퍼즐로 떠나는 논리여행

논리적 사고 개발을 위한 퍼즐 활동지

하노이 탑(Tower of Hanoi)

학습개요

단원 수열:▣

학습목표 하노이 탑 문제를 통해 수의 규칙성을 찾고 수열에 대해 알아본다: .▣

지도상의 유의점▣1. 원반의 개수를 개에서부터 시작하여 하나씩 늘려가면서 하노이 탑을 옮기는 원리를 이해하도록 한다1 .원반을 최소로 움직일 수 있는 횟수를 알아낼 수 있도록 충분한 시간을 준다2. .원반의 개수에 따른 최소 이동 횟수를 정리하고 수의 규칙성을 찾아본다3. .

사용교구 준비물 하노이 탑 활동지/ : ,▣

학습조직 개인 또는 조별 활동:▣

학습활동▣

학습단계 교수 학습 활동내용- 시간 비고

도입 등차수열과 등비수열1.하노이 탑의 전설과 브라만의 규칙2. 분30 활동 1

활동 2

전개원반의 개수를 한 개씩 늘려가며 원반 옮기기3.원반을 옮기는 원리 알아보기4.원반의 개수에 따른 최소 이동 횟수 구하기5.

분30 활동 3

정리

최소이동 횟수의 규칙성을 찾아 수열6.원반이7. 개인 경우의 점화식 구하기수열을 적용하여 다른 문제 알아보기8.전설에서 예언한 세상의 종말이 오기까지9. ,어느 정도의 세월이 걸릴지 생각해보기

분30 활동 3

활동 수 열# 1 -수열은 간단히 일정한 규칙을 가지고 있는 수들의 나열 이라고 표현할 수 있습니다 이것은 원래 고등학교 학년 과정에‘ ’ . 2서 공부하는 개념으로 여기서는 쉬운 것들 위주로 간단히 공부하도록 하겠습니다.

다음 수의 배열에는 어떠한 규칙이 숨어 있을까요Q. ?

1, 3, 5, 7, 9, … ①1, 3, 9, 27, 81, … ②1, 0, 1, 0, 1, 0, … ③

은 에서 시작하여 차례로 를 더한 규칙이 있습니다1 2 .①는 에서 시작하여 차례로 을 곱한 규칙이 있습니다1 3 .②은 에서 시작하여 과 이 차례로 반복되는 규칙이 있습니다1 1 0 .③

위의 예들과 같이 일정한 규칙에 따라 얻어지는 수들을 차례대로 나열해 놓은 것을 ‘수열’이라고 합니다 이때 각각의 수. ,를 항‘ ’이라고 하고 처음부터 차례로 첫째항 제 항 제 항 제 항 제, ( 1 ), 2 , 3 , ,… 항 이라고 하며 특히 제, , ‘… 항 을’ 일반항‘ ’이라고 합니다.

문제 1 다음 수열은 어떤 규칙으로 되어 있을까요 빈칸에 들어갈 수를 넣어주고 규칙을 말해보세요. ? .규칙1) 1, 6, 11, ( ), 21, 26, :…

2) 1, 4, 9, 16, 25, ( ), 49, 64, … 규칙 :

규칙3) 5, 10, 20, 40, ( ), :…

처음에 알아보았던 예제 번이나 활동 의 번 문제에서와 같이‘ 1’ 1① 어떤 수에 차례로 일정한 수를 더하여 얻어지는 수열을 등차수열이라고 하며 이때, 더해 주는 일정한 수를 공차라고 합니다.또 예제 번이나 활동 의 번 문제에서와 같이‘ 1’ 3② 어떤 수에 차례로 일정한 수를 곱하여 얻어지는 수열을 등비수열이라고 하며 이때, 곱해 주는 일정한 수를 공비라고 합니다.

