Trabajo de metrologa y control de calidad

Presentado por:Cristian Vanegas MartnezJess Antonio DoriaCamilo Pieres Petro

A:Ing. Valry Lancheros

UNIVERSIDAD DE CORDOBAFACULTAD DE INGENIERIASINGENIERO MECNICA

MONTERIA-CORDOBAINTRODUCCION Mediante el presente trabajo presentaremos informacin sobre las medidas de dispersin de tendencia central, de dispersin as como las herramientas de control estadstico, entre ellas la tabla t student.En el caso de las variables con valores que pueden definirse en trminos de alguna escala de medida de igual intervalo, puede usarse un tipo de indicador que permite apreciar el grado de dispersin o variabilidad existente en el grupo de variantes en estudio.A estos indicadores les llamamos medidas de dispersin, por cuanto que estn referidos a la variabilidad que exhiben los valores de las observaciones, ya que si no hubiere variabilidad o dispersin en los datos inters, entonces no habra necesidad de la gran mayora de las medidas de la estadstica descriptiva.Las medidas de tendencia central tienen como objetivo el sintetizar los datos en un valor representativo, las medidas de dispersin nos dicen hasta qu punto estas medidas de tendencia central son representativas como sntesis de la informacin. Las medidas de dispersin cuantifican la separacin, la dispersin, la variabilidad de los valores de la distribucin respecto al valor central. Distinguimos entre medidas de dispersin absolutas, que no son comparables entre diferentes muestras y las relativas que nos permitirn comparar varias muestras.

ObjetivosGeneral: Conocer las herramientas estadsticas disponibles para reconocer si la los resultados de un proceso estn dentro son los idneos para ser o no aceptados.

Especificos:

Identificar las diferentes tendencias de medidas ya sean central o de dispersin.

Saber el uso adecuado de la tabla t student para el control estadstico de un proceso.

Medidas de tendencia centralLasmedidas de tendencia central (media, mediana y moda)sirven como puntos de referencia para interpretar las calificaciones que se obtienen en una prueba.Media aritmtica:Ms conocida comomedia o promedio. Se representa por medio de una letraMo por unaXcon una lnea en la parte superior.Dado un conjunto numrico de datos,x1,x2, ...,xn, se define su media aritmtica como

Propiedades Las principales propiedades de la media aritmtica son: Su clculo es muy sencillo y en l intervienen todos los datos. Su valor es nico para una serie de datos dada. Se usa con frecuencia para comparar poblaciones, aunque es ms apropiado acompaarla de una medida de dispersin.Inconvenientes de su uso En el clculo de la media no todos los valores contribuyen de la misma manera. Los valores altos tienen ms peso que los valores cercanos a cero. No es confiable para datos muy dispersos. Su valor no siempre hace parte de la realidad, porque es un promedio por ejemplo: a veces el valor que uno espera no debe contar con puntos decimales.

Media muestralEsencialmente, la media muestral es el mismo parmetro que el anterior, aunque el adjetivo "muestral" se aplica a aquellas situaciones en las que la media aritmtica se calcula para unsubconjuntode la poblacin objeto de estudio.La media muestral es un parmetro de extrema importancia en lainferencia estadstica, siendo de gran utilidad para laestimacinde la media poblacional, entre otros usos.

Moda (Mo)Es la medida que indica cual dato tiene lamayor frecuenciaen un conjunto de datos; o sea, cual se repite ms.Propiedades Clculo sencillo. Interpretacin muy clara. Al depender slo de las frecuencias, puede calcularse para variables cualitativas.Desventajas Su valor es independiente de la mayor parte de los datos, lo que la hace muy sensible a variaciones muestrales. Por otra parte, en variables agrupadas en intervalos, su valor depende excesivamente del nmero de intervalos y de su amplitud. Usa muy pocas observaciones, de tal modo que grandes variaciones en los datos fuera de la moda, no afectan en modo alguno a su valor. No siempre se sita hacia el centro de la distribucin. Puede haber ms de una moda en el caso en que dos o ms valores de la variable presenten la misma frecuencia (distribuciones bimodales o multimodales).MedianaLa mediana representa el valor de la variable de posicin central en un conjunto de datos ordenados.Existen dos mtodos para el clculo de la mediana:1. Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos.2. Utilizando los datos agrupados en intervalos de clase.A continuacin veamos cada una de ellas.Datos sin agruparSean los datos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como (), distinguimos dos casos:a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posicin una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque ste es el valor central. Es decir:.Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: , , , , => El valor central es el tercero: . Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo (,) y otros dos por encima de l (,).

