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TRABAJO ESPECIAL CARRERA DE INGENIERÍA NUCLEAR

ESTUDIO DE TRANSITORIOS EN UN CIRCUITO DE ENRIQUECIMIENTO

María Fernandino

Codirectores Dr. Darío Delmastro

Ing. Daniel Brasnarof

Instituto Balseiro Comisión Nacional de Energía Atómica

Universidad Nacional de Cuyo

Junio 2002

a mi abuelo Angelito

María Fernandino

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Resumen En el presente trabajo se presenta un modelo matemático para la descripción de la dinámica dentro de un circuito cerrado que representa una etapa ais lada de una cascada de enriquecimiento por difusión gaseosa. El modelo analítico es llevado a un modelo numérico e implementado a través de un código de cálculo. Para la verificación del modelo se realizaron mediciones en un circuito experimental ad-hoc utilizando aire como fluido. El mismo fue especialmente instrumentado a fin de poder registrar sus variables termohidráulicas características. Los transitorios medidos fueron simulados contrastándose los resultados numéricos obtenidos contra las mediciones experimentales. Se observó una buena concordancia para los tiempos característicos y las evoluciones de los parámetros hidráulicos. Se analizaron además en forma numérica otros transitorios de separación de dos especies, observándose los tiempos de establecimiento de cada variable, sus comportamientos frente a diferentes transitorios y la redistribución de las concentraciones.

María Fernandino

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Abstract

In the present thesis a mathematic model is presented in order to describe the dynamic behavior inside a closed enrichment loop, the latter representing a single stage of an uranium gaseous diffusion enrichment cascade. The analytical model is turned into a numerical model, and implemented through a computational code.

For the verification of the model, measurements were taken in an experimental circuit using air as the process fluid. This circuit was instrumented so as to register its characteristic thermohydraulic variables. The measured transients were simulated, comparing the numerical results with the experimental measurements. A good agreement between the characteristic setting times and the thermohydraulic parameters evolution was observed. Besides, other transients of two species separation were numerically analyzed, including setting times of each magnitude, behavior of each one of them during different transients, and redistribution of concentrations.

María Fernandino

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Contenido Resumen.................................................................................................1 Abstract..................................................................................................2 CAPÍTULO 1..........................................................................................7

Introducción.....................................................................................7 1.1 Plantas de Difusión Gaseosa....................................................9 1.2 Concepto SIGMA ................................................................. 11 1.3 Diagramación del trabajo ....................................................... 13

CAPÍTULO 2........................................................................................ 14 Modelo ........................................................................................... 14

2.1 - Circuito a modelar ............................................................... 14 2.2 - Hipótesis ............................................................................. 16 2.3 - Modelo del fluido de proceso ............................................... 18 2.4 - Modelo del Difusor.............................................................. 23 2.5 - Modelo del intercambiador de calor...................................... 27 2.6 - Modelo de los compresores .................................................. 31 2.7 - Modelo de las estructuras ..................................................... 33

CAPÍTULO 3........................................................................................ 37 Modelo Numérico........................................................................... 37

3.1 - Método de resolución numérico............................................ 37 3.2 - Discretización y resolución de las ecuaciones........................ 39 3.3 – Obtención del estacionario ................................................... 44 3.4 – Consideraciones numéricas.................................................. 47 3.5 - Implementación del código de cálculo .................................. 48

CAPÍTULO 4........................................................................................ 51 Mediciones Experimentales............................................................. 51

4.1 – Circuito experimental .......................................................... 51 4.2 – Instrumentación................................................................... 52 4.3 – Propagación de errores experimentales................................. 54 4.4 – Cadenas de medición........................................................... 56 4.5 – Puesta a punto de las cadenas de medición ........................... 58

María Fernandino

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CAPÍTULO 5........................................................................................ 64

Verificación experimental ............................................................... 64 5.1 Régimen estacionario ............................................................. 64 5.2 – Regímenes transitorios ........................................................ 69

5.2.1 - Transitorio 1: ingreso de cantidad de masa conocida. ... 70 5.2.2 - Transitorio 2: cambio en la velocidad de giro del compresor lobular. ................................................................. 77

CAPÍTULO 6........................................................................................ 81 Análisis de Transitorios................................................................... 81

6.1 – Agregado de nitrógeno al circuito ........................................ 81 6.2 – Tiempos de establecimiento ................................................. 83 6.3 – Extracción de masa.............................................................. 88

CAPÍTULO 7........................................................................................ 92 Conclusiones .................................................................................. 92

Referencias ........................................................................................... 94 Agradecimientos ................................................................................... 96

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Nomenclatura Se detallan a continuación, los símbolos utilizados para referirse a las distintas variables involucradas en el trabajo:

A área transversal de tubo [m]

CP calor específico [J/kg.K]

CA concentración molar [mol/m3]

CV calor específico a vol. Cte [J/kg.K]

Cestr calor específico de las estructuras [J/kg.K]

Di diámetro interno [m]

De diámetro externo [m]

F fricciones [N/m2]

fDarcy factor de fricciones de Darcy

G flujo másico [kg/m2.s]

G momento total [kg/m.s]

g aceleración de la gravedad [m/s2]

h entalpía específica, [m2/s2]

h coeficiente de convección [W/m2.K]

k conductividad [W/m.K]

K constantes de pérdida de válvulas, etc

M masa [kg] ?

m caudal másico

Nu número de Nusselt

P presión [N/m2]

Pot potencia [W]

María Fernandino

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Pr número de Prandlt

Q potencia calórica [W]

q´ potencia lineal [W/m]

R* constante del aire [m2 /s2.K]

Re número de Reynolds

Ra número de Rayleigh

rpm revoluciones por minuto

St número de Stanton

t tiempo [s]

T temperatura [K]

U coeficiente de convección total [W/m2.K]

V volumen [m3]

W caudal másico [kg/s]

XA fracción molar

z variable espacial [m]

? difusividad térmica [m2 /s]

? coeficiente de expansión [1/K]

?? relación entre CP y CV para el aire

?? incerteza en la medición

? ganancia de enriquecimiento

? viscosidad dinámica [kg/m.s]

? A peso molecular [kg/mol]

? viscosidad cinemática [m2/s]

? P diferencia de presión entre alta y baja [N/m2]

? corte

? ? permeabilidad [mol.s/kg.m]

? densidad [kg/m3.s]

? constante de Boltzmann [W/m2K4]

? t paso temporal [s]

? z paso espacial [m]

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CAPÍTULO 1

Introducción

En los últimos años, el crecimiento de la población mundial y el aumento del nivel de vida ha llevado a un aumento en la demanda de energía eléctrica. La energía nuclear aparece entonces, en particular a partir del año 2000, como una buena alternativa desde el punto de vista ambiental y económico, capaz de satisfacer dicha demanda.

Existen hoy en día más de 400 plantas de producción de energía nucleoeléctrica en el mundo [1], más otras en proceso de construcción. El combustible utilizado es uranio donde sólo el isótopo U235 es físil.

El uranio natural está compuesto en más del 99% por el isótopo 238, mientras

que el isótopo de interés nuclear (U235) sólo se haya presente en un 0.71%1. Dentro de las plantas actualmente en funcionamiento, más del 80% de las mismas [1] requieren de uranio enriquecido entre 3% y 5% en el isótopo 235 para su funcionamiento. Es por ello que se hace necesario el proceso de enriquecimiento.

Existen varios métodos para enriquecer uranio en el isótopo U235, aunque no

todos ellos son económicamente viables a nivel industrial en la actualidad. Las ultra centrífugas, a pesar de haber acumulado un alto grado de experiencia,

aún presentan problemas tecnológicos y económicos. En la actualidad, países como Japón, Holanda, la ex URSS e Inglaterra, poseen plantas de estas características.

La separación isotópica por láser (AVLIS2), luego de pruebas en facilidades

experimentales, no ha llegado a un nivel de desarrollo como para encarar la producción de uranio enriquecido a nivel de planta comercial. El desarrollo de esta tecnología se ha ido cancelando en países como Japón y Estados Unidos, mientras todavía subsiste en Francia (SILVA) y Australia (SILEX) [2].

1 Este porcentaje varía según la región geográfica. 2Atomic Vapor Laser Isotope Separation

CAPÍTULO 1 – Introducción

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Y por último, separación isotópica por difusión gaseosa. Este método lleva ya un

largo tiempo de experiencia en operación y posee la característica de ser poco proliferante debido al largo tiempo de establecimiento ante eventuales reconfiguraciones. Sin embargo, este método no es económicamente competitivo para bajos niveles de producción. Recién a grandes escalas de producción alcanza competitividad económica.

No son muchos los países que poseen la tecnología propia para el enriquecimiento de uranio. A fines de la década del ´70, Argentina desarrolló la tecnología de enriquecimiento por difusión gaseosa. Años más tarde, con el fin de mejorar la tecnología de difusión gaseosa desde el punto de vista económico, nació lo que se denomina el concepto SIGMA [3] (Separación Isotópica Gaseosa por Métodos Avanzados).

Se han realizado varios trabajos para la optimización y caracterización de plantas

tipo SIGMA, todos ellos en régimen estacionario de funcionamiento. Sin embargo, en las plantas de enriquecimiento de uranio por difusión gaseosa,

los transitorios son de gran interés, ya que las mismas presentan un importante transitorio de arranque, que lleva a esperar meses hasta poder obtener a la salida de la cascada la concentración del isótopo de interés deseada. Este tiempo de establecimiento de la cascada es un factor importante para la economía de la planta en la etapa inicial, teniendo también influencia en el aspecto de salvaguarda.

Por otra parte, los transitorios ocasionados por eventuales fallas, como ser un

transitorio de presión por rotura de algún componente o un transitorio térmico, juegan un papel importante en la planta, al igual que en cualquier planta de producción, lo que lleva a introducir modificaciones en el diseño mediante nuevos sistemas auxiliares o de seguridad. Un transitorio de presión podría producir la ruptura de otro componente. Un transitorio térmico, causado por ejemplo por la salida de servicio de una fuente fría presente en toda planta de procesos, podría sacar al proceso de sus condiciones de funcionamiento óptimas o, en caso de un proceso químico por ejemplo, detener el proceso por completo por no darse las condiciones adecuadas.

Por medio del estudio de transitorios, y a través de perturbaciones de las

condiciones de operación, se puede analizar la estabilidad del sistema y sensibilidades frente a las distintas perturbaciones.

Por todos los motivos mencionados en los párrafos anteriores, es que se desea

disponer de un modelo de transitorios validado en una planta SIGMA. Abordar el modelado de transitorios en una planta de estas características, en

donde todas las variables se encuentran acopladas entre ellas y al mismo tiempo entre las diferentes etapas, es demasiado complejo. Primero, es conveniente disponer de un modelo más sencillo y validado, para luego poder extenderlo primero al circuito de ensayos SIGMA y por último evaluar la planta completa.

En este trabajo se abordó el estudio de fenómenos transitorios de variables tales

como presión, temperatura, caudales y concentración en un circuito cerrado que simula


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una etapa aislada de una cascada de enriquecimiento de uranio por difusión gaseosa. Se modelaron todos sus componentes para poder describir la dinámica del circuito en el arranque y frente a distintas perturbaciones. El modelo propuesto fue validado con datos experimentales obtenidos a partir de mediciones de distintos transitorios simulados en un circuito experimental.

1.1 Plantas de Difusión Gaseosa

El método de difusión gaseosa se basa en el diferente comportamiento de las moléculas de los diferentes isótopos de un gas, debido a su diferencia de masa.

En el caso de enriquecimiento de uranio por difusión gaseosa se utiliza UF6

gaseoso (por tener un solo isótopo estable), donde la especie más liviana es el isótopo U235 y la más pesada el U238.

Al gas se lo hace difundir por una barrera porosa o membrana separativa, en

presencia de un gradiente de presiones a ambos lados de la misma. El isótopo más liviano tiene mayor velocidad que el isótopo más pesado y por lo tanto, una mayor probabilidad de incidir en un poro y atravesar la membrana desde el lado de alta presión hacia el de baja presión. De esta forma, la fracción de gas que atraviesa el difusor queda enriquecido en el isótopo más liviano, mientras que el gas remanente en el lado de alta presión posee una mayor proporción del isótopo más pesado con respecto al gas difundido.

Sin embargo, el enriquecimiento que se logra al hacer pasar el gas por un solo

difusor es muy pequeño, por lo que hace falta repetir este proceso un gran número de veces. Para ello, se colocan varios difusores en serie, logrando la configuración de una cascada de enriquecimiento, como se muestra en la Figura 1.1.


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Figura 1.1: Esquema de una cascada de difusión gaseosa convencional.

Cascadas de enriquecimiento

Una cascada de enriquecimiento está conformada por etapas. Cada etapa consta

de cuatro elementos básicos. En primer lugar, el difusor o membrana separativa. Un esquema de la misma puede verse en la Figura 1.2. El gas ingresa al difusor por el lado de alta presión. Parte del gas difunde a través de la membrana hacia el sector de baja presión, y el empobrecido continua su camino saliendo del difusor. La baja presión o depresión es lograda por medio de un compresor colocado aguas abajo de la membrana, del lado del gas difundido, que a su vez devuelve al gas la carga perdida en el proceso de difusión previo ingreso a las etapas de difusión siguientes, recuperando la alta presión que traía antes de atravesar la membrana.


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Figura 1.2: Esquema de un difusor o membrana separativa.

Al gas difundido o de avance se lo hace circular a través de un intercambiador

de calor para remover el calor entregado al gas en la compresión, previo al nuevo ingreso al compresor.

El gas empobrecido o de reciclo es reciclado a la etapa anterior, e inyectado al

flujo de avance que ingresa al difusor. La razón de esta recirculación es puramente económica, ya que de otra manera sería necesaria una mayor cantidad de masa inicial de uranio para obtener la masa deseada de uranio enriquecido. Para impulsar el gas de reciclo, que también sufre una caída de presión por fricción en las tuberías, se utiliza en la mayoría de los casos un compresor de recirculación, lo que hace un total de dos compresores por etapa. Otra solución es colocar un compresor de dos etapas en el flujo de avance, inyectando el caudal de recirculación entre las dos etapas. Esto último tiene un mayor grado de complejidad tecnológica.

1.2 Concepto SIGMA La economía de las plantas de difusión gaseosa convencionales, está gobernada por los costos de capital asociados al gran número de etapas necesarias para alcanzar el enriquecimiento deseado, consumo energético de los compresores (dos por etapa) respecto del nivel de producción, etc. Recién a altos niveles de producción (lo equivalente a proveer de uranio enriquecido aproximadamente a 40 reactores), las plantas de difusión gaseosa llegan a ser económicamente rentables. Con el objeto de disminuir los costos de producción en plantas de difusión gaseosa convencionales, se desarrolló el concepto SIGMA [3] (Separación Isotópica Gaseosa por Métodos Avanzados), luego de un estudio de optimización de las plantas convencionales. El cambio más importante es el reemplazo de compresores de varias etapas por un Compresor Axial Multiflujo. Este compresor maneja flujos de diferente enriquecimiento en paralelo sin ninguna barrera física que los mantenga separados, excepto por unos separadores a la entrada y unos colectores a la salida. Los


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enriquecimientos son muy similares entre sí, y el tiempo de residencia de los flujos en el compresor es corto, manteniendo acotado el mezclado entre las corrientes. Al manejar varios flujos en paralelo, se puede utilizar un único compresor por varias etapas de la cascada. Por ello, las plantas SIGMA agrupan varias etapas en un solo módulo, como puede apreciarse en la Figura 1.3. Con esta implementación se disminuye el número de compresores, con lo que el consumo de la planta se ve significativamente disminuido.

Figura 1.3: Esquema de un módulo SIGMA.

Para incrementar la presión del gas de reciclo, el nuevo diseño implementa inyectores de succión dinámica que reemplazan a los compresores de recirculación de las plantas convencionales, reduciendo el número de componentes, sellos y mantenimiento. Dentro del inyector, el gas de reciclo se junta con el gas difundido de la etapa anterior luego que el mismo haya pasado por el compresor multiflujo. De esta forma, el gas de reciclo aumenta su presión a expensas de la energía entregada por el compresor axial al flujo de avance de la etapa anterior. A la salida del gas difundido a través de las membranas, se colocan intercambiadores de calor de tipo compactos refrigerados con agua, para evacuar el calor entregado por los compresores. Todas estas implementaciones en este nuevo diseño se implementan en una disposición integrada que permiten mejorar la economía de las plantas de difusión gaseosa. Con el objeto de optimizar el diseño de este tipo de plantas, se han realizado modelos de los distintos componentes, junto con códigos validados de diseño 3. Todos estos trabajos han sido realizados en régimen estacionario de operación.

3 Martín Rivarola – Tesis de la carrera de Ingeniería Nuclear, 1998. Pablo Orellano - Tesis de la carrera de Ingeniería Nuclear, 2001.


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1.3 Diagramación del trabajo Se aborda en este trabajo el estudio y modelado de fenómenos transitorios en un circuito cerrado funcionando como una etapa aislada de una cascada de enriquecimiento, como una simplificación al complejo problema de las cascadas de difusión gaseosa.

En el capítulo 2, se describe brevemente el circuito a modelar y se presentan las ecuaciones que modelan la dinámica dentro del mismo. En el capítulo 3 se presenta la discretización de las ecuaciones del capítulo anterior, y su correspondiente resolución numérica. En el capítulo 4, se describe en detalle el circuito experimental utilizado con su respectiva instrumentación, su puesta a punto y los métodos de medición utilizados. En el capítulo 5 se realiza la validación del modelo analítico según las mediciones experimentales, tanto a nivel de estacionarios como regímenes transitorios, simulando los mismos transitorios propuestos en la parte numérica. Se muestran los resultados obtenidos para ciertos transitorios según el modelo numérico y según las mediciones realizadas. En el capítulo 6 se presentan los resultados para algunos transitorios de interés, a partir del nuevo modelo validado. El capítulo 7 reúne las conclusiones del trabajo.

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CAPÍTULO 2

Modelo En este capítulo se presenta un modelo analítico que describe la dinámica dentro de una etapa aislada de una cascada de enriquecimiento de uranio. En primer lugar se describe el circuito a modelar, y luego el modelo planteado para describir la dinámica de variables termohidráulicas como presión, temperatura, caudales y concentraciones molares. Se presentan también los modelos planteados para los diferentes componentes del circuito, como son dos compresores, un difusor, un intercambiador de calor y un modelo para la absorción de calor en las estructuras del circuito y su intercambio con el medio.

