TOÁN RỜI RẠC - toanroirac2011.files.wordpress.com · chính xác của các phát biểu toán...

Giảng viên: ThS. Trần Quang Khải

TOÁN RỜI RẠC

Chương 01Logic

Toán rời rạc

Nội dung

1. Propositional Logic.

2. Predicate Logic.

2Chương 1: Logic

Toán rời rạc

What is LOGIC?

Chương 1: Logic 3

Logic is the study of arguments.

Toán rời rạc

What is LOGIC?

Chương 1: Logic 4

Logic is the study of arguments.

In philosophyLogic (from the Greek) is the formal systematic study (sự nghiên cứu có tính hệ thống) of the principles (quy tắc) of valid inference and correct reasoning (lập luận có căn cứ và suy luận đúng).

Toán rời rạc

What is LOGIC?

Chương 1: Logic 5

Trong toán học: các quy luật Logic giúp xác định ý nghĩa chính xác của các phát biểu toán học.

Logic toán học là một nhánh của toán học có quan hệ chặt chẽ với khoa học máy tính và logic triết học.

Phân biệt các suy luận đúng (valid) và không đúng (invalid)

Toán rời rạc


PROPOSITIONAL LOGIC(Logic mệnh đề)

Chương 1: Logic 6

TOPIC 1

Toán rời rạc

Propositions

Chương 1: Logic 7

Mệnh đề (Proposition)

là 1 câu (hoặc 1 phát biểu) tường thuật chỉ

có giá trị “đúng” hoặc “sai”

Mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai

Giá trị đúng hoặc sai của mệnh đề: chân trị.

TRUTH VALUE

Toán rời rạc

Propositions - Examples

1. “Pigs can fly.”

2. “1 + 1 = 2.“

3. “2 + 2 = 3.”

4. “Your teacher is Superman.”

5. “Hanoi is the capital of Vietnam.”

6. “Paris is the capital of London.”

Chương 1: Logic 8

Toán rời rạc

Sentences not to be propositions

1. What time is it?

2. Do your homework.

3. x + 1 = 3.

4. x + y = z.

5. What a pretty girl!

Chương 1: Logic 9

Toán rời rạc

Biểu diễn mệnh đề

Biểu diễn 1 mệnh đề bằng 1 kí tự (letter).

VD: p, q, r, s, t, …

Gọi là biến mệnh đề (propositional variables or statement variables).

Phủ định một mệnh đề: ký hiệu ¬p

Quy ước:

TRUE: T or 1.

FALSE: F or 0.

Chương 1: Logic 10

p ¬p

10

01

Truth table

p ¬p

TF

FT

Toán rời rạc

Xác định chân trị


Xác định 1 mệnh đề là true/false:không phải là nhiệm vụ của Logic

Ex: Today is Friday.true or false depends on what is today.

Toán rời rạc

Negation (phủ định)

Phủ định của một mệnh đề:

“Today is Friday.”

“It is not the case that today is Friday.”

“Today is not Friday.”

“It is not Friday today.”


Toán rời rạc

Compound propositions


Mệnh đề kết hợp

(Mệnh đề phức hợp) Các phát biểu thường gồm 1 hay nhiều mệnh đề.

Các mệnh đề kết hợp bằng toán tử logic (logical operators).

Toán rời rạc

Compound propositions

George Boole (1854) – English mathematician

“The Mathematical Analysis of Logic” (1848).

“The Law of Thought” (1854) Boolean Algebra.


Toán rời rạc

Toán tử Logic

Gọi p, q là các mệnh đề:

¬p: negation (phủ định).

p q: conjunction (hội).

p q: disjunction (tuyển).

p q: exclusive-OR (tuyển loại – phép XOR).

p q: implication (kéo theo).

Kết quả của việc kết hợp các mệnh đề bằng các toán tử cũng là một mệnh đề.


Toán rời rạc

Toán tử Logic – Bảng chân trị

p q ¬p p q p q p q p q p q

T

T

F

F

T

F

T

F

F

T

T

F

F

F

T

T

T

F

F

T

T

F

T

F

T

T

T

F

F

T


Toán rời rạc

Phép hội: p q

Mệnh đề “p và q” là:

TRUE khi cả p và q đều TRUE.

