TÓPICOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA ANÁLISE DE ...
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T ÓPICOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA ANÁLISE DE INVESTIMENTOS JOSÉ BENEDITO SACOMANO
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TÓPICOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
JOSÉ BENEDITO SACOMANO
\
S U K A: R I O
1 . JUROS S I MPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 . 1 . Introdução ........................................... .
1. 2. F 1 uxo de C a i xa ....................................... .
1.3. Princípios Básicos ................................... .
1.4. Problemas Característicos ............................ .
1.5. Juro Exato e Juro Comercial .......................... .
1.G. Montante e Valor Atual ............................... .
pág.
1
.1
2
4
5
G
2 . JUROS COMPOSTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3
2.1. Montante a Juros Compostos ............................ 13
2.2. Problemas Inverso..................................... 14
2.3. Conversão de Taxas de Juros - Taxa Equivalente........ 14
2.4. Taxas Proporcionais, Taxas Efetivas e Taxas Nominais.. ló
3. DESCONTO SIMPLES E COMPOSTO................................ 23
3. 1 . Desconto Si mp 1 es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3. 2. Desconto Bancário. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2ó
3. 3. Taxa I mp 1 i c i ta de Juros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4. RENDAS CERTAS OU ANUIDADES ................................. 32
4. 1. Definição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2. Classificação das Anuidades ........................... 33
4.3. Determinação dos Fatores para Anuidades ............... 34
4.4. Anuidade Perpétua..................................... 39
4.5. Problemas Característicos ............................. 40
5. INFLAÇXO E CORREÇXO MONETA:RIA ............ _ . . ............... 48
5. 1 . Conceito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2. Taxa de Inflação e Desvalorização da Moeda ............ 50
5.3. Taxa de Desvalorização da Moeda ....................... 51
5.4. Comportamento da Taxa de Inflação ..................... 52
5.5. Taxa de Inflação Variável em cada Período ............. 53
5.G. Problemas Característicos ............................. 54
S. AMORTIZAÇÃO DE DIVIDAS: SISTEMAS PARA RESGATE DE UM
EMPRltST 1 MO ...................................................................... _ ....................... ~ .. 5~3
S. 1. Pagamento único. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
S.2. Método Americano ou do •s1nking Fun• (fundo de reser-
va) ................................................... E:,O
S.3. Método Francês de Amortização ......................... E:,2
7 . DEPREC I AÇXO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t; 8
7 . 1 . Conceito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t;8
7.2. Métodos de Depreciação ................................ t;9
7.3. Custo do uso de um bem de Capital ..................... 75
8. AVALIAÇXO DE INVESTIMENTO .................................. 81
8. 1 . Cr i tér i os I mp:rec i sos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.2. Critérios Econômicos de Decisão ....................... 84
9. BIBLIOGRAFIA ........................................... · .... 99
APRESEHTAÇXO
O presente texto, tem por objetivo, propiciar ao
leitor, uma compreensão da lógica da Análise de Investimento à luz
das regras da Matemática Financeira.
A sequência dos tópicos é ligeiramente diferencia
da, daquela apresentada nos livros que tratam do assunto e está
baseada na experiência do autor ao ministrar a disciplina SEM 298
Economia III, na EESC-USP.
Serve, portanto como um elemento facilitador para
as aulas expositivas,
duração de um semestre
cumprido.
permitindo dessa forma que a disciplina com
letivo, tenha seu conteúdo plenamente
Evidentemente, o aprofundamento no assunto, exigirá
do interessado, a leitura complementar da bibliografia indicada.
O texto contempla ainda, vários exemplos práticos
que ilustram os conceitos teóricos.
-1-
1 . JUROS SI KPLES
1.1. Int.roduç"ão
A Engenharia Econômica trata num sentido restrito
da análise de investimento à luz das regras e convenções da
Matemática Financeira.
Esta por sua vez cuida de relacionar no tempo,
quantidades de dinheiro segundo normas pré-estabelecidas.
Desta simples conceituação depreende-se que sempre
as quantidades tratadas são em unidades de dinheiro, ou seja
qualquer valor a ser considerado deverá antes ser quantificado em
unidades de dinheiro.
1.2. Fluxo de Caixa
É um instrumento simples e de amplo uso para o
tratamento de problemas da matemática financeira.
É representado esquematicamente por
horizontal, que representa o tempo em períodos <meses,
uma reta
semestres,
anos, etc.) e por setas que indicam entradas <receitas> e saídas
<despesas) de dinheiro, e suas respectivas datas.
Exeaplo
300 200 500
~1-----+1-----+1----t+------+l---+• tempo !oo ~oo
As setas indicada~ para baixo são entradas e para
cima, saídas <pode ser o contrário).
O caráter de imprevisibilidade do fluxo de caixa,
leva freqüentemente à necessidade de reformulações, sendo esta sua
-2-
maior dificuldade. Por outro lado, a existência de fatores
imponderáveis <aqueles que não são quantificáveis financeiramente)
podem levar a desconsiderar os valores dos resultados do fluxo.
1.3. Princípios Básicos
a) VALOR DATADO
elemento A
{ v ----4 data t 1 1
v ----4 data t 2 2
b) TRANSFERf:NCIA DE VALORES
elemento B
data t 1
v condições data t
2
v 2 1
c) COMPARAÇXO DE VALORES
elemento A
v
elemento B v
B<t.2>
t adotar
_ad_o_ta_r-+ I
v
v:::: } comparações, operações, etc.
1) JUROS (j) - qualquer rendimento ou prejuízo decorrente de um
investimento.
2> Capital Inicial ou Principal
mento (data t ). o
3) TEMPO DE EMPRESTIMO <t)
t
T M o
CM ) - Valor inicial o
tn
l M n
do investi-
-3-
4) TAXA DE JUROS (i)
i = j
M , que pode ser dada em% ou na forma unitária. o
5) MONTANTE <M ) n
t t o t
I taxa 1
T M o
n
I M
1 n
M = M + juros n o
6) PERíODO DE CAPITALIZAÇ:KO
data t data t. o 1 2 3 4 1"'1
~ J ! n
! t
M M M i. z 3 n
I o taxa
O período de tempo nos quais se formam montantes
parciais, chamam-se períodos de capitalização.
i = 2X a.m. <p = 1 mês)
1 = 30% a. a. < p = 1 ano)
7) NúMERO DE PERíODOS DE CAPITALIZAÇXO
n = t./' p~
8) PRESTAÇXO A
1
i T M
A
o
tempo de empréstimo
período de capitalização
2
i A
(referido na mesma un1dade de tempo)
M n
n
Formação de montante ou amortização do Principal, através de
parcelas.
1.4. Probleaas Característicos
No regime de juros simples, a cada
capitalização, soma-se J = M ao Montante do período oi.
até a data f 1 nal do compromisso <tempo de emprest i mo} .
I 1
i 2
i 3
T M M M :l 2
o
M M J onde J
J M = + = M .. = :l o oi.
o
M = M + M = M ( 1 +i) :l o o\. o
M = M + M = M ( 1 +i) + M = M (1+2i} 2 :l o\. o oi. o
Mn = M0
(1 + ni.) que pode ser separado em
M = M + M o oni.
Capital + Juros, num único pagamento na data n
-4-
período de
anterior,
n
TI
Exemplo: Quanto valerão daqui a G meses, Cr$ 200,00 aplicados a
uma taxa de juros de 2X a.m.
\i M = 200 <1 + 0,02 X G> M = 200
n o
= 0,02
M = 224,00 t = G meses TI
p = 1 mes
M = 200 + 24,00 n = G n M
o j
1> Se A empresta Cr$ 10.000 a B a juros simples à t.axa de 20%
a.a., por três anos, quanto B deverá pagar no fim do período?
M = 10 (1 + 0,2 X 3) = 10 + 6 = 16 M j
o
-5-
2) A empresta a B Cr$ 10.000 à taxa de juros simples de 20% ao
ano, pelo prazo de um ano. Antes do encerramento do prazo, no
fim de 8 meses, B resolve saldar a divida. Quanto pagará a A?
J 1 ano
n = 8 ~ ano
J 8 meses
8/12
Se um aceitar uma convenç~o linear de juros, posso
escrever:
J = 10 X 0,2 X~~ Cr$ 1,33
3> Qual o juro simples devido ao capital de CrS 10.000,00 colocado
à taxa de juros simples de 6% ao semestre, durante 5 anos e 9
meses.
S~o 11,5 semestres.
Ao rigor, n~o se formaria juros no meio semestre final, porque
n~o se completou o período, mas admitindo-se uma convenção
linear, posso fazer:
J = 10 X 0,06 X 11,5 = 10.000 X 0,06 X 11 inteiro
1.5. Juro Exato e Juro Coaercial
+ 10.000 X 0,6 X 0,5 fracionado
convenç~o linear
Nas operações a curto prazo, onde o juro simples é
adotado, os prazos de aplicaç~o costumam ser expresso em dias
embora a taxa de juros seja anual ou mensal.
O juro será exato, quando se considera o ano civil de 365 dias
O juro sera coaercial, quando se considera o ano comerical de 360
dias.
4) Qual o juro comerei l s es de CrS
168 dias à taxa de é% a.a.
J = 10.000 X O,OG GB ~ 280,00
J = 10.000 X 0,06 X 168 ~ 276,16 365
Chama-se montante de um
Principal M , colocado a render juros a taxa o
c
a que se refere a taxa, à soma desse princ pal
lhe são devidos no f m do azo de apl cação.
licado durante
i tal inicial ou
durante n períodos
com os juros que
Assi ando-se o t te na época n por
M , tem no caso n
M = M + J = M o o
uros si les:
= M o o
Considerando-se,
+ n
a data de
financeiro pagáve em determi ada ata no
e, um comprom1sso
o:r que
assume esse compromisso em sua ata de vencimento denomina-se
do isso.
Denomina-se VALOR isso, à
determinada taxa de uros ao c al se a render
juros a partir da ata e, ar al ao
valor nom al do sua ata de c
Valor Nominal -
Valor Atual - v
v N n
N = V (1 + in)
v = N
-7-
5) Exemplo: Um nota promissória <promessa de pagamento assinada
por quem contrai uma dívida) datada de 1 de abril de
1957, com valor de face <valor da dívida na data em
que esta foi contraída - data de emissão da nota) de
CrS 1.000, devendo ser resgatada 8 meses após sua data
de emissão com juros de 20% ao ano sobre o valor de
face (diz-se que a nota tem termo de 8 meses a juros
simples de 20% a.a.), é vendida a certa pessoa, para
quem o dinheiro vale 21% ao ano, no dia 14 de julho de
1957. Quanto deve esta pessoa pagar pela posse da nota
promissória?
20% a.a. ---------------------~~~~9, 33 ~ I
14.b7.57 01.i2.57 L-------------------------J 7
140 d = -yg- a. 21% a.a.
O valor nominal é o montante do valor de face.
2 N = 1 . 000 [ 1 + <O, 20) ~ ] = 1 . 133 , 33
12 m.
8 m.
la
X
2 .. x =~a
v = 1.133,33 = 1.047,77 (1 + 0,21 ·-rs )
350 d 1 a
140 d X
X = 7 Tir a
Entre 14 de julho e 1 de dezembro, os dias foram
contados segundo o tempo exato (folhinha). Se fosse considerado
meses de 30 dias teríamos um menor número de dias, e portanto, um
maior Valor Atual.
Ainda o ano comercial, diminui o valor atual.
IBPORTARTE: Só se pode ~rabalhar, com valores nominais de compro
missos, a qualquer da~a!
6) Determinar a quantia que deve ser aplicada em uma ins~ílui<.:ão
financeira que paga a ~axa de juros simples de 8%
a.a., para que se obtenha NCrS 1.000,00 no fim de 4
anos.
M = M (1 + 1n) n o
M :: 1.000: = 0,08 a. a.: n= 4 a e M = ? n o
M 1.000 1.000 M
n 757' 58 :: = = =
o (1 + in) 1 + 4 X 0,08 1,32
7) Determinar a ~axa de juros simples que faz com que um capi~al
aumenta 50% no fim de 5 anos.
M n
J
M o
in
i
8)
= M + 0,5 M n :: 5a, = ? l
o o
= M M = 1,5 M - M = 0,5 M
=
n o o o o
in = 0,5 M o
= 0,5 para n = 5 anos
0,5 = 0,1 5
= 10% ao ao
Certa pessoa obt-eve um empréstimo de 100.000,00 à taxa de juros
simples de 12% a. a. Algum ~empo depois, tendo quem lhe
emprestasse CrS 150.000,00 a taxa de juros simples de i " a~
liquidou a dívida inicial e na mesma da~ a contraiu novo débi~o.
Dezoito meses após ter cont-raído o primeiro empréstimo,
sua obrigação e verificou ~er pago um ~o~al de CrS 22.500,00 de
juros. Determinar os prazos do primeiro e do
empréstimo.
-9-
M = 100.000 M = 100.000 01 o2
i = 12X a.a. i = 12X a. a. i 2
n = ? n = ? i 2
J = ? J = ? i 2
o enunciado diz ainda que:
J + J = 22.500 i 2
n + n = 18 m = 1,5a i 2
Então:
J = M n i = 100.000 X n X o, 12 ] i oi i 1 i J + J 22.500 =
J M i 150.00 o, 11 i 2 = n = X n X 2 02 2 2 2
7,5 = 4 n 1
+ 5,5 n 2
7,5 = 4 <1,5- n ) + 5,5 n 2 2
n + n i 2
= 1,5
n = 1 5 i , - n 2
ou 1,5 = 1,5 n 2
n = 0,5 ano i
.. n = 1 2
ano
9) Determinada pessoa deseja dispor de Cr$ 1.000,00 no fim de 5
meses e de Cr$ 2.000 no fim de 1 ano. Que quantia deverá
depositar, na data de hoje, em um estabelecimento bancário que
pague a taxa de juros simples de 2% a.m. de modo que possa
fazer as retiradas sem deixar saldo final?
Snedo M a quantia depositada: depois de G meses o saldo será. o
s = M (1 + 0,2 X b) = 1,12 M o o
Nesta data, será efetuado um saque de 1.000,00 e o novo saldo
que continuará rendendo juros será:
s~ = s - i.ooo = <1,12 M - 1.ooo) i 1 o
depois de seis meses
s = s, ( 1 + o, 02 X b) = 1 , 12 s, = 1, 1'2?- M - 1. 120 2 i i o
S' = S - 2.000 = O 2 2
1,2544 . M - 1120 - 2.000 = o o
M 3120 2.487,24 <não é exato) = 1,2544 =
o
v 1.000 2.000 1.000 2.000 = + 1 + 0,02 = 1,12 + 1,24 1 + 6 X 0,02 12 X
= 2.2505,76 os prazos não são cindíveis.
10) Certa pessoa, em cumprimento às obrigaç5es assumidas com um
outro indivíduo, deve efetuar os seguintes pagamentos:
1.000,00 na data de hoje, 2.000,00 no fim de 6 meses e 3.000
no fim de 1,5 anos. Se o custo do dinheiro acertado entre as
partes interessadas, é de 1% a.m. (juros simples) e, supondo
que o devedor deseje reformular seus compromissos originais.
de maneira a efetuar somente dois pagamentos iguais, o
primeiro de hoje a 1 ano e outro no fim de 1,!'> ano, deLt~r~minar
o valor desses pagamentos.
Representando por X o valor do novos pagamentos iguais,
esquematicamente:
1.000 2.000
o 12 X
3.000
18 X
'temos
meses
para que o credor aceite os novos compromissos é necessário
que para a taxa de juros considerada, lhe seja indiferente
receber um ou outro conjunto de pagamento.