2.1 - Circuito a modelar En el Complejo Tecnológico Pilcaniyeu se montó una etapa aislada, representativa de las etapas de una cascada de enriquecimiento de uranio por difusión gaseosa. Sobre este circuito se validó el modelo de transitorios propuesto en este trabajo, empleando aire en lugar de UF6. En la Figura 2.1(a), puede observarse el esquema de conexiones entre las etapas de una cascada, y en la Figura 2.1(b), el esquema de una etapa aislada.

CAPÍTULO 2 - Modelo

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Figura 2.1 (a): porción de una cascada de Figura 2.1 (b): simplificación de una

enriquecimiento. cascada a una sola etapa.

Un esquema del circuito montado en el Complejo Tecnológico Pilcaniyeu, se presenta en la Figura 2.2. El fluido de proceso ingresa al difusor por el lado de alta presión, circulando por la rama de entrada. El gas que difunde a través de los poros de la membrana, ingresa a la rama enriquecida y atraviesa un intercambiador de calor para removerle allí gran parte del calor entregado por los compresores. De ahí es impulsado por un compresor lobular que le devuelve la carga perdida en el proceso de difusión, y lo vuelve a ingresar a la rama de entrada. A su vez, el compresor genera la baja presión del lado difundido de la membrana. El gas que no difundió por la membrana, sale del difusor por la rama empobrecida y es impulsado por un compresor centrífugo que sólo le entrega el impulso necesario para permitirle recircular, para luego unirse al gas proveniente de la rama enriquecida y volver a ingresar al difusor por la rama de entrada.


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Figura 2.2: Circuito sobre el que se planteó el modelo.

2.2 - Hipótesis Para el planteo del modelo de la dinámica dentro del circuito, se recurrió a ecuaciones de conservación de masa, momento, energía y especies. Se disponía además, de mediciones realizadas sobre el mismo circuito en condiciones similares, en régimen estacionario [4]. Se realizaron las siguientes hipótesis: - modelo unidimensional: las ecuaciones de conservación fueron planteadas

considerando una sola variable espacial, en la dirección de avance del fluido. - gas ideal: dadas las condiciones de proceso (presión, masa de gas dentro del circuito

y volumen del circuito), se consideró al aire como gas ideal. Las mediciones de las que se disponía fueron utilizadas para comprobar la validez de esta hipótesis.

- flujo incompresible: dado que no es de interés de este modelo describir fenómenos

rápidos como pueden ser ondas de choque en el circuito, y que las velocidades involucradas son mucho menores que las del sonido, se consideró al flujo como incompresible desde este punto de vista. Es decir, no se tomó en cuenta la característica de compresibilidad para el planteo de la conservación de momento.


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- difusión isoentálpica: en las mediciones anteriores de las que se disponía y en el

modelo planteado a partir de ellas en un trabajo anterior(I), se observó que la entalpía por unidad de masa permanece constante luego del proceso de difusión.

- modelo cero dimensional para las estructuras: se modelaron las estructuras con una

única temperatura en cada nodo, con distribución uniforme e instantánea del calor absorbido en el mismo. Esto pudo realizarse debido al pequeño espesor de las estructuras.

- dos únicas presiones en el circuito: también basándose en las mediciones del trabajo

anterior a éste, se consideraron sólo dos presiones. Una presión para el lado de alta presión (rama de entrada y rama depletada), y otra presión para el gas difundido (rama enriquecida). O lo que es lo mismo, se despreciaron las pérdidas de carga por fricción en las cañerías, concentrando dichas pérdidas en el proceso de difusión. En el trabajo anterior se observó que la mayor pérdida de carga se producía cuando el fluido atravesaba la membrana porosa, haciendo despreciables a las demás pérdidas. Las pérdidas de carga por fricción también se consideran despreciables si se las compara con la diferencia de presión a ambos lados del difusor, sostenida por los compresores.

Así, quedan definidos dos circuitos: una de alta presión y uno de baja presión,

circuito I y II respectivamente. Sin embargo, a pesar de haber considerado una presión uniforme a lo largo de las distintas ramas, sí se consideraron pérdidas de carga a lo largo del circuito para poder cerrar el balance de momento.

Figura 2.3: el circuito completo queda dividido en dos circuitos con una presión uniforme en cada uno.


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2.3 - Modelo del fluido de proceso En un proceso de enriquecimiento de uranio por difusión gaseosa, se utiliza hexafloruro de uranio gaseoso (UF6) como fluido de proceso. Debido a las complicaciones que conlleva la manipulación de este gas, en este caso se trabajó con aire atmosférico circulando dentro del circuito. La separación isotópica en este caso, consiste en separar nitrógeno (N2) de oxígeno (O2). Para resolver la dinámica del circuito se recurrió al planteo de ecuaciones de conservación en un volumen de control: ecuación de conservación de masa, energía, momento, especies, y una ecuación de conservación de masa total dentro del circuito. Las ecuaciones de conservación fueron planteadas en forma diferencial y luego integradas en volumen, excepto por la ecuación de momento que fue integrada en una trayectoria a lo largo de todo el circuito. La conservación de energía [5] queda expresada en forma diferencial como

tP

Aq

zh

Gth

??

??

???

???

? (2.1)

donde ? es la densidad del fluido, h la entalpía específica, G el caudal másico por unidad de área, q´ la potencia disipada por unidad de longitud, A el área de pasaje y P la presión. La variable temporal está representada por t y la espacial por z.

Como se mencionó anteriormente, se trabajó con las ecuaciones integradas en volumen, obteniendo para la conservación de energía luego de la integración:

tP

VVAq

hhGAth

V oininin ??

??

?????

)(? (2.2)

donde V es el volumen, el subíndice “in” representa los flujos de entrada al volumen de control de cada magnitud, y “o” los de salida. La conservación de masa [6] en forma diferencial se expresa como

0???

???

zG

t?

(2.3)

Integrando al ecuación (2.3) en volumen, se obtiene

ooinin AGAGt

V ?????

(2.4)

También se hizo uso de la ecuación de gases ideales,


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TR

P?

?? (2.5)

con R* la constante del gas utilizado (aire), y T la temperatura del mismo. La ecuación diferencial de conservación de momento [7] es

zP

zP

gz

GtG

fricción ??

???

????

??

??

???

cos)/( 2

(2.6)

con ? el ángulo entre la dirección de avance del fluido y la dirección vertical, g la aceleración de la gravedad, y ?P/?Zfricción las pérdidas de carga por fricción en el circuito. Resolver la ecuación (2.6) numéricamente, implica tener que utilizar un paso de tiempo del orden de la velocidad del sonido en el medio. El objetivo del trabajo, como se dijo en la sección 2.2, no es tratar con transitorios tan rápidos. Para permitir un aumento en el paso de tiempo tomado y disminuir el excesivo tiempo de cálculo de máquina, se integra la ecuación (2.6) en una integral de línea a lo largo de todo el circuito, en la dirección de avance del fluido [8]. De esta forma se obtiene

FPdtGd

???ˆ

(2.7)

con F las pérdidas por fricción, ? P en este caso el impulso entregado por los compresores, y G el momento total. Este último se define como la integral de línea de los caudales a lo largo de todo el circuito, en la dirección de avance del fluido. Es decir, ?? dzGG .ˆ (2.8)

Al realizar esta integral, se está suponiendo que la densidad es una función dependiente de la entalpía del fluido y de una presión de referencia P* considerada constante a lo largo de la solución del problema, análogo a considerar un cuerpo rígido, incompresible [8]. Por lo tanto, un cambio en la velocidad local o en la presión local, se propaga con velocidad infinita a lo largo del fluido. La característica de compresibilidad se toma en cuenta cuando se utiliza la ecuación de energía (2.2), donde la variación de la temperatura se toma punto a punto, haciendo variar la densidad de igual manera. Volviendo a la ecuación de momento integrada (2.7), las pérdidas por fricción F a lo largo de todo el circuito incluyen pérdidas de carga puntuales y distribuidas: ? ???? distpunt PPF (2.9)


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Las pérdidas de carga distribuidas se refieren a la pérdida de carga por rozamiento del fluido con las paredes de los caños [9], y pueden expresarse como

?2

2GKP caño

dist ?? (2.10)

con Kcaño dado por

nti

Darcycaño D

LfK ? (2.11)

donde Dint es el diámetro interno del caño, L la longitud del mismo y f el factor de fricción de Darcy, función del número de Reynolds, del espesor y rugosidad del caño: ),(Re, rugeff DarcyDarcy ? (2.12) Las pérdidas de carga puntuales ? Ppunt hacen referencia a las pérdidas debidas al pasaje del fluido por un codo, una juntura, expansiones o contracciones. Se expresan como [9]

?2

2KGPpunt ?? (2.13)

con K en este caso, representando el coeficiente de pérdida correspondiente a un codo (90º o 45º), una juntura, contracción o expansión, dependiendo el caso. ? P es el impulso entregado por los compresores al fluido. El mismo se obtiene a partir del modelo planteado para cada compresor, los cuales se presentan en la sección 2.6 de este capítulo. Dejando la ecuación de momento y volviendo a la ecuación de energía (2.2), vemos que la misma está acoplada con las presiones, y dado que no se resuelve la ecuación de momento teniendo en cuenta la variación temporal de presiones, se requiere de una ecuación extra para cerrar el sistema. Para obtener esta ecuación, se plantea una conservación de masa total. Si proponemos dos circuitos, determinados por las dos presiones consideradas en las hipótesis (ver Figura 2.3), se tiene en cada caso, un volumen con una entrada y una salida de masa. Así, es posible plantear para cada circuito: ? ? MtotV ii ? (2.14) donde la sumatoria se realiza sobre todos los nodos del circuito. Derivando respecto al tiempo,


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? ??? oini

i WWdt

dMtotdt

dV

? (2.15)

con Win y Wout los caudales másicos de entrada y salida respectivamente. Si se desarrolla la derivada temporal de la densidad en las variables de interés (la entalpía h y la presión P), se obtiene

? ????

???

???

??

???

??

oiniiii WW

tP

Pth

hV

?? (2.16)

Debido al hecho de que se considera una sola presión constante a lo largo de cada circuito, se tiene que

tP

tPi

??

???

(2.17)

donde P es la presión del circuito que se esté considerando. De esta forma se obtiene otra ecuación, que si se observa con atención, se puede obtener el mismo resultado de desarrollar la ecuación de conservación de masa (2.3) en volúmenes de control diferenciales Vi, planteando la ecuación para cada volumen y realizando la suma de todas las ecuaciones obtenidas. Para el modelado de la dinámica de las concentraciones, se plantea la conservación de especies:

outAgAinAA

A MMMdt

dMM ,,,

????

???? (2.18)

donde A es la especie a considerar. Los subíndices in y out se refieren al flujo másico que ingresa al volumen de control y el que sale del mismo respectivamente. La derivada temporal de MA se refiere a la tasa de cambio en al cantidad de masa de la especia A.

gaM ,

? representa la tasa de generación de masa, que en este caso es cero ya que no se producen reacciones químicas que produzcan o destruyan moléculas de la especie en cuestión. En una mezcla de especies, se pueden definir tres parámetros para caracterizar cada una de las especies: Concentración molar CA, [CA] = mol/m3 Peso molecular ? A, [? A] = kg/mol Densidad ? A, [? A] = kg/m3


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Estas tres magnitudes se encuentran relaciones mediante la expresión ? ? ?????????????????????????????????????? A = ? A.CA (2.19) Con esta relación, la tasa de variación de cantidad de masa de la especie A puede escribirse como

dt

dCV

dtd

Vdt

dM AA

AA ??

?? (2.20)

Otra forma de expresar la concentración de una especie es a través de la fracción molar

CC

X AA ? (2.21)

donde CA representa la cantidad de moles de la especie A por unidad de volumen, y C la cantidad de moles de toda la mezcla por unidad de volumen. La tasa de entrada de masa de la especie A al volumen de control considerado queda expresada como

?

? AininA mM .,

??

? (2.22)

con inm?

el caudal másico de entrada en [kg/seg]. Escribiendo la expresión (2.22) en función del caudal por unidad de área G, y de las concentraciones molares, se obtiene

in

inAAinininA

CAGM

?

? ,, ?

?

(2.23)

con Ain el área de entrada al volumen de control. Finalmente, reacomodando la ecuación (2.23), para escribir el caudal de la especie A en función de los moles de entrada al volumen de control, se tiene

inAin

AinininA C

AGM ,,

??

??

(2.24)

donde ? A es la masa molar de la especie A ingresando al volumen de control. Análogamente,

outAout

AoutoutoutA C

AGM ,,

??

??

(2.25)


María Fernandino

23

Para el presente modelado y simulación de transitorios, se considera aire atmosférico como fluido de proceso. Se realiza la aproximación de que dicho aire está compuesto en 79% por nitrógeno gaseoso y el 21% restante es oxígeno gaseoso, despreciando en principio gases que se encuentran también presentes como argón (presente en 0.934%), seguido en nivel de concentraciones, por el dióxido de carbono (presente en 0.033%). Los demás gases se encuentran en menores proporciones. Reemplazando las expresiones (2.20), (2.24) y (2.25) en la ecuación de conservación (2.18), y tomando como especie A al N2 y como fluido contenedor de proceso al aire atmosférico, se obtiene la ecuación de conservación para el N2,

222 Noutaire

out

outaireoutN

inairein

inaireinN C

AGC

AGt

CV

????

??

(2.26)

En el caso del nodo del difusor se tiene un término de salida de moles por m3 extra, sumado al último término de la ecuación (2.26).

A partir de las propiedades del difusor (ganancia de enriquecimiento ?) se puede obtener la fracción molar de la especie A (nitrógeno) que difunde a través de la membrana, como se verá en la siguiente sección 2.4.

Para poder obtener esa masa de la especie A difundida en unidades de moles por m3 y poder introducirlo de esta forma en la ecuación (2.26), es necesario conocer la masa molar de la mezcla a la entrada y a la salida del lado enriquecido del difusor. Dado que la mezcla se enriquece en la especie A, la masa molar de dicha mezcla cambia con el tiempo. La masa molar de la mezcla puede escribirse para cada paso de tiempo, como 2222 OONNaire XX ??? ???? (2.27) donde ? N2 y ? O2 son constantes para todo instante. Las fracciones molares XN2 y XO2 pueden obtenerse a partir de la expresión (2.21), donde CA representa a la concentración molar de la especie considerada y C la del aire en ese mismo lugar.

2.4 - Modelo del Difusor Para poder conocer las condiciones del fluido difundido a la salida de la membrana a partir de las condiciones del flujo a la entrada de la misma, es necesario recurrir a parámetros característicos del difusor, que se determinan a partir de sus propiedades físicas. Estos parámetros son la permeabilidad y la ganancia de enriquecimiento.


María Fernandino

24

En el proceso de difusión gaseosa a través de una barrera porosa, pueden distinguirse dos tipos de flujos si el radio de poro es del orden del camino libre medio de las moléculas. Por un lado, al aplicar una diferencia de presiones en un conducto (cada poro es considerado como un conducto cilíndrico), el gas se comporta como un medio continuo frente a un gradiente de presiones. En este caso, el caudal depende de la diferencia de los cuadrados de las presiones. Este flujo de tipo viscoso se denomina flujo Poiseuille, y depende de la existencia de un gradiente de presiones. Por otro lado, al estar en la condición de radio de poro del orden del camino libre medio de las moléculas, también se distingue un flujo a nivel molecular, denominado flujo Knudsen. Por principios estadísticos de la teoría cinética de gases, las moléculas más livianas tienen mayor probabilidad de alcanzar las paredes para ingresar a uno de los conductos, por poseer una mayor velocidad. El flujo Knudsen considera que las moléculas que ingresan al conducto, sólo pasan de la zona de alta presión a la de baja presión. Este flujo depende de la diferencia de las presiones. Teniendo en cuenta estos dos comportamientos del fluido, viscoso y molecular, se validó en un trabajo anterior a éste [10] un modelo para la permeabilidad de la membrana, que fue utilizado en este trabajo. La permeabilidad se define como el caudal molar que difunde por la membrana por unidad de área de membrana y de diferencia de presión. La permeabilidad queda así expresada como

difAPN.?

??

?

(2.28)

donde ?N es el caudal molar, ? P la diferencia de presiones a ambos lados de la pared

porosa, y Adif el área de difusión de la membrana. Es decir, que conociendo la permeabilidad para unas dadas condiciones de proceso, se puede encontrar el caudal que difunde por la membrana como

? ?A

APsmkgG airedif

mem

?.../ 2

??? (2.29)

con ? aire la masa molar del aire y A el área transversal de avance del fluido por el difusor. El modelo de permeabilidad utilizado, es el que se muestra en la ecuación (2.30), que considera un término debido al flujo Poiseuille, un término debido al flujo Knudsen y un tercer término de deslizamiento, que considera el resbalamiento en las paredes del difusor.


María Fernandino

25

? ? P

p

K

s

kS

kS

kK

K

k

TRe

rP

Cr

r

rTRMer

??

???

??

??

??

?

?? ?

???

?????

????

?

?

????

?

?

???

???

??? ??

??

???

??? ??

???????

????816

3

11238

2

2/1

(2.30)

con ? la porosidad, r el radio de poro, T la temperatura del fluido al ingresar al difusor, ? K, ? S, y ? P coeficientes de corrección por efectos de pared de los poros al difusor ideal, ? el camino libre medio de las moléculas, <P> la presión media según la presión de alta y de baja, ? la viscosidad y e el espesor de la membrana. De esta manera, con las ecuaciones (2.29) y (2.30) se puede obtener el caudal que difunde a través de la membrana. En lo que respecta a la temperatura del fluido a la salida del difusor, se recuerda que una de las hipótesis realizadas para el planteo del modelo fue la de difusión isoentálpica. Esta hipótesis fue realizada basada en las mediciones de las que se disponía sobre el mismo circuito en régimen estacionario. Así, se tiene que

memoutmemin hh ,, ? (2.31) donde hin,mem es la entalpía del fluido entrando al difusor, y hout,mem la entalpía saliendo del mismo. Para calcular la concentración de N2 dentro del gas difundido, se recurre a otra de las dos magnitudes más importantes en lo que es difusión gaseosa: ganancia de enriquecimiento. La misma se define [11] como

1

)1(

)1(

,

,

,

,

?

?

