TopCoder SRM614 解説

SRM614 解説（自担当分）Div2 Medium/Hard

Div1Easy/Hard

@EmKjp

Div2 Medium : MinimumSquareEasy

問題• N 個の二次元座標が与えられる　（ 3 N 50 )≦ ≦• このうち少なくとも N-2 個の点を

内側 ( 境界上は NG) に含むような正方形の最小面積を求めよ

• ただし、「正方形の辺は垂直または水平」「正方形の頂点は整数座標」でないといけない


解法• 「 N 個の点から N-2 個選ぶ」ことと

「 N 個の点から除外する２個の点を選ぶ」ことは同じ• 除外する２個の点の選び方は N * (N – 1) / 2 通り• N 50 ≦ のため、高々 1225 通り


解法• N-2 個の点集合全パターンについて、

N-2 個の点全てを内側に含むような正方形の最小面積を出す• バウンディングボックスの辺のうち、長いほうを求める

• 総計算量： O(N^3)

Div2 Medium : MinimumSquareEasy解答例（ C#)

public long minArea(int[] x, int[] y) {

int n = x.Length;

long minSide = long.MaxValue;

for (int i = 0; i < n; i++) for (int j = 0; j < n; j++) {

var xs = new List<int>();

var ys = new List<int>();

for (int k = 0; k < n; k++) {

if (i == k || j == k) continue;

xs.Add(x[k]);

ys.Add(y[k]);

}

var side = Math.Max(xs.Max() - xs.Min(), ys.Max() - ys.Min()) + 2;

minSide = Math.Min(minSide, side);

} return minSide * minSide;

}

Div1 Easy : MinimumSquare

問題• N 個の二次元座標が与えられる　（ 2 N 100 )≦ ≦• このうち少なくとも K 個の点を（ 1 K N )≦ ≦

内側 ( 境界上は NG) に含むような正方形の最小面積を求めよ

• ただし、「正方形の辺は垂直または水平」「正方形の頂点は整数座標」でないといけない

Div1 Easy : MinimumSquare• 辺上が NG だとやや扱いづらいので

辺上も OK にした上であとで辺の長さ＋２にする

Div1 Easy : MinimumSquare• 正方形の左上座標の候補は

(X[p], Y[q]) の N^2 通り (0 p N-1, 0 q N-1)≦ ≦ ≦ ≦

Div1 Easy : MinimumSquare• 左上座標の候補についてそこからどれぐらい辺を伸ばせ

ば、K 個以上の点を含めることができるかを探索すればよい


辺の長さの探索方法はいろいろ• 辺の長さで二分探索

　→ 総計算量： O(N^3 log( 辺の最大の長さ ))• 辺の長さの候補は実は N 個なのでそれらを全て調べる

　→ 総計算量： O(N^4) • N 個の辺の長さの候補に対して二分探索• 　→ 総計算量： O(N^3 log(N))


オーバーフローに注意！• (left <= x[i] <= left + size) のような内外判定は

符号付き 32bit 整数だとオーバーフローします• -100,000,000 <= left <= 100,000,000• 0 <= size <= 200,000,000• left + size <= 300,000,000 > 2^31

• 64bit 整数型を使いましょう。

Div1 Easy : MinimumSquare解答例（ C#) 　 O(N^4)

public long minArea(int[] x, int[] y, int K) {

int N = x.Length;

long minSide = long.MaxValue;

foreach (var leftX in x) foreach (var leftY in y)

for (int k = 0; k < N; k++) {

long side = Math.Max(Math.Abs(leftX - x[k]), Math.Abs(leftY - y[k]));

int contain = 0;

for (int p = 0; p < N; p++) {

if (leftX <= x[p] && x[p] <= leftX + side && leftY <= y[p] && y[p] <= leftY + side)

contain++;

}

if (contain >= K) minSide = Math.Min(minSide, side);

}

return (minSide + 2) * (minSide + 2);

}

Div2 Hard : TorusSailingEasy

問題• 格子状に N × M のエリアがある。• シエルは (0,0) からスタートする• シエルは、もし (x, y) にいる場合は

• ((x + 1 + N) % N, (y +1 + M) % M) • ((x – 1 + N) % N, (y - 1 + M) % M)

のどちらに等確率で移動する• (goalX, goalY) に到達するまでの移動回数の期待値を求め

よ• 到達できない場合は -1 を返せ


制約• 2 N 10≦ ≦• 2 M 10≦ ≦• 0 goalX N-1≦ ≦• 0 goalY M-1≦ ≦• (goalX, goalY) != (0, 0)


( a % N, a % M) = (goalX, goalY) であるような最小の自然数 a

(-b % N, -b % N) = (goalX, goalY) であるような最小の自然数 b を使って、「 0 から +1 または -1 にランダム・ウォークしたとき、 a または – b に到達するまでの移動回数の期待値を求めよ」と言い換えられる

ab


a, b の求め方いろいろ• 0 から M*N-1 までの整数を全探索する

• 計算量： O （ MN)

• (p % N == goalX) な整数 p だけを探索する• 例：

for (int p = goalX; p < N * M; p += N) if (p % M == goalY) return p;• 計算量 : O(M)