문제 2 다음은 등차수열입니다 공차가 얼마인지 각각 말해보세요. . .공차1) 3, 6, 9, 12, 15, =…

2) 1, 2, 3, 4, 5, … 공차 =

3) 1, , 2,

, … 공차 =

문제 3 다음은 등비수열입니다 공비가 얼마인지 각각 말해보세요. . .

공비1) 3, 12, 48, 192, =…

2) 1, , , , … 공비 =

등차수열의 일반항

다음과 같이 첫 번째 수가 이고 공차가 인 등차수열을 생각해봅시다2 4 .2, 6, 10, 14, …

\이 수열의 번째 항에 올 수는 얼마일까요50 ?

제 항1 : 2

제 항2 : 2 + (4) = 6

제 항3 : 2 + (4+4) = 10

제 항4 : 2 + (4+4+4) = 14

제 항5 : 2 + (4+4+4+4) = 18

… … …

제 항50 : 2+ (4+4+ +4) = ?…

제 항에는 가 한 번 더해지고 제 항에는 가 두 번 더해지고 제 항에는 가 세 번 더해집니다2 4 , 3 4 , 4 4 .

그렇다면 제 항에서는 괄호안에 가 몇 번 더해질까요 번50 4 ? ( )

그러므로 제 항에 올 수는50 × 이 됩니다.

이 식을 분석해보면, ×에서 처음의 는 수열의 첫 번째 항이며 괄호안의 는 공차 공차 에 곱해준 는 제2 , 4 , 4 49항을 뜻하는 에서 을 빼준 수입니다50 50 1 .

일반적으로 첫째항 공차, 인 등차수열의 제항 일반항 을( ) 이라 하면,

×

문제 4 다음 물음에 답해보세요. .

등차수열1)

, , , ,

의 첫째항과 공차를 각각 구하시오, .…

위 문제의 수열에서 제 항에 올 수는 얼마인지 구하시오2) 45 .

첫 번째 수가 이고 공차가 인 등차수열의 일반항3) 7 8 을 구하시오.

등차수열의 합

에서 까지의 숫자를 모두 더하면 얼마가 될까요 수를 하나씩 더하지 않고 아주 쉽게 계산하는 방법이 있습니다1 10 ? .부터 까지 더하는 식을 써주고 그 밑에 반대로 부터 까지 더하는 식을 써 준 다음 위 아래 두식을 다음과 같이1 10 10 1 ,더해줍니다.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10+ ) 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11그러면 이 번 더해지므로 이 됩니다 그런데 이 값은 부터 까지의 합을 두 번 더해준 값이므로 을11 10 11×10=110 . 1 10 110로 나누어줘야 합니다 따라서 구하고자 하는 값은 가 됩니다2 . 55 .

이와 같은 계산법을 처음으로 생각해낸 사람은 독일의 수학자 가우스 로 그의 이름을 따서 가우스의 계산법(1775~1855) ‘ ’이라고도 합니다.

문제 5 다음을 가우스의 계산법을 이용하여 계산해보세요. .1) 1 + 2 + 3 + + 99 + 100…

2) 1 + 3 + 5 + 7 + + 17 + 19 + 21…

등차수열의 합의 공식을 가우스의 계산법을 이용하여 다음과 같이 유도할 수 있습니다.일반적으로 첫째항이 공차가, 제, 항이 인 등차수열의 첫째항부터 제항까지의 합을 이라 하면,

= + + × + … + × + +

+ ) = + + × + … + × + +

× = + + + … + + +

∴× ×

∴ ×

예제 첫째항이 공차가 인 등차수열의 제 항부터 제 항까지의 합을 구하시오Q. 5, 3 1 30 .첫째항이 이고 공차가 인 등차수열의 일반항5 3 ×이므로,제 항30 ×

따라서 첫째항 공차 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의 합은5, 3 30∴

×

문제 6 등차수열의 합의 공식을 이용하여 다음을 계산하시오. .첫째항이 공차가 인 등차수열의 제 항부터 제 항까지의 합1) 3, 2 1 38첫째항이 공차가 인 등차수열의 제 항부터 제 항까지의 합2) 7, 4 1 22첫째항이 공차가 인 등차수열의 제 항부터 제 항까지의 합3) 11, 7 3 27힌트 첫째항부터 제 항까지의 합을 구한 다음에 여기서 첫째항과 제 항의 합을 빼주면 됩니다( ! 27 2 .)

