Topologia-limite y Continuidad

8/18/2019 Topologia-limite y Continuidad

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1

CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES

CONCEPTOS TOPOLÓGICOS BÁSICOS

Definición

Sea y+ − < − Þ‘ ‘8

* Llamaremos vecindad abierta centrada en y de radio al+


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2

3.- si 8 œ $ à FÐÐ+ß ,ß -Ñß


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3

Ejemplo

1.- son cerrados en œ Ò #ß 'Ó F œ Ó (ß "Ó ‘ ‘ ‘à

2.- no es cerrado en œ Ó 'ß 'Ó ‘ ‘

3.- es cerrado en œ Ò #ß "Ó ) Ò 'ß *Ó ‘ ‘# #

4.- no es cerrado en œ Ò #ß "Ó ) Ò "ß $Ò ‘ ‘# #

5.- no es cerrado en œ Ó #ß 'Ò ) Ó "ß $Ò ) Ö$× ‘ ‘3 3

6.- es cerrado en œ Ò #ß "Ó ) Ò 'ß *Ó ) Ö$× ‘ ‘3 3

7.- no es cerrado y no es abierto en œ Ò #ß "Ó ) Ò "ß $Ò ‘ ‘# #

Definición

Sean y Diremos que es un punto de9 ‘ ‘ + − Þ +8 8

acumulación de ssi ( ) < & ! ÐF Ð+ß


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4

Teorema

´ es cerrado œ

Observación Reciproco es falso ejemplo :

es cerrado y ´ œ Ò 'ß 'Ó Öß *× œ Ò 'ß 'Ó

Definición

Sea Diremos que es un conjunto acotado en9 ‘ ‘ Þ 8 8

ssi ( )%< & ! Ð FÐ!ß


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5

Sea ,9 ‘ ‘ , − Þ8 8

Diremos que es un punto frontera de, ssi ( )< & ! ÐFÐ+ß


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6

1.- Llamaremos segmento lineal que une los puntos 4 ß 5 − ‘8

al conjunto que denotaremos por , donde :4 5

con4 5 œ ÖB − B œ Ð" 2Ñ4 25 ß ! 6 2 6 "×‘8

y diremos que es el punto inicial y que es el punto terminal del4 5 segmento.

2.- Llamaremos linea poligonal ó poligonal a la unión de un número finito de segmentos lineales de modo que el punto terminal de uno coincida con el punto inicial del siguiente .

3.- Sea 9 ‘ Þ

8

Diremos que es una región de ssi es abierto y dados dos ‘8

puntos cualesquiera de , estos pueden ser unidos por una poligonal totalmente contenida en

Ejemplo

1.- Sean se tiene que4 œ Ð "ß #Ñ à 5 œ Ð$ß 7Ñ ß

4 5 œ ÖÐBß CÑ − ÐBß CÑ œ Ð" 2ÑÐ "ß #Ñ 2Ð$ß 7Ñ ß ! 6 2 6 "×‘# œ ÖÐBß CÑ − ÐBß CÑ œ Ð " '2ß # 2Ñ ß ! 6 2 6 "×‘# œ ÖÐBß CÑ − B œ " '2 / C œ # 2 ß ! 6 2 6 "×‘# (segmento de recta)œ ÖÐBß CÑ − œ œ 2 ß ! 6 2 6 "×‘# B"'

C#

FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES


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7

Definición

Diremos que es una función 9 ::::::;‘ ‘8

::::::; ÐÑ

ssi ( )( ! ) − % C − ÐC œ ÐÑÑ‘ en tal caso diremos que es una función escalar

Definición

Diremos que es una función 9 ::::::;‘ ‘8 =

::::::; Ð ÐÑß ÐÑß ÞÞÞß ÐÑÑ" # =

ssi ( )( ! ) − % > − Ð> œ ÐÑÑ‘=

en tal caso diremos que es una función vectorial y se dice que : son las funciónes componentes de 9 ::::::; ?

8‘ ‘

::::::; ÐÑ?

Ejemplo

1.- es una función 9 ::::::::;‘ ‘#

ÐBß CÑ ::::::; #B $C

2.- es una función 9 ::::::::::;‘ ‘#

ÐBß CÑ ::::::; #BCB C "# #

3.- es una función 9 ÖÐBß CÑ − B & C×::::::;‘ ‘# # ÐBß CÑ :::::::; @8ÐB CÑ#

4.- es una función 9 ::::::::::;‘ ‘$ #

ÐBß Cß Ñ ::::::; Ð#B $Cß $Ñ

.- es una función 9 ::::::::::;‘ ‘#

2 ::::::; Ð$2 'ß 2 #Ñ#

Ejemplo


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8

Si se sabe que los costos de fabricación de una caja de lados

rectangulares es por de :US$ 3 la base , US$ 2 la tapa y-=#

es de US$ 1 los laterales.

Encuentre la función que permite calcular el costo de dicha caja

Solución

A œ $BC #BC $B #C œ BC #B #C

luego: A 9 ::::::::::;‘ ‘ $

ÐBß Cß Ñ :::::::; BC #B #C

Ejemplo

Encuentre la función que determina el costo de todas las cajas cuyo volumen sea de respecto a las dimensiones de"*!Ò-= Ó3

la base si se sabe que : el costo de la base y la tapa es de $ 90 elß ,el costo de dos caras paralelas es de $ el y elÒ-= Ó ! Ò-= Ó# #

costo de las otras dos caras paralelas es de $ el*! Ò-= Ó Ó#

Solución

es decir œ BC œ "*! œ "*!BC

A œ D! E #BC ! E #B *! E #C

œ "!BC "*!B "#!C œ "!BC #!!! "D#!!C B función costoA 9 ::::::::::;‘ ‘

2

ÐBß C Ñ :::::::; "!BC #!!! "D#!!C B

Observación


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9

1.- Dada una función de ‘ ‘ ‘en , su grafico se representa en #

2.- en , su grafico se representa enDada una función de ‘ ‘ ‘# $

Definición

Dada la función 9 ::::::;‘ ‘#

ÐBß CÑ ::::::;ÐBß CÑ

Llamaremos curva de nivel , , al conjunto de puntos que − ‘ denotaremos por : dondeA A œ ÖÐBß CÑ − ÐBß CÑ œ × Ejemplo Dada la función 9 ::::::::;‘ ‘#

ÐBß CÑ ::::::;#B " se tiene que :

A œ ÖÐBß CÑ − #B " œ × œ ÖÐBß CÑ − B œ × # # "

#‘ ‘

es decir : recta vertical)A 9 B œ Ð!"#

recta vertical) ; recta vertical)A 9 B œ ! Ð A 9 B œ " Ð" $

Las curvas de nivel descomponen el dominio de la función según será el nivel de sus imagenes

En el problema ,se tiene que los puntos de nivel son los puntos de A es decir , los puntos que están en la recta vertical : B œ œ #"#

Se tiene por lo tanto que ,el domonio de se descompone del siguiente modo rectas verticales ):Ð

se tiene que por ejemplo el punto tiene imagen4 œ Ð 'ß CÑ

de nivel : es decir luego, su imagen es"# œ ' œ 7 7

Ejemplo


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Dada la función 9 ::::::::;‘ ‘#

ÐBß CÑ ::::::;#B C " se tiene que :

A œ ÖÐBß CÑ − #B C " œ × #‘

œ ÖÐBß CÑ − C œ #B " ×‘#

es decir : recta de pendiente 2 )A 9 C œ #B " Ð!

recta con ) ; recta con )A 9 C œ #B Ð = œ # A 9 C œ #B $ Ð = œ #" '

Las curvas de nivel descomponen el dominio de la función según será el nivel de sus imagenes

En el problema ,se tiene que los puntos de nivel son los $ puntos de es decir , los puntos que están en la recta deA $ pendiente 2 : C œ #B '

Se tiene por lo tanto que ,el domonio de se descompone del siguiente modo rectas paralelas de pendiente 2 ):Ð

se tiene que por ejemplo el punto tiene imagen de nivel:4 œ Ð ß $Ñ

es decir luego, su imagen es$ œ #Ð Ñ " œ "# "#

Definición


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Dada la función 9 ::::::;‘ ‘$

ÐBß Cß Ñ ::::::; ÐBß Cß Ñ

Llamaremos superficie de nivel , , al conjunto de puntos que − ‘

denotaremos por : dondeG G œ ÖÐBß Cß Ñ − ÐBß Cß Ñ œ × Ejemplo Dada la función se tiene que : 9 ::::::::; ß‘ ‘$

ÐBß Cß Ñ ::::::;#B "

G œ ÖÐBß Cß Ñ − #B " œ × œ ÖÐBß CÑ − B œ × $ # "

#‘ ‘

es decir : plano vertical)G 9 B œ Ð!"

