Topologija u Fizici - Ivica Smolić, skripta

Topologija i fizika

RADNE BILJEKE

Ivica Smolic, 2013 | prosinac | 17

SVEUCILITE U ZAGREBU

Prirodoslovno-Matematicki fakultet

cbna

Creative Commons licences

Sadraj

Uvod vii

Konvencije ix

1 Osnovni pojmovi 11.1 Topologija na skupu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Baza topologije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Unutranjost, rub i zatvarac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Gomilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Potprostori i relativna topologija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Povezanost i kompaktnost 212.1 Povezanost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Aksiomi separacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Kompaktnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Preslikavanja medu topolokim prostorima 333.1 Neprekidna preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Homeomorfizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Dekonstrukcija topolokih prostora 434.1 Kartezijev produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2 Diskretna unija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3 Kvocijentni prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5 Metricki prostori 49

6 Mnogostrukosti 536.1 Parakompaktnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2 Topoloke i diferencijalbilne mnogostrukosti . . . . . . . . . . . . 556.3 Spojena suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.4 Mnogostrukosti s rubom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.5 Klasifikacije mnogostrukosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7 Tenzori 637.1 Germovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.2 Vektori na mnogostrukostima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.3 Metricki tenzor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.4 Relativisticka kinematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

iii

SADRAJ iv

7.5 Podmnogostrukosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8 Homotopija 738.1 Fundamentalna grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.2 Vie grupe homotopije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818.3 Poincarova hipoteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Intermezzo: Eulerova formula za poliedre 83

9 Homologija 879.1 Simplicijalna homologija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879.2 kompleksi i singularna homologija . . . . . . . . . . . . . . . . 929.3 Struktura grupa homologije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939.4 Veza homologije i homotopije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

10 Diferencijalna geometrija 9710.1 Povlacenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

11 Kohomologija 101

12 Liejeve grupe 103

13 Svenjevi 10513.1 Hopfovi svenjevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10713.2 Grupe homotopija svenjeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10913.3 Matricne diferencijalne forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11013.4 Koneksije na svenjevima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

14 Karakteristicne klase 11314.1 Invarijantni polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11314.2 Chernove klase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11614.3 Chern-Simonsova forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11714.4 Eulerove klase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

15 Cvorovi i karike 119

16 Topoloki defekti 12116.1 Nielsen-Olesenov vrtlog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12216.2 t Hooft-Polyakovljev monopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12416.3 Magnetski monopoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

17 Instantoni 127

18 Kvantne anomalije 12918.1 Odsustvo anomalija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

19 Rjeenja zadataka 131

Dodaci 139

A Skupovi 141

v Sadraj

B Preslikavanja 145

C Struktura dijelova skupova 149

D Grupe 151

E Mnogostrukosti, parakompaktnost i prebrojivost baze 155

F Kvaternioni i oktonioni 157

G Egzaktni nizovi 159

H Bestijarij mnogostrukosti 161

SADRAJ vi

Uvod

Razlika izmedu lokalnih i globalnih pitanja u fizici. Primjer modela atmosfere.Tipovi defekata nastalih prilikom loma simetrije.

No, to je uopce topologija? U geometriji se cesto susrecemo s idealiziranimobjektima, poput sfere ili torusa. Medutim, predmeti iz nae svakodnevnice,poput koarkake lopte i krumpira ili alice s drkom i krafne s rupom prepunisu razlicitih nabora i nijedan od tih predmeta nije savrena sfera ili savrentorus. Pa ipak, geometrijski zor nam govori kako je sferu moguce neprekidnomdeformacijom preoblikovati u koarkaku loptu ili krumpir, a torus u alicu s dr-kom ili krafnu s rupom. S druge strane, naziremo kako objekte iz prve skupinenije moguce preoblikovati u one iz druge skupine bilo kakvom neprekidnom de-formacijom. Pitanje je kako precizno opisati ove kvalitativne razlike, odnosnokako precizno opisati temeljnu operaciju neprekidne deformacije.

Topologija je grana matematike koja se bavi neprekidnim preslikavanjima.Iako su ona sastavni dio analize (na Rn, kao i na Cn), u kontekstu topologijenas zanima mnogo ambiciozniji pothvat, primjena neprekidnog preslikavanjana opcenitim skupovima. Kako bi smo uspjeli u tom naumu, valja prvo ogolitidefiniciju neprekidnosti do njenih esencijalnih dijelova. Domena i kodomena sukao skupovi tek amorfne nakupine elemenata, pa ih je potrebno nekako or-ganizirati, odnosno izdvojiti familiju podskupova koji ce igrati ulogu otvorenihskupova (poput onih u definicijama). Odabir ove definicije ne smije biti pre-vie restriktivan (u protivnom ce teorija biti presiromana), te mora biti takavda se neprekidna preslikavanja u slucaju skupa realnih ili kompleksnih brojevasvode na ona uobicajena koja smo susreli u analizi.

Jednom kada imamo opcenitu definiciju neprekidnog preslikavanja, mo-emo zapoceti s razmatranjem razlicitih svojstava organiziranih skupova, tenjihove klasifikacije. Naizgled suhoparan nastavak na teoriju skupova se nakontoga otvara u jednu od najbogatijih grana matematike. Topologija je produbilanae razumijevanje geometrijske pozadine niza fizikalnih fenomena.

Zacetkom topologije obicno se smatra Eulerovo rjeenje tzv. problema Knig-sberkih mostova. Grad Knigsberg lei na ucu rijeke Pregel u Balticko morei u vrijeme Eulera je bio glavni grad Istocne Pruske (njem. Ostpreuen). Na-kon 2. svjetskog rata, 1946. godine je preimenovan u Kalinjingrad i danas jedio ruske eksklave smjetene izmedu Latvije i Poljske. U sreditu grada postoji

vii

UVOD viii

7 mostova koji povezuju obale rijeke i dva rijecna otoka, Kneiphof (na slici oz-nacen slovom B) i Lomse (na slici oznacen slovom D). Euler je 1736. godineobjavio rad Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, . . .

A

B

C

D

A

B

C

D

Slika. a) Shematski prikaz tlocrta Knigsberkih mostova (A i C su desna, odnosnolijeva strana obale rijeke, a B i D su rijecni otoci). b) Graficki, apstraktan prikaz

problema.

Kasnije, u pismu Christianu Goldbachu 1750. godine Euler daje slavnu for-mulu za sfericne poliedre,

V B + S = 2 (1)

gdje je V broj vrhova, B broj bridova, a S broj stranica poliedra. Poliranjedokaza ove tvrdnje i njeno daljnje poopcavanje raslo je s razvojem topologije idanas ga gledamo kao poseban slucaj Gauss-Bonnetovog teorema. Jedan je odprvih matematicara koji je upotrebljavao rijec topologija u njenom suvremenomznacenju bio je Johann Benedict Listing (1802.1882.). Veliki obol pocetnomrazvoju ove grane matematike dali su Riemann, Gauss, Jordan, Betti, Poincar iCantor. No, njen ekplozivan razvoj pocinje u 20 stoljecu . . .

Nakon Gaussovog rada na magnetskim monopolima (veza s brojem pove-zivanja) i Kelvinog modela atoma preko cvorova, prvim modernom primjenomtopologije u fizici obicno se smatra Diracovo otkrice veze izmedu postojanjamagnetskog monopola i kvantizacije elektricnog naboja iz 1931. godine. Odpolovice 20. stoljeca topologija ubrzano prodire u sve pore moderne fizike . . .

Kratak vodic kroz literaturu. Vidi [Nas97]

Konvencije

Kroz tekst se upotrebljava uobicajena jezicna pokrata akko u znacenju akoi samo ako.

U dodacima A i B su izneene osnovne tvrdnje o skupovima i preslikava-njima neophodne za pracenje teorema u topologiji.

Mjestimice se upotrebljavaja rijec familija kao sinonim za rijec skup, uglav-nom kako bi se sintagmom familija skupova izbjegla nespretno ponav-ljanje skup skupova .

Rijec element (skupa) je cesto zamjenjena s rijeci tocka (skupa), iako po-srijedi ne mora biti neki geometrijski skup.

Za skup kaemo da je beskonacan ako ima beskonacno mnogo elemenata.

ix

KONVENCIJE x

1Osnovni pojmovi

1.1 TOPOLOGIJA NA SKUPU

Definicija 1.1. Topoloki prostor je ureden par (X,T ) gdje je X skup, a Tfamilija podskupova skupa X koja zadovoljava sljedeca svojstva

1. X T i T ,2. unija proizvoljnog broja skupova iz T je opet element familije T ,

3. presjek konacno mnogo skupova iz T je opet element familije T .

U argonu kaemo da je familija skupova T zatvorena na proizvoljne unije i ko-nacne presjeke. Skupove O T zovemo otvoreni skupovi, a njihove komple-mente X O zatvoreni skupovi. Skup ne mora biti nuno otvoren ili zatvoren:postoje skupovi koji su i otvoreni i zatvoreni ili oni koji nisu nijedno od to dvoje.Drugim rijecima, skupovi nisu poput vrata, koja uvijek moraju biti otvorenaili zatvorena (ako nije rijec o rotirajucim vratima). Valja uociti kako skupovikoji su istovremeno i otvoreni i zatvoreni (mi cemo ih kratko oslovljavati o/zskupovi) u svakoj topologiji dolaze u paru, A i X A.

Teorem 1.2. Zatvoreni skupovi zadovoljavaju sljedeca svojstva:

1. X i su zatvoreni skupovi2. unija konacno mnogo zatvorenih skupova je zatvoren skup

3. presjek bilo kojeg broja zatvorenih skupova je zatvoren skup

DOKAZ : 1. Slijedi odmah iz definicije. Cijeli skup X i prazan skup su, dakle, o/zskupovi u svakoj topologiji na skupu X.

2. Neka je zadana konacna familija zatvorenih skupova {Ci} s ukupno n N clanova.Svaki skup Ci je po definiciji komplement otvorenog skupa, Ci = X Oi. Upotrebomde Morganovih zakona slijedi

ni=1

Ci =ni=1

(X Oi) = X ni=1

Oi

1

POGLAVLJE 1. OSNOVNI POJMOVI 2

Kako je presjek konacnog broja otvorenih skupova otvoren skup, slijedi traena tvrdnja.3. Neka je zadana proizvoljno velika familija zatvorenih skupova {C}J . Opet,

upotrebom de Morganovih zakona slijediJ

C =J

(X O) = X J

O

Kako je unija proizvoljnog broja otvorenih skupova otvoren skup, slijedi traena tvrdnja.

Primjeri

Na svakom skupu X je moguce zadati dvije jednostavne topologije,a) Trivijalna topologija, T = {, X},b) Diskretna topologija, T =P(X),

gdje jeP(X) partitivni skup skupa X. U prvom slucaju su jedini otvoreniskupovi cijeli X i prazan skup (oni su ujedno i jedini zatvoreni skupoviu ovakvoj topologiji), dok je drugi slucaj suprotan ekstrem, svi podskupoviskupa X su otvoreni, a ujedno i zatvoreni skupovi.

Topologiju moemo zadati na jednostavnim skupovima s konacno mnogoelemenata. Neka je npr. X = {a, b, c}. Tada su

T1 ={, {a}, {a, b}, X} i T2 = {, {b}, {c}, {b, c}, X}

dva primjera topologije na skupu X (lako se provjeri da su zadovoljeniuvjeti iz definicije topologije). S druge strane, familija

T3 ={, {a}, {b}, X}

nije topologija na skupu X jer {a} {b} / T3. Kaemo da je na skupu realnih brojeva R zadana standardna topologija

ako su otvoreni skupovi oni ciju svaku tocku je moguce okruiti otvore-nim intervalom u potpunosti sadranim u tom skupu,

T ={O R | x O > 0 : x , x+ O}

Prema ovoj definiciji sam skup R, kao i prazan skup su otvoreni skupovi.Nadalje, neka je F = {O} neka familija skupova iz gore definirane to-pologije, te neka je x O. Tada postoji O F , takav da je x O ,a stoga i > 0 sa svojstvom da je

x , x+ O

O

Drugim rijecima, skupO je otvoren. Konacno, neka je F = {Oi}

neka konacna familija otvorenih skupova, te neka je x iOi. Tada za

3 1.1. Topologija na skupu

svaki i vrijedi x Oi i postoji i > 0 sa svojstvom x i, x+ i Oi.Ako sada definiramo = min{i}, tada za svaki i vrijedi

x , x+ x i, x+ i Oipa je

x , x+ i

Oi

odakle zakljucujemo da jeiOi otvoren skup.

Na svakom od skupova Rn za n N moemo zadati standardnu topo-logiju, analognu onoj na skupu realnih brojeva R, zamjenom otvorenogintervala x , x+ iz definicije s otvorenom kuglom B(x, ) radijusa sa sreditem u tocki x Rn.

Komentar 1.3. U ostatku teksta, ako izricito nije naglaeno drugacije, podra-zumijeva se da je na skupovima Rn zadana standardna topologija!