b) Si n es par, la mediana es la media aritmtica de los dos valores centrales. Cuando es par, los dos datos que estn en el centro de la muestra ocupan las posiciones y . Es decir: .Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: , , , , , => Hay dos valores que estn por debajo del y otros dos que quedan por encima del siguiente dato . Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmtica de estos dos datos: .Datos agrupadosAl tratar con datos agrupados, si coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidir con la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abscisa, se calcula a travs de semejanza de tringulos en el histograma o polgono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:

Donde y son las frecuencias absolutas acumuladas tales que, y son los extremos, interior y exterior, del intervalo donde se alcanza la mediana y es la abscisa a calcular, la mediana. Se observa que es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.

Formula general

Ejemplos para datos agrupadosEntre 1.50 y 1.60 hay 2 estudiantes.Entre 1.60 y 1.70 hay 5 estudiantes.Entre 1.70 y 1.80 hay 3 estudiantes.

2. Hallar la mediana de la distribucin estadstica que viene dada por la siguiente tabla:[10, 15)[15, 20)[20, 25)[25, 30)[30, 35)

fi 35742

fi Fi

[10, 15)33

[15, 20)58

[20, 25)715

[25, 30)419

[30, 35)221

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Medidas de dispersinLas medidas de dispersin, tambin llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribucin, indicando por medio de un nmero, si las diferentes puntuaciones de una variable estn muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor ser la variabilidad, cuanto menor sea, ms homognea ser a la media. As se sabe si todos los casos son parecidos o varan mucho entre ellos.Para calcular la variabilidad que una distribucin tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmtica. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, as que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (desviacin media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (varianza).Rango estadsticoEl rango o recorrido interarticular es la diferencia entre el valor mximo y el valor mnimo en un grupo de nmeros aleatorios. Se le suele simbolizar con R'.Requisitos del rango Ordenamos los nmeros segn su tamao. Restamos el valor mnimo del valor mximo

EjemploPara la muestra (8, 7, 6, 9, 4, 5), el dato menor es 4 y el dato mayor es 9. Sus valores se encuentran en un rango de:

Medio rango o Rango medioEl medio rango o rango medio de un conjunto de valores numricos es la media del mayor y menor valor, o la tercera parte del camino entre el dato de menor valor y el dato de mayor valor. En consecuencia, el medio rango es:

EjemploPara una muestra de valores (3, 3, 5, 6, 8), el dato de menor valor Min= 3 y el dato de mayor valor Max= 8. El medio rango resolvindolo mediante la correspondiente frmula sera:

Representacin del medio rango: VarianzaLa varianza es una medida estadstica que mide la dispersin de los valores respecto a un valor central (media), es decir, es el cuadrado de las desviaciones:

Propiedades La varianza es siempre positiva o 0: Si a los datos de la distribucin les sumamos una cantidad constante la varianza no se modifica.