등비수열의 일반항

다음 수열을 살펴봅시다.2, 6, 18, 54, 162, …이 수열은 첫째항 에서부터 시작하여 차례로 을 곱해준 등비수열입니다2 3 .

제 항1 : 2제 항2 : × 제 항3 : ×× 제 항4 : ××× 제 항5 : ×××× …위 식을 보면 제 항에는 첫째항 에 이 한번 곱해지고 제 항에는 첫째항 에 이 두 번 곱해지고 제 항에는 첫째항2 2 3 , 3 2 3 , 4 2에 이 세 번 곱해집니다 그러므로 이 등비수열의 제3 . 항에는 첫째항 에 이2 3 번 곱해집니다.따라서 첫째항이 이고 공비가 인 등비수열의 일반항은2 3 , ×

일반적으로 첫째항 공비, 인 등비수열의 제항 일반항 을( ) 이라 하면, ×

문제 7 다음 물음에 답해보세요. .

등비수열1) , 9, 3, 1, 의 첫째항과 공비를 각각 구하시오, .…

위 문제의 수열에서 제 항에 올 수는 얼마인지 구하시오2) 10 .첫째항이 공비가 인 등비수열의 제 항에 올 수를 구하시오3) 1, 2 8 .첫째항이 제 항이 제 항이 인 등비수열의 일반항4) 2, 5 512, 6 2048 을 구하시오.힌트 등비수열에서 어떤 항의 수를 바로 전 항의 수로 나누어주면 공비가 됩니다( ! .)

참고 등차중항과 등비중항-※세 수 , , 가 이 순서로 등차수열을 이룰 때, 를 와 의 등차중항이라고 하며 이 때, 는 와 의 평균값이 됩니다 즉 어떤 등차수열에서 임의로 연속된 세 항을 떼어냈을 때 가운데 항을 양 끝항의 등차중항이라고 하며 이때 등차중. ,항은 양 끝항의 합의 절반입니다.세 항 , , 가 등차수열 ⇔ × ⇔

(, 의 산술평균)

또 세 수 , , 가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, 를 와 의 등비중항이라고 하며 이 때, 의 제곱은 와 의 곱과같습니다.세 항 , , 가 등비수열 ⇔ × ⇔ ±× (, 의 기하평균)

문제 8. 18, 가 어떤 등차수열의 일부일 때, 32 , 의 값을 구하시오.

활동 하노이 탑의 전설과 브라만의 규칙# 2 -

하노이 탑 (Tower of Hanoi)고대 인대로부터 다음과 같은 전설이 내려오고 있습니다.

베나레스에는 세계의 중심이 있고 그곳에는 아주 큰 사원이 있다 이 사원에는 높이가 정도 되는 다이, . 50cm아몬드로 만든 막대가 세 개 있다 세상을 창조할 때 신은 이 막대중 하나에 크기가 서로 다른 개의 순금으. 64로 만든 원판을 크기가 큰 것부터 차례로 어느 한 막대에 쌓아 놓았다 이것을 브라만의 탑이라고도 한다. .그리고 신은 승려들에게 밤낮으로 쉬지 않고 원판을 원래의 막대에서 비어있는 막대 중 어느 한 곳으로 모두옮겨 놓도록 명령하였다 그런데 이 원판들을 옮기는 데에는 브라만의 규칙이 있다. .

브라만의 규칙한 번에 한 개의 원판만을 움직일 수 있다1. .작은 원판 위에 그보다 큰 원판을 올려 놓아서는 안된다2. .