Zato je u definiciji otvorenih skupova dozvoljen samo presjek konacnogbroja otvorenih skupova? Pretpostavimo da po definiciji i presjek proizvoljnogbroja otvorenih skupova daje otvoren skup. No, u tom slucaju standarna topolo-gija na skupu realnih brojeva vie ne zadovoljava aksiome topolokog prostora.Na primjer, presjek beskonacne familije otvorenih skupova

A =n=1, 1/n = , 0]

bi trebao biti otvoren skup. Medutim, rubna tocka 0 nema okolinu oblika , sadranu u skupu A, pa prema definiciji otvorenih skupova u standardnoj topo-logiji na R, skup A nije otvoren! Zamjerka ovakvoj alternativnoj definiciji topo-logije na skupu nije u tome to je ona pogrena (to god to znacilo), vec u tomeda je manje upotrebljiva (za pocetak, ne opisuje standardne otvorene skupovena skupu realnih brojeva).

Moe li se ipak dogoditi da je presjek beskonacno mnogo otvorenih skupovaotvoren skup? Odgovor je afirmativan. Neka je (X,T ) topoloki prostor i A T neki otvoren skup. Tada je presjek beskonacno mnogo kopija tog istog skupaopet skup A, koji je po pretpostavci otvoren. No, moemo li imati beskonacnomnogo razlicitih otvorenih skupova ciji je presjek opet otvoren skup? Odgovorje opet afirmativan. Uzmimo na primjer skup realnih brojeva sa standardnomtopologijom i familiju otvorenih skupova

F ={ n, n | n N}

Presjek skupova u ovoj familiji je otvoren skup 1, 1.

Na istom skupu je opcenito moguce zadati zadati barem dvije razlicite to-pologije, trivijalnu i diskretnu (izuzeci su prazan skup i skup sa samo jednim


elementom). Pretpostavimo da smo na skupu X zadali topologije T i T . Akovrijedi T T tada kaemo da je topologija T grublja od T , odnosno da jetopologija T finija od T . Topologije, medutim, nije uvijek moguce usporedi-vati na ovaj nacin. Uzmimo jednostavan primjer skupa X = {a, b, c} i nekolikotopologija na njemu, npr.

T1 ={, X} , T2 = {, {a}, X} , T3 = {, {b}, X} ,

T4 ={, {a}, {b}, {a, b}, X}

Ovdje je T1 grublja, a T4 je finija od svake od preostale tri topologije, ali T2 iT3 su medusobno neusporedive topologije.

Teorem 1.4. Neka je {T} familija topologija na skupuX. Tada je i njihov presjekT topologija na skupu X, ali njihova unija

T to ne mora biti.

DOKAZ : a) Prije svega, u presjekuT se nalaze X i jer su oni clanovi svake

topologije. Ako su neki otvoreni skupovi Oi clanovi presjekaT, tada je svaki od njih

element svake topologije T. To znaci da su i njihova unijaiOi i presjek

iOi (za

konacan broj skupova Oi) clanovi svake topologije, odnosnoiOi

T i

iOi

T.b) Uzmimo na primjer skup X = {a, b, c} i dvije topologije definirane na njemu,

T1 ={, {a}, X

}i T2 =

{, {b}, {b, c}, X

}.

Njihova unija T1 T2 ={, {a}, {b}, {b, c}, X

}nije topologija na X jer {a} {b} =

{a, b} / T1 T2.

1.2 BAZA TOPOLOGIJE

Definicija 1.5. Familija skupova B je baza (neke topologije) na skupu X akozadovoljava svojstva

1. Svaka tocka x X sadrana je barem u jednom skupu B B, i2. Za svaku tocku x B1 B2, gdje su B1, B2 B, postoji skup B3 B za

koji vrijedi x B3 B1 B2.Prvo svojstvo nam govori da familija B pokriva skup X, a drugo da je presjeksvaka dva clana baze unija nekih clanova baze.

Kaemo da je topologija na skupu X generirana bazom B ako je definiranatako da je skup O X otvoren ako mu je svaka tocka sadrana u elementu bazekoji je sam sadran u skupu O,

TB ={O X | x O B B : x B O} (1.1)

Iz definicije odmah slijedi da su u topolokom prostoru (X,TB) svi elementibaze B otvoreni skupovi.

5 1.2. Baza topologije

Sada cemo dokazati da ovako definirana familija skupova TB uistinu cinitopologiju na skupu X. Prazan skup trivijano zadovoljava svojstvo otvorenosti.Skup X je otvoren jer je svaki x X, po definiciji baze, element nekog clanabaze, x B X. Nadalje, promotrimo indeksiranu familiju skupova {O}Jiz TB. Treba pokazati da je njihova unija,

V =J

O

takoder element familije TB. Za svaki x V postoji , takav da je x O, akako je O TB, postoji B B, takav da je x B O. No, to znaci i da jeB V , pa je po definiciji V TB. Nadalje, promotrimo presjek dva otvorenaskupa, O1, O2 TB. Za svaki x O1 O2 po definiciji postoje B1, B2 B,takvi da je

x B1 O1 i x B2 O2Prema definiciji baze postoji i B3 B, takav da je

x B3 B1 B2 O1 O2 ,pa je O1 O2 TB. Zatvorenost familije skupova TB na konacne presjekeslijedi indukcijom.

Primjeri

Diskretna topologija na skupu X generirana je bazom koja se sastoji odsvih jednoclanih podskupova skupa X.

Na skupu realnih brojeva imamo tri klasicna primjera topologija generira-nih navedenim bazama,

a) standardna topologija,

B ={ a, b | a, b R , a < b}

b) odozdo granina topologija (R`),

B ={

[a, b | a, b R , a < b}c) K-topologija (RK),

B = B {a, b K | a, b R , a < b} , K = {1/n | n N} Standarna topologija na Rn generirana je, primjerice, bazom koja se sas-

toji od otvorenih kugli.

Ureajna topologija na totalno uredenom skupu (X,


Na primjer, standardna topologija na R je uredajna topologija za uobi-cajeni uredaj na R. Uredajna topologija na N podudara se s diskretnomtopologijom.

Zanimljivo je sljedece prakticno pitanje: ako je zadan topoloki prostor (X,T ),kada je neka familija skupova baza upravo ove topologije, T ? Odgovor namdaju naredni teorem s popratnom lemom.

Lema 1.6. Neka je X skup i B baza topologije T na skupu X. Tada je T jednakfamiliji svih unija elemenata baze B.

DOKAZ : Svaki element baze B B je ujedno element topologije, B T , pa je svakaunija elemenata baze po definiciji topologije opet element familije T . Obratno, za svakielement x O otvorenog skupa O T postoji element baze, Bx B, takav da jex Bx O, pa je

O =xO

Bx

Drugim rijecima, svaki otvoren skup moe se prikazati kao unija skupova iz B, no ovajrastav ne mora nuno biti jedinstven!

Teorem 1.7. Neka je (X,T ) topoloki prostor. Familija otvorenih skupova A uX je baza topologije T akko za otvoren skup O T i svaki x O postoji skupAx A za koji vrijedi x Ax O.

DOKAZ : Pretpostavimo da je A baza topologije T i promotrimo neki otvoren skupO T . Prema Lemi 1.6 znamo da je O moguce prikazati kao uniju skupova iz baze,

O =

A , A A

Svaka tocka x O je sadrana u barem jednom skupu iz gornje unije, npr. x A1,pa je x A1 O. Obratno, pretpostavimo da je A familija skupova koja zadovoljavasvojstvo iz tvrdnje. Prvo valja pokazati da A zadovoljava svojstva baze. Kako je X T ,po pretpostavci za svaki x X postoji Ax A, takav da je x Ax. Nadalje, kako suelementi familije A otvoreni skupovi, za svaki par A1, A2 A presjek A1A2 je otvorenskup, pa po pretpostavci postoji A3 A, takav da je x A3 (A1 A2). Konacno,trebamo pokazati da je topologija T koju generira baza A upravo jednaka topologiji T .Prema Lemi 1.6 znamo da je svaki O T moguce napisati kao uniju skupova iz A. No,kako po pretpostavci svaki element baze A pripada familiji T , slijedi da je i O T . Sdruge strane, ako je O T , po pretpostavci za svaki x O postoji Ax A, takav da jex Ax O. To znaci da je

O =xO

Ax T

cime je dokazana tvrdnja.

Naredni teorem pokazuje kako je topologije moguce usporediti promatra-njem medusobnog odnosa pripadnih baza.

7 1.2. Baza topologije

Teorem 1.8. Neka su B i B baze topologija T i T na skupu X. Tada je T

finija od T akko za svaki x X i svaki element baze B B koji sadri x postojielement baze B B, takav da x B B.

DOKAZ : Neka je T finija od T , te neka je dan x X i B B, takav da je x B. Popretpostavci je B T , no to znaci i da postoji B B, takav je x B B. Obratno,pretpostavimo da za svaki x X i svaki element baze B B koji sadri x postojielement baze B B, takav da x B B. Za dani element O T elimo pokazatida je ujedno O T . Neka je x O; tada postoji B B, takav da je x B O. No, popretpostavci onda postoji element B B takav da je x B B; tada je x B O,pa je po definiciji O T .

Na primjer, svaka od gore definiranih baza B i B na skupu R definira finijutopologiju od standardne baze B, ali su njihove topologije medusobno neuspo-redive. Takoder, valja uociti kako standardnu topologiju na npr. R2 moemogenerirati i s bazom koja se sastoji od elipsa bez ruba, kao i s bazom koja sesastoji od pravokutnika bez ruba. Naime, svaka tocka unutar kruga bez rubasadrana je u elipsi bez ruba (kao i u pravokutniku bez ruba) koja je podskuptog kruga i analogno za sve parove elemenata ove tri baze, kao to je ilustriranosljedecim crteom,

Primjer: Skupovi racionalnih i iracionalnih brojeva

Kakvi su skupovi racionalnih i iracionalnih brojeva brojeva na skupu realnihbrojeva R sa standardnom topologijom? Tvrdimo da nisu niti otvoreni niti za-tvoreni skupovi. Kada bi skup racionalnih brojeva Q bio otvoren, tada bi zasvaki q Q i okolinu Oq Q postojao element baze Bq = x, x+ , takav da jeq Bq Oq. Medutim, skup Bq sadri po jedan iracionalan broj oblika s+z/2za svaki iracionalan broj s RQ i neki cijeli broj z Z, pa Bq nije podskup odQ. Analognim zakljucivanjem moemo dokazati i da skup iracionalnih brojevaRQ nije otvoren. Odavde odmah slijedi i da niti jedan od njih nije zatvoren.

Primjer: Topoloki dokaz u teoriji brojeva

Izraelski matematicar Hillel Frstenberg ponudio je 1955. godine topoloki do-kaz beskonacnosti skupa prostih brojeva (H. Frstenberg: On the infinitude ofprimes, The American Mathematical Monthly, 62, 5 (1955) 353). Ideja polaziod zadavanja specificne topologije na skupu cijelih brojeva Z, pomocu baze kojucine aritmeticki nizovi,

B ={S(a, b) = aZ+ b | a, b Z , a 6= 0} (1.2)


Lako se provjeri da B zadovoljava svojstva baze:

svaki x Z je clan jednog aritmetickog niza, x S(x, 0), promotrimo x S(a1, b1) S(a2, b2), te neka je c najmanji zajednicki

viekratnik brojeva a1 i a2; tada je S(c, x) S(a1, b1) i S(c, x) S(a2, b2),odakle slijedi S(c, x) S(a1, b1) S(a2, b2).

Nadalje, valja izdvojiti dva vana svojstva ove topologije:

1. neprazan konacan skup ne moe biti otvoren (jer su elementi baze besko-nacni skupovi), drugim rijecima, komplement konacnog skupa ne moebiti zatvoren;

2. sami elementi baze B su o/z skupovi jer se njihovi komplementi mogunapisati kao unije aritmetickih nizova,

Z S(a, b) =a1j=1

S(a, b+ j)

Koritenjem ovih informacija moemo dovriti dokaz. Jedini cijeli brojevi kojinisu viekratnici prostih brojeva su 1 i +1,

Z { 1,+1} = prost p

S(p, 0)

S lijeve strane se nalazi komplement konacnog skupa, pa on ne moe biti zatvo-ren. Ako pretpostavimo da prostih brojeva ima konacno mnogo, s desne stranejednakosti imamo konacnu uniju o/z skupova, pa prema tome zatvoren skup,to je kontradikcija!

1.3 UNUTRANJOST, RUB I ZATVARAC

Definicija 1.9. Ako otvoren skup O sadri tocku x, tada kaemo da je skup Ookolina tocke x. Mi cemo koristiti oznaku Ox za skup koji je okolina tocke x (izkonteksta je uvijek jasno da li je posrijedi indeks skupa ili oznaka tocke cija jetaj skup okolina).

Definicija 1.10. Neka je (X,T ) topoloki prostor. Svakom skupu A X defi-niramo

Unutranjost A ={x X | Ox : Ox A

}Rub A =

{x X | Ox : Ox A 6= Ox (X A) 6=

}Zatvara A = A A

9 1.3. Unutranjost, rub i zatvarac

Iz gornjih definicija odmah slijedi da je

X = X = X , X = i = = = (1.3)

Takoder, odmah vidimo da opcenito vrijedi

A A A (1.4)

Naime, za svaki x A postoji okolina Ox A, pa je x A, odakle slijediA A. Nadalje, za svaki x A, svaka okolina Ox sijece skup A (barem u tockix), pa je x A i stoga A A.

