93

5

Torsionsmomente werden in der Lite-ratur auch mit MT bezeichnet.

Ein Torsionsmoment ist positiv, wenn der Momentenvektor der Drehvek-tor am linken Schnittufer (ist im rechten Teil von Bild 5.1 dargestellt) in positive x-Richtung zeigt. Oder: Wenn man in Richtung der x-Achse schaut, muss sich das Moment im Uhrzeigersinn drehen.

5 Torsion

5.1 Allgemeines Wenn ein Trger um die eigene Lngsachse gedreht wird, wird er tordiert und erhlt als Beanspruchung ein Torsionsmoment Mx. In Bild 5.1 sieht man, wie Torsionsmomente entstehen, nmlich in dem Krfte in z-Richtung Fz auf einem Hebelarm ey oder Krfte Fy auf einem Hebelarm ez wirken. Der Hebelarm ey bzw. ez ist dabei der Abstand der Kraft Fz bzw. Fy vom Schubmittelpunkt.

In Abschn. 4.4 wurde hergeleitet, dass Krfte, deren Wirkungslinien nicht durch den Schubmittelpunkt gehen, Torsion erzeugen.

Fy

Fz

ez

ey

MxMx

=

F

F

x

z

y

Bild 5.1 Torsionsmomente

Im linken Teil von Bild 5.1 ist auch die anschauliche Wirkung des Torsi-onsmomentes dargestellt. Wird ein Propeller angetrieben, d.h. verdreht, erhlt er Torsionsmomente. Krfte in x-Richtung bewirken Biegemomente niemals Torsionsmomente. Sie wrden den Propeller verbiegen.

Die Berechnung der Spannungen infolge Torsion ist nicht einfach und von der Querschnittsform abhngig. Grundstzlich werden Querschnitte in wlbfreie und nichtwlbfreie Querschnitte unterschieden. Um die Unter-scheidung deutlich zu machen, soll ein Experiment durchgefhrt werden.

Ein loses Blatt Papier siehe Bild 5.2 links wird aufgerollt, in beide Hn-de genommen und gegenseitig verdreht. Nach dem Verdrehen sieht man, dass sich die Endquerschnitte verschoben haben. In Bild 5.2 haben sie sich um das Ma u verschoben. Trger, deren Endquerschnitte nach der Beanspruchung nicht mehr eben sind, werden als nichtwlbfreie Quer-schnitte bezeichnet.

5 Torsion94

Die St.-Venantsche Torsion wird nach Adhemar Jean Claude Barr de Saint-Venant (17971886) genannt, der als Ingenieur am Bau des Kanals von Nivernais und am Ardennenka-nal mitarbeitete und bedeutende Ar-beiten zur Festigkeitslehre verffent-lichte.

u

Bild 5.2 Experiment Papierrolle

Torsion bei wlbfreien Querschnitten und bei Querschnitten, die sich un-gehindert verschieben knnen, wird als reine oder St.-Venantsche Torsion bezeichnet. Bei St.-Venantscher Torsion werden die Torsionsmomente nur durch Schubspannungen abgetragen. Diese werden auch als primre Schubspannungen bezeichnet. Die Berechnung dieser Schubspannungen wird in Abschn. 5.2 gezeigt.

Das Experiment aus Bild 5.2 soll erneut betrachtet werden. Nachdem die Papierrolle verdreht worden ist, entstand ein Versatz u des Endquerschnit-tes in Lngsrichtung. Soll dieser Versatz, der auch als Verwlbung be-zeichnet wird, wieder rckgngig gemacht werden, mssen Krfte in Lngsrichtung der Papierrolle aufgebracht werden (siehe Bild 5.2 rechter Teil). Krfte in Lngsrichtung bewirken Normalkrfte und Biegemomente und damit Normalspannungen im betrachteten Trger. Da die Biegemo-mente meistens nicht konstant verlaufen, verursachen sie Querkrfte und damit auch Schubspannungen. Torsion an nichtwlbfreien Querschnitten, bei denen die Verwlbung der Endquerschnitte behindert wird, die sich al-so nicht verwlben knnen, wird als Wlbkrafttorsion bezeichnet. Bei Wlb-krafttorsion werden die Torsionsmomente neben St.-Venantscher Torsion durch Normalspannungen x und Schubspannungen abgetragen, die auch sekundre Schubspannungen genannt werden. Spannungen aus Wlbkrafttorsion sind sehr aufwndig zu berechnen. In Abschn. 5.3 wird ein Nherungsverfahren gezeigt.

