Tomt Word dokument - Betonelement-Foreningen (BEF) · 1 GENERELT 11 1.1 Introduktion 12 1.2 Teori...
Transcript of Tomt Word dokument - Betonelement-Foreningen (BEF) · 1 GENERELT 11 1.1 Introduktion 12 1.2 Teori...
Betonelementbyggeriers statikRedigeret af Jesper Frøbert Jensen
1 udgave, 1 oplag 2010 Copyright © 2010, Polyteknisk Forlag, Lyngby
ISBN10 87-502-0995-7
ISBN13 978-87-502-0995-9
Ingen del af denne bog må gengives, lagres i et søgesystem eller transmitteres i nogen form eller med noget middel, grafisk, elektronisk, mekanisk, fotografisk, indspillet på plade eller bånd, overført til databanker eller på anden måde, uden forlagets skriftlige tilladelse. Enhver kopiering fra denne bog må kun ske efter reglerne i lov om ophavsret.
Omslag: PHY GrafiskOmslagsfoto: Jens Landorph, PHY Grafisk
Tryk: InPrint
Printed in Latvia 2010
Polyteknisk Forlag
Anker Engelunds Vej 1
2800 LyngbyTel.: 77 42 43 28Fax: 77 42 43 54e-post: [email protected] hjemmeside: www.polyteknisk.dk
1 GENERELT 11
1.1 Introduktion 12
1.2 Teoriogberegningeripraksis 14
1.3 Dokumentationforbærendekonstruktioner 15
2 GRUNDLÆGGENDE MATERIALEMODELLER 19
2.1 Beton 20
2.2 Armeringsstål 36
2.3 Forspændingsstål 37
3 LODRETTE LASTVIRKNINGER 39
3.1 Lodrettelaster 40
3.2 Lastkombinationer 44
3.3 Lodretlastnedføring 47
3.4 Lastspecifikationer 56
3.5 Beregningsprogrammer 68
4 HOVEDSSTABILITET 73
4.1 Generelt 74
4.2 Vandretlastfordeling 76
4.3 Opstillingafgeneraliseretmodel 96
4.4 Beregningsprogram 108
5 SKIVESTATIK 109
5.1 Dækskiver 110
5.2 Vægskiver 134
5.3 Beregningsprogram 152
6 ARMEREDE BJÆLKER 153
6.1 Brudgrænsetilstande 154
6.2 Anvendelsesgrænsetilstande 189
6.3 Beregningsprogram 207
indhold
7 FORSPÆNDTE ELEMENTER 209
7.1 Princippervedforspændteelementer 210
7.2 Indledendeprojekteringmedforspændteelementer 212
7.3 Tværsnitsanalyse,rektangulærttværsnit 217
7.4 Vilkårligttværsnitmedforspænding 732
7.5 Beregningsprogram 250
8 SØJLE- OG VÆGELEMENTER 253
8.1 Brudgrænsetilstande 254
8.2 Anvendelsesgrænsetilstande 281
8.3 Beregningsprogrammer 290
8.4 Skævbøjning 292
9 BRAND 297
9.1 Materialeegenskaberunderbrand 298
9.2 Bjælkeribrandtilstanden 311
9.3 Beregningsprogram 324
9.4 Søjlerogvæggeibrandtilstanden 324
9.5 Beregningsprogram 338
10 DETAILSTATIK 339
10.1 Detailberegningvedgitteranalogien 341
10.2 Forankringer 349
10.3 Særligeanvendelser 358
10.4 Udstøbningssamlinger 372
11 TVANGSDEFORMATIONER 379
11.1 Geometriændringer 380
11.2 Luftfugtighedensbetydning 381
11.3 Temperaturensbetydning 382
11.4 Lastensbetydning 383
11.5 Anvendelseseksempler 384
12 TOLERANCER 391
12.1 Håndteringaftolerancer 392
12.2 Anvendelseseksempler 397
INDEX Detaljeretindholdsfortegnelse 405
FORORD
Danmark har førerpladsen i Europa, når der tales om anvendelse af
betonelementer til nybyggeri.
En sådan position er ikke opstået af sig selv, men er et resultat af en
samfundsmæssig bevidst satsning på industrialiseret byggeri og en stærk
brancheorganisation, Betonelement-Foreningen, der har som målsætning at
gøre det ukompliceret at designe og projektere betonelementkonstruktioner.
For at sikre at betonelementer også i fremtiden er det naturlige valg af
byggemateriale, har Betonelement-Foreningen besluttet at medvirke til, at
overgangen fra DS-normerne til EuroCodes ikke alene forløber gnidningsfrit og
uden at kompromittere sikkerheden, men også åbner mulighederne for at
indhøste og synliggøre de kapacitetsmæssige landvindinger, der ligger i
anvendelsen af EuroCodes.
Denne bog er et af Betonelement-Foreningens fællesværktøjer.
Ud over en opdatering på områder vedrørende hovedstabilitet, skivestatik,
detailstatik mv. præsenterer bogen en lang række nyskabelser.
Først og fremmest er det lykkedes at skabe praktisk anvendelige
beregningsmetoder til brug for dimensionering af bjælker, søjler og vægge på
grundlag af EuroCode 2’s generelle, ulineære model for betonens
materialeegenskaber.
Dette gælder både for den sædvanlige statik og for konstruktioner under
brandpåvirkning. Sammenligning med forsøg har vist overordentlig god
overensstemmelse mellem forsøgsresultaterne og beregning med anvendelse af
de udviklede metoder.
Samtidig er det en bærende idé gennem bogen at adskille beregning af
lastvirkninger i konstruktionerne fra beregningen af konstruktionernes
7
0 | Forord BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
bæreevner. Dermed kan praktikeren opnå en væsentlig effektivisering under
design og dokumentation af konstruktionerne. Dels fordi relativt få beregninger
kan dække større puljer af ensartede konstruktionselementer, dels fordi løbende
revisioner af lastvirkninger og geometri under projekteringen kan håndteres
uden gentagne bæreevneeftervisninger.
I sammenhæng hermed er der udviklet en fast og præcis struktur for
bestemmelse af lastvirkninger ned gennem bygningen, så det bliver enkelt og
sikkert at specificere netop de lastvirkninger, der skal sammenholdes med
konstruktionselementernes beregnede bærevener.
For de forspændte konstruktioners vedkommende præsenteres en
sammenhængende metodik for design i praksis, og der gennemgås for første
gang en komplet teoretisk model til håndtering af forspændte tværsnit med
vilkårlig tværsnitsform på basis af de grundlæggende materialemodeller for
beton og forspændingsstål.