Definicije ruba skupa i ruba njegovog komplementa su identicne, pa za svakiskup A X vrijedi A = (X A). Nadalje, unutranjost i rub bilo kojegskupa A X, kao i unutranjost komplementa tog skupa su uvijek medusobnodisjunktni skupovi,

A A = A (X A) = (X A) A = (1.5)

pa je rub skupa moguce prikazati kao presjek A = A X A. Odavde slijedida je topoloki prostor X moguce rastaviti na spomenute disjunktne skupove,

X = A A (X A) (1.6)

Prije nego to razmotrimo neke primjere skupova i njihovih dijelova, prakticnoje dokazati alternativni oblik gornjih definicija.

Lema 1.11. U definiciji unutranjosti i ruba skupa, otvoren skup Ox moemozamjeniti s elementom baze Bx B, takvim da je x Bx.

DOKAZ : a) Neka je x A. Tada, prema definiciji, postoji otvoren skup Ox A, teelement baze Bx Ox (takav da je x Bx), pa vrijedi Bx A. Obratno, ako za tockux A postoji element baze Bx A, tada je x A jer je Bx otvoren skup. b) Nekaje x A. Tada, prema definiciji, svaki otvoren skup Ox sijece i A i X A. S obziromda svaki element baze Bx otvoren skup, tada i svi oni sijeku i A i X A. Obratno,pretpostavimo da tocka x X ima svojstvo da svaki element baze Bx sijece i A i X A.Promotrimo proizvoljnu okolinu Ox tocke x. Ovaj skup je moguce prikazati kao unijuelemenata baze,

Ox =

B ,

takvih da je x element barem jednog od njih, npr. x B1, i za njega prema pretpostavcivrijedi B1 A 6= i B1 (X A) 6= . Tada je

Ox A =(

B)A =

(B A) 6=

i analogno Ox (X A) 6= , cime je dokazana traena tvrdnja.


Primjeri

Promotrimo prvo jednostavan skup X = {a, b, c} s narednom topologi-jom,

T ={, {a}, {b}, {a, b}, X}

U tablici ispod je dano nekoliko skupova A X, s pripadnim unutranjos-tima, rubovima i zatvaracima.

A A A A{a} {a} {c} {a, c}{c} {c} {c}{a, b} {a, b} {c} X{a, c} {a} {c} {a, c}

Sljedeci primjer je skup R (sa standardnom topologijom) i nekoliko nje-govih podskupova,

A A A A, 1 , 1 {1} , 1], 1] , 1 {1} , 1]0, 1 0, 1 {0, 1} [0, 1]

0, 1 {2} 0, 1 {0, 1, 2} [0, 1] {2}0, 1 1, 2 0, 1 1, 2 {0, 1, 2} [0, 2]

Tipicno unutranjost skupa zamiljamo kao njegov mesnati dio, oko ko-jeg je rub omotan kao nekakva tanka opna. Medutim, postoji mnogiprimjeri kod kojih je takav zorni prikaz pogrean. Na primjer, skup raci-onalnih brojeva Q R ima sljedeca svojstva,

Q = , Q = Q = R

Naime, za svaki x R i svaki element baze Bx = a, b koji sadri x, Bxsijece i skup racionalnih Q i skup iracionalnih brojeva RQ. Primjetimo,ovdje je skup cak i sadran u svom rubu, Q Q!

Sada cemo dokazati neka osnovna svojstva koja zadovoljavaju dijelovi sku-pova u opcenitim topolokim prostorima.

Teorem 1.12. Unutranjost skupa je otvoren, a rub i zatvarac su zatvoreni sku-povi.

11 1.3. Unutranjost, rub i zatvarac

DOKAZ : a) Za svaki x A postoji okolina sadrana u skupu A, Ox A. Nadalje,vrijedi i Ox A jer je svaki y Ox zbog Ox A element skupa A. Odavde slijedi

A =xA

Ox

jer smo takvom unijom obuhvatili sve tocke iz A i nijednu tocku van A. Kako je unijaotvorenih skupova otvoren skup slijedi tvrdnja. b) XA = A(XA) je, prema a)dijelu tvrdnje, unija otvorenih skupova, pa je i sam otvoren skup, a otuda slijedi tvrdnja.c) A = X (X A), a kako je, prema a) dijelu teorema (X A) otvoren skup, slijeditvrdnja.

Teorem 1.13. Neka je (X,T ) topoloki prostor i A X. Tada vrijedia) A = A akko je A otvoren skup.

b) A = A akko je A zatvoren skup.

c) A = akko je A o/z skup.

DOKAZ : a) Ako je A = A, tada je prema Teoremu 1.12 A otvoren skup. Obratno,ako pretpostavimo da je A otvoren skup, tada za svaki x A postoji okolina Ox A(konkretno, moemo uzeti Ox = A), pa je po definiciji x A i stoga A A. Kakouvijek vrijedi A A, slijedi da je A = A.

b) Ako je A = A, tada je prema Teoremu 1.12 A zatvoren skup. Obratno, akopretpostavimo da je A zatvoren skup, tada je X A otvoren skup, pa prema a) dijeluteorema vrijedi

X A = (X A) = X A ,a odavde slijedi A = A.

c) Pretpostavimo da je A o/z skup. Koristeci a) i b) dio, slijedi A = A i A = A. Toznaci da je A = A A = . Obratno, pretpostavimo da je A = . Odavde slijediA = A, pa je A A = A i stoga A = A (jer uvijek vrijedi A A). Imamo dakle,jednakost A = A = A, odakle, prema Teoremu 1.12, slijedi da je A i zatvoren i otvorenskup.

Teorem 1.14. Neka je (X,T ) topoloki prostor i A X.a) A je najveci otvoren skup sadran u A, odnosno: za svaki otvoren skup

O A vrijedi O A.b) A je najmanji zatvoren skup koji sadri A, odnosno: za svaki zatvoren skup

C A vrijedi C A.

DOKAZ : a) Neka je O otvoren skup za koji vrijedi O A. Tada je za svaki x O skupO je upravo okolina Ox iz definicije unutranjosti skupa A, pa je x A, otkud slijediO A.

b) Neka je C zatvoren skup za koji vrijedi C A. Prema tvrdnji iz prvog dijelateorema, vrijedi A A C, pa preostaje dokazati da je i rub skupa A nuno sadranunutar skupa C. Neka je x A. Prema definiciji ruba, svaka okolina Ox presijeca skupA, a time i skup C, pa je x C = C. Dakle, vrijedi i A C, cime je dokazana tvrdnja.


Komentar 1.15. Ako je A B, tada vrijedi A B (za svaki x A postojiokolina Ox A B, pa je x B) i A B (za svaki x A svaka okolina Oxsijece skup A, a prema tome i skup B, pa je x B ). Medutim, sama inkluzijaA B nam ne govori mnogo o odnosu rubova ovih skupova, kao to moemovidjeti na sljedecim primjerima podskupova realnih brojeva

A B

0, 1 [0, 1] A = {0, 1} = B0, 1 0, 2 A = {0, 1} , B = {0, 2}

0, 1 1, 2 [0, 2] A = {0, 1, 2} {0, 2} = B

Zanimljivo je vidjeti na koji nacin moemo rastaviti dijelove unija i presjekaskupova.

Teorem 1.16. Neka je (X,T ) topoloki prostor i A,B X. Tada vrijedia) (A B) = A B , (A B) A B

b) A B A B , A B = A Bc) A B = (A B) (A B) (A B)

DOKAZ : a1) Vrijedi (A B) A A i (A B) B B, pa je (A B) (A B). Kako je A B otvoren skup, slijedi (A B) (A B) (jer je svakiotvoren podskup skupa AB sadran u njegovoj unutranjosti). S druge strane, za svakix (A B) postoji okolina Ox A B, odnosno Ox A (iz cega slijedi x A), teOx B (iz cega slijedi x B), pa je x AB. Odavde je i (AB) (AB), paslijedi tvrdnja. a2) IzA A iB B slijediAB AB, pa jeAB (AB).Primjer gdje ne vrijedi jednakost: A = [0, 1], B = [1, 2], (A B) = ([0, 2]) = 0, 2,A B = 0, 1 1, 2

b1) Promatramo X A B = (X (A B)) = ((X A) (X B)) (X A) (X B) = (X A) (X B) = X (A B). Iz X A B X (A B)slijedi A B A B. Primjer gdje ne vrijedi jednakost: A = 0, 1, B = {1}, A B =[0, 1] {1} = {1}, A B = = b2) Iz A A i B B slijedi AB AB. Kako jeA B zatvoren skup, vrijedi i A B A B. S druge strane, iz A B (A B) Aslijedi A B A (jer je A B zatvoren skup), te analogno A B B. To znaci da je iA B A B, pa slijedi tvrdnja.

c) Uvijek vrijedi inkluzija A B A B. Promotrimo preostala dva clana sdesne strane jednakosti. Koristeci b) dio imamo

(A B) = A B X (A B) = (A B) (X A) (X B) ==(A (X A) (X B)

)(B (X A) (X B)

)

(A X A X B

)(B X A X B

)(A X A

)(B X B

)= AB

te(A B) = A B X (A B) = A B (X A) (X B) =

= A B (X A X B

) A B

(X A X B

)=

=(A B X A

)(A B X B

)(A X A

)(B X B

)= A B

Odavde zakljucujemo da vrijedi

A B (A B) (A B) (A B)

13 1.4. Gomilita

Sada cemo pokazati da je A sadran u skupu s desne strane jednakosti (dokaz za B jeu potpunosti analogan). Vrijedi

A = (A B) (A B) (A (X B))

Drugi clan je vec sadran na desnoj strani jednakosti iz teorema, pa valja promotritipreostala dva clana. Imamo

A B =(A X A

)(X X B

) A

(X X B

)=

= AX B A (X B) = A BKako vrijedi i A B A X A X (A B), slijedi A B (A B).Nadalje, imamo

A (X B) = A X A (X B) X A (X B) = X AB

(X A)B = (X A) (X B) = X (A B)Kako vrijedi i A X B A A B, slijedi A (X B) (A B).

1.4 GOMILITA

Definicija 1.17. Gomilite skupaA je tocka x X za koju vrijedi: svaka okolinaOx sijece A{x}, odnosno, svaka okolina tocke x sadri barem jo jednu tockuiz A razlicitu od same tocke x. Skup svih gomilita skupa A oznacavamo s A.

Lema 1.18. Neka je (X,T ) topoloki prostor i B neka njegova baza. Tada jex X gomilite skupa A X akko svaki element baze Bx sijece A {x}.

DOKAZ : Neka je x X gomilite skupa A X. Svaki element baze Bx je otvorenskup, pa po definiciji gomilita sijece skup A {x}. Obratno, pretpostavimo da svakielement baze Bx sijece skup A {x}. Neka je Ox neka okolina tocke x. Tada premaTeoremu 1.7 postoji element baze Bx, takav da vrijedi x Bx O i on, po pretpostavci,sijece skup A {x}. Odavde slijedi da svaka okolina Ox sijece skup A {x}.

Primjeri

U prostoru (X,T ) s diskretnom topologijom svaki skup je otvoren, speci-jalno, skup {x} je otvoren za svaki x X. To znaci da je uvijek mogucepronaci otvoren skup koji sadri promatranu tocku i nijednu drugu, pa ni-jedna tocka ne moe biti tocka gomilita. Drugim rijecima, za svaki skupA X vrijedi A = .


U prostoru (X,T ) s trivijalnom topologijom jedini neprazan otvoren skupje X. Ovdje valja razmotriti dva zasebna slucaja: ako neprazan skup Asadri samo jednu tocku x, tada su sve tocke u X izuzev x gomilita skupa(jer jedini otvoren skup, X, pored promatrane tocke y uvijek sadri i x),pa je A = X {x}; ako neprazan skup A sadri vie od jedne tocke, tadasu sve tocke u X njegove tocke gomilita, A = X.

Nekoliko primjera na skupu realnih brojeva,

A A

0, 1 [0, 1]0, 1] {2} [0, 1]{

1/n | n N} {0}

Komentar 1.19. Valja napomenuti kako u literaturi postoji suptilna razlika uupotrebi rijeci gomilite. Gornja definicija se odnosi na gomilita skupova,prema kojoj na primjer dvoclani skup

S ={

(1)k | k N} = {1, 1}nema gomilita, iako nam intuitivno izgleda kao da je niz ak = (1)k nago-milan u tockama 1 i 1. Suptilnost se sastoji u tome to smo u slucaju skupaS napravili uniju vrijednosti clanova niza ak, cime smo ponavljajuce clanovepretvorili u jedan. Iz ovog razloga se koristi donekle razlicita definicija gomilitanizova: gomilite niza (an)nN je tocka x cija svaka okolina sadri beskonacnomnogo (ne nuno medusobno razlicitih) clanova tog niza. Prema ovoj definicijisu, ocigledno, tocke 1 i 1 gomilita niza ak = (1)k.