#

plano vertical) plano vertical)G 9 B œ " Ð à G 9 B œ # Ð" $ Las curvas de nivel descomponen el dominio de la función según será el nivel de sus imagenes En el problema ,se tiene que los puntos de nivel son los puntos de es decir ,los puntos que están en el plano verticalG

B œ œ $"# Se tiene por lo tanto que ,el domonio de se descompone del

siguiente modo planos verticales ):Ð

se tiene que por ejemplo el punto tiene imagen4 œ Ð 'ß #ß Ñ

de nivel : es decir luego, su imagen es ' œ œ D D"#

Ejemplo


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12

Dada la función se tiene que : 9 ::::::::; ß‘ ‘$

ÐBß Cß Ñ ::::::; B C# #

G œ ÖÐBß Cß Ñ − B C œ × $ # #‘

œ ÖÐBß Cß Ñ − B C œ Ð Ñ ×‘$ # # # È es decir : G œ ÖÐBß Cß Ñ − B C œ !×!

$ # #‘ recta)œ ÖÐ!ß !ß Ñ − − × Ð‘ ‘$ cilindro circular ) cilindro circularG 9 B C œ " Ð à G 9 B C œ ' Ð" '

# # # #

)

Las superficies de nivel descomponen el dominio de la función según será el nivel de sus imagenes

En el problema ,se tiene que los puntos de nivel son los $ puntos de es decir el vacíoG $

Se tiene por lo tanto que ,el domonio de se descompone del siguiente modo cilindros circulares ,verticales paralelos ):Ð

se tiene que por ejemplo el punto tiene imagen4 œ Ð 'ß $ß #Ñ de nivel : es decir luego, su imagen esÐ 'Ñ $ œ œ # ## #


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Ejemplo Dado el conjunto : A œ ÖÐBß CÑ − Î C " B ×‘# #¸ ¸

1.- Graficar A ; Determinar : A Int(A) , Fr(A)ß

ß

2.- ¿Es A abierto? ¿Es A cerrado? ¿Es A región? 3.- Sea A 9 ::::::::::;‘

ÐBßCÑ: :::H ÐC"ÑB ÐC"Ñ#

# #

Determinar y graficar las curvas de nivel : A à A " "

Solución

1.- si se tiene que :C 3 " C " B I C " B¸ ¸ # # en donde : C " œ B 9 4 #

si se tiene que :C 6 " C " B I ÐC "Ñ B¸ ¸ # # en donde : ÐC "Ñ œ B 9 4 # " con lo cual graficando segun las restricciones se tendra:

Aß

œ ÖÐBß CÑ − Î C " 6 B ×‘# #¸ ¸ Int(A) œ ÖÐBß CÑ − Î C " B ×‘# #¸ ¸ Fr(A) œ JÖÐBß CÑ − Î C œ " B C œ " B ×‘# # #

2.- A es abierto ; A no es cerrado ; A no es región


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3.- A 9 œ ""ÐC"Ñ

B ÐC"Ñ

#

# #

I B œ !#

I B œ !

A œ" 9

A 9 œ"

#

# #ÐC"Ñ

B ÐC"Ñ "

I ÐC "Ñ œ B ÐC "Ñ# # #

I 'ÐC "Ñ œ B# #

I #¸ ¸ ¸ ̧C " œ B I JC œ B " C œ B "" "# #


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Ejemplo Dado el conjunto

A œ Ö ÎÐBß C Ñ − B # C $ / C B *C 'B ' ×‘# # #¸ ¸ ¸ ¸ "Þ ßGraficar A. ; Determinar : A Int(A) , Fr(A)

ß

2.- ¿Es A abierto? ¿Es A cerrado? ¿Es A región? ¿Es A acotado?

Solución

1.- En ¸ ¸ ¸ ¸B # C $

si B # 3 ! 3 !/ C $ se tiene : B # C $ I C & B K 9 C œ B

si B # 6 ! 3 !/ C $ se tiene : I C & B " ÐB # Ñ C $ K 9 C œ B ""

si B # 6 ! 6 !/ C $ se tiene : I C B ÐB # Ñ Ð C $Ñ K 9 C œ B

si B # 3 ! 6 !/ C $ se tiene : ÐB # Ñ Ð C $Ñ I C B " K 9 C œ B ""

En C B *C 'B ' C $Ñ ÐB #Ñ D# # # #I Ð L 9 C $Ñ ÐB #Ñ œ DÐ # #

Con lo cual ,su gráfico es :


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en donde : K L œ ÖÐ # M ß $ M ×$ $# #È È

Aß

œ Ö ÎÐBß C Ñ − B # 6 C $ / C B *C 'B 6 ' ×‘# # #¸ ¸ ¸ ¸ Int(A) œ Ö ÎÐBß C Ñ − B # C $ / C B *C 'B ' ×‘# # #¸ ¸ ¸ ¸Fr(A) œ ÖÐBß CÑ − Ò # ß # Ó ) Ò!ß *ÓÎ B # œ C $ J ÐC $Ñ ÐB #Ñ œ D$ $

# ## #È È ¸ ¸ ¸ ¸ ×

2.- A es abierto , A no es cerrado , A no es región A es acotado


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Ejemplo Dada la función 9

ÐBß CÑ œ @NO ÐB C 'Ñ#

#

Determinar :

A máximo dominio de , Graf(A) y graficar A à A ! "

Solución

.- Dom" ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ − ÎB C ' & !e f‘# #œ ÐBß CÑ − ÎC B 'e f‘# #

2.- A œ ÐBß CÑ − Î@NO ÐB C 'Ñ œ !! ## #e f‘

œ ÐBß CÑ − ÎB C ' œ "e f‘# # œ ÐBß CÑ − ÎC œ B e f‘# #

A œ ÐBß CÑ − Î@NO B C ' œ "" ## #e fa b‘

œ ÐBß CÑ − ÎB C ' œ #e f‘# # œ ÐBß CÑ − ÎC œ B *e f‘# #

Ejemplo


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18

Dada la función 9 ÐBß CÑ œ B # CÈ Determinar : A máximo dominio de y Graf(A) y graficar A à A ! #Solución

1.- Dom ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ − ÎB # C 3 !e f‘#œ ÐBß CÑ − ÎC 6 B #e f‘#

2.- A œ ÐBß CÑ − Î B # C œ !! #˜ ™È ‘

œ ÐBß CÑ − ÎC œ B #e f‘# A œ ÐBß CÑ − Î B # C œ ##

#˜ ™È ‘ 2œ ÐBß CÑ − ÎC œ B e f‘#

Ejemplo


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19

Dada la función 9

ÐBß CÑ œ @8ÐB C'ÑB#C

#

È

Determinar A máximo dominio de y Graf(A)

Solución

DomÐBß CÑ œ ÐBß CÑ − ÎB C ' & ! / B # C & !e f‘# #œ ÐBß CÑ − ÎC B ' / C B #e f‘# #

Ejemplo


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Dada la función ÐBß CÑ œ @NO Ð#B 'B C "Ñ "#

#

1.- Determinar A máximo dominio de y Graf(A) 2.- Determinar y graficar A à A " "