이렇게 해서 개의 원판이 본래의 자리를 떠나 다른 한 막대로 모두 옮겨졌을 때에는 탑과 사원 승려는 모64 ,두 먼지가 되어 사라지며 세상의 종말이 온다.

활동 하노이 탑 퍼즐# 3 -

관찰 분석/◐하노이 탑 퍼즐은 한쪽에 쌓여져 있는 원반들을 반대편의 막대로 모두 이동시켜주는 것이 목적으로 원반을 이동할 때는 다음과 같은 두가지 규칙을 지켜야만 합니다.원반은 한 번에 한 개씩만 움직일 수 있다1. .작은 원반위에 그보다 큰 원반이 놓여져선 안된다2. .

하노이 탑은 전형적인 귀납적 사고를 필요로 하는 퍼즐입니다 즉 특별한 몇 가지의 경우를 관찰하여 이. ,것들을 일반적으로 적용할 수 있는 규칙을 추론하고 이를 엄밀하게 수학적으로 증명하는 과정을 거쳐 문제를 해결해야 합니다.

귀납적 사고※특수한 개별적 사례로부터 일반화된 명제를 이끌어 내는 사고 과정

원반이 한 개인 경우부터 시작하여 한 개씩 늘려가며 원반을 모두 옮기는데 필요한 최소 이동회수를 구해봅니다.

원반이 한 개인 경우1.

원반이 두 개인 경우2. 원반이 세 개인 경우3.

원반이 개인 경우와 개인 경우 가장 작은 원반을 처음에 어디로 움직였는지 잘 관찰해봅시다2 3 .만약 가장 작은 원반을 처음에 오른쪽 그림과 다른 막대로 이동시키면 어떻게 될까요?→

원반이 한 개인 경우의 최소 이동회수 번= ( )→원반이 두 개인 경우의 최소 이동회수 번= ( )→원반이 세 개인 경우의 최소 이동회수 번= ( )→

비 교◐

활동 앞의 내용을 참고하여 원반이 네 개인 경우의 최소 이동회수를 구해보면 다음과 같습니다. .

원반이 개인 경우의 이동원리4

단계1

단계2

Finish

원반이 개인 경우 맨 아래에 있는 가장 큰 원반을 목적지로 보내주기 위해서 먼저 위에 있는 개의) 4 3ⅰ원반을 경유지로 보내줘야만 한다.

위에 있는 개의 원반을 경유지로 보내주는데 총 번의 이동이 필요하므로 번째 이동에서 맨 밑의 가) 3 7 8ⅱ장 큰 원반이 목적지로 간다.

첫 번째 단계에서 경유지로 보내주었던 개의 원반을 처음에 원반들이 쌓여있던 막대를 경유지로 이용) 3ⅲ하여 다시 번의 움직임으로 목적지까지 이동시켜준다7 .따라서 원반 개를 움직이는 데는 최소 번의 이동이 필요하다4 7+1+7=15 .

물음1 원반이 개인 경우 가장 작은 원반을 처음에 어느 막대로 이동시켜줘야 합니까. 4 ?

하노이 탑에서※ 개의 원반을 최소 이동회수로 이동시키는 원리

원반을 최소 이동횟수로 움직이는 원리< >

하노이 탑의 점화식개의 원반을 다른 빈 막대로 모두 옮기는데 필요한 최소 이동회수를 이라 하면,

… … … ×

점화식(recurrence formula)※수열에서 이웃하는 항 사이에 성립하는 관계식을 점화식이라고 합니다.

물음 2 원반이 개인 경우의 최소 이동회수는 얼마가 될까요. 5 ?

물음 3 원반이 개인 경우의 최소 이동회수는 얼마가 될까요. 6 ?

물음 4 원반이 개인 경우의 최소 이동회수는 얼마가 될까요. 7 ?

