Tópicos Avanzados de Optimización

8/15/2019 Tópicos Avanzados de Optimización

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Tópicos Avanzados deOptimización

Dr. Manuel Rodríguez Medina


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Fases de un Estudio deInvestigación deOperaciones

1. La defnición del problema.

2. La construcción del modelo.

3. La solución del modelo.

4. La validación del modelo.

. La implementación de la solución.


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Construcción de

ModelosLos Modelos simbólicos son

conceptualizaciones abstractas delproblema real a base del uso de

letras! n"meros! variables #ecuaciones


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Construcción de

modelos $%emplo 1. &mpacto '.(.! puede anunciar sus productos

en estaciones locales de radio o )*. $l presupuestopara publicidad se limita a +1,,,, mensuales. -ada

minuto de un anuncio en la radio cuesta +1! # cadaminuto de comercial en )* cuesta +3,,. ( &mpacto legusta usar al menos el doble de publicidad por la radioue por )*. (l mismo tiempo! no es pr/ctico usar masde 4,, minutos de anuncios radio0ónicos cada mes. La

eperiencia indica ue se estima ue la publicidad por )* es 2 veces m/s e0ectiva ue por la radio. a -onstru#a el modelo de rogramación Lineal b Determine la asignación óptima del presupuesto

para publicidades por radio # )*


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Construcción de

modelos $%emplo 2. Modelos (l0a 0abrica camisas # blusas para las )iendas

eta! ue aceptan toda la producción de (l0a. $n el proceso deproducción intervienen el corte! costura # empacado. (l0a emplea2 traba%adores en el departamento de corte! 3 en eldepartamento de costura # en el departamento de empaue. $sa0abrica traba%a un turno de 5 6oras! días por semana. $n la tablasiguiente se muestran los tiempos necesarios # las utilidadesunitarias para cada prenda.

777777777777777777777777777777777 Minutos por unidad renda -orte -ostura $mpaue 8tilidad 9+

77777777777777777777777777777777777777777777777 -amisas 2, :, 12 5.,, lusas ;, ;, 4 12.,,

77777777777777777777777777777777777777777777777 a Determine el programa de producción semanal óptimo para (l0a.


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Construcción de modelos

$%emplo 3. $l ingenio La rimavera produce az"car morena!az"car blanca! az"car glas # melaza! a partir de guarapoconcentrado. La empresa compra 4,,, toneladas semanalesde ese guarapo! # se le contrata para entregar al menos 2

toneladas semanales de cada clase de az"car. $l proceso deproducción comienza 0abricando az"car morena # melaza apartir del guarapo. 8na tonelada de guarapo concentradoproduce ,.3 toneladas de az"car morena # ,.1 toneladas demelaza. ( continuación se produce el az"car blancaprocesando el az"car morena. 'e necesita una tonelada deaz"car morena para producir ,.5 toneladas de az"car blanca.or "ltimo! el az"car glas se produce a partir de az"car blancamediante un proceso especial de molienda ue tiene unaefciencia de producción del


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Construcción de modelos $%emplo 4. 8n 0abricante produce tres modelos! &! && # &&& de cierto producto! usando las

materias primas ( # . La tabla siguiente muestra los datos del problema? Reuerido por unidad 777777777777777777777 Materia prima & && &&& Disponibilidad

( 2 3 4,,, 4 2 : ;,,, Demanda mínima 2,, 2,, 1,

8tilidad por unidad 3, 2, , $l tiempo de mano de obra para el modelo & es el doble ue para el && # el triple del &&&. )odo

el personal de la 0/brica puede producir el euivalente de 1,, unidades del modelo &.Las necesidades del mercado especifcan las relaciones 3?2? de las producciones de lostres modelos respectivos. >ormule el modelo de programación lineal.


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Construcción de modelos $%emplo . 8n 0abricante de pl/sticos tiene en eistencia! en una de sus

0/bricas! 12,, ca%as de envoltura transparente # otras 1,,, ca%as en susegunda 0/brica. $l 0abricante tiene ordenes para este producto por partede tres di0erentes distribuidores! en cantidades! 1,,,! :,, # ,, ca%as!respectivamente. Los costos unitarios de envío 9en dólares por ca%a de las

0/bricas a los detallistas son los siguientes? 777777777777777777777777777777777777777777777 Distribuidor 1 Distribuidor 2 Distribuidor 3 77777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777 >/brica 1 14 13 11 >/brica 2 13 13 12 77777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777 -onstru#a el modelo de programación de costo mínimo! para

satis0acer la demanda con el inventario actual.


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Construcción de modelos $%emplo ;. 8na tienda de autoservicio ue 0unciona

las 24 6oras tiene los siguientes reuerimientosmínimos para los ca%eros?

$l período 1 sigue inmediatamente del período ;.8n ca%ero traba%a 5 6oras consecutivas! empezandoal inicio de uno de los seis períodos. Determíneseue grupo diario de empleados satis0ace lasnecesidades con el mínimo de personal.

eriodo 1 2 3 4 ;

@orario 3A: :A11 11A1 1A1< 1


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Análisis de Sensibilidad $%emplo :. @iDec produce dos modelos de artículos

electrónicos! donde se usan resistores! capacitores# c6ips. La tabla siguiente es un resumen de los

datos en este caso?Reuerimientos del recurso por unidadRecurso Modelo 1 Modelo 2 Disponibilidad m/imaResistor 2 3 12,,-apacitor 2 1 1,,,-6ips , 4 5,,8tilidad9+ 3 4

7777777777777777777777777777777777777777777777777


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Ejemplo !

Continuación 'ean x 1 # x 2 las cantidades producidas

de los modelos 1 # 2! respectivamente. (continuación se tiene el modelo de

programación lineal # su tabla simpleóptima asociada? Maimizar z = 3x 1 + 4x 2 su%eta a

2x 1 + 3x 2 ≤ 1200 2x 1 + x 2 ≤ 1000 4x 2 ≤ 800 x 1, x 2 ≥ 0


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Ejemplo !

Continuacióna Determine el estado de cada recurso

b $n 0unción de la utilidad óptima determine elvalor de un resistor! de un capacitor # de un c6ip.

c Determine el intervalo de aplicabilidad de losprecios duales para cada recurso.

d 'i la cantidad disponible de resistores aumenta a13,, unidades determine la nueva solución

óptima.e 'i se reduce la cantidad de c6ips disponibles a

3, unidades! Bpodría usted determinar la nuevasolución óptimaC


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Algoritmo simple#

modi/cado

6 54321

6 54321

6

5

4

3

2

1

T 6 54321

ccccccC :objetivo funciónladeesCoeficient

0 x , x , x , x , x , x

2

1

6

24

x

x

x

x

x x

100010

010011-

001021

000146

a Sujeta

x x x x x x 000045 !axi"ia#

=

≥

=

=


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Algoritmo simple#

modi/cado Iteración )!

{ } $4 ,5% $c ,c% $ & , & % 'C c

$0 ,0 ,0 ,0% 'C

:d o(ti"alidadeC)lculos

0 * C , $2 ,1 ,6 ,24% b ' * +

' , & , & , & , & '

0 ,0 ,0 ,0C , x , x , x , x *

21211

0 '2 ,1 j j j

10 '

' 'T 1

0 '

106 5430

'6 543 '

0

0

000

00

=

=

=

=

=


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Algoritmo simple#

modi/cado Cálculos de factibilidad:

{ }

baseladesale.uevecto# el es & +

4 , ,6 ,4"in , ,1

6 ,

6

24"in x ,0 ,1 ,1 ,6 & '

$2 ,1 ,6 ,24% x , x , x , x *

3

1T

11

0

T T 6 543 '0

=

=


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Algoritmo simple#

modi/cado Iteración ,!