Solución

1.-DomÐBß CÑ œ ÐBß CÑ − Î#B 'B C " & !e f‘# #œ ÐBß CÑ − ÎC & #B 'B "e f‘# #

# A œ ÐBß CÑ − Î@NO Ð#B 'B C "Ñ " œ ".- " ## #e f‘

œ ÐBß CÑ − Î@NO Ð#B 'B C "Ñ œ !e f‘# ## 1œ ÐBß CÑ − Î#B 'B C " œ

e f‘# #

œ ÐBß CÑ − ÎC œ #B 'B #e f‘# #A œ ÐBß CÑ − Î@NO Ð#B 'B C "Ñ " œ "" #

# #e f‘œ ÐBß CÑ − Î@NO Ð#B 'B C "Ñ œ #e f‘# ##œ ÐBß CÑ − Î#B 'B C " œ 'e f‘# #œ ÐBß CÑ − ÎC œ #B 'B e f‘# #

Ejemplo


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Dada la función ÐBß Cß Ñ œ 'B C " "È 1.- Determinar A máximo dominio de y Graf(A) 2.- Determinar y graficar G à G ! "

Solución 1.- DomÐBß Cß Ñ œ ÐBß Cß Ñ − Î'B C " 3 !e f‘$

œ ÐBß Cß Ñ − ÎC 3 'B "e f‘$Primero grafiquemos la expresión en9 C 3 'B " ‘2

Luego la parte sombreada la extendemos hacia el eje Z. La figura que queda dividirá el espacio en dos partes.‘$

2.- G œ ÐBß Cß Ñ − Î 'B C " " œ !! $˜ ™È ‘

œ ÐBß Cß Ñ − Î 'B C " œ "˜ ™È ‘$œ ÐBß Cß Ñ − Î'B C " œ "e f‘$ La gráfica de este espacio en corresponde a un plano,‘$

que restringido al plano XY queda la siguiente recta.

Luego la grafica para se encontrará al extender esa recta a travésA !


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22

del eje Z

G œ ÐBß Cß Ñ − Î 'B C " " œ "" $˜ ™È ‘

œ ÐBß Cß Ñ − Î 'B C " œ !˜ ™È ‘$œ ÐBß Cß Ñ − Î'B C " œ !e f‘$

La gráfica de este espacio en corresponde a un plano, que‘$

restringido al plano XY queda la siguiente recta.

Luego la grafica para se encontrará al extender esa rectaG "a través de el eje Z

Ejemplo


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23

Dada la función ÐBß Cß Ñ œ B C # # #

1.- Determinar A máximo dominio de y Graf(A) 2.- Determinar y graficar G à G " #

Solución

1.- Dom ÐBß Cß Ñ œ ÐBß Cß Ñ − ÎB C −e f‘ ‘$ # # #Dom .ÐBß Cß Ñ œ ‘$

Por lo tanto el dominio de la función es todo el espacio ‘$

es decir, no hay restricciones para ÐBßCßÑ

#Þ G œ ÐBß Cß Ñ − ÎB C œ "- " $ # # #e f‘

La curva de nivel corresponde a una esfera centrada enG "el origen de radio 1Ð!ß!ß!Ñ

G œ ÐBß Cß Ñ − ÎB C œ ## $ # # #e f‘

La superficie de nivel corresponde a una esfera centrada enG #el origen de radio È #

GUÍA TOPOLOGÍA


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I.- Dados los siguientes conjuntos, determine :

a) Grafico b) Puntos de acumulación

c) Interior , Frontera

d) Si es abierto , Si es cerrado , Si es región

1.- œ ÖÐBß CÑ − B C 6 # / $C 6 'B ×‘# # #2.- F œ ÖÐBß CÑ − ÐB "Ñ 6 C $ / C 6 B ' ×‘# #

3.- A œ ÖÐBß CÑ − B C # / 'C DB ×‘

# # # #

4.- P œ ÖÐBß CÑ − ÐB "Ñ C # / $C & 'Ð" BÑ ×‘# # #5.- Q œ ÖÐBß CÑ − B C ' / C B ×‘# # # # ¸ ¸6.- 0 œ ÖÐBß CÑ − B C " " ×‘# ̧ ̧ ¸ ¸

7.- R œ ÖÐBß CÑ − B C # / " ×‘# ̧ ¸ ¸ ¸ B' DC# #

II.- En cada caso determine el máximo dominio de la función y grafiquelo :

1.- 2.- ÐBß CÑ œ " B C OÐBß CÑ œ @8ÐB CÑÈ # #3.- 4.-SÐBß CÑ œ ÐBß CÑ œ" " "B" C" C B

É È 5.- 6.-OÐBß CÑ œ Ð@8ÐB CÑß C BÑ SÐBß CÑ œ ## È 7.- SÐBß CÑ œ Ð D C ß ß ' B ÑÈ È # #TBC 8.- 9.- ÐBß CÑ œ #B $ OÐBß CÑ œ C "

III.- En cada caso , dibuje algunas curvas de nivel y describa la gráfica


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de la función definida en su máximo dominio:

1.- 2.- ÐBß CÑ œ B #C " OÐBß CÑ œ B C# #

3.- 4.-SÐBß CÑ œ C B ÐBß CÑ œ C 'B# #

5.- 6.-OÐBß CÑ œ #B ' SÐBß CÑ œ DB 'CÈ # #7.- 8.- ÐBß CÑ œ C $ OÐBß CÑ œ

"B C# #

IV.- Dada la función : tal que : 9 :::::::;‘ ‘#

ÐBßCÑ ;ÐBßCÑ

ÐBß CÑ œà B C !

! à B C œ !

ÚÝÛÝÜ"!C *BC'B

B C# #

Determinar:

1.- Ð"ß "Ñ à Ð"ß "Ñ

2.- ; si ÐSß S #Ñ Ð "ß SÑ à ÐSß #Ñ S − ‘

3.- 4.-lim limSU! U!

ÐSß!Ñ Ð!ß!Ñ Ð"ß"Ñ Ð"ß"ÑS

V.-Dada la función tal que :O 9 :::::::;‘ ‘#

ÐBß CÑ ; OÐBß CÑ

OÐBß CÑ œ#BC B 'C ' à B C "

B *C $B B C œ "

ÚÛ

Ü #

Determinar:

" #.- .-lim limSU! U!

OÐSß"ÑOÐ!ß"Ñ OÐ"ß#ÑOÐ"ß#ÑS

LIMITE DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES


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Definición

función , sea ´ 9 ::::::::; − ‘ ‘8 !

::::::; ÐÑ Diremos que converge a cuando tiende a K ß K − ß ‘ !

( )( )( )VV? & ! % & ! − Ð − F Ð ß Ñ ÐÑ − FÐKß Ñ Ñ% $ $ %‡ !

( )( )( )VV? & ! % & ! − Ð ! m m ÐÑ K Ñ% $ $ %! ¸ ¸ lo cual denotaremos por :

limU !

ÐÑ œ K

Observación

1. Si se tendra que con lo cual :8 œ # ß œ ÐBß CÑ à œ Ð+ß ,Ñ!

limÐBßCÑUÐ+ß,Ñ

ÐBß CÑ œ K

VV? & ! % & ! ÐBß CÑ − Ð ! mÐBß CÑ Ð+ß ,Ñm ÐBß CÑ K Ñ( )( )( )% $ $ %¸ ¸ VV? & ! % & ! ÐBß C Ñ − Ð ! mÐB +ß C ,Ñ m ÐBß C Ñ K Ñ( )( )( )% $ $ %¸ ¸

2. Si se tendra que con lo cual :8 œ $ ß œ ÐBß Cß Ñ à œ Ð+ß ,ß -Ñ!

limÐBßCßÑUÐ+ß,ß-Ñ

ÐBß Cß Ñ œ K

VV? & ! % & ! ÐBß Cß Ñ − Ð ! mÐBß Cß Ñ Ð+ß ,ß -Ñm ÐBß Cß Ñ K ( )( )( )% $ $ ¸ ¸ VV? & ! % & ! ÐBß Cß Ñ − Ð ! mÐB +ß C ,ß -Ñm ÐBß Cß Ñ K ( )( )( )% $ $ ¸ ¸

3. En general se cumple que :


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27

¸ ¸B + mÐB ß ÞÞÞß B Ñ Ð+ ß ÞÞÞß + Ñm à ? − Ö"ß ÞÞß 8×? ? " 8 " 8 4. Graficamente con se tendra8 œ #