FALSE trong các trường hợp còn lại.

Trong lập trình:

Kết hợp các điều kiện AND.

if (a > 1 AND a < 4) then …


p q p q

TTFT

TFTF

TFFF

Toán rời rạc

Phép tuyển: p q

Mệnh đề “p hoặc q” là:

FALSE khi cả p và q đều FALSE.

TRUE trong các trường hợp còn lại.

Trong lập trình:

Kết hợp các điều kiện OR.

if (a > 1 OR a < 4) then …


p q p q

TTFF

TFTF

TTTF

Toán rời rạc

Phép tuyển loại: p q

Mệnh đề “p q” là:

FALSE khi p và q đều là TRUE hoặc FALSE.

Nhận xét: p và q giống nhau.


Nhận xét: p và q khác nhau.

Trong lập trình:

Phép XOR.


p q p q

TTFF

TFTF

FTTF

Toán rời rạc

Toán tử “kéo theo”: p q


Toán tử p → q có vai trò đặc biệt quan trọng trong toán học: p: giả thiết (hypothesis).

q: kết luận (conclusion).

“Nếu p, thì q”

“p chỉ nếu q”

“p suy ra q”

“p là đủ cho q”

“Điều kiện cần cho p là q”

Toán rời rạc


Toán tử p → q là:

FALSE khi p = TRUE và q = FALSE.



p q p q

TTFF

TFTF

TFTF

Toán rời rạc


Ví dụ:

1. “Messi đá hay thì đội Việt Nam bị loại” (đúng đúng)

2. “Con lợn biết bay thì iPhone 5 có giá rẻ” (sai sai)

3. “If today is Friday, then 2 + 3 = 5” (true/false true)

4. “If today is Friday, then 2 + 3 = 6” (true/false false)

5. “If you study discrete maths well, you will earn much money”


Toán rời rạc

Vì sao TRUE→ FALSE là sai?

Chỉ sai khi giả thiết (hypothesis) p là đúng nhưng kết luận (conclusion) q là sai

sai vì không tuân theo luật.


Toán rời rạc

Quan hệ “nguyên nhân – hệ quả”

Cause (hypothesis, antecedent, premise) – effect(conclusion, consequence):

Ex: “Nếu bạn chém gió quá nhiều người yêu của bạn sẽ

không còn tin bạn”

Phép kéo theo trong logic:

Ex: “Nếu môn toán rời rạc dở, thì Bill Gates là siêu cầu thủ”

Phép kéo theo trong logic tổng quát hơn quan hệ

“nhân-quả” trong ngôn ngữ tự nhiên.


Toán rời rạc


q p: mệnh đề đảo (converse).

¬q ¬p: mệnh đề phản đảo (contrapositive)

¬p ¬q: mệnh đề nghịch đảo (inverse)


Toán rời rạc


Ví dụ: Xây dựng bảng chân trị cho mệnh đề

(p ¬q) → (p q)


p q ¬q p ¬q p q (p ¬q) → (p q)

T

T

F

F

T

F

T

F

F

T

F

T

T

T

F

T

T

F

F

F

T

F

T

F

Toán rời rạc

Toán tử “tương đương”: p q

Toán tử p q là:

TRUE khi p và q có cùng chân trị.

FALSE trong các trường hợp còn lại.

Chỉ đúng khi cả p q và q p đều đúng.

Nhận xét: ngược lại toán tử XOR.

Thực chất:

Không thực sự gọi là “tương đương”.

Phát biểu “điều kiện đôi” (biconditional statements).

Phép “kéo theo hai chiều” (bi-implications).


Toán rời rạc

Toán tử “tương đương”: p q

Diễn giải:

“p nếu và chỉ nếu q”.

“p là cần và đủ để/đối-với q”.

“nếu p thì q và ngược lại”.

Ví dụ:

“Con bò biết lập trình nếu và chỉ nếu hạt mưa rơi”.

