b

hold on

z=@(x) polyval(p,x); %evaluamos el polinomio en los puntos del vector x

fplot(z,[x(1),x(end)])

xlabel('R')

ylabel('y')

Anexos

88

grid on

title('Polinomio')

hold off

Trabajo Fin de Grado -...

Documents

Transcript of Trabajo Fin de Grado -...