Se optasse pela primeira alternativa, ao receber os pagamentos
originais, aplicaria a taxa de 1% como prop5e o problema.
Assim sendo o total na época 18 seria:
1.000 (1 + 0,01 X 18) + 2.000 (1 + 0,01 X 12) + 3.000
para a segunda alternativa
X (1 + 0,01 X 6) + X
Pelo que foi dito
1.000 (1 + 0,01 X 18) + 2.000 (1 + 0,01 X 12) + 3.000 =
-11-
X (1 + 0,01 X 6) + X 1
X= 3.116,50
A express~o acima, constitue uma EQUAÇ~O DE VALOR
A data de comparação chama-se DATA FOCAL
Considerando-se agora a data 24, como DATA FOCAL, temos duas
maneiras para o cálculo de montante:
a) usando-se o transporte dos valores de tR p~ra 24.
ou
( 1 + o , o 1 X 6 ) [ 1 . 000 ( 1 + o I o 1 X 18 ) + 2 . 000 ( 1 + o I o 1 X 1 2 ) +
3. 000) = ( 1 + 0, 01 X 6) [ X (1 + 0, 01 X 6) + x]
1.000 (1 + 0,01 X 6) (1 + 0,01 X 18) + 2.000 (1 + 0,01 X 12) X
(1 + 0,01 X 6) + 3.000 (1 + 0,01 X 6) = X (1 + 0,01 X ó) X
(1 + 0,01 X 6) + X (1 + 0,01 X Ó)
X= 3.116,50
Que é uma equação equivalente à equação 1, pois
multipliquei membro a membro por um número diferente de zero.
b) Supondo agora que não se tivesse usado a equação da data 18
para chegar à data 24 teríamos:
1.000 (1 + 0,01 X 24) + 2.000 (1 + 0,01 X 18) + 3.000
(1 + 0,01 X 6) = X (1 + 0,01 X 12) + X (1 + 0,01 X Ó)
X= 3.110.09
Como se pode ver para juros simples, a data focal
influe no resultado, pois os prazos não são ???
n 1
n
n 2
M C1 + in) ..eM (1 + in 1) 1 + in 2) o o
n = n + n 1 2
11) Uma pessoa ~em os seguintes compromissos a serem saldados.
a) Uma nota promissória cujo valor de face de 1.000 datada 3
meses an~es da data de hoje, com termos de 9 meses a juros
simples de 24% a.a.
b) Um empréstimo de 500.000,00 contraído 4 meses antes da data
de hoje e que deve ser pago no fim de um ano (a contar da
data do empréstimo) acrescido de juros simples à taxa de
1.5% a.m.
c) CrS 250.000,00 como valor nominal de uma nota promissória
cujo investimento é de hoje a uma ano.
Admitindo-se que seja possível pagar esses
compromissos em 3 pagamentos crescentes em P.A. de raz~o igual ao
primeiro pagamento, sendo o 1~ na data de hoje, o ~ no fim de S
meses e o 3~ no fim de 1 ano, determinar o valor de cada um desses
pagamentos adotando-se a taxa de juros simples e a data foca
igual ao último pagamento.
alores nominais
9 a) 1.000 (1 + ~ . 0,24) = 1.180
b) 500 (1 + 12. 0,015) = 590
c) 250.
12m 1,5% a.
koo 9m 24% a. a. ~90 1. 00 1.180 I
-k !; t t l > I ~2 -4 X 2x
1.180 (1 + 0,01 X b) + 590 (1 +0,01 X 4) + 250 =X (1 + 0,01 X 12)
+ 2x (1 + 0,01 X S) + 3 X 1.
1.250,80 + ó13,ó0 + 250 = 1,12 X+ 2,12 X+ 3x
2.114,40 = ó,24 X
X = 338,85
1~ pagamento = 338,85
2~ pagamento= ó77,70
3~ pagamento= 1.01ó,55
2- JUROS COBPOSTOS
-13-
Como se viu, no regime de capitalizaç~o a juros
s1mples, somente o capital inicial <principal) rende juros. Quando
se opera em regime de capitalizaç~o a juros compostos cada
montante dos períodos de capitalizaç~o, se faz pela soma do
montante anterior com os juros deste montante, ou seja, os juros
incorporados passam a render juros, nos períodos posteriores.
2.1. Bontante a Juros Coapostos
data
I t t taxa o
k ~ T M o 2
o
Período 1 = M = M + MOi = M (1 + i ) i o o
Período 2 = M = M + M11 = M ( 1 + i ) = M <1 + i )2 2 i i o
Período 3 = M = M + M2i = M (1 + i)g 3 2 o
Período ~ M = M ( 1 + i ) n n o
<1 + i)n =fator de juro composto- FJc-
n o n
Formula do montante a juros compostos, num único
pagamento C*).
2.2. Probleaa Inverso
r direto M FJc*
M o n
j inverso M FVA*
M n o
L (futuro) (atual)
M == M (1 + i)n n o
1
(1 +
Probleaa
M == o
M n
fator de valor atual {único pagamento)
a) CrS 1.000,00 hoje, valerão quanto daqui a 20 meses, com taxa í
de juros de 1% ao mês?).
M == M onde n o
M = 1.220,00 n
M = 1. 000 o
:: o, 01 }
n = 20 tab. CFJC)* = 1. 220
2.3. Conversão de Taxas de Juros - Taxa Equivalente
t o i
:l
i 2
M: t o
r~---~ A~ua i s Mensais
t n
I I n
:l
M
I I n k 2
n2
M = M ( 1 + i ni o
n:l
M = M ( 1 + i T\2 o 2
n
/· t
r.
) 2
-15-
Condição para equivalência e que
n n M M M (1 + i )
:l M ( 1 + i ) 2 = =
n:l n2 o :l o 2
sendo t
n = 1 p1 1 p1 n pt = n p2 .. n = n
t 1 2 2 1 p2 n = J 2 p2 p2
.. n = n 1 2 p1
n p2 n Pyp ( 1 + i ) 2 (1 + i )2----+ 1 + i ( 1 + i = = ) 1
2 pj_ 2 2 1
Pyp
-11 i = (1 + i ) 1
2 1
ou
Pyp
-11 i = ( 1 + i ) 2 2 1
fórmula de equivalência de taxas de juros.
Ex.: Se tivermos um capital M aplicado durante o
12 períodos de
capitalização mensais a uma taxa im ao mes; qual deve ser a
período de capitalização, taxa anual ao ano, num único
para resultar o mesmo valor do montante M n
M = M <1 + im> 12 taxa mensal, <12 períodos) 12 o
M = M <1 + ia)i. taxa anual, <1 período) 12 o
M <1 + im>i- 2 = M <1 + ia) o o
ia= <1 + im) 12 1
i m = < 1 + i a )?{2 - 1
c) Uma pessoa comprou um imóvel em 30 de julho de 1974, por
CrS 50.000,000 e sua propos~a é de pagá-lo em 3 parcelas, da
seguin~e forma:
30.08.74
30.09.74
30.10.74
10.000,00
20.000,00
o res~ante
considerando-se uma taxa de juros de 12,7% a.a.
qual o valor da última parcela?
pergunta-se
Resolução
30.08
o
D = 50.000 o
30.09
D li.
l 10.000
12,7 a.a. ~ 1% a.m., pois,
30.08 D = 50.000 ( 1 + i
30.09 D = 40.500 (1 + 2
o = 20.905 ( 1 +
X = 21.114,05
:1.
ou 50.000 = 10.000 FVA• 1:1.
30.10
D 2
20.000
o
X
im = (1 + ia)}{2 - 1 = 1
0.01) - 10.000 = 40.500
0,01) - 20.000 ::: 20.905
0,01) - X
+ 20.000 . FVA• :1.
12 + X .
(obedecendo a movimentação no fluxo de caixa).
2.4. Taxas Proporcionais. Taxas Eretivas e Taxas Hoainais
a) Taxas proporcionais
:1
13
Considerando duas ~axas i e i/, que respectivamen~e referem-se
aos períodos te t~, diremos que elas, são proporcionais se,
expressando-se um dado de tempo, for verificada a
relação:
in~e
Exemplo: 4X a. ~e 1óX a.a. s~o proporcionais
4X a.~ = = 16% a.a.
0,04 o, 16
3 =~ =
0,04 o, 1 E)
~ =~
3m = --r2ii
-17-
Exemplo: De~erminar a ~axa anual que, seja proporcional à ~axa
de 2X a.m.
2X a.m. x a.a.
~ = -p =
xX = 24% a.a.
1 1"2
b> Taxa Efe~iva de Juros
2/
)
É a ~axa cujo período de capi~alizaç~o coincide com aquele a
que ela se refere.
10% a.a. com capi~alizaç~o anual
c) Taxa Nominal de Juros, é a ~axa, cujo período de capi~alização
n~o coincide com aquele a que ela se refere
10% a.a. com capitalizaç~o semestral
Por convenç~o a ~axa efe~iva, que é a ~axa que deve ser usada
nas fórmulas de matemática financeira, correspondente a uma
~axa nominal dada é a ~axa, que rela~iva ao período de
capitalizaç~o mencionado, lhe seja proporcional.
Exemplo: 10% a.a. com capi~alização anual <Efetiva)
10% a.a. com capitalizaç~o semestral <Taxa Nominal>
Qual é a ~axa efetiva semes~ral, relativa a ~axa de 10% a.a.
com capi~alizaç~o semestral?
1 0% a . a . ----t
i = 10 5% ES ~
2s
a.s.
Qual o montante de um capital de Cr$ 100,00 colocado no regime
de juros compostos à taxa 10% a.a,
durante dois anos? <Taxa Efetiva).
com capitalização anual,
Qual o montante de um capital de Cr$ 100,00 no regime de juros
compostos à taxa de 10% a.a. com capitalização seaestral - ,~.~-~ ·-----
durante dois anos.
1 M = M (1+ o 1 10)2 = 100 X 1,210 = 121,00 i o \~J 2 M = 100 (1 + 0,05) 4 100 X 1,21& = 121,&0 n
As caixas econômicas pagam jur-os de 5% a. a. com capitalização
seaest.ral. Qual é a taxa efetiva anual?
1N 0,05 0,025 2,5% i = ~ = 2 = = a.s.
ES
i = ( 1 + )2 - 1 = 5,0&% a. a. E a. !!!
Qual o juro devido a um capital de 1.000,00 colocado a juros
compostos na taxa de 5,5% a.a. por um prazo de 10 anos?
J = M o
[ ( 1 +i ) i O - 1 ]
J = 1.000 [ (1 + 0,05):iO - 1] = 708,80
Determinar a taxa de juros compostos que faz com que um cap1tal
aumente 50% no fim de 5 anos.
M = M + 0,5 M - 1 '5 M n = 5 a, i = ? ' n o o
M = M = (1 + i ) n .. 1,5 M = M ( 1 + i )!5 n o o o
'(_
C1 i ) = !5~ 1, 5
= 5~ 1.5 = 0,0845 = 8,45%
Cer-ta pessoa obteve um empr-éstimo de Cr-$ 100.000,00, a taxa de
jur-os compostos de 3% a.m. Algum tempo depois, tendo encontrado
quem lhe empr-estasse a mesma quantia à taxa de jur-os compostos
,J
J ~
-19-
de 2% a.m., liquidou a dívida inicial e, na mesma data contraiu
novo débito. Dezoito meses após
empréstimo, saldou sua obrigaç~o
CrS 46.200,00 de juros.
ter tomado
verificando
o primeiro
ter pago
Determinar os prazos do primeiro e do segundo empréstimos
M = 100.000 í M = 100.000 o~ ot
l!! i = 3% a.m. 2!! i = 2X a.m. ~ 2
n = ? n = ? l. 2
.. J = ? J = ? ~ j
L
[ J + J = 4&.200 j 2
n + n = 18 j 2
n n
M [ (1 + 0,03) j -1 ] 100.000 (1+ 0,003)
j = = -100.000 ot
n n
J = M • [ < 1 + O , 02) 2
-1 ] = 1 00 . 000 [ < 1 + O , 02 > 2 -1 00 . 000 2 02
n n
----+ J + J = 4&.200 = 100.000 [ (1 + 0,03) j + (1 +0,02) 2 - 2]
! 2
[
[
,., ,., 0,4&2 - (1 +0,03) ~ + ( 1 + 0,02) 2 2 -n + n = 18
j 2
,., ta - TI
2,4&2 = ( 1 + 0,03) j + (1 + 0,02) ~
soluç~o por tentativas
P n = b E = 2.4&2 j
n = b j
n = 12 2
Um indivíduo deseja dispor de CrS 1.000,00 no fim de & meses, e
de Cr$ 2.000,00 no fim de 1 ano. Que quantia deverá depositar
na data de hoje, em um estabelecimento bancário que pague a
taxa de juros compostos de 2X a.m., de modo a fazer retiradas
sem deixar saldo final.
(Ó ·. \\)'J'J ' ' -'- o ai') -r
o 12
T I 1 1.000 2.000
6 M = 1 . 000 FV A • \
o 2% 0,8880
M = 2.465,00 o
12 + 2.000 FVA l
2% 0,7885
Cer~a pessoa, em cumprimen~o às obrigações assumidas com outro
indivíduo, deve efetuar os seguin~es pagamen~os: 2.000,00 no
fim de 6 meses e Cr$ 3.000,00 no fim de 1,5 anos, além de Cr$
1.000,00 na da~a de hoje. Se o cus~o do dinheiro é de 1% a.m.
(juros compos~os) e, supondo que o devedor deseja reformular
seus compromissos originais de maneira a efetuar somente do1s
pagamentos iguais, o primeiro de hoje a um ano e o ou~ro no fim
de 1,5 anos, de~erminar o valor de~ses pagamen~os.
1000 2.000
o 12
X
Data focal 18
19 12 1.000 (1 + 0,01) + 2.000 (1 + 0,001) + 3.000 = x <1 + 0,01) 6 + x Equação (1)
Da~a focal 12
1.000 (1 + 0,01) 12 + 2.000 (1 + 0,01) 6+
3 · 000 = (1 + o,ou 6
Equação <Il)
X +
3.000 meses
18
X
X
Mul~iplicando ambos os membros da equação (11) por (1 + 0,01) 6
1.000 <1 + 0,01)i9+ 2.000 (1 + 0,01)i.2 = 3.000 = X (1 + 0,01) 6 + X
Coincide com a equação da da~a focal igual a 18, ou seja,
-21-
se dtvidlr o prazo que o resultado n se altera.
No regime de juros compostos o valor 1ndepende da data focal
escolhida.
X = 3.128, 03
EXERCíCIO
Uma pessoa tem os seguintes compromissos a serem saldados:
a) Uma nota promissória cujo valor de face é de CrS 1.000,00
datada em 3 meses antes da data de hoje, com termo de 9 meses,
a juros simples de 24% a.a.
:: ("\)
b) Um empréstimo de Cr$ 500,00 contraído 4 meses antes da data de
hoje e que deve ser pago no fim de um ano Ca contar da data do
empréstimo) acrescido de JUros compostos à taxa de 1.5% a.m. 'c) J
" 0/~-c) 250,00 como valor nom1nal de uma nota promissó_f)_a cujo
/ ' mento é de hoje a uma ano. - > ~
venc1-
Admitlndo-se que seja possível saldar esses compromissos em 3
pagamentos crescentes em projeção aritmética de razão igual ao
pr1me1ro pagamento, sendo o 12 na data de hoje, o 22 no f1m de
b meses e o 32 no f1m de um ano, determ1nar o valor de cada um
desses pagamentos; adotando-se a taxa de juros compostos de 1%
a.m.