20 * C , $2 ,5 ,2 ,4% b ' *

1000

010

001

000

'

1000

0101

0011

0006

$ & , & , & , & % '

0 ,0 ,0 ,5 C , $ x , x , x , x % *

111

11

' 'T 1

1 '

6

16 1

6 1

11

6 5 411

'T

6 5 41 '

=

=

=

=


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Algoritmo simple#

modi/cado

{ }

& esent#a.uevecto# el +

$0 ,% $0 ,4%

01

01

02

14

$0 ,0 ,0 ,%

c ,c $ & , & % 'C c

$0 ,0 ,0 ,%

1000

010

001

000

$0 ,0 ,0 ,5% 'C

:d o(ti"alidadeónCo"(#obaci

2

32

6

5

32321

1 '3 ,2 j j j

6

5

6 1

6 1

6 1

1

1 '

1

1

=

=

=

=


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Algoritmo simple#

modi/cado

{ }

baseladesale & +

2

32 ,3 , ,6 "in

1

2 ,

5 ,

2 ,

4"in x

11

1

2

4

1000

010

001

000

& '

$2 ,5 ,2 ,4% x , x , x , x *

:ad factibilid deónCo"(#obaci

4

2

3

35

34

322

3

53432

6 16 1

6 1

21-

1

T T 6 541 '1

=

=

=

=

=


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Algoritmo simple#

modi/cado

21 * C , $ , , ,3% b ' *

10

01

00

00

'

1010

0111

0021

0046

$ & , & , & , & % '

0 ,0 ,4 ,5C , $ x , x , x , x % *

112

22

' 'T

2

1

2

5

2

312 '

4

3

/

14

5

/

34

3

/

121

41

12

6 5212

'T

6 521 '

=

=

=

=


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Algoritmo simple#

modi/cado

{ }

c)lculosloste#"inan +ó(ti"oes * s

$ ,% $0 ,0%

00

00

10

01

$0 ,0 , ,%

c ,c $ & , & % 'C c

$0 ,0 , ,%

10

01

00

00

$0 ,0 ,4 ,5% 'C

:d o(ti"alidadeónCo"(#obaci

2

2

2

'

21

43

21

43

43431

2 '4 ,3 j j j

2

1

4

3

4

3

/1

45/3

43

/1

21

41

1

2 '

=

=

=

=

=


22/212

Algoritmo del puntointerior de 0armar1ar

2,34&5 Idea 6undamental del algoritmo del punto interior

Maimizar z = x 1

su%eta a , 1 2

'i se usa x 2 como variable auiliar! el problema puedeser representado como?

Maimizar z = x 1 su%eta a

1 E 2 F 2

x 1, x 2 0


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Algoritmo del puntointerior de 0armar1ar

2,34&5 &dea gr/fca del concepto general delalgoritmo de GarmarHar

2

2

(

-

D

$

Iradiente de z

$spacio desoluciones?'egmento de recta(.


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&dea b/sica del algoritmo La dirección de aumento de z es la dirección

positiva de x 1.

'ea C un punto interior 9no etremo en elespacio 0actible 9línea (. $l gradiente de la0unción ob%etivo en C es la del aumento m/sr/pido de z . 'i se ubica un punto arbitrario alo largo del gradiente # a continuación se

pro#ecta perpendicularmente sobre elespacio 0actible! se obtiene el nuevo punto, con me%or valor ob%etivo. 'i se repite elprocedimiento en ! se determinar/ unnuevo punto ! m/s cercano al óptimo.


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Algoritmo del puntointerior

Minimizar z = CX

su%eto a

AX = 0 1X = 1

X ,

)odas las restricciones son ecuaciones6omogeneas! a ecepción de la restricción 1X =1! ue defne un simple n dimensional.


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7alidez del algoritmo

La validez del algoritmo consiste

en satis0acer dos condiciones?1. X = "1#n, 1#n,$,1#n% satis0ace AX

F )

2. min z F ,


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Ejemplo 'ea el problema

+ + +

efiniendo

2 + +2 +

tieneseolu#a,deva#iableunando nt#oducie

0 + , +

2 +2 +

asujeta

+ + !axi"ia#

321

321

21

21

21

≤

=

≥

≤


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Ejemplo Donde & es lo bastante grande para no

eliminar algunos puntos 0actibles en elespacio de soluciones. $n este caso & = '.

@omogeneizando la restricción?

0 +2 +3 +/ +3

+2 +2 +2 +2 +5 +10 +5

5

+ + + +

2 + +2 +

5 + + + +

4321

4321321

4321

321

4321

=

=

=


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Ejemplo

Defniendo una nueva variable

4 ,3 ,2 ,1 j ,0 x

1 x x x x

0 x 2 x 3 x / x 3

a sujeta

x 5 x 5 i"ia# "ax

4 ,3 ,2 ,1i 5

+

x

j

4321

4321

21

i

i

=

=

=

=


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Ejemplo

'e puede asegurar ue el centro X = "1#n,1#n,$,1#n% es un punto 0actible para

ecuaciones 6omogJneas! restando del ladoizuierdo de cada ecuación! una variableartifcial cu#o coefciente sea igual a lasuma algebraica de todos los coefcientes

de restricción en el lado izuierdo? así auí! 3 E 5 E 3 K 2 F 12


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Ejemplo

$l nuevo sistema ser/?

5 ,---,2 ,1 j ,0 x

1 x x x x x

0 x 12 x 2 x 3 x / x 3

a sujeta

!x x 5 x 5 !axi"ia#

j

54321

54321

521

=

=

=


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$l modelo de rogramaciónLineal

Defnición? 'e entiende por rogramaLineal auel ue optimiza

0 *

b *

asujeta

c*

≥

≤

=


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El m8todo Simple#

n ,,1i 0 *

" ,,1 j b * a

a Sujeta

* c 7(ti"ia#

i

i i

n

1i ji

i

n

1i i

=

=

∑

=

=


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Teoremas "ásicos de la9rogramación :ineal

)eorema 1. $l con%unto de todas las soluciones 0actibles de unprograma de programación lineal es un con%unto conveo.

emostración? 'i X es una solución 0actible! satis0ace lassiguientes condiciones

AX ≤ b X ≥ 0 )eorema 1.1 8n semiespacio cerrado cX ≤ b 9 o bien abierto cX <

b es un con%unto conveo. (r)eba* 'ean X 1 # X 2 dos puntos cualesuiera del semiespacio

cerrado o abierto. $s decircX 1 ≤ b ó cX 1 < b

cX 2 ≤ b ó cX 2 < b 'ea X = X 1 + (1- )X 2 0 < < 1. $ntonces cX = c! X 1 + (1- )X 2 " = cX 1 + (1- )cX 2 = b + (1- )

b = b

or tanto X est/ en el subespacio cerrado o abierto.


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Teoremas "ásicos de la9rogramación :ineal

)eorema 2. La 0unción ob%etivo de unprograma lineal obtiene su valor m/imo 9omínimo en un punto etremo del con%untoconveo de soluciones 0actibles.

(r)eba. -onsidJrese la 0orma canónica. 'ea# el con%unto de todos los puntos etremosdel con%unto conveo generado por todas lasrestricciones del ..L. sea

# = $X i %i &' ' denota los índices de lospuntos etremos


36/212


37/212

El procedimiento tradicionalde ;ram-Sc


38/212



39/212



40/212

>escomposiciones ?= Teorema clave@ 'ea una matriz de - de

rango . $ntonces?

a% puede escribirse en su descomosición / no

normalizada como /00! en donde?1. /0 es - # tiene columnas ortogonales 9de las

cuales son di0erentes de cero # - son cero uegeneran el espacio columna de .

