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TORRI DI RAFFREDDAMENTO PER L’ACQUA

Premessa

II funzionamento degli impianti chimici richiede generalmente grossi quantitativi di acqua: questa, oltre ad essere utilizzata direttamente in alcune lavorazioni, come lavaggi, dissoluzioni, ecc. , viene largamente impiegata come fluido termico, sia allo stato liquido che vapore. Le caratteristiche richieste sono differenti a seconda dell’impiego a cui l’acqua è destinata: si distingue tra l’acqua industriale, impiegata per la refrigerazione ed i lavaggi, quella destinata alla produzione di vapore e quella che prende parte direttamente al processo: per queste ultime due categorie possono rendersi necessari trattamenti particolari, come, ad esempio, la demineralizzazione. Nel caso dell’acqua industriale, che si intende ora esaminare in dettaglio, l’impiego prevalente è

quello come refrigerante. Per il suo utilizzo si richiede solo una bassa durezza, una certa limpidezza e l’assenza di flora idrica, in modo che non formi depositi e incrostazioni all’interno delle tubazioni. I trattamenti preliminari possono quindi andare da una semplice chiarificazione ad una completa dolcificazione, a seconda delle caratteristiche fisico-chimiche dell’acqua a disposizione. L’acqua industriale viene prelevata in superficie od in profondità: l’approvvigionamento da pozzo, ossia in profondità, è preferibile perché la temperatura dell’acqua è piuttosto bassa (12-18°C) e si mantiene abbastanza costante durante l’anno; le acque superficiali, come fiumi o laghi, sono invece in grado di fornire portate maggiori. In casi particolari di difficoltà di approvvigionamento idrico e di impianti situati in vicinanza della costa, si ricorre all’acqua marina: questa può essere utilizzata come refrigerante ma richiede l’adozione di tubazioni resistenti alla corrosione. L’acqua industriale può operare in ciclo aperto o in ciclo chiuso: nel primo caso l’acqua proveniente dalle utilizzazioni viene scaricata, mentre nel secondo viene raffreddata e ricircolata. Il ciclo chiuso è quasi sempre più conveniente di quello aperto, soprattutto se i consumi d’acqua industriale sono elevati e se l’acqua stessa deve subire trattamenti prima del suo utilizzo. Date le portate in gioco, il raffreddamento dell’acqua, indispensabile per il suo riutilizzo, deve essere realizzato in modo molto economico. La scelta cade quindi solitamente su torri a riempimento in cui l’acqua da raffreddare è posta in contatto con l’aria ambiente. In questi apparecchi il raffreddamento dell’acqua avviene per effetto dell’evaporazione di parte dell’acqua e il vapore che si forma viene trascinato dalla corrente d’aria, che si umidifica. Dato l’elevato valore del calore latente di vaporizzazione dell’acqua (circa 580 kcal/kg a 25°C) la quantità d’acqua perduta per evaporazione nelle torri di raffreddamento è molto limitata e si aggira intorno al 3-5 % per un raffreddamento di 20 – 30 °C. In ogni caso occorre prevedere sul circuito un reintegro dell’acqua e, spesso, anche uno spurgo: quest’ultimo evita che eventuali impurezze presenti nell’acqua vadano concentrandosi col passare del tempo. Il raffreddamento dell’acqua nelle torri a riempimento, in base a quanto visto, comporta un trasferimento simultaneo di materia e di calore nel contatto tra una corrente liquida, che evapora parzialmente, ed una gassosa che riceve il vapore, divenendo più umida, ed il processo prende quindi il nome di umidificazione. Per poter affrontare in dettaglio questo argomento è necessario richiamare alcuni concetti relativamente al sistema aria - acqua. Il sistema aria-acqua

Innanzitutto si definiscono le grandezze principali che si adottano per descrivere il sistema. − l’umidità assoluta, Y, (kg vapore/ kg aria secca) rappresenta il contenuto di vapor d’acqua

presente per unità di massa di aria secca e si può calcolare con la legge dei gas perfetti:

a

w

a

w

M

M

pP

p

M

M

ariamoli

vaporemoli

ariamassa

vaporemassaY ⋅

−=⋅== (1)

P è la pressione totale del sistema, p è la pressione parziale del vapor d’acqua nell’aria, e Mw e Ma sono i pesi molecolari dell’acqua e dell’aria, rispettivamente 18 e 29 kg/kmole; il loro rapporto è pari a 0.622.

2

− L’umidità a saturazione, Ys, (kg vapore/ kg aria secca) rappresenta il contenuto di vapor d’acqua per unità di massa di aria secca quando la pressione parziale del vapore coincide con quella di saturazione alla temperatura del sistema. L’umidità a saturazione rappresenta quindi il valore massimo che può assumere l’umidità assoluta in condizioni di temperatura fissate, in assenza di fenomeni di soprassaturazione (formazione di nebbie):

( )

a

w

s

ss M

M

)T(pP

TpY ⋅

−= (2)

dove ps(T) è la tensione di vapore dell’acqua alla temperatura T del sistema. − L’umidità relativa, YR, (frazione, oppure percentuale), rappresenta il rapporto tra la pressione

parziale del vapore e quella di saturazione alla temperatura del sistema:

)T(p

pY

sR = (3)

− L’umidità percentuale, Yp, (frazione, oppure percentuale), rappresenta il rapporto tra l’umidità assoluta del sistema e quella a saturazione, alla stessa temperatura:

sp Y

YY = (4)

L’umidità assoluta può essere espressa in termini di umidità relativa e tensione di vapore, combinando la (1) con la (3).

( )

a

w

R

sR

M

M

YP

TpYY ⋅

−

⋅= (5)

Per rappresentare le condizioni dell’aria umida si ricorre al diagramma psicrometrico (Figura l) che riporta in ascissa la temperatura ed in ordinata l’umidità assoluta.