Desviacin estndarLa varianza a veces no se interpreta claramente, ya que se mide en unidades cuadrticas. Para evitar ese problema se define otra medida de dispersin, que es la desviacin tpica, o desviacin estndar, que se halla como la raz cuadrada positiva de la varianza. La desviacin estndar informa sobre la dispersin de los datos respecto al valor de la media; cuanto mayor sea su valor, ms dispersos estarn los datos. Esta medida viene representada en la mayora de los casos por S, dado que es su inicial de su nominacin en ingls.Desviacin estndar muestral

Desviacin estndar poblacional

Coeficiente de variacinEn estadstica, cuando se desea hacer referencia a la relacin entre el tamao de la media y la variabilidad de la variable, se utiliza el coeficiente de variacin.Su frmula expresa la desviacin estndar como porcentaje de la media aritmtica, mostrando una mejor interpretacin porcentual del grado de variabilidad que la desviacin tpica o estndar. Por otro lado presenta problemas ya que a diferencia de la desviacin tpica este coeficiente es variable ante cambios de origen. Por ello es importante que todos los valores sean positivos y su media d, por tanto, un valor positivo. A mayor valor del coeficiente de variacin mayor heterogeneidad de los valores de la variable; y a menor C.V., mayor homogeneidad en los valores de la variable. Suele representarse por medio de las siglas C.V.Exigimos que: Se calcula:

Donde es la desviacin tpica. Se puede dar en tanto por ciento calculando:

Propiedades y aplicaciones El coeficiente de variacin no posee unidades. El coeficiente de variacin es tpicamente menor que uno. Sin embargo, en ciertas distribuciones de probabilidad puede ser 1 o mayor que 1. Para su mejor interpretacin se expresa como porcentaje. Depende de la desviacin tpica, tambin llamada "desviacin estndar", y en mayor medida de la media aritmtica, dado que cuando sta es 0 o muy prxima a este valor el C.V. pierde significado, ya que puede dar valores muy grandes, que no necesariamente implican dispersin de datos.

Distribucin normal En estadstica y probabilidad se llama distribucin normal, distribucin de Gauss o distribucin gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con ms frecuencia aparece aproximada en fenmenos reales. La grfica de su funcin de densidad tiene una forma acampanada y es simtrica respecto de un determinado parmetro estadstico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el grfico de una funcin gaussiana.La importancia de esta distribucin radica en que permite modelar numerosos fenmenos naturales, sociales y psicolgicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenmenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observacin se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.Importancia de la distribucin normalLa distribucin normal es de suma importancia en estadstica por tres razones principales: 1. Numerosas variables continuas de fenmenos aleatorios tienden a comportarse probabilsticamente mediante sta. 2. Es el lmite al que convergen tanto variables aleatorias continuas como discretas. 3. Proporciona la base de la inferencia estadstica clsica debido a su relacin con el teorema del lmite central.Propiedades de la distribucin normal 1. Su grafica tiene forma acampanada. 2. El valor esperado, la mediana y la moda tienen el mismo valor cuando la variable aleatoria se distribuye normalmente. 3. Su dispersin media es igual a 1.33 desviacin estndar. Es decir, el alcance intercuartil est contenido dentro de un intervalo de dos tercios de una desviacin estndar por debajo de la media a dos tercios de una desviacin estndar por encima de la media.

En la prctica, algunas de las variables que observamos slo pueden aproximar stas propiedades. As que si el fenmeno puede mediarse aproximadamente mediante la distribucin normal se tendr: 1. Que el polgono puede verse en forma de campana y simtrico. 2. Sus mediciones de tendencia central tienen bastante parecido. 3. El valor intercuartil puede diferir ligeramente de 1.33 desviaciones estndar. 4. El dominio de la variable aleatoria normalmente distribuida generalmente caer dentro de 3 desviaciones estndar por encima y por debajo de la media. 5. La probabilidad equivale al rea encerrada bajo la curva.El modelo matemtico

El modelo o expresin matemtica que representa una funcin de densidad de probabilidad se denota mediante el smbolo . Para la distribucin normal, se tiene la siguiente funcin de probabilidad.