추 리◐

점화식※ ×의 일반항 구하기어떤 수열에서 인접한 항의 차를 계차라고 합니다 하노이 탑에서 원반의 개수에 따른 최소 이동회수. 1, 3,

의 계차를 구해보면 으로 계차가 공비가 인 등비수열을 이루고 있음을 알7, 15, 31, 2, 4, 8, 16, 2… …수 있습니다 이와 같이 계차가 어떤 수열을 이루는 수열을. 계차수열이라고 합니다.일반적으로 계차수열의 일반항 제( 항 은 원수열의 첫 번째 항과 계차의) 번째 항까지의 합을 더해서 구할 수 있습니다.

계차란?※수열 ,,,, 에 대하여, ,… , , , 을, …주어진 수열의 계차라고 합니다.

하노이 탑의 최소 이동회수는 다음과 같이 의 합으로 나타낼 수 있습니다1, 2, 4, 8, 16, .…

×

×

×

… … …은 첫째항이 이고 공비가 인 등비수열로 일반항1, 2, 4, 8, 16, 1 2… ×

입니다.원반개에 대한 하노이 탑의 최소 이동회수가 이 등비수열의 제항까지의 합과 같음을 이용하여 하노이 탑의 점화식 ×의 일반항을 쉽게 구할 수 있습니다.등비수열 ×

의 제항까지의 합을 이라고 할 때, … …①식의 양변에 를 곱하면2 ,①× … …②식에서 식을 빼주면,② ①× … … ∴ 참고 고등학교 학년 과정( 2 )※등비수열의 합의 공식→

등비수열의 첫째항을 공비를, 제, 항까지의 합을 이라 할 때

… … ①식의 양변에① 을 곱하면,×

… … ②식에서 식을 빼주면,① ② ×

∴

단( , 이면 × )

활동문제

하노이 탑에서 처음에 가장 작은 원반을 어느 막대로 이동시켜야 하는지 원반의 개수가 홀수 개인 경우와1.짝수 개인 경우를 비교하여 생각해봅시다.

하노이 탑 일반항 공식을 이용하여 원반의 개수가 개인 경우의 최소 이동회수를 구해보시오2. 10 .

다음 그림은 에 쌓여있던 개의 원반을 모두 로 옮기는 과정의 일부이다 물음에 답하시오3. A 5 C . .

처음에 가장 작은 원반을 어느 막대로 이동시켰을까요(1) ?

원반을 지금까지 총 몇 번 움직였을까요(2) ?

다음에 이동시킬 원반은 무엇이며 어느 막대로 보내줘야 할까요(3) ?

완성하기 위해서 앞으로 몇 번을 더 움직여야할까요(4) ?

규칙을 추리하여 안에 알맞은 수를 구하여라4. ( ) .

1 - 3 - 7 - 15 - 31 - ( ) - 127

다음 그림과 같이 일정한 규칙으로 흰색과 검은색 타일을 놓고 있습니다5. . 번째에 놓일 타일에 들어갈 흰색 타일의 개수를 나타내는 수열의 일반항을 구하시오.

번째 번째 번째1 2 3

혜수는 펀치로 종이에 구멍 뚫는 놀이를 하였다 처음에는 새로운 종이에 한번 펀치를 하고 두 번째에는6. . ,그것을 반 접어 두 번 펀치를 하고 세 번째에는 그것을 다시 번 접어 세 번 펀치를 하였다 이런 방법으, .로 번 접어서 펀치를 한 다음 종이를 펼쳤다면 종이에 생긴 구멍의 수는 모두 몇 개이겠는가4 , ?

다음 각 색칠된 모양은 아래에 쓰여진 수를 나타내고 있습니다 일곱째 번에 색칠된 모양이 나타내고 있는7. .수를 구하시오.

바둑돌을 그림과 같은 규칙에 따라 늘어놓고 있습니다 째 번에 놓여있는 바둑돌은 흰 바둑돌이 검은 바8. . 10둑돌보다 몇 개가 더 많을까요?