Figura 1. Diagramma psicrometrico

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Sul diagramma di Figura 1 sono riportate le curve a umidità relativa costante: la curva con YR = 100% è quella dell’umidità a saturazione. Ogni curva ad umidità relativa costante presenta un asintoto verticale in corrispondenza della temperatura che soddisfa la condizione:

( )R

s Y

PTp = (6)

In altre rappresentazioni possono essere riportate, invece, le curve a umidità percentuale costante ed occorre quindi fare attenzione nell’impiego del diagramma. Su di esso sono riportate anche le curve della temperature di bulbo umido e quelle di saturazione adiabatica (o isoentalpiche) che, per il sistema aria-acqua presentano entrambe andamento rettilineo. Temperatura di bulbo umido Un termometro, coperto da uno straterello sottile ed uniforme di acqua, è posto a contatto con un flusso di aria umida: se l’aria non è satura, il gradiente di concentrazione tra il liquido ed il gas provoca un trasferimento di materia all’interfacies acqua-aria e la massa gassosa (Figura 2). Ciò implica che l’acqua passi dallo stato liquido a quello vapore, ossia evapori: il flusso di materia è quindi accompagnato da un flusso di calore. La temperatura dello straterello liquido diminuisce fino a stabilizzarsi; in condizioni stazionarie il flusso di calore dovuto all’evaporazione è pari a quello trasmesso per convezione dalla massa d’aria verso l’interfacies acqua-aria. Il bilancio in condizioni stazionarie si può scrivere:

( ) λ⋅−⋅=−⋅ )YY(kTTh iYiG (7)

dove hG è il coefficiente di trasferimento di calore per convezione nella fase gassosa, ky il coefficiente di trasferimento di materia, λ è il calore latente di vaporizzazione, T, Ti, Y, e Yi sono rispettivamente i valori di temperatura e umidità assoluta nella massa gassosa e all’interfacies aria-acqua.

Figura 2. Andamento di temperatura e umidità all’interfacies gas-liquido

Sull’interfacies è lecito assumere che si realizzi l’equilibrio liquido-vapore, ossia che ci si trovi in condizioni di saturazione, e quindi Yi = YS(Ti). Inoltre, dato che il coefficiente di trasmissione del calore in fase liquida è elevato, la differenza di temperatura tra interfacies e massa liquida è trascurabile e si può assumere Ti = Tw , ottenendo quindi la relazione che lega la temperatura di bulbo umido, Tw , all’umidità assoluta Y:

( )wY

Gs TT

k

hYY −⋅

λ⋅=− (8)

in cui Ys va calcolata alla temperatura Tw = Ti. Il rapporto hG/(kY·λ) si può considerare all’incirca costante, per cui la (8) diventa l’equazione della retta relativa alla temperatura di bulbo umido. La Figura 3 riporta il valore del rapporto hG/kY in funzione del numero di Schmidt (Sc = µ/ρD) per alcuni vapori in aria.

Gas Liquido

interfacies

T

Y Yi

Tw Ti

4

Figura 3. Andamento di hG/kY in funzione di Sc per alcuni vapori in aria.

La (8) è molto importante nella pratica perché consente di determinare l’umidità di un gas attraverso una doppia misura di temperatura, quella effettiva (detta anche temperatura di bulbo secco) e quella di bulbo umido, utilizzando il diagramma psicrometrico per valutare l’umidità. La temperatura di bulbo umido si misura facendo fluire aria sopra un termometro il cui bulbo è ricoperto da un garza, che si mantiene bagnata aspirando acqua per capillarità da una vaschetta. Nota Tw, si trova l’umidità a saturazione Ys sul diagramma, dato che si può assumere Ts ≅ Tw e che il punto con coordinate Ts-Ys si trova sulla curva dell’umidità a saturazione. A questo punto, si segue la retta della temperatura di bulbo umido, arrestandosi in corrispondenza dell’ascissa T e si legge il corrispondente valore di Y. Temperatura di saturazione adiabatica Per determinare la temperatura di saturazione adiabatica si assuma di mescolare, in modo adiabatico, una portata di aria secca G, accompagnata da un’umidità Y e a temperatura T con una portata infinitesima di acqua dL che si trovi alla stessa temperatura: l’evaporazione dell’acqua provoca un aumento della portata e dell’umidità della corrente gassosa. Il bilancio di materia è:

dLdYG −=⋅ (9)

Per effettuare il bilancio entalpico si fissa come riferimento la temperatura di 0°C, e stato fisico, rispettivamente aria secca gassosa ed acqua liquida. In base allo stato di riferimento assunto, l’entalpia dell’aria umida è somma di un termine relativo al riscaldamento dell’aria secca fino alla temperatura T, di uno relativo alla vaporizzazione a 0°C del quantitativo d’acqua pari all’umidità assoluta dell’aria, e di uno relativo al riscaldamento fino alla temperatura T del vapor d’acqua così ottenuto. L’entalpia iniziale della fase gassosa, H1G, è quindi pari a:

( )[ ]YTYccGH 0waG1 ⋅λ+⋅⋅+⋅= (10)

dove ca e cw sono, rispettivamente, i calori specifici dell’aria secca e del vapor d’acqua e λ0 è il calore latente di vaporizzazione a 0°C. L’entalpia della corrente liquida entrante è:

TdLcH LL1 ⋅⋅= (11)

dove CL è il calore specifico dell’acqua. L’entalpia della corrente gassosa che si ottiene a seguito dell’evaporazione dell’acqua è pari a:

( )[ ] ( ) ( ){ }dYYdTTdYYccGH 0waG2 +⋅λ++⋅+⋅+⋅= (12)

5

Dal momento che il processo è adiabatico deve essere:

G2L1G1 HHH =+ (13)

Inserendo le equazioni (9-12) nella (13), e trascurando l’infinitesimo di ordine superiore (cw·dY·dT) si ottiene:

( ) ( ) dYTcTcdTYcc Lw0wa ⋅⋅−⋅+λ−=⋅⋅+ (14)

II termine tra parentesi a secondo membro (λ0 + CW·T - CL·T) è pari a λ, calore latente di vaporizzazione alla temperatura T, mentre il termine tra parentesi al primo membro (ca + cw·Y) prende il nome di calore specifico umido ed è riferito all’unità di massa di aria secca. Si può quindi scrivere:

dYdTcs ⋅λ−=⋅ (15)

Integrando la (15) tra le condizioni iniziali di temperatura e umidità, T e Y, e quelle finali a saturazione, Ts ed Ys , si ottiene l’espressione della curva di saturazione adiabatica. Assumendo che il calore specifico umido non vari molto con l’umidità e che il calore latente di vaporizzazione non vari molto con la temperatura, si ottiene:

( )ss

s TTc

YY −⋅λ

=− (16)

Nella (16) Ys va calcolata alla temperatura Ts. Confrontando ora la (16) con la (8) si nota come le due relazioni abbiano la stessa forma e possano coincidere ove sia verificata la condizione:

λ⋅=

λ Y

Gs

k

hc ossia 1

ck

h

sY

G =⋅

(17)

Il rapportosY

G

ck

h

⋅ è il numero di Lewis, e, in generale, si calcola come:

56.0

Pr

ScLe

= .