Se tiene que ,al considerar la región del limitada por los planosR


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28

Demostrar por definición que : limÐBßCÑUÐ"ß"Ñ

Ð#B $C #Ñ œ $

Demostración

P.D. ( )( )( ) & ! % & ! ÐBß CÑ − Ð ! mÐB "ß C "Ñ m $ Ñ% $ ‘ $ %# ¸ ¸#B $C # T.P. ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸#B $C # #B $C #ÐB " "Ñ $ÐC " "Ñ $ œ œ œ œ¸ ¸ ¸ ¸#ÐB "Ñ # $ÐC "Ñ $ #ÐB "Ñ $ÐC "Ñ

6 6 # $¸ ¸ ̧ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸#ÐB "Ñ $ÐC "Ñ B " C " 6 #mÐB "ß C "Ñ m $mÐB "ß C "Ñ m œ mÐB "ß C "Ñ m

para que : basta que


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29

Demostrar por definición que : limÐBßCÑUÐ#ß"Ñ

#ÐBC 'C C #B $Ñ œ #

Demostración

P.D.( )( )( ) & ! % & ! ÐBß C Ñ − Ð ! mÐB #ß C "Ñm BC 'C C #B $ # % $ ‘ $ # #¸ ¸

T.P. ¸ ¸BC 'C C #B $ ##

œ BÐC " "Ñ 'ÐC " "Ñ CÐC " "Ñ #ÐB # #Ñ "¸ ¸œ BÐC "Ñ B 'ÐC "Ñ ' CÐC "Ñ C #ÐB #Ñ ' "¸ ¸œ BÐC "Ñ B 'ÐC "Ñ CÐC "Ñ C #ÐB #Ñ 7¸ ¸œ BÐC "Ñ ÐB #Ñ # 'ÐC "Ñ CÐC "Ñ ÐC "Ñ #ÐB #Ñ 7¸ ¸œ BÐC "Ñ CÐC "Ñ ÐC "Ñ ÐB #Ñ¸ ¸6 BÐC "Ñ CÐC "Ñ ÐC "Ñ ÐB #Ñ¸ ¸ ̧ ¸ ̧ ¸ ̧ ¸6 B E C " C E C " C " B #¸ ̧ ̧ ¸ ¸ ̧ ̧ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸

supongamos que :XX‡‡ B # " / C " "! mÐB #ß C "Ñ m œ 1 $ " ¸ ¸ ¸ ¸ con lo cual ̧ ̧ ¸ ̧B $ / C # YY

6 $ E C " "! E C " C " B # œ "' C " B #¸ ¸ ¸ ¸ ̧ ¸ ̧ ¸ ¸ ¸ ̧ ¸ 6 "'mÐB #ß C "Ñ m mÐB #ß C "Ñ m œ "mÐB #ß C "Ñ m es necesario que :para que : ¸ ¸BC 'C C #B $ # # % "mÐB #ß C "Ñ m mÐB #ß C "Ñ m œ< es decir


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30

Demostrar por definición que : limÐBßCÑUÐ"ß!Ñ

#BC$CT #C œ !

Demostración

P.D.

( )( )( ) & ! % & ! ÐBß CÑ − Ð ! mÐB "ß C Ñ m ! Ñ% $ ‘ $ %# ¸ ¸#BC$CT #C T.P. ¸ ¸ ̧ ¸#BC$C #BC$C

T # T # T ##BC$C #BC$C

C C C ! œ œ 6¸ ¸ ¸ ¸¸ ¸ #

œ # $

#

¸ ¸¸ ¸ ¸ ¸B C C

supongamos que :XX‡‡ ÐB "ß C Ñ B " ! m m œ "# $ ""# ¸ ¸

con lo cual ̧ ¸B YY$# 6 œ $ C 6 ÐB "ß C Ñ

$ $

#

¸ ¸ ¸ ¸C C ¸ ¸ $m m

es necesario que :para que : ¸ ¸#BC$CT #C ! %

$m m m mÐB "ß C Ñ ÐB "ß C Ñ< es decir


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31

Demostrar por definición que : limÐBßCÑUÐ"ß"Ñ

#BC$C"#C" œ #

Demostración œ ÖÐBß CÑ − #C " !×‘#

P.D. ( )( )( ) & ! % & ! ÐBß CÑ − Ð ! mÐB "ß C " Ñ m # Ñ% $ $ %¸ ¸#BC$C"#C" T.P. ¸ ¸ ¸ ¸#BC$C" #BCC$

#C" #C" #C"#BÐC""ÑÐC""Ñ$

# œ œ ¸ ¸

¸ ¸ 6 6

¸ ¸ ¸ ¸¸ ̧ ¸ ̧

#BÐC"Ñ#BÐC"Ñ# #BÐC"Ñ#ÐB"ÑÐC"Ñ#C" #C"

6 #¸ ̧ ¸ ¸ ¸ ¸ ̧ ¸

¸ ¸B C"Ñ # B" C"

#C" supongamos que :XX‡‡ ÐB "ß C " Ñ! m m œ"# $ " ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ̧B " / C " B / C " " " $ " "# # # # # ¸ ¸ ¸ ¸B / C B / ! #C " #$ " $ $# # # # no sirve) ̧ ¸ ¸ ¸B / ! #C " # Ð$# supongamos que : ! m m œÐB "ß C " Ñ "

4 $ "

¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ̧B " / C " B / C " " " "4 4 4 4 4

5 1

2 -1 ¸ ¸ ¸ ¸B / C B / C 5 3 5 1 34 4 4 2 2

'

sirve) con lo cual ̧ ¸ ¸ ¸B / #C " Ð YY "' # 32

6 œ 7 6 ÐB "ß C " Ñ#

"#

¸ ¸ ¸ ¸ ̧ ¸C"Ñ # B" C" ¸ ¸ ¸ ¸C "Ñ ' B " ""m m

es necesario que :para que : ¸¸ ¸#BC$C"#C" # % ""m m m mÐB "ß C " Ñ ÐB "ß C " Ñ< es decir


32/58

32

Si existe ,su valor es únicolimU !

ÐÑ

Ejemplos

1.- Sea función1 9 ::::::::; à œ Ð + ß ÞÞÞÞß + Ñ ! " 88‘ ‘

ÐB ßB ßÞÞÞßB Ñ ::::::;B" # 8

se cumple que : limU

!

1 ÐÑ œ +

2.- Sea función constante 9 ::::::::; à‘ ‘8

::::::; -

se cumple que : limU !

ÐÑ œ -

3.- Sea funciónO 9 ÏÖÐ!ß "Ñ×::::::::;‘ ‘#

ÐBß CÑ ::::::; B ÐC"ÑB ÐC"Ñ# #

# #

se cumple que : limÐBßCÑUÐ!ß"Ñ

OÐBß CÑ œ !

Teorema

Sea función , sea ´ 9 ::::::::; − ‘ ‘8 ! ::::::; ÐÑ

tal que : : limU !

ÐÑ œ K

Entonces :

1.- Si se cumpleK ( )( )) ! % & ! − F Ð ß Ð ÐÑ ! Ñ$ $ ‡ !

2.- se cumple que ( )( es acotada en ) ) % & ! F Ð ß$ $ ‡ !

Observación


33/58

33

Si ( )( no es acotada en ) ) & ! F Ð ß$ $ ‡ !

entonces : no existelimU !

ÐÑ

Ejemplo

no existe , basta considerar las curvas delimÐBßCÑUÐ!ß"Ñ

"B ÐC"Ñ# #

nivel A 9 œ I A 9 B ÐC "Ñ œ " "

B ÐC"Ñ # #

# #

I A 9 B ÐC "Ñ œ Ð Ñ # # #"

É

de lo cual , se puede concluir que la función no es acotada en

toda vecindad perforada centrada en Ð!ß "Ñ

Teorema

Sean funciónes , ´ ß Oß S 9 ::::::::; − ‘ ‘8 ! ::::::; ÐÑ

tal que : 1.- lim limU U

! !

ÐÑ œ SÐÑ œ K

2.- ( )( ))% & ! − F Ð ß Ð ÐÑ 6 OÐÑ 6 SÐÑ Ñ$ $ ‡ !

entonces limU !