Teorem 1.20. Neka je (X,T ) topoloki prostor. Za svaki skup A X vrijedi

A = A A (1.7)

DOKAZ : Neka je x A. Tada, prema definiciji gomilita, svaka okolina Ox sijeceskup A {x}, a onda i sm skup A. Prema tome, vrijedi x A i stoga A A. Kakouvijek vrijedi A A imamo sve skupa (A A) A. Obratno, neka je x A. Ako jex A, tada smo gotovi s dokazom, pa pretpostavimo suprotno, x / A. Prema definicijizatvaraca, svaka okolina Ox sijece skup A, a kako je po pretpostvaci x / A, okolina Oxsijece A {x}. Stoga, vrijedi x A, odnosno A A. Time smo dokazali i obratnuinkluziju, (A A) A, odakle slijedi traena tvrdnja.

Korolar 1.21. Skup A sadri sva svoja gomilita akko je zatvoren skup. Takoder,skup bez gomilita (A = ) je nuno zatvoren skup.

15 1.4. Gomilita

Definicija 1.22. Izolirana toka x skupa A X je ona koju je moguce otvo-renom okolinom izolirati od ostatka skupa A, drugim rijecima, ona tocka zakoju postoji okolina Ox X sa svojstvom

A Ox = {x}

Komentar 1.23. Izolirane tocke nekog skupa nisu nuno elementi ruba togskupa. Primjerice, u prostorima s diskretnom topologijom sve tocke su izoli-rane, a nijedna ne moe biti tocka ruba nekog skupa.

Teorem 1.24. Skup A A sadri samo izolirane tocke skupa A i obratno, sveizolirane tocke skupa A su sadrane u skupu AA.

DOKAZ : Definicija skupa svih gomilita skupa A,

A ={x X | Ox : (A {x}) Ox 6=

}povlaci

AA ={x A | Ox : (A {x}) Ox =

}={x A | Ox : A Ox = {x}

}Dakle, skup A A sadri iskljucivo izolirane tocke skupa A. Nadalje, prema definiciji,izolirane tocke skupa A sadrane su u samom skupu A, te nijedna izolirana tocka nemoe biti element skupa A, pa AA sadri sve izolirane tocke skupa A.

Definicija 1.25. Za skup A X kaemo da je gust u X ako vrijedi A = X,odnosno akko svaki otvoren neprazan skup O X sijece skup A. Kaemo da jeskup A X nigdje gust u X ako vrijedi (A ) = .Na primjer, skup Q je gust u R, a skup N je nigdje gust u R. Jedan koristankriterij nam daje naredna lema.

Lema 1.26. Skup A je nigdje gust akko je komplement njegovog zatvaraca gust,odnosno, akko za svaki otvoren neprazan skup O postoji otvoren neprazan skupV O, disjunktan sa skupom A.

DOKAZ : Koristeci jednakost (A) = X X A

vidimo da je skup A nigdje gust akko vrijedi

X A = X

odnosno, akko je komplement zatvaraca skupa A gust skup. Nadalje, skup V = (X A)O je otvoren i neprazan za svaki neprazan otvoren skup O akko je skup XA gust,a skup V je po konstrukciji disjunktan sa skupom A.

Teorem 1.27. Rub otvorenog skupa je nigdje gust skup.


DOKAZ : Neka je A otvoren skup. Njegov rub moemo zapisati na sljedeci nacin,

A = AA = AA = A (X A)Koristeci cinjenicu da je rub skupa zatvoren skup, kao i opceniti odnos presjeka skupovai njihovih unutranjosti (vidi tvrdnju a1) u Teoremu 1.16), imamo(

A) = (A) = (A ) (X A) = (A ) (X A) A (X A) =

odakle slijedi(A) = , cime je dokazana tvrdnja. Ako skup nije otvoren, tvrdnja

opcenito ne vrijedi: na primjer, za A = Q R, rub A = R je upravo suprotno, gustskup.

Postoji li nigdje gust skup koji nema izoliranih tocaka?

Primjer: Cantorov skup

Cantorov skup (Georg Cantor: ber unendliche, lineare PunktmannigfaltigkeitenV, Mathematische Annalen, (1883) vol.21, 545 591.) dobije se sljedecimiterativnim postupkom. Neka je

C0 = [0, 1] RIz ovog zatvorenog intervala izbacimo srednju (otvorenu) trecinu, 1/3, 2/3.Rezultat je unija dva zatvorena intervala,

C1 = [0, 1/3] [2/3, 1]U sljedecem koraku iz svakog od dva zatvorena intervala u C1 izbacimo srednjetrecine, 1/9, 2/9 i 7/9, 8/9. Rezultat je unija cetiri zatvorena intervala,

C2 = [0, 1/9] [2/9, 1/3] [2/3, 7/9] [8/9, 1]Ponavljanjem ovog postupka u n-tom koraku cemo imati 2n zatvorenih intervalaukupne duljine (2/3)n. Moemo zapisati formalnu rekurzivnu relaciju,

Cn = Cn1 k=0

1 + 3k3n ,

2 + 3k3n

Konacno, Cantorov skup C definiramo kao presjek (ovdje namjerno izbjega-vamo upotrebu limesa jer taj pojam zasad jo nismo definirali)

C =n=0

Cn (1.8)

C0

C1

C2

C3

...

17 1.4. Gomilita

Prvo uocavamo da su sve rubne tocke izbacenih otvorenih intervala elementiCantorovog skupa C. Naime, te tocke imaju koordinate oblika (p+3k)3n, gdjesu k, n N, a p {1, 2}. Pretpostavimo suprotno, da je takva jedna rubna tockaizbacena jednim od narednih otvorenih intervala,

1 + 3l3m 0. Znamo da postoji n N,takav da je 3n < . Nadalje, x Cn, pa je x element zatvorenog intervala duljine 3n,cije su obje rubne tocke y1, y2 C, te vrijedi

|x yi| < 3n <

pa je y1 B ili y2 B. Takoder, zatvoreni intervali u Cn su kraci od , pa B nunosijece X Cn, a onda i X C.

Odavde slijedi da C = C nema unutranjih tocaka, C =(C) = , pa je C nigdje

gust skup, ali nema niti izoliranih tocaka (drugim rijecima, sve tocke su mu gomilita).

Postoje li tocke Cantorovog skupa koje nisu rubne tocke izbacenih intervala?Odgovor je da. Na primjer, ako promotrimo niz tocka koji se sastoji od alterni-rajucih lijevih i desnih rubnih tocaka,

x0 = 0 , xn = xn1 + (1)n13n

Tada u limesu dobivamo tocku cija koordinata nije oblika (p+ 3k)3m,

x =n=1

(1)n13n = 1 11 (1/3) =14

Nije teko dokazati da je x gomilite Cantorovog skupa, pa je prema goredokazanom teoremu sadrana u njemu.


1.5 POTPROSTORI I RELATIVNA TOPOLOGIJA

Definicija 1.29. Neka je (X,T ) topoloki prostor i Y X njegov neprazanpodskup. Kaemo da smo zadali relativnu topologiju TY na skupu Y , akosmo definirali otvorene skupove u Y kao one koji nastaju presjekom otvorenihskupova u X sa skupom Y ,

TY ={Y O | O T } (1.9)

Za skup Y s relativnom topologijom TY kaemo da je potprostor prostora X.

Prvo valja provjeriti da skupovi iz familije TY uistinu zadovoljavaju aksiometopologije,

= Y , Y = Y X. Za svaki O TY postoji O T , takav da je O = Y O, pa moemo

pisati J

O =J

(Y O) = Y ( J

O) TY

S druge strane, za konacne presjeke imamoni=1

Oi =ni=1

(Y Oi) = Y ( ni=1

Oi) TY

Potpuno analogno formiramo bazu relativne topologije, kao to pokazuje slje-deca lema.

Lema 1.30. Neka je (X,T ) topoloki prostor i (Y,TY ) njegov potprostor. Ako jeB baza topologije T , tada je familija skupova

BY ={Y B | B B}

baza relativne topologije TY skupa Y .

DOKAZ : Za svaku tocku y V = Y O, gdje je O T , postoji element baze B B,takav da vrijedi y B O. Tada imamo

y Y B Y O , Y B TYpa iz Teorema 1.7 slijedi da je BY baza topologije TY .

Primjeri

Promotrimo tri primjera potprostora skupa R sa standardnom topologi-jom:

19 1.5. Potprostori i relativna topologija

? otvoren interval 0, 1 R; bazu njegove potprostorne topologijecine otvoreni intervali oblika 0, x i x, 1, gdje je x 0, 1.

? zatvoren interval [0, 1] R; bazu njegove potprostorne topologijecine intervali oblika [0, x, x, 1] i x, y, gdje su x, y 0, 1.

? interval [0, 1 R; bazu njegove potprostorne topologije cine inter-vali oblika [0, x, x, 1 i x, y, gdje su x, y 0, 1.

Ako je B(p, r) Rn+1 otvorena kugla (gdje je n N0), tada je njen rubn-sfera Sn = B(p, r). U trivijalnom slucaju 0-sfere S0, koja se sastojiod dvije razdvojene tocke u R, potprostorna topologja je diskretna. Bazupotprostorne topologije 1-sfere S1 cine otvoreni lukovi; bazu potprostornetopologije 2-sfere S2 cine otvorene kapice (dijelovi sfere iznad ili ispodparalele); itd.

Kako izgledaju skupova u relativnoj topologiji? Ako je A Y X, gdje je Ypotprostor topolokog prostora X, tada cemo koristiti posebne oznake kako bismo istaknuli na koji prostor, odnosno koju topologiju, se misli kada govorimoo nekom dijelu skupa: IntX(A), odnosno IntY (A) za unutranjosti; X(A), od-nosno Y (A) za rubove; ClX(A), odnosno ClY (A) za zatvarace skupa A.

Teorem 1.31. Na skupu X zadana je topologija (X,TX), a na njegovom pod-skupu Y X relativna topologija (Y,TY ). Tada za unutranjost svakog skupaA Y X s obzirom na ove topologije vrijedi IntX(A) IntY (A).

DOKAZ : Za svaki x IntX(A) postoji okolina Ox TX , takva da Ox A. SkupVx = Ox Y je po definiciji otvoren skup u Y , Vx TY , i vrijedi x Vx A. Stoga jei x Inty(A), pa slijedi tvrdnja. Primjer kada ne vrijedi jednakost: X = R, Y = [0, 2,A = [0, 1; IntX(A) = 0, 1, IntY (A) = [0, 1.

Teorem 1.32. Neka je Y potprostor prostora X, te A Y . Tada jea) A zatvoren u Y akko je jednak presjeku C Y , gdje je C zatvoren u X.b) ClY (A) = Y ClX(A).c) A zatvoren u Y akko sadri sva svoja gomilita unutar Y .

DOKAZ : a) Pretpostavimo da je skup A oblika A = CY . Kako je Y A = Y (XC),a X C je otvoren skup u X, slijedi da je Y A otvoren u Y , odnosno da je A zatvorenu Y . Obratno, pretpostavimo da je A zatvoren skup u Y . Tada je Y A otvoren uY , pa postoji skup O, otvoren u X, za koji vrijedi Y A = Y O. Odavde slijediA = Y (X O), cime je pokazana prva tvrdnja.

b) Neka je B = Y ClX(A). Skup ClX(A) je zatvoren u X, pa je (prema a) dijeluovog teorema) skup B zatvoren u Y i stoga (prema Teoremu 1.14) vrijedi ClY (A) B.S druge strane, ClY (A) je zatvoren u Y , pa je (prema a) dijelu ovog teorema) oblikaClY (A) = Y C, gdje je C neki skup zatvoren u X. S obzirom da je A ClY (A) C,koristeci Teorem 1.14 slijedi ClX(A) C, a odavde B (Y C) = ClY (A), cime jedokazana traena tvrdnja.


c) Ako jednakost A = A A presjecemo s potprostorom Y dobivamoA Y = (A A) Y = A (A Y )

Ova nam jednakost govori da zatvarac skupa A u Y sadri sva gomilita skupa A unutarpotprostora Y , odakle slijedi tvrdnja.

1 ZADACI

1. Koliko razlicitih topologija je moguce definirati na skupovima od 2 i 3elementa?

2. Ako je O otvoren, a C zatvoren skup, dokaite da je tada O C otvoren,a C O zatvoren skup.

3. Zadan je skup s beskonacno mnogo elemenata i na njemu topologija u ko-joj su otvoreni skupovi svi oni koji sadre beskonacno mnogo elemenata.Dokaite da je ovo diskretna topologija.

4. Neka je (X,T ) topoloki prostor. Kako izgledaju unutranjosti, rubovi izatvaraci skupova u X, ako je T a) trivijalna ili b) diskretna topologija?

5. Neka su A i B disjunktni, a B otvoren skup. Dokaite da je tada AB = .6. Dokaite da opcenito vrijedi

(AB) A B i AB AB

Pronadite primjere kada ne vrijede jednakosti!