Per il sistema aria-acqua in condizioni ambiente, il valore del numero di Lewis risulta prossimo all’unità (circa 0.9): di conseguenza, le due rette di temperatura di bulbo umido (8) e di saturazione adiabatica (16) si possono assumere coincidenti tra di loro. Allo stesso modo si può anche considerare che la temperatura di bulbo umido sia paria e quella di saturazione adiabatica (Tw = Ts). Calore specifico umido Sul diagramma psicrometrico è riportata anche una retta che consente di leggere il valore del calore specifico umido, cS , in funzione dell’umidità assoluta, Y: fissato sulla retta il punto di ordinata Y, il valore di cs si legge sulla scala delle ascisse posta superiormente. Il calore specifico umido si può comunque calcolare molto facilmente dai calori specifici dell’aria secca e del vapor d’acqua, pari rispettivamente a 0.24 e 0.45 kcal/kg C. Volume specifico dell’aria secca e dell’aria umida Sul diagramma psicrometrico sono ancora riportate rette che consentono di leggere il volume specifico dell’aria secca e dell’aria umida satura in funzione della temperatura sull’apposita scala delle ordinate posta sul margine sinistro.

Relazioni fondamentali nei processi di umidificazione

Nella trattazione delle operazioni di umidificazione si fa anzitutto l’ipotesi semplificativa di trascurare la solubilizzazione del gas nel liquido, e di far riferimento quindi al solo trasferimento di materia dalla fase liquida a quella gassosa. Si consideri un elementino di apparecchio di altezza dz, in cui una fase liquida a temperatura TL venga a contatto con una fase gassosa a temperatura TG ed umidità Y, come schematizzato in fig.4.

6

Figura 4. Andamento di temperatura e umidità nell’umidificazione

In questa situazione si instaurano i seguenti flussi termici, attraverso la superficie specifica di trasferimento di calore e di materia a: − dqGs , flusso di calore sensibile ricevuto dal gas per effetto del salto termico Ti – TG:

dz)TT(ahdTcGdq GiGGsGs ⋅−⋅⋅=⋅⋅= (18)

− dqL, flusso di calore sensibile ceduto dal liquido per effetto del salto termico TL - Ti:

dz)TT(ahdTcLdq iLLLLL ⋅−⋅⋅=⋅⋅= (19)

dove hL è il coefficiente di trasferimento di calore in fase liquida.

− dqGλ, flusso di calore dovuto all’evaporazione, ossia associato al flusso di materia dal liquido al gas. Per il trasferimento di materia si ha:

dz)YY(akdYG iY ⋅−⋅⋅=⋅ (20)

da cui si ottiene il flusso di calore associato alla vaporizzazione dell’acqua:

dz)YY(akdYGdq iY0G ⋅−⋅⋅=⋅λ⋅=λ (21)

Il bilancio termico è:

LGGsG dqdqdqdq =+= λ (22)

Inserendo le relazioni (18-19) e (21) nella (22) si ottiene:

( ) ( ) ( )[ ] dzYYakTTahdYdTcG i0YGiG0Gs ⋅−⋅λ⋅⋅+−⋅⋅=⋅λ+⋅⋅ (23)

dove il termine (cs·TG + λ0·Y) rappresenta H, entalpia del gas umido e, analogamente, il termine (cs·Ti + λ0·Yi) rappresenta Hi, entalpia del gas umido alle condizioni di interfacies. Ricordando la definizione del numero di Lewis, la (23) si può scrivere nella forma:

( ) ( )[ ] dzTcLeYTcLeYakdHG Gsi0isi0Y ⋅⋅⋅+⋅λ−⋅⋅+⋅λ⋅⋅=⋅ (24)

Poiché per il sistema aria-acqua si può assumere Le ≅ 1, la (24) si semplifica:

dz)HH(akdHG iY ⋅−⋅⋅=⋅ (25)

che è l’equazione di progetto cercata. Infatti, integrando tra i valori dell’entalpia iniziale e finale dell’aria, Hin e Hfin si ottiene l’altezza z della torre di raffreddamento:

∫ ⋅=−⋅

=fin

in

H

H YYiY

NHHH

dH

ak

Gz (26)

Nella (26) l’altezza della torre è espressa come prodotto dell’altezza dell’unità di trasferimento, HY = G/(kY·a), per il numero delle unità di trasferimento, NY, rappresentato dall’integrale.

Gas Liquido

interfacies

TG

Y Yi

TL Ti

dz

7

Calcolo del numero delle unità di trasferimento Per calcolare l’integrale a secondo membro della (26) occorre valutare l’andamento della differenza (Hi - H) in funzione di H. All’interfacies ci si trova in condizioni di saturazione, per cui la curva di equilibrio, Hi in funzione di T, si può tracciare noti i valori dell’entalpia dell’aria umida satura. Un’equazione approssimata della curva di equilibrio Hi in funzione di T è la seguente, valida tra 25 e 50°C, con uno scarto massimo del 2%:

2321i TkTkkH ⋅+⋅−= (27)

con Hi è in kcal/kg di aria secca e T in °C. Le costanti k1, k2 e k3 valgono, rispettivamente: k1 = 23.93 k2 = 1.286 k3 = 0.04123 L’espressione della retta di lavoro si ricava dal bilancio termico (22), in cui il flusso di calore totale del gas è espresso direttamente in termini entalpici:

LL dTcLdHG ⋅⋅=⋅ (28)

La portata di aria secca non varia tra ingresso ed uscita ed anche quella di acqua varia poco per effetto dell’evaporazione, per cui può essere assunta all’incirca costante. Con questa ipotesi, la (28) si può direttamente integrare a dare :

( ) ( )fin,LLLin TTcLHHG −⋅⋅=−⋅ (29)

La retta di lavoro (29) parte dal punto che ha per coordinate la temperatura TL,fin del liquido uscente e l’entalpia Hin dell’aria entrante, ha pendenza pari al rapporto L/G, ed è situata al di sotto della curva di equilibrio, come mostra la Figura 5.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

10 15 20 25 30 35 40 45 50

T (°C)

H (

kcal/

kg

ari

a s

ecca)

