Trabajo Derrame de Tanques

7/31/2019 Trabajo Derrame de Tanques

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FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE QUIMICA

TECNOLOGIA E INGENIERÍA

CURSO:ANALISIS Y SIMULACION DE PROCESOS

DERRAME DE TANQUES

CCAATTEEDDR R AATTIICCOO :: ING. PASCUAL VÍCTOR GUEVARA YANQUI

AALLUUMMNNOO :: MUCHA LOPEZ, FRANK

IX SEMESTRE

SSEECCCCIIÓÓNN :: ““AA””

HHuuaannccaa y yoo 22001100



I. OBJETIVOS

1.1. OBJETIVO GENERAL

Determinar el modelo matemático de la descarga de agua de un tanque cilíndrico conectado

a un tubo horizontal como set de salida utilizando el lenguaje de programación Matlab.

1.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Determinar la altura de un liquido en cualquier instante

Determinar el tiempo requerido para vaciar completamente el depósito.



RESÚMEN

El presente trabajo tubo como objetivo formular un modelo matemático aplicando los mecanismos de

transferencia físico y químico. Se obtuvo tres modelos matemáticos, todos comparados con los datos

obtenidos experimentalmente.

d

D H t

A g

2

08

Tiempo de descarga sin considerar las pérdidas de energía por fricción

d

d

D H

t .C .A g

2

08

Tiempo de descarga considerando el coeficiente de descarga

K D

Lf

gh v

1

23

Modelo matemático considerando las pérdidas de energía

El experimento consistió en el vaciado de un tanque conectado a un tubo horizontal cerca de la base.

El cilindro tubo un diámetro de 12.9cm (regla Heuristica 1-1) y el tubo de descarga conto con un

diámetro de 0.4cm, el experimento se realizo a 15 ºC lo cual sirvió para obtener datos como densidad

y viscosidad del liquido.

Varios de los cálculos necesitaron la resolución por medio de métodos numéricos como es el

Mínimos cuadrados y Runge Katta.

Los datos obtenidos por los modelos matemáticos planteados arrojan un porcentaje de error igual al

18.03% para el primer modelo matemático, 0.876% con relación al segundo modelo y un 7.43 % deerror para el tercer modelo matemático.



II. MARCO TEÓRICO

a. Balances Macroscópicos en Sistemas Isotérmicos

Los balances macroscópicos son muy utilizados en el análisis de sistemas ingenieriles de

flujo los balances se aplican descartando los términos que resultan despreciables en un determinado

problema.

Para saber que términos pueden despreciarse se requiere cierta intuición y en algunos casos

se necesitan algunas observaciones experimentales acerca del comportamiento del flujo.

b. Balance Macroscópico de Materia

La ley de la conservación de la masa establece que la masa no puede ser ni creada ni destruida. Con

respecto al volumen de control, se puede enunciar la ley de conservación de la masa de la siguiente

manera.

La expresión integral que corresponde al equilibrio de la masa en un volumen general de control:

c.s. c.v .

v n dA dV t

0 1

Figura 1: Flujo permanente unidimensional en un volumen de control

El valor absoluto del producto escalar (v.n) es igual a la magnitud de la velocidad en cada una de lasintegrales ya que los vectores velocidad, así como los vectores normales dirigidos hacia fuera soncolineales, tanto en (1) como en (2).

En (2) ambos vectores tienen el mismo sentido, por lo que el producto es positivo

La expresión de la conservación de la masa se simplifica a:

222111

S vS vdt

dmtot

2



Donde mtot es la masa total de fluido contenida entre los planos 1 y 2. Utilizando el símbolo

S vw para la velocidad y la notación w para12

ww (el valor de salida menos el valor a la

entrada), el balance macroscópico de materia en estado no estacionario se transforma en:

wdt

dmtot 3

En estado estacionario, la masa total de fluido en el sistema no varía con el tiempo, entonces el

balance macroscópico de materia en estado estacionario es:

0w 4

Es decir, que la cantidad de materia que entra es igual a la que sale.

c. Balance Macroscópico de Energía Mecánica

El balance macroscópico de energía mecánica en estado no estacionario para flujo isotérmico:

Figura 1: Volumen de control con flujo unidimensional a través de las fronteras

s u

c.s. c.v.

W W Q P e v n dA e dV

t t t t

5

Para un sistema en estado estacionario y sin pérdidas debidas a la fricción :

s

c.s.