Donde es la constante matemtica aproximada por 2.71828 es la constante matemtica aproximada por 3.14159 Parmetros es cualquier valor de la variable aleatoria continua, donde As,

A continuacin se presentan las grficas de las funciones de densidad Normal con el objetivo de observar cambios en la distribucin de probabilidad: Caso 1:Cuando se mantiene la misma media, pero cambia la varianza. Ejemplo:

Caso 2: Cuando se mantiene la misma varianza, pero cambia la media. Ejemplo: ( y)

Ahora, al examinar la primera y segunda derivada de , se pueden listar otras propiedades de la curva normal: 1. La moda, que es el punto sobre el eje horizontal donde la curva es un mximo ocurre cuando . 2. La curva es simtrica alrededor de un eje vertical a travs del valor esperado . 3. La curva tiene sus puntos de inflexin en , es cncava hacia abajo si , y es cncava hacia arriba en cualquier otro punto. 4. La curva normal se aproxima al eje horizontal de manera asinttica conforme nos alejamos de la media en cualquier direccin. Distribucin normal estndarN (0, 1) La distribucin normal estndar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, =0, y por desviacin tpica la unidad, =1.

La probabilidad de la variable X depender del rea del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.Tipificacin de la variablePara poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribucin N (, ) en otra variable Z que siga una distribucin N (0, 1).

Clculo de probabilidades en distribuciones normalesLa tabla nos da las probabilidades de P(z k), siendo z la variable tipificada.Estas probabilidades nos dan la funcin de distribucin (k).(k) = P(z k)Bsqueda en la tabla de valor de kUnidades y dcimas en la columna de la izquierda.Centsimas en la fila de arriba.P(Z a)

P(Z > a) = 1 - P(Z a)

P(Z a) = 1 P(Z a)

P(Z > a) = P(Z a)

P(a < Z b ) = P(Z b) P(Z a)

P(b < Z a ) = P(a < Z b ) Nos encontramos con el caso inverso a los anteriores, conocemos el valor de la probabilidad y se trata de hallar el valor de la abscisa. Ahora tenemos que buscar en la tabla el valor que ms se aproxime a K.

P(a < Z b ) = P(Z b) [ 1 P(Z a)]

p = K Funcin gaussiana

Curvas gaussianas con distintos parmetros.

Forma tridimensional.En estadstica, la funcin gaussiana (en honor a Carl Friedrich Gauss) es una funcin definida por la expresin:

Donde a, b y c son constantes reales (a > 0).Las funciones gaussianas se utilizan frecuentemente en estadstica correspondiendo, en el caso de que a sea igual a , a la funcin de densidad de una variable aleatoria con distribucin normal de media =b y varianza 2=c2.Propiedades Las gaussianas se encuentran entre las funciones elementales, aunque no poseen primitivas elementales. Sin embargo, el valor exacto de la integral impropia sobre todo el rango real puede derivarse a partir del valor de la integral de Gauss obtenindose que:

El valor de la integral es 1 si y solo si , en cuyo caso la funcin gaussiana es la funcin de densidad de una variable aleatoria con distribucin normal de media =b y varianza 2=c2. Se muestran varias grficas de funciones gaussianas en la imagen adjunta. Las funciones gaussianas con c2 = 2 son las autofunciones de la transformada de Fourier. Esto significa que la transformada de Fourier de una funcin gaussiana no es slo otra gaussiana, sino adems un mltiplo escalar de la funcin original. La grfica de la funcin es simtrica con forma de campana, conocida como campana de Gauss. El parmetro a es la altura de la campana centrada en el punto b, determinando c el ancho de la misma.AplicacionesLa primitiva de una funcin gaussiana es la funcin error. Estas funciones aparecen en numerosos contextos de las ciencias naturales, ciencias sociales, matemticas e ingeniera. Algunos ejemplos: En estadstica y teora de probabilidades, las funciones gaussianas aparecen como la funcin de densidad de la distribucin normal, la cual es una distribucin de probabilidad lmite de sumas complicadas, segn el teorema del lmite central. Una funcin gaussiana es la funcin de onda del estado fundamental del oscilador armnico cuntico. Los orbitales moleculares usados en qumica computacional son combinaciones lineales de funciones gaussianas llamados orbitales gaussianos. Matemticamente, la funcin gaussiana juega un papel importante en la definicin de los polinomios de Hermite. Consecuentemente, estn tambin asociadas con el estado de vaco en la teora cuntica de campos. Los rayos gaussianos se usan en sistemas pticos y de microondas. Las funciones gaussianas se utilizan como filtro de suavizado en el procesamiento digital de imgenes.Herramientas estadsticasSon herramientas que ayudan a resolver problemas estadsticos de manera fcil y adecuada existen varias herramientas estadsticas las cuales son tiles para algunas situaciones especificasEntre las cuales tenemos: Histogramas tablas de frecuencia tabla t studentHistogramaUna grfica de la distribucin de un conjunto de medidas. Un Histograma es un tipo especial degrfica de barrasque despliega la variabilidad dentro de un proceso. Un Histograma toma datos variables (tales como alturas, pesos, densidades, tiempo, temperaturas, etc.) y despliega su distribucin. Los patrones inusuales o sospechosos pueden indicar que un proceso necesita investigacin para determinar su grado de estabilidad.Usos Mostrar el resultado de un cambio en el sistema Identificar anormalidades examinando la forma Comparar la variabilidad con los lmites de especificacin Cuando se quiere comprender mejor el sistema, especficamente al:Hacer seguimientodeldesempeo actual del proceso, Probar y evaluar las revisiones de procesos para mejorarDesde un sistema estable, se pueden hacer predicciones sobre el desempeo futurodel sistema. Un equipo para efectuar mejoras utiliza un Histograma para evaluar la situacin actual del sistema y para estudiar resultados. La forma del Histograma y la informacin de estadsticas le ayudan al equipo a saber cmo mejorar el sistema. Despus de que una accin por mejorar es tomada, el equipo continua recogiendo datos y haciendo Histogramas para ver si la teoraha funcionado.

Lospasosen su construccin son los siguientes:1.Identificar el objetivo del uso del histograma y reunir los datos necesarios.2. Identificarlos valoresmximos y mnimos ycalcular el rango, es decir, la dimensindel intervalo existente entre esos dos valores.3.Determinar el nmero de barrasa representar.4.Establecer la anchura de las barras.5.Calcular los lmites inferior y superior de cada barra.6.Dibujar el histograma.7.Analizar el histogramay actuar con losresultados.

Ventajas

Los rectngulos muestran cada clase de la distribucin por separado. El rea de cada rectngulo, en relacin con el resto, muestra la proporcin del nmero total de observaciones que se encuentran en esa clase. Su construccin ayudar a comprender la tendencia central, dispersin y frecuencias relativas de los distintos valores. Muestra grandes cantidades de datos dando una visin clara y sencilla de su distribucin.

Desventajas de su uso

Las observaciones individuales se pierden. La seleccin del nmero de clases y su amplitud que adecuadamente representen la distribucin puede ser complicado. Un histograma con muy pocas clases agrupa demasiadas observaciones y uno con muchas deja muy pocas en cada clase.

Tabla de frecuenciasUna tabla de frecuencias es un arreglo tabular de las frecuencias con que ocurre cada caracterstica en que se han dividido los datos, nos permite organizar los datos de tal manera que nos sirvan para la toma de decisiones.Usos: Las tablas de frecuencia se usan ms que todo en los censos de poblacin, sondeos de opinin pblica, estudios del comportamiento humano, etc. Sirve ms que todo para medir frecuenciasVentajas: Simple de interpretar Lastablasde frecuencias son fciles de leer y de entender, ya que en su mayora tienen tres columnas que muestran el valor total y la frecuencia Representan un gran tamao de datos El agrupamiento de una gran cantidad de datos en intervalos o grupos de clase ayuda a resumir ycondensargran cantidad de datos en un formato funcionalDesventajas: Tablas grandes: los grandes volmenes de datos requieren que formules muchos intervalos de clase para la precisin que requiere la construccin de muchas clulas de precisin, por lo tanto, dificultando el anlisis de estos datos. Lastablasgrandes pueden ser difciles de presentar, interpretar y comprender. Informacin inadecuada: Aunque las estadsticas como cuadrados se utilizan para determinar la relacin entre las columnas y lastablasen una tabla de frecuencias,solocomprueban unahiptesis nulade si existe alguna asociacin. Por consiguiente, ofrecen informacin inadecuada sobre la actual asimetra, cutrosa, relacin y distribucin de losvalores de datos.Intervalos de clasePueden utilizarse dos mtodos para formular intervalos de clase: intervalos cerrados, como "de 5 a 10", o intervalos abiertos como "ms de 55" o "menos de 30". Los grandes volmenes de datos dificultan llegar a los intervalos de clase adecuados representativos detodos los valores. Adems, los intervalos de clase abiertos no hacen hincapi en los valores extremos ni en los rangos.