“Cái nồi nhảy hip-hop là cần và đủ để con trai yêu con gái”.


Toán rời rạc

Mệnh đề tương đương


Logical Equivalence

Hai mệnh đề kết hợp được gọi là “tương đương logic” nếu chúng có bảng chân trị giống nhau.

Hai mệnh đề kết hợp p, q là tương đương nếu p qlà đúng trong mọi trường hợp (tautology)

Ký hiệu: p q

Có thể chứng minh 2 mệnh đề tương đương bằng cách so sánh bảng chân trị của chúng

Toán rời rạc



Tautology (hằng đúng): mệnh đề luôn luôn đúng.

Contradiction (mâu thuẫn): mệnh đề luôn luôn sai.

Ví dụ:

p ¬p p ¬p p ¬p

T

F

F

T

F

F

T

T

Mâu thuẫn

Hằng đúng

Toán rời rạc


Ví dụ 1: Chứng minh ¬(pq) ¬p¬q


p q ¬p ¬q ¬(p q) ¬p¬q

T

T

F

F

T

F

T

F

F

F

T

T

F

T

F

T

F

F

F

T

F

F

F

T

Toán rời rạc


Ví dụ 2: Chứng minh ¬(p q) ¬p ¬q


p q ¬p ¬q ¬(p q) ¬p¬q

Toán rời rạc


Ví dụ 3: Chứng minh ¬p q p → q


p q ¬p ¬q ¬p q p → q

Toán rời rạc

Một số luật quan trọng (1)


Toán rời rạc

Một số luật quan trọng (2)


Toán rời rạc

Chứng minh mệnh đề tương đương


Toán rời rạc

Bài tập

1. Viết 10 câu mệnh đề và cho biết chân trị của chúng.

2. Lập bảng chân trị cho các mệnh đề:

a) (p ¬q) q

b) (p q) (p q)

c) (p q) (q p)

d) p ¬q

e) (p q) (p ¬q)

3. Chứng minh: (p q) (¬q ¬p).

4. Chứng minh (p q) (p q) là hằng đúng.


Toán rời rạc

Bài tập

5. Chuyển các câu sau sang dạng mệnh đề:

a) Nếu người đi bộ băng qua đường thì hoặc là đèn

điều khiển đang xanh hoặc là sức khỏe người đi bộ

không tốt.

b) Người đi xe máy không thể vượt đèn đỏ nếu anh ta

thấy công an trừ khi anh ta quá liều.


Toán rời rạc


PREDICATE LOGIC(Logic vị từ)


TOPIC 2

Toán rời rạc

Điểm yếu của Logic mệnh đề

Không thể biểu diễn các phát biểu có chứa biến (variables).

Ex:

x = y + 4.

x > 3

Các biến KHÔNG có giá trị cụ thể.

Xuất hiện nhiều trong thực tế.


Toán rời rạc


Một số phát biểu tương đương:

“Not all birds fly.” AND “Some bird don’t fly.”

“Không phải tất cả bánh đều ăn được.”

“Chỉ một số bánh ăn được.”

“Không phải mọi số nguyên đều là số lẻ.” AND “Một sốsố nguyên là số lẻ.”

Cách duy nhất để suy luận là liệt kê tất cả các mệnh đề một cách phân biệt.


Toán rời rạc


Giả sử ta biết:

“Mọi sinh viên IT phải học toán rời rạc.”

Không có luật nào của Logic mệnh đề cho phép kết luận chân trị của phát biểu:

“Ronaldo phải học toán rời rạc.”

Trong đó Ronaldo là một sinh viên IT.

Không có luật để tìm chân trị của phát biểu:

“Có một sinh viên IT không học toán rời rạc.”


Toán rời rạc

Vị từ (Vị ngữ)

Ví dụ: “x > 3” (x lớn hơn 3)

“x”: chủ ngữ

“lớn hơn 3”: vị ngữ

P(x): x > 3 (P kí hiệu vĩ ngữ “lớn hơn 3”)

Xét P(x): x > 3

Mệnh đề P(4) có chân trị là TRUE (4 > 3).