OÐÑ œ K

Ejemplos Calcular :

1.- limÐBßCÑUÐ"ß"Ñ

#ÐB"ÑÐC"ÑÐB"Ñ $ÐC"Ñ

#

# #


#ÐB "Ñ ÐC"ÑÐB"Ñ ÐC"Ñ

+ # #

# #

Teorema


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34

Sean funciónes , ´ ß O 9 ::::::::; − ‘ ‘8 ! ::::::;

tal que : constante enlim limU U ! !

ÐÑ œ K ß OÐÑ œ Z ß - ‘

se cumple que :

1. lim lim limU U U ! ! !

Ð OÑÐÑ œ ÐÑ OÐÑ œ K Z

.# Ð ÑÐÑ œ ÐÑ œ Klim limU U ! !

- - -

3. lim lim limU U U ! ! !

Ð E OÑÐÑ œ ÐÑ E OÐÑ œ K E Z

4. silimU

O OÐÑ Z

ÐÑK

!

U !

U !

Ð ÑÐÑ œ œ ß Z ! lim

Ejemplo

limÐBßCÑUÐ#ß"Ñ

$B C##BC# #Ð#ÑÐ"Ñ# 7

$Ð#Ñ Ð"Ñ# "!# #œ œ

Teorema

Sean función , ´ 9 ::::::::; − ‘ ‘8 !

tal que : y sea continua enlimU !

ÐÑ œ , O ::::::::; ,‘ ‘

con punto de acumulación de PN=ÐO [ Ñ! Entonces

limU !ÐO [ ÑÐÑ œ OÐ,Ñ

Ejemplo


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35

limÐBßCÑUÐ#ß$Ñ

# ##@NO Ð#B C $C "Ñ œ @NO Ð$#Ñ œ

Definición

Sean función , tal que : 9 :::; ÐÑ œ K‘ ‘8U lim

!

Diremos que converge propiamente a cuando tiende a K ! VV? ( )( ))% & ! − F Ð ß Ð Ð Ñ K Ñ$ $ ‡ ! Notación c.p. ó c.p.lim

U ! ÐÑ œ K ÐÑ:::;K

U !

Ejemplo

Se tiene que limÐBßCÑUÐ#ß$Ñ

#B C " œ *

pero, la convergencia no es propia ya que : si consideramos la curva de nivel en el dominio de la función,se tendrá* que : A 9 #B C " œ * I C œ #B 7*

por lo tanto , dada cualquier vecindad perforada centrada en Ð#ß $Ñ contiene puntos de la recta . L 9 C œ #B 7 con lo cual se cumple que : ( )( (2,3) )) & ! % − F Ð ß Ð ÐÑ œ * Ñ$ $ ‡

Ejemplo


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36

Se tiene que c.p. ya que :limÐBßCÑUÐ!ß!Ñ

# #B C œ !

si consideramos la curva de nivel en el dominio de la función,se tendrá! que :

A 9 B C œ ! I A œ ÖÐ!ß !Ñ×! !# #

por lo tanto , dada cualquier vecindad perforada centrada en Ð!ß !Ñ

dicha vecindad no contiene puntos de A !

con lo cual se cumple que :

( )( ))% œ " & ! ÐBß CÑ − F ÐÐ!ß !Ñß " Ð B C ! Ñ$ ‘# ‡ # #

Ejemplo

Se tiene que pero la convergencia no es propialimÐBßCÑUÐ"ß#Ñ

#$B C œ *

ya que :

si consideramos la curva de nivel en el dominio de la función,se tendrá* que : A 9 $B C œ * I A 9 C œ* *

# #B#

por lo tanto , dada cualquier vecindad perforada centrada en Ð"ß #Ñ

dicha vecindad contiene puntos de A *

con lo cual se cumple que :

( )( ( , ) )) & ! %ÐBß CÑ − F Ð " # ß Ð ÐBß CÑ œ * Ñ$ $ ‡

Teorema (sustitución)

Sean función , ´ 9 ::::::::; − ‘ ‘8 !


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37

tal que : c.p. y sealim

U ! ÐÑ œ ,

: tal que yO F ::::::::; ÐÑ F OÐCÑ œ K‘ ‘ limCU,

con punto de acumulación de PN=ÐO [ Ñ!

Entonces lim

U !ÐO [ ÑÐÑ œ K

Ejemplo

1.- ya quelimÐBßCÑUÐ"ß!Ñ

#VT8Ð$B CÑ$B C

#

# œ #

PN=ÐSÑ œ ÖÐBß C Ñ − $B C !×‘# # si se tiene que : ÐBß CÑ œ $B C#

c.p. es decir ,lim(x,y) (1,0)U

#$B C œ !

cuando ( , ) ( , ) œ $B C U ! B C U " !#

por lo tanto :

lim limÐBßCÑUÐ"ß!Ñ

#VT8Ð$B CÑ #VT8ÐÑ$B C U!

#

# œ œ #

2.- lim limÐBßCÑUÐ!ß#Ñ ÐBßCÑUÐ!ß#Ñ

"-NVÐ#BC Ñ 'CÐ"-NVÐ#BC Ñ Ñ "-NVÐ#BC Ñ

B C Ð#BC Ñ "-NVÐ#BC Ñ# #œ


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38

œ limÐBßCÑUÐ!ß#Ñ

Ð"-NV Ð#BC ÑÑÐ#BC Ñ "-NVÐ#BC Ñ

'C##

œ limÐBßCÑUÐ!ß#Ñ

VT8 Ð#BC ÑÐ#BC Ñ "- NVÐ#BC Ñ

'C##

pero : ylimÐBßCÑUÐ!ß#Ñ

'C"-NVÐ#BC Ñ œ '

œ œ œ "lim limÐBßCÑUÐ!ß#Ñ

VT8 Ð#BC Ñ VT8 ÐÑÐ#BC Ñ ÐÑU!

# #

# #

ya que : c.p. cuando œ #BC U ! ÐBß CÑ U Ð!ß #Ñ

con lo cual :

limÐBßCÑUÐ!ß#Ñ

"-NVÐ#BC Ñ

B C# œ '

3.- limÐBßCÑUÐ"ß$Ñ

"@8Ð$BCÑ

e#BC*

sea c.p. cuando con lo cual : œ BC U $ ÐBß CÑ U Ð"ß $Ñ

lim limÐBßCÑUÐ"ß$Ñ

" " !@8Ð$BCÑ @8Ð$Ñ !U$

e e#BC* #*œ Ð Ñ

por L´H se tiene lim limU$ U$

# Ð$Ñ$ $

2e

2e#*$

$

#*

œ œ

por lo tanto : limÐBßCÑUÐ"ß$Ñ

" #@8Ð$BCÑ $

e#BC* œ

4.- limÐ!ß!Ñ

"#B C# #


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39

en ( ) considerando curvas de nivel ,se tiene que lalimÐ!ß!Ñ

" "#B C !# # œ

función no es acotada en cualquier vecindad del punto porÐ!ß !Ñ lo tanto el limite no existe

5.- limÐ!ß"Ñ

BÐC"ÑB #ÐC"ÑÈ # #

se tiene que limÐ!ß"Ñ

BÐC"Ñ

B #ÐC"Ñ!!È # # œ Ð Ñ

por comparación se tiene :

C " 6 6 6 6 C "¸ ¸ ¸ ¸¸ ¸¸ ¸ ¸ ¸¸ ¸È È È B C" B C"B #ÐC"Ñ B #ÐC"Ñ B #ÐC"ÑBÐC"Ñ# # # # # #

luego, se tiene que :

C " 6 6 C " F ÐÐ!ß "Ñß "Ñ¸ ¸ ¸ ¸BÐC"ÑB #ÐC"Ñ

‡È # # en

y como: , se tiene que :limÐ!ß"Ñ

¸ ¸C " œ ! lim

Ð!ß"Ñ

BÐC"Ñ

B #ÐC"ÑÈ # # œ !

Ejercicios Resolver los siguientes limites

1.- ; 2.-lim limÐBßCÑUÐ"ß Ñ ÐBßCÑUÐ!ß Ñ

B$ C#BC" B

VT8Ð$BCÑ

2 2

È È

3.- ; 4.-lim limÐBßCÑUÐ+ß+Ñ ÐBßCÑUÐ"ß#Ñ

-NVÐBÑ-NVÐCÑ B C#ÑBC ÐB"Ñ #ÐC#Ñ

( 1)(È # #

5.- ; 6.-lim limÐBßCÑUÐ"ß#Ñ ÐBßCÑUÐ!ß!Ñ

B$ÐB"Ñ #ÐC#Ñ B #C# # # #

3

Definición

Sea función , ´ 9 ::::::::; − ‘ ‘8 = !