• 中国剰余定理で連立合同式を解く• 計算量： O(log(N)) or O(log(M))

N,M 10 ≦ のため、どれでも十分間に合う


期待値の求め方（連立方程式を解く方法）E[x] = x からゴールへ到達する移動回数の期待値とすると　 E[a] = 0 ， E[-b] = 0 ， E[i] = (E[i+1] + E[i-1]) / 2 + 1 (-b < i < a)

となり、 (a + b + 1) 変数連立方程式を導出できる

N 変数連立方程式はガウスジョルダン法やガウスの消去法などを使うと　 O （ N^3) で解けるため、計算量は O((MN)^3)となる。


期待値の求め方（動的計画法を反復させる方法）DP[step 数 ][ 位置 ] ＝その step 数でその位置に到達する確率として、ゴール以外の位置 pos についてDP[step+1][pos+1] += DP[step][pos] / 2

DP[step+1][pos -1] += DP[step][pos] / 2

を時間ギリギリまで多くの step 数まで計算すると∑ step * (DP[step][a] + DP[step][-b]) が答えになる。

• 数十万回移動してもゴールにたどり着かない確率は非常に低いため、ある程度の移動回数以降は無視できる。

• 計算量： O （反復回数 *MN)


期待値の求め方（動的計画法）

• グラフは左右対称• 各地点からゴールまでの期待値も左右対称• ということは対称な点同士を統合できる！


期待値の求め方（動的計画法）グラフを変換する

折り返す対称点を統合


期待値の求め方（動的計画法）変換後 • (a + b) が偶数の場合

• (a + b) が奇数の場合


期待値の求め方（動的計画法） (a + b) が偶数の場合

• ゴールから一番遠い点から 0, 1, 2 … とする• E[p] = p から (p+1) までの移動回数の期待値とする• E[0] = 1 ( 必ず次は “ 1” に移動する )• E[1] = (E[0] + E[1]) / 2 + 1 → E[1] = 3• E[2] = (E[1] + E[2]) / 2 + 1 → E[2] = 5• E[n] = 2 * n + 1

G 5 3 2 14 0


期待値の求め方（動的計画法） (a + b) が偶数の場合• p から (p+1) までの移動回数の期待値 E[p] = 2 * p + 1• 0 から p までの移動回数の期待値= E[0] + E[1] + … + E[p-1]= 1 + 3 + 5 + … + 2 * (p-1) +1 = p^2

• x から y までの移動回数の期待値 Eeven [x,y] (x < y)= E[x] + E[x+1] … + E[y-1]= (E[0] + E[1] + .. + E[y-1]) – (E[0] + E[1] + … E[x-1])= y^2 – x^2 = (y + x)(y – x)


期待値の求め方（動的計画法） (a + b) が偶数の場合 - まとめ• 変形後のゴール位置 G = (a + b) / 2• 変形後のスタート位置 S = G – min(a, b)• S から G までの移動回数の期待値Eeven [S,G] = (G + S) (G – S)

• 計算量： O(1)


期待値の求め方（動的計画法） (a + b) が奇数の場合

• E[p] = p から (p+1) までの移動回数の期待値とする• E[0] = E[0] / 2 + 1 → E[0] = 2• E[1] = (E[0] + E[1]) / 2 + 1 → E[1] = 4• E[2] = (E[1] + E[2]) / 2 + 1 → E[2] = 6• E[n] = 2 * n

G 5 3 2 14 0


期待値の求め方（動的計画法） (a + b) が奇数の場合• p から (p+1) までの移動回数の期待値 E[p] = 2 * p• 0 から p までの移動回数の期待値= E[0] + E[1] + … + E[p-1]= 2 + 4 + 6 + … + 2 * (p-1) = p * (p + 1)

• x から y までの移動回数の期待値 Eodd[x,y] (x < y)= E[x] + E[x+1] … + E[y-1]= (E[0] + E[1] + .. + E[y-1]) – (E[0] + E[1] + … E[x-1])= y*(y+1) – x*(x+1) = y^2-x^2+y-x=(y+x)(y-x)+(y-x) = (y+x+1)(y-x)


期待値の求め方（動的計画法） (a + b) が奇数の場合 - まとめ• 変形後のゴール位置 G = (a + b - 1) / 2• 変形後のスタート位置 S = G – min(a, b)• S から G までの移動回数の期待値Eodd[S,G] = (G + S + 1) (G – S)

• 計算量： O(1)


期待値の求め方（別解： a*b ）

実は期待値は a * b になります。• 計算量： O(1)


期待値の求め方（別解： a*b ） (a + b) が偶数の場合• G = (a + b) / 2 ，　 S = G – min(a, b)• G – S = min(a, b)• G + S = 2 * G – min(a, b) = a + b – min(a,b)• (G + S) (G – S) = (a + b – min(a,b)) * min(a,b)

= a * b


期待値の求め方（別解： a*b ） (a + b) が奇数の場合• G = (a + b - 1) / 2 S = G – min(a, b)

