Trabajo Práctico Nº 6

Circuitos excitados con corrientes

dependientes del tiempo.

Docente a cargo: Alejandro D´onofrio

Grupo nº 7Integrantes: Conti Fernando 82528Juodziukynas Ariel 87508Juodziukynas Diego 87513Linarello Melisa 86912Romero Ramiro 81821Vereertbrugghen Diego 86831

Introducción teórica

En el presente TP experimentaremos con circuitos que tienen como componentes elementos activos y reactivos, estos últimos compuestos por inductancias y capacitores. Al excitarse dichos circuitos con tensiones que varían en forma sinusoidal , aparecen sobre los elementos un valor de impedancia.

En los elementos reactivos, dicho valor será imaginario y dependerá de la frecuencia de excitación del generador. Si en dichos circuitos contamos con mas de una inductancia, deberemos tener en cuenta, además de la autoinductancia, el factor de acoplamiento entre las mismas.

Si bien la caída de tensión sobre cada componente se puede medir mediante la utilización de instrumentos como el osciloscopio o el voltímetro, estos sólo nos presentan los valores eficaces pero no nos dicen nada acerca de la relación de fase entre los mismos. Esto se verificará con el gráfico realizado en la experiencia N°1.

La impedancia de un circuito podrá tener orden capacitivo o inductivo, dependiendo de cuales de las reactancias predominen para la frecuencia dada. Llamamos frecuencia de resonancia para la cual la impedancia se convierte en un número real puro, o sea cuando las reactancias capacitivas e inductivas totales se anulan entre sí. Se demuestra que para un circuito RLC serie, la frecuencia que cumple con esta característica se calcula como:

Objetivos

Procedimiento

Primera parte: medidas con voltímetro en un circuito RLC serie.

Primero armamos el siguiente circuito y lo alimentamos con 12 VAC.

Ahora medimos las caídas de tensión sobre cada uno de los componentes, obtenemos la siguiente tabla:

Vg 11,72Vc 4,03VL 13,59VB 1,33

Podemos apreciar que la suma de todas las tensiones no nos da el valor total de la tensión entregada por el generador. Esto se debe a que el voltímetro registra valores eficaces sin medir la relación de fase. A continuación vamos a construir un gráfico donde se dibujarán los valores vectoriales; el módulo según lo medido y los ángulos respetando los atrasos o adelantos según el componente en cuestión.

Por último calculamos el valor de la tensión total aplicando la Ley de Pitágoras:

Por último, a modo demostrativo, se intentó verificar cuando el circuito alcanzaba la frecuencia de resonancia variando el núcleo de la bobina. Esto se reflejaba en el brillo de la lamparita, la cual daba una idea de la corriente máxima circulando por el circuito. En realidad se variaba la inductancia para lograr que la frecuencia entregada por el generador se convirtiera en la frecuencia de resonancia del circuito.

Segunda parte: respuesta en frecuencia de un circuito RLC serie.

Esta experiencia estudiaremos la respuesta en frecuencia de un circuito RLC en serie conectado a un generador de corriente alterna y frecuencia variable. Armamos el siguiente circuito:

Utilizamos los siguientes valores para los elementos circuitales:

R=386Ω C=1µF L=3 mHy (sin núcleo) L=25 mHy (con núcleo) RL= 2,6Ω

Aplicamos al circuito una señal sinusoidal de 1 V pico a pico; la resistencia interna del generador será RG=50Ω. Con estos datos hallamos los valores teóricos de la frecuencia de resonancia, la corriente que circula y el factor de mérito Q:

Ahora determinamos la frecuencia de resonancia utilizando el osciloscopio. Para esto, comparamos la señal inyectada con el generador y la señal de tensión sobre la resistencia. Luego variamos la frecuencia del generador hasta que la señal inyectada en el canal 2 del osciloscopio (perteneciente a la resistencia) sea igual a la del generador (canal 1 del osciloscopio). Tenemos el control de tiempo en 0,1 ms y determinamos una frecuencia de 2.9 kHz.