2. 0 es - -! triangular superior unitaria # no

singular.

3. La norma 2 de la iAJsima columna de /0 es igual a ladistancia de la iAJsima columna de al espaciogenerado por las primeras i1 columnas de .


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>escomposiciones ?=

b puede escribirse en su descomosición /normalizada como =/! en donde?

1. es

- # tiene columnas ortonormales uegeneran el espacio columna de .

2. es triangular superior de - # tiene rango .

3. 'i = -! entonces N=iiN es igual a la

distancia desde la iAJsima columna de 6asta elespacio generado por las primeras i1 columnasde (.


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>escomposiciones ?=!Ejemplo

00

4

343

4

34

9

0

3

22

1

4

9

4

1

0

;


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>escomposiciones ?=!Ejemplo

ara obtener # ! se eliminar/ la terceracolumna de 0 # el tercer renglón de 0! # sea%ustar/n las escalas de las columnas de 0 #

los renglones de 0.


44/212

>escomposiciones usando trans6ormaciones

ouse


45/212

>escomposiciones usando trans6ormaciones

ouse


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=eDe#iones deouse


47/212

=eDe#iones deouse


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=eDe#iones deouseescomposición . Descomposición / de la matriz

T T

T T

T T

1

1

62?9 0 ,62?9 0 ,459? 05925 1

1 ,1 ,?321 0u

0 ,0 ,131 ,1 ,1

0 ,0 ,131 ,1 ,1

e + +

e + +u

22 21

/2 11

26 11

*

=

=

=

=

= D i d


49/212

=eDe#iones deouseescomposición . btención de la matríz de @ouse6older[ ]

=

=

=

2114 0?//6 05??2 0

?//6 02114 05??2 0

5??2 05??2 05??4 0

?//6 0?//6 05??2 0

?//6 0?//6 05??2 0

5??2 05??2 04226 0

100

010

001

uu2 =

?//6 0?//6 05??2 0

?//6 0?//6 05??2 0

5??2 05??2 04226 0

62?9 062?9 0459? 0

62?9 0

62?9 0

459?

2uu2

T

11u

T 11

1

= D i d


50/212

=eDe#iones deouseescomposición .

[ ]

=

=

=

=

0634 03504 00

03504193? 0

000

031? 01?52 00

1?52 096/5 00

000

21?/0 09/41 00

1?/0 0

9/41 0

0

2uu2

1?/0 09/41 00u

3422 1

0106/20 023// 063// 00u

023//-0

063//-0

30601?321

22 21

/2 11

26 11

2114 0?//6 05??2 0

?//6 02114 05??2 0

5??2 05??2 05??4 0

* = *

T 2

T

2

T

2

u1 1

= D i d


51/212

=eDe#iones deouseescomposición .

=

=

=

=

=

=

00

6/2 00

06 3?321 1

22 21

/2 11

26 11

4?43 0/12? 033/4 0

664/ 000?/240?431-

05??205??205??4

* = = ;

4?43 0/12? 033/4 0

664/ 000?/240?431-

05??205??205??4

2114 0?//6 05??2 0

?//6 02114 05??2 0

5??2 05??2 05??4 0

09366 03504-0

03504-093? -0

001

= =

09366 03504-003504-093? -0

001

0634 03504 00

3504 093? 10

000

100

010

001

uu2 =

12

12

2

uu

uu

T 22u

= D i d


52/212

=eDe#iones deouseescomposición .=2121 uu

T u

T u = = = = <

11

1111

T 11

T

@ ;A @A ; 6/2 00

06 3?321 1 ;

664/ 00?/24 0?431 0

5??2 05??2 05??4 0


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El Modelo de =egresión:ineal

$l modelo

= X E

supuestos? /() = ,

/() F X

(dicionalmente! suponiendo normalmente distribuido

*arP Q F $P , Q F 2'


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$ntonces! la 0unción de densidad con%unta deprobabilidad para dado # 2! es

La 0unción de verosimilitud! l" ! 2N#! para #

es idJntico en 0orma a la densidad de probabilidadcon%unta! ecepto ue l" ! 2N# es consideradacomo una 0unción de los par/metros condicionalsobre los datos observados! en lugar de una0unción de las respuestas condicional sobre losvalores de los par/metros.

=

=

2

2

2

2

T 22

2

x +ex(2

2

x + x +ex(2 , + (

2 B

2 B

σ

β

πσ

σ

β

πσ


55/212


56/212


$l estimador de m/ima verosimilitud esel valor de el cual minimiza 6" %. $stees llamado el estimador de mínimos

cuadrados! el cual puede obtenerseconsiderando ue el vector residual - ser/ ortogonal! o normal! al plano esperado.$uivalentemente! el vector residual deber/ser ortogonal a todas las columnas de lamatriz X ! tal ue

A

A

0A x + * T

=β


57/212


58/212


tra manera de epresar el estimador de mínimoscuadrados! # una m/s estable de calcular involucradescomponer X en el producto de una matríz

ortogonal # una matríz 0acilmente invertible. 8sandola descomposición se tiene X =

con la matríz de # la matríz de (

construida tal ue es ortogonal 9esto es ,

=, = ' # es cero aba%o de la diagonal principal.$scribiendo

=

0

; ;

1


59/212


donde 1 es una matríz triangularsuperior de ( (, #

= !1N2 "

con 1 las primeras ( columnas # 2 las "ltimas ( columnas de !

tenemos

X = = 11


60/212


61/212

&nterpretación geomJtrica or e%emplo! trans0ormemos el vector respuesta a = ,

con componentes

1 = 1,

# 2 = 2,

La pro#ección de sobre el plano esperado es entonces

en las coordenadas #

en el sistema de coordenadas original.

0

@1

111

@<0

@


62/212

btención del estimador

11

11

1111

@ ;A

A ;@

A ; i ió


63/212

>escomposición envalores singulares

Teorema clave 'ea , -.

a $iste una matriz unitaria 9ortogonal

si es real! una matriz unitaria ! - - 9ortogonal si es real # una matriz - diagonalS T con Ti%F, para i7 #Ti%FUiV, siendo U1VU2VWVUs en donde s =

min 9 , -%! tal ue la descomposición envalores singulares

= &9: ;

es v/lida.

> i ió


64/212


b Los n"meros U12 con

igualmente! las U12 con


65/212

>escomposición en


66/212

>escomposición envalores singulares *ectores característicos

[ ]

[ ]

=

=

=

=

=

=

=

=

2

2

2

2

2

2

2

2T

2

2

2

2

2

1

2

12

222221

21

21

2

1

T

2

2

2

2

2

1

2

11

221121

21

21

2

1

v

2 $1% 1 * 11 * 1 x 1 x

0

0

x 9 x 9

x 9 x 9

x

x

099

909

v

211 * 1 ,1 * 1 x 1 x

x 9 x 9

x 9 x 9

0

0

x

x

1/99

91/9

>escomposición en


67/212


0 0 1/ 0 $1/% 1/

03216 232 D 4 E 4 D 4 E 4 D 16 $E 2%

0 $D /% 432 E 4 D 32 $/ $% 4 E% 4 D 64/ E 2

0/4

/44

/4

/44

//

//2

//4

//4

442

//4

//4

442

321223

3222

2

T

=

=

=

=

=

=

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

>escomposición en


68/212


00

00023

0

2

2

2

2

22

22

15

5

32

15

54

5

5

32

15

52

5

52

3

1

T =

=

>escomposición en valores


69/212

>escomposición en valoressingulares pseudoinversas mGnimos cuadrados

'ea el siguiente sistema de mínimoscuadrados

T

2

1

C #sa &seudoinve

30

15 15

x

x

22

2211

=

≈

>escomposición en valores


70/212

>escomposición en valoressingulares pseudoinversas mGnimos cuadrados

−−=

−

=

=

=

=Σ

+

+

−−

−

−

+

6

5

65

9

1

9

1

18

1

91

91

181

9

1

9

1

18

1

9

1

9

1

18

1

15

5

15

54

15

52

5

5

5

52

3

2

3

2

3

1

2

2

2

2

2

2

2

2

30

15

15

0

000

0023

1

x

:ecuacionesdesistemadelSolución

0

A

AU V T

=egresión :ineal Simple


71/212

=egresión :ineal Simple $%emplo. -oncentración de bi0enil

policlorinado en un lago como una0unción de la edadEdad2aHos5 Conc!