Determinação dos Valores Nominas
9 a) 1.000 <1 + -rz- x 0,24) = 1.180
b) 500 <1 + o , o 15) 2-2 = 500 X 1.195b = 597,80
c) 250 \
\ ~
12 m, 1 . 5% a . m . ( J . C . )
500 1.000 9 m 24% a.a. (J.S.) 1.180 597,80 250
X 2 X
Data foca 1 12
1.180 (1
2 X {1 +
+ 0,01~+ 597.80 (1 + 0,01)"4 + 250 = 0, 01)b + 3 X
3 X
X (1 + 0,01) 12 +
1.180 X 1,0E.15 + 597,80 X 1,0400 + 250 = 1.1208 X+ 2.123 X 3 X
2.124,64 = E.,2498 X------~
1 pagamento x = 339,95
2 pagamento 2x = E.79,90
3 pagamento 3x = 1019,85
Exemplo:
X = 339.9E.
Uma empresa deve pagar CrS 8.0000,00 no fim de 8 anos, Já
estando incluídos os juros de E.% a.a. e de 15.000 no fim de ó
anos, já incluídos os juros de 4% a.a. Qual o debito hoje?
Quanto deve depositar em um banco que paga 7% a.a., para saldar
seu débito em 3 anos?
1 2 3
I I I
1) Débito hoje
M = o
M = o
15.000 n = E.
FVA• I i. = 4
0,7903
+
4 5 E. 7 8
I I 1t000
I 81000,
C4% a. a.) {E,% a. a.)
n = a 8.000 FVA*
i. = 696
0,6274
-23-
2) Saldar o débito em 3 anos
1 2 3 4 5 6 7 8
J.ooo Jooo' M ( 1 + 0,07)3 15.000 + 8.000 = =
o <1 + o 104 )3 (1 + 0,06) 5
M = o
3- DESCOHTO SI BPLES E COIIPOSTO
Entendemos por desconto o abatimento que se obtem
ao saldar-se um compromisso antes de sua data vencimento e por
descontar o ato acima descrito.
Assim sendo o desconto D nada mais é que a
diferença entre o valor nominal do compromisso e seu valor atual
na data do desconto, ou seja:
D = N - V (1)
conforme o regime de juros, o desconto será dito desconto simples
ou desconto composto.
3.1. Desconto Siaples
Existem dois tipos de descontos.
a) Desconto racional ou por dentro
O desconto racional, também chamado de desconto
verdadeiro ou ainda de desconto por dentro é aquele obtido a
partir da fórmula (1), substituindo-se o valor nominal pelo valor
atual, ou vice-versa,
financeira.
a partir das fórmulas da matem'át:ica
Assim, sendo a taxa corrente de juros simn es
por período na data do desconto, o desconto racional
obtem ao descontar-se um certo compromisso de valor nominal
períodos antes de sua data de vencimento, será dado por:
N N + Nin - N DR = N - v = N - = 1 + in 1 + in
DR Nin
ou = 1 + in
que se
N,
Outra maneira, substituindo-se em função do valor
atual, teríamos:
DR = N - V = V <1 + in) - V = V + Vin
D = Vín
O desconto racional é portanto o valor do juro,
devido ao valor atual do compromisso.
Chama-se Valor Descontado, a di fer·enç
valor nominal e o desconto. Asimm sendo,no caso de descon~
racional o valor descontado será igual ao valor atual
desconto.
Nin N + Nin - :Ni Vn = N - DR = N - = 1 + in 1 + in
Vn N = 1 + in
Qual o desconto racional que se obtém,
tar-se três meses antes de seu vencimento, uma nota s
com valor de face de CrS 1.000,00 cujo termo é de 10 meses
simples de 2,5% a.m., se a taxa corrente de juros simples é de
a.m.?
Valor nominal
N = 1.000 (1 X 10 X 0,025) = 1000 (1 + 0,25) = 1.250
-25-
1250 X 3 X 0,03 1250 X 0,09 ;; 103,21 ~ = = 1 0,09 1 + 3 X 0,03 +
v N 1.250 1.145,79 = = = 1 + in 1 + 3 X 0,03
DR = 1.145,79 X 0,03 X 3 = 103,21
DR = N- V= 1.250- 1.14&,79 = 103,21
Supondo agora que o ~ermo da no~a promissória fosse
de 2 anos a juros compostos de 10% a.a., teriamos então:
N = 1.000 (1 + 0,010)2 = 1.000 X 1.210 = 1.210
1 + in ~ = Nin = 1210 X 3 X 0,03 1 + 0,03 X 3
b> Desconto Coaerci al ou por f"ora
~ Cr$ 99.91
Na prática comercial, visando-se simplificar o
cálculo do desconto simples, foi adotado por convenção, o chamado
desconto comercial ou por fora. Por essa convenção, em analogia ao
desconto racional, o desconto comercial é interpretado como sendo
o juro simples devido ao valor nominal.
Desse modo, o desconto comercial, De; que se obtém
ao se saldar n períodos antes do vencimento, um compromisso de
valor nominal N, sendo a taxa corrente de juros simples por
período na data do desconto, será dado por:
De = Nin
O valor descontado comercial será dado por:
Vc = N - De = N - Nin
Vc = N (1 - in)
De > I:R
Vc < VR { Examinar do ponto de vista da empresa ou banco.
Desconto comercial para os dados do problema
anterior.
De= Nin = 1.250 x 0,03 x 3 = 112,50
Vc = N -De = 1.250- 112,50 = 1.137,50
3.2. Desconto Bancário
Nas operações de desconto realizadas em estabeleci
mentos bancários, além da dedução resultante da aplicação do
desconto comercial, costuma-se cobrar, a título de fazer-se face a
despesas administrativas, uma certa taxa sobre valor noainal do
coaproaisso.
Se descontarmos quatro meses antes de seu
vencimento, um título com valor nominal de CrS 1.000,00 em um
banco que cobra 2% sobre o valor nominal do compromisso a
descontar como despesas bancárias, e para quem a taxa corrente de
juros simples é de 3% a.m., qual será o desconto to~al, chamado
desconto bancário, Db, que o nosso título sofre?
Db = De + parcela de despesas bancárias
De = Nin = 1.000 x 0,03 x 4 = 120
parcela de despesas bancárias= Na = 1.000 x 0,02 = 20
Db = 120 + 20 = 140,00
De uma maneira geral, sendo a ~axa de juros
simples por período, o desconto bancário que se obtém ao descon
~ar-se, n períodos antes de seu vencimento, um compromisso de
valor nominal N em um banco que cobra a taxa a sobre o valor
nominal como despesas bancárias, será dado por:
Db = Nin + Na
x e+ por n a segunda parcela do segundo semestre, teremos:
-27-
Db = Nin + Nn . n
fazendo-se agora
teremos: n = i', que será uma taxa por período,
Db = Nin + Nin
Db = N (i +i) n e fazendo-se + i, = 6
Db = Nón
onde 6 é chamada taxa de desconto bancário por período.
O valor descontado, também chamado de valor atual
bancário Vb, no caso de aplicação de desconto bancário à taxa de
desconto 6, será dado por:
Vb = N - Db = N - Nón
conhecendo-se a taxa corrente, pede-se determinar o incremento da
taxa bancária.
Uma nota promissória datada de 01.07.&7 e com valor
de face de CrS 1.200,00 cujo termo é de 120 dias com juros simples
de 5% a.m., foi descontado no dia 0&.09.&7, em um banco para o
qual a taxa corrente de juros simples é de 5,5% a.m., e que cobra
a taxa de 1/4% a.m. em operações deste tipo. Qual o valor
descontado.
Valor nominal da nota em 01.11.&7
N =V (1 + in) = 1.200 (1 + 0,05 X 4) = 1.440
o valor descontado será:
Vb = N {1 + 6n) onde 6 = i + i'= 5,5% + 1/4% = 5,75% a.m.
5& Vb = 1.140 (1 - 0,0575 X~)~ 1.285,49
1.200
01.07 .b7 t OE>.09.E>7
e Taxa de Juros Iaplicita
5E> m 30
5,75% a.m.
1.440 <N)
I .j,
01.11.E>7
Do pon~o de vis~a ~eórico, o descon~o racional ou
verdadeiro como o próprio nome diz, é o descon~o que deveria ser
sempre aplicado, pois resul~a da consideração da ~eoria da ma~emá
~ica financeira e não, como nos casos do descon~o comercial e do
descon~o bancário <que é uma ex~ensão do descon~o comercial), de
convenções.
Devido a esse fa~o, quando se considera ou o
descon~o comercial à ~axa ou o descon~o bancário à taxa 6, a
~axa que foi realmen~e <segundo
~axa de juros implíci~a é a
respec~ivamente, a um desconto
a teoria) aplicada, denominada
~axa tal que conduzisse,
racional igual ao desconto
comercial, ou igual ao desconto bancário.
Assim, no caso de desconto comercial, teremos a
seguinte relação:
r:c =
[R =
Nin
Ni•n
1 ..
+ 1 n
Para o
6 =
para De = DR .. i
N1 n =
1 + .. 1 n
• Ni n i
1 .. - 1 n
desconto bancário: .. 1
• 1 + i n
• i =
Nin = Ni*n
1 + .. 1 n
1 - 6 n
Qual a taxa efetiva de juros simples cobrada pelo
banco, no caso do exemplo anterior?
• i ó = .. 1 + ..
1 n
• ó ou i = 6n 1 -
no caso temos:
6 = 0,0575 5&
a.m. e n = ~ m
• ó i = ó • + i n
• i = 0,0575 -= 0,0544 ou 5,44% a.m. 55
1 - ~ X 0,0575
e Desconto Coaposto
1. Desconto Racional
N = Valor nominal D = N - V
V = valor na data de desconto
i )n i) n • I~ Mn = M . <1 + ( 1 + = FJC o
N = v ( 1 + i )n
N 1 FVA• I~ = v = i) n
i )n ( 1 + ( 1 +
IR = N - v onde v = N . FVA• ,: I~ DR = N - N FVA•
( 1 ) DR = N (1 • '~) - FVA
IR = v FJC• I~ - v
(2) DR = v [ FJc• ,: - 1]
-29-
Qual o desconto composto que se obtém ao resgatar
se, 2 anos antes de seu vencimento, uma nota promissória com valor
de face de Cr$ 1.000,00 cujo termo é de 5 anos a juros
de 1,5% a.m., se a taxa corrente de juros compostos for
a.m.?
compostos
de 1,75%
N =V (1 +i)n = 1.000 (1 + 0,015)72 - 1.000 X 3,4821 = 3.487,21
24 D = N <1 - FVA* lo.Ot?5 ) = 3.487,21 - 3.487,21
D = 1. 187,51
0,559438
b) Descont.o Coapost.o por ~ora
Como já vimos,
período a que se refere a taxa
distinç~o entre a aplicaç~o do
quando consideramos somente
de juros considerada, não
regime de juros simples e
um
há
a
aplicação do regime de juros compostos. Assim, considerando-se um
período de cada vez, e adotando-se em cada período o princípio do
desconto comercial, podemos deduzir uma fórmula que nos dê o valor
descontado, VD, de um capital de valor nominal N, quando no regime
de juros compostos à taxa por período, esse capital é descon
tado n períodos antes de sua data de vencimento.
Para tanto, consideremos inicialmente um capital
C , pagável no fim de um primeiro período a que se refere a taxa i
i ; data i .
VD
o
1 c
i
1
Adotando-se o desconto por fora, o valor descontado
VD, desse capital C , no início desse período, época zero, será: i
VD = C <1 -i
. 1) =c <1 - i) 1
Ora, por outro lado, C , pode ser admitido como 1
sendo o valor atual comercial de um capital C , capital esse 2
considerado no fim de um segundo período a que se refere à taxa i;
data 2.
VD 1
o
Assim
c = c ( 1 + . 1) = c (1 - i ) .1 2 2
VD = c ( 1 - i ) ( 1 - i ) 2
VD = c (1 - i )2 2
VD c 1 .1
o 1
ainda de acordo com a fórmula:
. 1 ) = c3
< 1 - i )
VD = c3 < 1 - i ) 3
c 1
1
VD = N <1 - i)n
c 2
2
1
-31-
c 2
2
c 3
3
Considerando-se desconto composto por fora, à taxa
de 15% a.a., qual o valor descontado de um título de valor nominal
de Cr$ 1.000,00 se este for descontado ó anos antes de sua data de
vencimento.
VD = 1.000 (1 - 0,15).t = 1.000 (0,85).1 = 0,37715
VD = 377,15
3.3. Taxa laplicita de Juros
Será a taxa para o qual o valor atual de
data do desconto, for igual ao valor descontado VD.
N, na
v = N
N
C1 +
1
1 + i*
e VD = N Cl - i)n
= N ( 1 - i )n
= 1 - i
= • i
• 1 + i
= 1 -1
e
~ .:.
+
1 ·* 1 + 1 - J.. = * * i 1 + i
* i = 1 -
No problema anterior, calcular a taxa implicita de
JUros compostos:
1 - 1 = O, 15 0,1755 ou 17,55% a.a. * i = 1 - o' 15
Calcular o desconto comercial de uma letra,
sabendo-se que o seu desconto racional é igual a 120,00 descontada
4 meses antes do vencimento, à taxa de juros simples de 5% a.a.
DR = V in De = v ( 1 +in) in
í De = Nin De = V in + V in in
i N = v ( 1 +in) De = DR + DR in
De = DR ( 1 + in)
De 120 120 (0,05) 120
122,00 = + 360 =
4. RENDAS CERTAS OU ANUIDADES
4.1. Definição
É uma sucessão finita ou infinita de pagamentos
T , T , i 2
pagamentos esses chamados termos da anuidade e que
devem ocorrer em datas pré-estabelecidas.
4.2. Classificaç~o das Anuidades
a) Quanto ao número de termos:
- anuidade temporária - número de termos finitos
anuidade perpétua - número de termos infinitos
b) Quanto ao valor dos termos
anuidade constante
anuidade variável
termos iguais entre si
termos diferentes entre si
c) Quanto as datas dos pagamentos
-33-
- anuidade periódica - datas separadas por intervalos de tempos
constantes
anuidades n~o periódicas - caso contrário
e Anuidades Periódicas
Postecipadas: Os pagamentos são efetuados no fim de cada período,
nesse caso, n~o há pagamento na data origem.
o T j_
T 2
T T 3 n-1
1------1------+----+--/- - -/---+----~ 1 2 3 n-1
Antecipadas: Quando os termos tem vencimento no início de
período, o primeiro pagamento ocorre, portanto,
data origem.
T T T T T 1 2 3 "' n
/---1 o 1 2 3 n-1 n
cada
na
Diferidas: o primeiro pagamento só é efetuado no fim ou no início
do período m + 1, contado a partir da data origem.
O prazo m de que é atrasado o início da anuidade
é chamado de diferimento da anuidade ou, quando, o diferimento não
é contado para a formação de juros, diz-se que existe um prazo de
carência.
o m T T T T ~ 2 a n-i
I n I n
4.3. Determinação dos Fatores para Anuidades
Fundo de capitalização e Fundo de Amortização.
a) Fundo de Capitalização
É o montante que resulta, no final de n pagamen
tos da soma das n parcelas iguais, de valor nominal A, pagas no
fim de cada período e colocadas à taxa de juros
postecipados).
<pagamentos
Resolução: utiliza-se o princípio da equivalência e transferência:
transfere-se cada parcela para a data do último
pagamento.
o 1 2 3 4 n-2 n-1 n
~----~------~-----r----~-1- - -1-r----~----~
l l l l l 1
A última parcela não rende juros, valendo, portanto
A.