Die lose zusammengerollte Papierrolle ist, wie das Experiment gezeigt hat, ein nichtwlbfreier Querschnitt. Wodurch werden nun wlbfreie von nicht-wlbfreien Querschnitten unterschieden? Bild 5.3 zeigt eine Einteilung der Querschnitte.

95

5

Die Papierrolle ist als offener dnn-wangiger Kreisquerschnitt und damit als nicht wlbfreier Querschnitt ein-zuordnen.

Querschnitte aus Holz oder Stahlbe-ton sind meistens Vollquerschnitte. Im Stahlbetonbau sind auch Hohl-querschnitte mglich. Offene dnn-wandige Querschnitte und damit die Wlbkrafttorsion treten eigentlich nur im Stahlbau auf. So wird auch an den Hochschulen die Wlbkrafttorsion nicht in der Festigkeitslehre sondern im Fach Stahlbau gelehrt.

Wer nicht die Berechnung der Schnittgren an statisch bestimm-ten Systemen beherrscht, fahre mit Abschn. 5.2 fort.

Bild 5.4 Gabellagerung

wlbfrei nichtwlbfrei

gesc

hlos

sen voll

hohl

offe

n

t t2t1

Bild 5.3 Einteilung der Querschnitte

Wlbfrei sind Kreis-, Kreisringquerschnitte, quadratische Hohlquerschnitte mit konstanter Wanddicke sowie Querschnitte aus dnnwandigen Quer-schnittsteilen, deren Schwerelinien sich in einem Punkt treffen. Beliebige Hohlquerschnitte und beliebige Vollquerschnitte sind zwar nicht wlbfrei, weisen aber unter Torsionsbeanspruchung so geringe Verwlbungen auf, dass sie wie wlbfreie Querschnitte behandelt werden knnen. Offene dnnwandige Querschnitte (in Bild 5.3 unten rechts) sind nicht wlbfrei und mssen bei Behinderung der Endquerschnitte mit der Theorie der Wlb-krafttorsion berechnet werden. Die Behinderung der Verwlbung kann durch Einspannungen, andere Querschnitte, dicke Kopfplatten oder hn-liches erfolgen.

Bevor Spannungen aus Torsionsmomenten berechnet werden, wird noch die Berechnung von Torsionsmomenten gezeigt.

In der Statik rechnen wir fast immer in ebenen Systemen. Fast alle bau-praktischen Probleme lassen sich auf ebene Systeme reduzieren. Die Ver-teilungen von zustzlichen Biegemomenten Mz und Torsionsmomenten Mx mssen an rumlichen Systemen ermittelt werden. Dafr muss geklrt werden, welches Auflager Torsionsmomente aufnehmen kann. Ein klas-sisches Auflager ist in Bild 5.4 dargestellt: die Gabellagerung. Eine Gabel-lagerung ist typisch fr Hochbautrger, sie kann Vertikalkrfte in z-Rich-tung Fz, Horizontalkrfte in y-Richtung Fy und Torsionsmomente Mx auf-nehmen. Die Torsionsmomente werden bei einer Gabellagerung als hori-zontales Krftepaar (Krfte Fy mit Hebelarm ez) abgetragen. Die Gabella-gerung ist ein Biegemomentengelenk, Biegemomente knnen nicht aufge-nommen werden. Ein klassischer Einfeldtrger, der an beiden Seiten infol-ge der Gelenke keine Biegemomente aufnehmen kann, muss als rumli-ches System mindestens auf einer Seite eine Gabellagerung besitzen, um

5.1 Allgemeines

5 Torsion96

a)

b)

c)

Bild 5.5 Auflagersymbole

Die Verteilung der Torsionsmomente Mx verhlt sich unter der Beanspru-chung von Einzeltorsionsmomenten Mt oder Streckentorsionsmomenten mt analog zu Verteilung der Querkraft V unter der Beanspruchung von Ein-zellasten P oder Streckenlasten q.Die einzelnen Verlufe sind in Bild5.6 zu sehen.

nicht verschieblich zu sein. Eine weitere Mglichkeit, Torsionsmomente aufzunehmen, ist die Volleinspannung, sie nimmt alle Krfte in allen drei Achsen Fx, Fy, Fz und alle Momente um alle drei Achsen Mx, My, Mz auf.