Lo siguiente es calcular el valor práctico del factor de mérito. Para esto variamos la frecuencia por arriba y por debajo del valor de resonancia, a fin de obtener los valores correspondientes al 70% de la señal.

Voltage (V) F (Hz)0,6 2600,7 3430,8 4580,9 7501 2900

0,7 21000

Ahora aplicamos la fórmula práctica y calculamos el factor de mérito Q:

Podemos verificar que el valor práctico es bastante similar al obtenido teóricamente. Esta diferencia se debe mayormente a errores de lectura del osciloscopio teniendo en cuenta que obtenemos valores puntuales sin precisión decimal. Por razones de tiempo, no se repitió la experiencia con la bobina con núcleo.

Tercera parte: transformador.

Armaremos el siguiente circuito con el objetivo de experimentar con un circuito transformador y su relación de transformación. Tanto para el primario como para el secundario utilizaremos los arrollados de 400 vueltas.

Utilizamos en principio el núcleo en forma de C, luego repetiremos la experiencia con el que tiene forma de E. Vemos que para los bobinados de 400 vueltas, la relación de transformación esperada viene dada por:

Pero al aplicar la fórmula según los valores de tensión obtenidos en el primario y el secundario, vemos que:

Vemos que el transformador tiene un rendimiento del 40%. Ahora repetimos lo mismo pero utilizando un núcleo en forma de E.

Aquí el rendimiento es del 100%. Esto se explica ya que, si bien en los circuitos magnéticos, se considera que el flujo sigue la superficie del circuito, esto es sólo una simplificación que se hace ya que en la realidad parte del flujo se dispersa a lo largo del mismo. En el caso del núcleo en forma de E, ambos bobinados concatenan la misma cantidad de flujo, y al tener la misma cantidad de vueltas, es de esperarse que sus FEMs sean iguales.

|Como comentario final, podemos agregar que en los transformadores comerciales, se utilizan núcleos laminados. Con esto se logra reducir el número de circuitos que se establecen sobre un núcleo

común y por ende corrientes parásitas. Estas se denominan corrientes de Foucault. Se las trata de evitar ya que las mismas generan conducción y por ende pérdida de energías por efecto Joule,

Cuarta parte: asociaciones de inductancias, acoplamientos.

En esta experiencia la idea es determinar el factor de acoplamiento entre dos inductancias. Para ello armamos el siguiente circuito:

Primero tomamos los valores de las inductancias a utilizar, lo hacemos con las mismas separadas del circuito:

Ahora las conectamos y medimos la inductancia en ambos sentidos; dichos valores serán utilizados para calcular el coeficiente de inducción mutua y el factor K de acoplamiento entre ambos arrollamientos.

Ahora despejamos M de la fórmula que calcula la inductancia total en ambos sentidos:

Repetimos los mismos cálculos pero para el núcleo en forma de C:

Repetimos los mismos cálculos pero para el núcleo en forma de E:

Quinta parte: transitorios, carga y descarga de un capacitor.

En esta experiencia verificaremos como se comporta un capacitor en un circuito RC serie y su proceso de carga y descarga. Armamos el siguiente circuito y lo alimentamos con 1 Volt pico a pico. Colocaremos el canal 1 del osciloscopio a la salida del generador y el canal 2 sobre el capacitor.

Utilizamos los siguientes elementos: R=386 ohms y C=1uF. Elegimos una frecuencia de exitación que cumpla con:

Para que el voltaje en el capacitor sea mayor del 90% del voltaje total se debe cumplir la siguiente relación:

Este circuito se denomina circuito pasa alto o filtro pasa alto, ya que solo deja pasar las frecuencias iguales o mas altas que la frecuencia de corte, las demás las atenúa. En este caso, si analizamos un gráfico cualitativo tensión vs. frecuencia tendremos que:

Donde tenemos que para Fc se alcanzará el máximo valor de tensión, pero con frecuencias menores, las mismas serán atenuadas.