7. Ako dva skupa imaju jednake zatvarace, A = B, moraju li imati i jednakerubove, A = B ?

8. Neka je Q A R. Ako je A zatvoren skup, da li je nuno A = R? Akoje A otvoren skup, da li je nuno A = R?

9. Dokaite implikaciju A B = (A B) = A B. Pokaiteprimjerom da obrat opcenito ne vrijedi.

10. Neka je (X,T ) topoloki prostor i A,B X. Dokaite sljedece tvrdnje,a) (A B) = A Bb) A B A Bc) a A : (A {a}) = A

11. Kako izgledaju gusti skupovi u prostoru X s a) trivijalnom ili b) diskret-nom topologijom?

12. Dokaite da je unija dva nigdje gusta skupa nigdje gust skup.

13. Dokaite da je zatvoren nigdje gust skup rub otvorenog skupa.

2Povezanost i kompaktnost

2.1 POVEZANOST

Definicija 2.1. Topoloki prostor (X,T ) je povezan ako se skup X ne moerastaviti na uniju dva neprazna disjunktna otvorena skupa. Ovo je ekvivalentnotvrdnji da se skup X ne moe rastaviti na uniju dva neprazna disjunktna za-tvorena skupa. Ako je prostor (X,T ) nepovezan, pa se moe rastaviti na unijudva neprazna disjunktna otvorena skupa, O i X O, tada kaemo da oni cineseparaciju prostora (X,T ).

Korolar 2.2. Topoloki prostor (X,T ) je povezan akko suX i jedini o/z skupovi.

DOKAZ : Ako je O neprazan o/z skup razlicit od X, tada se skup X moe rastavitina uniju dva neprazna disjunktna otvorena skupa O i X O, pa prostor (X,T ) nijepovezan. Obratno, ako se skup X moe rastaviti na uniju dva neprazna disjunktnaotvorena skupa, X = A B, tada su A i B neprazni o/z skupovi razliciti od X.

Definicija 2.3. Komponente povezanosti topolokog prostora X su klase ekvi-valencije s obzirom na relaciju definiranu za sve x, y X, tako da je x y akopostoji povezan potprostor od X koji sadri i x i y.

Primjeri

Svi topoloki prostori s trivijalnom topologijom su povezani. Svi topoloki prostori s diskretnom topologijom, koji sadre barem dva

elementa, su nepovezani. Komponente povezanosti ovakvih prostora cinesvi njihovi jednoclani podskupovi.

Svi prostori Rn sa standardnom topologijom su povezani (ovo cemo usko-ro dokazati).

21

POGLAVLJE 2. POVEZANOST I KOMPAKTNOST 22

Za provjeru povezanosti potprostora imamo sljedeci teorem,

Teorem 2.4. Neka je (X,T ) topoloki prostor. Potprostor Y X je povezan akkone postoje dva neprazna disjuntna skupa A,B Y , takvi da je

A B = Y i A B = A B = gdje A i B oznacavaju zatvarace doticnih skupova u X.

DOKAZ : Pretpostavimo da skupovi A i B cine separaciju potprostora Y , pa su o/zskupovi u Y . Prema Teoremu 1.32 zatvarac skupa A u Y jednak je A Y , a kako je Azatvoren u Y , vrijedi A = A Y , odnosno, A B = . Potpuno analogno se pokae davrijedi i AB = . Obratno, pretpostavimo da su neprazni disjunktni skupovi A,B Y ,takvi da vrijedi AB = Y i AB = AB = . Odavde slijedi AY = A(AB) = Ai analogno BY = B. Oba skupa, A i B, su stoga zatvoreni, pa onda i otvoreni skupovi.

Na primjer, uzmemo li A = 1, 0 i B = 0, 1, potprostor Y = A B R jenepovezan jer su A i B disjunktni neprazni skupovi i vrijedi AB = AB = .

Prije nego to dokaemo da je skup realnih brojeva povezan prostor, promo-trit cemo neto opcenitiju klasu topolokih prostora s uredajnom topologijom.

Definicija 2.5. Totalno ureden skup (L,

23 2.1. Povezanost

odmah imamo kontradikciju jer je d gornja meda skupa A0 manja od c. Ako je c < b,tada je c, b] skup disjunktan s A0 (jer je c gornja meda skupa A0), a onda je i skup

d, b] = d, c] c, b] B0

disjunktan s A0, pa opet imamo kontradikciju jer je d gornja meda skupa A0 manja od c.Slucaj 2. Neka je c A0. Tada je c 6= b (jer je b B0 B), pa vrijedi ili c = a ili

a < c < b. Nadalje, kako je A0 otvoren u [a, b] slijedi da postoji interval oblika d, e,takav da je c d, e A0. No, tada je i [c, e d, e A0. Prema definiciji linearnogkontinuuma postoji tocka z L, za koju vrijedi c < z < e. Medutim, tada je z A0, toje u kontradikciji s pretpostavkom da je c gornja meda skupa A0.

Korolar 2.7. Skup realnih brojeva R je primjer linearnog kontinuuma, pa je po-vezan prostor, kao i svi njegovi konveksni intervali.

Kako bi smo proirili ovu tvrdnju na sve prostore Rn, moemo se posluitisljedecim teoremom i popratnom lemom,

Lema 2.8. Ako skupovi A i B cine separaciju prostora X, a Y je povezan potpros-tor prostora X, tada vrijedi ili Y A ili Y B.

DOKAZ : Kako su skupovi A i B otvoreni u X, po definiciji su i skupovi Y A iY B otvoreni u Y . Ovi skupovi su disjunktni i njihova unija je jednaka skupu Y .Ako bi oba bila neprazna, tada bi oni cinili separaciju skupa Y , to je u kontradikciji spretpostavkom. Slijedi da se cijeli Y mora nalaziti ili unutar A ili unutar B.

Teorem 2.9. Neka je (X,T ) topoloki prostor, a {A} familija njegovih potpros-tora od kojih je svaki povezan. Ako je presjek ove familije neprazan, tada je njihovaunija povezan potprostor.

DOKAZ : Neka je p A, te pretpostavimo da je unija Y =

A nepovezan

prostor. Tada postoji separacija Y = B C, gdje su B i C dva neprazna disjunktnaskupa. Tocka p je element jednog od njih; pretpostavimo bez smanjenja opcenitosti daje p B. Kako je svaki prostor A iz promatrane familije povezan, on mora u cijelostibiti sadran u skupu B ili skupu C. No, kako je (za svaki ) p A, mora vrijeditiA B. Drugim rijecima, dobili smo Y B, to je u kontradikciji s pretpostavkom daje C neprazan skup.

Korolar 2.10. Svi topoloki prostori Rn (za n N) sa standardnom topologijomsu povezani prostori.

DOKAZ : Svaki prostor Rn je moguce prikazati kao uniju pravaca (R1) koji prolazekroz neku tocku p Rn. Kako je svaki od ovih pravaca povezan (Korolar 2.7), koristeciTeorem 2.9 slijedi tvrdnja.


Teorem 2.11. Neka je A X povezan potprostor topolokog prostora (X,T ).Tada iz A B A slijedi da je B (a onda specijalno i A) povezan potpros-tor. Drugim rijecima, ako povezanom skupu A pridruujemo neka ili sva njegovagomilita, tako konstruirani skup je opet povezan.

DOKAZ : Pretpostavimo suprotno, neka je B nepovezan potprostor, B = C D, gdjesu C i D disjunktni neprazni skupovi. Prema Lemi 2.8 vrijedi ili A C ili A D.Pretpostavimo bez smanjenja opcenitosti da je A C, odakle odmah slijedi A C, aonda i B C. Kako su, prema Teoremu 2.4, C i D disjunktni skupovi, zakljucujemo dasu B i D disjunktni, to je u kontradikciji s pretpostavkom da je D neprazan u B.

2.2 AKSIOMI SEPARACIJE

Neka je (X,T ) topoloki prostor. Razlikujemo sljedece tipove . . .

T0 Za svake dvije tocke postoji otvoren skup koji sadri samo jednu od njih,

x, y X O T : {x O y / O} {x / O y O}T1 Za svake dvije tocke postoje dva otvorena skupa od kojih svaki sadri po

jednu od tocaka,

x, y X O, V T : {x O y / O} {x / V y V }T2 Hausdorffov. Za svake dvije tocke postoje dva disjunktna otvorena skupa

od kojih svaki sadri po jednu od tocaka,

x, y X O, V T : {x Oy / O} {x / V y V }{OV = }Regularan. Za svaki zatvoren skup C X i tocku x X C postojedisjunktni otvoreni skupovi A,B X, takvi da je C A i x B.Normalan. Za svaka dva disjunktna zatvorena skupa C,D X postojedisjunktni otvoreni skupovi A,B X, takvi da je C A i D B.

T3 Regularan T1-prostor.

T4 Normalan T1-prostor.

Primjeri

T0-prostor koji nije T1-prostor:X = {a, b} , T = {, {a}, X}

Za tocke a i b ne postoje dva otvorena skupa, od kojih svaki sadri pojednu od ovih tocaka.

25 2.2. Aksiomi separacije

T1-prostor koji nije Hausdorffov: uzmimo dva pravca, odnosno dvije ko-pije skupa realnih brojeva R sa standardnom topologijom i oznacimo imtocke s koordinatama x i x. Zatim identificiramo parove tocaka s jedna-kim negativnim vrijednostima koordinata, x = x < 0. Rezultat je pravackoji se racva i ima topologiju generiranu skupovima oblika a, b, a, bi a, b,

Ovaj prostor nije Hausdorffov jer tocke 0 i 0 nije moguce razdvojiti disjun-ktnim okolinama. S druge strane, lako se provjeri da je ovo T1-prostor.

T1-prostor koji nije Hausdorffov: tzv. topologija Zariskog na skupu R,

TZ ={A R | RA je konacan skup} {}

Prvo valja dokazati da familija TZ uistinu definira topologiju na skupuR. Ocigledno, R TZ i TZ . Svaki skup A TZ moemo pisatikao razliku R K, gdje je K skup s konacno mnogo elemenata, pa jenjihova unija

JA =

J

(RK) = RJ

K TZ

Konacno, za presjek konacno mnogo clanova familije TZ imamoi

Ai =i

(RKi) = Ri

Ki TZ

Topoloki prostor (R,TZ) je T1-prostor jer za sve x, y R, x 6= y, imamootvorene skupove U = R {x} i V = R {y}, od kojih svaki sadri pojednu od tocaka. S druge strane, ovaj topoloki prostor nije Hausdorffovjer u njemu ne postoje dva neprazna disjunktna otvorena skupa O1, O2 TZ : ovakvi skupovi su oblika O1 = R K1, odnosno O2 = R K2, gdjesu K1 i K2 konacni skupovi, pa je

O1 O2 = (RK1) (RK2) = R (K1 K2)

Cinjenica da je skup K1 K2 konacan povlaci da je O1 O2 neprazan. Svi prostori Rn su Hausdorffovi (svaki par tocaka x, y Rn postoje di-

sjunktne otvorene kugle B(x, ) i B(y, ), radijusa manjeg od poloviceudaljenosti medu tockama x i y). tovie, svaki od njih je i T4-prostor(ovo cemo dokazati neto kasnije, u kontekstu metrickih prostora).

Skup R s K-topologijom, RK , primjer je Hausdorffovog prostora koji nijeregularan. RK ima finiju topologiju od standardne topologije na R, paje automatski Hausdorffov. Skup K je zatvoren u RK i ne sadri tocku0. Pretpostavimo da postoje dva otvorena disjunktna skupa, U i V , takvida prvi sadri 0, a drugi skup K. Odaberimo element baze koji sadri


tocku 0 i lei unutar U ; taj mora biti oblika a, b K jer svaki otvoreniinterval oblika a, b koji sadri 0 sijece skup K. Odaberimo dovoljno velikbroj N , tako da je 1/N a, b. Kako je 1/N K V , postoji elementbaze c, d V koji sadri tocku 1/N . Na kraju odaberemo z, takav da jemax{c, 1/(N + 1)} < z < 1/N . Tada je z U V , to je u kontradikciji spretpostavkom da su posrijedi disjunktni skupovi.

Regularan prostor koji nije T1-prostor:X = {a, b, c} , T = {, {a}, {b, c}, X}

Relacijom {a} {b, c} = saet je dokaz da je posrijedi regularan prostor.S druge strane, za tocke b i c ne postoje dva otvorena skupa, od kojih svakisadri po jednu od ovih tocaka.

Normalan prostor koji nije T1-prostor:X = {a, b, c} , T = {, {a}, {b}, {a, b}, X}

Ako su C1 i C2 dva disjunktna zatvorena skupa, tada je jedan od njihprazan, recimo C1 = . X sadri C2 i disjunktan je s C1, pa je posrijedinormalan prostor. S druge strane, za tocke a i c ne postoje dva otvorenaskupa, od kojih svaki sadri po jednu od ovih tocaka. Takoder, ovaj prostornije niti regularan jer ne postoje otvoreni skupovi koji razdvajaju zatvorenskup {c} i tocku a.

Lema 2.12. U T1-prostoru svi jednoclani skupovi su zatvoreni.

DOKAZ : Neka je X topoloki T1-prostor, te p X. Tada za svaku tocku x X razlicituod p postoji okolina Ox koja ne sadri tocku p. Kako je unija

x 6=pOx = X {p}

otvoren skup, slijedi tvrdnja.