Endelig er bogens teori og beregningseksempler tæt knyttet til en hel buket af
digitale beregningsmoduler, der frit kan hentes fra Betonelement-Foreningens
hjemmeside til direkte anvendelse i statiske beregninger. Dermed fungerer
bogen også som baggrundsdokumentation og vejledning til brugen af alle disse
beregningsmoduler.
Samlet forventes bogen med de tilhørende beregningsmoduler at føre til
væsentlige besparelser i fremtidige betonelementprojekter. Både i form af
tidsmæssige besparelser under projekteringen og i form af materialemæssige
besparelser, fordi de projekterende hurtigt og sikkert kan finde frem til det
optimale design af elementerne.
Det er Betonelement-Foreningens håb, at resultaterne hurtigt vil vinde
udbredelse i praksis og dermed understøtte udviklingen frem mod mere og mere
bæredygtigt byggeri.
8
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 0 | Forord
Foreningen ønsker at takke de mange særligt sagkyndige både fra
medlemskredsen og udefra for deres inspirerende og udfordrende indslag.
Foreningen ønsker i særdeleshed at takke bogens redaktør og hovedforfatter,
civilingeniør, lic. techn. Jesper Frøbert Jensen uden hvis utrættelige indsats og
dybe indsigt i normer og i betonelementkonstruktioner projektet næppe ville
være blevet realiseret. Den samlede forfattergruppe er fra ALECTIA A/S og har
ud over redaktøren omfattet: Anna Hvidberg-Hansen, Lars Zenke Hansen og
Mikkel Christiansen
Betonelement-Foreningen, juni 2010
Claus Bering Poul Erik Hjorth
Formand Direktør
9
1GEnErElT
1 GENERELT
1.1 Introduktion
1.2 Teoriogberegningeripraksis
1.3 Dokumentationafbærendekonstruktioner
1.3.1 Overordnedestatiskeberegninger
1.3.2 Bygningsdelsberegninger
1 | Generelt BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
1.1 Introduktion
De fælleseuropæiske normer, EuroCodes, er i disse år ved at blive implemente-
ret i praksis. Danmark overgik som et af de første lande i januar 2009 til det nye
normgrundlag, og Betonelement-Foreningen iværksatte allerede i 2007 en ræk-
ke initiativer for at forberede branchen til overgangen.
Et af initiativerne handlede om at etablere en række brugervenlige beregnings-
moduler til projektering af almindeligt forekommende konstruktioner i etage-
byggerier baseret på EuroCodes. Beregningsmodulerne har siden 1. januar 2009
været frit tilgængelige for alle på Betonelement-Foreningens hjemmeside,
www.bef.dk.
I denne sammenhæng har følgende EuroCodes med tilhørende danske nationale
annekser naturligt haft særligt fokus:
EC0: DS/EN 1990. EuroCode 0: Projekteringsgrundlag for bærende konstruk-
tioner.
EC1: DS/EN 1991-1-1. EuroCode 1: Last på bærende konstruktioner – Del 1-
1: Generelle laster – Densiteter, egenlast og nyttelast for bygninger.
DS/EN 1991-1-4. Eurocode 1: Last på bygværker – Del 1-4: Generelle
laster – Vindlast.
EC2: DS/EN 1992-1-1. EuroCode 2: Betonkonstruktioner – Del 1-1: Generelle
regler samt regler for bygningskonstruktioner.
DS/EN 1992-1-2. EuroCode 2: Betonkonstruktioner – Del 1-2: Generelle
regler – Brandteknisk dimensionering.
Betonnormerne, EC2, rummer et grundlag for udvikling af nye beregningsmeto-
der på basis af grundlæggende materialemodeller. Dette gælder både for den
sædvanlige statik og for statikken i brandsituationen. Normerne introducerer
hermed et godt grundlag for udvikling af IT-baserede beregningsmetoder; men
synes åbenbart ikke at finde disse metoder egnet som grundlag for metoder til
beregninger under daglig projektering. I stedet introduceres til brug for håndbe-
12
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Generelt | 1
regninger en del tilnærmede beregningsmetoder, der imidlertid rummer en del
inkonsekvenser og unøjagtigheder – dog generelt på den sikre side.
Indledende analyser viste, at man for sædvanlige konstruktionselementer af
beton rent faktisk kan komme meget langt ved anvendelse af de grundlæggende
materialemodeller. For både bjælker, søjler og vægge kan de nye normers ma-
tematiske udtryk for betonens ulineære arbejdslinjer i kold og varm tilstand
omsættes direkte til operationelle formler til anvendelse i tværsnitsanalyser.
Yderligere viser det sig, at beregningsresultaterne baseret herpå giver særdeles
god overensstemmelse med eksisterende forsøgsresultater både i kold tilstand
og under brand. Se nærmere i dokumentationsrapporten hørende til bereg-
ningsmodulerne for søjler og vægge på www.bef.dk.
Med denne lærebog har det været ønsket at demonstrere, hvorledes de grund-
læggende materialemodeller i de nye EuroCodes kan anvendes til opstilling af et
sæt konsistente beregningsmetoder, der bredt dækker behovet ved sædvanlige
betonelementbyggerier.
Bogen rummer alle væsentlige aspekter af de statiske beregninger, der alminde-
ligvis skal udføres i forbindelse med gennemførelse af et betonelementprojekt.
Se afsnit 1.3.
I hvert kapitel præsenteres de teoretiske metoder, der føres frem til direkte
anvendelige designformler, og resultaterne demonstreres anvendt på talek-
sempler. Yderligere er forbindelsen til beregningsmodulerne på www.bef.dk illu-
streret ved programudskrifter med samme inddata som anvendt i eksemplerne.
På den måde fremkommer en klar linje, lige fra de grundlæggende materiale-
modeller, gennem de teoretiske metoder og designformler, over taleksemplerne
og helt frem til beregningsmodulerne.
Når der i bogens forskellige afsnit henvises til EC0, EC1 og EC2, menes foran-
nævnte EuroCodes med tilhørende danske nationale annekser gældende pr. 1.
januar 2010. Med bogens udgangspunkt i de grundlæggende materialemodeller
13
1 | Generelt BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
forventes kommende revisioner af normgrundlaget ikke at få væsentlig betyd-
ning for bogens indhold.