Si calculamos la constante de tiempo del circuito a través de: t = R.C tenemos que t=3.86x10-4s. Ahora para la frecuencia elegida, 1250 Hz, la constante será 8x x10-4s. Como hemos elegido una frecuencia menor, debería cargarse el capacitor en ese lapso, cosa que no sucede y por eso estas frecuencias son filtradas.

Problemas propuestos

Problema 1: En el circuito de la figura, calcular a) la caída de tensión producida por cada elemento; ¿se cumple la segunda Ley de Kirchoff? b) La corriente que circula por cada rama; c) Realizar el diagrama fasorial correspondiente; d) ¿Es el circuito capacitivo o inductivo? Deducir la condición de resonancia y determinar, en condiciones de resonancia, los valores de tensión eficaz sobre la resistencia, el capacitor y el inductor. Graficar la corriente eficaz que circula por la resistencia en función de la frecuencia, para valores de la frecuencia en el intervalo [f0 – 0.8f0 , f0 + 0.8f0] (Siendo f0 la frecuencia de resonancia). ¿Cómo cambiaría esta función si la resistencia fuera de 3000

Calculamos los valores de las reactancias y a partir de los mismos, los valores de las magnitudes pedidas:

En el diagrama fasorial tenemos

Vemos que la impedancia total del circuito tiene parte imaginaria negativa; esto indica que predomina el componente capacitivo, y, en este circuito, la corriente adelantará de la tensión en 71,77°, convirtiéndolo en un circuito capacitivo.

Ahora determinamos la frecuencia de resonancia del circuito; al ser un circuito RLC serie, aplicamos la fórmula directamente:

El intervalo pedido será: [2 kHz ; 18,6 kHz]. Tomamos pasos de 1 kHz y realizamos el cálculo de la corriente y su representación gráfica.

Fo(Hz) I(A) Z(ohms)2000 1,56E-03 3851,001873000 2,44E-03 2460,5781854000 3,46E-03 1735,7248615000 4,69E-03 1279,678896000 6,24E-03 961,91573177000 8,23E-03 729,34952448000 1,07E-02 560,29721999000 1,33E-02 450,1133581

10000 1,49E-02 402,259761111000 1,45E-02 413,592725112000 1,29E-02 466,9078761

13000 1,10E-02 543,011632814000 9,53E-03 629,704491215000 8,32E-03 720,789479316000 7,38E-03 813,310732517000 6,62E-03 905,87581918000 6,01E-03 997,8407312

Podemos verificar que la corriente tiene su pico máximo aproximadamente a los 10 kHz, que justamente es la frecuencia de resonancia calculada. Ahora presentamos el gráfico para la resistencia pedida de 3000 ohms:

Fo(Hz) I(A) Z(ohms)2000 1,23E-03 4865,2045593000 1,55E-03 3859,3321974000 1,74E-03 3442,7809685000 1,85E-03 3236,908726000 1,92E-03 3124,94517000 1,96E-03 3061,3641948000 1,98E-03 3025,546723

9000 2,00E-03 3007,091957

10000 2,00E-03 3000,30213711000 2,00E-03 3001,84259112000 1,99E-03 3009,65163513000 1,99E-03 3022,39336214000 1,97E-03 3039,16563315000 1,96E-03 3059,33611616000 1,95E-03 3082,44616317000 1,93E-03 3108,15234518000 1,91E-03 3136,189746

Vemos que la frecuencia de resonancia se mantiene alrededor de los 10 kHz pero al aumentar la resistencia, aumenta el tiempo de carga / descarga y la constante de tiempo del circuito, haciendo la campana menos prominente y permitiendo un mayor rango de frecuencias en donde trabajar próximos a la resosnancia.