• G – S = min(a, b)• G + S + 1 = 2 * G – min(a, b) + 1 = a + b – min(a,b)• (G + S + 1) (G – S) = (a + b – min(a,b)) * min(a,b)

= a * b


解答例 (C#)

int reach(int N, int M, int x, int y) {

　 for (int p = x; p < N * M; p += N) if (p % M == y) return p;

return -1;

}

public double expectedTime(int N, int M, int goalX, int goalY) {

var a = reach(N, M, goalX, goalY);

var b = reach(N, M, (N - goalX) % N, (M - goalY) % M);

if (a == -1 || b == -1) return -1;

return 1.0 * a * b ;

}

Div1 Hard : TorusSailing

問題• 格子状に N × M のエリアがある。• シエルは (0,0) からスタートする• シエルは、もし (x, y) にいる場合は

• (x % N, (y + 1) % M) • ((x + 1) % N, y % M)

のどちらに等確率で移動する• (goalX, goalY) に到達するまでの移動回数の期待値を求め

よ


制約• 2 N 100≦ ≦• 2 M 100≦ ≦• 0 goalX N-1≦ ≦• 0 goalY M-1≦ ≦• (goalX, goalY) != (0, 0)

Div1 Hard : TorusSailing• 遷移グラフには、ループが存在するため

動的計画法を適用できない

Div1 Hard : TorusSailing• E[x, y] = (x, y) から (goalX,goalY) までの移動回数の期待値• E[goalX, goalY] = 0• E[i, j] = (E[i + 1, j] + E[i, j + 1]) / 2 + 1 (0 i ≦ ＜ N, 0 j ≦ ＜ M)

• 連立方程式を構成することができるが、変数の個数が N * M 、高々 10000 になるため、ガウスジョルダンやガウスの消去法だと間に合わない


• ↓ からループがなくなると嬉しい


•具体的には、赤矢印のような一周して戻ってくるような遷移がなくなるとループがなくなってうれしい


• X 座標または Y 座標が 0 であるような(N+M-1)箇所の座標の期待値を変数化する

• ループがなくなった！！！

X[0,0] X[1,0] X[2,0] X[3,0]

X[0,2]

X[0,1]

X[0,0]

Div1 Hard : TorusSailing• ループがなくなったため、動的計画法を使って

各マスの期待値を（ N + M – 1) 変数多項式で表せる

• P[i,j] = ∑ (Ci,j[a,b] * Xa,b) + di,j (where a = 0 or b = 0) X0,0 X1,0 X2,0 X3,0

X0,2

X0,1

X0,0

P[3,2]P[2,2]P[1,2]P[0,2]

P[3,1]P[1,1]P[0,1]

P[3,0]P[2,0]P[1,0]P[0,0]

Div1 Hard : TorusSailingP[i,j] = (i,j) からゴールまでの　　　　　期待値を表す（ N+M-1) 変数多項式

X0,j ( i = N ) P[i,j] = Xi,0 ( j = M ) 0 ( i = goalX, j = goalY)　　　　　　　 (P[i+1, j] + P[i, j+1]) / 2 + 1 (otherwise)

Div1 Hard : TorusSailingここでP[0,0] = X0,0 = ∑ (C00[a,b] * Xa,b) + d0,0

P[1,0] = X1,0 = ∑ (C10[a,b] * Xa,b) + d1,0

…P[N-1,0] = XN-1,0 = ∑ (CN-1,0[a,b] * Xa,b) + dN-1,0

P[0,1] = X0,1 = ∑ (C0,1 [a,b] * Xa,b) + d0,1

…P[0,M-1] = X0,M-1 = ∑ (C0,M-1[a,b] * Xa,b) + d0,M-1

となり、（ N+M-1) 変数連立方程式が構築できる

Div1 Hard : TorusSailing例：サンプル１の場合 (N,M,goalX,goalY)=(2,2,1,1)P[1,1] = 0P[0,1] = (X0,0 + P[1,1]) / 2 + 1 = X0,0 / 2 + 1P[1,0] = (P[1,1] + X0,0) / 2 + 1 = X0,0 / 2 + 1P[0,0] = (P[1,0] + P[0,1]) / 2 = X0,0 / 2 + 2

P[0,0] = X0,0 = X0,0 / 2 + 2 　…（ 1 ）P[0,1] = X0,1 = X0,0 / 2 + 1 　…（ 2 ）P[1,0] = X1,0 = X0,0 / 2 + 1 　　…（ 3 ）(1)(2)(3) の３変数連立方程式を解くと X0,0 = 4 になる( ただし小さいケースのため、 (1) だけでも X0,0 は導出できる )

Div1 Hard : TorusSailing• 変数の個数は (N + M – 1) 、高々 199 個• ガウスジョルダンやガウスの消去法でも十分間に合う• 連立方程式を解くことで

X[0,0] 、 X[1,0] … X[N-1,0] 、 X[0,1]…X[0,M-1] が全て求まる• X[0,0] がそのまま答え• 計算量 : O((N+M)^3)

• ちなみに (0,0), (1,M-1), (2,M-2), … のように斜めに変数化することで、変数の個数は max(N, M) まで減らせます。

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