1.2 Teori og beregninger i praksis
Designformler kan ikke ændre på, at moderne betonstatik er meget omfattende
som følge af de mange forhold, der skal undersøges. De fleste bygningsdele vil
derfor fremover hovedsagelig blive dimensioneret under anvendelse af IT-
værktøjer. Dette fratager dog ikke den projekterende ansvaret for beregninger-
nes rigtighed.
Med den foreliggende bog og de tilknyttede beregningsmoduler på www.bef.dk
har praktikeren nu flere midler til rådighed for sin kvalitetssikring:
Direkte dimensionering og beregningsmæssig eftervisning med brug af
beregningsmodulerne på www.bef.dk: Bogens eksempler rummer direk-
te anvisning på, hvorledes beregningsresultater overkommeligt kan stik-
prøvekontrolleres ved håndberegning.
Nye IT-redskaber: Bogens teoretiske resultater kan sammen med ek-
semplerne og beregningsmodulerne på www.bef.dk anvendes som
grundlag for både udvikling og kontrol af nyt programmel, eller til brug
for godkendelseskontrol af nyindkøbte programmer.
Praktisk anvendelse af integrerede design- og beregningsprogrammer:
Beregningsmodulerne kan anvendes til brug for uafhængige parallelbe-
regninger, hvilket er et væsentligt element i kvalitetssikringen af resul-
taterne fra komplekse modelberegninger.
Med henblik på ovenstående er der ved udviklingen af beregningsmodulerne på
www.bef.dk lagt særlig vægt på at resultaterne præsenteres med angivelse af
udvalgte delresultater, der netop gør det enkelt at foretage de nødvendige kon-
troller.
14
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Generelt | 1
1.3 Dokumentation af bærende konstruktioner
1.3.1 Overordnede statiske beregninger
Med årene har der i Danmark udviklet sig en praksis for struktureringen af den
statiske dokumentation hørende til en byggesag, se SBI-anvisning 223: Doku-
mentation af bærende konstruktioner, der opdeler den statiske dokumentation i
følgende hovedbestanddele:
A. Konstruktionsdokumentation:
A1. Projektgrundlag
A2. Statiske beregninger
A3. Konstruktionstegninger og modeller
A4. Konstruktionsændringer
B. Projektdokumentation:
B1. Statisk projekteringsrapport
B2. Statisk kontrolrapport
B3. Statisk tilsynsrapport
Nærværende bog fokuserer heraf på indholdet af del A2. Statiske beregninger,
der i praksis opdeles i:
A2.1. Statiske beregninger – Bygværk, hvis formål er at dokumentere bygvær-
kets overordnede sikkerhed og anvendelse, fx udtrykt ved fordeling af la-
ster, snitkræfter og reaktioner.
A2.2. Statiske beregninger – Konstruktionsafsnit, hvis formål er at dokumentere
de enkelte konstruktionsafsnits sikkerhed og anvendelse, fx udtrykt ved
fordeling af snitkræfter samt eftervisning i brud- og anvendelsesgrænsetil-
stand.
De Statiske Beregninger – Bygværk varetages af den såkaldt ”bygværksprojek-
terende”. De detaljerede bygningsdelsberegninger hørende under Statiske be-
regninger – Konstruktionsafsnit udføres ofte af andre parter, dog stadig med den
15
1 | Generelt BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
bygværksprojekterende som ansvarlig for koordineringen, og de skal altid udfø-
res i nøje overensstemmelse med forudsætningerne fastlagt i A1. Projektgrund-
lag og A2.1 Statiske beregninger – Bygværk.
1.3.2 Bygningsdelsberegninger
Ved mange betonelementbyggerier leveres en del af bygningsdelsberegningerne
efter aftale af elementleverandøren. Det kan eksempelvis være beregninger
vedrørende dæk- eller bjælkeelementer.
Et sammenhængende sæt af bygningsdele svarer til et såkaldt Konstruktionsaf-
snit, jf afsnit 1.3.1. For hvert konstruktionsafsnit skal forudsætningerne stilles
klart op, før man går videre med beregningerne. Klart formuleret opgavebeskri-
velse, materialeforudsætninger og lastforudsætninger er nødvendig for en sikker
kommunikation, hvor flere parter samarbejder, og er helt afgørende for den
bygværksprojekterendes mulighed for at varetage koordineringen og den over-
ordnede kvalitetssikring.
Projektgrundlag - Konstruktionsafsnit
Dette indledende afsnit i de statiske beregninger vedrørende et konstruktionsaf-
snit bør indeholde en opgavebeskrivelse med entydig henvisning til byggesagen,
og en klar afgrænsning af de omfattede bygningsdele.
De anvendte materialer specificeres også i dette afsnit med angivelse af deres
mekaniske egenskaber. Desuden angives hvilke særlige standarder, bereg-
ningsmetoder, beregningsværktøjer osv., der anvendes i beregningerne.
Hovedstatik for konstruktionsafsnit
Her bestemmes belastningsforudsætningerne for beregningerne af de enkelte
konstruktionsdele. Lastforudsætningerne kan være en opstilling af de basale
laster, eventuelt suppleret med en oversigt over de grupper af elementer der
beregningsmæssigt slås sammen.
16
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Generelt | 1
I mange tilfælde vil det på dette sted være bekvemt kun at oplyse de forudsatte
lasters karakteristiske værdi med samtidig angivelse af lastkategori i henhold til
EC1. Bestemmelse af de regningsmæssige belastninger knyttes ofte med fordel
til de enkelte bygningsdelsberegninger, da den farligste lastkombination normalt
varierer fra bygningsdel til bygningsdel.
Under lastforudsætninger hører også oplysninger om konsekvensklasse og krav
til brandmodstandsevne.
Hvor et konstruktionsafsnit omfatter samvirkende bygningsdele fastlægges i
dette afsnit hvorledes snitkræfter overføres mellem de enkelte bygningsdele. I
den sammenhæng bør også redegøres for størrelsen af tvangslaster fra bevæ-
gelser i lejer etc.
Eftervisning af ydeevne
Dette afsnit opdeles i underafsnit svarende til de konstruktionsdele, der er
indgår i konstruktionsafsnittet.
For hver konstruktionsdel beskrives virkemåden ved tekst og eventuelt skitser,
og det eftervises ved statiske beregninger, at alle krav til sikkerhed og funktion
er opfyldt; se SBi-anvisning 223 kap. 2.3 om udarbejdelse og opbygning af af de
statiske beregninger samt fremgangsmåde ved eftervisning af ydeevne for
konstruktionsdelene.