Mệnh đề P(2) có chân trị là FALSE (2 > 3).

P(x) là giá trị hàm mệnh đề P tại x.


Toán rời rạc

Vị từ (Vị ngữ)

Thực tế: câu thường có nhiều biến hơn.

Ví dụ: xét câu “x = y + 3”.

Q(x,y): x = y +3

Xét chân trị của các mệnh đề Q(1,2) và Q(3,0)?


Toán rời rạc

Predicate


Vị từ

Predicate (vị từ) là một hàm mệnh đề mô tảthuộc tính của các đối tượng và mối quan hệgiữa chúng.

Ký hiệuMột phát biểu có n biến x1, x2, …, xn, biểu diễn là P(x1, x2, …, xn), được gọi là hàm mệnh đề.

Ví dụ: P(x,y,z): x + y = z.

Toán rời rạc

Predicate IS NOT Proposition

Statement “x > 1” is not a proposition.

How to make it to be a proposition?

Cách 1: gán 1 giá trị cho biến x (Ex: 0 > 1).

Cách 2: biến đổi câu trên thành

hoặc

Nhận xét: liên quan đến “số lượng”


Có một số tự nhiên x sao cho x > 1

Với mọi số tự nhiên x thì x > 1

Toán rời rạc

Lượng từ (quantifier)

Để biến vị từ thành mệnh đề “Sự lượng hóa”

: for-all (với mọi)

∀xP(x) = “P(x) is T for all x”

“với mọi x, P(x)”

: exists (tồn tại)

∃xP(x) = “There exists x such that P(x) is T”

“tồn tại x sao cho P(x)”

Các khái niệm “few, many,…” có thể được diễn đạt với , .


Toán rời rạc

Miền giá trị của biến

Trong phát biểu toán học:

Một tính chất có thể đúng với mọi giá trị của biến trong một miền đặc biệt nào đó (Miền xác định – Toán phổ

thông).

Domain (universe) of discourse:

hoặc


Miền không gian

Vũ trụ biện luận

Toán rời rạc

Ví dụ - Lượng từ


Ví dụ 1: “All IT students must study discrete maths”

P(x) = “x must study discrete maths”

Proposition: xP(x)

Lưu ý: x ngụ ý là một sinh viên IT (domain).

Ví dụ 1: Diễn giải một cách cụ thể hơn

S(x) = “x is an IT student”


Proposition: x(S(x) P(x))

Toán rời rạc



Ví dụ 1: Diễn giải một cách cụ thể hơn

S(x) = “x is an IT student”


Proposition: x(S(x) P(x))

Today’s Big question:Why not x(S(x) P(x))?

Toán rời rạc



Ví dụ 2: P(x) = “x > 3”

Domain: x

Proposition: xP(x) TRUE or FALSE?

Ví dụ 3: Q(x) = “x=x+ 1”

Domain: x

Proposition: ∃xQ(x) TRUE or FALSE?

Toán rời rạc

Làm sao để xác định chân trị?

∀xP(x) =P(x1) ∧ P(x2) ∧ . . . ∧ P(xn)

∃xP(x) =P(x1) ∨ P(x2) ∨ . . . ∨ P(xn)

Trong đó x1, x2 … xn là mọi giá trị có thể có của x.

Kiểm tra mọi xi đối với để xác định TRUE.

Tìm một giá trị xi đối với để xác định TRUE.


Toán rời rạc

Thứ tự ưu tiên của lượng từ

Thứ tự giữa các ký hiệu lượng từ là quan trọng.

Trừ các trường hợp sau:

Mọi ký hiệu lượng từ là “for-all”.

Mọi ký hiệu lượng từ là “exists”.

