Trabajo control Eibar Hernández.pdf

Universidad Nacional Experimental Politécnica

“Antonio José de Sucre”

Departamento de Ing. Electrónica

Vicerrectorado Barquisimeto

Teoría de control I

Trabajo de sistema de control

Eibar Hernández

CI: 21126832

Expte: 20101-0083

Prof. Lenin Becerra

Sistema a Simular

Diagrama de bloques en Simulink

Dado el sistema de control, se obtiene la función de transferencia a lazo cerrado

para una entrada (Valor deseado):

Luego,

Entonces,

Además, se puede calcular C(s) sólo para la perturbación, suponiendo que el

sistema está inicalmente relajado y con un error de cero:

Por lo tanto la respuesta de la aplicación simultanea de la perturbación uy el valor

deseado será:

Nótese la presencia de un controlador proporcional en este sistema. Se calculará el

valor de la ganancia del mismo para el cual el sistema esté en el límite de estabilidad

(Kcrítica).

Obtención de kcrítico por análisis del lugar de las raíces

Se tiene que:

Tomando los valores de la tabla asignada:

Introduciendo los valores correspondientes en Matlab se obtiene el siguiente

diagrama del lugar de las raíces de :

Comando utilizado:

>> num =[0 0 0 1];

>>den =[7.28 12.68 6.4 1];

>>rlocus(num,den)

Gráfico del lugar de las ráices en Matlab

En Efecto en el Gráfico del lugar de las raíces se observa el valor límite de K para la

estabilidad del sistema:

Cálculo de Crítico por medio del Criterio de Routh

Para implementar este método es necesario obtener la función de transferencia

del sistema de la siguiente forma

Así, multiplicando y dividiendo por el factor que se muestra a continuación:

Entonces, se tiene escrito en forma polinómica:

Aplicando el criterio de Ruth

7,28 6,4 0 12,64 0

Cálculo de

El lugar de las raíces tendrá todos sus polos en el semiplano izquierdo del plano s si

todos los elementos de la primera columna del arreglo anterior son positivos, tal que:

Cálculo de

Cálculo de

En conclusión para el sistema es estable, lo cual concuerda con el

valor de obtenido del gráfico del lugar de las raíces.

Incidencia de la variación de la ganancia k sobre el lazo de control

Tomando

Diagrama de bode

Curvas de bode para k=2,535

Margen de fase y ganancia

Margen de ganancia:

Margen de fase:

Error en estado estacionario

Por ser un sistema de tipo cero (no posee polos en el origen), el error de estado

estacionario se define como:

Donde (Amplitud de la entrada escalón)

Así:

Gráficamente:

a) Gráfico de función de salida del sistema

b) Zoom en Gráfico de función de salida del sistema

Máximo sobreimpulso

Zoom en Gráfico de función de salida del sistema

De la figura se observa que el máximo sobreimpulso:

Tiempo de establecimiento

Cabe destacar que el controlador se mantiene estable en el valor 0,7168 por lo

tanto el tiempo de establecimiento al 5% será el tiempo en el cual la respuesta se

mantiene en

Realizando un acercamiento al grafico se puede observar que al cruzar por 0,6808

se mantiene acotado entre 0,6808 y 0,7528

En este orden de ideas el tiempo de establecimiento es

Tomando

Curvas de Bode para K=5,07


Margen de ganancia:

Margen de fase:


Análogamente

Gráficamente:

a) Gráfico de función de salida del sistema

b) Zoom en Gráfico de función de salida del sistema





Análogamente el tiempo de establecimiento al 5% será el tiempo en el cual la

respuesta se mantiene entre los siguientes valores:

Realizando un acercamiento al grafico se puede observar que al cruzar por se

mantiene acotado entre y


Tomando

Curvas de Bode para K=7,605.


Margen de ganancia =

Margen de fase


Análogamente:

Gráficamente:

a) Gráfico de función de salida del sistema.

b) Zoom en Gráfico de función de salida del sistema.


Análogamente:






Realizando un acercamiento al grafico se puede observar que al cruzar por se

mantiene acotado entre y


A continuación se muestra un cuadro con cada uno de los parámetros

determinados para cada valor de la ganancia del controlador proporcional (k)

Ganancia del

controlador

Porcentaje de

Margen de fase

Margen de

Ganancia

Error en estado

Estacionario

Máximo Sobreimpulso

Tiempo de Establecimiento

Analizando los resultados obtenidos se concluye que el incremento de la ganancia

del controlador proporcional produce una reducción en el error de estado estacionario

haciendo el sistema más exacto. Por otra parte se ve un incremento en el máximo

sobreimpulso y sobre el tiempo de establecimiento.

Estas dos últimas observaciones se deben a que al aumentar el valor de k,

apoyándose en el gráfico del lugar de las raíces, se presentan oscilaciones de mayor

amplitud en el sistema (debido a que la componente del eje imaginario es mayor), y el

sistema se encuentra cada vez más cerca de la zona de operación inestable. Todo esto se

traduce en un mayor tiempo de establecimiento ya que al sistema le es más difícil regular

dichas oscilaciones, lo que produce a su vez un incremento en el máximo sobreimpulso.

Además se puede observar que el incremento de los parámetros del sistema de

control no es lineal respecto a la ganancia k.

Al aumentar la ganancia progresivamente desde 0,25kcíitico hasta 0,75kcrítico, se

nota una disminución en el margen de fase para el lazo de control, por otra parte el

margen de ganancia se mantiene en infinito

Incidencia de la variación del valor de la constante de tiempo del sensor y transmisor

sobre el lazo de control

En esta sección del trabajo se tomará y variando la

constante de tiempo del transmisor y sensor se re recopilaran algunos parámetros del

sistema de control para su análisis.