I en række tilfælde vil der på baggrund af resultaterne fra konstruktionsafsnittes
hovedstatik kunne foretage en gruppering af statisk set ensartede
konstruktionsdele, hvor det for en sådan gruppe er muligt at gennemføre
eftervisningen samlet. Dette er almindeligvis enkelt at gøre for simpelt
understøttede dæk og bjælker; mens der normalt kræves en særlig systematik
for lodret bærende elementer, hvor belastningsforholdene ofte er mere
komplekse. Se eksempelvis afsnit 3.4, der anviser, hvordan dette kan gøres
systematisk for søjler og vægge.
17
2 GrUndlÆGGEndE
MATErIAlEModEllEr
2 GRUNDLÆGGENDEMATERIALEMODELLER
2.1 Beton
2.1.1 Middelarbejdslinje
2.1.2 Brudgrænsetilstande
2.1.3 Tværsnitsanalyse–generelmetode
2.1.4 Anvendelsesgrænsetilstande
2.1.5 Krybningogsvind
2.1.6 Eksempel–Beregningafslutkrybetalogslutsvind
2.2 Armeringsstål
2.3 Forspændingsstål
2 | Grundlæggende materialemodeller BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
2.1 Beton
Arbejdslinjen er et nyttigt redskab til at karakterisere et materiales egenskaber,
der angiver sammenhængen mellem spændinger og tøjninger. For beton er ar-
bejdslinjen imidlertid ikke en entydig størrelse. Den afhænger af betonens styr-
ke, krybning i betonen som følge af langtidsvarende lastpåvirkninger og af tem-
peraturpåvirkninger i tilfælde af brand. For temperaturpåvirkninger i tilfælde af
brand henvises til kapitel 9.
2.1.1 Middelarbejdslinje
Først ses på betonens middelarbejdslinje for korttidspåvirkninger i kold tilstand.
I det generelle tilfælde er givet et analytisk udtryk for sammenhængen mellem
betonens trykspænding, σc, og betonens tryktøjning, εc:
cm
c
c
c
c
c
c
c fk
k
⋅⋅−+
−⋅=
1
21
2
1
)2(1εε
εε
εε
σ c cuε ε≤
hvor
εc1 er den tøjning, der svarer til toppunktet på arbejdslinjen
fcm er betonens middelcylindertrykstyrke
εcu er betonens brudtøjning, og parameteren k er bestemt ved:
cm
ccm
f
Ek 105,1 ε⋅⋅
= hvor Ecm er sekantelasticitetsmodulet.
Sekantelasticitetsmodulet, Ecm, defineres i EC2 som hældningen af sekanten
mellem arbejdslinjens begyndelse og punktet ved 0,4 fcm, hvor fcm er betonens
middelcylinderstyrke
20
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Grundlæggende materialemodeller | 2
For betoner med karakteristisk trykstyrke op til og med fck = 50 MPa anfører
EC2 følgende udtryk for de indgående parametre til fuldstændig fastlæggelse af
middelarbejdslinjen som funktion af fck:
MPaff ckcm 8+=
[ 3,010/)(22000 cmcm fE ⋅= ]
m
Ecm og fcm i MPa
0,311 0,0007c cfε = ⋅
0035,0=cuε
Dermed kommer en typisk middelarbejdslinje for betonen til at se ud som vist
på figur 2-1. Det ses, at sammenhængen mellem spændinger og tøjninger ikke
er lineær.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 0,001 0,002 0,003 0,004 ε c
σ c (MPa)
ε c1
f cm
Figur 2-1: Typisk middelarbejdslinje for beton, fck = 25 MPa
21
2 | Grundlæggende materialemodeller BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
2.1.2 Brudgrænsetilstande
Ved beregninger i brudgrænsetilstande anvendes formlerne til bestemmelse af
arbejdslinjen for betoner med trykstyrke op til og med karakteristisk trykstyrke
fck = 50 MPa på følgende form:
cd
c
c
c
c
c
c
c fk
k
⋅⋅−+
−⋅=
1
21
2
1
)2(1εε
εε
εε
σ c cuε ε≤
Parameteren k er i brudgrænsetilstanden bestemt ved:
cd
ccd
f
Ek 105,1 ε⋅⋅
=
hvor betonens regningsmæssige trykstyrke og sekantelasticitetsmodul i forhold
til udtrykket for middelarbejdslinjen findes ved reduktion med partialkoefficien-
ten γC:
/cd ck Cf f γ=
[ ]0,322000 ( 8 ) /10 /cd ck CE f MPa γ= ⋅ +
For arbejdslinjen vist på figur 2-2 er regnet med en partialkoefficient på γC =
1,4.
Til brug for tværsnitsdimensionering anviser EC2 forskellige forenklede udtryk
for betonens arbejdslinje. For betonelementer har valget af udtryk for arbejds-
linjen i praksis kun betydning ved beregning af momentpåvirkede elementer. I
de senere kapitler 6 - 8 er det vist, at der ikke er særlige problemer med at an-
vende de generelle udtryk for arbejdslinjen i praktisk dimensionering. Det er
derfor til brug i brudgrænsetilstande valgt at se bort fra de forenklede udtryk for
arbejdslinjen og i stedet opnå fordelene ved en samlet konsistent model, der har
vist sig at føre til resultater i fin overensstemmelse med forsøg.
22
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Grundlæggende materialemodeller | 2
0
5
10
15
20
25
30
0 0,001 0,002 0,003 0,004
ε c1
f cd
ε c
σ c (MPa)
Figur 2-2: Typisk regningsmæssig arbejdslinje for beton, fck = 25 MPa
Det skal understreges, at udtrykkene i dette afsnit alene gælder for korttidspå-
virkninger. Når undersøgelser i brud- og anvendelsesgrænsetilstanden omfatter
langtidspåvirkninger, skal der også tages hensyn til betonens krybning, jf. afsnit
2.1.5.
2.1.3 Tværsnitsanalyse – generel metode
For bjælker, vægge og søjler, behandlet i kapitlerne 6, 7 og 8, bestemmes ar-
meringens bidrag og ligningerne for statisk ækvivalens opstilles og løses. Som
input til disse ligninger skal placeringen og størrelsen af betonspændingernes
resultant kendes. Netop disse to størrelser bestemmes i dette afsnit som funkti-
on af tøjningen ε0 i toppen af tværsnittet samt tøjningen i bunden af tværsnittet,
der dog er givet ved andre parametre.
For brudgrænsetilstanden antages, at betonens trækstyrke er nul.