Fr Trger, die eigentlich eben berechnet werden sollen (Schnittgren: N, My, Vz) und zustzlich durch Torsionsmomente beansprucht werden, gibt es besondere Auflagersymbole, die in Bild 5.5 dargestellt sind. Diese Auf-lager knnen folgende Schnittgren aufnehmen:

a) N, Vz, My, Mx b) Vz, Mx c) N, Vz, Mx

Wenn ein Einfeldtrger an beiden Seiten Torsionsmomente aufnehmen kann, ist er statisch unbestimmt. Hier hilft die Querkraftanalogie, die Vertei-lung der Torsionsmomente zu bestimmen.

MT

MxMx MT=

MT

Mx

a bl

MT a / l

+-

MT b / l

mT

l

[kNm/m]

Mx

MT l / 2

+-

MT l / 2

P

VV P=

P

a bl

P a / l

+-

P b / l

V

q [kN/m]

l

q l / 2

+-

q l / 2

V

analog

analog

analog

Bild 5.6 Querkraftanalogie

analog

analog

analog

97

5

r

R() = r

R

Bild 5.8 Schubspannungen im Kreis-querschnitt

S = M

d

Bild 5.9 Integration der Schub-spannungen

5.2 St.-Venantsche Torsion Torsionsmomente werden bei wlbfreien Querschnitten, bei Querschnitten mit nur geringer Verwlbung (allgemeine Hohl- und Vollquerschnitte) und bei nichtwlbfreien Querschnitten (offene dnnwandige Profile), bei denen sich die Verwlbung ungehindert einstellen kann, durch St.-Venantsche Torsion abgetragen. In Bild 5.7 wird ein Trger mit einem Vollkreisquer-schnitt einem wlbfreien Querschnitt durch ein Torsionsmoment bean-sprucht.

Mx

l

R

r

x

z

yx

Bild 5.7 Kreisquerschnitt unter Torsionsbelastung

Die Formnderungen wachsen linear mit dem Abstand zur Drehachse. Da zwischen Verformungen und Spannungen ein linearer Zusammenhang be-steht, wachsen auch die Spannungen (siehe Bild 5.8) linear an.

Rr

=)( (5.1)

Die Schubspannungen verlaufen im Kreis, da die Integration der Schub-spannungen wieder das Torsionsmoment Mx ergeben muss. Ein infinitesi-males Kreisringelement nach Bild 5.9 hat die Gre

d 2 dA pi = (5.2)

Werden die Spannungen ber den Kreisring integriert, entstehen Krfte, die den Hebelarm zum Schwerpunkt haben.

2d ( ) d dx RM A A

r

= = (5.3)

2

0 0d d

r rR

x xM M Ar

= = (5.4)

5.2 St.-Venantsche Torsion

5 Torsion98

Das polare Trgheitsmoment wird bei Torsionsbeanspruchung auch als Torsionstrgheitsmoment IT bezeich-net. Im Weiteren wird nur noch IT ver-wendet.

r ira

Bild 5.10 Dickwandiger Hohlquerschnitt

= 0

= 0

max

b

h

h > b

Bild 5.11 Strmungsanalogie

Die Strmungsanalogie wurde von Ludwig Prandtl (18751953) entwi-ckelt.

Dabei ist analog zum Abschn. 2.2

2

0d

r

pI A= (5.5)

das polare Trgheitsmoment. Beim Kreisquerschnitt ist

4 42 3

0 0d 2 d 2

4 2

r r

p y zr rI A I Ipi pi pi = = = = = + (5.6)

So ergibt sich fr den Kreisquerschnitt die Schubspannungsverteilung

==T

x

P

x

IM

IM)( (5.7)

mit der maximalen Schubspannung

rIM

T

x= (5.8)

Fr dickwandige Hohlquerschnitte nach Bild 5.10 lautet IT

)(2

44iaT rrI =

pi (5.9)

Fr die maximale Schubspannung wird fr dickwandige Hohlquerschnitte in Gl. (5.8) fr den Radis r der Auenradius ra eingesetzt.

Man kann sich einfach vorstellen, wie die Schubspannung infolge Torsion in einem Kreisquerschnitt verteilt ist. Schwieriger wird es bei Rechteck-querschnitten oder beliebigen Vollquerschnitten. Dazu helfen verschiedene Analogien.