??

inA

inA

enrA

enrA

XX

XX

? (2.32)

y representa la abundancia relativa de la especie de interés a la salida del difusor respecto de la entrada al mismo. En la expresión (2.32), XA,enr se refiere a la fracción molar de la especie de interés A una vez difundido el gas, y XA,in a la fracción molar antes de ingresar al difusor. Existe una máxima ganancia de enriquecimiento alcanzable y la misma se obtiene si no se considera ni la retrodifusión de moléculas, ni el empobrecimiento de la corriente en la dirección axial de la membrana (dirección de avance del fluido a través de la misma), ni el efecto de la capa límite de masa cerca de las paredes porosas. Esta ganancia de enriquecimiento teórica se puede expresar como

? ? ??

???

????? 11

1

2

??

?? (2.33)


María Fernandino

26

donde ? 2 y ? 1 son las masas molares de la especie más pesada y más liviana respectivamente. ? es el corte, o sea, la relación entre el caudal molar difundido y el que ingresó al difusor. Para obtener la ganancia de enriquecimiento de un difusor real, se aplican tres factores correctivos a la ganancia teórica [12], respondiendo a los efectos no tomados en cuenta para hallar la ecuación (2.33): ZSFC ...?? ?? (2.34) FC es el factor de corte, y corrige a ?* por el empobrecimiento de la corriente en la dirección axial del difusor. Este factor depende del corte de la etapa (relación entre caudal difundido y caudal que ingresa al difusor). El factor de presiones S corrige a ?* ya que la presión del lado del gas difundido no es despreciable frente a la alta presión del lado de entrada al difusor, y sí existe flujo de moléculas del lado enriquecido al de entrada. Y el factor aerodinámico Z realiza una corrección por el empobrecimiento del flujo en la dirección radial del área de pasaje de la membrana (capa límite de masa). Teniendo el valor de la ganancia de enriquecimiento ?, se puede obtener la concentración del flujo difundido a partir de la ecuación (2.32), obteniendo:

? ?

inA

inAenrA X

XX

,

,, 1

1??

??

? (2.35)

que expresado en términos de concentraciones molares para el N2 en aire, queda

? ?airedif

airein

Nin

airein

Nin

Ndif C

CCCC

C ??

?? 2

2

2

1

1

?

?

(2.36)

A partir de las expresiones (2.35) y (2.36) se pueden obtener las concentraciones de N2 en el aire que atraviesa el difusor.


María Fernandino

27

2.5 - Modelo del intercambiador de calor El intercambiador de calor utilizado es de tipo compacto de múltiples pasadas, con tubos aleteados del lado carcaza y flujo cruzado. Se utiliza agua como refrigerante. Para el modelado del intercambiador, se utilizó el método NTU [13], dividiendo al intercambiador en porciones más pequeñas, una por cada pasada de tubos. Teniendo los caudales de entrada tanto del gas como del agua refrigerante y sus respectivas temperaturas de entrada, junto con las dimensiones geométricas del intercambiador, se obtiene la potencia removida por el refrigerante sin utilizar un método iterativo como implicaría el método de la temperatura logarítmica media. Realizando un balance de energía tanto del lado del tubo (agua) como del lado carcaza (aire), se tiene que las temperaturas de cada fluido a la salida del intercambiador son

aireaire

inaireoutaire

Cpm

QTT ??? ,, (2.37.a)

agag

inagoutag

Cpm

QTT ??? ,, (2.37.b)

donde ?

m son los caudales másicos, Cp los calores específicos, Tin las temperaturas de entrada al intercambiador y Tout las de salida. Los subíndices “aire” y “ag” indican las magnitudes referidas a cada fluido. Q es la potencia removida por el refrigerante.

Con el fin de considerar la inercia térmica del aire en el intercambiador al igual que en el resto del circuito, la temperatura de salida del aire no se calculó directamente de las expresiones (2.37), sino que se aplicó el mismo balance de energía (2.2) en este nodo.

Al término de potencia lineal de la ecuación (2.2) se le agregó la potencia

removida por el refrigerante en el intercambiador. Definiendo la eficiencia del intercambiador como la relación entre el calor extraído por el mismo y el máximo calor posible de extraer, puede expresarse a dicha potencia Q como max.QQ ?? (2.38) con ? la eficiencia del intercambiador y Qmax la máxima potencia que podría removerse. Qmax se calcula como ? ?cihi TTCQ ?? minmax (2.39)


María Fernandino

28

con Thi y Tci las temperaturas de entrada del aire (fluido caliente) y del agua (fluido frío) respectivamente. Cmin se refiere al fluido con menor relación

?

? mCpC .min (2.40) La eficiencia ? puede obtenerse a partir de una relación funcional con el número NTU [14], según la geometría del intercambiador. Este número adimensional se define según la relación (2.41), a partir de coeficiente de convección total U, el área de intercambio total A y el Cmin ya mencionado.

minC

UANTU ? (2.41)

El coeficiente de convección total puede hallarse a partir de la expresión

? ?

aireaireagag AhkLDi

Do

AhUA 0ˆ

12

ln

ˆ11

????? (2.42)

donde los tres términos representan las resistencias de convección y de conducción de calor (esta última, el término central). Do y Di son los diámetros externo e interno, h representa los coeficientes de convección, L el largo de los tubos, y k la conductividad de los mismos. El carácter ? 0 se denomina eficiencia total y corresponde a la eficiencia de la superficie aleteada para remover el calor (lado carcaza). Esta eficiencia puede escribirse como

? ?ff

A

A?? ??? 110 (2.43)

donde Af es el área de transferencia correspondiente solo a las aletas, y A es el área total de transferencia. ? f es la eficiencia de una sola aleta, dada por

? ?

a

af mL

mLtanh?? (2.44)

con 2/12

???

????

kth

m

h: coeficiente de convección t: espesor de las aletas k: conductividad La: longitud de la aleta


María Fernandino

29

Para poder calcular el coeficiente de convección total, es necesario calcular previamente los coeficientes de convección del lado tubo ( agh ) y del lado carcaza

( aireh ).

Para el lado agua o lado tubo, se tiene

ag

ag Dm??

?

?4

Re (2.45)

donde ? ag es la viscosidad, y con lo que a partir de la correlación de Dittus Boelter [15] para el número de Nusselt, 4.08.0 Pr.Re023.0 agNu ? (2.46) se puede calcular el coeficiente de convección agh del lado tubo:

D

kNuh ag

ag ?ˆ (2.47)

Para el lado gas o lado carcaza, se tiene el caso de intercambiadores compactos, para lo que se define al caudal por unidad de área como

ffA

mVG

?

?? max.? (2.48)

donde Vmax es la máxima velocidad que alcanza el fluido entre los tubos según su esquema de ubicación (alineados o staggered), ? es la densidad del gas y Aff la mínima área de pasaje que ve el fluido. Con este caudal así definido se calcula el número de Reynolds

aire

haireaire

DG?

?Re (2.49)

con Dh el diámetro hidráulico y ? la viscosidad. Los coeficientes de convección para este tipo de intercambiadores se encuentran tabulados, o se obtienen a partir de gráficos del factor jH de Colburn en función del número de Reynolds, como se muestra en la Figura 2.4.


María Fernandino

30

Figura 2.4: Factor de Colburn en función del número de Reynolds. El factor de Colburn [16] puede escribirse como

3/2Pr.StjH ? (2.50) con el número de Stanton definido como

CpGh

St.

ˆ? (2.51)

y Pr el número de Prandlt. G es el caudal másico por unidad de área, CP el calor específico y h el coeficiente de convección. A partir del ajuste de la curva de jH en función del número de Reynolds, se puede obtener el coeficiente de convección para el lado carcaza

3/2Pr(Re)..ˆ H

aire

hCpGh ? (2.52)

De esta forma, se tienen ambos coeficientes de convección para calcular el coeficiente de convección total U, y así tener el valor de la eficiencia ? a partir de la relación con el NTU, y finalmente poder obtener la potencia removida al gas en el intercambiador, mediante la expresión (2.38). Dicho valor se introdujo en el término de potencia lineal de la ecuación (2.2) de balance de energía en el tramo del intercambiador de calor.


María Fernandino

31

2.6 - Modelo de los compresores El modelo de los compresores se planteó a partir de las curvas características de los mismos. El comportamiento típico según sus curvas características, se muestra en la Figura 2.5.

Figura 2.5: comportamiento de uno de los compresores utilizados. De dichas curvas se obtuvo una expresión para el caudal volumétrico de salida en función de la velocidad de giro del compresor (rpm) y de la diferencia de presión entre la entrada y la salida del mismo: ? ?PrpmQQ ?? , (2.53) con Q expresado en unidades de [m3/h]. Dada una diferencia de presiones a cada lado del compresor y fijado un dado número de vueltas, el compresor entrega un dado caudal a la salida. Dado que los compresores realizan trabajo sobre el fluido, el compresor produce un aumento de la temperatura de salida del gas con respecto a la temperatura de entrada. Desde este punto de vista, los compresores fueron considerados como fuentes de energía para el fluido de proceso. La temperatura del fluido a la salida del compresor, puede ser calculada a partir de un balance de energía y considerando una dada eficiencia para el compresor, obteniendo para la potencia calórica entregada por el compresor al fluido [17],

? ????

?

?

???

?

????

?

????

??

??

1..

1?

?

? in

outin

PPT

CpmWPot (2.54)

0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.122.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

720 rpm 660 rpm 600 rpm 520 rpm

Q [U

A]

? P [UA]


María Fernandino

32

donde ?

m el caudal másico de entrada al compresor, Cp el calor específico del fluido y Pout y Pin las presiones a la salida y a la entrada del compresor, ? la eficiencia, y ? la relación de calores específicos a presión y volumen constantes para el aire. La temperatura de salida del gas se calcula a partir de la expresión (2.54), y debido a la importante masa de hierro del compresor, a partir de las pérdidas de el calor en dicha estructura:

? ? ? ?? ?estrucinoutinin TTUAPothhmth

V ??????? ?

? (2.55)

donde Tout y Tin son las temperaturas del fluido a la entrada y a la salida del compresor, Testr la temperatura de la estructura del compresor, UA el coeficiente de convección por

el área de intercambio, y ?

m el caudal de entrada al compresor. El coeficiente de convección por al área de intercambio efectivos UA, fueron obtenidos a partir de las mediciones realizadas, obteniendo una función dependiente del número de Reynolds y de Prandlt, que a la vez dependen del caudal impulsado por el compresor. La curva obtenida se muestra en la Figura 2.6. La dependencia funcional con el número de Reynolds y de Prandlt viene de calcular el número de Nusselt a partir de la correlación de Dittus Boelter para la obtención de dicho número adimensional.

Figura 2.6: ajuste del coeficiente UA del compresor lobular.

A partir de estas ecuaciones, se pueden obtener las condiciones del fluido (caudales y temperaturas) a la salida de los compresores.

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

20

40

60

80

mediciones fiteo

UA = 6 * (Re0.8. Pr0.3 )1/2

UA

[W/K

]

Re0.8.Pr0.3


María Fernandino

33

2.7 - Modelo de las estructuras Las estructuras juegan un papel importante desde el punto de vista del balance de energía, mediante la absorción y las pérdidas de calor al medio, ya que el circuito sobre el cual se planteó el modelo opera a una temperatura mayor a la del ambiente que lo rodea. Es posible entonces que la inercia térmica de las estructuras influya en forma apreciable en la dinámica dentro del circuito. Para el modelado de las absorciones y pérdidas de calor, y tal como se dijo en la sección 2.2 (“Hipótesis”), se tomó un modelo cero dimensional donde las estructuras alcanzaban una temperatura homogénea en cada nodo en forma instantánea. Además de los caños de material metálico que conforman el circuito, se puede encontrar en este último una importante estructura metálica en lo que respecta a su masa. La misma es la que cubre y sostiene al difusor. Debido a su gran masa, la inercia térmica de esta estructura será importante en la dinámica final del circuito, incluido el fluido de proceso. Para el modelado de la dinámica de absorciones y pérdidas de calor por parte de las estructuras, se planteó un balance de energía, como se esquematiza en al Figura 2.7.

Figura 2.7: Balance energético en las estructuras.

El mecanismo por el cual el calor es depositado desde el fluido de proceso en las estructuras es el de convección forzada. A través del proceso de convección natural y radiación (emisión y absorción), las estructuras intercambian calor con el medio. Y por último, cada estructura intercambia calor mediante conducción con las estructuras vecinas.


María Fernandino

34

De esta manera, el balance de energía en las estructuras queda expresado como

??

?? outinestr

estrestr QQdt

dTCM (2.56)

donde Mestr es la masa de la estructura, Cestr el calor específico de la misma y Testr su

temperatura. ?Q representa la tasa de transferencia de energía ( [J/seg] ) hacia la

estructura con el subíndice in y desde la estructura con el subíndice out. La transferencia de calor desde el fluido a las estructuras es debido a convección interna:

? ?estraire TThAQ ???

int,intintintˆ (2.57)

donde Aint representa el área de intercambio interna, Taire,int la temperatura del fluido y

inth el coeficiente de convección interno. Este coeficiente se obtiene a partir del cálculo del número de Nusselt, este último a su vez, a partir de correlaciones para flujo interno laminar o turbulento según corresponda el caso [18],

D

kNuh D?intˆ (2.58)

Si el régimen es laminar, el número de Nusselt es constante. Si en cambio se está en régimen turbulento, se utiliza la correlación de Dittus Boelter para calcular el número de Nusselt. La disipación de energía por las estructuras al medio, se realiza mediante el proceso de convección natural y radiación,

radnatout QQQ???

?? (2.59)

La energía disipada al medio a través de convección natural se expresa como

? ?ambestrextextnat TThAQ ???

ˆ (2.60) con Tamb la temperatura del medio, Aext el área de intercambio externa, y exth el coeficiente de convección debido a convección natural. Para obtener este coeficiente, se calcula primero el número de Nusselt a través de correlaciones para convección natural alrededor de cilindros horizontales [19] representados por los caños del circuito:


María Fernandino

35

? ?

2

27/816/9

6/1

Pr559.01

387.060.0

????

?

?

????

?

?

???

??? ?

?? DD

RaNu (2.61)

En el caso del nodo del difusor, se utiliza la correlación del Nusselt análoga para placas verticales. El número de Rayleigh RaD se define como

? ?

? ?

? 3sup DTTg

Ra ambD

?? (2.62)

con D el diámetro del cilindro (altura del difusor, en el caso de la correlación correspondiente a la placa vertical), ? el coeficiente de expansión definido como 1/T[K] para gases ideales, Tsup al temperatura de la superficie, ? la viscosidad cinemática, ? la difusividad térmica, g la aceleración de la gravedad y Tamb la temperatura ambiente. Las pérdidas al medio y absorciones desde el mismo mediante radiación, se pueden escribir como

? ?44surrestrextrad TTAQ ??

?

?? (2.63) con ? la emisividad de la superficie, ? la constante de Boltzmann, y Tsurr la temperatura de las superficies del medio. El término de intercambio de calor entre las estructuras por medio de conducción entre los diferentes nodos, se escribe como

? ?vecinaestrestrefectivos

cond TTLA

kQ ,????

(2.64)

con k la conductividad, A el área transversal a la dirección de flujo de calor, L la longitud del nodo y Testr,vecina la temperatura de la estructura vecina. Reemplazando las ecuaciones (2.57), (2.60), (2.63) y (2.64) en la ecuación de balance (2.56),

? ? ? ?????? vecinaestrestrestraireestr

estrestr TTL

kATThA

dtdT

CM ,int,intintˆ

? ? ? ?ambestrextextsurrestrext TThATTA ???? ˆ44? ? (2.65)


María Fernandino

36

se obtiene la expresión que describe la dinámica energética de las estructuras. En el circuito utilizado para la validación del modelo, se distingue una estructura en lo que respecta a su gran masa. Esta estructura es la que sostiene al difusor. Debido a su masa, será de gran importancia en la dinámica térmica del problema, a causa de la inercia térmica que posee. Otra estructura importante desde el punto de vista térmico, es la masa del compresor. Esta estructura también es de importancia en la dinámica térmica del sistema. Las demás estructuras se refieren a los tubos de acero que componen el circuito, todos de pequeño espesor.


CAPÍTULO 3

Modelo Numérico En el presente capítulo se presenta el modelo numérico resultante de la discretización de las ecuaciones del capítulo anterior. Se describe el método elegido para la discretización, y la forma de resolución del sistema resultante.

3.1 - Método de resolución numérico El sistema de ecuaciones planteado en el capítulo anterior, se resuelve mediante el método de diferencias finitas, con un esquema up-wind de discretización espacial y un esquema explícito en la integración temporal [20]. El esquema up-wind de discretización espacial implica cons iderar que las propiedades a la salida del volumen de control son las mismas que las de su interior.

Para la integración temporal se utilizan las propiedades del sistema al tiempo anterior. Sin embrago, y como se verá a partir de la discretización de las ecuaciones en la sección 3.2, el esquema de resolución obtenido no es completamente explícito, necesitándose realizar algunas iteraciones para el cálculo.

Antes de realizar la nodalización del circuito, se divide a este último en dos partes: un circuito de alta presión (PI) y uno de baja presión (PII). Esta división surge a partir de la hipótesis realizada de considerar sólo dos presiones a lo largo del circuito. Quedan así definidos dos problemas. Uno es el circuito de alta presión, circuito “cerrado” con una entrada y una salida, y el otro corresponde al circuito de baja presión, circuito abierto con una entrada y una salida.

Como se muestra en la Figura (3.1) se nodalizaron ambos circuitos en la

dirección de avance del fluido, comenzando con el nodo 0 en el circuito de alta presión. Luego de recorrer todo este circuito, se continua nodalizando el circuito de baja presión comenzando por el nodo contiguo al de difusión del lado enriquecido, también en la dirección de avance del fluido.

CAPÍTULO 3 – Modelo Numérico

María Fernandino

38

Figura 3.1: El circuito dividido en dos, circuito de alta presión

y circuito de baja presión, y sus respectivas nodalizaciones.

Para la resolución de las ecuaciones en los diferentes nodos, se comienza resolviendo las mismas en el nodo 1 (siguiente al de la juntura o “T”), hasta llegar al nodo de difusión.

Allí, y de acuerdo a las propiedades físicas de la membrana y condiciones del

resto del sistema antes y después de dicha membrana, se trata al difusor como un sumidero de masa y energía. Es decir, las cantidades que difunden de acuerdo a las condiciones ya mencionadas, son en realidad absorbidas por el sumidero si se lo mira desde el circuito de alta presión; estas magnitudes desaparecen del mismo.