Figura 5. Curva di equilibrio e retta di lavoro nell’umidificazione

Il valore massimo del rapporto L/G si trova tracciando la tangente alla curva di equilibrio a partire dal punto TL,fin-Hin: a (L/G)max corrisponde la portata d’aria minima Gmin, e l’altezza della torre diventa infinita. Il valore di (L/G)max si può determinare imponendo che la retta di lavoro (29) sia tangente alla curva di equilibrio (27), che è una parabola:

( ) 2fin,L3in1322

22fin,L3

max

kTk2)Hk(k4kkTk2G

L−⋅⋅+−⋅⋅+−−⋅⋅=

(30)

Hi

retta di lavoro

TL

Ti

ak

ah

Y

L

⋅

⋅

( )infin,L H,T

( )finin,L H,T

8

Si fissa quindi un valore di L/G inferiore al massimo e si traccia la retta di lavoro: il valore dell’entalpia finale dell’aria Hfin si legge sulla retta di lavoro in corrispondenza del valore TL,in della temperatura iniziale dell’acqua. Per valutare il termine (Hi - H) che compare nell’integrale della (26), vanno valutate le condizioni all’interfacies per alcuni punti con coordinate TL-H situati sulla retta di lavoro. Dal bilancio termico (22) si ottiene:

( ) ( )ak

ah

TT

HHHHakTTah

Y

L

Li

iiYiLL

⋅

⋅−=

−

−⇒−⋅⋅=−⋅⋅ (31)

La (31) permette di determinare il punto Ti - Hi, a partire da TL - H, tracciando da quest’ultimo una retta con pendenza pari a (hL·a/kY·a) e determinando la sua intersezione con la curva di equilibrio, come mostra la Figura 5. Il termine (hL·a) >> (kY·a), per cui Ti è circa pari a TL ed il punto Hi-Ti si può determinare direttamente dall’intersezione della curva di equilibrio con la retta verticale per il punto TL - H. Per calcolare numericamente l’integrale della (26), va diviso l’intervallo TL,in- TL,fin in un certo numero di parti ∆TL e si valutano i valori di ∆H = (L/G)·∆TL; per ogni intervallo ∆TL si trova il punto medio e si traccia una retta verticale fino a intersecare la curva di equilibrio, determinando Hi e si legge sul diagramma la differenza Hi – H. Tenendo presente che la retta di lavoro ha equazione:

( )fin,LLin TTG

LHH −+= (32)

e combinandola con la (27) si ottiene:

2L3L2fin,Lin1i TkTk

G

LT

G

LHkHH ⋅+⋅

+−⋅+−=− (33)

Nel caso di acqua (cL = 1 kcal/kg°C), la (28) diventa:

LdTG

LdH ⋅= (34)

Il numero di unità di trasferimento a secondo membro della (26) si può quindi calcolare come:

( )( ) ( )[ ]∫ ∫ ⋅+⋅+−⋅+−

⋅=

−=

fin

in

in,L

fin,L

H

H

T

T 2L3L2fin,Lin1

L

iY TkTkGLTGLHk

dTGL

HH

dHN (35)

L’integrale si può calcolare per via numerica, suddividendo l’intervallo TL,in - TL,fin in un certo numero di parti ∆TL.

Determinazione della temperatura dell’aria L’andamento della temperatura dell’aria si può ottenere eliminando la portata dell’aria secca G dalle relazioni (18) e (25):

Gi

i

Gi

i

Gi

i

G

sY

G TT

HH

TT

HH

Le

1

TT

HH

ah

cak

dT

dH

−

−≅

−

−⋅=

−

−⋅

⋅

⋅⋅= (36)

Integrando la (36) si ottiene l’andamento della temperatura dell’aria; si parte dal punto di coordinate TG,in - Hin e lo si congiunge con quello di coordinate Ti- Hi (che è sulla verticale di TL,fin - Hin, come già visto): il primo tratto della retta così ottenuta è tangente alla curva di H in funzione di TG (36). Si prende quindi su questa retta un nuovo punto TG – H, molto vicino al precedente, confondendo la curva con la sua tangente: la costruzione si ripete fino a raggiungere le condizioni del gas all’uscita della colonna, ossia il valore di entalpia Hfin. L’andamento della temperatura dell’aria può essere anche ricavato dalle equazioni (33-34) che, inserite nella (36) portano alla:

9

( ) ( )( ) ( )[ ] 2

L3L2fin,Lin1

GL

L

G

TkTkGLTGLHk

TTGL

dT

dT

⋅+⋅+−⋅+−

−⋅= (37)

che va integrata per via numerica. La temperatura iniziale del gas può essere superiore od inferiore a quella del liquido: in quest’ultimo caso all’interfacies si verifica la situazione rappresentata in Figura 6.

Figura 6. Andamenti di temperatura e umidità nel caso TG > TL

I flussi di calore sensibile, relativi sia al gas che al liquido, sono diretti nella stessa direzione, ossia verso il gas, e sono bilanciati dal flusso di calore dovuto all’evaporazione; in altre parole, dqGs nella (22) è negativo. È tuttavia possibile ottenere un raffreddamento dell’acqua anche se l’aria entrante è più calda dell’acqua stessa, poiché, per il trasferimento interessa la temperatura all’interfaccia e non quella della massa gassosa. Dato che sull’interfacies si realizzano condizioni di equilibrio, la temperatura controllante il processo è quella di saturazione che, per il sistema aria-acqua, coincide con quella di bulbo umido. Calcolo dell’altezza delle unità di trasferimento L’altezza dell’unità di trasferimento, HY, è funzione di G, portata specifica dell’aria secca, riferita alla sezione di passaggio, e di kY·a, termine relativo al trasferimento di materia:

ak

GH

YY

⋅= (38)

Per valutare la portata specifica del gas occorre conoscere la sezione della torre: il criterio in base a cui questa viene fissata è quello di mantenere sufficientemente basse le perdite di carico. Considerazioni di carattere economico, svolte per altezze di riempimento comprese tra 3.5 e 12 m, portano a valori di portata specifica compresi o tra 10000 e 7000 kg/m2h, con una variazione di G praticamente lineare con l’altezza del riempimento. Il termine relativo al trasferimento di materia kY·a è correlato con (L/G) o con G. In letteratura esistono pochi dati per i tipi di riempimento impiegati nelle torri di raffreddamento: per listelli di legno di sezione 50 mm x 10 mm, disposti con passo 50 mm, si ha:

75.0Y G72.6ak ⋅=⋅ (39)

con G espresso in kg/m2h e kY·a espresso in kg/m h. Calcolo delle perdite di carico Le perdite di carico incontrate dall’aria in una torre di raffreddamento sono dovute principalmente all’attraversamento del riempimento; vi sono poi termini relativi alle modalità di ingresso e uscita dell’aria, alle variazioni di direzione, ecc.; le espressioni finali sono piuttosto complicate e dipendono dalla velocità del gas e dalle caratteristiche e dall’altezza del riempimento. Nel caso dei listelli di cui sopra, le perdite di carico dell’aria si possono valutare con la:

Gas Liquido

interfacies

TG

Y Yi

TL Ti

10

G

2G

g2

u)5z10(p ρ⋅

⋅⋅+⋅=∆ (40)

Le perdite di carico ∆p sono espresse in mm di colonna d’acqua (1 mm c.a. = 10 Pa) e sono funzione dell’altezza della torre z, espressa in m, della velocità di passaggio del gas, uG, espressa in m/s, e della densità del gas ρG, espressa in kg/m3. Note le perdite di carico e la portata gassosa totale, ossia quella di aria umida, è possibile calcolare la potenza P del ventilatore, in caso di tiraggio forzato della torre:

η

∆⋅=

pQP (41)

dove P è la potenza espressa in kW, Q la portata volumetrica dell’aria umida espressa in m3/s, ∆P sono le perdite di carico espresse in Pa ed η è il rendimento, pari a circa 0.6 - 0.7. Considerazioni di progetto La temperatura minima che può raggiungere l’acqua è pari alla temperatura di saturazione adiabatica dell’aria (o alla sua temperatura di bulbo umido, che coincide con la precedente). Ciò ha due conseguenze: la prima che non è possibile raffreddare l’acqua a piacimento e la seconda che l’entità del raffreddamento stesso dipende dalla umidità e temperatura dell’aria. Per il raffreddamento dell’acqua sono necessarie grosse portate di aria, prelevata direttamente dall’ambiente: le sue condizioni non si mantengono quindi costanti ma variano sia durante il giorno che nel corso dell’anno. La situazione peggiore dal punto di vista dell’entità del raffreddamento realizzabile si verifica con temperatura ed umidità relativa alte, per cui ne consegue che le giornate più critiche sono quelle estive più umide. Per realizzare una torre in grado di raffreddare la portata prevista di acqua in qualunque condizione dell’aria ambiente, occorrerebbe progettarla facendo riferimento alle condizioni peggiori, ossia alla massima temperatura di bulbo umido che si può verificare nella località dove sorge l’impianto. Una torre progettata con questo criterio, risulterebbe, tuttavia, eccessivamente sovradimensionata per le condizioni di aria ambiente che si verificano durante la maggior parte dell’anno, con notevole aggravio economico. Un buon compromesso è dimensionare la torre riferendosi alla temperatura di bulbo umido al 5% : questa è la temperatura di bulbo umido dell’aria che, nella località dove è situato l’impianto, viene superata solo nel 5% delle ore del periodo compreso tra giugno e settembre. Una torre dimensionata con questo criterio, è quindi in grado di assicurare il raffreddamento desiderato quasi sempre, ossia in tutti i mesi dell’anno e nel 95% delle ore più calde del periodo estivo. Una volta fissato il valore di progetto della temperatura di bulbo umido, occorre fissare anche la temperatura finale dell’acqua: questa deve essere superiore a quella di bulbo umido e tra le due viene di solito stabilito un salto termico di 2 - 6°C. Come già detto, a temperatura finale dell’acqua può essere inferiore a quella di ingresso dell’aria, dato che il processo è regolato dalla temperatura di bulbo umido e non da quella della massa gassosa. Considerazioni costruttive Le torri di raffreddamento dell’acqua appartengono alla categoria delle apparecchiature a riempimento, ma la loro tipologia costruttiva è particolare. Le portate trattate, sia di acqua che di aria, sono infatti molto forti ed una colonna a riempimento di tipo tradizionale comporterebbe perdite di carico molto grandi, ossia costi eccessivi per permettere all’aria di attraversare la torre. Per questa ragione si impiega un riempimento che presenta notevoli spazi vuoti, anche se il contatto gas-liquido così realizzato è meno efficiente: in particolare si utilizzano grigliati di legno, plastica o metallo formati da listelli a sezione rettangolare o sagomati in modo particolare (Figura 7). Se si utilizzano grigliati in legno, questo va preliminarmente trattato per essere meno soggetto ai danni causati dall’umidità e più resistente all’attacco di parassiti, muffe ed alghe.

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Figura 7. Riempimenti utilizzati per le torri di raffreddamento dell’acqua

In conseguenza della tipologia del riempimento anche la forma costruttiva delle torri di raffreddamento è diversa da quella delle colonne gas-liquido. Esse sono infatti formate da un involucro a sezione circolare, quadrata o rettangolare immerso in una vasca, al di sopra della quale è posto il riempimento. L’acqua da raffreddare entra dall’alto, si distribuisce sul riempimento e si raccoglie nella vasca: il prelievo ed il rimbocco dell’acqua sono fatti nella vasca stessa. L’aria può attraversare la torre in vario modo (Figura 8): il tiraggio può essere naturale, forzato o indotto.

Figura 8. Tipologie di torri di raffreddamento dell’acqua

Nelle torri a tiraggio naturale la forza ascensionale è dovuta alla differenza di densità tra l’aria uscente, più calda ed umida, e quella ambiente: il funzionamento della torre è quindi fortemente influenzato dalle condizioni ambientali. Le torri a tiraggio naturale (Figura 9) sono di grosse dimensioni, con diametri di base fino a 60 m ed altezze fino a 90 m: il loro profilo ha un andamento iperbolico ed il diametro in testa è poco più della metà di quello di base. Nelle torri a correnti incrociate l’aria passa attraverso l’acqua che cade e il riempimento è all’esterno della torre; nelle torri in controcorrente l’aria sale attraverso l’acqua che cade e il riempimento è all’interno della torre. Il funzionamento di queste torri è economico, in quanto mancano i ventilatori, ma sono poco adottate per gli alti costi di installazione dovuti sia alle loro dimensioni che alla realizzazione del profilo iperbolico, richiesto per migliorare il tiraggio.