Die Strmungsanalogie vergleicht die Torsionsspannungsverteilung mit ei-nem Wasserstrudel. Im Strudel nach Bild 5.11 sind am Rand die Str-mungsgeschwindigkeiten und damit die Schubspannungen grer. In den Ecken gibt es keine Strmung und damit auch keine Schubspannung. An dnnen Querschnittsteilen ist der Strudel schneller als an breiten Teilen. Eine Analogie des Wasserflusses wurde bereits in Kapitel 4 vorgestellt.

Eine andere Analogie ist die Seifenhautanalogie. ber eine ffnung in Form des untersuchten Querschnittes wird eine Membran eine Seifen-haut gespannt. Das Ma der Steigung der Seifenhaut ist ein Ma fr die

99

5

b

h

h > b

Bild 5.13 Rechteckquerschnitt

Das Torsionstrgheitsmoment IT ist auf jeden Fall erforderlich, um die Verformungen aus der Torsionsver-drehung zu berechnen.

max1 1

3

3

4

224

Schnitt4 - 4

Schnitt3 - 3

maxSchnitt1 - 1

Schnitt2 - 2

max1 1

2

2

Schnitt1 - 1

Schnitt2 - 2

max

Auch die Seifenhautanalogie wurde von Prandtl aufgestellt.

Gre der Schubspannung. Wird die Seifenhaut wie in Bild 5.12 mit H-henlinien versehen, so bedeutet eine dichtere Lage der Hhenlinien gre-re Schubspannungen. Maxima und Minima der Seifenhaut sind dann Null-punkte der Schubspannungsverteilung.

Bild 5.12 Seifenhautanalogie

In Bild 5.12 ist analog zu den Hhenlinien der Seifenhaut der qualitative Verlauf der Schubspannungen (ohne Richtungsangabe) angegeben. Aus den Analogien ist ersichtlich, dass bei einem Rechteckquerschnitt nach Bild 5.13 die maximale Schubspannung auf der lngeren Seite auftaucht. Fr Rechtecke mit b h lassen sich die maximalen Schubspannungen in zwei Alternativen beschreiben.

bIM

T

x=max (5.10)

T

x

WM

=max (5.11)

hbWT = 21 (5.12)

hbIT = 32 (5.13)

1 und 2 sind vom Verhltnis des Seitenverhltnisses h/b abhngig in Ta-belle 5.1 angegeben.

5.2 St.-Venantsche Torsion

5 Torsion100

2b

3b1b 1t 3t

2t

Bild 5.14 Offenes dnnwandiges Profil

300

150

278,

6

7,110,7

Bild 5.15 Profil IPE 300 (Mae in mm)

Das Torsionsmoment in kNm muss in kNcm umgerechnet werden.

Tabelle 5.1 Beiwerte fr die Torsionswiderstnde eines Rechteckquerschnittes b h

h/b 1 1,5 2 3 4 10

1 0,208 0,231 0,246 0,267 0,281 0,313 0,333

2 0,140 0,196 0,229 0,263 0,281 0,313 0,333

Offene dnnwandige Profile sind meistens aus einzelnen dnnwandigen Rechtecken zusammengesetzt. Fr ein dnnwandiges Profil nach Bild 5.14 gilt

=+++= iiT btbtbtbtI 3....(

3 3332

321

31

(5.14)

Fr knnen fr die typischsten Profile Schtzwerte angegeben werden.

1,0 fr L-Profile 1,15 fr groe, geschweite I-Profile 1,30 fr gewalzte I-Profile

Die maximalen Schubspannungen in einem offenen dnnwandigen Profil gelten dann:

tIM

T

x maxmax = (5.15)

Beispiel 5.1

Fr Stahlbauprofile sind in Nachschlagewerken wie [1] die Torsionstrg-heitsmomente angegeben. In diesem Beispiel soll versucht werden, fr das Profil IPE 300 nach Bild 5.15 das Torsionstrgheitsmoment zu berechnen. Der IPE 300 ist ein gewalztes Profil, so ist 1,30.

Dann ist nach Gl. (5.14)

3 3 41,30 (2 1,07 15 0,71 27,86) 20,24 cm3T

I = + =

In [1] wird als Torsionstrgheitsmoment IT = 20,1 cm4 angegeben. Fr ein Torsionsmoment Mx = 2,0 kNm lautet nach Gl. (5.15) die maximale Schub-spannung

22,0 100 1,07 10,6 kN/cm20,1

= =