9C"2ppm5Edad2aHos5 Conc! 9C"2ppm5

, )! %!&

, ,! 4!

, )!( 4!, ,!$ &!)

$ $!) (!(

$ ,!% ,)!(

$ $!( 4 ,!(

% $!$ 4 ,%!&

% $!& 4 &!(

% ,!$ 3 %)!&

& %!( ,, ,$!&

& &!, ,$ ,%!&

& (!, ,$ $!$

( (! ,$ !&

C t ió 9C"


72/212

Concentración 9C" vsEdad

Edad2aHos5

C o n c !

9 C " 2 p p m 5

121,5;42,

3,

2

2,

1

1,

,

Scatterplot o6 Conc! 9C"2ppm5 vs Edad2aHos5

E t bili ió d l


73/212

Estabilización de lavarianza

Edad2aHos5

l n 2 9 C " 5

121,5;42,

4

3

2

1

,

Scatterplot o6 ln29C"5 vs Edad2aHos5


74/212


75/212


76/212


77/212


78/212


79/212


80/212


81/212

Má#imos mGnimos de 6unciones


82/212

de varias variables sinrestricciones

$%emplo 1. 'ea


83/212


'egundasderivadas?

04 $2% $2 $% 4%

2F *

f

41$ f%0,es funciónlade")xi"ovalo# Gl 02F

f

1$%0,en")xi"ountienesetantolo &o# 04 *

f

2

1 ,0

2

1 ,02

2

$1 ,0% 2

2

>

∂

∂

=

∂

∂

<

∂

∂

Má#imos mGnimos de 6unciones


84/212


$%ercicios a resolver?

1. f(X ) = X 2 + 2 - 2X + 7 + 8

2. f(X ) = X 2 + 2X

3. f(X ) = 9X 2 + 8 2 - X


85/212


86/212

Derivadas arciales

Dada una 0unción de n variables @ 1, @ 2,$, @ n denotada por E :A


87/212

TEO=NA C:SICA >E :AO9TIMIPACIQR

9=O":EMAS RO =EST=IR;I>OS 8n punto etremo de una 0unción


88/212


89/212

Má#imos MGnimos

Teorema! 'ea


90/212

Má#imos MGnimos emostración. 'uponga ue ∇f 9 X ^ F ) # ue

9 X es positiva defnida. 'e prueba ue X esun mínimo local. De la epansión de )a#lor se

tiene < 9 XE; F< 9 XE∇f 9 X ); E91_2;P ̀XE91A`9 XE;Q; )

'i ; ; )[, entonces

< 9 XE; A< 9 XF91_2; ; )

o sea < 9 XE; [< 9 X

para cualuier valor de ;! ecepto ; F,! # por lotanto X es un mínimo local


91/212

EEM9:O

'ea

3 * ,2 * ,2 *

0

0

0

24 * /

12 * 6

/ * 4

* f

24 * /

12 * 6

/ * 4

*

* f

*

* f *

* f

* f

10 * 24 * 12 * / * 4 * 3 * 2 * f

321

3

2

1

3

2

1

3

2

1

32123

22

21

=

=

=

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=


92/212

EEM9:O # el @essiano ser/

$sta ecuación es positiva para todo valor de X ! ecepto para X F)! porlo cual se puede decir ue el punto es un mínimo.

0 * / * 6 * 4 * *

*

/0006 0

004

* * * *=*

/0006 0

004

*

f

* *

f

* *

f

* *

f

*

f

* *

f

* *

f

* *

f

*

f

=

2

3

2

2

2

1

3

2

1

321

T

2

3

2

23

2

13

232

2

22

2

12

231

2

21

2

2

1

2

>

=

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

:OS METO>OS >E


93/212

:OS METO>OS >E;=A>IERTE

ara alcanzar el punto alto deuna monta]a se necesitan tres

elementos?a 8n punto conocido de partida

b 8na dirección de caminata

c 8na longitud de caminata


94/212


95/212

MJtodos de Iradiente &niciando desde el punto

(vance en el sentido de x 1 6ace decrecer el nivel de


96/212

Longitud de (vance

*ector de avance?

2//,6 f 6 ,/ $5%/2 ,/ *

5 0

12/

648 0648 12/

8

f

128 648 64

8 /2/8 /2/8 /24/? * , * f

8 /2 ,/ * , * *

1

2

2221

12

11

1

=

=

∂

∂


97/212

'egunda &teración

$valuación del gradiente # la dirección# longitud de avance

25 30 $6 ,5 6 % f

$6 ,5 6 % $6 ,8 3/% * , * *

058 098 1/8

6 ,8 3/ f

2/8 9-98

6 $8 3/% $6 $% 8 3/% $6 % 4 $8 3/% ? 6 ,8 3/ f

0

3

$6 % 2/4

$/% 26 ? * f

22

21

2

2

22

1

=

=

=∂

=

=


98/212

O9TIMIPACIOR >E FRCIORES>IFE=ERCIA":ESM:TI7A=IA":ES

>r! Manuel Arnoldo =odrGguezMedina

M8todo de ascenso o


99/212

M8todo de ascenso odescenso acelerado

'ea


100/212


$ncontrar un punto m/imo local de

=

=

/1/

0

4

$2% 4 $3% 6

$0% 2

$1% 4

* 4 * 6

* 2

* 4

* f

33 $2% 2 $3% 30 $1% 2 * f

2301 * * * * *

* 2 * 3 * * 2 * f

4

3

2

1

0

22220

0

4

0

3

0

2

0

1

0

24

23

22

21

M8todo de ascenso o


101/212


$l nuevo puntoser/

2

1

2

1

2

11

0

1

01

1

1

1

4

1

3

1

2

1

1

0

1

01

/221/330412

* f * f * f !axi"ia#

/

1/

04

2

3

01

*

*

* *

* f * *

∇

=

∇

M8todo de ascenso o


102/212

M8todo de ascenso odescenso acelerado $l nuevo punto óptimo ser/

ε

α

α

α

α

α

<

=

=

=

=

=

H $ * % f * f H

:alo#it"odel nte#"inaciódeC#ite#io

24 549 0240 030?6 12 * f

49 0

40 0

0

?6 1

/

1/

0

4

1/91 0

2

3

0

1

*

*

*

*

*

1/91 02136

404

02136 -404

//241/1/36 4414d

d

8 18

22221

14

13

12

11

1

1

1

111

1

1


103/212

Ejemplo! M8todo de


104/212

Ejemplo! M8todo deReUton $ncontrar un mínimo local de

=

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

=

93 2?9

91 259

94 139

* f

* 20 * 40 * * *

40

* 10 * 40 * * *

40

* 20 * 10 * * *

40

*

f

*

f

*

f

* f

33 920 * f 5 46 *

* * 20 * * 10 * * 40 * * *

40 * , * , * f

0

*

122

321

13

3

2

1

32

32

2

1

* 3

2

1

0

0T 0

312132

321

321

0

2

0

Ejemplo! M8todo de


105/212

Ejemplo! M8todo deReUton

$l @essiano ser/

00101

01

2321

23

21

22

21

2213

2213

22

22

213

2232

31

0

* f * = * *

006 0013 0025 0

012 0025 0050 0

025 0050 0100 0

$ * % =

02? 0020 40010 20

020 40042 0010 10010 20010 1001/ 0

* * *

/040

* * *

4020

* * *

40

40 * * *

40

* * *

/010

* * *

40

20 * * *

4010

* * *

40

* * *

/0

* =

23

3221

321

∇

=

=

=


106/212


107/212

Má#imos mGnimos de 6unciones devarias variables con restricciones!M8todos de Optimización por:agrangeanos