A penúltima parcela rende juros durante um período,
valendo portanto A (1 + i).
Período
n
n-1
n-2
3
2
1
Valor Original
A
A
A
A
A
A
Valor Transportado
A
A <1 +i)
A < 1 + i )2
A ( 1 + i )n-3
A ( 1 + i )n-2
A <1 + i )n-i
-35-
O ~undo de capitalização é a soma das n parcelas
transportadas, e vale:
M =A [1 + Cl+i) + Cl+i)2
+ n-i
... + (l+i) ] C I ) n
Multiplicando-se ambos os termos por <1 + i),
temos:
M (1+1) =A [ Cl+i) + (1+i)2 + Cl+i)
3 + ... + Cl+i)n] (ll)
n
Subtraindo membro a membro a expressão <I> da <li).
M = n. i
A [ (1 + i )n -1]
M n
= A [ _<_1_+___,i_)_n_-_1 ] J Esta expressão dá o valor futuro da soma de n
parcelas, pagas no fim de cada período de capitalização à taxa i.
A expressão [ (1 + i )n -1 ] = FJC I ni
chama-se fator juro composto, Fator de Acumulação Composta, Fator
de Acumulação de Capital ou ainda Fator de Capitalização.
b) Fundo de Aaortizaç~o
~o problema inverso do Fundo de Capi~alização.
Consis~e em de~erminar o valor de cada parcela a ser paga no final
de cada período de capi~alizaç~o, de modo que, no fim de n
períodos, se ~enha um mon~an~e M , a expressão é: T"o
A = M T"o
(1 + i)n -1
sendo que a expressão = é chamada Fa~or Fundo de
Amortização.
Exemplo 1: Determinar o mon~an~e de uma renda anual cons~i~uida de
15 ~ermos iguais a Cr$ 1.000,00 cujos pagamen~os são
pos~ecipados à ~axa de juros compostos de 10% a.a.
Solução:
Mn = A . [ -1 ] n
= A • F JC l i T"o = ~!5
Mn =A . FJC I. = 1.000 . 31,772 1 = :lO
Mn = 31.772,00
• Valor da Prestação ou Recuperação de Capital <Tabela Price)
Consis~e na determinação da prestação <A) quando
conhecemos o capi~al empa~ado <M ), a ~axa de juros (i) e o número o
de períodos de capi~alização.
Resolução:
Temos que A = Mn mas (1 + i)n -1
Mn = M (1 + i)n , donde A = o ( 1 + i )n -1
-37-
sendo
= FRC. Fa~or de Recuperação de Capi~al. (1 + i)n -1
Valor Atual ou Bontante Inicial
É a de~erminação do capi~al na da~a origem (valor
a~ual), quando se conhece a,pres~ação A.
A • (1 + i)n -1
i ( 1 + i )n
ou Fator de Valor Atual.
onde ( 1 + i )n -1
i (1 + i)n = FVA
Exemplo 2: Calcular o valor da pres~ação mensal, para 24 meses,
de um emprés~imo bancário de Cr$ 1.000,00 à ~axa de
juros compos~os de 3% a.m.
n = 24
A= M FRC I. = 1.000 X 0,059047 o 1 = 3!16
A = 59,04
Exemplo 3: Determinar o valor atual de uma renda anual constttutda
de 15 termos iguais a Cr 1.000,00 cujos pagamen~os são
postecipados, à taxa de juros compostos de 10% a.a.
A = M o
FRC ---+ 1~5
M = A . FVA o •o"
Pagaaent.os Ant.ec i pados:
= 1.000 . 7,705 = 7.705,00
Considerando-se os dados do problema anterior,
calcular o mon~ante e o valor atual da renda, considerando-se
pagaaentos antecipados.
M 1 2 3 15 o
f------+-----+-----+-1- - -1-+-----l
T T A A
Montante na
Período
n = 15
Cn-1) = 14
<n-12) = 3
Cn-13) = 2
(n-14) = 1
T A
data 15
Valor Original
A
A
A
A
T A
T A
Valor Transportado
A (1 + i )
A ( 1 + i )2
A < 1 + i )i-3
A < 1 + i )i4
A C 1 + i )i5
Conceito de início e fim do período
-38-
Mn = A [ C 1 +i ) + C 1 + i ) 2
+ . . . + < 1 + i ) i. 4
+ < 1 + i ) J. 5
] < 1 )
Multiplicando 1 por Ci + i), membro a membro, fica:
Mn <l+i) =A [ C1+i) 2 + Ci+i} 3 + ... + C1+i}i 5 + C1+i)i 6] C2)
Fazendo-se <2> - (1):
Mn i = A [ C 1 + i ) 1 ó + C i + i ) ] = A < 1 + i ) [ C i + i ) i
5 - 1 ]
Mn i = A C 1 + i ) . [ < 1 + i } i 5
- 1]
De um modo geral
Mn = A ( 1 + i ) . [ ( 1 + i ) n - 1]
Mn = A (1 + i) FJC I ni
Sendo Mn = M . <1 + i)n o
M (1 + i)n o I ni = A <1 + i) FJC
M = A < 1 + i ) . [ < 1 + i) n - 1]
ou ainda
1
( 1 + i )n .
n M
0 = A ( 1 + i) FVA I i
-39-
M = A + A FVA I 1 o n-conforme vis~o em anuidades pos~ecipadas.
4.4. Anuidade Perpétua
Avaliar uma casa, cujo aluguel pode ser es~ipulado
em Cr$ 1.000,00 mensais, se a ~axa de juros compos~os de mercado é
de 2% a.m.
Resolução: ~ra~a-se de um caso de anuidade perpétua, sem conside
rar-se inflação ou correção aonetária, nem depreciação
rápida. É uma maneira de fazer avaliação rápida.
limM =Alim o
n-+00 n-+00
=A. lim 1
Para o exemplo
A= 1.000,00
Bas~a ~razer as pres~ações ao valor a~ual.
M = A . o
( 1 + i) n -1
( 1 + i )n. 1
Calculando-se o limí~e para n-+ 00 vem
=
( 1 + i )n -1
( 1 + i )n . i
A
= A 1 im
n-+00
1 -( 1 + i )n
= 2X a.m. ~M = o
1.000 0,02
= Cr$ 50.000,00
--s:v--
4.5. Probleaas Característicos
Exemplo 6: Determinada pessoa, ao comprar um carro novo cujo preço
a vis~a é de CrS 8.000,00, teve seu carro usado aceito
como entrada avaliado em CrS 3.500,00. Sendo a ~axa de
juros compos~os cobrada pela agência de automóveis de
1,5% ao mês, qual será o valor da prestação que deverá
pagar, caso op~e por um plano de 24 pagamen~os mensais,
sendo o primeiro um mês após a data da compra?
p
11
6.1. Se agora, além das 24 prestações consecutivas, fossem
feitos 2 pagamentos de CrS 1.000,00, um na data de
pagamento da 12a. prestação e outro na data de pagamen
to da 24a. prestação, qual seria o valor da prestação?
6.2. Se fosse adotado o plano de pagamento, segundo o
esquema abaixo, qual seria o valor de P?
p p p p 250 p
/-/ o 1 2
250 p p 250 p 250
/-/ /-/ 12 13 17 18 23 24
Resolução: O valor atual da divida, na data de compra é O
8.000 - 3.500 = 4.500
Então 4.500,00 deve igualar o valor atual de uma anuidade com 24
pagamentos postecipados iguais a A, à taxa de juros compostos
iguais a 1,5% a.m.
4.500 = A . FVA I n1. : 24 1, 5
4.500 = A . 20,0304
-41-
A = 4.500 = 224,55 20.0304
b .1.
1 5 Nesse caso, 4.500,00 deve ser igual à soma de
IJ. I
A . FVA com os valores atuais dos dois pagamentos, ou seja: 24
4.500 = A . FVA 1
1,5 +
24 1.000
+ 1.000
(1 + 0,015)j. 2
1
1 '5 A . FVA 24 = 4.500- 1.000 <0,08354 + 0,5995) = 2.954,10
A =
S.2
i.=1,!5
4.500 = P + P <FVA) n=2•
2.9&4,10 20.0304 = 147,91
+ <250 - P) CFVA*)
i.=j.,!5 i + <250 - P) CFVA*) In = 18
+ <250 - P) CFVA) n=!.2
p = 207,51
Exemplo 9: Uma pessoa comprou um apartamento de CrS 100.000,00
pagando CrS 50.000,00 à vista e concordando em pagar o
saldo acrescido de juros compostos à taxa de 1,5% a.m.,
em tantas prestações mensais de CrS 2.000,00 quantas
forem necessárias, sendo a primeira vencível seis meses
após a data da compra, mais um pagamento final 1nfer1or
a CrS 2.000,00, que deve ser efetuado um mªs após a
data de vencimento da última
prestações mensais deverá pagar,
parcela final?
prestaç~o. Quantas
e qual o valor da
9.1. Supondo que o vendedor, logo após o recebimen~o da 8a.
parcela, negociasse, à vis~a, os compromissos assumidos
pelo comprador com uma ~erceira pessoa para quem a ~axa
corren~e de juros compos~os é de 2% a.m., qual seria o
valor da ~ransação?
9.2. Admi~indo, agora, que a ~ransação mencionada no i~em
an~erior, ao invés de ser ~o~almen~e à vis~a fosse
efe~uada pagando-se 1/3 à vis~a e os res~an~es 2/3 seis
meses após, de~erminar os valores desses pagamen~os.
A dívida con~raida foi de 100.000 50.000 = 50.000,00. En~ão essa divida deve ser igual à soma do valor a~ual
de uma anuidade diferida de 5 meses, com ~ermos de 2.000,00 e
pagamen~os pos~ecipados, com valor igual a x para o úl~imo
pagamen~o, ou seja:
I I I I I I t--i o 2 3 4 5 t I i I I I I J
X 1 2.000,00 1
I 50.000,00 I n -
Divida inicial 50.000,00 .J-100.000,00
1
1,5% 50.000 = 2.000 CFVA)
n . 5
• 11 '5% + X <FVA )
n +1
0,9282
nEsquecendo" a 2a. parcela
1
1,5% 50.000,00 = 2.000 CFVA) n _5 . 0,9282
11,5% FVA \n _5 = n
= 2&,9339
Para n = 34 ~ <FVA) 1
1,5% = 2&,4817 e por~an~o 34
n - 5 = 34 ~ n = 39 pretações.
1
1,5% 50.000 = 2.000 . 2&,4817 . 0,9282 + x FVA* 40 = 0,5513
X= 1.522,64
9 .1)
i = 2% a.m.
o 1 2 3 4 5 7 8 9 10
12% 18% = 2.000 FVA + 1.522,G4 . FVA• 34-8 27
M o
ou 39-13
11 12
1.522,64
-43-
parcela já paga
34 35
i 1.522,64
fal~am as prestações de 14 a 39 < ou 39 - 13 postecipada)
M = 41.128,47 o
9.2)
x a vista (1/3)
2x após 6 meses (2/3)
2x 41.128,47 =X+-----------~
(1 + 0,02)ó
X = 14.815,73
2x = 29.631,46
41.128,47 2% a.m.
X 6 meses
Exemplo 10: Uma dívida de 200.000,00 deve ser paga, com juros
compostos à ~axa de 15% a.a., em 20 pagamen~os iguais
e anuais. De~erminar o valor desses pagamen~os se o
primeiro pagamento deve ser efe~uado um ano após a
dívida ter sido contraida.
10.1. Qual seria o valor dos pagamentos, se o pr-imeiro fosse
efetuado 10 anos após a dívida ter sido contraída?
10.2. Se agora, em relaç~o ao item anterior, os 10 primeiros
anos forem considerados como prazo de carência, qual
será o valor de cada pagamento?
Resolução:
10)
A = M o
FRC !15% a. a.
20
A = 200.000 X 0,1597& = 31.952,00
10.1)
200.000 1 1 1 M M 10 anos
o o~
0,15) 9 115 200.000 ( 1 + = A . FVA 20
A = ?
10.2)
l l l 200.000
10 11 12 29
15% 200.000 = A + A FVA
119 . . 200.000 = A . 7. 1982
Exemplo 11: Determinado equipamento industrial pode ser adquirido
nas seguintes especificações:
a) Capacidade de produç~o igual a X, vida útil de 3
anos e valor de revenda igual a 10% de seu preço
que é de 10.000.
Resolução:
-45-
b) Capacidade de produção igual a 2x, vida útil de 10
anos e valor de revenda igual a 12% de seu preço,
que é de 45.000,00.
Por qual tipo de equipamento deverá optar um indus
trial que deseja uma capacidade de produção igual a
4x e para quem a taxa de rentabilidade de sua
empresa é de 15% a.a.?
Levando em conta apenas o custo de aquisição do
equipamenLo e o custo de reposição, e supondo que a empresa irá
operar indefinidamente temos:
a)
10.000
o
b)
45.000
o
9.000
3
42.ó00
10
9.000 9.000
anos
9
42.ó00 42.E.OO
anos
20 50
O equipamento escolhido será aquele que apresentar
menor valor atual na época zero <custo capitalizado do investimen
to) à taxa de rentabilidade da empresa.
• Taxa equivalentes
i = (1 +i >3 - 1 = (1 + 0,15) 3 - 1 = 52,09%
3 ~
i = <1 + i ) 10 - 1 = (1 + 0,15) 10 1 = 304,55 a.a.
~o 2
v 10.000 + A 10.000 + 9.000
~ 27.274,47 = --.-- = 0,5209 a 1
vb 45.000 A
45.000 42.ó00
~ 59.000,00 = + = + i 3.046
Como o empresário deseja uma capac1dad~ de produção
igual a 4x, ~eremos que o cus~o capi~alizado será:
a) 4
b) 2
v ::: 109.097,88 a
vb = 11&.001,32
Por~an~o o indus~rial deverá op~ar pelo equipamen-
t..o do tipo A.
Exemplo 12: Um emprés~imo de 20.000,00 deve ser amor~izado de
acôrdo com o seguinte esquema de pagamen~os:
I I
I 4P 14P 4P I 3P
20.000 p p p p 2P I I I I
I I I I I
o 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 semestre
Det-erminar o valor de P, se a ~axa de juros
considerada for de &% ao semes~re.
&% &% 20.000 (1 + 0,0&) 3 = p FVA
14 + 2P FVA*
15 +
&% 3P FVAI!k I + 4P (FVA*
1& • lb) --+ FVA
19
p = 1.957,52
Exemplo 13: Uma geladeira marca Ué vendida em dois estabeleci
ment-os comerciais x e y, nas seguint-es condições:
a) Est..abelecimen~o x -4 à vis'la por &00,00 ou à prazo por 100,00
de en~rada mas 10 prestações mensais de &0,00.
-47-
b) Esa~abelecimen~o y ~ à vis~a por 500,00 ou à prazo por 250,00
de entrada mais 4 prestações mensais de 100,00.
Qual o estabelecimento que cobra a menor taxa de
juros, para o caso de pagamento à prazo?