Una vez calculadas las cantidades perdidas por el circuito de alta presión en el

difusor, se prosigue con el cálculo a lo largo del mismo circuito hasta llegar al nodo anterior al de la juntura o “T”. Antes de cerrar los balances en el circuito de alta presión, es necesario resolver el otro circuito para tener las condiciones al final del mismo. Para ello, se considera al difusor como una fuente de masa y energía que entrega al circuito de baja presión todo lo que absorbió del otro. Es decir, el nodo de difusión hace de condición de contorno para el circuito de baja presión. Se continua entonces calculando las propiedades en los diferentes nodos del circuito de baja presión.


María Fernandino

39

Una vez calculadas las condiciones en el nodo del compresor lobular (último

nodo de este circuito), se está en condiciones de cerrar los balances en el circuito de alta presión en el nodo de la juntura, terminando así el cálculo de un dado paso temporal.

3.2 - Discretización y resolución de las ecuaciones

Para resolver la dinámica dentro del circuito, se resuelve por un lado la ecuación de energía (2.2), que discretizada queda expresada como

tPP

VzqhhGAt

hhV

nI

nI

in

ini

ni

nii

ni

ni

ii ??

???????

? ?

???

? 1

111

1

)(? (3.1)

donde i se refiere al nodo espacial y n al paso temporal pasado, ? z y ? t las discretizaciones espaciales y temporales tomadas, respectivamente. La presión P lleva el subíndice I para todos los nodos del circuito de alta presión y el subíndice II para el de baja (una presión por circuito). Como puede verse, para calcular la entalpía hi

n+1 en el siguiente paso de tiempo en el nodo i, se utilizan las variables en el tiempo anterior, excepto por la presión, donde es necesario su valor al tiempo siguiente, tn+1. Para desacoplar estas variables, se dispone de la ecuación de conservación de masa total, ecuación (2.16), discretizada en volúmenes i en cada circuito,

? ?? ????

???

??

???

???

??

i

nout

nin

Iiiii WW

tP

Pth

hV 11??

(3.2)

Los caudales Win y Wout provienen de realizar la suma a lo largo de todos los nodos del circuito de la ecuación de continuidad planteada en cada nodo. La misma fue discretizada como

t

VGAGAni

ni

inii

nii ?

???

???

??

?? 111

11 (3.3)

donde se observa que los caudales se refieren al tiempo tn+1. Al hacer la suma sobre todo el circuito, los caudales interiores se cancelan entre sí, quedando solamente los caudales de entrada al circuito considerado y de salida del mismo (Win y Wout). Despejando la derivada temporal de la entalpía de la ecuación de energía (3.1) y reemplazándola en la ecuación (3.2), la única derivada temporal que aparece en la ecuación (3.2) es la correspondiente a la presión. Dado que la presión es la misma para todos los nodos de un circuito, dicha derivada temporal puede ser extraída de la sumatoria, ya que no depende del índice i que refiere a cada nodo. Realizando el reemplazo mencionado y calculando las derivadas de la densidad según la ecuación de gases ideales:


María Fernandino

40

ni

nIi

hRPCp

h ???

?? .?

y ni

i

hRCp

P ??

???

(3.4)

se obtiene una ecuación para calcular la presión en el paso de tiempo siguiente como la indicada en la expresión (3.5), análoga para cada circuito. El superíndice “n+1” representa el paso temporal siguiente (paso a calcular). R* es la constante del gas utilizado en este caso (aire):

??

???

??

???

??

???

? ??????

???

????

??

??

??

????

????

?

??

ini

ni

niiin

iin

outn

in

ini

i

nI

nI

hhGAqz

GAWW

CpR

hV

CpR

tPP 111

1111

1 .

1

(3.5)

El subíndice I indica la presión para el circuito de alta presión y una ecuación análoga con subíndice II se refiere al circuito de baja presión. Vi son los volúmenes de los nodos espaciales, ? z la discretización espacial, ? t la temporal, A las áreas, W los caudales másicos, G los caudales por unidad de área (flujos másicos), h las entalpías, y q´ la potencia disipada por unidad de longitud. Se ve en esta ecuación, que para calcular las presiones al tiempo siguiente tn+1, es necesario tener los valores de los caudales Win y Wout a este mismo tiempo (caudales difundiendo por la membrana y entregado por el compresor, dependiendo en qué circuito se plantee la ecuación). Dado que la ecuación (3.5) será la primera en resolverse para el tiempo tn+1, no se dispondrá para ese entonces de los nuevos caulades Win

n+1 y Wout

n+1 . Esto llevará a un cálculo implícito, con iteraciones para obtener los valores finales. El término conteniendo la potencia lineal q´, se refiere a las pérdidas de calor al medio, o a las absorciones de calor por parte del gas, al igual que sucede en la ecuación de energía. Para el cálculo de este término, es necesario conocer la temperatura de las superficies y estructuras que se vinculan térmicamente con el gas de proceso. Para ello se resuelve la ecuación (2.65) discretizada:

? ? ? ???????

??

ambn

iestrextextn

iestrn

i

niestr

niestr

estrestr TThATThAt

TTCM ,,intint

,,1,

? ? ? ? ? ?? ?niestr

niestri

niestr

niestrisurr

niestrext TTATTA

zk

TTA ,1,,1,144

, ????

??? ????? (3.6)

de donde se puede obtener el valor de Testr,i al tiempo tn+1. Tn

i es la temperatura del fluido en el nodo i al tiempo tn. Teniendo el valor de Tn

estr,i para cada nodo del circuito, se calcula la potencia intercambiada entre las estructuras y el fluido de proceso a partir de ? ?n

iestrn

ini TThAQ ,intint ?? (3.7)


María Fernandino

41

y se introduce dicha cantidad tanto en el balance de energía como en la ecuación para obtener la derivada temporal de la presión. Se resuelve así la ecuación (3.5) una vez para cada circuito. Teniendo las derivadas temporales de la presión en cada circuito, se puede resolver la ecuación de energía (3.1) en cada nodo. La ecuación de energía, se resuelve en la totalidad de los nodos de ambos circuitos, excepto en el caso del nodo de difusión hacia el lado enriquecido, dado que se supuso difusión isoentálpica. En los nodos del intercambiador de calor, al término de pérdidas o absorciones de calor, se le agregan las pérdidas de calor desde el gas al refrigerante circulando por el intercambiador. Y en los nodos de los compresores, se utiliza la ecuación que relaciona la temperatura de entrada del aire con la potencia calórica entregada por los compresores y las pérdidas en las estructuras de los mismos:

? ? ? ? ???

????

??????

??

?

?n

estrP

nCLn

CLnCL

nCLCL

nCL

nCLn

CLCL TCh

UAPothhGAthh

V 1

1

? (3.8)

Es decir, los compresores hacen la vez de fuentes de energía para el fluido, mientras que el intercambiador y el medio son sumideros donde el gas pierde esa energía ganada. Habiendo calculado las presiones y entalpías en ambos circuitos para el tiempo tn+1, se calcula la densidad del fluido en cada nodo también para el tiempo tn+1, haciendo uso de la ecuación de gases ideales

1

11 .

??

?? ?

ni

nIn

i hRPCp

? (3.9)

Se pasa ahora a calcular los caudales a través de la ecuación de masa, discretizada según lo indica la expresión (3.3). En el caso del circuito de alta presión, se tienen N nodos pero N-1 ecuaciones de masa independientes, ya que como se dijo anteriormente, una de las ecuaciones fue utilizada para el cálculo de la derivada temporal de la presión. Para cerrar este sistema, y a falta de una condición de contorno, se utiliza la ecuación del momento total. De esta manera, el sistema de ecuaciones descripto por la ecuación (3.3) puede ser escrito en forma matricial para calcular los caudales al paso de tiempo siguiente como


María Fernandino

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??????????

?

?

??????????

?

?

???

??

???

????????

?

?

????????

?

?

??????

??

?

?

????????

?

?

????????

?

?

?

?

?

?

?

???

?

?

1

1

11

11

01

00

1

12

21

10

0

1

11

1

ˆ

.

0

0000

00

n

mem

nM

nM

M

nn

CL

nn

NN

N

nN

n

no

G

Gt

V

tV

Gt

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zzzzzAA

AAAA

AA

G

GG

?

?

????

????????????

???

??

??

??

(3.10)

donde se consideran N nodos espaciales, con GCL el flujo másico entregado por el compresor lobular que ingresa al circuito de alta presión, y Gmem el flujo másico que difunde y deja el circuito de alta presión. Estos dos flujos se calculan con anterioridad a partir de los modelos respectivos para la membrana y el compresor lobular. El subíndice M indica el número del nodo donde se encuentra la membrana. El momento total al tiempo tn+1 se calcula a partir de la discretización temporal de la ecuación (2.7), ? ?nnnn FPtGG ?????? .ˆˆ 1 (3.11) donde el momento total para el paso de tiempo anterior viene dado por ? ??

i

ni

n zGG .ˆ (3.12)

Para el circuito de baja presión, donde se tienen N´ volúmenes de control, se disponen también de N´-1 ecuaciones de masa independientes para calcular los caudales dentro del circuito, ya que una de las mismas es utilizada, al igual que en el otro circuito, para el cálculo de la derivada temporal de la presión. Al tratarse de un circuito abierto en ambas puntas, al tener N´ nodos en el presente circuito, se tienen N´+1 caudales atravesando las paredes de los N´ volúmenes de control considerados. Uno de los caudales viene dado por la condición de contorno a la entrada, dada por el caudal que deja difundir la membrana hacia este circuito. El caudal a la salida lo fija el compresor lobular de acuerdo al modelo planteado. El resto de los caudales se calcula a partir de las N´-1 ecuaciones de masa. Es decir, se aplica la ecuación (3.3) en cada nodo, y se fijan los caudales a la entrada y la salida del circuito según los modelos de la membrana y compresor lobular respectivamente, de acuerdo a las condiciones del sistema (presiones, temperaturas) en ese instante. Quedan por calcular las concentraciones al nuevo paso de tiempo. Esto se realiza resolviendo la ecuación (2.26) discretizada de la siguiente manera:

??

???

???

?

??

?

???

niNn

i

niin

iNni

nii

i

niN

niN C

GAC

GAVt

CC,21,2

1

11,21,2 1

?? (3.13)


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La ecuación (3.13) se utiliza para obtener las concentraciones de N2 a lo largo de todo el circuito. En el nodo de difusión, se recurre al modelo de permeabilidad del mismo para calcular la concentración de N2 en el gas difundido, y por lo tanto, al condición de contorno para el circuito de baja presión para calcular las concentraciones en este último. Teniendo todas las variables al tiempo tn+1 ya calculadas, se incrementa el tiempo en un paso y se vuelve a realizar los cálculos. En la Figura 3.2 se muestra un diagrama de flujo de la lógica de resolución del sistema completo en un tiempo tn+1, a partir de los datos en el tiempo tn.

Figura 3.2: Esquema de resolución del sistema numérico. Como se observa en la Figura 3.2, el esquema de resolución no llega a ser explícito por completo. Se deben realizar iteraciones ya que el cálculo de la presión involucra caudales al tiempo tn+1, como se ve en la ecuación (3.4). Para comenzar, se calculan estos caudales a través de los modelos para el difusor y el compresor lobular, pero con valores de presiones y temperaturas al tiempo anterior tn. Una vez terminados los cálculos de todas las variables de interés, se recalculan estos caudales y se calcula nuevamente la presión. Así, se vuelven a calcular las demás variables. Se sigue este esquema hasta lograr la convergencia de los valores de las variables.


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Como se observa de la Figura 3.2, el cálculo de las temperaturas de las estructuras Tesrt y de las concentraciones de N2, sólo depende de valores al tiempo pasado tn, por lo que pueden calcularse en cualquier momento, sin necesidad de nuevos valores al tiempo tn+1. El cálculo finaliza cuando se haya alcanzado alguna condición antes establecida, como puede ser un tiempo final de cálculo, o algún criterio para determinar que las variables no varían al aumentar el tiempo (que se encuentren estacionarias).

3.3 – Obtención del estacionario Para el cálculo de trans itorios, es necesario partir de una condición de trabajo estacionaria o nominal. El sistema de ecuaciones a resolver luego de considerar las derivadas temporales nulas, implicaba un sistema implícito de resolución. Dado que se contaba con mediciones experimentales, resultó más sencillo calcular un estacionario a partir de hacer evolucionar el sistema con los valores medidos como datos iniciales.

Se fijan primero las condiciones del medio, como son temperatura del medio, temperatura de las estructuras y temperatura de entrada del agua de refrigeración, todas ellas medidas en el momento de realizar las mediciones experimentales. Se proponen luego las presiones en cada circuito, de acuerdo a los valores medidos en ese caso. Luego se fija un caudal en el nodo 1 (siguiente al nodo de la juntura o T, nodo 0), el cual también corresponde a las mediciones realizadas. Se calculan los demás caudales hasta llegar al nodo de difusión, como

01

10?

?? ii

ii G

AA

G (3.15)

En el nodo de difusión se utiliza el modelo de la membrana para determinar el caudal que difunde a través de ella, ingresando al circuito de baja presión. Dicho caudal depende de la temperatura en el nodo de difusión y de las presiones en ambos circuitos, ),,( IIImemmemmem PPTGG ? (3.16) y dado que no se han calculado aun las temperaturas, se utiliza una temperatura como semilla según lo medido en el circuito experimental. A partir de este caudal difundido, se continua con el cálculo de los demás caudales mediante la expresión (3.15), donde se observa que los caudales (excepto aquel en el nodo de difusión) sólo dependen del cambio de áreas de un nodo a otro. Se cierra


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el cálculo de caudales en el nodo cero, sumando los caudales que entregan ambos compresores a la salida. Cabe aclarar que en esta primera iteración del cálculo, el caudal que entrega el compresor no coincide con el que deja difundir la membrana, dado que el caudal difundido fue calculado a partir de una temperatura supuesta como semilla, según indica la relación (3.16). Para realizar el cálculo de las temperaturas en cada nodo, se supone una temperatura en el nodo 0 o “T”, donde se juntan ambas corrientes (de reciclo y difundida). De esta forma se tiene una primer temperatura para el nodo cero. Mediante la ecuación de energía estacionaria, se calculan las temperaturas de los demás nodos del sistema, como

ii

ii

ii

iii GA

qzh

GAGA

h??

?? ??? .

111 (3.17)

donde el problema reside en el cálculo de la potencia lineal q´. Dicha potencia depende de la diferencia entre la temperatura de las superficies y del aire en ese mismo nodo, esta última la temperatura a calcular. Por lo tanto, se realizan unas iteraciones en cada nodo para finalmente obtener la entalpía en cada nodo. Se supone primero una temperatura del aire en ese nodo, con lo que se calculan las pérdidas hacia las estructuras (q´). Con esa potencia lineal, se realiza el cálculo de la entalpía en el nodo según la ecuación (3.17). Con esa nueva temperatura, se calcula una nueva potencia lineal, y así sucesivamente.

Llegado el nodo de difusión, se recurre al modelo de la membrana para determinar la energía que pasa al circuito de baja presión, y poder continuar con los cálculos según la ecuación (3.17). Al llegar a los nodos de los compresores, se calculan las temperaturas del aire a la salida de los mismos según sus respectivos modelos térmicos, obteniendo una nueva temperatura para el nodo cero. Se realiza nuevamente todo el cálculo de entalpías, hasta que el valor de la temperatura en el nodo cero sea tal que cierre el balance de energía en el circuito entero. Teniendo las entalpías en todo el circuito, se calculan las densidades que dan la masa necesaria dentro del circuito para tener esas condiciones de presión y temperatura. Con las nuevas densidades, los caudales y las temperaturas ya calculadas, se calculan las presiones a partir de la ecuación obtenida de la conservación de masa con derivadas temporales nulas:

? ?

???

????

???

?

i i i

ioutinii

iiiii

P

hzq

WWGA

hGACR

P.

111 ? (3.18)

De esta manera, se obtienen las nuevas presiones, con lo que se repite todo el esquema iterativo, el cual se muestra en la Figura 3.3.


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Figura 3.3: esquema iterativo de cálculo del estacionario.


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La iteración finaliza cuando la conservación de masa cierra para el estacionario, es decir, cuando coinciden el caudal que deja difundir la membrana hacia la rama difundida y el caudal que retira el compresor lobular de la misma rama.

3.4 – Consideraciones numéricas El esquema numérico utilizado para la discretización de las ecuaciones no es incondicionalmente estable. Para asegurar la estabilidad del método, es necesario cumplir con la condición [21],

iumáx

zt

??? (3.18)

donde ui corresponde a la velocidad de las partículas en el nodo. Es decir, el paso de tiempo tomado no puede ser mayor que el tiempo de residencia de una partícula en un nodo. Esta condición de estabilidad es para el caso de ecuaciones homogéneas. Dado que las ecuaciones presentadas en este modelo no son homogéneas y se encuentran además acopladas, fue necesario considerar un paso de tiempo menor al sugerido por la relación (3.18). Se observaron inestabilidades en el cálculo de caudales, debidas a la variación temporal de la densidad en cada nodo. La ecuación de masa resultó ser muy sensible a estas variaciones. Por ello, fue necesario relajar las derivadas temporales de la densidad, promediándolas con las derivadas temporales respecto del tiempo anterior. También se observaron inestabilidades en el caso del intercambiador de calor. Al tratar al intercambiador como un solo nodo, la abrupta bajada de la temperatura que producía, generaba cambios en la derivada espacial de la densidad, que también se veían reflejados en la ecuación de masa, produciendo oscilaciones en el cálculo de los caudales. Por ello, el intercambiador fue considerado como una cadena de intercambiadores de una pasada (un nodo por cada una de ellas), en lugar de un solo nodo de varias pasadas. En el caso en que el fluido pasaba de un régimen laminar a turbulento o viceversa, fue necesario realizar un empalme entre las correlaciones respectivas en cada caso para el número de Nusselt. Ambas correlaciones, Nusselt igual a constante para flujo laminar y la correlación de Dittus Bolter para flujo turbulento, se unieron mediante una expresión de tipo cúbica, logrando un empalme suave en caso de cambio de régimen de flujo.