$l problema a resolver es? ptimizar


108/212

M8todos de Optimización por:agrangeanos

'e defne una nueva 0unción ob%etivo! llamadael Dagrangeano*

E"@ 1,@ 2,$,@ n, λ 1, λ 2,$, λ m % =


109/212

8 odos de Op ac ópor :agrangeanos

La venta%a del Dagrangeano es ue setiene una 0unción sin restricciones! aunuecon m/s variables! pudiendose resolverpor medio de derivadas parciales # del

Yacobiano.

∂

∂

∂

∂

∂

∂

000000 F , *

2

F , * 2

2

F , * 2

2

F *

f

F

f

*

f

Condiciones de 0u


110/212

Tuc1er

La condición necesaria para un óptimolocal! es ue el gradiente delDagrangeano sea igual a cero! es decir

* * f *, I

donde 0 , * I

i

"

1i i i

i

∑

=

=

λ

λ

Multiplicadores de


111/212

p:agrange

]

* F b * f F , *, I

esola#anean Gl

0F bF * "1,,i b *

a Sujeto asujeto

* f "in * f "in

i i i

"

1i i i i

i

i i i i i

≥

=

∑

=

λ

Multiplicadores de


112/212

p:agrange La condición necesaria para un

mínimo local es

0

I

F

I *

I

F , , * I

i

i

i i =

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

λ

λ


113/212

FRCIORES COR7E'AS 'ea < 9 @ una 0unción di0erenciable! con @ ! n . 'ea @9 el @essiano! entonces losmenores principales de @! denotados

por1! 2! 3!W! n donde cada uno deestos determinantes son?

cóncavaes * f funciónla

(ositivos,son , , , (a#es"eno#eslos +neativosson

, , ,nones"eno#eslossi .ue"ient#asconvexa,es

* f entonces0,0,,0,si .eindica"Jtodo Gl

,,

* *

f

* *

f

* *

f

* *

f

, * *

f

6 42

531

n21

n

22

2

12

221

2

11

2

2

21

2

1

∇

∇

>

∇

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

=

FRCIORES COR7E'AS!


114/212

Ejemplo

Optimización de 6uncionesmultimodales de una sola variable


115/212

multimodales de una sola variableen problemas no restringidos

M8todo de Interpolación Cbica -Reuiere ue la 0unción sea di0erenciable A-onsiste en encontrar un valor óptimo de una

variable ! denominada ^! tal ue la 0unción g9 F < 9 X E s

obtenga un mínimo local! donde X # s sonvalores iniciales arbitrarios.

A X es el )nto de artida s es la dirección de bGs-)eda


116/212

M8todo de InterpolaciónCbica

'ea

>ase 1. Dados valores arbitrarios de @ # s eval"e g9 F < 9 X E s .

>ase 2. $val"e g 9 # gHH 9 para valores de igual a ,! 1! 2! 4!W!1;! a, b, donde b es elprimer valor para el cual gHH 9 es negativo óg9 no 6a decrecido. $s decir! el valor óptimo^ se encuentra en el rango a IJ ≤ b.

α

α

d

d $% K =

M8todo de Interpolación


117/212


>ase 3. 'e a%usta un polinomio c"bicotomando en consideración los valores g"a%,g"b%, gH"a% # gH"b%. $l valor mínimo ^ se

representa en esta iteración por e donde

21

$$b% K $a% K % L

+

$b% K $a% K ab

$b% $a% 3

$ab% L 2 $a% K $b% K

L $b% K b

2

e

=

M8todo de Interpolación


118/212

pCbica

'i g"a% ó g"b% no son menores a g" e %!entonces se acepta ue ^F e "aloraroximado%.

'i g"a%I g" e %! ó g"b%I g" e %! ! entonces?

a% gH" e %K0, se repite el mismo procedimiento enel intervalo a≤ ^b! donde a=a # b= e

Regrese a la 0ase 3.b 'i g"a%I0! se repite el mismo procedimiento

en el intervalo a≤ ^b! donde a= e # b=b. Regrese a la 0ase 3.

M8todo de InterpolaciónCbi


119/212

Cbica

Ejemplo! $ncuentre un mínimo local de la 0unción unimodalde una sola variable


120/212

Cbica

Ejemplo! >ase 2. g" gH" % Lbseraciones

, A24 A;

1 A24 2 rimer alor donde gH" % K0

(or lo tanto b=1 a=0. 6e tiene -)e 0≤J≤1.

Ease 3.

426 0-1

2424-3

$b% K $a% K ab

$b% $a% 3

=

=



121/212

Cbica

Ejemplo!

-25 f%*M$ +39 0M entonces

$b% $ % + $% $ % Co"o 25 $39 0% $%

39 0 $01% $29 5% 26 2

429 521

$ab% L 2 $a% K $b% K

L $b% K b

29 5 $1216 % $$2 $% 6 % $4%%

$$b% K $a% K % L

e

eee

e

e

2

2

21

21

21

=

<

=

=


122/212

M8todo de ReUton-=ap


123/212



124/212


125/212



126/212

El M8todo de ;auss-ReUton

Iauss sugiere usar aproimaciones linealesa la 0unción esperada para iterativamenteme%orar un valor inicial o para #

mantener me%orando los estimados 6astaue no 6a#a cambio. $sto es! epandir la0unción esperada


127/212

ReUton

&ncorporando todos los casos! escribimos

" % " , % E 09A , donde , es la matriz de derivadas de

( con elementos n. $sto eseuivalente a aproimar los residuales! 9 F - " % ! mediante

9

P

9

)

E ,

Q F ,

K ,

donde , F A " ) % # F - )!

El M8todo de ;auss-


128/212

ReUton $ntonces calculamos el incremento de Ma)ss ,

para minimizar la suma de cuadrados de losresiduales aproimada N , K ,N! usando

,

F F 11 1 = 1, ,

0011

10

1

111

A

(unto Gl

@ ;

as +

@


129/212

ReUton

$ste punto deber/ ser m/s cercano a ue 9 ,! # así nos movemos al

me%or valor del par/metro,

F )

E ) # llevamos cabo otra iteraciónmediante el c/lculo de un nuevoresidual 1 F A 9 1! una nuevamatríz de derivadas 1! # un nuevoincremento.

El M8todo de ;auss-


130/212

ReUton Ejemplo! $l modelo Mic6aelisAMenten para

cinJtica de las enzimas relaciona lavelocidadS inicial de una reacciónenzim/tica con la concentración de sustrato

x a travJs de la ecuación

22

1

2

11

21

2

1

$ x %

x f

x

x f

tienese +a#es(ectocon f ndodife#encia

x

x , x f

∂

∂

∂

∂

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

El M8todo de ;auss-


131/212

ReUton dado ue ambas derivadas involucran al menos

uno de los par/metros! el modelo es considerado nolineal.