O valor atual das prestações deve ser igual ao
preço a vista.
i
500 = 100 + 50 YVA I a 10
i a ~ 3, 40 a 3 r 50%
i
FVA I a 10
i
b) 500 = 250 + 100 . FVA I b . 4
i = 5,50 a 5,60% b
= 500 E> o
vende
lista é
350 ioo = 3,5
um aparelho de
de CrS 1.000,00
ar·
a
Exemplo 14: Determinada loja comercial
condicionado cujo preço de
vista com 10% de desconto,
entrada mais 10 prestações
ou a prazo por 200,00 ri e
mensais de 90,00. Uma outra
loja vende o mesmo aparelho pelo mesmo preço à vista,
ou a prazo nas seguintes condições: CrS 150,00 de
entrada mais ó prestações mensais de 150,00. Supondo
que um indivíduo deseja comprar esse aparelho de ar
Resolução:
700 = 90
= 4,83% Q
condicionado e não possa pagar à
condições de fazer face a qualquer
pagamentos a prazo, determinar por
deveria optar:
i 1
FVA l 1~ FVA I 1~ 700 .. = 900
750 150 FVA I:· FVA 750 = .. = 150
vista, mas tenha
dos dois planos de
qual alternativa
Exemplo 15: Tendo colocado sua residência à venda, um proprie
~ário recebeu às seguin~es ofer~as:
a) 150,000 à vista mais 24 prestações mensais de CrS 2.000.
b) 100,000 a vis~a mais 2 prestações semestrais de 50,000.
Admitindo-se que para o proprietário,
corrente de juros compostos é de 3X a.m., de~erminar a
que lhe seja vantajosa.
a taxa
propos~a
A propos~a mais van~ajosa, para quem recebe, sera
la que, para a taxa de juros corrente, apresentar o maior
valor a~ual.
24 a) V = 150.000 + 2.000 . FVA I = 150.000 + 2.000 (15,9355)
a 3%
= 183.871,00
b> vb = 1oo.ooo + 5o.ooo 12
50.000 FVA I 3X
= 1oo.ooo + 5o.ooo <0,8375 + 0,7014) = vb ~ 175,945,00
A proposta mais vantajosa é a proposta a.
5. IRFLAÇXO E CORREÇXO BORE1ÂRIA
5.1. Conceito
Inflação: Alta dos preços que ocasiona queda do poder aquisitivo
da moeda {desvalorização).
Chamemos:
=Taxa de re~ôrno aparente <ou nominal): engloba a taxa de
retôrno real e a taxa de inflação.
r= ~axa de retôrno real {é usual, quando não existe inflação).
f = taxa de inflação.
-49-
Ent.ão:
Na ausência de inflação: M se t.ranforma em M (1 +r), no final o o
de um período.
Na ausência de retôrno real e na vigência de uma taxa de inflação:
M equivalerá a M {1 + f) no fim de 1 período. o o
Na vigência simultânea de uma t.axa de retôrno aparente (i), de
retorno real <r> e de inflação (f) M valerá no fim de 1 período. o
M <1 + 1) = M (1 +r> <1 +f) o o
<1 + i) = (1 +r> (1 +f) = 1 +r+ f+ rf
= r + f + rf r + rf = i - f
r <1 + f) = i - f
i - f 1-+f
Expressão da taxa de ret.ôrno real. ;\
Exemplos: A que taxa nominal de juros se deve e~prestar dinheiro,
se a t.axa de retôrno real desejada, for de 2% a.m., e a
taxa de inflação for de 5% a.m.?
r = 2% a.m.
f = 5% a.m. i = r + f + rf
= 0,02 + 0,05 + 0,02 . 0,05 = 0,071
= 7,1%
Exemplos: Os bancos oficiais aceitam depósitos a prazo fixo a uma
taxa de 22% a.a. Se a inflação for de 45% a.a., qual é a
taxa de retorno real do depositante?
r = i - f 1 + f = 0,22 - 0,45
1 + 0,45 = -0,23
1,45 = 0,159 ~ -1G% a.a.
, ~'
O depositante perde 1ó% a.a. de seu capital.
5.2 Taxa de Inrlaç~o e Desvalorizaç~o da Hoeda
A medida natural da inflação era o índice Geral de
Preços <IGP>. Hoje, é a TRF <Taxa Referencial de Juros>.
É frequentemente, publicado e usado para
de preços e salários. Na presente data estuda-se uma
salarial a nível de Congresso Nacional (abril/90).
reajuste
política
O índice Nacional de Preços ao Consumidos <INPC), é
obtido através da medida de diversos preços de bens de consumo e
sempre comparado com uma data anterior.
Ent~o o INPC e o IGP, medem a variaç~o percentual
da média dos preços de bens de consumo.
Exemplo: Arroz, feij~o, carne, etc. <N~o é igual para todos)
A partir do IGP, pode-se definir taxa de inflação e
taxa de desvalorizaç~o da moeda.
Taxa de inrlaç~o: (do período A
I - I I f i. o i 1 = = -
o o
- IGP o
I - IGP i
Exemplos:
dados
f = i-O
IGP
IGP
em relaç~o ao período
em relação ao período
= 100 na data zero
= 140
I - I i o
o
na data (1)
= 140 - 100 100
em relaç~o ao período ~
A o
A i
= 40%
taxa de inflaç~o da data 1 em relaç~o à data zero.
A ) o
5.3 Taxa de Desvalorização da lloeda
Do período A em relação 1
I - I D
i o o 1 = = -i 1
f em relação a D
sendo
I I f
i o i 1 = = -o o
D 1 o D 1 como = - 1 = -.. i
1 + D = (1
D f = (1 f) +
Ano I = 80 o o
Ano I = 120 z 1
120 - 80 f = = 0,50 = 50 X i, o 80
e Taxa de Desvalorização da lloeda
= 80 o
I = 120 i
D = i, o
120 - 80 120
D = 33,33~ i. o
-51-
ao período A . o
o 1 = ( 1 + f) i
1 (1 + f)
f - 1 + f)
= 0,333
Exemplo: Com uma inflação de 100X, qual a taxa de desvalorização
da moeda?
f = 100X D = f = 0,5 = 50% 1 + f'
Os preços dobraram. O mesmo dinheiro só compra
-52-
agora a metade do que comprava antes.
5.4. Coaportaaento da Taxa de Inrlaç~o
Com uma taxa de inflaç~o f = cte em diversos
períodos, a quantia inicial M será equivalente (equivalente em o
termos de poder aquisitivo), ao cabo de n períodos, ao valor M T'l
em moeda desvalorizada.
M T'l
M = M < 1 + f )n n o
é a quantia, na data n, que comprará as mesmas coisas que
na data zero.
M o
Combinando os efeitos da inflaç~o e do juro real,
que atuam independentemente, temos:
M = M ( 1 + r)n ( 1 + f)n = M [ ( 1 + r) ( 1 + f)] n n o o
M = M ( 1 + r + f + rf)n n o
M = M ( 1 + i)n n o
onde
= r + f + r f
Quadro de comportamento da taxa de inflaç~o:
Data o Taxa de inflaç~o Valor Valor Corrigido
o M M o o
1 f M (1 + f ) t. o o i. o
2 f M ( 1 + f ) (1 + f ) 2,1 o i. o 2. i
n f M <1 + f ) ( 1 + f ) + ... n,n-1 o i, o 2,1
(1 + f ) n,n-1
-53-
K 1"1
= K [ o
(1 + f ) (1 + f } + ... S.,O 2,!.
(1 + f ) ] n,n-s.
se f = cte K = K C 1 + f )n 1"l o
Para a determinação da taxa média por período,
calcula-se a taxa equivalente.
No ano de 19b0 o INPC era 180 e em 19b5 era de
1.040. Qual a taxa de inflação e de desvalorização da moeda, neste
período?
a) Taxa de inflação entre bO e b5
f = I - I
i o = 1.040- 180 180 = 478%
b) Taxa de desvalorização da moeda entre os 2 períodos:
- I D =
I i = 1.040- 180
1.040 = 0,827 = 82,7%
c) Taxa de inflação anual média:
1.040 = 180 (1 + f) 5 ~ (1 + f)5 = 1.040
180
f = 0,42 = 42% a.a.
pela fórmula da equivalencia temos:
= 5,778
- s.L iL f a.a. = <1 + 4,7~~ - 1 = (5,7~~ - 1 = 1,42 - 1 = 0,42
r = 42% a.a.
5.5. Taxa de Inrlação Variável ea cada Período
Consideramos, agora, o caso em que um empréstimo
ainda à taxa r, tenha n períodos, e que a taxa de inflação será
variável a cada período.
Temos ent~o:
M = M ( 1 + f ) ( 1 + f ) . . . ( 1 + f ) ( 1 + r )n n o ~ 2 n
Se chamamos ô a taxa de inflação da data do
empréstimo até· a data do vencimento (considera-se como período, o
tempo de empréstimo).
M = M ( 1 + ô) ( 1 + r )n n o
N. Trabalha-se sempre com a taxa do período inteiro.
5.6. Problemas Característicos
Uma pessoa pretende guardar durante
quantia de CrS 10.000, debaixo do colch~o de sua cama.
2 anos, a
Estimando-
se, nesse período uma inflaç~o de 40X a.a., pergunta-se qual a
perda do valor aquisitivo daquela quantia?
HOJE Daqui a 2 anos
Dinheiro 10.000 10.000
Capital <valor monetário .M.n = 10.000
M' = o
M n
(1 +f)n
4898 cruzeiros.
10.000 = ------(1 + 0,4) 2
= 5.102,04 X 10.000- 5.102 =
Em relação ao capital incial empatado (10.000)
perdeu 4898 = lQ.QQQ X lOQ = 48,98%
Isto representa a taxa de desvalori:zaç~o da moeda
no período de 2 anos.
D 2
= f 2,0
(1 + f 2,0
-55-
) = 1 + (1,4) ~1
= 0,4898
Uma pessoa pre~ende empres~ar dinheiro a um
suJei~o. desejando ob~er uma ~axa de re~orno (Juros) real de 3%
a.m. Considerando que a taxa de inflação no período é de 42,6%
a. a., pode-se:
De~erminar a que taxa mensal nominal de juros deve ser empres~ado
o dinheiro.
f = 42,6% a. a. a.
f ~2 1./ f = (1 + - 1 = ( 1 + O, 4261t. 2 - 1 = 0,03
m a.
f r = 0,03 r + f + r f f ----+ r = 0,03
L = 0,03 + 0,03
~ 0,0& ou &% a.m.
Adquiriu-se um imóvel em 1971 por Cr$ 20.000,00. Em
1974, foi vendido por 94.830,00. Considerando-se nes~e período uma
~axa de inflação média de 40% a.a., pode-se de~erminar a taxa de
juros real <anual) do inves~imen~o.
1971 1972 1973 1974 1 2 3
M Taxa o n
M = M ( 1 + i ) n n o
<1 i)3 94.830 4.7415 + = 20.000 =
onde
i = 0,68 ou 68%
i + f 0,68 - 0,40 r = f 1 0,40 = 0,2 1 + .. +
r = 20% a.a.
Exemplo: Deseja-se inves~ir (hoje) CrS 10.000, duran~e 2 anos de
~al forma que, no final desse ~empo, ~enha-se um lucro
real corresponden~e a 50% do capital inicial inves~ido.
Considerando-se que, neste período, a ~axa média anual da
inflaç~o seja f= 42,ó% a.a., pede-se de~erminar a que
taxa de juros (i) devemos fazer o investimento.
1) Cálculo da ~axa real anual
M (1 + r)2 = M = 1,5 M o l"l o
M ( 1 + r)2 l"l = 1, 5 = ,-- 1 + r = / 1 , 50
1 = 1 , 2 2 4 o
r = 0,2247
r = 22,47% a.a.
2) Cálculo de
i = r + f + rf = 0,2247 + 0,42ó + (0,2247 x 0,42ó}
i ~ o' 74ó4
= 74,ó4% a.a. ~ 4,75% a.m. (~axa equivalen~e mensal)
Um consórcio para compra de au~omóveis ~em 100
associados. Cada um paga mensalmente 1% do valor do carro, mais
0,1% para a adm1n1s~raç~o. O carro comprado a cada mês é dís~ri
buido por sorteio. O consórcio durará 100 meses, quando o último
comprador receberá seu carro. Supondo que a pres~aç~o seja paga no
final de cada mês, ocas1~o em que é entregue o carro, que a
inflaç~o seja de 2% a.m., e o preço do carro a acompanha, que os
juros correntes sejam de 3% a.m., até que mes deve a pessoa
receber o carro para que o negócio n~o se ~orne desvantajoso para
ele.
Soluç~o a considerar:
a) juros nominais de 3% a.m.
-57-
b) o dinheiro investido, pelo consorciado em prestação poderá ser
aplicado a 3X a.m.
c) A prestação cresce mensalmente, pois o montante
carro) sobe mensalmente a 2% a.m.
Se a inflação:
Valor do veículo
c 1 2 3 n 99 o
l I t t t t J. C =C c c c c
1 o o o o o
Prestação = 3% a.m. 1 2 3 n 99
I 1 1 1 1 1 J, A A A3 A A
1 2 n 99
1, 1 c A A A o = = =
1 2 100 100
M = A ( 1 + i) n-1
n 1 I I ia prestação
+ A < 1 + i )n-2 + ... + A C 1 + i) +
1 1 I I I I
2a prestação 3a prest.
1,1 c o
100
n
. FJC I i=3% a.m.
<valor
100
1 c
o
100
1 A 100
A 1
~i ma prest.
do
Quando M =C, o n é o valor procurado, pois a partir dai, a n o
pessoa pagará um valor maior que C . o
c = o
1,1 c o
100
n=? <F JC) I
i=3%
. <F JC)
= 100 1 1 1
n=?
I i=3X
= 100 1 , 1 onde = 0,03
( 1 + i )n -1 = 100 1 , 1 = ( 1, 03)n = 100 X 0,03
(1,03)n = 3,7272
3,ó7145
3,78159
+ 1
O consórcio passa a ser desvan~ajoso a par~ir de
45% ao mes (inclusive).
Coa inf'lação
o 1
c 1.
1
I T
1 ' 1 c A = i
i 100
c = c (1 + i o
c = c (1 + 2 i
c = c ( 1 + n o
2
c 2
2
f)
f) =
f)n =
3
c 3
3
A 2
=
c <1 o
c o
valor do carro f = 2% a.m.
n
í = 3% a.m. n
prestações
1,1 c 2
100
+ f)2
(1 + O, 02)n
99 100
99 100
Pres~ações
1, 1 c 1, 1 c (1+f) A =
i o M A (1+i }n-1 + A (1+i)n-2: +
100 = 1oo =
i n i 2
... + A n
1 , 1 c 1, 1 c ( 1+f}2
1 , 1 c (1+f) ( 1 +i) n- ~ i o
A= = 100 o 100 M 2 = n
1' 1 c (1+f)n 1 , 1 c (1+f) 2• <1+i )n-2
o + A =
o 100 i 100
1' 1 Co (1+f)n-!. (1+i)+l,l c (1 +f) n o
1oo 100
igualando-se vem:
C C 1 +O, 02) n = o
1,1 c 0
[ ( 1 +f) ( 1 +i ) n- S.+ ( 1 +f) 2 ( 1 +i ) i.- 2 +
100
-59-
100 1,1
(1+0,02)n = [ (1+0,02) (1+0,03)n-s. + (1+0,02) (1+0,03)n- 2 +
+ C 1 +O, 02) n- 1 C 1 +O, 03) + < 1 +O, 02) n ]
(1 +r) = ( 1 + i)
(1 + f')
100 1 , 1
= ( 1 + O , 03 ) n-t + 1 + 0,02 (
1 + o. 03 r-2
1 + 0,02 + . . . + ( i + g , g~ ) + 1 + ,
r
FJC In 100 1 , 1
= C1,0098)n-S. + C1,0098)n- 2 + ... + (1,0098) + 1
1: = ?