Teorem 2.13. T3-prostor je nuno Hausdorffov prostor. T4-prostor je nuno T3-prostor.

DOKAZ : a) Neka je X topoloki T3-prostor, te a, b X. Kako je, po definiciji, (X,T )T1-prostor, jednoclani skup {b} je zatvoren. Nadalje, kako je (X,T ) regularan prostor,postoje otvoreni disjunktni skupovi A i B, takvi da je a A i {b} B, odnosno b B.

b) Neka je X topoloki T4-prostor, C X zatvoren skup u X, te x X C. Kakoje X T1-prostor, jednoclani skup {a} je zatvoren. Kako je X normalan, postoje otvorenidisjunktni skupovi A i B, takvi da je {b} A i C B.

27 2.2. Aksiomi separacije

Teorem 2.14. Potprostor Hausdorffovog prostora je Hausdorffov prostor, a pot-prostor regularnog prostora regularan prostor.

DOKAZ : a) Neka je A potprostor Hausdorffovog prostora (X,T ) i neka su x, y A.Po pretpostavci ove dvije tocke posjeduju disjunktne okoline, Ox i Oy, pa su A Ox iA Oy njihove disjunktne okoline u A.

b) Neka je Y potprostor regularnog prostora X. Promatramo tocku y Y i zatvorenskup C u Y koji ne sadri tocku y. Koristeci Teorem 1.32 znamo da je C = C Y(gdje je zatvarac s obzirom na prostor X), pa je y / C (u protivnom bi imali y C).Zbog regularnosti prostora X postoje dva otvorena disjunktna skupa, U i V , od kojihprvi sadri tocku y, a drugi skup C. Presjekom skupova U i V s Y dobivamo traenedisjunktne otvorene skupove u Y .

Komentar 2.15. Potprostor normalnog prostora ne mora biti normalan! (zaprimjer vidi [Mun00], 203. stranica)

Teorem 2.16. Gomilite gomilita skupa A X u T1-prostoru X je opet gomiliteskupa A, A A. Odavde odmah slijedi da je u T1-prostoru A nuno zatvorenskup.

DOKAZ : Neka je X gomilite skupa A, odnosno A. Tada svaki O sijece A{}, recimo u tocki g A {}. Sada koristimo T1-svojstvo: postoje dva otvorena (nenuno disjunktna) skupa U i Ug, od kojih svaki sadri samo po jednu od promatranihtocaka. Presjek skupova O i Ug je okolina tocke g koja ne sadri tocku , medutim,prema definiciji gomilita sadri barem jednu tocku iz A, razlicitu od samog g. Zakljucakjest da proizvoljna okolina tocke (O) sadri element iz A, razlicit od samog g, pa je gomilite skupa A ( A).

Komentar 2.17. Opcenito, gornja tvrdnja ne vrijedi: neka je zadan dvoclaniskup X = {a, b}, te na njemu trivijalna topologija, T = {, X}. Za skup A ={a} vrijedi A = {b}, ali A = {a}, pa su A i A disjunktni! Takoder, postoji nizprimjera kada vrijedi A ( A, npr. za A = {1/n | n N} R imamo A = {0},ali A = .

Definicija 2.18. Neka je (X,T ) topoloki prostor, te (xn)nN niz tocaka u X.Tada kaemo da ovaj niz konvergira k tocki a X ako za svaku okolinu Oapostoji N N, takav da je xm Oa za svaki m N .

Teorem 2.19. U Hausdorffovom prostoru niz tocaka moe konvergirati najvie kjednoj tocki. Tu tocku nazivamo limes niza.


DOKAZ : Neka je (X,T ) Hausdorffov prostor. Pretpostavimo da niz (xn)nN konvergirak tocki a X, te neka je b X{a}. Po pretpostavci postoje disjunktne okolineOa iOb.Okolina Oa sadri sve osim konacno mnogo tocaka promatranog niza, odakle slijedi daOb sadri konacno mnogo elemenata tog niza, pa promatrani niz ne moe konvergiratiu b.

2.3 KOMPAKTNOST

Definicija 2.20. Neka je (X,T ) topoloki prostor. Pokriva skupa A X jefamilija (ne nuno otvorenih) skupova P cija unija sadri A. Za pokrivac P ka-emo da je otvoren pokrivac ako su mu svi elementi otvoreni skupovi. Potpokri-va P P pokrivaca P je familija skupova koja je i sama pokrivac promatranogskupa.

Definicija 2.21. Skup A X kompaktan ako za svaki njegov otvoren pokrivacP postoji konacan potpokrivac P. Isto tako, za sam topoloki prostor X ka-emo da je kompaktan ako za svaki njegov otvoren pokrivac P postoji konacanpotpokrivac P.

Komentar 2.22. Za svaki skupA X topolokog prostora (X,T ) uvijek postojibar jedan otvoren pokrivac, P = {X}.

Primjeri

Na prostoru s trivijalnom topologijom, svaki njegov podskup je kompak-tan.

Na prostoru X s diskretnom topologijom, beskonacan skup A X nemoe biti kompaktan jer otvoren pokrivac koji se sastoji od jednoclanihpodskupova skupa A nema konacnog potpokrivaca.

Skup 0, 1 R nije kompaktan jer njegov otvoren pokrivac

P ={ 1/n, 1 | n N , n 2}

nema konacnog potpokrivaca. Na slican nacin moemo zakljuciti kako nitijedan otvoren interval a, b R nije kompaktan skup. S druge strane,uskoro cemo dokazati da su zatvoreni intervali [a, b] kompaktni.

29 2.3. Kompaktnost

Definicija kompaktnosti moe na prvi pogled zvucati neintuitivno. Sljedeciteorem ilustrira dio motivacije ovakve definicije: nemoguce je ugurati besko-nacno mnogo tocaka u kompaktan prostor, bez da su se tocke negdje nagomi-lale.

Teorem 2.23. Beskonacan podskup A X kompaktnog prostora (X,T ) imagomilite.

DOKAZ : Pretpostavimo da beskonacan skup A nema gomilita, drugim rjecima, da sumu sve tocke izolirane. To znaci da za svaki a A postoji okolina Va X koja sijece Au samo jednoj tocki (konkretno, Va A = {a}). Nadalje, kako je A = , slijedi A = A,pa je A zatvoren, a X A otvoren skup. Familija okolina

P ={Oa | a A

} {X A}

cini jedan otvoren pokrivac prostora X, a kako je X kompaktan, postoji njegov kona-can potpokrivac P. Nadalje, skup X A ne sadri tocke iz A, odakle slijedi da je Amoguce pokriti s konacno mnogo skupova oblika Oa. No, to znaci da barem jedan odnjih mora sadravati beskonacno mnogo elemenata iz skupa A, to je u kontradikciji spretpostavkom da su sve tocke skupa A izolirane.

Sada elimo pronaci operativan kriterij kompaktnosti za podskupove pros-tora Rn sa standardnom topologijom, s kojima cemo i imati najvie posla. Natom putu moramo prvo dokazati tri pomocna rezultata.

Teorem 2.24. Zatvoren podskup A X kompaktnog prostora X je kompaktan.

DOKAZ : Promotrimo otvoren pokrivac PA skupa A. Familija skupova P = PA{XA}je otvoren pokrivac kompaktnog prostora X, pa postoji njegov konacan potpokrivac,P. Familija skupova P {X A} je konacan potpokrivac pokrivaca PA, odakle slijeditvrdnja.

Komentar 2.25. Kompaktan podskup kompaktnog prostora ne mora biti za-tvoren. Promotrimo npr. skup X = {a, b} s trivijalnom topologijom: ovo jekompaktan prostor, a njegov podskup A = {a} je kompaktan, ali nije zatvoren!

Teorem 2.26. Kompaktan podskup Hausdorffovog prostora je zatvoren.

DOKAZ : Neka je X Hausdorffov prostor i A X njegov kompaktan podskup. Pokazatcemo da je X A otvoren skup. Neka je x X A. Za svaku tocku a A postojeotvorene disjunktne okoline O(a)x i U

(x)a . Familija skupova {U (x)a } cini jednak otvoren

pokrivac kompaktnog skupa A, pa postoji i njegov konacan potpokrivac, {U (x)a }. PresjekOx O(a)x je po konstrukciji neprazan (sadri barem tocku x) otvoren skup disjuntansa svakim od skupova {U (x)a }, pa onda i s njihovom unijom. Odavde slijedi da jeOxA =, odnosno Ox (X A).


Komentar 2.27. Zatvoren podskup Hausdorffovog prostora ne mora biti kom-paktan. Promotrimo skup R sa standardnom topologijom: ovo je Hausdorffovprostor, medutim, njegov podskup [1, je zatvoren, ali nije kompaktan jernjegov otvoren pokrivac

P ={ 0, n | n N}

nema konacnog potpokrivaca!

Lema 2.28. Neka su b > a > 0 realni brojevi i n N. Hiperkocka [a, b]n Rn jekompaktan potprostor topolokog prostora Rn.

DOKAZ : Oznacimo s K0 = [a, b]n i pretpostavimo da ovo nije kompaktan prostor.Neka je P = {O} otvoren pokrivac skupa K0. Prepolovimo li sve stranice (du koor-dinatnih osi) hiperkocke K0, dobit cemo 2n hiperkocaka. Barem jedna od njih nemakonacnog potpokrivaca (u protivnom bi postojao konacan potpokrivac, to je u kontra-dikciji s pocetnom pretpostavkom). Oznacimo tu hiperkocku s K1, te nastavimo itera-tivno s ovim postupkom. Time dobivamo beskonacnu familiju ugnjedenih hiperkocaka,K0 K1 K2 . . . .

Sada tvrdimo da je presjek Q =iKi neprazan i sadri tocno jednu tocku. Promo-

trimo bridove du jedne od koordinatnih osi,

[a, b] [c1, d1] [c2, d2] . . .Kako za sve i, j N vrijedi ci dj , niz {ci} ima supremum c sup{ci}, a niz {di}infimum d inf{di} (prema jednom od aksioma skupa realnih brojeva svaki odozgoogranicen skup A R ima supremum u R), te vrijedi c d i stoga J [c, d] 6= .Nadalje, vrijedi J [ci, di] za sve i N, pa je

i[ci, di] neprazan skup. Ponavljanjem

analognog postupka za sve koordinatne osi dokae se da je i presjek Q neprazan skup.Konacno, kako su intervali [ci, di] proizvoljno malene duljine (konkretno, ona iznosi2i|b a|), interval J ne moe biti konacne duljine, pa je c = d, odakle slijedi da je sepresjek Q sastoji od tocno jedne tocke, na primjer Q = {x}.

Neka je O P element pokrivaca koji sadri tocku x. Kako je O otvoren skup, tadapostoji otvorena kugla B(y, r) O , takva da je x B(y, r). Ova kugla sadri sve osimkonacno mnogo hiperkocaka iz gornje familije (preciznije, postoji m N, takav da suKi B(y, r) za sve i m). No, tada je jednoclana familija {O} konacan potpokrivacsvake hiperkocke Ki za i m, to je u kontradikciji s pretpostavkom da niti jedna odnjih nema konacnog potpokrivaca. Dakle, K0 je kompaktan potprostor.

Definicija 2.29. Za skup A Rn kaemo da je omeen ako je moguce obuhva-titi otvorenom kuglom konacnog radijusa, odnosno ako postoji p Rn i realanbroj r > 0, takav da je A B(p, r).

Teorem 2.30. (Heine-Borel) Skup A Rn je kompaktan akko je zatvoren iomeden.

DOKAZ : Pretpostavimo da je A Rn kompaktan skup. Kako je Rn Hausdorffovprostor, iz Teorema 2.26 slijedi da je A zatvoren skup. Nadalje, odaberimo proizvoljnutocku x Rn, te promotrimo familiju skupova

P ={B(x, n) | n N

}

31 2.3. Kompaktnost

koja je pokrivac prostora Rn, a onda ujedno i pokrivac skupa A. Ako bi A bio neomedenskup, tada ga bi ga bilo nemoguce pokriti s konacno mnogo elemenata ovog pokrivaca,to je u kontradikciji s pretpostavkom da je A kompaktan. Dakle, A je nuno i omedenskup.

Obratno, pretpostavimo da je A Rn zatvoren i omeden skup. Tada postoji otvo-rena kugla B(p, r) A, a onda i hiperkocka [a, b]n B(p, r) A. Prema Lemi 2.28hiperkocka je kompaktan prostor, a prema Teoremu 2.24 zatvoren podskup kompaktnogprostora je kompaktan, odakle slijedi da je A kompaktan skup.

Primjeri

n-sfera Sn = B(p, r) je kompaktan skup jer je omeden (na primjer, ku-glom B(p,R) uz R > r) i zatvoren skup (rub skupa je uvijek zatvorenskup).

Cantorov skup C R je omeden (C B(0, 2) = 2, 2) zatvoren skup(Teorem 1.28), pa je stoga i kompaktan.

Teorem 2.31. Neka je (X,T ) topoloki prostor. Ako su A,B X njegovi kom-paktni podskupovi, tada je i A B kompaktan skup. Ako je (X,T ) Hausdorffovprostor, tada je i A B kompaktan skup.