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3.5 - Implementación del código de cálculo El código de cálculo fue implementado en lenguaje orientado a objetos, por las grandes ventajas que presenta este paradigma. Existen varios paradigmas de programación, siendo los más utilizados programación procedural y programación orientada a objetos (POO). En la resolución de problemas numéricos, se opta en general por programas en forma procedural, por ser la manera más natural para la resolución de ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones en general. Sin embargo, gran cantidad de laboratorios han comenzado a incursionar en la programación orientada a objetos para la resolución de problemas numéricos [22], [23], [24]. En este caso, se optó por el paradigma de objetos para la implementación del código de cálculo, debido a las características del problema. Deben distinguirse aquí dos partes importantes del problema planteado: el modelo físico y el modelo matemático. Dentro del modelo físico, se tienen por ejemplo, cuatro entidades principales como son los dos compresores, el difusor y el intercambiador de calor. Estas cuatro entidades pueden ser fácilmente descriptas como objetos cerrados, con sus propiedades físicas y sus respectivas funciones en su interior. De esta forma, se tienen objetos cerrados o bloques, que pueden ser reutilizados en algún otro problema, o duplicados en caso de querer extender el problema de una sola etapa a una cascada completa. Se dispone además en este problema, de propiedades físicas y geométricas del circuito y del gas de proceso, que pueden ser fácilmente agrupadas en un paquete cerrado, simulando lo que sería una librería en un lenguaje como C o Fortran. Lo mismo sucede con las funciones de lectura, escritura y manejo de archivos, funciones que son utilizadas en cualquier programa de cálculo numérico.

En lo que respecta al problema matemático, se tiene el cálculo numérico a realizar. En este cálculo propiamente dicho, se sigue utilizando programación procedural, forma lógica de resolver el sistema. Sin embargo, con el paradigma de objetos se logra encapsular dicho cálculo en lo que es otro objeto cerrado, con las mismas características de fácilmente reemplazable y expansible de los objetos antes mencionados. De esta forma, al utilizar el paradigma de objetos, se dispone de un código con elementos reutilizables, con características de modularidad, y expandible a futuro en caso de querer modelar una cascada completa. Para el problema planteado en este trabajo, se pensó en una estructura de cuatro paquetes principales: “Archivos”, “Datos”, “Cálculo” y “Entidades”. Cada paquete contiene en su interior, una o varias clases que describen diferentes objetos. El paquete Entidades posee cuatro clases, y las mismas representan los cuatro componentes principales dentro del circuito: el difusor, el compresor lobular, el compresor axial y el intercambiador de calor. Cada clase posee en su interior las


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propiedades de cada objeto, junto con el modelo que describe el comportamiento de cada uno de los mismos. Cada objeto puede ser probado por separado y comprobar su buen funcionamiento contrastando, por ejemplo, con resultados obtenidos de algún otro modelo anterior. El paquete Cálculo está constituido por dos clases. Una de ellas contiene la descripción del modelo analítico planteado, con todas las ecuaciones involucradas en el cálculo. Se mantiene aquí la estructura procedural para la resolución de las ecuaciones. La otra clase de este paquete describe al objeto que se encargará de dirigir el cálculo, es decir, el objeto que comienza llamando a calcular las condiciones iniciales, llama luego a realizar el cálculo del transitorio con un determinado número de pasos de tiempo a calcular, determina hasta cuando se realizará el cálculo, escribe los resultados en archivos, etc. En el paquete Datos se encuentran todas las características del circuito modelado, las propiedades físicas de sus materiales, las propiedades del gas utilizado, y cualquier otra tabla de datos que pueda requerir el cálculo. Posee también clases auxiliares como son una clase Matrices y una clase Vectores, utilizadas como herramientas en el cálculo. Y por último, el paquete Archivos, que es el encargado de leer o escribir datos en los diferentes archivos cuando algún otro objeto lo requiera. Las funciones implementadas le permiten leer y escribir archivos de diferentes formatos.


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Figura 3.3: esquema de paquetes.

En la Figura 3.3 puede observarse el esquema de paquetes, junto con las relaciones entre los mismos. Dentro de cada paquete se observan las clases en forma de bloques. En caso de necesitar cambiar algún componente o algún modelo, estos bloques pueden ser reemplazados sin perturbar el resto del sistema. Y los mismos pueden además, ser reutilizados en alguna otra aplicación relacionada o no con este problema. Lo mismo puede decirse en caso de querer extender este modelo a una cascada completa


CAPÍTULO 4

Mediciones Experimentales En este capítulo se describe el circuito experimental utilizado para la validación del modelo analítico planteado. Se describe la instrumentación con la cual se realizaron las mediciones y su ubicación, cómo fueron realizadas las mismas y la forma en que se procesaron los datos. Se describe además la implementación de las cadenas de medición y su respectiva puesta a punto.

4.1 – Circuito experimental

El circuito experimental se encuentra montado en el Complejo Tecnológico Pilcaniyeu. En la Figura 4.1 se muestra un esquema del mismo. Dentro del circuito circula aire atmosférico, con el fin de separar oxígeno (O2) de nitrógeno (N2). El aire ingresa al difusor por la rama de entrada o de avance. Parte del fluido difunde por la membrana, e ingresa a la rama difundida o de baja presión. A la salida del difusor, el aire atraviesa un intercambiador de calor para removerle el calor entregado por los compresores. Luego es impulsado por un compresor lobular que recupera la carga perdida en el proceso de difusión, y lo devuelve a la rama de entrada o de alta presión. Este compresor lobular es el que mantiene la depresión del lado difundido de la membrana, para que sea posible el proceso de difusión a través de la misma. El aire que no difundió por la membrana, es impulsado por un compresor centrífugo, que sólo entrega al fluido la carga necesaria para poder recircular por la rama de reciclo, nuevamente hasta la rama de entrada. Ambos compresores entregan calor al fluido. Sin embrago, el compresor lobular (ubicado en la rama de aire difundido) entrega más impulso al fluido que el compresor centrífugo, y por ende, una gran cantidad de calor al fluido, comparado con el calor entregado por el centrífugo. Así, el compresor lobular se transforma en la fuente de calor para el aire dentro del circuito.

CAPÍTULO 4 – Mediciones Experimentales

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52

Parte del calor es removido en el intercambiador y parte es disipado al medio a través de las estructuras. Pero la gran parte de la energía térmica que trae el aire, se pierde en la estructura soporte del difusor. Debido a su gran masa, esta estructura gobierna la dinámica térmica del aire a partir de ese punto del circuito (ramas difundida y de reciclo).

Figura 4.1: circuito experimental, montado en el Complejo Tecnológico Pilcaniyeu.

4.2 – Instrumentación Con el fin de realizar la verificación experimental del modelo analítico planteado, fue necesario caracterizar dinámicamente al fluido. Para ello se recurrió a la medición de presiones, temperaturas y caudales en distintos puntos del circuito. Todos los sensores utilizados para las mediciones fueron previamente calibrados, teniendo en cuenta el rango de variación de las variables a medir con los mismos. Las señales entregadas por los sensores (tanto las de tensión como las de corriente) eran adquiridas por PC en una placa Advantech. En los casos de las señales originadas en modo corriente, se hizo pasar a dicha corriente por una resistencia para transformar a la señal en tensión. Para la medición de presión se utilizaron sensores de presión absoluta. Se disponía de dos tipos de sensores, ambos con diferente rango de medic ión. La presión se determinó en forma directa a partir de la señal en tensión entregada por el sensor, de acuerdo a la calibración previamente realizada del mismo.


María Fernandino

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Para la medición de la temperatura se utilizaron sensores RTD de platino y sensores del tipo Pt100, que entregaban una señal en corriente de entre 4-20mA. La señal entregada por los sensores de temperatura no podía ser interpretada directamente como la temperatura real (estática) del fluido, ya que la misma involucraba también una parte dinámica de entalpía. Si el sensor se hubiera encontrado quieto respecto de la corriente del aire, se obtendría la temperatura del fluido en forma directa de su señal. Si en cambio, se detuviera al fluido en las cercanías del instrumento, la señal obtenida correspondería a la temperatura de estancamiento del fluido. En las condiciones en las que se realizaron las mediciones en este caso, con el sensor en medio de una corriente de aire, la lectura del instrumento correspondía a una temperatura entre la temperatura real del fluido y la de estancamiento. Por lo tanto, la lectura debió ser corregida con un 90% de la entalpía dinámica, valor recomendado para el caso de gases[25]:

P

medicreal CV

FTT2

.2

?? (4.1)

donde Tmedic corresponde a la lectura del instrumento, CP al calor específico del aire, V la velocidad media del mismo, y F un factor cercano a 0.9 [26]. Dado el rango de valores de caudales y presiones en la sección de medición de los mismos, las velocidades se encontraban por debajo de Ma = 0.2, con lo cual puede considerarse flujo incompresible. La velocidad local fue obtenida en forma indirecta a través de la lectura de una DPCell, cuya señal representaba la presión dinámica del fluido en ese punto, diferencia entre la presión de estancamiento y la presión estática:

2

21

VP ??? (4.2)

con ? la densidad del fluido en ese punto. Para la presión de estancamiento se utilizó un tubo Pitot promediador colocado en la rama de alta presión de la DPCell. Para el cálculo de la velocidad media fue necesario conocer la densidad del aire en ese mismo punto, para lo cual su utilizó un sensor de temperatura RTD en ese sitio, y se colocó un sensor de presión absoluta en la rama de baja presión de la DPCell para tener lectura de la presión estática en ese lugar. A la velocidad media obtenida, se la corrigió por el factor de forma del tubo Pitot, de acuerdo al rango de caudales en los que se trabajó. De esta manera, el caudal másico de aire en ese punto puede calcularse como

? ? VAskgm ???

(4.3) donde V es la velocidad media del fluido, A el área de pasaje en esa sección, y ? la densidad calculada como


María Fernandino

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TR

P*

?? (4.4)

con la presión estática P obtenida a partir de la señal de los sensores de presión y la temperatura T a partir de las RTD.

4.3 – Propagación de errores experimentales

En la determinación de las magnitudes de interés (presiones, temperaturas y caudales), se recurrió a la medición de variables fluidodinámicas utilizando diferentes sensores. Dichas mediciones poseían errores e incertezas, producto de las dispersiones de las señales obtenidas desde los sensores, incertezas sistemáticas debidas a la determinación de diámetros y demás mediciones geométricas, e incertezas en la calibración de los distintos instrumentos.

Los instrumentos de medición utilizados eran todos de respuesta lineal, con lo

que la calibración respondía a una función también lineal, generalizada para todos los instrumentos como

bVmX ??? (4.5)

donde X es la magnitud a determinar (presión P, temperatura T, velocidad Vmedia , etc), m es la pendiente de la recta resultante de la calibración según la respuesta del instrumento, y b la ordenada. V representa la señal en tensión entregada por el instrumento.

La presión estática fue obtenida directamente de la lectura de los sensores de

presión absoluta, previa calibración de los mismos. Dicha calibración puede ser escrita en forma general siguiendo el esquema de la ecuación (4.5), como

bVmP ??? (4.6)

Realizando la propagación de errores, se tiene que la incerteza en la medición de presiones es

? ? ? ? ? ?222 bmVVmP ???? ????? (4.7) donde el símbolo ? se refiere a la incerteza en la medición de la magnitud a la cual precede. En el caso de la medición de la temperatura, y como ya se dijo en la sección 4.2, la lectura de estos sensores debe ser corregida por un 90% de la parte dinámica de la entalpía. La temperatura real es así obtenida como


María Fernandino

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? ?P

mediareal C

VFbVmT

2

2

????? (4.8)

Según la propagación de errores correspondiente, la incerteza en la medición de temperaturas queda

? ? ? ? ? ?2

222

???

????

????????? media

P

meidareal V

CV

FbmVVmT ????? (4.9)

con m y b las constantes de la calibración, V la señal en tensión entregada por el instrumento, y Vmedia la velocidad media del aire en ese punto.

Para la obtención de la velocidad media se recurrió a la lectura de las DPCell,

cuya incerteza viene dada por

? ? ? ? ? ?222 bmVVmDP ???? ????? (4.10) con m y b las constantes de la calibración del sensor.

Con esta lectura se obtiene una lectura de la velocidad, que depende de la densidad,

?DP

Vmedic?

?2

(4.11)

cuya incerteza viene dada por

22

22 ???

????

??

???

?

???

??

?? ? ?

??? medicmedic

medic

VDP

DPV

V (4.12)

La velocidad media se calcula como PitotPitotmedia bVmV ??? (4.13)

con m y b las constantes de la calibración del tubo Pitot. La incerteza de esta velocidad media es

? ? ? ? ? ?222 bmVVmVmedia ???? ????? (4.14)


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La densidad depende de la temperatura,

realTR

P?

?? (4.15)

con una incerteza igual a

22

???

??? ???

??

??? ?? P

PT

T real ??

??

? ? (4.16)

que vuelve a depender de la temperatura. La temperatura, según la ecuación (4.9) depende de la velocidad. Así, para determinar la incerteza en la medición de temperaturas, fue necesario recurrir a un esquema iterativo.

Finalmente, se llega a la determinación de los caudales másicos,

AVm media ????

? (4.17) donde A representa el área transversal de pasaje de aire en el punto donde se encuentra ubicada la DPCell. Teniendo en cuenta también la incerteza en su medición, se tiene para la incerteza en la medición de caudales:

222

???

?

?

???

?

???

???

?

?

???

?

???

???

?

?

???

?

???

????

AAm

VV

mmm media

media

??? ??

? (4.18)

Se tienen de esta manera, las incertezas en la medición de todos los parámetros, para poder realizar luego el análisis de los datos experimentales y realizar la verificación del modelo analítico planteado.

4.4 – Cadenas de medición La instrumentación fue colocada en el circuito como se muestra en la Figura 4.2.

Las mediciones de caudales se realizaron en las tres ramas: rama de ent rada, de reciclo y enriquecida, para lo cual se colocaron una DPCell por rama. Las DPCell fueron colocadas en un soporte fuera del caño del circuito para evitar errores de lectura debido a vibraciones del circuito. Para obtener los caudales, también fue necesario medir presión y temperatura en esos mismos puntos. Estas cadenas constituían las tres cadenas principales de medición.


María Fernandino

57

Además de medir presiones en los puntos donde se colocaron las DPCell, se

colocaron sensores de este tipo a la entrada del difusor y en ambas salidas del mismo (lado enriquecido y empobrecido). De esta forma, se podía medir la caída de presión que sufre el aire en el proceso de difusión.

Figura 4.2: ubicación de los sensores en el circuito (sin escala).

La medición de temperaturas se realizaron en varios puntos del circuito. Además de colocar un sensor de temperatura en cada rama junto a las DPCell, también se colocaron sensores a la entrada del difusor, a la salida del lado empobrecido y a la salida del lado enriquecido. Se colocó otro sensor de temperatura en la estructura que sostiene a la membrana, para comprobar la dinámica térmica de la estructura (la más importante del circuito desde el punto de vista de su masa).

Se midieron temperaturas antes y después de cada compresor para verificar los modelos de transferencia de calor de los compresores al fluido. Así también, se pueden medir las temperaturas antes del mezclado de ambas corrientes, y compararla con la temperatura luego del mezclado.


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58

También se midió la temperatura del aire antes y después del intercambiador de

calor. De esta manera se pudo caracterizar dinámicamente al fluido, para poder comparar los resultados del modelo analítico con los datos obtenidos experimentalmente.

4.5 – Puesta a punto de las cadenas de medición

Una vez implementadas las distintas cadenas de medición, se procedió con la puesta a punto de las cadenas de medición y la comprobación de su buen funcionamiento. Para comprobar el buen funcionamiento de las tres cadenas de medición principales (los tres puntos de medición de caudal), se recurrió a la comprobación de la conservación de masa. Para comenzar, se validaron las cadenas de medición de la corriente de entrada al difusor y la corriente empobrecida. Para ello, se operó el circuito con el compresor lobular apagado, haciendo circular el aire sólo con el compresor de reciclo. Se anula así el paso de aire por la rama enriquecida. De esta forma se toma como referencia la cadena de la rama central para la calibración del resto de las cadenas. En las Figuras 4.3 se muestran los caudales circulando por cada rama, normalizados con el máximo caudal medido durante la simulación de transitorios.

Figura 4.3(a): caudales (W) en la rama central Figura 4.3(b): caudales en la rama central y en la de reciclo, con sus bandas de error y la de reciclo, normalizados según un (entre 7% y 9%). caudal máximo.

En la Figura 4.3(a) se observan ambos caudales con sus bandas de error, representando un valor promedio entre los errores de cada punto de la medición. Estos errores van entre el 7% y 9% del valor medido.

-50 0 50 100 150 200 250 300 3500.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W /

Wm

ax

tiempo [seg]

caudal entrada caudal reciclo

-50 0 50 100 150 200 250 300 3500.30

0.35

0.40

0.45

W /

Wm

ax

tiempo [seg]

caudal reciclo caudal entrada


María Fernandino

59

Se observa en esta figura que ambos caudales coinciden (considerando que no se

pueden determinar diferencias entre las lecturas ya que éstas quedan dentro de las bandas de error de las mediciones), por lo que se consideró que las cadenas de medición de caudales de las ramas central y empobrecida operaban en correcto estado.

Habilitando ahora la circulación de aire por la rama enriquecida (con el compresor lobular en marcha), se verificó el funcionamiento de la tercer cadena de medición, ubicada en la rama de material difundido. En la Figura 4.4, se muestran los caudales circulando por la rama central de entrada al difusor y la suma de los caudales de las otras dos ramas.

Figura 4.4(a): caudales (W) normalizados Figura 4.4(b): caudales en la rama central en la rama central, y la suma de caudales en y la suma de caudales en la rama de reciclo la de reciclo y enriquecida, con sus bandas de y la enriquecida error (entre 7% y 9%). En las Figuras 4.4 se observa una leve diferencia entre los dos caudales considerados. En particular, se ve que la suma de los caudales por las ramas difundida y de reciclo es levemente mayor que el caudal circulando por la rama de entrada. En este caso, la diferencia queda absorbida dentro de las bandas de error (valor medio de los errores en cada punto), como se muestra en la ampliación dentro del gráfico. Pero se observó que en otros rangos de presiones y caudales, la diferencia no era abarcada por las incertezas en las mediciones. Esto puede observarse en la Figura 4.5.

0 500 1000 1500 20000.50

0.55

0.60

0.65

0.70

0.75

0.80

W /

Wm

ax

tiempo [seg]

caudal entrada caudal rec + enr

0 500 1000 1500 20000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W /

Wm

ax

tiempo [seg]



María Fernandino

60

Figura 4.5: balance de masas entre la rama de entrada y las otras dos ramas de salida. Las incertezas en las mediciones van desde un 7% a un 10%, llegando a un 50%

en el comienzo donde los caudales son casi nulos.