23
2 | Grundlæggende materialemodeller BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
y
ε0
h
y’ x
Nc
εc σc
Figur 2-3: Definitioner, som anvendes ved tværsnitsanalyse
Spændingsfordelingen i betontværsnittet bestemmes ud fra arbejdslinjen i brud-
grænsetilstanden, jævnfør afsnit 2.1.2. Tværsnittets tøjning varierer lineært, og
ved den ene betonkant fås tøjningen ε0. Spændingsvariationen fås ved at indføre
tøjningen εc som betegner betonens tøjning i et givet punkt i tværsnittet. Nullin-
jens dybde betegnes x. Hermed kan σc omskrives til formen angivet nedenfor.
Ved omskrivningen benyttes substitutionen t = y/x, hvilket giver εc = tε0.
( ) ( )cd
c
c
ccd
c
c
c
c
c
c
c ftkt
k
tk
fk
k
1
0
1
0
1
0
1
21
2
1
21
1
...21
εε
εε
εε
εε
εε
εε
σ−+
−==⋅
⋅−+
−⋅=
hvor parameteren k er angivet i afsnit 2.1.2 for brudgrænsetilstanden.
For overskuelighedens skyld indføres følgende konstanter:
1
0
ckA
εε= og ( )
1
02c
kBεε−=
24
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Grundlæggende materialemodeller | 2
Herved reduceres udtrykket for betonspændingen til:
( )2
0 0
1 1
1
1 1c cd cdc c
At tkt f k f t A B
Bt B
ε εσε ε t
−= = − − − −
Ud fra ovenstående udtryk er det muligt at bestemme resultanten af betontryk-
spændingerne ved integration over trykzonen:
1
c cN bx d
ζ
σ= t
hvor b er betontværsnittets bredde, h er tværsnittets højde og
>−≤
= hxx
hxhx
for
for 0ζ
Indsættes udtrykket for σc i udtrykket for betonens trykresultant fås:
( )
( ) ( ) ( )
ζ
εε
ε ζ ζ ζε ζ
= − − ⇔ −
− −= − + − + − + −
1
20
1
2 2 203
1
...1
1 11 1 2 1 2ln
2 1
c cdc
c cdc
tN bxk f t A B dt
Bt
A B BN bxk f B B
B B
På dimensionsløs form kan trykresultanten skrives som:
cc
cd
NN
bxf′ =
hvilket giver:
( ) ( ) ( )2 2 203
1
1 11 1 2 1 2ln
2 1cc
A B BN k B B
B B
ε ζ ζ ζε ζ
− −′ = − + − + − + −
25
2 | Grundlæggende materialemodeller BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Herefter kan afstanden y’ fra resultantens placering til nullinjen bestemmes.
Dette gøres ved at bestemme resultantens moment omkring nullinjen:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
ζ
ζ
σ
εε
ε ζ ζ ζ ζε ζ
′ = ⇔
′ = − − ⇔ −
− −′ = − − − − − − − − − −
1
2
13
2 20
1
2 3 3 3 2 204
1
...1
1 11 2 1 3 1 6 1 6ln
3 2
c c
c cdc
c cdc
y N bx t dt
ty N bx k f t A B dt
Bt
A B By N bx k f B B B
B B1
Betonresultantens moment om nullinjen kan tilsvarende skrives dimensionsløst:
2
' cc
cd
y NN
bx f′′ =
hvilket giver:
( ) ( ) ( ) ( )'' 3 3 3 2 204
1
1 11 2 1 3 1 6 1 6ln
3 2 1cc
A B BN k B B B
B B
ε ζ ζ ζ ζε ζ
− −= − − − − − − − − − −
Resultantens placering målt fra nullinjen kan herved bestemmes som:
′′ ′′′′ = = =′ ′
2c cd c
c cd c c
y N bx f N Ny x
N bxf N Nc
2.1.4 Anvendelsesgrænsetilstande
Ved beregning af spændinger og nedbøjninger i anvendelsestilstanden kan med
god tilnærmelse anvendes en lineærelastisk model, hvor der for betonen ved
korttidspåvirkninger anvendes følgende elasticitetsmodul for danske betoner:
13510007,0, +
⋅⋅=ck
ckKc f
fE
På figur 2-4 er den lineære arbejdslinje vist i forhold til den ikke-lineære.
26
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Grundlæggende materialemodeller | 2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 0,001 0,002 0,003 0,004 ε c
σ c (MPa)
ε c1
f cm
σ c = 0,7 E cok e cσc = Ec,K⋅εc
Figur 2-4: Den lineære arbejdslinje vist i forhold til en
typisk middelarbejdslinje for beton, fck = 25 MPa
Ved beregningerne anvendes ofte transformerede tværsnit, hvor armeringens
elasticitetsmodul, Es, benyttes som reference-elasticitetsmodul. For et punkt i
betontværsnittet med en given tøjning, εc, udtrykkes den tilhørende betonspæn-
ding typisk på formen:
Kscc E αεσ /⋅=
hvor
KcsK EE ,/=α
For langtidspåvirkninger skal der tages hensyn til effekten af krybning, hvilket
kan ske ved at anvende følgende værdi af betonens elasticitetsmodul:
)),(1/( 0,, tEE KcLc ∞+= ϕ
Hvor krybetallet, ϕ(∞,t0)=ϕ0 på tidspunktet t=∞ for en konstant trykspænding,
σc, påført på et tidspunkt udtrykt ved betonens modenhedsalder, t0, findes som
27
2 | Grundlæggende materialemodeller BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
beskrevet i afsnit 2.1.5. Ved tværsnitsanalysen medfører dette, at der svarende
til rene langtidspåvirkninger benyttes:
Lscc E αεσ /⋅=
Hvor
)),(1( 0tKL ∞+⋅= ϕαα
For betonelementer kan ofte forudsættes en mindste typisk tværsnitsdimension
af størrelsen 200 mm, at betonens alder ved påføring af den permanente last
mindst er t0=28 døgn, og at den relative luftfugtighed mindst er af størrelsen RH
= 50 %. Til praktiske beregninger af spændinger og deformationer i anvendel-
sesgrænsetilstanden kan derfor normalt tages udgangspunkt i værdierne for α
anført i nedenstående tabel.
fck 20 MPa 25 MPa 30 MPa 35 MPa 40 MPa 45 MPa 50 MPa
αK 9,2 8,5 8,0 7,7 7,4 7,2 7,1
αL 35,8 31,1 27,0 23,7 21,3 19,5 18,1
Figur 2-5: Sædvanlige værdier af α for betonelementer i anvendelsesgrænsetil-
stande
I eksemplet, afsnit 2.1.6, er vist, hvorledes slutkrybetallet bestemmes for et
vilkårligt tværsnit.