DOKAZ : Kroz naredne dokaze cemo pretpostaviti da su skupovi A i B, kao i skup ABneprazni (u protivnom imamo trivijalne tvrdnje).

a) Promotrimo PAB, otvoren pokrivac skupa AB. On je ujedno i otvoren pokrivacskupa A, a kako je A kompaktan, po definiciji postoji i njegov konacan potpokrivac PA.Analogno postoji i konacan potpokrivac PB skupa B. Unijom ova dva potpokrivaca,PAB PA PB dobivamo konacan potpokrivac skupa A B.

b) Promotrimo PAB, otvoren pokrivac skupaAB. Prvo cemo konstruirati pokrivacskupa A B, i to takav kojem su svi clanovi disjunktni sa skupom A B. Uzmemo lia A B, tada za svaki b B moemo, koristeci Hausdorffovo svojstvo prostora X,odabrati disjunktne otvorene skupove O(b)a i O

(a)b . Familija skupova

P ={O

(a)b | b B

}cini jedan pokrivac skupa B, a kako je B kompaktan, postoji njegov konacan potpokrivac

P ={O

(a)bi| bi B

}Svakom od skupova O(a)bi odgovara tocno jedan skup O

(bi)a . Presjek Qa

iO

(bi)a je

po konstrukciji neprazan (sadri barem tocku a) otvoren skup disjunktan sa skupom B,a time i sa skupom A B. Familija skupova PAB {Qa} cini jedan pokrivac skupa A,a kako je A kompaktan, postoji i njegov konacan potpokrivac, PAB {Qa} (skup Qamora biti prisutan u potpokrivacu jer niti jedan od skupova u pokrivacu PAB ne sadritocku a A B). Na ovaj nacin smo konstruirali konacan potpokrivac PAB skupaA B (ovdje je kljucna cinjenica da je skup Qa disjunktan s A B).


Lema 2.32. Ako su A i B disjunktni kompaktni podskupovi Hausdorffovog pros-tora (X,T ), tada postoje disjunktni otvoreni skupovi U A i V B.

DOKAZ : Promotrimo x A. Koristeci Hausdorffovo svojstvo skupa X, za svaki y Bodaberemo disjunktne otvorene skupove O(y)x i O

(x)y (gdje je x O(y)x i y O(x)y ). Fa-

milija skupova {O(x)y } (za fiksan x) cini jedan otvoren pokrivac skupa B. Kako je skupB kompaktan, postoji konacan potpokrivac {O(x)y }. Ovim skupovima su jednoznacnopridrueni skupovi {O(y)x }. Definirajmo Qx y O(y)x . Buduci da je definiran kao pre-sjek konacno mnogo otvorenih skupova, sam Qx je otvoren skup koji sadri (barem) x.Osim toga, Qx je disjunktan s otvorenim skupom Vx y O(x)y (u protivnom bi postojaoz Vx sadran u svim O(y)x ) i vrijedi B Vx, pa je i Qx B = . Familija skupova{Qx} cini jedan otvoren pokrivac skupa A, a kako je A kompaktan, postoji njegov ko-nacan potpokrivac {Qx}. Svakom od skupova Qx pripada jedinstven (disjunktan) skupVx. Svaki od skupova Vx sadri skup B, pa ga onda sadri i njihov presjek, otvoren skupV x Vx; osim toga V je po konstrukciji disjunktan sa svakim od skupova Qx, toznai da je i njihova unija, otvoren skup U xQx, disjunktan sa skupom V . Na krajuimamo dva disjunktna otvorena skupa U i V , od kojih prvi sadri skup A, a drugi skupB.

Korolar 2.33. Kompaktan Hausdorffov prostor je normalan.

DOKAZ : Promatramo dva disjunktna zatvorena skupa A,B X. Kako je X kompaktanprostor, iz prije pokazane leme slijedi da suA iB kompaktni (u potprostornoj topologiji).Kako jeX Hausdorffov prostor iz Leme 2.32 nadalje slijedi da postoje disjunktni otvoreniskupovi U A i V B.

2 ZADACI

1. Dokaite da je topoloki prostor povezan akko svaki njegov pravi neprazanpodskup ima neprazan rub.

2. Dokaite da je (X,T ) T1-prostor akko je svaka tocka p X presjek svihnjenih okolina.

3. Neka je (X,T ) T1-prostor i A X. Dokaite da je tocka a X gomiliteskupa A akko svaka okolina Oa sadri beskonacno mnogo elemenata iz A.

4. Neka je (X,T ) beskonacan Hausdorffov prostor. Dokaite da postoji be-skonacna familija disjunktnih otvorenih skupova u X.

5. Dokaite da je zatvoren podskup normalnog prostora s relativnom topolo-gijom i sam normalan prostor.

6. Dokaite sljedecu tvrdnju: ako je K kompaktan, a Z zatvoren skup, tadaje K Z kompaktan skup.

7. Neka je A kompaktan podskup Hausdorffovog prostora X. Dokaite da jetada i A kompaktan skup.

8. Dokaite da je skup R u topologiji Zariskog kompaktan prostor.

3Preslikavanja medutopolokim prostorima

3.1 NEPREKIDNA PRESLIKAVANJA

Definicija 3.1. Neka su X i Y topoloki prostori. Kaemo da je preslikavanjef : X Y neprekidno ako je skup f1(O) otvoren u X za svaki otvoren skupO Y .

Komentar 3.2. Da li je neko preslikavanje neprekidno ovisi o topologijama nadomeni i kodomeni. Promotrimo, na primjer, slucaj kada je Y = X. Ako je TXdiskretna topologija, tada su sva preslikavanja f : X X neprekidna. Nasuprottome, ako je TX trivijalna, a TY neka netrivijalna topologija (pretpostavimo daX ima vie od jednog clana), tada primjerice niti identitet id : X X nijeneprekidno preslikavanje!

Korolar 3.3. Preslikavanje f : X Y je neprekidno akko je skup f1(C) zatvo-ren u X za svaki skup C zatvoren u Y .

Definicija 3.4. Neprekidnost je moguce definirati i lokalno: kaemo da je pres-likavanje f : X Y neprekidno u toki a X ako za svaku okolinu Of(a) Ypostoji okolina Oa X za koju vrijedi f(Oa) f(Of(a)).

Moemo li povezati ovu, lokalnu, i pocetnu definiciju neprekidnosti?

Lema 3.5. Neka su (X,TX) i (Y,TY ) topoloki prostori. Preslikavanje f : X Y je neprekidno akko je neprekidno u svakoj tocki x X.

33

POGLAVLJE 3. PRESLIKAVANJA MEU TOPOLOKIM . . . 34

DOKAZ : Pretpostavimo da je f neprekidno preslikavanje. Tada je za svaku tocku a Xi svaku okolinu Of(a) Y skup f1(Of(a)) X okolina tocke a. To znaci da postojiokolina Oa f1(Of(a)), pa je f(Oa) Of(a). Obratno, pretpostavimo da za svakutocku a X i svaku okolinu Of(a) Y postoji okolina Oa X za koju vrijedi f(Oa) Of(a). Pitamo se da li je f1(Of(a)) nuno otvoren skup? Za svaki b f1(Of(a))vrijedi f(b) Of(a), pa postoji okolina Of(b) Of(a). Nadalje, po pretpostavci postojii okolina Ob X, takva da je f(Ob) Of(b), a onda i f(Ob) Of(a). Odavde slijediOb f1(Of(a)), pa je f1(Of(a)) otvoren skup.

Definiciju neprekidnosti je dovoljno provjeriti na elementima baze topologije,kao to dokazuje naredna lema.

Lema 3.6. Neka su (X,TX) i (Y,TY ) topoloki prostori, A baza topologije TX ,te B baza topologije TY . Tada je preslikavanje f : X Y neprekidno akko jeskup f1(B) otvoren u X za svaki B B. Nadalje, preslikavanje f : X Y jeneprekidno u tocki a X akko za svaki element baze Bf(a) B postoji elementbaze Aa A, takav da je f(Aa) Bf(a).

DOKAZ : a) Pretpostavimo da je f neprekidno preslikavanje. Kako su svi elementibaze B B otvoreni skupovi, slijedi da su svi skupovi f1(B) otvoreni u X. Obratno,pretpostavimo da je za svaki B B skup f1(B) otvoren u X. Kako je svaki otvorenskup O Y moguce prikazati kao uniju elemenata baze B, imamo

f1(O) = f1(

B)

=

f1(B) ,

to je otvoren skup, jer je posrijedi unija otvorenih skupova.b) Pretpostavimo da je f preslikavanje neprekidno u tocki a X. Kako su svi ele-

menti baze B B otvoreni skupovi, slijedi da za svaki Bf(a) B postoji otvoren skupOa X, takav da je f(Oa) Bf(a). No, prema Teoremu 1.7 postoji i element bazeAa A, takav da je Aa Oa, pa je f(Aa) f(Oa) i stoga f(Aa) Bf(a). Obratno,pretpostavimo da za svaki element baze Bf(a) B postoji element baze Aa A, takavda je f(Aa) Bf(a). Promotrimo okolinu Of(a) Y . Iz Teorema 1.7 slijedi da postojielement baze Bf(a) takav da je f(a) Bf(a) Of(a). Konacno, prema pretpostavcipostoji Aa A, takav da je f(Aa) Bf(a), a stoga i f(Aa) Of(a). Skup Aa, kaoelement baze, je otvoren u X, pa je time dokazana tvrdnja.

Koristeci ovaj rezultat moemo se uvjeriti kako se Definicija 3.1 uistinu svodina uobicajenu definiciju neprekidnih preslikavanja koju smo susreli u realnoji kompleksnoj analizi. Prisjetimo se standardne definicije neprekidnosti:kaemo da je preslikavanje f : D R, za neki D R, neprekidno u tockix0 R ako za svaki realan broj > 0 postoji realan broj > 0, takav da vrijedi

|x x0| < |f(x) f(x0)| < .Ovu definiciju moemo jednostavno poopciti koritenjem otvorenih kugli: ka-emo da je preslikavanje f : D Rn, za neki D Rm, neprekidno u tockix0 Rm ako za svaki realan broj > 0 postoji realan broj > 0, takav davrijedi

f(B(x0, )) B(f(x0), )

35 3.1. Neprekidna preslikavanja

Nadalje, kaemo da je preslikavanje f neprekidno ako je neprekidno u svakojtocki domene D. Medutim, kako su otvorene kugle baze standardnih topologijana Rm i Rn, prema Lemi 3.6 slijedi naredni rezultat.

Korolar 3.7. Preslikavanje f : Rm Rn je neprekidno prema topolokoj defi-niciji akko je neprekidno prema definiciji.

Moemo se zapitati zato je u Definiciji 3.1 koriten inverz preslikavanja?Pretpostavimo da smo u Definiciji 3.1 zamjenili f1(O) s f(O) i promo-trimo f : R R, f(x) = x2. Prema uobicajenoj definiciji ovo je neprekidnopreslikavanje. Medutim, f(1, 1) = [0, 1 nije otvoren skup, pa prema modi-ficiranoj definiciji ovo ne bi bilo neprekidno preslikavanje. Poanta je da inverzima mnogo bolje ponaanje s obzirom na uniju i presjek skupova (vidi Doda-tak B).

Nije teko pronaci primjer preslikavanja koje je neprekidno svugdje osim ujednoj tocki, na primjer : R R,

(x) ={

0 , x < 01 , x 0 (3.1)

No, postoji li preslikavanje koje je neprekidno samo u jednoj tocki? Primjer saskupom s konacno mnogo elemenata,

X = {a, b, c} , T1 ={, {a}, X} , T2 = {, {a}, {b}, {b, c}, X}

Promotrimo identitet id : X X. On je neprekidan u tocki a, ali nije u b niti uc. Primjer na skupu realnih brojeva, f : R R,

f(x) ={x , x Q0 , x RQ (3.2)

Prvo cemo dokazati da je preslikavanje f neprekidno u tocki x = 0. Promotrimoelement baze kodomene 1, 2, gdje su 1, 2 > 0. Tada za = min{1, 2}imamo

f(, ) = , Q 1, 2Nadalje, tvrdimo da je preslikavanje f nije neprekidno u svim tockama x 6=0. Promotrimo element baze kodomene B = x 1, x+ 2, gdje su |x| >1, 2 > 0. Pitamo se postoji li element baze domene Ax, takav da je x Ax ivrijedi f(Ax) B. Svaki element baze domene Ax koji sadri tocku x sadri iiracionalne brojeve, pa je 0 f(Ax). Medutim, 0 / B, pa preslikavanje f nemoe biti neprekidno u tocki x.