Procedimiento para construir una tabla de frecuencia Para construir una distribucin de frecuencias en clases seguimos el siguiente procedimiento aplicado al ejemplo: Los puntajes de un examen de ingreso a la universidad realizado por 40 alumnos son los siguientes: 110,102,108,115,120,130,93,124,112,102,110,108,108,109,11090,95,98,104,124,130,97,125,136,140,104,108,96,106,107,103,92,122,93,99,107,105,103,115,110Paso 1. Determinamos el rango " R" de variacin de los datos que se define como: R = Xmx - Xmin, donde el primero es el dato mximo y el segundo es el dato mnimo. Para el ejemplo Xmx = 140 y Xmin = 90 entonces R = 140 - 90 = 50. Paso 2. Determinamos el nmero de intervalos o clases k. k = raz (n) es decir raz (40) = 6,32 que tambin se redondea al entero siguiente quedando K = 7 Paso 3. Calculamos la amplitud de clase (A), que corresponde a la cantidad de datos que van en esa clase, dividiendo el rango R entre el nmero de clases k: A = R sustituyendo A = 50 se redondea a 8. K=7 Paso 4. Construimos los intervalos o clases, como la variable es cuantitativa discreta los intervalos o clases son cerrados, es decir de la forma (Li, Ls). Para formar las clases comenzaremos con los lmites inferiores: En la primer clase tomamos Li 1 = Xmin ( el dato ms pequeo) Para las dems clases el lmite inferior se obtiene sumando la Xmin con la amplitud, es decir:

Li n = Li n 1 + A. Para nuestro ejemplo = 90 y A = 8 Entonces las 7 clases quedan:ClasesClculosLmites inferiores

Li 1 = Xmin 9090

Li 2 = Li 1 + A90 + 8 = 9898

Li 3 = Li 2 + A98 + 8 = 106106

Li 4 = Li 3 + A106 + 8 = 114114

Li 5 = Li 4 + A114 + 8 = 122122

Li 6 = Li 5 + A122 + 8 = 130130

Li 7 = Li 6 + A130 + 8 = 138138

Para obtener los lmites superiores se toma el valor anterior al lmite inferior de la clase siguiente y se va sumando la amplitud A = 8ClasesLiLmites superioresLs

Ls 1 = Xmin-1+A9097

Ls 2 = Ls 1 + A98Tomar el105

Ls 3 = Ls 2 + A106valor 113

Ls 4 = Ls 3 + A114anterior a 98121

Ls 5 = Ls 4 + A122y sumamos 129

Ls 6 = Ls 5 + A130la amplitud 8137

138145

Finalmente ya podemos elaborar las clases con sus respectivas frecuencias, recordando que cada clase abarca todos los valores que van desde el lmite inferior hasta el superior.Clasesf

907

98 1059

106 11313

114 - 121 3

122 1294

130 1373

138 1451

Total40

Datos ordenados:90 92 93 93 95 96 97 98 99 102 102 103 103 104 104 105 106 107 107 108 108 108 108 109 110 110 110 110 112 115 115 120 122 124 124 125 130 130 136 140Punto MedioP.M = (Li + Ls) 2) se suman los lmites de clase y el resultado se divide entre dos.Para nuestro ejemplo obtendramos los siguientes puntos medios: ClasesMif