En given lastvirkning, eksempelvis et moment, M, kan regnes sammensat af en
langtidsandel, ML , og en korttidsandel, MK , på følgende form:
KL MMM +=
Ved beregningerne kan anvendes en effektiv værdi, αeff, bestemt ved vægtning:
M
MM KKLLeff
⋅+⋅= ααα
28
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Grundlæggende materialemodeller | 2
Alternativt kan man først finde spændinger og udbøjninger for den rene lang-
tidsandel, dernæst gentage beregningerne svarende til den rene korttidsandel
og sluttelig summere resultaterne. Dette er dog en mere omstændelig metode,
der ikke kan forventes at føre til mere præcise resultater end metoden baseret
på αeff.
2.1.5 Krybning og svind
Når beton belastes til en trykspænding af størrelsen σc , opstår der straks en
tøjning i betonen af størrelsen εc = εc(σc), som kan aflæses af betonens arbejds-
linje gældende for korttidspåvirkninger. Hvis trykspændingen opretholdes gen-
nem længere tid, vil denne tøjning langsomt øges. Dette fænomen betegnes
krybning. Med tiden vil tøjningen asymptotisk nærme sig slutværdien, der al-
mindeligvis udtrykkes på formen:
, 0(1 )cc cε ϕ ε∞ = + ⋅
hvor
0 0 0 0( , , , , )ct RH f h ctϕ ϕ=
betegnes slutkrybetallet, der ved normale driftstemperaturer er en funktion af
følgende parametre:
t0 er betonens alder på tidspunktet for påføringen af spændingen σc
RH er omgivelsernes relative fugtighed
fc er betonstyrken
h0 er et teoretisk dimensionsmål, h0 = 2 Ac / u, hvor Ac er tværsnitsarealet
og u er tværsnittes omkreds
ct er cementtypen
For betonelementer vil man med god tilnærmelse kunne regne med, at betonens
alder ved tidspunktet for påføringen af de langtidsvirkende spændinger er af
størrelsen t0 = 28 døgn. Sædvanligvis kan for danske betoner desuden normalt
regnes med, at der anvendes cementtyper af styrkeklasse N. Med dette ud-
29
2 | Grundlæggende materialemodeller BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
gangspunkt kan slutkrybetallet for betonelementer overslagsmæssigt aflæses af
figur 2-6.
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
20 30 40 50
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
20 30 40 50
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
20 30 40 50
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
20 30 40 50
ϕ0 ϕ0
h0 = 100 mm h0 = 150 mm
RH=50% RH=50%
For betonelementer kan effekten af krybningen eksempelvis være, at bjælkers
nedbøjninger øges med tiden, eller at søjler og vægges bæreevne med tiden
reduceres, fordi udbøjningerne og dermed normalkraftens udbøjningstillæg
øges. For forspændte elementer vil krybningen desuden medføre, at elementer-
ne med tiden forkortes som følge af de tilhørende aksiale trykkræfter i elemen-
tet, hvilket kan have stor betydning for forholdene ved samlinger mellem ele-
menter.
h0 = 250 mm h0 = 500 mm
RH=50%
RH=60%
RH=70%
RH=80%
RH=50%
RH=60%
RH=70%
RH=80%
RH=60% RH=60%
RH=70% RH=70%
RH=80% RH=80%
fck fck
ϕ0 ϕ0
fck fck fck
Figur 2-6: Slutkrybetal for sædvanlige danske betoner for belastningsstart
ved t0 = 28 døgn
30
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Grundlæggende materialemodeller | 2
I anvendelsesgrænsetilstanden, skal der foruden krybning også tages hensyn til
betonens svind, der dels forårsages af betonens udtørring med tiden, dels af de
kemiske processer i forbindelse med betonens hærdning. Svindet har primært
betydning for betonbjælker, der er armeret med forskellig træk- og trykarme-
ring. For praktisk anvendelse er det sædvanligvis tilstrækkeligt at kende slut-
svindet udtrykt ved svindtøjningen til tiden t=∞:
, , 0( , , ,cs cs c )RH f h ctε ε∞ ∞=
Svindet er således en funktion af stort set de samme parametre, som indgår ved
bestemmelse af krybetallet. Svindtøjningen er en empirisk bestemt størrelse,
der overslagsmæssigt kan aflæses af figur 2-7 for cementklasse N.
0,00000
0,00010
0,00020
0,00030
0,00040
0,00050
0,00060
20 30 40 50
0,00000
0,00010
0,00020
0,00030
0,00040
0,00050
0,00060
20 30 40 50
0,00000
0,00010
0,00020
0,00030
0,00040
0,00050
0,00060
20 30 40 50
0,00000
0,00010
0,00020
0,00030
0,00040
0,00050
0,00060
20 30 40 50
ε cs ,∞ ε cs ,∞
ε cs ,∞ ε cs ,∞
f ckf ck
f ckf ck
h 0 = 100 mm
RH=80%
RH=70%
RH=60%RH=50%
RH=80%
RH=70%RH=60%RH=50%
RH=80%RH=70%RH=60%RH=50%
RH=80%
RH=70%RH=60%RH=50%
h 0 = 150 mm
h 0 = 250 mm h 0 = 500 mm
Figur 2-7: Slutsvind for sædvanlige danske betoner
31
2 | Grundlæggende materialemodeller BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
2.1.6 Eksempel – Beregning af slutkrybetal og slutsvind
I dette eksempel udregnes slutkrybetal og slutsvind for et 300 mm x 420 mm
betontværsnit. Beregningen sker ved hjælp af formelsættet angivet i EC2 og
sammenlignes med kurverne figur 2-6 og figur 2-7.
Beregningsforudsætninger
Tværsnit 300mm x 420 mm
Betonstyrke fck = 35 MPa, cementklasse N
Den relative luftfugtighed sættes til 50 %
Tværsnittet belastes først efter hærdning dvs. 28 døgn
Krybning
Slutkrybning afhænger af en række faktorer som her beregnes i henhold til EC2.