En la Figura 4.5, se muestra la conservación de masa entre la rama de entrada y la suma de caudales en las otras dos ramas, para distintos regímenes de caudal y distintas presiones. Se observa una diferencia entre ambos balances de masa. Se observa también que dicha diferencia cambia en regímenes de operación distintos. El error en esta medición se atribuye a una mala ubicación del tubo Pitot, sensando de esta manera, velocidades que no eran las reales. También se atribuyó parte del error a histéresis en el instrumento. El mismo fue calibrado en estado estacionario, mientras que las mediciones se realizaron en forma dinámica. Debido a esto y como las cadenas de medición de las ramas de entrada y de reciclo estaban en correcto estado, se obtendrá el caudal de la rama difundida a partir de la conservación de masa entre las otras dos cadenas de medición, dado que es más exacto obtener el tercer caudal de la diferencia de los restantes dos que de la lectura de la correspondiente cadena. Antes de comenzar con la medición de transitorios, se comprobó a partir de otras mediciones previas, que la hipótesis de que las pérdidas por fricción eran despreciables frente a la pérdida de carga en la difusión, fuera acertada.

0 2500 5000 7500 10000 12500 15000

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W /

Wm

ax

tiempo [seg]



María Fernandino

61

En la Figura 4.6 se muestran las presiones de las tres ramas. Se puede ver allí que la presión de la rama de entrada es la misma que la de la rama de reciclo. La presión de la rama enriquecida es siempre menor (lado de baja presión). Así, se verifica la hipótesis de considerar sólo dos presiones en el circuito, una alta presión para las ramas de entrada y de reciclo, y una baja presión para el lado difundido.

Figura 4.6: presiones en las tres ramas del circuito. Las incertezas en la medición

se encuentran entre el 5% y el 8%, por lo que no se muestran en las gráficas. Según la distribución de sensores en el circuito descripta en la sección 4.4, se tienen dos sensores de presión por cada rama. Ambos son sensores de presión absoluta, pero se distinguen por el rango de medición que posee cada uno. Los sensores ubicados junto con las DPCell poseían el mayor rango de medición (sensor J), mientras que los otros sensores de presión sobre cada rama (sensor H), tenían un menor rango.

Para comprobar el buen funcionamiento de todos estos sensores, se realizaron mediciones en estado estacionario, con ambos compresores en funcionamiento (las tres ramas habilitadas), y se contrastaron las mediciones entre los dos sensores de la misma rama.

Las comparaciones pueden verse en las Figuras 4.7 a 4.9, donde se observa que

los dos sensores de cada rama entregaban una señal equivalente a la misma presión por rama, comprobándose que ambos sensores funcionaban correctamente.

500 1000 1500 20000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Pre

sió

n [

UA

]

tiempo [seg]

P entrada P enriquecida P reciclo


María Fernandino

62

Figura 4.7: medición de presión en la rama de entrada, según ambos sensores disponibles. A la izquerda para una dada presión, a la derecha para una presión mayor. Las incertezas

eran cercanas al 7%.

Figura 4.8: medición de presión en la rama de reciclo, según ambos sensores disponibles. A la izquerda para una dada presión, a la derecha para una presión mayor. Las incertezas


Figura 4.9: medición de presión en la rama difundida, según ambos sensores disponibles. A la izquerda para una dada presión, a la derecha para una presión mayor. Las incertezas


600 800 10004

5

6

7

8

9

10

sensor H sendor J

Pre

sión

[U

A]

tiempo [seg]1250 1300 1350 1400 1450 1500

4

5

6

7

8

9

10

sensor H sendor J

Pre

sión

[UA

]

tiempo [seg]

600 700 800 900 1000 11003

4

5

6

7

8

9

10 sensor H sensor J

Pre

sión

[U

A]

tiempo [seg]1250 1300 1350 1400 1450 1500

3

4

5

6

7

8

9

10

11

sensor H sensor J

Pre

sión

[U

A]

tiempo [seg]

600 800 10003

4

5

6

7

8

9

10

Pre

sió

n [U

A]

tiempo [seg]

sensor H sensor J

1250 1300 1350 1400 1450 15003

4

5

6

7

8

9

10

Pre

sió

n [U

A]

tiempo [seg]

sensor H sensor J


María Fernandino

63

Dado que de ambos sensores se obtenían las mismas presiones en las

mediciones, se compararon las señales de los dos tipos de sensores con respecto a la dispersión en las mismas, con el fin de decidir cual señal sería más conveniente para considerar en los cálculos de caudal y densidad. Debido al mayor rango de medición de un tipo sensores (Figura 4.10(a)), éstos entregaban una señal con mayor dispersión que los de menor rango (Figura 4.10.(b)).

Figura 4.10(a): señal proveniente del sensor Figura 4.10(b): señal proveniente del sensor de presión absoluta de mayor rango. de presión absoluta de menor rango.

De esta manera, se optó por considerar la señal de los sensores de menor rango,

por tener menor dispersión en la señal proveniente de los mismos.

1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200

4

5

6

7

8

9

10

11 sensor J

Pre

sión

[UA

]

tiempo [seg]

1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200

4

5

6

7

8

9

10

11 sensor H

Pre

sión

[UA

]

tiempo [seg]


CAPÍTULO 5

Verificación experimental En el presente capítulo se presentan los resultados experimentales de dos transitorios diferentes realizados en el circuito descripto. Los mismos son reproducidos mediante la simulación numérica, utilizando el modelo desarrollado. Se verificó la capacidad del modelo para la representación de este tipo de transitorios.

5.1 Régimen estacionario Antes de realizar la verificación del modelo planteado en regímenes transitorios, es fundamental que el mismo reproduzca los regímenes estacionarios de los cuales se parte. Para esto, se operó el circuito experimental en régimen estacionario, con ambos compresores en funcionamiento. Para ello fue necesario dejarlo en funcionamiento durante algunas horas, antes de llegar a un estado pseudo-estacionario de operación, debido al tiempo de establecimiento del equilibrio térmico entre el aire de proceso, las estructuras del circuito, y el medio que lo rodeaba.

Se distinguen en el circuito dos fuentes frías y dos fuentes de calor. Las fuentes frías incluían al intercambiador de calor y a las estructuras del circuito, mientras que las fuentes calientes estaban representadas por los dos compresores, siendo el más importante en este sentido, el compresor de la rama enriquecida.

Con respecto a las estructuras, la más importante desde el punto de vista de

masa, es la estructura soporte del difusor. Se observó que esta estructura hacía las veces de fuente fría para el aire que circulaba por el circuito, dejando casi sin sentido al papel que jugaba el intercambiador de calor en ese período de calentamiento de la estructura. El aire perdía la mayor parte de su energía térmica en el paso por el difusor (estando en contacto con la estructura soporte), y el resto de su energía térmica la depositaba en el refrigerante en el paso por el intercambiador.

CAPÍTULO 5 – Verificación Experimental

María Fernandino

65

Con respecto a la fuente caliente, se mencionó anteriormente que el compresor

de la rama enriquecida jugaba un papel más importante que el compresor centrífugo en lo que respecta a la entrega de calor al aire de proceso. La estructura del compresor lobular posee una gran masa, cuya inercia térmica incide directamente en la inercia térmica del proceso. El calor entregado al fluido, es resultado del trabajo de compresión que se realiza sobre el mismo. Pero a su vez, el aire deposita parte de este calor en la estructura del compresor mediante el mecanismo de convección forzada. Debido a la inercia térmica de la estructura del compresor, la temperatura del aire a la salida del mismo iba en aumento a medida que se calentaba dicha estructura.

Por cuestiones de requerimientos en el funcionamiento de los compresores,

ambos compresores debieron ser operados con continua refrigeración por medio de la circulación de agua, con lo que no fue posible ver el verdadero aumento de temperatura en el aire que producirían en caso de no estar refrigerados.

La evolución temporal de algunas temperaturas dentro del circuito durante el

calentamiento del mismo, se observan en la Figura 5.1.

Figura 5.1: evolución de temperaturas durante el calentamiento del circuito, camino al estacionario.

El aumento en la temperatura de la rama central o de entrada, se debe al calentamiento del aire producido por el trabajo de compresión que realiza sobre él el compresor lobular, y en menor medida, al compresor centrífugo. Dicha curva se va aplanando debido a que se fue aumentando la refrigeración para mantener la temperatura de sellos del compresor lobular por debajo de un dado límite.

Las temperaturas de salida del difusor, tanto del lado enriquecido como del lado de reciclo, siguen claramente al calentamiento de la estructura soporte del difusor, que a

0 2000 4000 6000 8000 10000

10

15

20

25

30

Tem

pera

tura

s [º

C]

tiempo [seg]

Taire

rama entrada T estructura difusor T

aire rama enriquecida

Taire

rama reciclo T

aire salida intercambiador


María Fernandino

66

su vez aumenta su temperatura gracias al calor que le entrega el aire que ingresa al difusor por la rama de entrada.

Se observa en el gráfico que la temperatura correspondiente a la estructura

soporte del difusor parte de un valor mayor al del resto de las temperaturas. La estructura a la que se hace referencia no se encuentra en contacto con el exterior, y no llegaba a perder el calor acumulado en alguna operación del circuito previa.

Las presiones y caudales se establecían rápidamente, y luego iban variando

lentamente de acuerdo al calentamiento del aire dentro del circuito. Por ello se consideró el proceso en régimen pseudo-estacionario, cuando las temperaturas del aire no variaran en forma apreciable como para influir en la dinámica del circuito en los minutos de duración de los transitorios provocados.

Una vez llegado a un estado pseudo-estacionario, se adquirieron los datos de

presiones, temperaturas, y caudales a través de las diferentes cadenas de medición ya descriptas.

Las mismas condiciones de operación fueron luego simuladas con el modelo

numérico. Para ello se introdujeron los valores de presiones, caudales y temperaturas obtenidos experimentalmente, en el código de cálculo, y luego se hizo evolucionar en el tiempo hasta cerrar balances de masa, momento y energía. Se compararon esos valores obtenidos de la simulación con los datos experimentales. En la Figura 5.2 se muestran las presiones de alta y de baja tanto en el circuito experimental, como en la simulación numérica realizada. Las presiones se muestran adimensionalizadas con la presión al inicio de la simulación.

Figura 5.2: alta y baja presión, según mediciones experimentales y según el modelo numérico. Las

incertezas experimentales están en el orden del 7%.

5 10 15 20 25 30 35 40 45 500.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

P /

P inic

ial

tiempo [seg]

Palta

medición P

baja medición

Palta

modelo Pbaja modelo


María Fernandino

67

Se ve que el modelo representa en forma adecuada los datos medidos

experimentalmente. Lo mismo se observa en el caso de los caudales, según se muestra en la Figura 5.3.

Figura 5.3: caudales en cada rama, medidos experimentalmente y simulados numéricamente. Las incertezas experimentales estaban entre el 7% y el 9%.

En la Figura 5.3 se muestran los caudales en cada rama, adimensionalizados con un mismo caudal de referencia. Estos caudales fueron obtenidos indirectamente a través de la lectura de las tres DPCell, ubicadas una en cada rama del circuito Se observa claramente que los resultados del modelo representan correctamente los datos experimentales. Los caudales de reciclo y enriquecidos simulados no se aprecian por quedar superpuestos con las mediciones. En el caso de la simulación de la parte térmica, no se disponía de un buen modelo térmico de los compresores, ya que como se dijo, era necesario mantenerlos refrigerados, sin tener mayores detalles sobre esta refrigeración para su modelado. Durante el acercamiento al régimen pseudo-estacionario, se fue variando la refrigeración, y se logró llevar a la diferencia de temperaturas del aire entre la entrada y la salida de los compresores a un valor relativamente constante en el tiempo. De esta forma, se intentó durante la simulación numérica, independizarse de ese modelo faltante de refrigeración, proponiendo como modelo térmico de los compresores, un incremento conocido y constante de temperatura en el fluido.

En la Figura 5.4 se muestran las temperaturas medidas en el circuito y aquellas obtenidas de la simulación numérica. Las temperaturas fueron medidas en las tres ramas del circuito, en las posiciones de las DPCell (en la mitad de cada rama aproximadamente).

5 10 15 20 25 30 35 40 45 500.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

W /

Wre

f

tiempo [seg]

Wentrada

medición W

reciclo medición

Wenriq

medición W

entrada modelo

Wreciclo modelo Wenriq modelo


María Fernandino

68

Figura 5.4: temperaturas medidas en cada rama del circuito, según las cadenas de medición de las DPCell. Se muestran también los resultados numéricos. Las incertezas son del

orden del 10%. Se observa una pequeña diferencia entre las temperaturas obtenidas experimentalmente y aquellas que predijo el modelo. No es el caso de la temperatura de la rama enriquecida.

En la rama enriquecida, la temperatura está fijada según el intercambiador, del cual se tiene un modelo completo. Se comprueba aquí su buen funcionamiento, evacuando todo el calor ganado por el trabajo de compresión.

La razón de la diferencia en las temperaturas de la rama de entrada al difusor

(menor temperatura en la simulación), se adjudica a la falta de un mejor modelo de los compresores, únicas dos fuentes calientes del circuito y que influyen directamente sobre la temperatura del fluido en esta rama.

En el caso de la rama de reciclo, la diferencia no es tan grande como en el caso

de la rama de entrada. Esto se debe a que, antes de ingresar a la rama de reciclo, el aire pasa junto a la estructura soporte del difusor, donde pierde gran parte de su energía térmica. De esta forma, se dispone de una segunda fuente fría, que prácticamente, fija la temperatura a la salida del difusor de ambos lados del mismo.

Según la simulación, la temperatura se fija por debajo de la correspondiente a las

mediciones, ya que la estructura soporte del difusor en la simulación no llega a la misma temperatura que la que tenía ésta en el momento de las mediciones, por la misma razón que la temperatura del aire en la rama de entrada queda también por debajo de la medida experimentalmente.

Se compararon también la masa de aire dentro del circuito resultante de la

simulación, con la masa dentro del circuito real. Ambas curvas se muestran en la Figura 5.5.

0 5 10 15 20 25 30 35 400

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Tem

erat

uras

[ºC

]

tiempo [seg]

Tentrada

medición T

reciclo medición

Tenriq

medción T

entrada modelo

Treciclo

modelo T

enriq modelo


María Fernandino

69

Figura 5.5: masa total de aire en la simulación y en el circuito experimental. La masa total de aire en la simulación, fue calculada luego de terminada ésta, realizando al suma de densidad por volumen de cada nodo a lo largo de todo el circuito. La masa del circuito real se obtuvo de la misma manera, tomando temperatura constante a lo largo de varios tramos en los que se dividió el circuito para este cálculo. Todas estas comparaciones, fueron realizadas para cada estacionario del que se partía para simular los transitorios, y en todos los casos se llega a las mismas conclusiones. Por eso, sólo se presentan aquí las comparaciones de presiones, caudales, temperaturas y masas para un solo estacionario. A partir de estos resultados, se considera que se está en condiciones de simular los transitorios propuestos y compararlos con los datos experimentales con el fin de contrastar el modelo dinámico.

5.2 – Regímenes transitorios Para la contrastación del modelo analítico en régimen transitorio, se produjeron dos transitorios en el circuito experimental.

Uno de ellos consistió en arrancar el circuito con una dada cantidad de masa en su interior, y luego inyectarle otra cantidad de masa conocida para seguir el transitorio de distribución de dicha masa a lo largo del circuito.

El otro transitorio provocado consistió en un cambio en la velocidad de giro del

compresor lobular. Se había pensado en un tercer transitorio, consistente en cerrar la refrigeración

del intercambiador de calor, cuando el circuito se encontrara en una dada condición de

5 10 15 20 25 30 35 40 45 500.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

M /

Mre

f

tiempo [seg]

M / Mref

medición M / M

ref modelo


María Fernandino

70

trabajo estacionaria. Lamentablemente, este transitorio no fue posible de verificar, ya que no se apreciaban diferencias notables en el cambio de temperatura del fluido debido a que la mayor parte del calor lo perdía en la estructura del difusor. Otros dos transitorios que parecían posibles, son el arranque y parada del proceso, es decir, de los compresores. Estos transitorios podían ser medidos sin problema alguno, ya que los tiempos de establecimiento eran mayores que las respuestas temporales de los instrumentos utilizados.

Sin embargo, el problema residía en su simulación, ya que para simular un arranque o parada de los compresores, se debe tener una curva de arranque de los mismos. Y para ello era necesario ajustar parámetros de acuerdo a las mediciones, lo que llevaría obviamente, a resultados similares.

Se optó por simular transitorios en donde las evoluciones se realizaran por si

solas y no ajustando el modelo según el caso. A continuación se describen en detalle los transitorios efectuados y los resultados obtenidos para cada uno de ellos.

5.2.1 - Transitorio 1: ingreso de cantidad de masa conocida. Antes de realizar el agregado de masa, se mantuvo el circuito en funcionamiento hasta llegar a un pseudo-estacionario en lo que respecta a las temperaturas. Con el fin de conocer la cantidad de masa a ingresar, se colocó un pequeño pulmón con aire atmosférico a mayor presión que la del circuito, y se conectó al mismo en la rama de entrada. En la Figura 5.6 se muestra un esquema del arreglo. De esta manera, la masa del tanque pulmón pasó al circuito, finalizando con ambas presiones (del tanque y del circuito) igualadas.


María Fernandino

71

Figura 5.6: esquema del arreglo tanque pulmón – circuito

para la inyección de masa

El pulmón fue instrumentado con un sensor de presión absoluta (como los utilizados en el circuito) y un sensor de temperatura (también como los utilizados en el circuito). De esta manera, conociendo la presión y la temperatura del aire dentro del tanque (que se encontraba a la misma temperatura del medio, 10ºC aproximadamente), se pudo estimar la masa remanente dentro de él (Figura 5.7), y por lo tanto, la masa ingresada al circuito por unidad de tiempo. La masa en la Figura 5.7 está adimensionalizada con la masa inicial dentro del tanque.

Figura 5.7: evolución del vaciado del tanque en el circuito.

150 200 250 300 350 400 450 5000.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

M /

Min

icia

l

tiempo [seg]

Masa en el tanque pulmón / Minicial


María Fernandino

72

El punto de ingreso de masa al circuito no fue arbitrario. De haber inyectado el

aire en un lugar en la rama de reciclo, existía la posibilidad de que el aire no siguiera la dirección del aire de proceso y produjera recirculaciones hacia atrás, ya que el impulso del compresor centrífugo era sólo suficiente para vencer las fricciones dentro del circuito.

Otra opción era entonces, aprovechar el impulso del compresor lobular para

evitar esas recirculaciones. Inyectar el aire antes del compresor, implicaba poder llegar a tener inconvenientes con el funcionamiento del mismo, por los requerimientos de temperatura de trabajo que éste posee.