9093,57

98 - 105101,59

106 - 113109,513

114_121117,53

122 - 129125,54

130 - 137133,53

138 - 145141,51

Total40

Tabla t student En probabilidad y estadstica, Ia distribucin-t o distribucin t de Student es una distribucin de probabilidad que surge del problema de estimar Ia media de una poblacin normalmente distribuida cuando el tamao de Ia muestra es pequeo. A Ia teora de pequeas muestras tambin se le llama teora exacta del muestreo, ya que tambin Ia podemos utilizar con muestras aleatorias de tamao grande. Veremos un nuevo concepto necesario para poder entender la distribucin t Student. Este concepto es grados de libertad.

Para definir grados de libertad se har referencia a Ia varianza maestral:Distribucin de probabilidad t student:Una variable aleatoria se distribuye segn el modelo de probabilidad t o T de Student con k grados de libertad, donde k es un entero positivo, si su funcin de densidad es Ia siguiente:

La grfica de esta funcin de densidad es simtrica, respecto del eje de ordenadas, con independencia del valor de k, y de forma algo semejante a Ia de una distribucin normal:

Su valor medio y varianza son:

La siguiente figura presenta Ia grfica de varias distribuciones t. La apariencia general de Ia distribucin t es similar a Ia de Ia distribucin normal estndar: ambas son simtricas y unimodales, y el valor mximo de Ia ordenada se alcanza en Ia media = O. Sin embargo, Ia distribucin t tiene colas ms amplias que Ia normal; esto es, Ia probabilidad de las colas es mayor que en Ia distribucin normal. A medida que el nmero de grados de libertad tiende a infinito, Ia forma lmite de Ia distribucin t es Ia distribucin normal estndar.

Propiedades de la distribucin t: Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0. Cada curva t, est ms dispersa que Ia curva normal estndar. A medida que k aumenta, Ia dispersin de Ia curva t correspondiente disminuye. A medida que k-> , la secuencia de curvas t se aproxima a Ia curva normal estndar La Prueba de Hiptesis para medias usando Distribucin t de Student se usa cuando se cumplen las siguientes dos condiciones:

Es posible calcular las media y la desviacin estndar a partir de la muestra. El tamao de la muestra es menor a 30.

El procedimiento obedece a los 5 pasos esenciales:Paso 1Plantear Hiptesis Nula (Ho) e Hiptesis Alternativa (Hi). La Hiptesis alternativa plantea matemticamente lo que queremos demostrar. La Hiptesis nula plantea exactamente lo contrario.

Paso 2Determinar Nivel de Significancia. (Rango de aceptacin de hiptesis alternativa). Se considera:

0.05 para proyectos de investigacin. 0.01 para aseguramiento de calidad. 0.10 para encuestas de mercadotecnia y polticas

Paso 3:

Evidencia Muestral. Se calcula la media y la desviacin estndar a partir de la muestra.

Paso 4:

Se aplica la Distribucin t de Student para calcular la probabilidad de error (P) por medio de la frmula:

Paso 5:

En base a la evidencia disponible se acepta o se rechaza la hiptesis alternativa. Si la probabilidad de error (P) es mayor que el nivel de significancia: SE RECHAZA HIPTESIS ALTERNATIVA. Si la probabilidad de error (P) es menor que el nivel de significancia: SE ACEPTA HIPTESIS ALTERNATIVA.Ejemplo:

Se aplica una prueba de autoestima a 25 personas quienes obtienen una calificacin promedio de 62.1 con una desviacin estndar de 5.83 Se sabe que el valor correcto de la prueba debe ser mayor a 60. Existe suficiente evidencia para comprobar que no hay problemas de autoestima en el grupo seleccionado? Considera un nivel de significancia de 0.05

Paso 1: Hiptesis Alternativa (Hi): Lo que se quiere comprobar El grupo no tiene problemas de autoestima. Valor de autoestima mayor a 60. Hiptesis Nula (Ho): Lo contrario a la Hiptesis Alternativa El grupo tiene problemas de autoestima. Valor de autoestima menor a 60. Paso 2: Determinar nivel de significancia:Paso 3: Evidencia Muestral

Paso 4: Aplicando la Distribucin de Probabilidad Calculando t*:

Buscando en la tabla de Distribucin de t de Student, encuentras el valor del rea:

Paso 5: Resultados:

Por lo tanto el grupo no tiene problemas de auto estima.