Concentración

> a t o s

1.21.,,.5,.;,.4,.2,.,

22

2,,

1:

1,

12

1,,

:

,

Scatterplot o6 >atos vs Concentración

El M8todo de ;auss-


132/212

ReUton $stimados de inicio?) F 92,! ,.,5 )

-/lculo de n,?

n x n n n, z n

0 : n10 : n2

0

1 0.02 NO 41 3' 0.2 410.0

2 0.02 4N 41 O 0.2 410.0

3 0.0O PN 8N.8O P.14 0.428O

O2N.'

'

4 0.0O 10N 8N.8O 1P.14 0.428O

O2N.'

'

' 0.11 123 118.O8 4.32 0.'N8P

O24.'

'

O 0.11 13P 118.O8 20.32 0.'N8P O24.''

N 0.22 1'P 1'0.33 8.ON 0.N333

'01.1

1

8 0.22 1'2 1'0.33 1.ON 0.N333

'01.1

1

2n

02

n01

1

n02n

n02

n

1

n0

1n

22

2102

12

1101

$ x %

x , x f deC)lculo

x

x , x f

deC)lculo

/6 /? 06 00/ 0

$06 0% 205

x

x

4102 00/ 0

$02 0% 205

x

x

0

0

∂

∂

=

∂

∂

=

=

=

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

η

θ

θ

η

θ

θ

El M8todo de ;auss-


133/212

ReUton

(grupando las derivadas en la matríz dederivadas ,! # desarrollando unadescomposición ! de la cual

generamos 1 = 1, 0 # resolvemos para) usando 1) F 1. (uí! ) F 95.,3!A,.,1: ) # la suma de cuadrados en , F ) E ) es 69, F 12,; la cual es

muc6o m/s peue]a ue 69) F 31! #por lo tanto nos movemos a , 2213.,3! ,.,;3 ).

Datos para e%emplo deI t


134/212

IaussAeton

Datos sobre demanda biouímica de oigeno9D 0ueron obtenidos por MarsHe 91


135/212

IaussAeton

)abla. Demanda iouímica de ígeno vs tiempo

)iempo

9Días

D

9mg_l

)iempo

9Días

D

9mg_l1 5.3 4 1;.,

2 1,.3 1.;

3 1


136/212

p %constante como

Tiempo2>Gas5

" O > 2 m g * l 5

;4321

2,.,

1:.

1.,

12.

1,.,

Scatterplot o6 "O>2mg* l5 vs Tiempo2>Gas5

$e1% $ , x % f x

12

θ

9roblemas coni i


137/212

restricciones

=estricciones de igualdad QRtodo acobiano. QRtodo de deriadas

restringidas

Minimizar z =


138/212

restringidas 2jacobiano5

Desarrollo matem/tico del mJtodoX


139/212

Cadenas de Mar1ov

$n esencia! una cadena es unproceso en tiempo discreto en el

ue una variable aleatoria @ n vacambiando con el paso deltiempoS


140/212

7ECTO=ES >E 9=O"A"I:I>A>

8n vector renglón ) = ")1, )2,$,)n % recibe elnombre de vector de probabilidad si suscomponentes son no negativas # su suma

es igual a 1. $%emplo 1.

2

1

4

1

4

1

4

1

2

1

4

3

2

1

4

1

4

3 0@ 0v 0u =


141/212

Matrices Estocásticas


142/212

Matrices Estocásticas

8na matriz cuadrada ( = "i8 % es estocSstica si cada una de sus flas esun vector de probabilidad.

$%emplo 2.

0

010

0

32

31

31

6 1

21

31

31

43

41

31

31

31

41

21

43

32

31

Matrices EstocásticasTeorema ,


143/212

Teorema ,

'i ( # son matrices estoc/sticas!entonces el producto ( es una

matríz estoc/stica. $ntonces! enparticular! todas las potencias (n son matrices estoc/sticas.

Matrices estocásticasregulares


144/212

regulares >e/nición! 8na matríz estoc/stica ( es

regular si todos los elementos de algunapotencia (m son positivos.

$%emplo 3.

#eula#noes tanto, (o# #enlón>

(#i"e# el en0 +1tienese (otenciatoda &a#a

01

01

01

ele"entotodo (a#a (ositivaes.ue +a#eula# es

1010

10

"

16 1

16 15

4

21

21

2

21

21

43

41

21

21

21

21

21

21

2

21

21

=

=

=

=

=

=

9untos /jos dematrices cuadradas


145/212

matrices cuadradas 8n vector renglón no nulo ) = ")1, )2,$,)n %

es un )nto o de una matríz cuadrada ( si) permanece f%o! es decir! no cambia!

cuando se multiplica por (? ) = )

$%emplo 4.

12

es fijo (untoel .ue facil"enteobse#va Se

x -1 x -13 x x x 12 x 2 x -1 x D x -13 x x 12 x 2 E

x -1 x 32

12 x -1 x

32

12

=

=

=

=

untos f%os # matricesestoc/sticas regulares. )eorema


146/212

estoc/sticas regulares. )eorema

2 'ea ( una matríz estoc/stica regular.$ntonces?

1% ( tiene un vector de probabilidad f%o "nico t !

# las componentes de t son todas positivasX2 La sucesión (, ( 2, ( 3,$ de potencias de ( se

aproima a la matríz 5 ! cu#os renglones soncada una el punto f%o t .

3 'i es cualuier vector de probabilidad!entonces la sucesión de vectores (, (2, (3,$ se aproima al punto f%o t .

9roceso estocástico


147/212

9roceso estocástico

8n proceso estoc/stico se defnecomo una colección indizada deariables aleatorias T@

t T, en donde el

s)bUndice t toma alores de )ncon)nto 5 dado.

5 ? -on%unto de enteros no negativos @ ? -aracterística de interJs medible

en el tiempo t.

Cadenas de Mar1ov


148/212

Cadenas de Mar1ov Las cadenas de MarHov tienen la siguiente

propiedad esencial? se dice ue un procesoestoc/stico tiene la roiedad maroiana

si { } { }

1t 10

t 1t t 1t 1t 11001t

8 ,---,8 ,8 , j ,i sucesióntoda + ,---1 ,0t (a#a

i * j * & i * ,8 * ,---,8 * ,8 * j * &

=

=

Cadenas de Mar1ov


149/212

Cadenas de Mar1ov $sta propiedad es euivalente a

establecer ue la probabilidad

condicional de cualuier eventoS0uturo dados cualuier eventoSpasado # el estado actual @ t = i! esindeendiente del evento pasado #sólo depende del estado actual delproceso.

robabilidades detransición


150/212

transición Las probabilidades condicionales

se llaman probabilidades de transición. 'i para cada i #

entonces se dice ue las probabilidades detransición de 9un paso son estacionarias #

por lo general se representan por i8

{ }i * j * & t 1t =

{ } { }

,1 ,0t toda (a#ai * j * & i * j * & 01t 1t =

robabilidades detransición


151/212

transición

La eistencia de probabilidades de transición9de un paso estacionarias tambiJn implicaue! para cada i, , # n 9n = 0, 1,$

$stas probabilidades condicionales se

representan por # se llamanprobabilidades de transición de n pasos.

{ } { }i * j * & i * j * & 0nt nt =

nij (


152/212

>e/nición de Cadenas deMar1ov


153/212

Mar1ov

'e dice ue un proceso estoc/stico

es una cadena de Qaro de estado nito si tienelas siguientes características?

1. &n nGmero innito de estados.