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Figura 9. Torri a tiraggio naturale: a) correnti incrociate; b) controcorrente

Nelle torri a tiraggio forzato il movimento dell’aria è assicurato da ventilatori, posti alla base, che la spingono attraverso il riempimento. La forma dell’involucro è parallelepipeda, dato che il tiraggio è assicurato meccanicamente, e l’ingombro è notevolmente inferiore rispetto a quelle a tiraggio naturale, dato che la maggiore velocità dell’aria favorisce il trasferimento di materia e di calore. Il consumo energetico è però molto maggiore che nelle torri a tiraggio naturale: infatti, oltre alle pompe per l’acqua sono presenti i ventilatori. Questi trattano aria ambiente e non hanno grossi problemi di corrosione, ma il loro rendimento non è elevato, perché, data la bassa velocità con cui l’aria esce dalla torre, parte dell’aria calda in uscita può essere aspirata nuovamente dal ventilatore. Le torri a tiraggio indotto (Figura 10) sono forse le più usate nella pratica: anche in questo caso sono presenti ventilatori, che funzionano però in aspirazione e sono posti in alto.

Figura 11. Torre a tiraggio indotto

La forma della torre è ancora parallelepipeda: nella parte più bassa della torre sono realizzate delle feritoie attraverso cui entra l’aria e in alto, prima dei ventilatori, sono installate reti snebbianti che bloccano le goccioline di liquido trascinate dall’aria uscente. L’aria in uscita è umida e occorre

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proteggere i ventilatori dalla corrosione; il loro rendimento è però migliore di quelli delle torri a tiraggio forzato dato che l’aria in uscita ha velocità maggiore e quindi minori probabilità di ricircolare attraverso la torre. Quando le portata di acqua da trattare sono elevate, come spesso accade, si dispongono più unità affiancate tra loro, come mostra la Figura 11.

Figura 11. Torri a tiraggio indotto

Nel caso di tiraggio forzato o indotto la portata di aria trattata dai ventilatori viene variata modificando l’inclinazione delle pale oppure il numero di giri del ventilatore. Considerazioni operative Le torri di raffreddamento, una volta costruite, si trovano ad operare in condizioni generalmente diverse da quelle di progetto. Esaminiamo ora brevemente cosa accade in alcuni casi pratici. − Portata dell’acqua diversa da quella di progetto

Al variare della portata liquida occorre variare corrispondentemente anche la portata di aria per cercare di mantenere il valore del rapporto L/G il più possibile prossimo a quello di progetto. Questo, tuttavia, non assicura che le condizioni di uscita siano quelle previste: infatti l’altezza delle unità di trasferimento, HY, dipende, in generale, dal valore assunto dalla portata gassosa. Talvolta non è possibile mantenere costante il rapporto L/G, ad esempio perché il ventilatore non è in grado di fornire la portata d’aria occorrente: in questo la temperatura finale dell’acqua va calcolata in base al mutato valore del rapporto L/G.

− Temperatura dell’acqua diversa da quella di progetto Al variare della temperatura dell’acqua occorre variare la portata dell’aria per mantenere le condizioni di uscita desiderate: in particolare occorre aumentarla se la temperatura dell’acqua aumenta e diminuirla se essa diminuisce. In prima approssimazione si può considerare che NY rimanga costante e ricavare per tentativi il rapporto (L/G) con le nuove condizioni iniziali dell’acqua; occorre poi tener conto anche le variazioni di HY legate al nuovo valore della portata gassosa.

− Temperatura di bulbo umido dell’aria più bassa Questo si verifica, ad esempio, nella stagione invernale. Se si desidera mantenere la temperatura di uscita dell’acqua al valore prefissato, è sufficiente aumentare il rapporto L/G, ossia diminuire la portata dell’aria. Al contrario si può operare mantenendo costante il rapporto L/G: in questo caso l’acqua in uscita sarà più fredda di quanto previsto in sede di progetto.

− Temperatura di bulbo umido dell’aria più alta Questo si verifica, statisticamente, nel 5% delle ore del periodo estivo e, comunque, nelle giornate più calde ed umide. Anche in questo caso per mantenere lo stesso valore di temperatura di uscita dell’acqua occorre variare il rapporto L/G. Se la portata d’aria non può essere aumentata nella misura necessaria, l’acqua uscirà più calda di quanto previsto in fase di progetto.

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Esercizio 1 Una certa quantità di acqua deve essere raffreddata da 40 a 25°C, mediante evaporazione parziale; determinare la percentuale di acqua da vaporizzare. Dati: cw = 0.45 kcal/kg°C, CL = 1 kcal/kg C, λ0 = 597 kcal/kg Riferendoci a 100 kg di acqua iniziale, e indicando con V la quantità incognita di acqua che vaporizza, si scrive il bilancio entalpico:

( )finw0finLinL TcVTc)V100(Tc100 ⋅+λ⋅+⋅⋅−=⋅⋅

( )2545.0597V251)V100(401100 ⋅+⋅+⋅⋅−=⋅⋅ � V603V2525004000 ⋅+⋅−=

Da cui si ottiene

%6.2)25603(

1500V =

−=

Esercizio 2 Determinare l’umidità assoluta, l’umidità a saturazione, l’umidità relativa, umidità percentuale, il calore specifico umido e l’entalpia riferita a kg di aria secca riferiti ad aria umida che si trova a 60°C e ad una temperatura di bulbo umido di 37.5°C. Per svolgere l’esercizio si utilizza il diagramma psicrometrico.

Per individuare il punto rappresentativo dell’aria umida in esame si parte dal punto 1 (Figura 12) di ascissa T = 37.5°C posto sulla curva di saturazione (100 % di umidità relativa) e ci si sposta quindi lungo la retta di temperatura di bulbo umido che passa per Tw = 37.5°C, arrestandosi in corrispondenza dell’ascissa T = 60°C (punto 2): questo è il punto rappresentativo dell’aria umida. Il valore di umidità assoluta si legge sulla scala delle ordinate: Y ≅ 0.03 kg acqua/ kg aria secca. Spostandosi dal punto 2 in verticale fino ad intersecare la curva di saturazione (punto 3) si legge il valore dell’umidità a saturazione sulla scala delle ordinate: YS ≅ 0.148 kg acqua/ kg aria secca. Il punto 2, rappresentativo dell’aria umida, è posto tra le curve di umidità relativa 20 e 30%, in prossimità della prima: la corrente d’aria in esame ha quindi YR pari al 22 % circa. L’umidità percentuale è pari al rapporto tra quella assoluta e quella a saturazione, ossia

%3.20203.0148.0

03.0Yp === .