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40

::::; Ð ÐÑß ÞÞÞÞß ÐÑÑ" =

Diremos que : limU

" =!

ÐÑ œ K œ ÐK ß ÞÞÞß K Ñ

VV? ÐÑ œ K ? − Ö"ß ÞÞÞß =×limU

? ?!

Ejemplo Calcular : lim

Ð"ß"Ñ

ÐB"ÑÐC"ÑÐB"Ñ ÐC"Ñ B C B

B C CÐ#B $C ß ß Ñ#

# # # #

#

Observación

Sea función 9 ::::::::;‘ ‘8 =

::::; Ð ÐÑß ÞÞÞÞß ÐÑÑ" =

Tal que : limU

" =!

ÐÑ œ K œ ÐK ß ÞÞÞß K Ñ

Diremos que la convergencia es propia

VV? ( )( ))% & ! − F Ð ß Ð Ð Ñ K Ñ$ $ ‡ !

c.p. para algúnVV? ÐÑ œ K ? − Ö"ß ÞÞÞß =×limU ? ?!

Ejemplo 1.- :: ‘ ‘9 ::::::::; 2

2 ::::; Ð$2 "ß # 2 Ñ#

se tiene que c.p.lim lim2U" 2U"

#:Ð2Ñ œ Ð$2 "ß # '2 Ñ œ Ð'ß *Ñ

2.- :: ‘ ‘9 ::::::::; 3

2 ::::; Ð #2 #ß ' 2 ß Ñ#

se tiene que c.p.lim lim2U" 2U"

#:Ð2Ñ œ Ð #2 #ß ' 2 ß Ñ œ Ð'ß $ß Ñ

Teorema (Condición necesaria para la existencia de un limite )

Sea función 9 ::::::::;‘ ‘8


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41

::::; ÐÑ

tal que : limU !

ÐÑ œ K

entonces

: tal que c.p.lim lim2U2 2U2

!! !

Ð Ð2ÑÑ œ K ::::; Ð Ð2ÑÑ œ : : ‘ :

Observación

1.- El Teo da una condición necesaria pero no suficiente para la existenciade un limite

2.- Sirve para probar que un limite no existe como tambien para determinar un candidato a valor del limite

3.- El Teo no sirve para demostrar la existencia de un limite

Ejemplo

1.- no existe ya quelimÐ"ß#Ñ

$BC"B#C$


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42

si consideramos : c.p. cuando:Ð2Ñ œ Ð" 2ß # 2Ñ U Ð"ß #Ñ 2 U !

y lim lim lim2U! 2U! 2U!

$Ð"2ÑÐ#2Ñ"Ð"2Ñ#Ð#2Ñ$ Ð Ð2ÑÑ œ Ð2ß 2 Ñ œ:

œ œ # œ #lim lim2U! 2U!

#22

si consideramos : c.p. cuando


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43

1.- Determinar el gráfico del dominio 2.- Calcular : lim

( ) (0,1)BßC UÐBßCÑ

Solución 1.- si se tiene que :C 3 " C " B I C " B

¸ ¸ # #

en donde : C " œ B 9 4 #

si se tiene que :C 6 " C " B I ÐC "Ñ B¸ ¸ # # en donde : ÐC "Ñ œ B 9 4 # " con lo cual graficando segun las restricciones se tendra:

2.- En este problema es importante la restricción planteada en el dominio,

ya que si usted considera aproximaciones por medio de rectas, para el cálculo del limite, se puede dar cuenta en el dibujo que todas las rectas que pasan por el punto es decir rectas del tipo :Ð!ß "Ñ son tales que para los próximos al: := =Ð2Ñ œ Ð 2ß " =2Ñ 2 ! ß Ð2Ñ no son puntos del dominio de por lo tanto no es posible usar

ß aproximaciones por rectas para determinar el candidato a limite, analogamente hay que tener cuidado con las aproximaciones con parábolas

sin embargo para calcular el limite ,se tiene que ,si consideramos acotamiento se tendra :

ÞÞÞ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸B 6 6 6 6 6 6 6 BBÐC"Ñ BÐC"Ñ BÐC"ÑB ÐC"Ñ B ÐC"Ñ B ÐC"Ñ B ÐC"Ñ BB C" B B# # # # # # # # # #¸ ̧¸ ¸ ¸ ̧


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44

luego, se tiene que : en una vecindad del B 6 6 B¸ ¸ ¸ ¸ BÐC"ÑB ÐC"Ñ# # Ð!ß"Ñ y es claro que ,por lo tanto que : lim

( ) (0,1)BßC U ÐBß CÑ œ !

Observación

Otro método para determinar un candidato a valor de un limite ,es el método de los llamados limites iterados

Teorema (Condición necesaria para la existencia de un limite )

Sea función 9 ::::::::;‘ ‘2

ÐBß CÑ ::::; ÐBß CÑ

1.- si existe ylimÐBßCÑUÐB ßC Ñ! !

ÐBßCÑ

para cada fijo en una vecindad perforada de existeB B ÐBß CÑ!C U Clim

!

entonces existe y se cumple que :lim lim

B U B C U C! !Ð ÐBß CÑ Ñ

lim lim limÐBßCÑUÐB ßC Ñ B U B C U C! ! ! !

ÐBß CÑ œ Ð ÐBß CÑ Ñ

.- si existe y# ÐBß CÑlimÐBßCÑUÐB ßC Ñ! !

para cada fijo en una vecindad perforada de existeC C ÐBß CÑ!B U Blim

!

entonces existe y se cumple que :lim lim

C U C B U B! !Ð ÐBß CÑ Ñ

lim lim limÐBßCÑUÐB ßC Ñ C U C B U B! ! ! !

ÐBß CÑ œ Ð ÐBß CÑ Ñ

Corolario

Si y existen y son distintoslim lim lim lim C U C B U B B U B C U C! ! ! !

Ð ÐBß CÑÑ Ð ÐBß CÑÑ


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45

Entonces no existelimÐBßCÑUÐB ßC Ñ! !

ÐBßCÑ

Observación

1.- y son loslim lim lim lim C U C B U B B U B C U C! ! ! !

Ð ÐBß CÑ Ñ Ð ÐBß CÑ Ñ

llamados limites iterados

2.- El Teo da una condición necesaria pero no suficiente para la existenciade un limite

3.- Sirve para probar que un limite no existe como tambien para determinar un candidato a valor del limite

4.- El Teo no sirve para demostrar la existencia de un limite

5.- La existencia de no implica la existencia de loslimÐBßCÑUÐB ßC Ñ! !

ÐBßCÑ

limites iterados

Ejemplo Calcular : lim

ÐBßCÑUÐ!ß"Ñ

B ÐC"ÑB #ÐC"Ñ

# #

# #

Solución Usando limites iterados (es posible hacerlo de otro modo)

lim lim lim lim C U " B U ! C U " C U "

B ÐC"Ñ ÐC"ÑB #ÐC"Ñ #ÐC"Ñ # #

" "Ð Ñ œ Ð Ñ œ œ # # #

# # #

lim lim lim lim B U ! C U " B U ! B U !

B ÐC"ÑB #ÐC"Ñ B

BÐ Ñ œ Ð Ñ œ Ð "Ñ œ "# #

# # #

#

por lo tanto : no existelimÐBßCÑUÐ!ß"Ñ

B ÐC"ÑB #ÐC"Ñ

# #

# #

Observación

1.- En el ejemplo anterior el limite iterado no existe porque no es posible aproximarse por dichos puntos, ya que la función no esta definida en ellos y sin embargo el limite de la función existe


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46

2.- en el proximo problema se presenta una situación diferente.