2. Da roiedad maroiana.

3. (robabilidades de transición estacionarias4. &n con)nto de robabilidades iniciales (T@ 0 = iT

ara toda i.

,1 ,0t * t =

CA>ERAS >E MA=0O7


154/212

$%emplo 1. 8na persona puede escoger entreconducir su automóvil o tomar el tren para ir altraba%o cada día. 'upongamos ue la personanunca toma el tren dos días seguidosX pero si

conduce 6asta el traba%o! entonces al díasiguiente puede mane%ar de nuevo o tomar eltren.

$l espacio de estados del sistema es t 9tren! c

9conducir. $ste proceso estoc/stico es unacadena de MarHov! porue el resultado decualuier día depende "nicamente de lo ue 6asucedido el día anterior

EEM9:O ,! MatrGz deTransición del Sistema


155/212

Transición del Sistema

t c

t , 1

c

Ejemplo $


156/212

Ejemplo $

)res muc6ac6os (! # - se pasanuna bola. ( siempre le pasa la bola

a # siempre le pasa la bola a -Xpero - puede! de igual manera!pasarle la bola a o a (. 'ea @ n lanAJsima persona ue recibe labola. $l espacio de estados delsistema es (! ! -

$%emplo 2


157/212

$%emplo 2.

Matríz de )ransición del 'istema

A -

( , 1 ,

, , 1

- ,

Ejemplo $


158/212

Ejemplo $! 'upongamos ue C 0ue la primera persona

con la bola! es decir! "0% = "0, 0, 1% es ladistribución inicial de la probabilidad.

$ntonces

esC .uede +deesbolalatena '.uede ,deesbolala

tena .uedead (#obabilid la (ases,t#esdedes(uJs s,

0

100

010

0 & ( (

0

0

100

010

0 & ( (

00100

010

100 & ( (

21

41

41

21

41

41

21

21

21

2123

21

21

21

21

21

2112

2

1

2

1

21

21

01

=

=

=

=

=

=

Ejemplo %


159/212

Ejemplo %! $l territorio de un vendedor consta de tres

ciudades (! # -. unca vende en la mismaciudad en días sucesivos. 'i el vendedortraba%a en la ciudad (! entonces al díasiguiente traba%ar/ en la ciudad . 'inembargo! si traba%a en o en -! entonces laprobabilidad de ue traba%e en la ciudad ( esel doble de la probabilidad de ue lo 6aga en

cualuiera de las otras dos ciudades. ( lalarga! Bcon uJ 0recuencia traba%a elvendedor en cada una de las ciudadesC

Ejemplo %! La matríz de transición es?

010

C '


160/212

La matríz de transición es?

uscamos un vector f%o "nico t de la matríz (.

=

0C

0 ' &

3132

31

32

Cen15Nel + 'en45N ,en40Nel t#abajala#a,la

15 045 040 0t

39/u3 39/u3 13u

x 3, +1, si

+

+ x

x +

+ x

0

0

010

+ x u

20

3

20

9

52

201

39/1

3

/

3

/

3

13132

32

31

32

3

1

3

2

=

=

=

=

=

=

=

=

ESTA>OSA"SO="ERTES


161/212

A"SO="ERTES

$l estado ai de una cadena deMarHov se llama absorbente si elsistema permanece en el estado ai una vez ue entra en Jl. $ntonces unestado ai es absorbente si # solo si laiAJsima fla de la matríz de transición

( tiene un 1 en la diagonal principal #ceros en los dem/s sitios.

Cadenas de Mar1ov!Ejemplos


162/212

je p os 1. 8na compa]ía de servicio para etinguidores de 0uego traba%a ba%o

contrato para dar servicio a todos los etinguidores en grandes 0/bricas #edifcios de ofcinas. -ada etinguidor tiene un nivel de presión reueridaue deber/ mantenerse para su operación apropiada. La compa]ía deservicio envia a sus 6ombres periodicamente a cada cliente parainspeccionar # recargar todos los etinguidores en el edifcio. La compa]íatiene un problema de precios? ara cada nuevo cliente potencial! se deber/

proponer un contrato el cual deber/ especifcar tanto el periodo deinspección como el servicio de carga! dado el tipo de etinguidores # eln"mero presente. La decisión de precio est/ basada sobre la estimación deue el valor para el cliente es de +,.2, por dia para cada etinguidor ueestJ arriba de la presión reuerida! pero es euivalente a +,.5, de pJrdidapor día para cada etinguidor ue estJ aba%o de la presión reuerida. $lproceso de pJrdida de presión es un proceso MarHov. -ada etinguidor est/en cualuiera de arriba 9estado ( o aba%o 9estado de su presión

reuerida. 8n etinguidor el cual est/ en el estado ( al inicio de unasemana tiene probabilidad de ,., de estar aba%o de la presión durante unasemana. 8na vez ue el est/ en presión ba%a el permanecer/ aba%o. )odoslos etinguidores est/n en el estado ( al terminar el periodo de inspección.-onsidere un gran edifcio de ofcinas con 1,, etinguidores. $l cargo totalpara una inspección # servicio debería ser +1,,. BuJ periodo deinspección 9en semanas podría maimizar el valor neto para el clienteC



163/212

Ejemplos

'olución? $l proceso de MarHov tienedos estados? ( # . La condición deinicio es ue 9(, F 1. La matriz de

probabilidades condicionales es

(n n

(nA1

,.


164/212

Ejemplos La ecuación ue relaciona

9(n a 9(nA1 es

9(n F ,.


165/212

Ejemplos 8n criterio para seleccionar el periodo de

inspección es maimizar el valor neto esperadopor semana. $l valor esperado de la primersemana es

h91FE91,,9:P,.2,9,.


166/212

j p

$l benefcio neto por semana para elcliente es maimizado mediante unperiodo de inspección de 3 semanas.

$l valor esperado del cliente es+21;.


167/212

Ejemplos

2. $n una comunidad 6a# tres lec6erías lascuales proveen toda la lec6e consumida?Lec6ería (bott! roductos de Lec6e ranc6 #roductos de Lec6e de MarH. or simplicidadnos re0eriremos a ellos como (! # -. -adauna de las lec6erías conoce ue losconsumidores cambia de lec6ería debido ainstis0acción con el servicio # algunas otras

razones. ara simplifcación adicional de lasmatem/ticas necesarias! asumimos ue nientran clientes nuevos al mercado ni salen losactuales durante este periodo.



168/212

Ejemplos -onsidere a6ora los datos del Ou%o de los clientes para cada una

de las compa]ías lec6eras como 0ue determinada por suspropios Departamentos de &nvestigación de peraciones?

>lu%o de -lientes Yunio 1 Ianancias Jrdidas Yulio 1

De De De a a aLec6ería -lientes ( - ( - -lientes ( 2,, , 3 2 , 2, 2, 22, ,, 2, , 2, 3 , 1 4


169/212

Ejemplos

-/lculo de las probabilidades detransición? La lec6ería observa uepierde , clientes este mesX es decir! su

probabilidad de retener a los clientes esde ,.


170/212

Ejemplos

Yunio 1 Lec6ería -lientes Jrdidas Retenidos robabilidad ( 2,, 4, 1;, 1;,_2,, F ,.5, ,, , 4, 4,_,, F ,.


171/212

Ira0os

a1

a2 a3

)eoría del MJtodo 'imple


172/212

)eoría del MJtodo 'imple

'e considera ue el programa lineal ensu 0orma canónica

1"decolu"navecto# unesb n1de#enlónvecto# unes *

n"o#dendees :donde

0 *

b *

asujeta

c* !ax

×

×

×

≥

≤

=


173/212

>e/nición de MTS


174/212

M)' es una tJcnica de an/lisis demodelos! la cual es usada para 6acerpredicciones a travJs de una escalade medición multivariable. Losmodelos son di0íciles de representaren tJrminos cuantitativos # son

etremadamente sensibles a lascorrelaciones entre las variables.