Teorem 3.8. Neka su X, Y i Z topoloki prostori. Vrijede sljedeca pravila kons-truiranja neprekidnih funkcija:

a) Konstantno preslikavanje f : X Y , koje sve tocke iz X preslikava uy0 Y je neprekidno.


b) Inkluzija. Ako je A potprostor od X, tada je inkluzija : A X neprekidnopreslikavanje.

c) Kompozicija. Ako su f : X Y i g : Y Z neprekidna preslikavanja,tada je i njihova kompozicija, g f : X Z, neprekidno preslikavanje.

d) Restrikcija domene. Ako je f : X Y neprekidno preslikavanje i A pot-prostor od X, tada je f |A : A Y neprekidno preslikavanje.

e) Restrikcija ili proirenje kodomene. Neka je f : X Y neprekidno presli-kavanje. Ako je Z potprostor od Y , takav da f(X) Z, tada je preslikava-nje g : X Z, dobiveno restrikcijom preslikavanja f , neprekidno. Nadalje,ako je Z prostor kojem je Y potprostor, tada je preslikavanje h : X Z,dobiveno proirenjem kodomene preslikavanja f , neprekidno.

f) Lokalnost neprekidnosti. Preslikavanje f : X Y je neprekidno akko pos-toji otvoren pokrivac P = {O}J prostora X, takav da je svaka restrikcijaf |O neprekidno preslikavanje.

Teorem 3.9. Neka su f, g : X F neprekidna preslikavanja iz topolokog pros-tora X u polje F = R ili C. Tada su f + g, f g i f g neprekidna preslikava-nja. Nadalje, f/g je neprekidno preslikavanje u svim tockama a F u kojima jeg(a) 6= 0. Posljedica: polinomi su neprekidna preslikavanja.

Lema 3.10. (Lema o lijepljenju) Neka je X = AB, gdje su A i B dva otvorenaili dva zatvorena skupa u X, a f : A Y i g : B Y neprekidna preslikavanja.Ako je f(x) = g(x) za sve x A B, onda f i g daju neprekidno preslikavanjeh : X Y definirano s

h(x) {f(x) , x Ag(x) , x B

DOKAZ : Neka je O Y otvoren skup. Uvijek vrijedih1(O) = f1(O) g1(O)

Preslikavanje f je po pretpostavci neprekidno, pa je skup f1(O) otvoren u A, a stoga iu X. Nadalje, i preslikavanje g je po pretpostavci neprekidno, pa je skup g1(O) otvorenu B, a stoga i u X. Unija dva otvorena skupa je otvoren skup, cime je dokazano da je hneprekidno preslikavanje. Potpuno analogno se dokae tvrdnja u slucaju kada su A i Bdva zatvorena skupa.

U analizi se obicno obraduju tri klasicna teorema, teorem o meduvrijednos-tima (engl. intermediate value theorem), teorem o postojanju ekstrema (engl.maximum value theorem) i teorem o uniformnoj neprekidnosti na kompaktu(engl. uniform continuity theorem). Valjanost prvog ovisi o povezanosti, a va-ljanost druga dva o kompaktnosti prostora. Ovdje cemo izloiti prva dva, adokaz treceg odgadamo za poglavlje o metrickim prostorima.


Lema 3.11. Neka su X i Y topoloki prostori, a f : X Y neprekidno preslika-vanje. Ako je

a) X povezan, tada je i f(X) povezan prostor;

b) A X kompaktan skup, tada je i f(A) kompaktan skup.

DOKAZ : a) Ako je f(X) nepovezan prostor, tada ga moemo napisati kao uniju dvadisjunktna otvorena skupa, f(X) = A B. Nadalje, vrijedi i X = f1(A B) =f1(A) f1(B), gdje su f1(A) i f1(B) disjuktni neprazni skupovi. Kako je popretpostavci f neprekidno preslikavanje, ovi skupovi su otvoreni, pa je X nepovezanprostor. Dakle, ako je X povezan prostor, prostor f(X) ne moe biti nepovezan.

b) Pretpostavimo da je A X kompaktan skup i neka je P otvoren pokrivac skupaf(A). Kako je f neprekidno preslikavanje, skup f1(O) je otvoren za svaki O P, pa jefamilija skupova

Q ={f1(O) | O P

}otvoren pokrivac skupa A. Po pretpostavci, A je kompaktan skup, pa postoji konacanpotpokrivac

Q ={f1(Oi) | Oi P

}Time je konstruiran konacan potpokrivac P = {Oi} pokrivaca P, cime smo dokazali daje f(A) kompaktan skup.

Teorem 3.12. (Teorem o meduvrijednostima) Neka je f : X Y neprekidnopreslikavanje, gdje je X povezan prostor, a (Y,


postoji a X, takav da je f(a) f(x) za svaki x X. Analogno se pokae postojanjeminimuma.

Moemo se posluiti sljedecim slikovitim primjerom: pretpostavimo da je tem-peratura na povrini Zemlje Z zadana neprekidnim preslikavanjem T : Z R.Neovisno o tome da li plohu Z aproksimiramo sferom, elipsoidom ili krumpiro-likim geoidom, posrijedi je uvijek povezan kompaktan prostor. Prema Teoremu3.13 znamo da na povrini Zemlje u svakom trenutku postoji (barem jedna)tocka s maksimalnom temperaturom Tmax i (barem jedna) tocka s minimalnomtemperaturom Tmin. Nadalje, prema Teoremu 3.12, temperatura na povriniZemlje u svakom trenutku poprima sve vrijednosti iz intervala [Tmin, Tmax].

Teorem 3.14. (Teorem o srednjoj vrijednosti). Neka je : A R, A R3rjeenje Laplaceove jednadbe, 2 = 0. Tada je vrijednost funkcije u svakojtocki a A jednak srednjoj vrijednosti funkcije na bilo kojoj sferi S A sasreditem u tocki a.

DOKAZ : Ishodite koordinatnog sustava moemo bez smanjenja opcenitosti smjestitiu tocku a A. Srednja vrijednost funkcije (r) na sferi S radijusa r sa sreditem upromatranoj tocki dana je izrazom

(r) 14pir2S

(r) da = 14pi

pi0

sin d 2pi

0(r) d

Ako sada deriviramo ovaj izraz po radijalnoj koordinati r, pa iskoristimo Gaussov teoremi Laplaceovu jednadbu, dobit cemo

d

dr= 14pi

pi0

sin d 2pi

0

(r)dr

d = 14pir2

S

(r)dr

da =

= 14pir2

S

n (r) da = 14pir2B

2(r) d = 0

Odavde slijedi da (r) ima konstantnu vrijednost za svaki r > 0 unutar promatranogvolumena. Preostaje jo dokazati da je ova vrijednost upravo jednaka vrijednosti funkcije u ishoditu.

Funkcija (r) je rjeenje Laplaceove jednadbe, pa je barem C2, a onda i neprekidnafunkcija: za svaki > 0 postoji > 0, takav da |r| < povlaci |(r)(0)| < . Nadalje,kako je (r) neprekidna funkcija, ona na kompaktnom skupu (u naem slucaju sferi S)poprima minimalnu vrijednost min(r) i maksimalnu vrijednost max(r),

min(r) (r, , ) max(r)odakle integracijom po sferi radijusa r i dijeljenjem s njenom povrinom 4pir2 slijedi

min(r) (r) max(r)Koristeci ove nejednakosti i neprekidnost funkcije (r) znamo da za svaki > 0 postoji > 0, takav da |r| < povlaci(r) (0) max{ |min(r) (0)| , |max(r) (0)|} < Odavde slijedi

limr0

(r) = (0)


Teorem 3.15. Ako su f, g : X Y neprekidna preslikavanja iz opcenitog topo-lokog prostora X u Hausdorffov prostor Y , tada je skup

A ={a X | f(a) = g(a)}

zatvoren u X.

DOKAZ : Ako je A = X, tada tvrdnja odmah slijedi. Pretpostavimo stoga da je X Aneprazan skup, te promotrimo b X A. elimo pokazati da je X A otvoren skup,odnosno da svaka njegova tocka ima okolinu disjunktnu sa skupom A. Kako je f(b) 6=g(b), a Y je po pretpostavci Hausdorffov prostor, tada postoje disjunktne okoline Uf(b) iVg(b). Preslikavanja f i g su neprekidna, pa su Ob = f1(Uf(b)) i Qb = g1(Vg(b)) dvijeokoline tocke b. Konacno, njihov presjek ObQb je okolina tocke b disjunktna sa skupomA, jer za svaki c Ob Qb vrijedi f(c) Uf(b) i g(c) Vg(b), te stoga f(c) 6= g(c).

Korolar 3.16. Neka je S X gust podskup topolokog prostora X, te neka je YHausdorffov topoloki prostor. Ako su f, g : X Y dva neprekidna preslikavanjakoja se preklapaju na skupu S (tj. f(s) = g(s) za sve s S) tada se ona preklapajuna cijeloj domeni, f(x) = g(x) za sve x X.

DOKAZ : Skup S je podskup skupa A iz Teorema 3.15, S A, a kako je A zatvorenskup, prema Teoremu 1.14 vrijedi i S A. Po pretpostavci je S = X, odakle slijediA = X.

Na primjer, ako imamo dva neprekidna preslikavanja f, g : R R, koja sepreklapaju na skupu Q, tada su ona nuno identicna preslikavanja na cijelomskupu R.

Definicija 3.17. Put izmedu tocaka a, b X je neprekidno preslikavanje f :[0, 1] X, takvo da vrijedi f(0) = a i f(1) = b. Topoloki prostor X jeputevima povezan ako za svaki par tocaka a , b X postoji put u X od ado b. Komponente povezanosti putevima (krace, kpp) prostora X su klaseekvivalencije s obzirom na relaciju definiranu za sve x, y X na nacin da jex y ako postoji put u X od x do y.

Teorem 3.18. Putevima povezan prostor X je nuno i povezan prostor.

DOKAZ : Pretpostavimo da je putem povezan prostor X disjunktna unija nepraznihotvorenih skupova A i B. Odaberimo tocke a A i b B. Kako je X putem povezanslijedi postojanje puta f : [0, 1] X od a do b. Tada su f1(A) i f1(B) dva nepraznadisjunktna otvorena skupa u [0, 1], cija je unija cijeli skup [0, 1], to je u kontradikciji scinjenicom da je segment [0, 1] povezan (Korolar 2.7).

Lema 3.19. Neka su X i Y topoloki prostori, te f : X Y neprekidno presli-kavanje. Ako je X je putevima povezan prostor, tada je i f(X) putevima povezanprostor.


DOKAZ : Neka je X putevima povezan prostor. Za svake dvije tocke u, v f(X) postoje(ne nuno jedinstvene) tocke a, b X, takve da je f(a) = u i f(b) = v. Kako je Xputevima povezan prostor, postoji put g : [0, 1] X od a do b. Tada je kompozicijaf g : [0, 1] Y put u f(X) od u do v, pa je f(X) putevima povezan prostor.

Primjer: Topoloka sinus krivulja

Promotrimo skup

S ={

(x, sin(1/x)) R2 | 0 < x 1}Zatvarac ovog skupa sastoji se od krivulje S i zatvorenog intervala I,

S = S I , I = {(0, x) R2 | 1 x 1}Tvrdimo da je skup S, poznat kao topoloka sinus krivulja, primjer skupa koji jepovezan, ali nije putevima povezan.

DOKAZ : Skup S je zatvarac povezanog skupa S, pa je prema Teoremu 2.11 i sampovezan. Pretpostavimo da postoji f : [0, 1] S, put s pocetnom tockom u I. Kakoje I zatvoren skup u R2, a stoga i u S, slijedi da je f1(I) zatvoren skup u R. Dokazatcemo da je f1(I) i otvoren skup. Neka je x f1(I). Odaberimo mali otvoren diskD = B(f(x), ) R2. Kako je f neprekidna, f1(D S) je otvoren skup u [0, 1]koji sadri tocku x. To znaci da postoji otvoren interval O = a, b [0, 1] koji sadrix i sadran je u f1(D S). Ovaj interval je putem povezan, pa je i njegova slikaf(O) putem povezana i stoga lei u jednoj od kpp skupa D S. Ova kpp sadri tockuf(x) I, pa je posrijedi skup D I. To znaci da je f(O) I, odnosno O f1(I).Drugim rijecima, f1(I) sadri okolinu tocke x u [0, 1], a kako je x bila proizvoljna tockaskupa f1(I), slijedi da je i sam f1(I) otvoren u [0, 1]. Kako je [0, 1] povezan, a f1(I)neprazan skup, slijedi da je f1(I) = [0, 1]. Konacno, ovo povlaci f([0, 1]) I, pa nepostoji put u S koji povezuje tocku iz I s tockom iz S.

3.2 HOMEOMORFIZMI

Definicija 3.20. Neka su (X,TX) i (Y,TY ) topoloki prostori. Za bijekciju : X Y kaemo da je homeomorfizam ako su i njen inverz, 1 : Y X,neprekidna preslikavanja.

Komentar 3.21. Neprekidna bijekcija f : X Y ne mora nuno biti home-omorfizam. Jedan protuprimjer je bijekcija f : (X,T1) (X,T2), gdje je T1neka netrivijalna, a T2 trivijalna topologija na nepraznom skupu X; preslikava-nje f jest, ali f1 nije neprekidno preslikavanje! Drugi, neto opipljiviji primjerje neprekidna bijekcija f : P S1, definirana na potprostoru P = [0, 2pi Rpreko f(x) = (c

Topologija u Fizici - Ivica Smolić, skripta

Documents

Transcript of Topologija u Fizici - Ivica Smolić, skripta