1

2 4

3

15

Per determinare il calore specifico umido ci si sposta dal punto 2 lungo l’orizzontale (ossia a parità di umidità assoluta) fino a incontrare la retta del calore specifico umido (punto 4). Il valore del calore specifico umido si legge sulla scala orizzontale superiore: cs ≅ 0.251 kcal/kg aria secca°C. Per calcolare l’entalpia dell’aria umida, riferita a kg di aria secca, si prende come riferimento la temperatura di 0°C, aria secca ed acqua liquida:

Esercizio 3 Si deve dimensionare una torre di raffreddamento per trattare 800 m3/h di acqua industriale che si trovano a 50°C. Per l’aria, nelle condizioni superate solo nel 5% delle giornate estive, La temperatura di bulbo umido è pari a 22.5°C e la temperatura di bulbo secco a 30°C. Si determinano anzitutto l’umidità e il calore specifico dell’aria dal diagramma psicrometrico, come visto nell’esercizio precedente: Y = 0.015 kg acqua/kg aria secca e cs = 0.244 kcal/kg aria secca. Con questi valori si valuta l’entalpia specifica dell’aria entrante:

casecariakg/kcal28.16015.059730244.0YTcH 0in,Gsin =⋅+⋅=⋅λ+⋅=

Data la temperatura di bulbo umido dell’aria entrante, si fissa un valore leggermente superiore per la temperatura dell’acqua uscente: TL,fin = 26°C. Si calcola quindi il valore di (L/G)max dalla (30):

( )

( ) 613.1286.1260826.0)28.1693.23(1692.0654.1286.1260846.0

kTk2)Hk(k4kkTk2G

L

2

2fin,L3in1322

22fin,L3

max

=−⋅+−⋅+−−⋅=

=−⋅⋅+−⋅⋅+−−⋅⋅=

Si fissa un valore di (L/G) operativo pari alla metà di quello massimo: L/G = 0.807. Si suddivide l’intervallo TL,in – TL,fin in 8 parti uguali, ognuna di ampiezza ∆TL pari a 3°C e si calcola la funzione a denominatore dell’integrale (35) in corrispondenza del punto centrale di ogni intervallo. TL (°C) 27.5 30.5 33.5 36.5 39.5 42.5 45.5 48.5 Hi-H (kcal/kg aria secca) 3.06 4.15 5.99 8.59 11.96 16.08 20.97 26.62 Si calcola quindi il numero di unità di trasferimento:

616.23807.062.26

1

97.20

1

08.16

1

96.11

1

59.8

1

99.5

1

15.4

1

06.3

1

TG

L

HH

1N L

iY

=⋅⋅

+++++++=

=∆⋅⋅−

=∑

L’entalpia finale dell’aria Hfin è pari a:

( ) casecariakg/kcal65.35TTG

LHH fin,Lin,Linfin =−⋅+=

L’altezza delle unità di trasferimento, HY, si calcola con la (38), ipotizzando di utilizzare una torre a tiraggio indotto contenente listelli di legno, per cui sia valida la relazione (39). Combinando le due relazioni si ottiene:

72.6

GH

25.0

Y =

II valore di G (portata specifica dell’aria secca) dipende dalla sezione di passaggio, incognita. Ipotizzando che la torre non sia molto alta, si assume G = 9000 kg/m2h. La portata di aria secca, è data da:

casecariakg/kcal97.3259703.060251.0YTcH 0s =⋅+⋅=λ⋅+⋅=

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h/kg991300807.0

800000

GL

ww L

G ===

Una prima stima della sezione di passaggio è perciò:

2G m1109000

991300

G

wS ===

Fissiamo per semplicità una sezione quadrata 10 m x 10 m, pari a 100 m2: il valore di G risulta:

hm/kg9913100

991300

S

wG 2G ===

Con questo valore di G si ottiene:

m485.172.6

9913

72.6

GH

25.025.0

Y ===

e quindi l’altezza della colonna:

m9.362.2485.1NHz YY =⋅=⋅=

Dato che valori di G prossimi a 10 000 kg/m2h sono caratteristici di colonne intorno ai 3.5 m di altezza la sezione di passaggio scelta sembra corretta. Si può calcolare la temperatura di uscita dell’aria con l’espressione (37), che si può riscrivere nella forma:

( )[ ] 2LLfin,Lin

LL

GL

G

T00423.0T286.1GLT)GL(H93.23

T

G

L

f

T

G

L

TT

T

⋅+⋅+−⋅+−

∆⋅=

∆⋅=

−

II calcolo si esegue a partire dai valori TL,fin e TG,in, valutando il nuovo valore di TG, per ogni intervallo ∆TL fissato, dai valori di f, TL e TG relativi all’intervallo precedente; maggiore accuratezza si otterrebbe integrando con metodi numerici (ad esempio, quello di Runge Kutta). Fissato ∆TL = 3°C si ottiene: TL (°C) 26 29 32 35 38 41 44 47 50 TG (°C) 30.00 26.55 28.24 30.07 31.73 33.22 34.57 35.81 36.95 Noto il valore della temperatura di uscita dell’aria, 36.95°C e della sua entalpia Hfin = 35.65 kcal/kg aria secca, si può calcolare l’umidità dell’aria uscente:

( ) 65.35Y59795.36)Y45.024.0(YTYccH finfinfin0fin,Gfinwafin =⋅+⋅⋅+=⋅λ+⋅⋅+=

da cui si ricava il valore di Yfin = 0.0436 kg acqua/ kg aria secca. Per il calcolo delle perdite di carico occorre stimare la densità dell’aria, facendo riferimento alle condizioni di umidità e temperatura medie tra ingresso e uscita. L’umidità media è Ym = 0.0293 kg acqua/kg aria secca, per cui il peso molecolare medio dell’aria umida Mau è:

kmol/kg504.28

180293.0

291

0293.01

M

Y

M

1Y1

M

w

m

a

mau =

+

+=

+

+=

La temperatura media è TGm = 33.5°C = 306.7 K. Applicando la legge dei gas perfetti si valuta la densità media dell’aria umida:

3

Gm

auG m/kg132.1

7.3060821.0

1504.28

TR

PM=

⋅

⋅=

⋅

⋅=ρ

La velocità media del gas uG nella sezione di passaggio è pari a:

17

( ) ( )s/m5.2

132.13600

0293.019913

3600

Y1Gu

G

mG =

⋅

+⋅=

ρ⋅

+⋅=

Le perdite di carico sono quindi pari a:

Pa159OHmm9.1581.92

132.15.2)59.310(

g2

u)5z10(p 2

2G

2G ≅=

⋅

⋅⋅+⋅=

⋅

ρ⋅⋅+⋅=∆

La portata volumetrica di gas è pari a:

( ) ( )s/m250

132.13600

0293.01991300

3600

Y1wQ 3

G

mG =⋅

+⋅=

ρ⋅

+⋅=

e la potenza richiesta dai ventilatori (46) è pari a:

kW25.66W662506.0

159250pQP ==

⋅=

η

∆⋅=

La quantità di acqua evaporata, wL,evap è pari a: h/kg28531991300)015.00436.0(w)YY(w Ginfinevap,L =⋅−=⋅−=

pari a circa il 3.6 % degli 800000 kg/h di acqua trattati. Esercizio 4 Per la torre dimensionata nell’esercizio 3 determinare le condizioni di uscita dell’acqua, supponendo che le portate di acqua e di aria trattate rimangano immutate, e che l’aria ambiente si trovi nelle seguenti condizioni: a) Temperatura 35°C, umidità relativa 70 % ; b) Temperatura 20°C, umidità relativa 40 % . Caso a) Si ricava dal diagramma psicrometrico il valore di Yin = 0.028 kg acqua/kg aria secca, da cui si ottiene sia il valore Hin = 25.56 kcal/kg aria secca che la temperatura di bulbo umido Tw = 30°C. L’altezza z della torre è fissata, come pure HY, dato che non varia la portata gassosa. Dal momento che non varia neanche la portata liquida, il rapporto L/G è quello di progetto: ne consegue che anche il numero delle unità di trasferimento deve rimanere pari a quello di progetto (NY = 2.62). La soluzione si trova quindi determinando per tentativi il valore di TL,fin che, inserito nella (35) insieme al nuovo valore dell’entalpia del gas entrante, mantiene invariato il valore di NY. La temperatura TL,fin deve essere superiore a Tw: si trova per tentativi TL,fin = 31.6°C. Caso b) Operando analogamente al caso a) si trova Yin = 0.006 kg acqua/ kg aria secca e Hin = 8.44 kcal/kg aria secca, Tw = 12.5°C e risulta: TLfin = 16.8°C. Esercizio 5 Per la torre dimensionata nell’esercizio 3, determinare la portata di aria necessaria per raffreddare l’acqua fino a 26°C, quando le condizioni dell’aria ambiente sono le seguenti: a) Temperatura 35°C, umidità relativa 70 % ; b) Temperatura 20°C, umidità relativa 40 % . Caso a) In base all’esercizio 4, la temperatura di bulbo umido dell’aria è Tw = 30°C per cui è impossibile raffreddare l’acqua fino a 26 C.

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Caso b) Le condizioni iniziali dell’aria sono le stesse dell’esercizio 4: Yin = 0.006 kg acqua/ kg aria secca e Hin = 8.44 kcal/kg aria secca, Tw = 12.5°C. Per assicurare che la temperatura di uscita dell’acqua non vari rispetto al caso dell’esercizio 3, nonostante l’aria abbia una temperatura di bulbo umido inferiore, occorre variare il rapporto (L/G): in particolare, va aumentato questo rapporto, dato che sarà sufficiente una portata di aria inferiore. In prima approssimazione si può considerare che HY rimanga costante e trovare per tentativi il rapporto (L/G) che inserito nella (35) fornisce il valore di NY di progetto, pari a 2.62. Il nuovo rapporto (L/G) risulta pari a 1.35, per cui la portata di aria diviene:

( )casecariah/kg592000

35.1

800000

GL

ww L

G ===

Con il nuovo valore di G = wG/S = 5920 kg/m2h si ricalcola l’altezza delle unità di trasferimento (vedi esercizio 3) e si ottiene HY =1.305. L’altezza di riempimento che risulta dal prodotto NY·HY diviene 3.4 m, contro i 3.9 m previsti, per cui occorre iterare l’intera procedura fissando un nuovo valore di NY superiore al precedente. A convergenza si ottiene: NY = 3.06, (L/G) = 1.45, G = 5517 kg/m2h, HY = 1.283 con z = 3.93 m. La portata d’aria è il 55 % circa di quella originaria, le perdite di carico il 30% di quelle originarie e la potenza dei ventilatori il 17% di quella originaria. Per quest’ultima grandezza, tuttavia, occorre ricordare che il rendimento si riduce considerevolmente allontanandosi dalle condizioni di progetto, per cui l’effettiva riduzione della potenza richiesta sarà inferiore. Si può anche pensare di utilizzare più ventilatori (ad esempio 4) e di farne marciare solo alcuni. Esercizio 6 Per la torre dimensionata nell’esercizio 3, determinare la portata d’aria necessaria: a) per assicurare il raffreddamento da 50 a 26°C, quando la portata di acqua aumenta a 900 m /h; b) per assicurare il raffreddamento fino a 26°C quando l’acqua entra nella torre con la portata di progetto ma a 55°C. L’aria ambiente è nelle condizioni previste dal progetto. Caso a) Ipotizzando di mantenere costante il rapporto (L/G), la portata d’aria necessaria nelle nuove condizioni è pari a:

h/kg1115000807.0

900000wG ==

II valore di NY rimane invariato rispetto alle condizioni di progetto, mentre il valore di HY va invece calcolato con il nuovo valore di G = 11150 kg/m2h e risulta pari a 1.529. L’altezza della torre z risulta 4.0 m contro il valore di 3.9 m previsto dal progetto, differenza che sembra accettabile; la portata specifica gassosa, invece supera il valore consigliato (10000 kg/m2h) ed occorre quindi verificare che il ventilatore sia in grado di vincere le perdite di carico. Queste aumentano del 25% circa, mentre la potenza richiesta dai ventilatori aumenta del 42% circa. Caso b) Anche in questo caso si trascura, in prima approssimazione, l’influenza delle variazioni della portata gassosa su HY. Si esegue l’integrazione della (35) per mantenere il valore di NY di progetto al variare del rapporto L/G: in questo caso L è fisso e viene variato solo il valore di G. Per tentativi si trova G = 10150 kg/m2h. Con il nuovo valore di G si calcola HY che risulta pari a 1.494, a dare un’altezza z della torre di 3.92 m, molto prossimo a quello di progetto (3.9 m) e quindi pienamente accettabile. In questo caso le perdite di carico aumentano del 5% circa e la potenza dei ventilatori 7% circa.