Elementets teoretiske dimensionsmål:
( )0
2 2 300 420175
2 300 420cA mm mm
h mu mm mm
⋅ ⋅= = =⋅ +
m
α-faktorer:
0,7 0,7
1
0,2 0,2
2
0,5 0,5
3
35 350,866
35 8
35 350,960
35 8
35 350,902
35 8
cm
cm
cm
f
f
f
α
α
α
= = = +
= = = +
= = = +
Den relative fugtigheds indvirken på krybetallet:
1 2 330
1 /100 1 50 /1001 1 0,866 0,960 1,70
0,1 0,1 175RH
RH
hϕ α α
− −= + ⋅ = + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
da 35cmf MPa>
Hvis 35cmf MPa≤ benyttes 3
0
1 /1001
0,1RH
RH
hϕ −= +
⋅.
32
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Grundlæggende materialemodeller | 2
Faktor for betonstyrken:
( ) 16,8 16,82,56
35 8cm
cm
ff
β = = =+
Der tages højde for cementtypen ved at regulere betonens alder ved belastning,
t0. Dette gøres med følgende formel:
0
0 0, 1,2 1,20,
9 91 28 1 28
2 282T
T
t t døgn døgnt
α = + = ⋅ + = ++
hvor α er en potens, der afhænger af cementtypen:
α = -1 for cementklasse S
α = 0 for cementklasse N
α = 1 for cementklasse R
t0,T er den temperaturtilpassede alder i døgn ved belastning givet ved:
( )( )( )4000 / 273 13,65
0,1
in
T t
T ii
t e− + Δ −
== ⋅ tΔ
hvor
t0,T er betonens temperaturtilpassede alder
T(Δti) er temperaturen i °C i tidsrummet Δti.
Δti er antallet af døgn, hvor temperaturen T er fremherskende.
Der tages højde for betonens alder ved belastningstidspunktet:
( ) ( ) ( )0 0,20 0,200
1 10,49
0,1 280,1t
tβ = = =
++
Slutkrybetallet fås nu som:
( ) ( )0 0 1,70 2,56 0, 49 2,13RH cmf tϕ ϕ β β= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
Den endelige krybetøjning afhænger nu af slutkrybetal og betonspænding.
33
2 | Grundlæggende materialemodeller BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Et alternativ til beregning af slutkrybetallet er at aflæse diagrammerne i figur
2-6. Slutkrybetallet for dette eksempel fås ved at interpolere mellem graferne
for h0 = 150 mm og h0 = 250 mm.
( )0
2,04 2, 20175 150 2, 20 2,16
250 150ϕ −= ⋅ − + =
−
Forskellen på det udregnede og det aflæste krybetal er uden praktisk betydning.
Svind
Svind bestemmes som en sum af to bidrag:
- Autogent svind, εca, der hovedsagligt forekommer når betonen hærder de
første par dage efter støbning.
- Udtørringssving, εcd, der udvikler sig langsomt i takt med, at vandet for-
svinder fra den hærdende beton.
Autogent svind
Autogent svind afhænger af betonstyrken:
( ) ( ) ( )6 6 0002,5 10 10 2,5 35 10 10 0,062ca ckfε − −∞ = − ⋅ = − ⋅ =
Det autogene svinds afhængighed af tiden t i døgn fås af:
( ) 0,50,21 10 tas tβ −= −
I dette eksempel benyttes βas(∞) = 1
Det samlede autogene svind er givet ved:
( ) ( ) ( ) 0 000 001 0,062 0,062ca as catε β ε∞ = ∞ = ⋅ =
Udtørringssvind
Udtørringssvindet afhænger af tværsnittets teoretiske dimensionsmål h0, givet
ved faktoren kh, som bestemmes ved interpolering i følgende tabel:
h0 100 200 300 ≥ 500
kh 1,0 0,85 0,75 0,70
For h0 = 175 mm fås:
( )0,85 1,00175 100 1,00 0,89
200 100hk−= ⋅ − + =−
34
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Grundlæggende materialemodeller | 2
Tidsafhængigheden udtrykkes ved følgende faktor:
( ) ( )( ) 3
0
,0,04
sds s
s
t tt t
t t hβ
−=
− +
hvor
t er betonens alder i døgn på det betragtede tidspunkt.
ts er betonens alder i døgn ved begyndelsen af udtørringssvindet.
Dette er normalt ved slutningen af hærdningen.
I dette eksempel benyttes βds(∞, 28) = 1.
Den nominelle værdi af uhindret udtørringssvind fås af:
( )
( )
26
,0 1
35 80,12
610 000
0,85 220 110 10
0,85 220 110 4 10 1,36 0,455
cmds
cmo
f
fcd ds RHe
e
αε α β
−
−
+ − −
= + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
hvor
3 3
0
501,55 1 1,55 1 1,36
100RH
RH
RHβ
= − = − =
fcm er middelstyrken i MPa
fcmo = 10 MPa
αds1 er en koefficient, der afhænger af cementtypen
= 3 for cementklasse S
= 4 for cementklasse N
= 6 for cementklasse R
αds2 er en koefficient, der afhænger af cementtypen
= 0,13 for cementklasse S
= 0,12 for cementklasse N
= 0,11 for cementklasse R
RH er den omgivende relative fugtighed i %
RH0 = 100 %
35
2 | Grundlæggende materialemodeller BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Tøjning fra udtørringdssvind fås nu af:
( ) ( )( )
,0
0 000 00
,
1 0,89 0, 455 0, 405
cd ds s h cd
cd
t t t kε β εε
= ⋅ ⋅
∞ = ⋅ ⋅ =
Det samlede slutsvind εcs,∞, fås som summen af autogent svind og udtørrings-
svind:
0 0
00 00 00, 0, 405 0,062 0, 467cs cd caε ε ε∞ = + = + = 0
Som ved slutkrybetallet kan det samlede slutsvind bestemmes på alternativ vis
ved aflæsning af diagrammerne i figur 2-7. Slutsvindet for dette eksempel fås
ved at interpolere mellem graferne for h0 = 150 mm og h0 = 250 mm.
( )0 0
00 00 0 000 00,
0, 420 0, 480175 150 0, 480 0, 465
250 150cs mm mmmm mm
ε ∞−= ⋅ − + =−
Forskellen på det udregnede og det aflæste slutsvind er uden praktisk betyd-
ning, specielt da en faktor som det nominelle svind εcd,0 er et udtryk for en mid-
delværdi med en variationskoefficient på ca. 30 %.