Ejemplo

Sea ÐBß CÑ œ

à ÐBß CÑ Ð #ß "Ñ

$ à ÐBß CÑ œ Ð #ß "Ñ

ÚÛÜB#

ÐB#Ñ $ÐC"Ñ# #

se tiene que :

lim lim lim B U # C U" B U #

B# B#ÐB#Ñ $ÐC"Ñ ÐB#ÑÐ Ñ œ Ð Ñ# # #

no existe, la función no es acotadaœ Ð Ñ œlim B U #

"ÐB#Ñ

sin embargo basta para decir que :

no existelim ÐBßCÑ UÐ#ß"Ñ

B#ÐB#Ñ $ÐC"Ñ# #

(Sucede lo mismo si usa como corresponde aproximación por curvas)

Ejemplos


B CB C

# #

$ $

Solución

lim limÐBßCÑUÐ"ß"Ñ ÐBßCÑUÐ"ß"Ñ

B CB C ÐBCÑÐB BCC Ñ

ÐBCÑÐBCÑ# #$ $ # #œ

œ œlimÐBßCÑUÐ"ß"Ñ

ÐBCÑÐB BCC Ñ $

## #

2.- limÐBßCÑUÐ#ß"Ñ

" #B$C*BC'B #B

È #

Solución


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47

lim limÐBßCÑUÐ#ß"Ñ ÐBßCÑUÐ#ß"Ñ

" #B$C " #B$C " #B$C*BC'B #B *BC'B #B " #B$C

È È È È # #œ

œ limÐBßCÑUÐ#ß"Ñ

$C#B"#BÐ$C#B"Ñ

"" #B$CÈ

œ œlimÐBßCÑUÐ#ß"Ñ

" " "#B " #B$CÈ


ÐB#ÑÐC"Ñ

ÐB#Ñ ÐC"ÑÈ # #

Solución

ÐC "Ñ 6 6¸ ¸ º ºÐB#ÑÐC"Ñ ÐB#ÑÐC"ÑÐB#Ñ ÐC "Ñ ÐB#Ñ ÐC"ÑÈ È # # # #

6 6º ºÐB#ÑÐC"ÑÐB#Ñ ÐC "Ñ ÐB#Ñ ÐC"ÑÐB#ÑÐC"ÑÈ È ¸ ¸# # # #

6 6 ÐC "Ñ¸ ¸¸ ¸

¸ ¸ÐB#Ñ ÐC"Ñ

ÐB#Ñ¸ ¸

y se sabe que : limÐBßCÑUÐ#ß"Ñ¸ ¸ÐC "Ñ œ !

por lo tanto : limÐBßCÑUÐ#ß"Ñ

ÐB#ÑÐC"Ñ

ÐB#Ñ ÐC"ÑÈ # # œ !


B#CBCB#C #C#

Solución


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48

lim limÐBßCÑUÐ#ß"Ñ ÐBßCÑUÐ#ß"Ñ

B#C B#CBCB#C #C ÐB#CÑÐC"Ñ# œ

no existe)œ ÐlimÐBßCÑUÐ#ß"Ñ

"ÐC"Ñ


ÐB"ÑÐC"ÑÐB"Ñ #ÐC"Ñ# #

Solución

sea OÐ2Ñ œ Ð" 2ß " 2Ñ

se tiene que : lim2U!

OÐ2Ñ œ Ð"ß "Ñ


Ð [ OÑÐ2Ñ œ œ œ2 " "$2 $ $#

#

por otro lado ,si SÐ2Ñ œ Ð" 2ß " #2Ñ

se tiene que : lim2U!

SÐ2Ñ œ Ð"ß "Ñ


Ð [ SÑÐ2Ñ œ œ œ#2 # #D2 D D#

#

y como : se tiene : no existe" #$ D ÐB"Ñ #ÐC"ÑÐB"ÑÐC"Ñ lim

ÐBßCÑUÐ"ß"Ñ# #

CONTINUIDAD

Definición


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49

función , sea 9 ::::::::; − ‘ ‘8 ! ::::::; ÐÑ

Diremos que es continua en !

VV? ( )( )( ) & ! % & ! − Ð m m ÐÑ Ð Ñ Ñ% $ $ %! !¸ ¸Observación

1.- Si y se tiene que es trivialmente continua en − \ ! ! !`

2.- Si y ,decir que es continua en es equivalente a − − ! ! !`

decir que :

lim U

!!

ÐÑ œ Ð Ñ

3.- Todos los Teoremas vistos en Cálculo en una variable relativos a la continuidad son validos en varias variables

Ejemplos Determine el dominio de continuidad de la función dada :

1.- ÐBß CÑ œ #BCC $B C#

# #

Solución

PN=ÐÑ œ ÖÐBß CÑ − ÏB C !×‘# # #

œ .N=?8?N .T -N82?8]?.+.

2.- OÐBß CÑ œß B C !

B #C ß B C œ !

ÚÝÛÝÜ

B BC#CBC

# #

Solución


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50

PN=ÐOÑ œ ‘#

y como : ¿?limÐBßCÑUÐBßBÑ

OÐBß CÑ œ

Caso I tal queÐBß CÑ B C !

lim limÐBßCÑUÐBßBÑ ÐBßCÑUÐBßBÑ

B BC#CBCOÐBß CÑ œ œ

# #

œ œ $BlimÐBßCÑUÐBßBÑ

ÐBCÑÐB#CÑBC

Caso II tal queÐBß CÑ B C œ !

lim limÐBßCÑUÐBßBÑ ÐBßCÑUÐBßBÑ

OÐBß CÑ œ B #C œ $B

luego es continua enO B C œ !

y es claro que tambien lo es en B C !

por lo tanto lo es en ‘#

3.- SÐBß CÑ œ $B #C ß ÐBß CÑ Ð"ß "Ñ

ß ÐBß CÑ œ Ð"ß "ÑÚÝÛÝÜ

ÐB"Ñ ÐC"Ñ

ÐB"Ñ #ÐC"Ñ

#

# #

Solución

Es claro que es continua en :S ÐBß CÑ Ð"ß "Ñ


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51

y como :

lim limÐBßCÑUÐ"ß"Ñ ÐBßCÑUÐ"ß"Ñ

SÐBß CÑ œ ÐB"Ñ ÐC"ÑÐB"Ñ #ÐC"Ñ#

# # $B #C

donde : limÐBßCÑUÐ"ß"Ñ

$B #C œ

y ÐC "Ñ 6 6¸ ¸ º ºÐB"Ñ ÐC"Ñ ÐB"Ñ ÐC"ÑÐB"Ñ #ÐC"Ñ ÐB"Ñ #ÐC"Ñ# ## # # #6 6º ºÐB"Ñ ÐC"ÑÐB"Ñ #ÐC"Ñ ÐB"Ñ #ÐC"ÑÐB"Ñ ÐC"Ñ## # # ##¸ ¸6 6 ÐC "Ñ

ÐB"Ñ ÐC"Ñ

ÐB"Ñ

#

#

¸ ¸ ¸ ¸ y se sabe que : lim

ÐBßCÑUÐ"ß"Ñ¸ ¸ÐC "Ñ œ !

:por lo tanto limÐBßCÑUÐ"ß"Ñ

ÐB"Ñ ÐC"ÑÐB"Ñ #ÐC"Ñ

#

# # œ !

con lo cual : limÐBßCÑUÐ"ß"Ñ

SÐBß CÑ œ œ SÐ"ß "Ñ

por lo tanto es continua enS ‘#

Ejemplo Sea œ Ö ×ÐBß CÑ − Ò "ß "Ó ) Ò!ß #ÓÎ B ÐC "Ñ¸ ¸ #

1.- a) Graficar ; b) Determinar 9 ß 182ÐÑß 0


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52

Calcular limÐBßCÑUÐ!ß"Ñ

ÐBßCÑ

Solución1.- a)

b) œ Ö ×ß

ÐBß CÑ − Ò "ß "Ó ) Ò!ß #ÓÎ B 6 ÐC "Ñ

¸ ¸ #

182ÐÑ œ Ö ×ÐBß CÑ − Ó "ß "Ò ) Ó!ß #ÒÎ B ÐC "Ñ¸ ¸ # 0


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53

Solución

1.- sea : :Ð2Ñ œ Ð" =2 ß # 2Ñ à Ð2Ñ œ Ð"ß #Ñ -Þ_Þ#2U!lim

depende delim lim! !