Considerando , se obtiene la gráfica de salida

del sistema a lazo cerrado utilizando como entrada un escalón unitario.

Gráfica de salida del sistema a lazo cerrado










Realizando un acercamiento al grafico se puede observar que al cruzar con tasa de cambio

positiva por se mantiene acotado entre y


Considerando , se obtiene la gráfica de salida del

sistema a lazo cerrado utilizando como entrada un escalón unitario.











Realizando un acercamiento al grafico se puede observar que al cruzar con tasa de

cambio positiva por se mantiene acotado entre y


Considerando , se obtiene la gráfica de salida del

sistema a lazo cerrado utilizando como entrada un escalón unitario.









cambio negativa por se mantiene acotado entre y



determinados para cada valor de la constante del transmisor y sensor:

Ganancia del

controlador

Constante del sensor

y transmisor

Porcentaje de

variación

Error en estado

Estacionario

Máximo Sobreimpulso

Tiempo de Establecimiento

100%

50%

120%

Analizando el cuadro comparativo, se concluye que variar la constante del sensor y

transmisor se traduce en variaciones del máximo sobreimpulso y del tiempo de

establecimiento, mientras que el error de estado estacionario permanece constante. Es

decir, variar Tm no afecta al set point del lazo de control ni a la salida en estado

estacionario del sistema.

Estas variaciones se deben al movimiento de los polos en el lugar de las raíces, que,

manteniendo la ganancia constantes afecta la estabilidad y exactitud del sistema

colocándolo en otro punto de operación sobre la curva(del diagrama), haciendo que varíe

la cantidad (el módulo) de las oscilaciones para cada valor de Tm1.

Acción de control P, PI y PID

En esta sección del trabajo se calcularán los parámetros del controlador para las

accione P, PI y PID por el método de la curva de reacción para determinar los parámetros

del sistema a partir del gráfico de salida del mismo. Posteriormente se variarán los

tiempos de integración y derivación para ver los efectos sobre el lazo de control.

Cálculo de parámetros por el método de la Curva de reacción

Gráfico del método

Sustituyendo los valores en la tabla se obtienen los parámetros para cada

controlador

Tipo de controlador

Gráfico de la función de salida para el controlador PI:

Error de estado estacionario

De la gráfica se observa cómo








cambio negativa por e mantiene acotado entre y


Gráfico de la función de salida para el controlador PID

Error de estado estacionario

De la gráfica se observa cómo







cambio negativa por se mantiene acotado entre y .

En este orden de ideas el tiempo de establecimiento es:


determinados para cada tipo de controlador

Tipo de controlador

0 0 0,77

Del cuadro comparativo se concluye que la acción de control PID es la más

avanzada en lo que respecta a la optimización de los parámetros del lazo de control; tal

que, tiene un tiempo de asentamiento reducido, más que para la opción P y P, elimina el

error en estado estacionario y tiene menor sobreimpulso que PI, pero sin embargo mayor

que PD, pero a pesar de este contra es la opción mas fuerte en lo que respecta a acciones

de control de regulación.

El controlador PD proporciona una eliminación del error en estado estacionario

pero tiene un lento tiempo de asentamiento en comparación al PID.

Efecto sobre el lazo de control por variación de la constante integrativa

Considerando









Considerando










determinados para cada valor de la constante de integración suministrado:

Tipo de controlador

Observación

D 0

Analizando el cuadro comparativo se concluye que al variar Ti (la constante de

acción integrativa del controlador PID) se ven afectados el máximo sobreimpulso y el

tiempo de establecimiento; el error de estado estacionario permanece en cero.

Se observa que la variación del máximo sobreimpulso es no lineal, pero al

aumentar Ti esta disminuye y al disminuirla éste aumenta. La variación del tiempo de

establecimiento tampoco es lineal y al disminuir Ti a la mitad ts se aumentó casi 10 veces.

Esto se debe a que la ganancia del control proporcional aumentó generando mayor

cantidad de oscilaciones en el lazo de control que más tarde que temprano la acción

proporcional derivativa logró estabilizar (recuérdese que el controlador PI también tuvo

un ts alto y mayor cantidad de oscilaciones pero con una menor ganancia integrativa).

Este análisis permite concientizar qué parámetro se ha de ajustar para obtener la

respuesta que se quiere del controlador y del sistema. Por ejemplo si se quiere mejorar el

tiempo de establecimiento se puede aumentar la constante de acción integrativa, la cual

con un poco mas de sobreimpulso acortará ts.

Efecto sobre el lazo de control por variación de la constante derivativa

Considerando

Gráfico de función de salida









Considerando

Gráfico de función de salida







cambio positiva por se mantiene acotado entre y .


Tipo de controlador

Observación

Valor inicial aumento D 0 disminución

Analizando los resultados obtenidos en el cuadro comparativo, se concluye que un

leve aumento del 3% en la constante de tiempo derivativa logra disminuir

considerablemente el tiempo de asentamiento, llevándolo desde 22,5 hasta 10. Además

este leve aumento de Td produjo una disminución en el máximo sobreimpulso, es decir

fue favorable.

Por otra parte la disminución de td hasta la mitad del valor inicial, fue

desfavorable, tuvo como consecuencia un aumento de oscilaciones y por ende, un mayor

tiempo de establecimiento llevándolo desde 22,5 a 54,4. También se presentó un

aumento considerable en el máximo sobreimpulso.

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