W Q P e v n dA

t t

6

d. Número de Reynolds (Re)

z D v Re

7

e. Factor de Fricción (f)



Flujo laminar (Re < 2,1x103) f

Re

648

Flujo Turbulento (2,1x103

< Re <105)

.f

Re 1 4

0 3169

f. Ecuaciones para el tiempo de escurrimiento en un tanque

i. Ecuación analítica sin considerar pérdidas de energía

Se tiene el esquema del tanque:

DATOS DEL TANQUE:

D= 12.9cmD=0.4cm

L=3cmH=10cm

Figura 2: Descarga de un líquido de un tanque cilíndrico

Tomando el punto (2) como punto de referencia para todos los siguientes cálculos.

Balance de materia

Adh d

v v dt A D

2

2

3 3

110

Para obtener la velocidad en el punto 3, necesitamos el balance de energía.

Balance de Energía Mecánica

Utilizamos la ecuación directa de Bernoullí y despreciando las perdidas de energía por fricción, la cual

está formulada de la siguiente manera para nuestros 2 puntos de estudio:

g

v z

g

P

g

v z

g

P

22

2

3

3

3

2

1

1

1

11

c.s. c.v .

c.v.

v n dA dV t

dV v n dAt

dV v n dA

dt

D d dV A dh ; A ; A

dh A v A

dt

3 3

3 3

2 2

1 1 3

1 3 2

0

4 4



P1 = P3 = P0 (Presión atmosférica)

v1 0 (despreciable)

z3 = h3 = 0 (nivel de referencia)

z1 = h1 = h(t) (variable con el tiempo)

Resultando:v gh

32 12

Sustituyendo (12) en (10) y reordenando se obtiene:

dh d gh

dt D

2

2 13

Integrando la ecuación diferencial de primer orden (13) asumiendo como límites:

t = 0 ; h = h1 – h3 = H (porque tomamos como nivel de referencia a h3)

t = td ; h = h1 = h3 = 0

d t

H

d

dh d g dt D h

. H D t

d g

d A A

20

0

2

2

0 3

2

4

8

4

14 Tiempo de descarga sin considerar las pérdidas de energía por fricción

d

D H t

A g

2

08

ii. Considerando el coeficiente de descarga Cd.

d V C C C .C 15

Tomando la ecuación:

v gh 3

2

El cociente entre la velocidad real, vR, y la teórica, v3, recibe el nombre de coeficiente de velocidad

Cv, es decir:

R V

v C

v

3

16

Por lo tanto:

R, V v C gh 3

2 17



Figura 4: Fenómeno de contracción del líquido por el orificio.

C

AC

A 2

0

18

Obtenemos la siguiente ecuación

d v C gh 3

2 19

Obteniendo de esta forma la ecuación para el tiempo de descarga

d

d

D H t

.C .A g

2

08

calculando Cd

d

d

d

d

D t H

.C .A g

D K .C .A g

Ln t Ln K Ln H

2

0

2

0

8

8

1

2

20

La última expresión trata de linealizar la ecuación para obtener mediante el método de mínimos

cuadrados el valor de Cd.

iii. Modelo matemático considerando las pérdidas de energía

Corrigiendo la ecuación 11 con la perdida de energía en la tubería y el orificio.

g

v K

g

v

D

Lf

g

v z

g

P

g

v z

g

P

h h g

v z

g

P

g

v z

g

P p f

2222

22

2

3

2

3

2

3

3

3

2

1

1

1

2

3

3

3

2

1

1

1

21

Tomando en cuenta:

P1 = P3 = P0 (Presión atmosférica)

v1 0 (despreciable)

z3 = h3 = 0 (nivel de referencia)

z1 = h1 = h(t) (variable con el tiempo)

Obteniendo así:

K D

Lf

gh v

1

23

22

Ordenando la ecuación



Adh d

v v dt A D

2

2

3 3

1

10

III. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

2.1 EQUIPOS Y MATERIALES

Recipiente graduado de 12.9 cm de diámetro y 10 cm de alto (Tanque para simular el

tiempo de descarga).

1 cronómetro.

1 Pie de Rey

2.2 REACTIVOS

Agua

2.3 PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

Tomar todos los datos necesarios como temperatura del agua, densidad, y

viscosidad.

Llenar el tanque hasta una altura h1

Empezar con la descarga del líquido.

Anotar el tiempo que toma en descargar una altura h3 determinada

Repetir 3 veces tomando los datos de tiempo (s) y altura (m)

Medir otra altura del líquido (h1) en el tanque y repita la secuencia anterior

manteniendo fijo el valor de h3.