100 FJC = 1 , 1 = 0,98
= ? FJC = 99.99 ~~ = 0.98
(1 + i)n -1 = 99,99
(1 + 0,0098)n -1 = 0,0098 99,99 n = 55 meses
6. ARORTIZAÇXO DE DIVIDAS: SJSTEIIAS PARA RESGATE DE UM EMPRi:STIMO
5.1. Pagaaento único
Tra~a-se de um problema de juros compos~os, ou
:c:l!ja, sendo M o capital (~mprcs~ado a taxa de juros i, duran~e n o
-bü-
períodos. O montante a ser reservado será:
M = M < 1 + i ) .,., = M C F Jcf' ) .,., o o
6.2. Hétodo aaericano ou do wsinking Fundn (fundo de reserva)
Trata-se do método através do qual paga-se
periodicamente os juros durante os n períodos e no vencimento o
C~[>iLal emprestado. Para evilar que seja obrigado a efetuar um
desembolso considerável, o devedor procura efetuar um "fundo de
reserva" <Sinking Fund).
É constituído fazendo-se depósitos periódicos e
iguais, em uma instituição financeira que pague a taxa "i" de
juros compostos por período. Estes depósitos deverão ter um valor
tal que no fim de n períodos, se disponha de um montante M n
igual
ao que se tomou emprestado.
O valor do depósito "q", o primeiro depósito fe1to
após o lo. período de empréstimo (anuidades postecipadas), em n
vezes, deve ser tal que:
q = M . FFA o
No caso de estar constituindo um "Sinking Fund", o
devedor terá um desembolso periódico total igual a:
Exemplo 1:
p = M i + q = M FFA o o
p = M (i + FFA) o
Construir o quadro da amortização para o caso do
empréstimo de CrS 100.000,00 pelo prazo de 5 anos, tendo sido
estabelecido que o resgate seria pelo método americano, a taxa de
15% a.a. Paralelamente supondo que o credor deseja formar um
-61-
nsinking Fund", por meio de depósito anuais e iguais, em uma
instituição financeira que pague a taxa de juros compostos de 12%
a.a. Construir um quadro que mostre a evolução do fundo.
1) Os juros por período valem:
M = 100.000 x 0,15 = CrS 15.000 o
2> Quadro de amortização e evolução do "sinking fundn
ItPOCA ESTADO DA DfV. JUROS DEP. DO FUNDO SALDO DO FUNDO
o 100.000 - -1 " 15.000 q = 15.741,00 15.741,00
2 , " 15.741,00
1 12% 33.370,92 q <F JC> =
2 12%
3 , , " q <FJC) = 53. 110' 13
3 12%
4 I , , ,
q <FJC> = 75.225,24 I 4
12% 5 , ,
" q CFJC) =100.000,00 5
3) Como vimos acima o valor de "q" será dada por q = M o . FFA
Assim sendo:
n = 5 anos
q = 100.000 . FFA = 100.000 X 0.15741 = 12% a. a.
= CrS 15.741,00
Utilizando, ainda, a expressão q = M <FFA>, vimos o
que o fundo evolui segundo a expressão M = q FJC, sendo que no
caso em questão, o
emprestado M . o
n
M que se procura é o próprio capital n
4) O credor tem um desembolso anual de:
Cr$ 15.000,00 +Cr$ 15.741,00 =Cr$ 30.741,00
Cparcela de juros) (parcela para o fundo de reserva)
5.3. Método francês de aaortizaç~o: característica
Pelo método francês, o devedor obriga-se a saldar
seu débi~o, por meio de uma série de pagamentos iguais e periódi-
cos, ou seja, a dívida é amor~izada por meio de prestações.
Esquema~icamente.
M
r p p p p p p
1 1 ~ I 2) I l)
I tempb (n {n (n)
Temos, da ~eoria das anuidades, temos que
P = M . FRC o
sendo FRC, o fator de recuperaç~o de capital em pagamentos
periódicos e postecipados.
Exemplo 2:
Determinada pessoa, para quem o dinheiro vale 12%
a.a. Cjuros compostos), concorda em emprestar Cr$ 10.000 a outra,
desde que a dívida seja amortecida por meio de 10 prestações
anuais, a primeira vencendo um ano após a data do empréstimo. Qual
o valor da prestaç~o?
p = M o
12% <FRC) I
10
p = 10.000 (0,17598) = 1.759,80
-53-
Portanto, a prestação para amortização a dívida
será de:
Cr$ 1.759,80
O método francês, portanto, parte do princípio de
se determinar a prestação <anuidade), partindo-se do capital
emprestado <M) e utilizando-se o fator FRC. o
As prestações têm por finalidade o resgate do
débito. Logo, para que a dívida seja diminuída a prestação da
época 1 deve ter valor superior ao acréscimo devido aos juros no
período <à taxa de i de juros compostos).
r-J············T p i
1 I I
.-······················· a i -···:r··· .. T P ~ i 2 i
i i r-············; .......... -···········+·········
M o
onde
p = prestações
j_ = juros "
M 2
I
i a i
2 -············; ......... .
M a
···~·-····-·--···---·-··1'· i J i
a i i p i a ;
3 i -························;·
I
a~ =parcela de amortização da divida inicial.
então:
p =juros {j~) +amortização <a~)
ou seja:
onde k = 1, 2, ... , n
J p
n
a I n
\n 1) n>
Deduç'ão da primeira parcela a i
pi = a + j ; onde ji = M 1 1 o
mas
p1 = Pz = . . . pn = p p = a + j1 .. a = p - ji 1 1
Temos então:
p = M CFRC) 1: o
ji = M o
a = M <FRC) 1: M 1 o o
[ n
J a = M ( FRC) I i 1 o
{ [ i ( 1 + i )n r}= Mo ( 1 + i )n . ( 1 + i f' + 1
a = M 1 o ( 1 + i)n - 1 ( 1 + i ) n 1 -
i = M [ 1 ]
= M <FFA)In . o o
( 1 + i) n -
n a = M <FFA) l i <primeira parcela) 1 o
Por outro lado,
jz = M = i <M a ) 1 o i
então:
jz = i <M a ) = M - i a = j1 - i a o 1 o 1 1
logo,
j1 - jz = a 1
Como todas as prestações são iguais, teremos:
a + J1 = a + jz a = a + ( . jz ) .. J1 1 z z 1
Como
J1 - Jz = l a 1
a = a + a = a ( 1 + i ) z 1 1 1
Chamando-se <1 + i) =r= fator de capitalização, vem:
a = a r z 1
Analogamente:
a + ja = a a z
Ora:
ja = i M = z
= = i
logo:
+ jz
<M
a z
1
a = a + (j - J ) a z z a
a)=iM -i z 1
a = a + i a = a (1 + i) a z z z
então:
a = a r a z
De maneira geral, podemos escrever:
a = r - a k k-1
k = 2, 3, ... , n
po1s a 1
a = M :1. o
já foi determinado e vale:
a z
ou seja, as sucessivas parcelas de amortização formam
-!;5-
uma
progressão geométrica de razão igual ao fator de capitalização r.
Construção do Quadro de Amortização.
Aplicação: na eventualidade de o devedor resolver
saldar seu débito em data anterior à data da última prestação: o
quadro de amortização nos mostra o estado da dívida (dívida
remanescente) nos períodos imediatamente posteriores
pagamento de cada uma das sucessivas prestações:
JtPOCA SALDO DEVEDOR PRESTAÇXO AMORTIZAÇXO JUROS
o M -o
1 M = M - a p a = M FFAn jj, = M i = j, o 1 1 o 1. o
2 M = M - a p a = r . a jz = H i = z 1 z z 1 1
3 M = M - a p a = r . a ja = M i = a z a a z z
n M = M - a =O p a = r . a j = M i = n n-1 n n n-1 n n-1
TOTAL n p kn = 1 a - M kn = 1 j = k o k
Exemplo 3:
ao do
p - a 1
p - a z
p - a 3
p - a n
nP - M o
I
Construir o quadro de amortização correspondente a
um empréstimo de Cr$ 100.000 à taxa de juros compostos de 8% a.a.,
a ser amortizado, segundo o método francês, por meio de 10 presta
ções anuais, a primeira vencendo 5 anos após a data em que foi
assumido o compromisso.
Solução:
Basta considerar como dívida inicial o montante de
Cr$ 100.000 à taxa considerada no final de 4 anos (diferimento de
4 anos). Para recordar: durante o diferimento, paga-se apenas os
juros do capital inicial em cada período <da teoria de anuidades e
rendas certas).
j 1
j4
la. prestação
t ~ k d1fer1mento
Então, M que era de Cr$ 100.000 passa a ser: o
1) M = 1000.000 (1 + 0,08) 4 = 100.000 X 1.350489 o
M = Cr$ 135.048,90 o
8% 2) Cálculo da prestação: P = 136.048,90 . FRC I = 20.275,30
10
3) Cálculo da la. cota de amortização a : i
a = i
n M . <FFA) !
o 1
8% = 136.048,90 . CFFA) I
10
a = 135.048,90 x 0,05902949 = 9.391,39 i
4) Construção do quadro de amortização:
-67-
OBS: o ano zero, na realizadade, será o 4~ ano após a data do em-
ANO
o 1 2 3 4 5 f,
7 8 9 10
préstimo, pois temos um deferimento de 4 anos (ver
anterior).
figura
ESTADO DA DIVIDA PRESTAÇÃO AMORTIZAÇÃO JUROS
135.048,90 - - -125.557,51 20.275,30 9.391,39 10.889,91 115.514,81 , 10.142,70 10.132,50 105.550,71
, 10.954,10 9.321,20 93.730,27 , 11.830,44 8.444,86 80.953,40 , 12.775,87 7.498,41 57. 154' 38 " 13.799,02 5.475,28 52.251,44 , 14.909,94 5.372,36 35.155,25 , 16.095,19 4.180,11 18.773,44 , 17.382.81 2.892,49
0,00 11 18.773,44 1.501,85
TOTAL 202.753,00 135.048,10 55.704,10
OBS: com o quadro anterior, consegue-se responder às seguintes
questões:
1) Se o devedor resolver saldar integralmente sua dívida após o
3e ano, deverá pagar:
M = M <1 + 0,08) 3 = Cr$ 125.971,20 3 o
2) Idem. a) logo após o pagamen~o da 5a. pres~ação:
Solução: após o pagamen~o da 5a. pres~ação (10 anos após)
deverá pagar:
Cr$ 57.154,38 <valor ~irado dire~amen~e do quadro)
b) Logo an~es da 5a. pres~ação:
Cr$ 57.154,38 + 20.275,30 =Cr$ 87.429,58
7. DEPRECIAÇXO
7.1. Conceito
1 - Para o engenheiro significa o desgas~e físico do equipamen~o.
2 -Para o con~abilis~a <conceito contábil) é o rateio, des~inado
a fazer incidir equi~a~ivamente o cus~o inicial sobre os
diversos anos de vida do equipamento <Despesa)
3- Concei~o econômico: re~orno de capital <concei~o adotado).
Conclusão
Depreciação é um mé~odo de dis~ribuição de um custo
en~re os diversos produtos ou serviços, de modo a recuperar o
capi~al inicial investido, com a finalidade de repor equipamento
ou simplesmente render o que esse capital renderia num outro
inves~imento.
-&9-
Quadro ou Depreciação
Importante para determinação da depreciação numa
data qualquer.
Val ar Inicial Depreciação Valor i ' Perda de Valor Remanescente
V o t 1 V o ~ Vt I Vt = V o - f::J. Vt I i
2 Vt f::J. Vz ! Vz Vt f::J. Vz ' = - i 3 Vz 11 V a V a = Vz - 11 V a l
i V a 11 v4 !
I I I I I I I I I I
Vn - 2 f::J. Vn- t I V(n-'-) = V(n-'- )-f:.V<n-1! I
Vn - 1 11 Vn VR = V<n-1) - 6 Vn I
Observa-se que VR = Vo - (~ V1 + ~Vz + ... + ~ V~)
TI
Na prática não se utiliza o método de depreciação
exata. Preferem-se os métodos aproximados de depreciação.
7.2. Métodos de Depreciação
a) Depreciação linear
b) Deprec1ação pela soma dos dígitos
c) Depreciação exponencial
a) Depreciação Linear
Seja:
Vo = Valor inicial
VR = Valor residual
n =número de períodos de vida útil
V o
I i i i i i t j j ! ;
·----··--·-j·-··- - ·--~---······-··-····-··---·- ··-- u u u -·- -··-·--·-- - u i ~ k ~ h I I I I I I l l ~
Tempo
Por relação de ~riângulos na figura anterior obtem-
se: 1 = --n
!::. v = Vo - Vr
Exemplo 1: De~erminar a depreciação linear anual de um equ1pamento
de custo inicial Cr$ 20.000,00 e que será vendido por
Cr$ 5.000,00 daqui a 10 anos.
Período
o
2
3
4
5
5
7
8
9
10
Num tempo ~ qualquer o valor do equipamento será:
Vt. = Vo - t hV
Quadro de depreciação para o exemplo:
Valor
20.000
18.500
17.000
S.500
5.000
Depreciação
1.500
1.500
1.500
1.500
-71-
b) Depreciação pela soma dos digitos
V o
Tempo
O método de depreciação linear é utilizado para
poucos bens. A maioria dos casos exige um método de depreciação
decrescente. Um dos métodos mais usuais para depreciação
decrescente é o método das somas dos dígitos.
Este método consiste em se fazer a depreciação
decrescente proporcionalmente ao número de anos Cdigitos) que o
equ1p~mento tem de vida. Ass1m, se um equipamento tem vida úil de
10 Cn=10) a soma dos digitos será:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55
e a depreciação no 1~
ser á ~ ( Vo - VR ) .
ano será
Genericamente teremos:
1::. Vt = <.X t ( Vo - VR ) onde
10 55 <Vo - V:R) e o no 2~
ot = n - t + 1 n
soma dos digitos para t = 1, 2, 3 ... n --z- (n+1)
onde:
AVt = depreciação do período t
ano
at = fator de depreciaç~o (soma dos digitas)
V o = v a 1 o r i n i c i a 1
VR = valor residual
t =período focalizado
n n
para
para
E a i.
a = 1 r--- nota-se que i
reforçar:
10 t ~ n = = .1.
t = 2
t = 3
10 9 8 = --:iO + --:;s- + --so +
a
a
a
7 0'5
<Vo - VR)
10 = -ss-i
9 = ---:ss-z 8
= ---:ss-a
l 55 ---:ss- = ---:ss-
f "-
Exercício 2: Resolver o mesmo problema anterior, pela "soma dos
dígitos".
Vo = 20.000,00
VR = 5 . 000 ' 00
n = 10 anos
soma dos digitas = 55
!J. Vt = at <Vo - VR .. 10
li. v1 a = ~ ======> = 1
9
<Vo - VR) = 15.000
10 <Vo VR) 2.727,27 55 =
9 -li. Vz. <Vo VR) 2.454,55 a = :>5'""" =-=====t = ---:;:;- = 2
a 10
1 = -ss- <Vo - VR) = 2.272,73
Não se pode utilizar estes valores no balanço das
empresas, mas na incorporação do custo ao produto, podemos.
c> Kétodo Exponencial
Este método determina que a depreciação num período
deve ser proporcional ao valor do bem no início desse período, e
-73-
que a proporcionalidade seja a mesma para ~odos períodos. Da1
~eremos:
ou seja:
Período
o
1
2
n - 1
n
De~erminação de K:
Pela definição À v~
fim do período 1 ~
fim do período 2 ~
~ v~ = v . v l-1
Valor Inicial
V o
Vz = V o - À v1.
Vz = V1 - À Vz
Vn-1 = Vn-z - h. Vn - • .l.
VR = Vn = Vn-1 -b Vn- 2.