= 2 =2 = 2 "= Ð Ð2ÑÑ œ œ =:

$ $ ' '

luego no existelimÐBßCÑUÐ"ß#Ñ

ÐC#Ñ ÐB"ÑÐC#Ñ ÐB"Ñ

# $

'

2.- lim limÐ"ß"Ñ Ð"ß"Ñ

Ð'BC*B #BÑ Ð#C$B"Ñ"-NVÐ#C$B"Ñ "-NVÐ#C$B"Ñ

## # #

œ E 'B

sea œ #C $B " à œ ! -Þ_ÞlimÐ"ß"Ñ

lim lim limÐ"ß"Ñ

Ð#C$B"Ñ"-NVÐ#C$B"Ñ "-NVÐÑ ! VT8ÐÑ! !

! ## #œ œ Ð Ñ KÞ` œ #

y como se tiene quelim limÐ"ß"Ñ Ð"ß"Ñ

# Ð'BC*B #BÑ"-NVÐ#C$B"Ñ'B œ ' œ

# #

3.- sea : :Ð2Ñ œ Ð# 2ß " =2Ñ à Ð2Ñ œ Ð#ß "Ñ -Þ_Þlim2U!

lim lim lim! ! !2 E@8Ð"#=2Ñ

"-NVÐ$2Ñ ! $VT8Ð$2Ñ !

! !@8Ð"#=2Ñ

Ð Ð2ÑÑ œ œ Ð Ñ à KÞ`Þ œ Ð Ñ:

#=2"#=2

à KÞ`Þ œ =lim!

D-NVÐ$2Ñ D'=

#= #="#=2 Ð"#=2Ñ# ; depende de

luego no existelimÐ#ß"Ñ

ÐB#Ñ@8Ð#C"Ñ"-NVÐ$B*Ñ

Ejemplo

Dada la función ÐBß CÑ œ#BC B 'C ' à B C "

B *C $B à B C 3 "

ÚÛÜ #

Determinar dominio de continuidad de


54/58

54

Solución

CasoI si B C "

es continua, ya que , esta formada por polinomios

Caso II si B C œ "

sea se tiene que4 œ Ð+ß " +Ñ Ð+ß " +Ñ œ + D+ ""#

lim

lim

limÐ+ß"+Ñ

Ð+ß"+Ñ

#

Ð+ß"+Ñ# #

ÐBß CÑ œ

#BC B 'C ' œ #+ $+ à B C 6 "

B *C $B œ + D+ "" à B C & "

ÚÝÝÛÝÝÜ

œ #+ $+ à B C 6 "

+ D+ "" à B C & "

ÚÛÜ

#

#

es decir , es continua cuando :

#+ $+ œ + D+ "" I $+ *+ $ œ ! I + œ "# # #

luego , es continua en Ð"ß !Ñ

con lo cual se tiene que es continua en

G œ ÖÐBß CÑ − B C " J ÐBß CÑ œ Ð"ß !Ñ×‘#

Ejemplo

Dada la función ÐBß CÑ œBC B à C 6 B

B C à C & B

ÚÛÜ #

Determinar dominio de continuidad de


55/58

55

Solución

CasoI si C B

es continua, ya que , esta formada por polinomios

Caso II si C œ B

sea se tiene que4 œ Ð+ß +Ñ Ð+ß +Ñ œ + +#

lim

lim

limÐ+ß+Ñ

Ð+ß+Ñ

#

Ð+ß+Ñ

# #

ÐBß CÑ œ

BC B œ + + à C 6 B

B C œ + + à C & B

ÚÝÝÛÝÝÜ

es decir , es continua cuando : + + œ + + I ! œ !# #

luego , es continua en toda la recta

con lo cual se tiene que es continua en ‘#

GUIA LIMITES Y CONTINUIDAD

I.- Demuestre usando la definición que:

1.- lim( , )B C UÐ"ß#Ñ

ÐBC #B CÑ œ "!

2 -Þ Ð$CB B 'Ñ œ 'limÐ"ß"Ñ

#


56/58

56

3.- 4.-lim limÐBßCÑUÐ"ß#Ñ Ð"ß#Ñ

$BC" #C$BB BC" $

"œ œ

5.- 6.-lim limÐBßCÑUÐ!ß"Ñ Ð"ß#Ñ

BVT8ÐBCÑ

C"

$BCB'C

Bœ ! œ *"

#

7.- limÐ"ß#Ñ

#BCBCB "#

œ *

II.- Calcular los siguientes limites ,si existen.

1.- 2.-lim limÐ"ß#Ñ Ð#ß$Ñ

Ð#BCC Ñ"-NVÐ#BCÑ

C$ ÐB#Ñ

ÐC$Ñ ÐB#Ñ

# # #

# '

¸ ¸ B

3.- 4.-lim limÐBßCÑUÐ#ß"Ñ ÐBßCÑUÐ"ß"Ñ

"T@8Ð$BC7Ñ

'ÐB"ÑÐC"Ñ#ÐB"Ñ ÐC"Ñ

#BC' #

# '

5.- limÐBßCÑUÐ#ß$Ñ

ÐB#Ñ ÐC$ÑÐB#Ñ $ÐC$Ñ

#

# '

6.- 7.-lim limÐ*ß'Ñ

B* ÐC'Ñ

ÐB*Ñ ÐC'Ñ

¸ ¸ ## ' $C

ÐBßCÑUÐ$ß"Ñ

BC#"

BC#

È È $

8.- 9.-lim lim ÐBßCÑUÐ+ß+Ñ ÐBßCÑUÐ"ß#Ñ

-NVÐBÑ-NVÐCÑBC ÐB"Ñ #ÐC#Ñ

B$# #

10.- 11.-lim lim

(

ÐBßCÑUÐ"ß#Ñ ÐBßCÑUÐ!ß"Ñ

B"Ñ ÐC#Ñ B $ ÐC"ÑÒÐB"Ñ #ÐC#Ñ Ó # B ÐC"Ñ

' ' # #

# ' # # #

III.-Dado el conjunto

A œ ÖÐBß CÑ − Î B ' C * / C B "#C B '×‘# # #¸ ¸ ¸ ¸"Þ Graficar A.

2.- Determinar : A Int(A) , Fr(A)ß

ß

3.- ¿Es A abierto? ¿Es A cerrado? ¿Es A región? ¿Es A acotado?

4.- Sea A----------------- función , donde 9 ‘


57/58

57

ÐBß CÑ œ $B¸ ¸C* ÐB'Ñ

ÐC*Ñ ÐB'Ñ

#

# '

Calcular lim

Ð'ß*Ñ

ÐBßCÑ

IV.- Dada la función

ÐBß CÑ œ

B BC C à ÐBß CÑ Ð "ß "Ñ

' à ÐBß CÑ œ Ð "ß "Ñ

ÚÝÛÝÜ

#BÐC"Ñ#C#

ÐB"Ñ ÐC"Ñ# #È # #

¿Es continua en ? Ð "ß "Ñ

V.- Dada la función

ÐBß CÑ œ

$B BC C à ÐBß CÑ Ð"ß #Ñ

D à ÐBß CÑ œ Ð"ß #Ñ

ÚÝÛÝÜ

#ÐB"ÑÐC#Ñ

ÐB"Ñ ÐC#Ñ# #È # #

¿ Es continua en ? Ð"ß #Ñ

VI.- Dada la función

ÐBß CÑ œ B BC C à ÐBß CÑ Ð"ß #Ñ

" à ÐBß CÑ œ Ð"ß #ÑÚÝÛÝÜ

$BÐC#Ñ$C*

ÐB"Ñ ÐC#Ñ

# #

È # #

¿Es continua en ? Ð"ß #Ñ


58/58

VII.- Dada la función

ÐBß CÑ œ#BC B 'C ' à B C "

B *C $B à B C œ "

ÚÛÜ

#

Determinar :

1. ¿Es continua en ?limÐ#ß"Ñ

ÐBß CÑ Ð#ß "Ñ

2. ¿Es continua en ?limÐ"ß"Ñ

ÐBß CÑ Ð"ß "Ñ

3. ¿Es continua en ?limÐ!ß"Ñ ÐBß CÑ Ð!ß "Ñ 4. Dominio de continuidad

Topologia-limite y Continuidad

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