Por lo tanto, se optó por la rama central como punto de entrada. Así, se

aprovechó el impulso del compresor lobular, y se evitó que el aire ingresado recorriera el circuito en forma contraria a la dirección de circulación normal.

Para simular este transitorio numéricamente, al igual que para simular el

régimen estacionario, se supuso la diferencia de temperaturas del aire entre la entrada y la salida del compresor como constantes. Esto se realizó a partir de las mediciones experimentales, donde se veía que dicha diferencia se mantenía constante, como se muestra en la Figura 5.8. De esta forma, se evitó utilizar un modelo térmico de operación del compresor, ya que en operación el compresor se encontraba refrigerado, no contando con un modelo validado al respecto.

Figura 5.8: temperaturas del aire a la entrada y salida del compresor lobular

Una vez ingresada la masa de aire dentro del circuito, se aguardó que se establecieran los distintos parámetros medidos hasta alcanzar otro estado pseudo-estacionario. En la Figura 5.9 se muestra como aumenta la masa dentro del circuito experimental, y como se produce la misma evolución para la simulación numérica realizada.

0 500 1000 1500 2000 25000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Tem

pera

tura

[ºC

]

tiempo [seg]

Taire

entrada al compresor Taire salida del compresor


María Fernandino

73

Figura 5.9: aumento de masa dentro del circuito, tanto el resultado experimental como la predicción numérica.

La masa dentro del circuito y en el caso numérico, fue calculada de la misma

manera que para el caso del estacionario. Las masas en la Figura 5.9 se encuentran adimensionalizadas con la masa inicial dentro del circuito.

Para realizar la simulación, se ajustó la curva de la Figura 5.7 para obtener el

caudal másico ingresando al circuito. El tiempo de ingreso de masa al circuito fue de 120 segundos aproximadamente, terminando cuando ambas presiones, la del circuito y la del tanque, se hubieren igualado. Se observa que ambos resultados coinciden, con la simulación copiando los tiempos de evolución de las mediciones.

En la Figura 5.10 se muestran las presiones adimensionaizadas, y su evolución

frente al ingreso de masa, tanto las mediciones experimentales como los resultados de la simulación.

-50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

M /

Min

icia

l

tiempo [seg]

Masa medición Masa modelo


María Fernandino

74

Figura 5.10: evolución de las presiones, resultados experimentales y numéricos.

Las presiones fueron medidas con los sensores de presión absoluta, uno en cada rama del circuito. Se observa como los tiempos característicos de establecimiento de la simulación representan los tiempos de establecimiento medidos. Se observa también que las presiones siguen en forma rápida el aumento de masa. Y experimentalmente, se notó que los tiempos de respuesta de los sensores es menor que el tiempo característico del transitorio involucrado.

Se ve también que los valores alcanzados son los mismos, tanto para la presión de alta como para la de baja. La diferencia de presión entre la presión entre la presión de alta y la de baja, se mantiene, con lo que se espera que la relación de caudales difundido y de reciclo se mantenga similar. En la Figura 5.11 se muestran las evoluciones de los tres caudales másicos en las tres ramas del circuito. Se ve allí que la relación de caudales de reciclo y difundido se mantiene (corte igual a 0.5), tal como se predecía de la evolución de las presiones. Los tiempos de establecimiento de los caudales son los mismos que para las presiones, tanto en el modelo numérico como en las mediciones experimentales.

-50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

P /

P alta

, ini

cial

tiempo [seg]

Palta

medición P

baja medición

Palta

modelo P

baja modelo


María Fernandino

75

Figura 5.11: evolución de caudales ante el agregado de masa al circuito (resultados experimentales y teóricos).

Sin embargo, se observa una clara diferencia en el valor final del caudal de avance predicho numéricamente, con el resultado de las mediciones. Este caudal de entrada es aquel para el cual el caudal difundido por la membrana se iguala al caudal que impulsa el compresor lobular. El modelo utilizado para el difusor, fue validado en un trabajo anterior [27], y fue comprobado nuevamente en este caso para distintos valores de presiones y temperaturas medidas. Además se observa de la Figura 5.11, que el modelo predice con exactitud el caudal difundido.

Por lo tanto, esta diferencia en los caudales en la rama de entrada entre el

modelo y las mediciones, se atribuye a la inexactitud de las curvas a partir de las cuales fue modelado el compresor lobular. Se puede deber a que la velocidad de giro del compresor se midió indirectamente a través de la frecuencia de giro del motor que lo impulsaba. En caso de que sobre el compresor se efectuara un cambio de régimen, se embalara o frenara en alguna fracción por mínima que sea, el mismo efecto no se vería reflejado en la frecuencia de giro del motor impulsor. Por lo tanto, no se disponía de mediciones precisas de las rpm del compresor, consiguiendo así un valor no preciso para el caudal impulsado.

En la Figura 5.12, se muestran tres temperaturas, una en cada rama del circuito.

Todas ellas fueron medidas en el mismo sitio donde se encontraban colocadas las DPCell.

-50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

W /

Wen

trad

a, in

icia

l

tiempo [seg]

Wentrada medic. Wreciclo medic. Wenriq medic. Wentrada modelo Wreciclo modelo Wenriq modelo


María Fernandino

76

Figura 5.12: evolución de las temperaturas frente al ingreso de masa al circuito.

En el caso de las temperaturas, los tiempos de establecimiento son más largos que para las presiones y caudales, como se ve en la Figura 5.12. Sin embargo, el modelo numérico predice una respuesta más rápida al ingreso de masa que la vista por los instrumentos. Justamente, esta diferencia en los tiempos de establecimiento, se debe al tiempo de respuesta de los sensores de temperatura, que rondaba alrededor de 10 a 15 segundos.

Sin embrago, fuera de la diferencia de tiempos entre ambas respuestas, se ve que el modelo describe la bajada de temperatura en la rama central, medida en un sitio posterior al de ingreso de masa. Esta bajada de temperatura se debe en menor medida, al cambio en el coeficiente de convección al ingresar masa y aumentar el caudal en ese punto, pero principalmente al hecho de que el aire ingresado al circuito se encontraba a menor temperatura que el aire circulante por el mismo.

Igualmente, se puede concluir que en los primeros momentos del transitorio, digamos los primeros segundos, las temperaturas no influyen en el cambio de caudales y presiones en el circuito. Las mismas empiezan a tener un papel más importantes en la dinámica del circuito a tiempos más largos, luego de horas de operación.

Se observa de esta figura, que la temperatura de la rama enriquecida predicha por el modelo coincide con las mediciones experimentales realizadas. Como se explicó en la validación del estacionario (sección 5.1), esto es debido a que el intercambiador fija la temperatura de esta rama. Un agregado de masa al circuito, a una temperatura cercana a la ambiente, no modifica la temperatura de esta rama.

Las temperaturas predichas por el modelo en las otras dos ramas, difieren unos

grados de las temperaturas medidas en el circuito, estando ambas más bajas que las reales. Dado que los compresores son las únicas fuentes de calor dentro del circuito, se

-50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Tem

pera

tura

[ºC

]

tiempo [seg]

Tentrada

medic. T

reciclo medcic.

Tenriq

medic. T

entrada modelo

Treciclo

modelo T

enriq modelo


María Fernandino

77

atribuye esta baja en la temperatura predicha a la falta de un modelo térmico de operación de los mismos.

Aunque se fijó la diferencia de temperatura introducida por el compresor, se ve

en la Figura 5.8 que la temperatura a la salida del compresor lobular aumentó un poco frente al agregado de masa, mientras que en el modelo no se vio reflejado dicho cambio, ya que la temperatura de entrada al compresor quedó fija en el mismo valor debido al intercambiador.

Hasta este momento, se puede decir que el modelo representa bien los datos

experimentales medidos durante el transitorio. Lo que faltaría es tener un mejor modelo térmico del compresor lobular y del centrífugo, factor importante en la dinámica térmica del circuito entero.

5.2.2 - Transitorio 2: cambio en la velocidad de giro del compresor lobular. Otro transitorio simulado numérica y experimentalmente con el fin de verificar el modelo planteado, fue realizar un cambio en la velocidad de giro del compresor lobular. Se bajaron las rpm de giro a casi la mitad del valor inicial (el utilizado en el transitorio anterior). Cabe resaltar que en este caso, el compresor lobular cambia significativamente su condición de trabajo, y ya no mantiene una diferencia de temperatura del aire, entre la entrada y la salida, constante. Debido a lo ya explicado respecto de este compresor, es que no tuvo sentido comparar los resultados numéricos de las temperaturas con los medidos experimentalmente.

Sin embargo, la comparación de las demás variables sigue siendo válida, ya que

como se vio en el transitorio anterior, la evolución de las temperaturas dentro del circuito influye en la dinámica del proceso a largo plazo, mientras que los cambios de presiones y caudales se producen casi instantáneamente.

La bajada de velocidad de giro del compresor se realizó manualmente, girando una perilla hasta llegar a la frecuencia de giro deseada. En realidad, lo que se controlaba de esta manera era la frecuencia de giro del motor, e indirectamente la velocidad de giro del compresor.

Para la simulación numérica de la disminución de la velocidad de giro el

compresor, se supuso una dependencia lineal de la velocidad de las rpm con el tiempo, durante un lapso similar al demorado en bajar las revoluciones experimentalmente.

En la Figura 5.13, se muestra la evolución temporal de presiones, tanto la

medida experimentalmente como la resultante de la simulación. Se observa allí como la diferencia de presiones entre la alta y la baja disminuye.

Esto es resultado de disminuir el impulso entregado por el compresor lobular, responsable de mantener la baja presión del lado enriquecido del difusor, y de recuperar


María Fernandino

78

la pérdida de carga del aire en el proceso de difusión, devolviéndole la alta presión que traía antes del proceso.

Al disminuir la diferencia de presiones, se espera que el caudal difundido por la

membrana disminuya.

Figura 5.13: evolución temporal de las presiones,

resultados experimentales y teóricos. Se observa de la Figura 5.13 que las presiones que predice el modelo coinciden con las presiones de las mediciones experimentales, tanto la bajada de la presión de alta, como el aumento de la de baja. Ambas presiones se encuentran adimensionalizadas con la presión de alta inicial.

En las curvas experimentales se llega a observar la pendiente recta de bajada de las presiones, producto de suponer una disminución lineal de la velocidad de giro del compresor. Si se observan ahora la evolución de los caudales en la Figura 5.14, se ve que, según se predijo, el caudal de la rama enriquecida disminuyó debido a la disminución de la diferencia de presiones a ambos lados del difusor. El caudal de la rama de entrada se vio también disminuido, mientras que el caudal de la rama de reciclo permaneció constante, a menos de la perturbación observada en el momento de la disminución de las rpm del compresor. El corte pasó ahora de 0.5 a 0.37 aproximadamente.

0 20 40 60 800.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

P /

P inic

ial

tiempo [seg]

Palta

medic. P

baja medic.

Palta

modelo Pbaja modelo


María Fernandino

79

Figura 5.14: evolución temporal de caudales al disminuir las rpm del compresor lobular.

Se observa como los resultados de la simulación reproducen los resultados experimentales, siguiendo ambos la misma evolución. En el caso de los caudales de reciclo y de la rama enriquecida, los caudales simulados parten de condiciones cruzadas respecto de las mediciones. Esta diferencia se debe a las incertezas en el caudal entregado por el compresor lobular en la simulación (su punto de funcionamiento) respecto de las mediciones experimentales. Pero sí se ve que reproduce perfectamente las tendencias en la evolución temporal luego de producido el cambio en las rpm del compresor. La diferencia en la forma de disminución o aumento de los caudales simulados con respecto a los medidos, se debe al hecho de que se supuso una disminución lineal de las rpm del compresor. En las curvas experimentales se observa que esta disminución no fue exactamente lineal, y que se produjeron perturbaciones en la velocidad de giro del mismo.

0 20 40 60 80 1000.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

W /

Win

icia

l

tiempo [seg]

Wentrada medic. Wreciclo medic. Wenriq medic. Wentrada modelo Wreciclo modelo Wenriq modelo


María Fernandino

80

Figura 5.15: mediciones experimentales de las temperaturas al

producir un cambio en las rpm del compresor.

En la Figura 5.15 se muestran las temperaturas del aire en las tres ramas del circuito. Sólo se muestran los resultados de las mediciones experimentales dado que carecía de sentido compararlos con los resultados numéricos, sabiendo a priori que no se representarían los mismos resultados. A pesar de que en este transitorio no se pudo comparar la evolución de las temperaturas en el circuito por las razones explicadas anteriormente, se puede decir que el modelo predice perfectamente los cambios de presiones y caudales en el circuito ante este transitorio propuesto. Esto se debe a la poca influencia de la parte térmica en los primeros segundos del transitorio. Dado que en el transitorio anterior también se lograron predecir las nuevas presiones y caudales así también como los tiempos de establecimiento de los mismos, junto además con la evolución de temperaturas, se puede decir que se tiene un modelo verificado para la simulación de transitorios de masa y presión en este circuito cerrado de enriquecimiento. Faltaría poder tener un mejor modelo térmico del compresor lobular y del centrífugo, con respecto a la parte de refrigeración y de la velocidad de giro del mismo, así como también de las pérdidas al ambiente por parte de las estructuras.

0 20 40 60 800

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Tem

pera

tura

[ºC

]

tiempo [seg]

Taire entrada T

aire reciclo

Taire

enriq.


CAPÍTULO 6

Análisis de Transitorios En este capítulo se simulan algunos transitorios, con el fin de poder analizar el comportamiento de las distintas variables. Se comparan los tiempos de establecimiento de cada una de ellas, y en particular, se presta atención a los resultados concernientes a las concentraciones.

6.1 – Agregado de nitrógeno al circuito

Habiendo comparado los resultados de la simulación con los resultados experimentales, y viendo que el modelo representa correctamente el régimen estacionario, se simuló un estacionario de concentraciones de nitrógeno a lo largo del circuito, para luego poder utilizarlo como punto de partida para la simulación de transitorios.

No se realizaron mediciones respecto de este parámetro, dado que la

instrumentación con la que se contaba, impidió realizar predicciones con un mínimo nivel de incertezas, pero se utilizó la simulación para extraer algunas conclusiones en el momento de la simulación de transitorios.

En la Figura 6.1 se muestra la distribución de nitrógeno a lo largo del circuito en

estado estacionario. A partir de aire atmosférico a concentraciones naturales de nitrógeno y oxígeno en la rama de entrada, se observa como el aire que difunde por membrana se enr iquece en las moléculas más livianas, o sea, en nitrógeno. El enriquecimiento está cercano al 0.7% respecto del valor de concentración ingresando en el difusor.

CAPÍTULO 6 – Análisis de Transitorios

María Fernandino

82

Figura 6.1: concentraciones de nitrógeno a lo largo del circuito.

A partir del régimen estacionario anterior, se simuló un transitorio de agregado de masa al circuito, y se obtuvieron los perfiles de concentraciones de nitrógeno a lo largo del mismo.

En lugar de ingresar aire en concentraciones atmosféricas, el transitorio de

ingreso de masa fue realizado suponiendo que lo que ingresaba era puramente nitrógeno gaseoso. Tanto la masa ingresada como los demás parámetros fueron los mismos que para el resto del transitorio utilizado como primera validación en la sección 5.2.1, excepto por la diferencia de nitrógeno al 100% en vez de al 79%, como se lo encuentra en el aire atmosférico. En la Figura 6.2 se muestra la evolución de concentraciones (en % de fracción molar) durante el ingreso de nitrógeno gaseoso al circuito.

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2075

76

77

78

79

80

81

82

83

frac

ción

mol

ar [%

]

tiempo [seg]

XN2

entrada X

N2 reciclo

XN2 enriquecida


María Fernandino

83

Figura 6. 2: evolución de concentraciones durante el agregado de nitrógeno a circuito.

El nodo cero representa el punto del circuito donde se juntan las dos corrientes, la de reciclo y al enriquecida. La simulación de inyección de nitrógeno se realizó por el nodo 2, nodo posterior al 0 en la rama de entrada. El nodo 6 es un punto aguas debajo de dicha inyección. Se ve en la Figura 6.2, como aumenta más rápidamente la concentración en el nodo 6 que en el 0 por este motivo. Finalmente y como es de esperar, ambos llegan al mismo valor de concentración.

La concentración en el aire difundido aumenta, manteniendo una relación con la

concentración de entrada ahora cercana al 0.5%. La ganancia de enriquecimiento ? se encuentra en el orden del 2.4%.

Los tiempos de establecimiento de las concentraciones, según predice el modelo numérico, están en el orden de los 120 segundos, tiempo que se demoró en inyectar toda la masa al circuito.

6.2 – Tiempos de establecimiento Simulando un aumento instantáneo en la velocidad de giro del compresor lobular, se analizan más en detalle los tiempos de establecimiento de las diferentes variables, ya que con transitorios más lentos como fue el agregado de masa, no siempre se puede ver la diferencia.

-50 0 50 100 150 200 250 300 35078

79

80

81

82

83

84

85

86

87

frac

ción

mol

ar [

%]

tiempo [seg]

XN2

rama central (nodo 0) X

N2 rama central (nodo 6)

XN2

reciclo X

N2 enriq


María Fernandino

84

En la Figura 6.3 se observaban las presiones de alta y de baja, luego del aumento de rpm del compresor.

Figura 6.3: evolución temporal de presiones.

El cambio de rpm del compresor fue simulado como un cambio instantáneo. En la Figura 6.1 se ve que a las presiones les lleva unos tres a cinco segundos llegar a un nuevo estacionario. En el caso de la presión del lado de alta, se observa un cambio apreciable, mientras que en la de baja, el cambio es ínfimo. La diferencia entre la permanencia casi constante de la presión del lado de baja frente al cambio observado en el lado de alta presión, se debe a la diferencia de volúmenes entre ambos circuitos. El circuito de baja presión, incluye en su volumen a la rama enriquecida y a la calota externa al difusor, que presenta el mayor volumen de todo el circuito.

Esta diferencia en los cambios de ambas presiones, lleva a que la diferencia de presiones a ambos lados del difusor aumente, con lo que debería observarse un aumento en el caudal difundido hacia la rama enriquecida. En la Figura 6.4, se muestra que efectivamente, el caudal difundido aumenta. Se muestran también los caudales másicos por las otras dos ramas del circuito.

15 20 25 30 35 40 450.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

P /

Pal

ta, i

nici

al

tiempo [seg]

Palta

Pbaja


María Fernandino

85

Figura 6.4: caudales másicos de aire en la tres ramas del circuito.