Usos para los cuales es adecuada esta distribucin: Para determinar el intervalo de confianza dentro del cual se puede estimar Ia media de una poblacin a partir de muestras pequea (n < 30). Para probar hiptesis cuando una investigacin se basa en muestreo pequeo. Para probar si dos muestras provienen de una misma poblacin.

Caractersticas:En muchas ocasiones no se conoce y el nmero de observaciones en la muestra n < 30. En estos casos, se puede utilizar la desviacin estndar de la muestra s como una estimacin de , pero no es posible usar la distribucin Z como estadstico de prueba. El estadstico de prueba adecuado es la distribucin t. Sus aplicaciones en la inferencia estadstica son para estimar y probar una media y una diferencia de medias (independiente y pareada).

Grados de libertad:Numero de valores que podemos elegir libremente, existe una distribucin t distinta para cada uno de los posibles grados de libertad.

Tabla t studentLa tabla que utilizamos recoge los valores de distintos cuantiles para distintos grados de libertad.

Ejemplo Con 5 grados de libertad, el cuantil 0.95 es 2.015

Diferencia con otras tablas:

La tabla de distribucin t es ms compacta que z y muestra las reas y valores de t para unos cuantos porcentajes exclusivamente (10%,5%,2% y 1%) Una segunda diferencia de la tabla es que no se centra en la probabilidad de que el parmetro de la poblacin que est siendo estimado caiga dentro del intervalo de confianza. Por el contrario, mide la probabilidad de que ese parmetro no caiga dentro del intervalo de confianza Una tercera diferencia en el empleo de la tabla consiste en que hemos de especificar los grados de libertad con que estamos trabajando.

Usos de la tabla: Los grados de libertad de una t de Student se indicaran como v. De manera anloga a la definicin utilizada para la Normal, si X es una tv, de Student con v grados de libertad, entonces: El valor tv, se busca en las tablas de la t de Student.

Importancia del estudio de la distribucin T.

Si al aplicar muestreo no es posible extraer muestras mayores a 30 elementos, la utilizacin de la distribucin normal presenta grandes riesgos estadsticos. Para ello, la teora de pequeas muestras presenta como alternativa a la distribucin t- student, en el entendido de que conforme el tamao de la muestra tienda a 30 elementos, la distribucin t-student tiende a la distribucin normal. Por ello es importante el estudiar la distribucin T de student ya que toda inferencia estadstica que se desee realizar con muestras pequeas tiene ms validez si se hace con la distribucin t-student.

Conclusin

Cualquier empresa que necesite una mejora entender la necesidad de la estadstica. Ya que la estadstica proporciona los medios para medir y controlar los procesos de produccin para minimizar las variaciones que conducen a error o residuos y para garantizar la coherencia en el proceso. Esto ahorra dinero al reducir las cantidades de material utilizado para fabricar o rehacer productos, as como los materiales perdidos por exceso y desechos, ms el costo por validez de las garantas debido al envo de productos defectuosos.

Por esto es tan importante todas las herramientas antes mencionadas ya que gracias a ellas se optimizan los procesos y se les hace su debida verificacin de calidad.

Bibliografahttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un2/cont_233_75.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Mediana_%28estad%C3%ADstica%29http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/d_5.htmlhttp://www.vitutor.net/1/55.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normalhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un2/cont_233_75.htmlhttp://www.slideshare.net/torimatcordova/distribucion-t-de-student-28545004?fb_action_ids=850650974962825&fb_action_types=slideshare%3Adownloadhttp://www.slideshare.net/lccc777/7-herramientas-bsicas-del-control-de-calidad