= K v logo: l-1
h. v1 = V o Vi = K V o
h. Vz = Vi - Vz = K Vi
Vz = V o ( 1 - K)z
I
..
"'-1 '- t Vt Vo ( 1 - K)t and ogamenve, eremos ~ =
Depreciação
!::.. V1 = K V o
!::.. Vz = K V1
À V a = K Vz
h. Vn-i = I< Vn-2
ÀVn = K Vn- 1.
Vi = V o (1 K)
Vz = V1 ( 1 K)
no final do período n <Vn = VR) ( V J 7( VR = Vo (1 - K)n , donde K = 1 - R V o
Graficamen~e os ~rês mé~odos podem
representados:
I I ! I
i I I I j
i i I
I !
i
ser
V o Linear
Exponencial
Exercício 3: Aplicar o método da depreciação exponenc1al aos
do problema aterior.
V o = 20.000,00
VR = 5.000,00
n = 10 anos
K 1 ( VR t: = 1 ( 5.00~t·o = V o - 20.000
K = o' 1294
então:
!:;. V1 = K Vo = (0,1294) 20.000 = 2.588,99
!:J. V2 = K Vt = <0,1294) <20.000- 2.588,99) = 2.253,85
Quadro
t dt. Vt.
o 1 2.588,94 17.411,01
2 2.253,85 15,157,15
3 1.952,09 13.195,08
4 1. 700' 10 11.485,98
10
Comparando-se os três métodos temos:
Tempo
dados
-75-
i V c· Linear
7.3. Custo do uso de um bem de capital
O emprego de um bem de capital, durante um certo
período, implica sempre em do1s custos importantes.
1 - Depreciação de bem, devido ao uso ou à passagem do tempo:
2 - Juro do cap1tal empatado.
São de extrema
sejam de dificil determinação.
importância, embora esses custos
Adm1te-se uma certa curva de decrescimo de valor,
que irá representar com maior ou menor fidelidade o caso real.
Quando, através da venda (ou de outra forma), se
apurar o verdadeiro valor do equipamento usado, podem-se observar
divergências com o valor residual previsto pela
depreciação.
Seja Vt-1., o valor de um bem de capital
curva de
no início
do período t. Seja ~ o seu valor no final do período. Temos:
Depreciação no período t: ~-1 - ~
O custo do uso do bem de capital neste período
será:
Q = ( Vt-1 - Vt) + Vt-1 . i
Q = Vt-t < 1 + i ) - Vt.
Exemplo: Seja um certo carro, cujo calor com 2 e 3 anos seja:
v = 8.000,00 z
V = S.OOO,OO a
Uma pessoa, num instante zero, toma emprestado a
quantia de 8.000,00 e adquire um carro com dois anos de uso.
Depois de um ano, ela venderá o carro por S.OOO,OO. Nessa ocasião
pra liquidar o emprestimo feito, ela irá desembolsar a quant1a de
2.000,00 e mais os juros de 8.000,00 durante um ano. SeJa i = 10%
a.a.
Solução:
O custo do carro durante aquele ano será:
c= (8.000- S.OOO) + 0,10 X 8.000 = 2.800,00 m
~ este montante deverá ser pago no final do ano.
Exercício 1: Uma pessoa comprou um carro por Cr$ 10.000,00 para
ser usado como taxi. A depreciação desse veículo se
dá segundo uma exponencial com (1 K) = 0,8 por
período Cno caso ano). Durante três anos, as receitas
e os custos operacionais com o veículo
motorista) foram:
(inclusive
Ano
1
2
3
Receita
24.000
23.500
23.000
Custos
20.000
20.500
21.300
\:on::id<?r'<·trnns a:-; d<~prec-:iaf;ÕGs havidas e consideradas
juros de 10% a.a., calcular para cada ano,
como negócio.
Supor as receitas e
conc<':!nt.rados no fíni'il d<! c<1d.a ano.
os
o lucro ou prejuízo
custos operacionais
! Data
I o 1 2 3
v t.
10.000 8.000 ó.400 5.120
v + v i v t.- i t. t- :1.
2.000 1.ó00 1.250
1.000 800 ó40
Deprec. Juros
3.000 2.400 1.920
Custo Op.
! 20.000 20.500 21.300 1
1
-77-
R . t I Lucro ! ece 1 a I no i P<~r' í ndo
24.000 23.500 21.300
I 11 +i. 000
+ soo i- 220 i
Lucro na data 3 = 1. • 000 c j_ + o, 1 ) ;;:: + 500
Cl + 0,1) 1 - 220 =L =Cr$ 1.550,00
6
ou do outro modo:
o 1 2 3
10.000 20.000 20.500 VR 5.120
24.000 23.500 21.300
23.000
Anos
+-~ Recei +Jas Despesas ....
Lucro na Data 3 = -10.000 Cl + 0,3) 3 + C24.000 - 20.000)
(1 + 0,1) 3 + (23.500 - 20.500) (1 + 0,1) + 23.000 + 5.120 - 21.300
=Cr$ 1.ó50,00.
Custo do uso de um bem de capital rererido à Data inicial ou à
dat.a r i nal
No período t, o custo do uso de um bem de capital é
dado por:
c = cv v ) + v t. t.-1 t. t.-1
Este é devido no final do período t)
Suponhamos um uso do bem durante n períodos, a
Calculemos, na data
custo durante n períodos.
n, o valor equtvalente ao
Para isso, leva-se para a data n, o custo de cada
um dos n períodos.
n
n v ) + v
t t - i i] ( 1 .)n.t
.l. + 1 c = l=i
Podemos cscrver:
n
c = ~ r <V (1 + i ) - v 1 ( 1 + i ) n. t = L. L l-.1 t J n
t=i
[ v ( 1 + i ) - v ] ( 1 + i) n- .i + [ v ( 1 + i ) -o .i .i
. . . + [ V < 1 + i ) - V ] ou a inda : n- i n
V (1 + i)n -V (1 + i)n-.1 +V (1 + i)n-.1 o .i .i
v (1 + i)n-Z v ( 1 + i ) + v , 1 I. .1. +
2 n-.1 n-.1
c = v (1 + i ) n - v n o n
v ] (1 + i)n-Z z
V (1 + i )n-2 + z
i ) v n
Custo do uso de um bem de capital
devido ao uso durante n períodos.
na data
+
n,
O equivalente, na data zero, do custo do uso do bem
durante os n períodos, será dado:
c = o
c n
v n
o
OBS: O custo global de uso dos n períodos não depende da sequên-
cia de depreciação. Depende apenas do valor
final do bem e da taxa de juros em vigor.
inicial e do
-79-
Custo Anual Equivalente
É o custo constante, periódico, devido no final de
cada período, equivalente dos custos reais de n períodos.
Lebramos que A = M o
. FRC = M o
c = c E o Cl+i)n -1
= c o FRC ~~
c c v v ) ( 1 +i )n
+ v = -E o n ( l+i )n -1
c = <V v ) . FRC ~~ + v E o n
n
n
OBS: O custo anual equivalente contém duas parcelas.
v ) (1 +i) c v = prestação necessár1a para amortizar a o n -1 parcela inicial CV - V ) que se distri-
o n
bui nos n períodos.
V = Juros correspondentes às parcelas V , que se mantém. n n
<V - v ) o n
<V v ) o n
<V o
. FRC ~~ + v
( 1 +i )n
(l+i)n -1
CV - V ) [ o n
Cl+i)n +V n
n
+ v n
n
n
n • 1 'J
Cl+i)n- V n
v (1+i)n o
Cl+i)n -
~~ v FRC -o
I~ v FRC o
o
V i (l+i)n o
2 i <l+i)
v (1 +i )n
o Cl+i)n -
v (1+ i )L n
Cl+i)n - 1
v ( 1 +i) n
Cl+i)n - 1
c ;É <V v ) o n
v v (1+i)n n o
1 {l+i)n -~ ...
v (l+i)n n = v FRC
[ C1+i)n-1] < 1+i r o
v FRC
I~ n
(1+i)n
v (l+i)n v n + n
(1+i)n - 1
v (1+i )n- i (l+i )n
n (1+i)n - 1
v 1 n <l+i)n 1
v ( 1 +i) - 1 + n
< n+ i)
1
( 1 (1+ i)
+ v C 1+i )n n
lmi
+ 1
v n
m
V n FRC ~ i
No exemplo an~erior do chofer de ~axi, calcular os
equivalen~es na da~a zero e na da~a ~rês dos cus~os anuais de
depreciação e juros, e o dados:
v = 10.000 o
v = 5.120 a
] i = o, 10
Na data zero:
c = v o _o
Na data 3:
v a = 10.000 - 5.120
( ' 'O'a J. , J. )
= b • 153100
C =V (1+i)n -V = 10.000 (1 + 0,10) 3 - 5.120 = 8.190,00
a o n
-81.-
OBS: Esses valores também poderiam ser obtidos se levasse para a
data zero ou para a data três os custos anuais de depreciação
e juros, já calculados.
3.000 1,10
ou
2.400 1.920 + + = 5 .. 153,00
3.000 (1,10)z + 2.400 x 1,10 + 1.920 = 8.190,00
Custo anual Equivalente:
C E = (V 0
- V n ) FRC I : + V n
C = (10.000- 5.120) . 0,4021 X 5.120 X 0,10 E
c = 2.474,00 E
8. AVALIAÇÃO DE IHVESTIMEHTO
A Engenharia Econômica fornece critérios de decisão
para a escolha entre alternativas de investimentos.
Nem sempre as propostas de investimento mais
rentáveis podem ser realizadas, geralmente pela limitação de
recursos das empresas.
Isto faz com que o resultado de estudos puramente
econômicos, n~o seja o único fator.
A análise da disponibilidade de recursos, dos
encargos financeiros assumidos, etc ... deve ser feita paralelamen
te. É o que se denomina Análise financeira dos investimentos em
perspectiva .
Há ainda os fatores imponderáveis, que também
dever~o ser considerados na tomada de decisão, sendo em sua
avaliaç~o subjetiva e puramente dependente do julgamento pessoal
daqueles que tem a responsabilidade da escolha.
Os investimentios e seus resultados serão sempre
analisados através dos fluxos de caixa correspondentes.
8.1. Critérios Imprecisos
Sejam os projetos, como alternativas de escolha:
Projeto
A
B
c D
Investimento Inicial
10.000,00
10.000,00
10.000,00
10.000,00
Nota-se imediatamente que
Fluxo de Ano 1 e
10.000
10.000
4.000
E,.OOO
o método
Caixa Ano 2
1.100
8.000
E,.OOO
não consegue
diferenciar entre os projetos A e B. Sua principal deficiência é
não considerar os ganhos após a recuperação, nem o escalonamento
das entradas de caixa.
prática,
O método do "pay-back", largamente
consiste na determinação do número
necessários para recuperar o capital investido.
utilizado na
de períodos
A empresa admite um
recuperação do capital investido.
Outro exemplo:
padrão
-83-
de tempo para
Ano Fluxo de Caixa Fluxo de Caixa Acumulado
o - 60.0000 - 50.000
1 + 20.0000 - 40.000
2 + 20.0000 - 20.000
3 + 20.0000 o 4 + 20.0000 - 20.000
5 + 20.0000 - 40.000
ó + 20.0000 - 40.000
7 + 20.0000 - 80.000
8 + 20.0000 - 100.000
Se o tem~o padrão de recuperação for igual ou menor
que três anos o projeto deverá ser rejeitado.
O método ignora as consequências além do período de
recuperação, despr~zando eventuais receitas e despesas produz1das
além daquele pefíodo e o valor residual, se houver algum.
Não leva em conta a variação do valor do dinhe1ro
no tempo. Assim sendo, projetos de rentabilidades des1gua1s
poderão aprésentar o mesmo "pay back" tornando indiferente a
escolha de qualquer um deles.
e Ganhos por Capital Investido
Calcula-se o somatório do fluxo de
divid~-s~ o total pelo investimento.
caixa
Projeto
A
B
c D
Ganhos por Capital Invest1do
1
1 , 1
1, 2
1,2
e
Desconsidera-se o fator tempo e possibil1dades de
reinvestimento.
8.2. Critérios Econômicos de Decisão
Os critérios econômicos de decisão,
princípio de equivalência já visto.
baseiam-se no
Como já foi visto se dois projetos tem fluxos de
caixa equivalentes, tanto faz um ou outro para quem recebe ou paga
em termos de valor atual ou montante.
Entretanto, os resultados estão condicionados às
datas das entradas e saídas e à taxa de juros considerada.
Assim sendo, se fixarmos as datas e os valores dos
fluxos, o resultado var1ará com a taxa ou JUros. É esta consldera
ção ou variável que interessa aos critérios de decisão.
Desta forma, os critérios econômicos de dec1são
irão analisar fluxos de caixas determinados à
taxa de juros.
luz de uma certa
Qual seria esta taxa?
A rentabilidade de uma série de investimentos é
dada pela taxa de juros que permitiria ao capital
fornecer um certo retorno.
De um modo geral existem varias
empregado
aplicações
possíveis de capital, interessando apenas as mais rentáveis.
Ao se considerar uma nova proposta de investimento,
deve-se levar em conta que esta vai deslocar recursos disponíveis
e, portanto deixar-se-á de auferir retôrno de outras possíveis
fontes. Portanto, a nova proposta para ser atrativa deve render,
no mínimo, a taxa de juros equivalentes à rentabil1dade das
-85-
aplrcações correntes e de pouco risco. Esta é, portanto a taxa
mínima atrataiva de retorno ou a taxa mínima de atratividade. Dado
que, cada pessoa ou empresa tem possibilidades de investimentos
diferentes, haverá uma taxa minima de atratividade para cada
pessoa.
Exemplificando, se existem letras de cambio que
garantem uma rentabilidade de 2,5% a.m., a proposta de lnvestrmen
to em ações só será atrativa se proporcionar um rendimento maior.
Outra consideração sobre taxa mínima de atrativi-
dade.
Os métodos da Engenharia Econômica, sugeridos para
efeitos de avaliar méritos de alternativas para investimento,
apresentam como principal característica o reconhecimento da
variação do valor do dinheiro no tempo. Este fato evidenc1a a
necessidade de se utilizar uma taxa de juros quando a sua anál1se
for efetuada através de alguns deles. A questão de se def1n1r a
taxa a ser empregada pode ser respondida por meio ào segu1nte
exemplo:
- Suponha-se que uma pessoa se encontre diante de uma oportun1àade
de investimento, para cuja concretização seja necessário tomar o
dinheiro emprestado de algum banco. É evidente que os JUros
pagos, representarão, sob seu ponto de vista, um onus, que deve
ser entendido como o custo da utilização deste caprtal.
Naturalmente, a pessoa somente estará àrsposta a
investir, se a expectativa de ganhos, Já deduzido o valor ào
rnvestimento, for superior ao custo do caoital. No caso em pauta
se o montante de JUros pagos corresponder a 40% ao ano,
obviamente que o custo do capital será expresso por este valor, e
o invest1mento só será interessante se a taxa de rendimentos
produzidos por superior a este.
Tal fato identifica o custo do capital como sendo a
rentabilidade mínima aceita para qualquer aplicação, caracter i-
uo
zando, en~ão uma base para aceitação ou reJeição de propostas de
inves~imentos.
Es~a taxa de juros usualmente denominada taxa
mínima de atratividade,
análise do proje~o for
propostos.
deve ser por~an~o
efe~uada a~ravés
a u~il1zada quando a
de algum dos mé~odos
• Método do Valor Atual (sem inrlação)
Calcula-se o valor atual do fluxo de ca1xa, com uso
da taxa mínima de atratividade.
