Topologie g©n©rale

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licence de mathématiques pures

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  • LICENCEDE

    MATHMATIQUESPURES

    TopologieGnrale

    Philippe Charpentier

    Universit Bordeaux IAnne universitaire 2000-01

  • PHILIPPE CHARPENTIERUNIVERSIT BORDEAUX I

    LABORATOIRE DE MATHMATIQUES PURES351, COURS DE LA LIBRATION, 33405 TALENCE

    Adresse lectronique: Philippe.Charpentier@math.u-bordeaux.fr

  • Introduction

    Ce Polycopi a t ralis durant lanne universitaire 2000-2001 alors que jenseignais les certificatsde Licence LA1 et LA2. Jai choisi de faire une prsentation assez exhaustive (donc ne correspon-dant pas toujours exactement au contenu des programmes officiels de la Licence de Bordeaux)pour prparer aux complments de topologie du certificat dAnalyse Fonctionnelle de Matriseaffin dviter au maximum les trous que jai pu constater en travaillant la prparation deloral de lagrgation.La prsentation tche toujours de dgager en premier les concepts gnraux mme si on neles utilise que dans des cas particuliers. Cest ainsi que, par exemple toutes les notions topologiques que lon doit introduire lorsde ltude des espaces mtriques sont dfinies dans le cadre gnral des espaces topologiques ; cela permet de bien distinguer lesnotions de nature topologique de celles de nature mtrique. Ceci amne videmment rajouter un certain nombre de dfinitionsconcernant les espaces topologiques. Dans le chapitre sur les espaces mtriques, seul le thorme dAscoli t rajout.

    Dans le mme tat desprit, pour que la notion de srie, et de srie multiple, dans un espace norm soit bien comprise, jintro-duis celle de famille sommable et je dcris prcisment les liens qui existent entre les deux notions. Cette notion permet de plusdtudier les espaces fondamentaux lpI (E) et c0(E) ainsi que de traiter, en toute gnralit, la thorie des espaces de Hilbert. Dansle chapitre sur les espaces norms, par rapport au programme officiel, jai rajout les thormes classiques lis au thorme deBaire (Sous-section III.4.3, page 61) et le thorme de Hahn-Banach (Sous-section III.4.4, page 62). Pour des raisons de cohrence,je considre que ce dernier thorme doit tre enseign en Licence. En annexe, jai dvelopp les notions de thorie des ensemblesrelatives laxiome du choix, au lemme de Zorn (utile pour le thorme de Hahn-Banach) et la cardinalit des ensembles. Atitre de rfrence, citons les ouvrages suivants qui ont inspir bien des points : [Die68], [Rud70], [DS67]. Pour la partie thorie desensembles, les courageux pouront consulter [Bou67].

    Les exercices des fins de chapitre sont ds Grard Galusinski.Philippe Charpentier

    iii

  • Table des matires

    Introduction iii

    Table des Matires vi

    CHAPITRE I. Les nombres rels 1I.1. Une construction deR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.2. Suites de nombres rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    CHAPITRE II. Espaces mtriques 7II.1. Vocabulaire topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7II.2. Espaces mtriques, dfinition et premires proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9II.3. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12II.4. Continuit dans les espaces topologiques et mtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    II.4.1. Suites dans un espace mtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13II.4.2. Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14II.4.3. Continuit uniforme, isomtries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16II.4.4. Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    II.5. Espaces connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18II.5.1. Connexit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18II.5.2. Connexit par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    II.6. Produit despaces topologiques et despaces mtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21II.7. Espaces mtriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    II.7.1. Suites de Cauchy, espaces mtriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23II.7.2. Exemples despaces mtriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26II.7.3. Thormes de prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27II.7.4. Compltion dun espace mtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.7.5. Thormes du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    II.8. Espaces compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30II.8.1. Espaces topologiques compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30II.8.2. Espaces mtriques compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33II.8.3. Espaces localement compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36II.8.4. Compactification dun espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37II.8.5. Applications aux espaces de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    CHAPITRE III. Espaces vectoriels norms 51III.1. Espaces norms et espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51III.2. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54III.3. Sries et familles sommables dans un espace norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    III.3.1. Sries dans un espace norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54III.3.2. Familles sommables et absolument sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56III.3.3. Sries commutativement convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57III.3.4. Les espaces lpI (E) et c0(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    III.4. Espaces dapplications linaires et multilinaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59III.4.1. Applications multilinaires et linaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59III.4.2. Hyperplans ferms et formes linaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60III.4.3. Les Thormes de Banach et de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61III.4.4. Le Thorme de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62III.4.5. Dual dun espace norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64III.4.6. Duaux des espaces lpI (E) et c0(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    III.5. Espaces norms de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66III.5.1. Structure des espaces norms de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66III.5.2. Sries et familles sommables dans les espaces norms de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    v

  • TABLE DES MATIRES

    Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    CHAPITRE IV. Espaces de Hilbert 73IV.1. Formes hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    IV.1.1. Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73IV.1.2. Formes hermitiennes positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74IV.1.3. Exemples de formes hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    IV.2. Espaces prhilbertiens et Hilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75IV.3. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76IV.4. Projection sur un sous-ensemble convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    IV.4.1. Projection sur un convexe spar et complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76IV.4.2. Projection sur un cne convexe spar et compl