Problema 2: Teniendo en cuenta el siguiente circuito, hallar el valor de la capacidad para que el circuito esté en resonancia. Compare los valores de reactancia capacitiva e inductiva. ¿Cuál diría usted que es la condición de resonancia de este circuito? ¿Coincide con la definición de resonancia para el circuito RLC serie?

Primero resolvemos el paralelo entre la resistencia y la bobina para poder plantear la ecuación de la impedancia total del circuito. Luego igualando la parte imaginaria de esta a cero, despejaremos el valor del capacitor.

Vemos que la impedancia final del circuito esta compuesta solamente por componentes reactivos. En realidad existe una resistencia que se desprende de la resolución del paralelo y es del orden de 1x10-6 ohms, la cual resulta despreciable frente a los valores de reactancias que se presentan. Si tenemos en cuenta esta resistencia en la impedancia final, la fórmula de resonancia será similar a la de un circuito RLC serie. Al no hacerlo, la fórmula de resonancia continúa siendo equivalente, sólo que ahora no hay componente activo en la fórmula total de la impedancia.

Podemos decir que la condición de resonancia de este circuito, siempre tomando como referencia los valores resistivos y reactivos aplicados (esto es importante ya que de variar la R, cambiaría el valor equivalente del paralelo), es:

O sea la misma que para un circuito RLC serie.

Problema 3: La condición de resonancia corresponde a ángulo de fase nulo entre tensión y corriente. Esto es equivalente a que la caída de tensión sobre la resistencia sea igual a la tensión entregada por la fuente (con diferencia de fase cero). También es equivalente a que la frecuencia sea tal que la corriente es máxima. ¿Son siempre equivalentes estas tres condiciones?

No, esto es equivalente en un circuito RLC serie. Pero si planteamos la condición de resonancia

para un circuito tanque como el de la figura, tenemos que la caída de tensión sobre la resistencia es nula.

Toda la tensión caerá en el circuito paralelo compuesto por la inductancia y el capacitor, que es justamente la parte “tanque” del circuito.

Por lo tanto la corriente por la resistencia será nula y no habrá caída de tensión en la misma. Estamos en condición de resonancia, pero no se cumplen las condiciones descriptas anteriormente.

Problema 4: ¿Qué relación existe entre los gráficos de corriente vs. frecuencia y el de módulo de impedancia vs. frecuencia en un circuito RLC serie?

A medida que nos acercamos a la frecuencia de resonancia, la parte imaginaria de la impedancia Z tiende a cero. Esto justamente hace que, el comportamiento de la impedancia con respecto a la frecuencia y la reacción de la corriente respecto de la frecuencia, sean contrarias: cerca de los límites de resonancia la corriente tiende a valores máximos mientras que la impedancia va en decrecimiento.

Podemos tomar como ejemplo el caso del problema 1 donde se presenta el gráfico de corriente vs. frecuencia.

Aquí podemos ver que en las cercanías de la frecuencia de resonancia, la impedancia tiende a su nivel mínimo al anularse el paréntesis de los componentes reactivos. En el caso de la corriente, y para una tensión dada, al disminuir la impedancia, esta aumenta.

Conclusiones

Se pudo verificar la relación existente entre los valores medidos por un instrumento común con respecto a los valores máximos de cada elemento y su relación de fase.

Logramos experimentar con el osciloscopio para poder visualizar las diferentes señales de excitación así como las actuantes sobre los demás componentes. Gracias a éste, se pudo determinar la frecuencia de resonancia en forma práctica de un circuito RLC serie.

Vemos que existe una relación estrecha entre la impedancia y la corriente en términos de su proximidad a la frecuencia de resonancia.

Además vimos la importancia de armar un transformador utilizando el mismo núcleo y lo asociamos con el concepto de máxima concatenación del flujo. Podemos ver que de esta forma, se incrementa en un 60% la efectividad del elemento a la hora de transformar la energía magnética.