No caso de se considerar
inves~imen~o com duração iden~icas escolhe-se
a~ual.
al~erna~ivas de
a de maior valor
Toda vez que se consegue inves~ir
exa~amente à ~axa de a~ra~ividade (~axa do custo do
uma quan~1a
dinhe!ro), o
valor presen~e do proje~o como um todo será nulo. Um valor a~ual
posi~ivo indica que o projeto tem uma ~axa superior a ~axa mín1ma
de a~ratividade.
Tal fa~o iden~ifica o cus~o do capi~al, como sendo
a ren~abilidade mínima aceita para qualquer aplicação, caractert-
zando en~ão, uma base para acei~ação ou rejeição de propos~as de
investimento.
Es~a ~axa de juros, usualmen~e denominada Taxa
Mínima de A~ra~ividade, deve ser por~an~o a utilizada, quando a
análise do proje~o for efe~uada a~ravés de algum dos mé~odos
propos~os.
Exemplo 1: Considere-se a propos~a de inves~imento que envolve CrS
10.000,00 hoje, para receber CrS 2.000,00 anuais nos
próximos 10 anos, conforme o diagrama de fluxos de
caixa.
-87-
2.000,00
1 T l T 1 "' t i i "' t I I 2 4 8 1.0 10.000
TMA = 10%
VA = 10.000 + 2.000 FVA 1:: VA = 2.288,00 > O, conclui-se pois que o invest.iment.o é at-rativo.
2.288,00
de 1 0% a . a . ,
Nas condições do problema, considerando-se a taxa
conseguiu-se um invest-imento com retorno de 15,1%
a.a., por isso isso é atrativo.
Se competindo com a proposta de investimento acima
houvesse uma alternativa B, de se invest1r Cr$ 14.000,00 para
obter-se Cr$ 3.000,00 anuais durante 10 anos,
proposta escolhida?
Proposta B
v B
10% = 14.000 m+ 3.000. FVA I = 4.432,00
10
qual seria a
No caso de se considerarem alternativas de
1nvestimentos com durações identicas escolhe-se a de maior valor
autal <Alternat-iva B).
Exemplo 2: Sejam 2 investimentos represent-ados pelos fluxos àe
caixa que se seguem:
' 1 100,00
T
30,00 ~
I 2
58,00 58,00
1
30,00 ~
3
Proposta A
58,00
T 3
Porposta B
30,00 i 4
58,00 i ! 4
Taxa mín1ma àe atrativ1àaàe 10%.
uu
30,00 * l I
5
58,00
T
Qual o melhor projeto, assumindo que o invest1dor
tem Cr$ 200,00, para aplicar?
5 VA A = 100,00 + 30,00 FVA l = Cr$ 14,00
10%
5 VA B = 200,00 + 58,00 FVA I = Cr$ 20,00
10%
1 - Trata-se de investimentos de quantias distintas
2 - Caso ele opte por A, lhe sobrarão 100,00
3- Como há disponibilidade de aplicação de 200,00, ele poderia
repetir o projeto, obtendo um VA = 2 x 14,00 VA B (20,00).
4- Na prática 1sso pode ser impossível, restando assumir uma das
alternativas.
4.1 -Aplicar Cr$ 200,00 no projeto B, cujo valor presente é
Cr$ 20,00.
4.2- Aplicar Cr$ 100,00 em A e os Cr$ 100,00 restante à taxa
mínima de atratividade.
O valor presente dessa composição seria Cr$ 14,00,
uma vez que investir à taxa mínima de atrat1vidade impl1ca num
valor atual nulo.
Assim sendo, o projeto A, daria Cr$ 14,00 > O á
taxa mínima de atratividade de 10%.
-89-
Nestas condições, os 100,00 restantes estariam
aplicados a uma taxa igual ao custo do capital (10%), que daria um
valor presente nulo, por este motivo o investimento em A,
daria Cr$ 14,00.
totai
5 - Neste caso, a escolha recairia em B. O importante aqu1 é
entender que a decisão depende daquilo que se vai fazAr com o
montante não investido, no projeto mais barato.
Poderia se supor que o investimento do restante a
uma taxa diferente da taxa de atratividade (superior por exemplo).
Então:
O critério de escolher a alternativa de maior Valor
atual assume implicitamente, que o investimento dos saldos se faz
à taxa mínima de atratividade (taxa do custo do dinheiro no
exemplo 10%).
e Comparaç~o de custos pelos métodos do valor atual
Exemplo: Um homem está considerando a compra de um automóvel, duas
oportunidades parecem-lhe atrativas: a de um carro com 2
anos de idade <uso) e de outro com 4 anos. Qualquer oue
seJa a escolha, ele pretende manter o automóvel
ano, e então compra o modelo novo.
por um
O carro mais velho é oferecido a um preço de Cr$
6.000,00 à vista e o mais novo de Cr$ 4.000,00 de entrada e
Cr$ 700,00 mensais durante 6 meses.
As despesas estimadas, supondo uma quilômetragem
média de 2.000 Km/mês, são os seguintes:
- carro mais novo;
-combustível, manutenção, etc ... Cr$ 200,00/mês.
- Carro mais velho
-combustível, manutenção, etc ... Cr$ 250,00/mês.
-::~v-
Os valores de revenda serão CrS 4.800,00 ?ara o
carro de 4 anos e de CrS b.800,00 para o carro de 2 anos.
A taxa mínima de atratividade é de 1% ao mês para o
comprador.
Qual a alternativa que deverá ser escolhida?
1) Valor atual dos custos do carro mais velho:
a) fluxo de caixa:
1 3 i 4.800
I I l2
.J. 250 I
250
b) Valor atual dos custos:
I 1% l 1.: VA = b.OOO + 250 x FVA ·~ - 4.800 . FVA• .. · lL lL
VA = b.OOO + 2.813,70- 4.259,50
VA = 4.554,20
Nota: Como se está interessado em custos, os sinais foram
invertidos, passando os custos a terem sinal positivo e as
receitas sinal negativo.
2) Valor atual dos custos do carro mais novo.
a) Fluxo de c a i xa
1 2 3 4 5 b 7 8 9 10 11 i 6.800
I I I I I I I I I I 12 l I I ,.. 4.000 900,00
b) Valor atual dos custos <VA)
1% VA = 4.000 + 200 X FVA I - ó.SOO . FVA.
12
VA = 4.000 + 2.251 - 5.034,30 + 4.055,50
VA = 4.273,00
-91-
1
1% 11% + 700 FVA
12 I b
Conclusão: É mais econômico comprar o carro mais novo. CE o que
apresenta menor valor atual, ou seJa, menor custo de
investimento)
~ Hétodo do Custo Anual
A comparação entre alternativas de investimentos
pelo método do custo anual é feita reduzindo-se o fluxo de caixa
de cada proposta a uma série uniforme equivalente, com o uso da
taxa mínima de atratividade. Os valores obtidos serão então
confrontados, permitindo uma dec1são entre as alternativas.
Seja então o exemplo 1, visto no método do valor
atua 1 .
1) A proposta A, exigindo 10.000,00 de investimento inc1al e
fornecendo receitas líquidas de Cr$ 2.000,00 2nuais, durante 10
anos.
2.000,00
1o.ooo 1 3 4 7 8 I
9 10
2) A proposta B, com Cr$ 14.000,00 de investimento . inicial e
fornecendo receitas de Cr$ 3.000,00 anuais durante 10 anos.
3.000,00
14.000 1 3 4 i I 1 _, :o
A taxa mínima de atratividade é de 10% a.a.
Usando-se o método do custo anual.
Alternat1va A
a) Custo anual equivalente ao investimento 1nicial
10% CA = 10.000 x FRC l
10
CA =Cr$ 1.527,50
b) Receita líquida anual =Cr$ 2.000,00
c) Série anual uniforme equivalente aos lucros Cr$ 2.000
1.527,50 =Cr$ 372,50
Alternativa B
a) Custo anual equivalente ao investimento in1cíal
10 CA = 14.000 x FRC l
. 10%
CA = 2.278,50
b) Receita líquida anual =Cr$ 3.000,00
c) Série anual uniforme equivalente aos lucros 3.000 - 2.278,50 = Cr$ 721,50
A alternativa B, mostra-se ma1s vantajosa po1s
apresenta "maior lucro anual equivalente".
O método evidentemente conduz à mesma decisão
obtida pelo método do valor anual.
O método do custo anual equivalente, obriga
evidentemente à consideração, tanto de custos como de benefíc1os.
-93-
Exemplo: Uma companh1a está considerando
mecanização de parte da produção: O
a poss1b1 l1dade de
equipamento ex1g1do
teria custo in1cial de Cr$ 30.000,00 vida út1l de 5 anos
e valor residual de Cr$ 2.000,00. O custo de manutenção,
energia etc. seria da ordem de Cr$ 5.000,00 anuais, e o
equipamento economizaria mão-de-obra no valor de Cr$
12.000,00 por ano.
O fabricante do equipamento financiaria a venda em
5 anos da seguinte forma: Cr$ 28.000,00 pagos em parcelas 1gua1s,
a juros de 10% a.a., mais juros de 10% sobre os Cr$ 2.000,00
restantes, pagos anualmente;
2.000,00).
e devolução do equipamento CCr$
É vantajosa a mecanização?
As alternativas são:
1) Continuar pagando Cr$ 12.000,00 por ano de mão-de-obra.
2) Aceitar o financiamento do equipamento (supõe-se que a com-
panhia não possa efetuar a compra à vista,
f1nanciamento melhor).
nem obter outro
A segunda alternativa, tem o seguinte comportamento
financeiro ao longo dos 5 anos: Cr$ 28.000,00 serão pagos em 5
parcelas iguais e Cr$ 2.000,00 serão pagos no final do ~ ano, coro
a devolução do equipamento.
Os JUros correspondentes a esta quantia de Cr$
2.000,00 serão pagos anualmente.
Com a mecanização a companhia incorrerá anualmente
nos seguintes custos durante 5 anos:
1 - manutenção, energia etc ... Cr$ 5.000,00
2 - Pagamentos ao fabricante do equ1pamento
10% a) 28.000 . FRC j
5 = 28.000 x 0,2538 = 7.385,00
b) Juros anuais sobre a quantia a ser paga no final.
2.000 X 0,1 = 200,00
5.000,000 + 7.385,40 + 200,00 = 12.585,40
Conclui-se então, que a mecanização apresenta custo
anual, superior que o uso de mão-de-obra.
Decide-se portanto pela manutenção do processo
atual.
e ~étodo da Taxa Interna de Retorno
Por definição a taxa
projeto é a taxa de juros para o
interna
qual o
de retorno de
valor presente
um
das
receitas torna-se igual ao dos desembolsos. Isto significa dizer
que a taxa interna de retorno é aquela que torna nulo o valor
presente líquido do projeto.
Assim def1nida, a taxa interna de retorno é aquela
que torna o valor dos lucros futuros equivalentes ao dos gastos
realizados com o proJeto.
Caracteriza, desta forma, a taxa de remuneração do
capital 1nvestido.
No projeto A do exemplo 1, temos:
2.000 i lO
10.000
VA
10% TMA ± 15,1% <TIR)
A ~axa in~erna de re~orno,
mínima de a~ra~ividade para o projeto,
inves~idor que considera 10% a TMA,
remunerado a 15,1. <o que é a~ra~ivo).
-95-
é diferen~e da taxa
significa que para o
ele teve seu cap1tal
Numa análise realizada em de~erm1nada empresa,
foram de~ec~ados cus~os operacionais exessivamen~e elevados numa
l1nha de produção em decorrência da u~ilização de equ1pamentos
velhos e obsole~os.
Os engenheiros responsáveis pelo problema propuse
ram à gerencia duas soluções alterna~ivas . A primeira, consis~In
do numa reforma geral da linha, exigindo inves~imen~os es~imados
em CrC 10.000,00, cujo resul~ado será uma redução anual de custos
igual a Cr$ 2.000,00 duran~e dez anos, após os qua1s os
equipamen~os seriam sucatados sem nenhum valor residual. A segunda
proposição foi a aquisição de nova linha de produção no valor de
Cr$ 35.000,00 para subs~i~uir os equipamen~os exis~en~es CUJO
valor líquido de revenda foi es~imado em Cr$ 5.000,00.
Es~a al~erna~íva deverá proporcionar ganhos de
Cr$ 4.700,00 por ano, apresen~ando ainda um valor residual de Cr$
10.750,00 após dez anos.
Sendo a ~axa mínima de a~ra~ividade 1gual a 8%
a. a., qual das al~erna~ivas deve ser a preferida pela gerência?
Diagrama de fluxo de caixa.
2.000,00
1o.ooo 4 5 !
'3 i o
Arbi~rando-se uma ~axa de 15% o valor a~ual àa
al~erna~iva é:
VA = -10.000 + 2.000 FVA 115%
I 10
VA = 10.000 + 2.000 X 5 O, 188
VA = 10.000 + 10.038
VA = + Cr$ 38,00
Como o valor é posi~ivo, a próxima ~axa a ser
ob~ida deve ser maior que 15%. Ass1m, ~ornando-se:
i = 15% ~em-se que:
115% VA = -10.000 + 2.000 FVA
10
VA = 10.000 + 2.000 X 4.8332
VA = 10.000 + 9.555
VA = + Cr$ 334
ln~erpolando-se tem:
VA
+38
15%
15,1%
-334 +--·························································································· I
ir - 15 38 =
15 - i r 334 .. 334 ir - 5.010 = 508 - 38 ir
-97-
372 ir = 5.618
ir = 5.618 371 = 15,1X a.a.
Para a alternativa de compra da nova linha de
produção o diagrama de fluxos de caixa é:
4.700 ! t 10.705
1~----~t--~--~-+--4-~--~--~-+--41
30.000
Arbitrando-se uma taxa de desconto de 11%. o valor
atual da alternativa é:
"1% ""%
VA = - 30.000 + 4.700 X FVA I:~ + 10.705 . FVA. ! ::
VA = - 30.000 + 4.700 X 5.8892 + 10.705 X 0,3522
VA =- 30.000 + 27.679 + 3.770
VA = + 1.449
Arbitrando-se i = 13% tem-se o seguinte vaiar
atual:
,13% I 13% VA = - 30.000 + 4.700 X FVA I + 10.705 X FVA.
10 10
VA = - 30.000 + 4.700 x 5,4252 + 10.705 . 0,294G
VA = - 30.000 + 25.503 + 3.154
VA =- 1.343
VA
1.449
- 1.343
ir - 11 1.449 =
Interpelando-se vem:
i '
13 - i r 1.343
1.343 ir- 14.773 = 18.837- 1.449 ic
2.792 ic = 33.~10
ir = 33.~10
2.792 = 12%
A alternativa de reforma deve ser preferida pela
gerencia visto apresentar uma taxa interna de retorno superior à
de opção de comprar uma nova linha de produção.
-99-
9. BIBLIOGRAFIA
01. FIOD, H. Exercícios de Matemática Financeira, EESC-USP,
1982, 95 p.
02. FLEISCHER, G. A. Teoria da aplicação do capital: um es~udo
das decisões de investimento. São Paulo, Edgard BlUcher,
1973.
03. HESS, MARQUES, PAES e PUCCINI. Engenharia econômica. São
Paulo, Forum Editora, 2 ed., 1971.
04. MENEZES, S. S. Matemática financeira e engenharia econômica.
São Carlos, EESC-USP, publicação 014/89.
05. NASCIMENTO, O.J.A. Engenharia econômica: uma
decisões de investimentos. São Paulo,
Bras i l , 1982 .
05. NOTAS DE AULA.
abordagem
McGraw H i ll
das
do