FruFruto dulceto dulce

-osec6a de los >rutos de'i 'igma


175/212

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Diseño para los Desafíos de Fabricación, Diseño para Six Sigma

Volumen deVolumen de f f rurutoto

Caracterización proceso

optimación

Fruto colgandoFruto colgando bajobajo

Siete !erramientas b"sicas

FruFruto en el sueloto en el suelo

#ógica e int$ición

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Bo sabe"os lo .ue no sabe"os Bo (ode"os ob#a# en lo .ue no conoce"os

Bo sab#e"os asta .ue bus.ue"os

Bo busca#e"os (o# lo .ue no nos (#eunta"os

Bo (#eunta"os lo .ue no "edi"os

&o# lo tanto, si"(le"ente no sabe"os

3 σ Pared, Sacudir Abastecedores3 σ Pared, Sacudir Abastecedores

4 σ Pared, Mejorar Procesos4 σ Pared, Mejorar Procesos

5 σ Pared, Mejorar Diseños5 σ Pared, Mejorar Diseños

© 1994 Dr. Mikel . !arr" - #4.$

' ' g a


176/212

:a distancia deMa


177/212

Ma


178/212

>istancia Euclidiana La distancia euclidiana entre dos puntos

# es el espacio dimensional defnido por $ x , , x , x % * (%&

$ + , , + , +% + (%& (

ℜ

$ + x % $ + x % $ + x % $ + x % $ + , x % d T

( ( G %%

&&

x x $ x % $ x % x $0 , x % d T 2

(2

1 G =

"

s la &or'a euclidia&a de x

>istancia Euclidiana


179/212


$n la distancia euclidiana todos loscomponentes de una observación x

contribu#en igualmente a la distancia

de x del centro.

x



180/212


'in embargo en estadística se prefere una distanciaue para cada componente 9de variables tome lavariabilidad de esa variable dentro de ladeterminación de su distancia del centro.

(sí! componentes con alta variabilidad deberíanrecibir menos peso ue componentes con ba%avariabilidad. $sto puede ser obtenido reescalando loscomponentes.

=

=

(

(

(

(

s

+ , ,

s

+

s

x , ,

s

x

&

&

&

& y


181/212

$ntonces defnimos la distancia entre# como

x +

$ + x % $ + x % s

+ x

s

+ x $ , % d $ + , x % d

T

(

( (

G

=

&

%%

&

&&

Do&de

$s , ,s% diao (%%

&


182/212

x x s

x

s

x $ , % d $ , x % d

T

(

(

G

&

%

&

&''

=

=

x / todos los )u&tos co& la 'is'a dista&cia del orie&

satisace&

%

%%

&

& cs

x

s

x

(

(=

0a cual es la ecuaci& del eli)soide ce&trado e& el

orie& co& ejes )ri&ci)ales iuales a los ejes

coorde&ados. x


183/212

La distancia de Ma6alanobis es usadaentre otras cosas para?

Detectar datos atípicos 9outliers enan/lisis multivariantes! encontrando ladistancia de los puntos con respecto a

su centroide 9vector de medias

Etapa I@ Construcción de una escalade medición con un espacio deMa


184/212

re6erencia! >e/na las variables Jue determinan la 6alta desalud de una entidad*paciente! En una aplicaciónde diagnóstico m8dico el doctor tendrá Jueconsiderar las variables de todas lasen6ermedades para constituir un grupo saludable!

Coleccione los datos sobre todas las variables delgrupo saludable!

Calcule los valores estandarizados de lasvariables del grupo saludable!

Calcule los M>Vs de todas las observaciones! se este espacio como el punto de re6erenciapara la escala de medición!

Etapa II@ Asegure laapro#imación de la escala demedición


185/212

medición &dentifue las condiciones anormales.. -alcule los MDjs correspondientes a estas

condiciones anormales siendo normalizadasusando la media # las desviaciones est/ndar delas variables correspondientes en el gruposaludable. La matriz de correlación 9o con%unto decoefcientes vectoriales IramA'c6midt! si elmJtodo de IramA 'c6midt es usadocorrespondiente al grupo saludable es usado paraencontrar los MDjs de condiciones anormales.

'i la escala es buena! los MDjs correspondientes alas condiciones anormales deber/n tener valoresm/s altos. De esta manera la aproimación de laescala es asegurada.

Etapa III@ Identi/car el conjuntode variables tiles 2etapa dedesarrollo5


186/212

desarrollo5

$ncontrar el con%unto de variables"til usando arreglos ortogonales 9(js # razones '_. La razón '_!obtenida de los MDjs anormales! esusada como la respuesta para cadacombinación de (. $l con%unto "til

de variables se obtiene mediante lagananciaS en razón '_.

?5oceso deo5to>o4aliaci@4 de 5a6-


187/212

Bc;6idt.

0u si 0 +0u si

.8 2 uuvu

uuuvu

uuvu

uvu

vu

v ,,v ene#ado# conjunto un ado

j j8 j u ,u

v ,u

j8

18 8 ,18 18 18 8

33422411444

22311333

11222

11

.1

j j

8 j =

≤

=

α

α

α

α

α


188/212

Resumen estadistico para1

Summar 6or ',


189/212

;,,44,3

Median

Mean

2,454;44424,

(ndersonADarling ormalit# )est

*ariance 3.43

'Heness A,.13;,3

Gurtosis A,.;34423

1

Minimum 34.,,,

(A'uared

1st uartile 41.,,,

Median ,.,,,

3rd uartile 2.,,,

Maimum


190/212

:.4:.2:.,;.5;.;

Median

Mean

:.2,:.1:.1,:.,:.,,;.


191/212

4.44.34.24.14.,3.<

Median

Mean

4.3,4.24.2,4.14.1,4.,4.,,

(ndersonADarling ormalit# ) est

* ariance ,.,254

'Heness A,.2::,3

Gurtosis A1.2:,,; 1

Minimum 3.


192/212

1.,,,.


193/212

Matriz de -orrelación del grupo saludableS

1 2 3 4

1 1.,,,,, A,.3;54: A,.255; A,.,55,, 2 A,.3;54: 1.,,,,, ,.1


194/212

Matriz &nversa

1 2 3 4

1 1.3;54 ,.;423 ,.3


195/212

Datos grupo saludableS estandarizado1.:


196/212

Datos'o. 1 2 3 4 1 3, 5., 4., ,.< 2 4; :., 3.3 ,.45

3 22 :.2 3.5 ,.2 4 31 :., 3.5 ,.: 33 ;.: 3.4 ,.1 ; 35 :.1 3.5 ,.;1 : 34 5., 3.: ,.;2

5 42 ;.: 3.2 ,.4 < 3, :.4 3.< ,.34 1, 25 :.3 3.; ,.3

Datos grupo (normalS


197/212

Datos (normalesS estandarizados1 2 3 4

-.4$536 3.13$ -1.1$$1 -3.149

-$.16 -$.1546 -5.631 -4.4$31

-3.49$ $.61 -.9496 -3.95$69-.669 -$.1546 -.9496 -3.36

-1.99535 -1.314 -4.664 -4.$651$

-1.31$1 $.3$ -.9496 -.91$6

-1.569 3.13$ -.43 -.$666-$.6534 -1.314 -5.559 -3.19

-.4$536 1.3911 -1.$14 -6.$$995

-.669 1.$$541 -3.419$ -3.369

>istancia de Ma


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