TRABAJO DE MATEMATICA

JULIO AGUIRRE

Ci:18.862.237

PROF: jose e. linares

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación

Instituto Universitario de Tecnología “Antonio José de Sucre”

Barquisimeto – Edo. Lara

Introducción

En el presente trabajo, se detallarán las características de las diferentes funciones

matemáticas.

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o

correspondencia entre dos o

Más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático

francés René

Descartes para designar una potencia xn de la variable x.

En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a

varios aspectos

de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido

el definido en

1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una

variable es un

Símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello.

Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por

alguna regla o

Correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función

(unívoca) de X. La

Variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente,

mientras que la variable

Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos

de X

Plano cartesiano

Se denomina plano cartesiano al tipo de plano Euclides de tipo 2, es decir, que

posee algunas ciertas características que lo diferencias del plano tridimensional

(tipo 3) y la figura de recta (tipo 1). Se denomina Euclides en honor

a Euclides quien estableció axiomas significativos en geometría. Los planos

euclidianos en su conjunto (incluido el plano cartesiano) se diferencias también de

espacios curvos y de los espacios que Albert Einstein identificó en su teoría de la

relatividad.

El plano cartesiano permite establecer coordenadas cartesianas que también se

denominan “rectangulares”. Su nombre, cartesiano, se debe a quien por primera

vez los utilizó de manera forma, el filósofo y matemático René Descartes. Siguiendo

con la definición, estas coordenadas cartesianas son coordenadas ortogonales, es

decir, perpendiculares, y precisamente son utilizadas en espacios Euclides, como

los planos cartesianos que nombramos antes. Estas coordenadas toman de

referencia ejes, también ortogonales (perpendiculares) y en algún punto, se

cortan.

El plano cartesiano además es un sistema bidimensional. ¿Qué significa esto? Esto

significa que posee dos dimensiones: ancho y largo. A diferencia de espacios

tridimensionales, el espacio bidimensional carece de profundidad. En general, todo

plano es un sistema bidimensional. El punto donde cortan las rectas, donde se

juntan, se denomina “punto cero” y es el origen del sistema bidimensional.

Dentro del plano cartesiano, hay dos ejes (uno por cada dimensión). Uno es el eje

de las abscisas, que es el eje horizontal, y está identificado con la letra x (equis),

mientras que al otro eje, el horizontal o eje de las ordenadas, se identifica con la

letra y (y griega o ye). Cuando dos rectas se unen, quedan delimitados cuatro

espacios o sectores, que se denominan cuadrantes. Mediante el diseño de un plano cartesiano podemos asignar la ubicación de un punto, de cualquier punto en

el plano. Este punto se identifica mediante un conjunto o par ordenado que se

nomina con ambas ubicaciones, por ejemplo: el conjunto (3,4) indica que el punto

se ubica en el número 3 del eje de abscisas y en el número 4 del eje de

ordenadas.

El plano cartesiano sirve, entre otras cosas, para luego obtener figuras

geométricas y poder asignar a ellas los puntos del conjunto de coordenadas que le

corresponden y poder ubicar a dicha figura dentro de un plano, o también para

diseñar “planos” de espacios como nuestra casa, o en un nivel más general, de

espacios mayores como nuestro barrio o ciudad.

Ejemplos

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento : 1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero. 2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.

Ejemplos: Localizar el punto A ( -4, 5 ) en el plano cartesiano. Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano. Determinar las coordenadas del punto M. Las coordenadas del punto M son (3,-5).

Función

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el

valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo

el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional

al cuadrado del radio, A = π·r2. Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren

entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la

velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a

la velocidad, d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la

denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la

velocidad) es la variable independiente.

En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se

refiere en a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único

elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática). Por ejemplo,

cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número

natural (incluyendo el cero

Ejemplos

En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada polígono le

corresponde su número de lados.

Una función vista como una «caja negra », que transforma los valores u objetos de «entrada» en los valores u

objetos de «salida»

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera

depende

Dominio y rango de una función

El dominio de definición de una función f:X→Y se define como el conjunto X de todos los

elementos x para los cuales la función f asocia algún y perteneciente al conjunto Y de llegada,

llamado codominio Esto, escrito de manera formal:

En matemáticas, un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí.

Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, numeros, colores, letras, figuras,

etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.1 Por

ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por

ejemplo, para los numeros naturales si se considera la propiedad de ser un número primo el

conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,...}

Ilustración que muestra f, una función de dominio X a codominio Y. El óvalo pequeño dentro de Y es la imagen de f,

a veces llamado rango de f.

Función: es simplemente una correspondencia entre conjuntos, por lo general de

numeros reales

se decime así: f(x) = x^2 este es un ejemplo de función y cómo puedes ver al

asignarle valores a x(variable independiente) te dará otro valor (variable

dependiente)

si es una función que únicamente toma numeros ralaes , es decir no existen

numeros complejos en el dominio se representa así f(x) R-->R .