Thứ tự:

từ trái sang phải,

từ trong ra ngoài


Toán rời rạc

Thứ tự ưu tiên của lượng từ


Ví dụ 1:

∀x∀y (x + y = y + x)

∀y∀x (x + y = y + x)

TRUE for all x, y ∈

Ví dụ 2:

∀x∃y (x + y = 0) is T,

when

∃y∀x (x + y = 0) is F

Toán rời rạc

Dịch sang ngôn ngữ tự nhiên

Translate the following proposition:

∀x(C(x)∨ ∃y(C(y)∧F(x, y))))

In which:

•C(x): “x có máy tính”

•F(x, y): “x, y là bạn”

•x, y ∈ all students in the university


Với mọi sinh viên x trong trường, hoặc x có máytính, hoặc tồn tại sinh viên y có máy tính và sinhviên x, y là bạn.

Toán rời rạc


Ví dụ 1: xét mệnh đề sau

∀x(C(x)∨ ∃y(C(y)∧F(x, y))))

Trong đó:

•C(x): “x có máy tính”




Với mọi sinh viên x trong trường, hoặc x có máytính, hoặc tồn tại sinh viên y có máy tính và sinhviên x, y là bạn.

Toán rời rạc


Ví dụ 2: xét mệnh đề sau

∃x∀y∀z(((F(x, y)∧F(x, z)∧(yz)) → ¬F(y, z)))

Trong đó:




There exists a student x, such that for all student y,for all student z different from y, if x is friend of y andx is friend of z then y, z are not friend to each other.

(Có một sinh viên có 2 người bạn mà 2 người đó không biết nhau)

Toán rời rạc

Công thức hóa ngôn ngữ tự nhiên

(1) “There are some students in our class who have visited Hanoi.”

(2) “All students in our class have visited Nha Trang or Vung Tau.”


If we have following predicates:C(x): “x has visited Hà Nội”D(x): “x has visited Nha Trang”E(x): “x has visited Vũng Tàu”

Then:(1): ∃xC(x)(2): ∀x(D(x)∨E(x))

Toán rời rạc


“All people have at least one best friend.”

(“Mọi người đều có ít nhất một người bạn tốt nhất.”)


If we have following predicates:B(x, y): “y is best friend of x”

Then:∀x∃y∀z(B(x, y)∧((yz)→ ¬B(x, z)))

Toán rời rạc


“If one is woman and parental, then she is the mother of some one.”

(“Nếu một người là phụ nữ và là cha mẹ, thì người đó là mẹ của một người nào đó.”)


If we have following predicates:C(x): “x là phụ nữ”D(x): “x là cha mẹ”E(x, y): “x là mẹ của y”

Then:∀x((C(x)∧D(x)) → ∃yE(x, y))

Toán rời rạc

Tóm tắt


Toán rời rạc

Phủ định của lượng từ

“Tất cả sinh viên IT phải học Toán Rời Rạc”

∀x P(x)

Phủ định (negation) của câu trên:

“Không phải tất cả SV IT phải học TRR”

∃x ¬P(x)


Phủ định Tương đương với

¬ (∃xP(x))

¬ (∀xP(x))

∀x ¬P(x)

∃x ¬P(x)

Toán rời rạc

Đọc thêm textbook

Sự tương đương của các vị từ được lượng hóa:

page 39-41.


Toán rời rạc

Bài tập

Biểu diễn các câu sau ở dạng vị từ:

a) “Tất cả sư tử đều hung dữ.”

b) “Một số sư tử không uống cà phê.”

c) “Có một phụ nữ đã bay tất cả các tuyến bay trên thế

giới.” (Mỗi tuyến bay có nhiều chuyến bay)


Toán rời rạc

Bài tập

Cho các mệnh đề sau:

R(x) = “x là một con lợn”

H(x) = “x thik uống bia Ken”

Trong đó x xét trên tập tất cả các con vật.

Dịch sang ngôn ngữ tự nhiên các mệnh đề sau:

1. ∀x (R(x) H(x))

2. ∀x (R(x) ∧ H(x))

3. ∃x (R(x) H(x))

4. ∃x (R(x) ∧ H(x))


TOÁN RỜI RẠC - toanroirac2011.files.wordpress.com · chính xác của các phát biểu toán...

Documents

Transcript of TOÁN RỜI RẠC - toanroirac2011.files.wordpress.com · chính xác của các phát biểu toán...