En esta figura se observa que los caudales ven el cambio de rpm instantáneamente, con un tiempo de establecimiento final de alrededor de 3 segundos, al igual que se observó para el caso de las presiones. Si observamos las temperaturas en el circuito, como se muestra en la Figura 6.5, vemos que la respuesta al cambio de rpm, es casi instantánea. Se observa que el tiempo de establecimiento a corto plazo de las temperaturas es del mismo orden que el de las presiones y caudales.

Figura 6.5: temperaturas en las tres ramas del circuito.

15 20 25 30 35 40 450.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

W /

Wen

trad

a, in

icia

l

tiempo [seg]

Waire entrada [kg/s] W

aire reciclo [kg/s]

Waire

enriq [kg/s]

15 20 25 30 35 40 455

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Tem

pera

tura

[ºC

]

tiempo [seg]

T entrada T reciclo T enriq


María Fernandino

86

Se observa también que el aumento más importante de temperatura del aire sucede en la rama de entrada, donde el aire es influenciado directamente por el compresor lobular. Al aumentar las rpm del compresor, la relación de compresión aumenta, con lo que la temperatura del aire a la salida del compresor también, debido a un aumento en el trabajo de compresión sobre el aire. A lo largo de la rama de entrada, el aire va perdiendo esa energía térmica adquirida por la compresión. Al llegar al difusor, entra en contacto con la estructura soporte del mismo, donde pierde gran parte de la energía térmica restante. El aire difundido además, pasa a través del intercambiador, depositando allí la energía restante.

En el caso del aire que es reciclado, éste no llega a depositar toda la energía en la estructura, con lo que todavía se aprecia una variación de la temperatura del aire en esa rama. Cabe recordar que las temperaturas en el circuito presentan un segundo tiempo de establecimiento del orden de horas (observado experimentalmente), debido a la inercia térmica de las estructuras. Esta larga evolución es seguida también por las presiones y caudales. Se simularon también los transitorios de concentraciones de nitrógeno en el aire circulante. En la Figura 6.6 se muestran los caudales molares de nitrógeno en unidades de [mol/seg], adimensionalizados con el caudal inicial en la rama de entrada.

Figura 6.6: caudales molares de nitrógeno circulando

por las tres ramas del circuito Si se comparan la Figura 6.6 (correspondiente al caudal molar de nitrógeno) con la Figura 6.4 (correspondiente al caudal másico de aire), se ve que ambos presentan el

15 20 25 30 35 40 450.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

W /

Wen

trad

a, in

icia

l

tiempo [seg]

WN2 entrada [mol/s] WN2 reciclo [mol/s] W

N2 enriq [mol/s]


María Fernandino

87

mismo comportamiento, siendo consistentes entre sí. El tiempo de establecimiento también es el mismo, y el cambio es casi instantáneo con el cambio de rpm del compresor. Para conocer la relación entre la cantidad de moles de cada especie, se dispone de la gráfica de la Figura 6.7. En dicho gráfico se presenta la fracción molar de nitrógeno, es decir, la cantidad de moles de nitrógeno frente a los de aire (oxígeno más nitrógeno) por unidad de volumen.

Figura 6.7: fracciones molares de nitrógeno en cada rama del circuito.

Lo que primero se observa en esta figura, es la diferencia en el tiempo de establecimiento con respecto a las otras variables ya consideradas. Estos tiempos están aproximadamente cinco veces por encima de aquellos correspondientes a los de caudales o presiones. Otra particularidad que llama la atención sobre este gráfico, es el hecho de que la fracción molar de nitrógeno se vea incrementada en dos de las ramas, y que en la tercer rama permanezca constante. Para comprobar la conservación de masa de aire y de especies, se cuenta con las Figuras 6.4 y 6.6 respectivamente. De allí se puede ver que dichas magnitudes se conservan. El hecho de que las curvas de fracciones molares parezcan no tener el mismo comportamiento, tiene otra explicación. Al aumentar instantáneamente las rpm del compresor lobular, lo que se está haciendo es dar un mayor impulso al aire que se encuentra antes del compresor, en este caso, el aire de la rama enriquecida. Este impulso extra, ingresa a la rama de entrada una

15 20 25 30 35 40 45

78.6

78.8

79.0

79.2

79.4

79.6

79.8

frac

ción

mol

ar [%

]

tiempo [seg]

XN2

entrada XN2 reciclo XN2 enriq


María Fernandino

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masa de aire enriquecida en nitrógeno. Es por ello que se observa el pico en la curva correspondiente a esta rama. Al mismo tiempo y como se vio en la Figura 6.3, la diferencia de presiones a ambos lados del difusor aumentó. De esta forma, también se incrementó el caudal de aire hacia el lado difundido, provocando un aumento en el corte (relación entre caudal difundido y caudal que ingresa al difusor). El aumento de corte, produce una disminución de la ganancia de enriquecimiento. Efectivamente, se observa en la Figura 6.7 como la diferencia relativa entre la fracción molar en la rama de entrada y la enriquecida disminuyó. Mientras que la fracción molar de nitrógeno aumentó en la rama central, se ve como ésta disminuye en la rama de reciclo. Esto se debe a que el caudal difundido se vio aumentado, difundiendo también una mayor cantidad de moles de nitrógeno. De esta forma, la rama de reciclo disminuye su cantidad de moles de nitrógeno. La rama enriquecida aumenta levemente la fracción molar de nitrógeno ya que a pesar de haber aumentado el caudal de aire difundido (nitrógeno y oxígeno), esta sección del circuito es la que posee la mayor parte del volumen total del circuito. Por ello, un cambio en la cantidad de moles en esta rama no muestra diferencias significativas como las otras dos. Con la simulación de este transitorio, se volvieron a observar los mismos tiempos características de establecimiento que en el apartado anterior.

Los caudales y presiones se establecen en los primeros 3 a 5 segundos de ocurrido el transitorio. Las temperaturas también, pero no influyen en las otras dos variables en ese corto plazo. A las concentraciones, en cambio, les lleva de 15 a 20 segundos llegar al nuevo estacionario.

Esto puede ser considerado como una ventaja en el momento de realizar mediciones experimentales de concentraciones. El requerimiento temporal de respuesta de los instrumentos, debería rondar los 5 segundos en caso de pretender observar todas las perturbaciones, o hasta los 10 segundos en caso de no requerir tanto detalle.

6.3 – Extracción de masa Luego de haber alcanzado un nuevo estado estacionario a partir del transitorio anterior, se decidió realizar una extracción de masa desde la rama de reciclo. De esta forma, se extrae aire empobrecido en nitrógeno. El objetivo de esta simulación es, principalmente, observar la nueva distribución de concentraciones a lo largo del circuito. Comenzando con la presión, como se muestra en la Figura 6.8, se ve que ambas presiones disminuyen al extraer masa del circuito.


María Fernandino

89

Figura 6.8: presiones de alta y de baja, frente a una extracción de masa del circuito.

El cambio en la presión de baja vuelve a ser menor que en el de alta, debido nuevamente a la diferencia de volúmenes entre ambos circuitos. De esta manera, la diferencia de presión a ambos lados del difusor disminuye, con lo que el caudal difundido se verá también disminuido. En la Figura 6.9 puede verse la evolución temporal de caudales luego de la extracción. El caudal difundido disminuye por el cambio en la diferencia de presiones. El caudal de reciclo disminuye durante la extracción, y se observa de la gráfica como se reacomoda, al igual que el resto de los caudales, al finalizar la misma. Lo mismo sucede con al rama de entrada al difusor.

Figura 6.9: caudales másicos de aire en las tres ramas del circuito

45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 1100.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

P /

Pal

ta, i

nici

al

tiempo [seg]

Palta

Pbaja

45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 1100.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

W /

Wen

trad

a, in

icia

l

tiempo [seg]

Waire

entrada [kg/s] W

aire reciclo [kg/s]

Waire enriq [kg/s]


María Fernandino

90

Al variar en la misma proporción el caudal difundido y el de entrada, el corte no se vio afectado, con lo que tampoco se verá afectada la ganancia de enriquecimiento. En la Figura 6.10 se muestran los caudales molares de nitrógeno. Se ve que tienen el mismo comportamiento que los caudales másicos totales. Al estar adimensionalizados con los caudales iniciales en cada caso, los valores son los mismos en ambos gráficos.

Figura 6.10: caudales molares de nitrógeno en las tres ramas del circuito. El caudal molar de la rama de reciclo disminuye debido a la extracción, al igual que los demás caudales, reacomodándose todos ellos en un nuevo estado estacionario al finalizar la extracción. La Figura 6.11 muestra las fracciones molares de nitrógeno en cada tramo del circuito.

45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 1100.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

W /

Wen

trad

a, in

icia

l

tiempo [seg]

WN2 entrada [mol/s] WN2 reciclo [mol/s] WN2 enriq [mol/s]


María Fernandino

91

Figura 6.11: fracciones molares de nitrógeno en el circuito.

Se observa en este gráfico que el hecho de extraer masa empobrecida en nitrógeno del circuito, hace que se llegue a un nuevo estado estacionario con una concentración molar media mayor. Es decir, se tiene menos masa en el circuito pero una mayor proporción de nitrógeno con respecto al total de aire. Primero se observa la variación de concentraciones en la rama de reciclo, lugar de la extracción. Dado que se extrae más proporción de aire que de nitrógeno, la concentración aumenta. Segundos más tarde se aprecia la variación en la rama central, también con tendencia en aumento. El aumento es menor ya que según se ve de la Figura 6.10, el mayor aporte de nitrógeno hacia esta rama lo hace el caudal del lado enriquecido, y no sólo eso sino que este caudal se encuentra enriquecido en ese gas. Las concentraciones en la rama enriquecida sufren un menor aumento debido al gran volumen de esta sección del circuito. Se recuerda que en todo el transitorio ni el corte ni la ganancia de enriquecimiento sufrieron cambios apreciables. Al extraer un 5% de la masa total de aire empobrecido del circuito, se logró un enriquecimiento un 0.04% mayor.

45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110

78.6

78.8

79.0

79.2

79.4

79.6

79.8

frac

ción

mol

ar [%

]

tiempo [seg]

XN2

entrada X

N2 reciclo

XN2

enriq


CAPÍTULO 7

Conclusiones

Se desarrolló en este trabajo un primer modelo unid imensional de transitorios dinámicos para un circuito representativo de una etapa aislada de una planta de enriquecimiento. Los resultados numéricos del modelo fueron contrastados contra mediciones experimentales en un circuito construido a tal fin. La verificación se realizó primero para regímenes de operación pseudo-estacionarios y posteriormente para regímenes transitorios. Se verificó el modelo frente a transitorios de agregado de masa al circuito, y frente a un cambio en la velocidad de giro del compresor de avance. En ambos casos el modelo describió la dinámica dentro del circuito, con una buena concordancia para los tiempos de establecimiento así como para los valores de los parámetros hidráulicos.

En el caso de agregado de masa al circuito, el tiempo de respuesta de los sensores de temperatura no permitió ver pequeñas perturbaciones en esa variable, de acuerdo a lo predicho por la simulación numérica.

En ambos transitorios, se observó una diferencia entre los caudales simulados y los medidos en la rama de entrada. Este hecho está directamente relacionado con el modelo del compresor, que a falta de un control directo sobre su velocidad de giro, no pudo ser adecuadamente caracterizado.

El modelo térmico del compresor no pudo ser verificado, ya que no se disponían de datos suficientes sobre al refrigeración del mismo.

Por otra parte, debido a los tiempos característicos involucrados tampoco fue

posible caracterizar experimentalmente el comportamiento térmico de las estructuras.

CAPÍTULO 7 - Conclusiones

María Fernandino

93

Con respecto a las mediciones experimentales cabe destacar que los transitorios

de las variables termohidráulicas pudieron ser en general razonablemente medidas, no ocurriendo lo mismo con la concentración de especies dadas las características del sensor disponible. Para un trabajo futuro, se aconseja que la cadena de medición de concentraciones permita registrar evoluciones con un tiempo de respuesta menor a los 5 segundos.

Uno de los inconvenientes que se presentaron al querer comparar los resultados numéricos con los experimentales, es que no se disponía de datos necesario sobre la refrigeración de los compresores. En caso de volver a utilizar estos últimos, se aconseja instrumentar las entradas y salidas de refrigeración para poder estimar los caudales y temperaturas del refrigerante. Además debe contarse con una adecuada medición de la velocidad de giro del compresor lobular y una adecuada medición de la curva característica de los mismos.

Con respecto a los resultados obtenidos sobre la dinámica del circuito, se observaron diferentes tiempos característicos de establecimiento. En primer lugar, las presiones y caudales se establecían rápidamente con tiempos del orden de unos pocos segundos. Estas variables no se veían influenciadas en esos primeros segundos por los cambios térmicos en el circuito.

Luego se encontraban las concentraciones, cuyo tiempo de establecimiento era un poco más largo, de dos a cinco veces mayor que el de las presiones. Y por último, se encontraban las temperaturas. Las mismas tenían un primer establecimiento rápido, siguiendo el transitorio (aunque sin influir en la dinámica de las demás variables como presiones y caudales), y luego un transitorio de establecimiento final de horas, según se vio experimentalmente. Estos tiempos se debían a la inercia térmica de las estructuras del circuito. Las presiones y por ende los caudales, seguían esta evolución lenta de las temperaturas.

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Referencias [1] World Nuclear Association, abril 2002. (www.world-nuclear.org) [2] Uranium Information Centre, 2001, Australia (www.uic.com.au). [3] Florido, Bergallo & Brasnarof, Solicitud de Patente del concepto SIGMA . Informe técnico interno, Comisión Nacional de Energía Atómica CNEA-CAB-60/03/97. [4] Pablo Orellano, Validación Experimental de Modelos para el Diseño de Plantas SIGMA , tesis de ingeniería nuclear, junio 2001. [5] Frank M. White, Mecánica de Fluidos, ed. McGraw-Hill, 1988, México. [6] Frank M. White, Mecánica de Fluidos, ed. McGraw-Hill, 1988, México. [7] Frank M. White, Mecánica de Fluidos, ed. McGraw-Hill, 1988, México. [8] J. E. Meyer, Hydrodynamic Models for the Treatment of Reactor Thermal Transients, NUCLEAR SCIENCE AND ENGINEERING, 10, 269-277 (1961). [9] Frank M. White, Mecánica de Fluidos, ed. McGraw-Hill, 1988, México. [10] Pablo Orellano, Validación Experimental de Modelos para el Diseño de Plantas SIGMA , tesis de ingeniería nuclear, junio 2001. [11] S. Villani, Isotope Separation, American Nuclear Society, 1976. [12] Martín E. Rivarola, Diseño Competitivo de Plantas de Enriquecimiento por Difusión Gaseosa, tesis de ingeniería nuclear, 1998. [13] Frank P. Incropera & David P. DeWitt, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 4ta edición, ed. John Wiley & Sons, 1996. [14] Frank P. Incropera & David P. DeWitt, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 4ta edición, ed. John Wiley & Sons, 1996.

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[15] Frank P. Incropera & David P. DeWitt, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 4ta edición, ed. John Wiley & Sons, 1996. [16] Frank P. Incropera & David P. DeWitt, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 4ta edición, ed. John Wiley & Sons, 1996. [17] William W. Batlle, Fundamentals of Gas Turbines, 2da edición, J.Wiley & Sons, 1996. [18] Frank P. Incropera & David P. DeWitt, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 4ta edición, ed. John Wiley & Sons, 1996. [19] Frank P. Incropera & David P. DeWitt, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 4ta edición, ed. John Wiley & Sons, 1996. [20] G. Marshall, Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales, tomo 2, Ed. Reverté, Buenos Aires, Argentina., 1985. [21] G. Marshall, Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales, tomo 2, Ed. Reverté, Buenos Aires, Argentina., 1985. [22] LANL, EEUU, POOMA: Parallel Object Oriented Methods and Applications, http://www.acl.lanl.gov/Pooma/ [23] Adept Scientific, Diffpack: OONumerics, Reino Unido, http://www.adeptscience.co.uk/pressroom/articles/diffpack03-01.html [24] Computational Fluid Dynamics Research Laboratory, Application of OOP to computational Fluid Dynamics, EEUU. http://www.cfdrl.uc.edu/~bduncan/oopcfd.htm [25] Miller R. W., Flow Measurement Engineering Handbook, McGraw Hill, Pub. Co., 1989. [26] Miller R. W., Flow Measurement Engineering Handbook, McGraw Hill, Pub. Co., 1989. [27] Pablo Orellano, Validación Experimental de Modelos para el Diseño de Plantas SIGMA , tesis de ingeniería nuclear, junio 2001.

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Agradecimientos

En primer lugar, quiero agradecer a mi mamá Stella, mi hermana Virginia y mi papá Esteban, que desde el principio me apoyaron en la idea de seguir esta carrera, y que siempre estuvieron acá cerca conmigo a pesar de la distancia. Muchas gracias también a todo el resto de la familia (son muchos para nombrar uno por uno), por su incondicional apoyo. Un agradecimiento muy especial a Carlos, con quien compartí este último año, y quien me apoyó muchísimo en todos los aspectos. Hasta soportó por segunda vez la loca experiencia de estar a las corridas y sin dormir sentado frente a una computadora un mes antes de recibirse!! (¿o fue la primera?). Muchas gracias a mis directores, Daniel y Darío, por su apoyo y ayuda a lo largo de todo el trabajo, y que no desesperaban (o lo disimulaban bien) aun cuando parecía que nada funcionaba bien. A Martín y Kyu, quienes se ganaron unos viajecitos a Pilcaniyeu para acompañarme, y eso que todavía no les he hecho la prometida torta. A Osvaldo, quien también se hizo unos viajes hasta Pilca para ayudarme con el circuito. A Pablo O., por la ayuda con la eterna lucha de las mediciones experimentales. A Pablo Zanocco, por compartir conmigo su propia experiencia en el problema de modelado numérico.

A toda la gente de la división, el Pampa, Juan, Palito, Nando, que siempre estuvieron dispuestos a brindarme ayuda.

A mis compañeros de curso y amigos, Mora, Chris y Marcos, por todo lo que

compartimos juntos, y que no me ahorcaron cuando les abría la ventana del aula en pleno invierno, entre otras cosillas...

A mis amigos del instituto, el Oso, Ruben, Miguel, Pablo, que tuvieron que

aguantar mis locuras durante cuatro años. A mis amigos de Pringles, especialmente a Lorena, Lucrecia, Marcelo, Raquel, Silvia, y María Ángela, por aguantar entre otras cosas mis largas desaparecidas por mail, y por seguir conservando la misma amistad de siempre.

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