Dominio de una función son todos aquellos valores que esta puede tomar sin caer

en una indeterminación por ejemplo: F(x)= (x-2)/(8x-9). en esta función racional su

dominio serán todos aquellos valores en los que el denominador sea diferente de

cero ya que la división entre cero no existe. en este caso el dominio de f= R -{9/8}

esto quiere decir que el dominio son todos los numeros reales excepto el nueve

octavos ya que si x= 9/8 el denominador se hace cero.

El rango tambien llamado imagen serán todos los valores que tu función regrese

Tipos de funciones

Función constante

Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante.

Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal.

Función lineal

Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones poli nómicas.

Ejemplo:

f(x) = 2x − 1

es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, −1). Su gráfica es una recta ascendente.

f(x) = 2x − 1

En general, una función lineal es de la forma

f(x) = ax + b, donde a y b son constantes (la a es lo

mismo que la m anterior (corresponde a la pendiente).

Representación gráfica de una función lineal o función afín

Para graficar una recta, alcanza con los datos que da la ecuación matemática de la función, y se opera de la siguiente manera:

1. Se marca sobre el eje y la ordenada al origen, el punto por donde la recta va a cortar dicho eje.

2. Desde ese punto, subo o bajo según sea el valor de “p” y avanzo o retrocedo según indique el valor de “q”. En ese nuevo lugar, marco el segundo punto de la recta.

3. Se podría seguir marcando puntos con la misma pendiente, pero con 2 de ellos ya es suficiente como para poder graficar la recta.

4. Teniendo ya los dos puntos, con regla se traza la recta que pasa por los mismos.

Ejemplo:

Graficar la siguiente función:

La ordenada al origen (3) me indica que me debo parar sobre el eje y en el 3.

De ahí subo 1 y avanzo 2, como me lo indica la pendiente.

Función

poli nómica

Una función f es una función poli nómica si(x) = aman + an−1xn−1 + ... + a1x + a0

donde a0, a1,...,en son números reales y los exponentes son enteros positivos.

Ejemplos:

f(x) = x2 − 2x − 3;

g(x) = 5x + 1;

h(x) = x3

El dominio de todas estas funciones poli nómicas es el conjunto de los números reales (porque el elemento x puede ser cualquier número real).

Función cuadrática

Una función de la forma f(x) = ax2 + box + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0. El vértice de una parábola se determina por la fórmula:

Función cuadrática y su representación grafica

Las funciones cuadráticas son funciones poli nómicas.

Ejemplo:

f(x) = x2 representa una parábola que abre hacia

arriba con vértice en (0,0).

Función racional

Una función racional es el cociente de dos funciones poli nómicas. Así es que q es una función racional si para todo x en el dominio, se tiene:

Para los polinomios f(x) y g(x).

Ejemplos:

Nota: El dominio de una función poli nómica son los números reales; sin embargo, el dominio de una función racional consiste de todos los números reales excepto

los ceros del polinomio en el denominador (ya que la división por cero no está definida).

Función de potencia

Una función de potencia es toda función de la forma f(x) = ir, donde r es cualquier número real.

Las funciones f(x) = x4/3 y h(x) = 5x3/2 son funciones de potencia.

Operaciones con funciones

Suma de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo. Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.) Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

ejercicios

Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x - 4. Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5. Resolución:

La función f + g se define como

(f + g) (x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2x - 4 = 5x - 3.

(f + g) (2) = 5 · 2 - 3 = 7

(f + g) (-3) = 5(-3) - 3 = -18

(f + g) (1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2

Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo. Por ejemplo, para la imagen del 2,

Dadas las funciones f (x) = x2 - 3, y g(x) = x + 3, definir la función

(f - g)(x). Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g. Resolución:

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.

Resolución:

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados. Dadas las funciones f(x) = -x - 1, y g(x) = 2x + 3, definir f/g.

Resolución:

Conclusión

Tras el estudio de las nombradas funciones matemáticas, podemos concluir en que son muy importantes tanto para las matemáticas como para muchas otras ciencias, en especial la física y la química. El objetivo planteado en la introducción se cumplió, ya que se pudo observar a lo largo del desarrollo los diferentes usos de las funciones en la vida diaria y, al haber también estudiado las ecuaciones matemáticas, nos queda un modelo que podemos aplicar frente a cierta problemática. Creemos que el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue positivo, ya que se cumple la consiga en cuanto a la información teórica, y creemos que también esta monografía nos será útil en la práctica.

Fuente de donde investigue

Enciclopedia Microsoft Encarta 1999

Internet: www.altavista.com; www.yahoo.com.ar

Análisis matemático I, Notas de Teoría y práctica; 2da edición.

Enciclopedia Clarín, Tomo 20