IV. CÁLCULOS Y RESULTADOS

4.1 Datos de las condiciones de trabajo:

Diámetro interior del recipiente (D) = 12.9 cm <> 0.129 m

Diámetro del tubo (d) = 0,40 cm <> 4.00x10-3

m

Longitud del tubo (L) = 3 cm

Temperatura del agua = 15 ºC

4.2 Datos tomados de la experimentación

Nº experimento td (s) a 0.05m td (s) a 0.04m td (s) a 0.03m td (s) a 0.02m td (s) a 0.01m

1 138 120 101 77 48

2 135 116 98 75 44

3 136 118 99 74 46

Tomando un promedio del tiempo de descarga en cada corrida:

H, m td , s

0.05 136.3

0.04 118

0.03 99.3

0.02 74.3

0.01 46

4.3 Calculando el td

Este modelo es tomado del análisis del marco teórico y se denomina pseudo - estacionario:

x d

A . x m

23

2

5 2

0

4 101 257 10

4 4

De (14):

d

d

D H t

A g

. H

t , x ,

2

0

2

5

8

0 129

8 1 257 10 9 81



d t . H 469 28 a

Tabulando las alturas del experimento en (a), calculamos los respectivos tiempos de

descarga:

H, m td teórico td experimental

0.05 104.98 136.3

0.04 93.90 118

0.03 81.32 99.3

0.02 66.40 74.3

0.01 46.95 46

4.4 Cálculo del coeficiente de descarga Cd

Tabulando la ecuación linealizada:

d Ln t Ln K m.Ln H

H, m td , s Ln(H) Ln(td)

0.05 136.3 -2.996 4.915

0.04 118 -3.219 4.771

0.03 99.3 -3.507 4.598

0.02 74.3 -3.912 4.308

0.01 46 -4.603 3.829

Aplicando mínimos cuadrados se obtiene:

d Ln t . . .Ln H 6 955 0 677

Entonces:

d

d

Ln K .

K .

.D C

.K.A g . . . , x ,

C .

22

5

0

6 955

1048 38

0 129

8 8 1048 38 1 257 10 9 81

0 448

Finalmente el modelo se representa de la siguiente forma:



m d

d

.d

D t H

.C .A g

.t H

. . . , x ,

2

0

2

0 677

5

8

0 129

8 0 448 1 257 10 9 81

.

d t . H 0 677

1047 94 b

Tabulando las alturas del experimento en (b), calculamos los respectivos tiempos de descarga:

H, m td teórico , s td (experimental) , s

0.05 137.89 136.3

0.04 118.56 118

0.03 97.58 99.3

0.02 74.15 74.3

0.01 46.38 46

A partir de este modelo se puede calcular el número de Reynolds (Re), el factor de fricción f según el

tipo de régimen de flujo y la pérdida de energía por el tubo:

v . gH

v d Re

3

3

0 448 2

f

Re

64

Flujo laminar (Re < 2,1x103)

,f

Re

1 4

0 316Flujo Turbulento (2,1x10

3< Re <10

5)

f

v Lh f

d g

2

3

2

Para el agua a 15 ºC se tiene: , kg / m ; , x N.s / m 3 3 2

999 1 1 140 10 y L = 3x10-2

m

H, m v3, m/s Re f hf ,m

0.05

0.774 2713.35 0.0438 0.01000.04 0.397 1391.73 0.0518 0.0031

0.03 0.344 1205.93 0.0536 0.0024

0.02 0.281 985.08 0.0564 0.0017

0.01 0.198 684.11 0.0618 0.0010

4.5 Desarrollo del tercer modelo matemático



Se utilizó el lenguaje de programación Matlab para la resolución de (10) y (22) conjuntamente,

asumiendo un paso de tiempo y un valor de K (que se ajusta mejor a los datos) de:

Δt = 5 s

K = 2,5

Además se utilizó la ecuación (9) para el factor de fricción f:

,f

Re

1 4

0 316

Obteniéndose los siguientes resultados:

t(s) H(cm) td===============================

0 5.0000 136.3000

17.0375 4.1748 119.2625

34.0750 3.4215 102.2250

51.1125 2.7405 85.1875

68.1500 2.1318 68.1500

85.1875 1.5958 51.1125

102.2250 1.1330 34.0750

119.2625 0.7440 17.0375

136.3000 0.4297 0.0000

Donde La primera columna nos representa el valor del tiempo cuando el agua se encuentra a

una altura instantánea H, y la tercera columna el tiempo que se descarga todo el líquido medido a una

altura H. Aproximadamente podemos relacionar la segunda y tercera columna con nuestros datos

experimentales:

H, cm td (calculado) , s H, m td (experimental) , s

5.0000 136.3000 0.05 136.3

4.174 119.2625 0.04 118

3.4215 102.2250 0.03 99.3

2.1318 68.1500 0.02 74.3

1.1330 34.0750 0.01 46



2.1318 68.1500 0.02 74.3

1.1330 34.0750 0.01 46

VI. CONCLUSIONES

Se determino el modelo matemático de la descarga de agua de un tanque cilíndrico

conectado a un tubo horizontal como set de salida.

d

D H t

A g

2

08

Tiempo de descarga sin considerar las pérdidas de energía por fricción

d

d

D H t

.C .A g

2

08

Tiempo de descarga considerando el coeficiente de descarga

K D

Lf

gh v

1

23

Modelo matemático considerando las pérdidas de energía

Se determino por medio de los modelos matemáticos la altura de un líquido en cualquier instante.

Se determino el tiempo requerido para vaciar completamente e deposito en comparación de

los tres modelos matemáticos obtenidos.

1er método2do

método

3er

método

Nº

experimento

H,

m

td

teórico

td

experimental

%error td teórico

, s

%error td teórico ,

s

%error

1 0.05 136.3 104.98 29.83 137.89 1.15 136.3000 0

2 0.04 118 93.90 25.67 118.56 0.47 119.2625 1.06

3 0.03 99.3 81.32 22.11 97.58 1.76 102.2250 0.29

4 0.02 74.3 66.40 11.89 74.15 0.2 68.1500 0.9

5 0.01 46 46.95 2.02 46.38 0.8 34.0750 34.9



VII. RECOMENDACIONES

Al tomar los datos como el tiempo y altura, intentar cometer el mínimo error de lectura.

Se puede realizar el experimento haciendo variar la altura del tubo de descarga como del

volumen del recipiente.

VIII. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA

HUNTER, Rouse. “Hidráulica”. Madrid. Dussat S. A. 1990.

J.R WELTY, C.E WICKS Y R.E WILSON, ”Fundamentos de la transferencia de Momento ,Calor y Masa”, 1 ra reimpresión, Editorial LIMUSA, MEXICO 1983

FORCHHEINER, Philipp. “Tratado de Hidráulica”. Barcelona. Labor S.A. 1995.

STREETER, Victor L. “Mecánica de Fluidos”. Mexico. Mc Graw-Hill. 1995

VALIENTE B, Antonio. “Problemas de flujos de Fluidos”. Mexico. Limusa Noriega. 1990

VENNARD, John K. And ROBERT L. Street. “Elementary Fluid Mechanics”. New York. JohnWiley and sons.



IX. ANEXOS

%Programa de Runge Kutta para EDO

clc,clear,disp(' ')

disp(' vaciado de tanques ')

disp(' ')

syms t h v

den=999.1;d=4*10^-3;D=9.86*10^-2;mu=1.14*10^-3;L=0.05;K=2.5;g=9.81;

f=-v*(d/D)^2;,fv=v^2*(1+0.316*mu^0.25*L/(den^0.25*v^0.25*d^1.25)+K)-

(2*g*h);

to=0;ho=0.095;in=125;n=15.4*2;p=(in-to)/n;I=1;I1=1;

disp(' '),disp(' t(s) H(cm) td')

format short,disp([ to 100*ho in-to])

while I<=n;

xo=0.5;e=0.0001;

fv2=subs(fv,sym('h'),ho);fxi=subs(fv2,sym('v'),xo);

derivada=diff(fv2,sym('v'));Dxfxi=subs(derivada,sym('v'),xo);

x1=single(xo-(fxi/Dxfxi));distancia=abs(x1-xo);

while distancia > e

distancia=abs(x1-xo);xo=x1;I1=I1+1;

fxi=subs(fv2,sym('v'),xo);derivada=diff(fv2,sym('v'));

Dxfxi=subs(derivada,sym('v'),xo);x1=single(xo-(fxi/Dxfxi));

end

fi=subs(f,sym('v'),x1);

k1=single(subs(fi,{t,h},{to,ho}));

k2=single(subs(fi,{t,h},{to+p/2,ho+p*k1/2}));k3=single(subs(fi,{t,h},{to+p/2,ho+p*k2/2}));

k4=single(subs(fi,{t,h},{to+p,ho+p*k3}));

ho=ho+p*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;to=to+p;

disp([ to 100*ho in-to]),I=I+1;end

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