다음 그림과 같이 정사각형 모양의 칸에 차례로 색칠하여 무늬를 만들려고 합니다 색칠된 칸의 가로 위치9. .와 세로 위치를 수로 나타내는데 첫 번째에 색칠한 칸을 로 나타내고 번째에 색칠한 칸을 으(1, 1) 5 (1, 3)로 나타내기로 하였을 때 번째에 색칠할 정사각형의 위치는 어떻게 될까요, 125 ?

쌓기나무를 다음과 같은 규칙으로 쌓을 때 째 번에 필요한 쌓기나무의 개수를 구하고 이 수열의 일반10. , 15항을 구하시오.

첫째 둘째 셋째

그림과 같이 서로 맞물려 돌아가는 원판에서 가장 왼쪽의 원판이 현재의 위치로부터 시계방향으로 바퀴11. 3회전하면 가운데 원판과 오른쪽 원판이 서로 접하게 되는 부채꼴의 숫자는 무엇이 될까요?단 세 원판의 부채꼴의 호의 길이는 모두 같습니다( , .)

다음은 자 모양으로 구부린 철사를 각각 한 번 두 번 절단한 그림입니다12. , .ㄹ이와 같은 규칙으로 철사를 잘라나가면 절단된 철사조각의 개수가 어떤 수열을 이루게 됩니다.이 수열이 어떤 수열인지 말해보고 이 수열의 점화식과 일반항을 구하시오, .① ②또 번 잘랐을 때 절단된 철사조각의 개수를 구하시오50 .③

첫째항이 이고 공비가 인 등비수열의13. 2 3 항까지의 합 의 공식을 유도하시오.

◈ 하노이 탑 전설에서 예언된 세상의 종말이 오기까지 걸리는 시간은 얼마나 될까?

개의 원판을 모두 다른 빈 막대로 옮기기 위해서는 최소한 원판을64 번 옮겨야 하는데 승려들이,원판 개를 옮기는데 초가 걸린다고 하더라도 원판을 모두 옮기기까지 걸리는 시간은 무려1 1

초나 되며 이것은 약 억 년에 해당하는 엄청난 시간입니다18,446,744,073,709,551,615 5833 .

생명이 살아가기 위한 필수적인 에너지원인 태양은 수소의 원자핵 양성자 이 충돌해서 열핵융합반응을( )일으켜 양성자 개가 헬륨의 원자핵 입자 으로 뭉치고 이 때 질량의 가 소실하여 에너지로 바뀌4 ( ) , 0.7%α는데 이 때 발생한 복사 에너지가 빛으로 나오면서 낮을 밝히고 또 태양 주위를 돌고 있는 행성에 생명의 빛을 쏘고 있는 것입니다.우리의 태양은 현재 약 억년 동안 활동해온 것으로 보이며 앞으로도 억년은 지금상태를 계속해서46 50유지할 것입니다.억년 후에 태양은 헬륨을 더욱 무거운 원소로 융합하는 반응이 일어나게 되는데 이때 태양은 배50 1000

정도 더 밝아지고 크기도 지금보다 배로 팽창하여 거성이 되면서 금성 궤도까지 뻗치게 될 것입니170다 이때는 매우 강한 태양풍과 자외선 때문에 지구상에는 더 이상 생명체가 살 수가 없게 되며 약. 10억년을 적색거성으로 존재한 태양은 이내 수축하여 백색왜성으로 변해갈 것입니다 따라서 억년 후에. 50태양이 적색거성이 되면 지구는 사실상 종말이라고 볼 수 있을 것입니다, .

따라서 이 전설에서 개의 원판을 모두 옮기는 데 억년 정도가 걸린다고 가정하면 그 안에 지구64 5833의 종말이 온다는 것은 과학적으로도 타당성이 있다고 할 수 있을 것입니다.