Eksempel slut
2.2 Armeringsstål
I kold tilstand regnes i henhold til EC2 for armeringen generelt med et reg-
ningsmæssigt elasticitetsmodul på:
200000s skE E MP= = a
gældende både i brud- og anvendelsesgrænsetilfælde, hvor Esk er den karakteri-
stiske værdi af armeringens elasticitetsmodul. Armeringen regnes lineærelastisk
op til flydespænding:
/yd yk Sf f γ= i brudgrænsetilstande
yd ykf f= i anvendelsesgrænsetilstande
36
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Grundlæggende materialemodeller | 2
Ved praktiske beregninger ses sædvanligvis bort fra tøjningshærdningen, der
betyder at spændingen svarende til meget store tøjninger i armeringen kan blive
større end armeringens flydespænding. Armeringen regnes således at være et
idealt elastisk-plastisk materiale med typiske arbejdslinjer som vist på figur 2-8
ved dimensionering i kold tilstand.
0
100
200
300
400
500
600
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
Brudgrænsetilstande, f yd = f yk / γ s
Anvendelsesgrænsetilstande, f yd = f yk
σ s = ε s ×E sd
ε s
σ s (MPA)σs (MPa)
Figur 2-8: Typiske arbejdslinjer for armering i kold tilstand
fyk = 550 MPa, γS = 1,2
For armering uden udpræget flydegrænse som eksempelvis kolddeformeret stål
anvendes samme arbejdslinje, idet man sætter fyk = f0,2k, hvor f0,2k er den karak-
teristiske 0,2 %-spænding, dvs. den spænding, hvor armeringen ved en første-
gangsbelastning opnår en blivende forlængelse på 0,2 %.
2.3 Forspændingsstål
I forspændte betonelementer anvendes normalt forspændingsstål i form af
spændliner. I kold tilstand regnes i henhold til EC2 for spændliner generelt med
et regningsmæssigt elasticitetsmodul på:
37
2 | Grundlæggende materialemodeller BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
38
195000p pkE E M= = Pa
gældende både i brud- og anvendelsesgrænsetilfælde, hvor Epk er den karakteri-
stiske værdi af armeringens elasticitetsmodul. Armeringen regnes lineærelastisk
op til flydespænding:
0,1 /pd p k Sf f γ= i brudgrænsetilstande
0,1pd p kf f= i anvendelsesgrænsetilstande
Hvor fp0,1k er den karakteristiske 0,1 %-spænding, dvs. den spænding, hvor
armeringen ved en førstegangsbelastning opnår en blivende forlængelse på
0,1 %. For linerne indregnes sædvanligvis tøjningshærdningen som en lineær
tilvækst op til spændingen ved linernes brudtøjning, εud. Uden nøjagtigere mate-
rialedata sættes εud = 0,02, og den tilhørende spænding kan sættes til
fp0,1k = fpd/0,9. Dermed kommer typiske arbejdslinjer for spændlinerne til at se
ud som vist på figur 2-9.
0
500
1000
1500
2000
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
σ s = ε s ×E pd
ε s
σ s (MPA)
Anvendelsesgrænsetilstande, f pd = f p0,1k
Brudgrænsetilstande, f pd = f p0,1k / γ s
σs (MPa)
Figur 2-9: Typiske arbejdslinjer for spændliner i kold tilstand
fp0,1k = 1600 MPa, γS = 1,2
3 lodrETTE
lASTVIrKnInGEr3 LODRETTELASTVIRKNINGER
3.1 Lodrettelaster
3.1.1 Nyttelast
3.1.2 Sne-ogvindlast
3.1.3 Brandogulykke
3.2 Lastkombinationer
3.2.1 Vedvarendeellermidlertidigedimensioneringstilfælde
3.2.2 Ulykkesdimensioneringstilfælde
3.3 Lodretlastnedføring
3.3.1 Excentriciteter
3.3.2 Lodretlastpåsøjlerogvægge
3.3.3 Vedvarendeellermidlertidigedimensioneringstilfælde
3.3.4 Ulykkesdimensioneringstilfælde
3.3.5 Eksempel–Lastnedføring
3.4 Lastspecifikationer
3.4.1 Fastlæggelseafsøjle-ogvæglaste
3.4.2 Tværlasthidrørendevindpåsøjlerogvægge
3.4.3 Normalkraftfralastnedføring
3.4.4 Lasttilfælde
3.4.5 Eksempel–Fastlæggelseafsøjlelaste
3.5 Beregningsprogrammer
3.5.1 Modultillastnedføring
3.5.2 Modulertilspecifikationafsøjle-ogvæglaste
3 | Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
3.1 Lodrette laster
Belastningen på en almindelig bygning består af følgende lasttyper:
Egenlast
Nyttelast
Naturlast, som vind og sne
Ulykkeslast, som eksempelvis brand
Også andre laster kan være aktuelle, så som jord- og vandtryk.
De lodrette laster på dæk-
kene kan variere fra etage
til etage og fra område til
område i bygningen. Dette
kan bekvemt defineres ved
hjælp af nøgleplaner for de
forskellige etager, hvor der
for hvert område refereres
til et skema, der specifice-
rer lasterne i det pågæl-
dende område, se eksem-
plerne figur 3-1 til 3-5.
Tag over 4. sal
F2
F2
F3
F3
F3
F3
Dæk over 3. sal
Dæk over 1. og 2. sal
Dæk over kælder og
6,0
m
8,0
m
16,8 m 16,8 m
F1
F1
A
B
C
4 1 7
Figur 3-1: Eksempel på nøgleplaner for lod-
rette laster
40
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger | 3
LASTSPECIFIKATION NR.: F2
Lodrette laster – karakteristiske værdier
Bunden, permanent last
Egenvægt, dækelement - kN/m2
Egenvægt, tagkonstruktion 1,20 kN/m2
1,20 kN/m2
Fri, permanent last
Gulvopbygning - kN/m2
Lette skillevægge - kN/m2
Installationer - kN/m2
Nedhængt loft 0,25 kN/m2
Tagopbygning mv. 0,40 kN/m2
0,65 kN/m2
Nyttelast, kategori N
Fladelast - kN/m2
Punktlast 1,50 kN
Naturlast
Snelast 0,72 kN/m2
Vindsug - kN/m2 Figur 3-2: Eksempel på lastspecifikation – tag
LASTSPECIFIKATION NR.: F2
Lodrette laster – karakteristiske værdier
Bunden, permanent last
Egenvægt, dækelement 3,10 kN/m2
Egenvægt, tagkonstruktion - kN/m2
3,10 kN/m2
Fri, permanent last
Gulvopbygning 1,00 kN/m2
Lette skillevægge 1,00 kN/m2
Installationer - kN/m2
Nedhængt loft - kN/m2
Tagopbygning mv. - kN/m2
2,00 kN/m2
Nyttelast, kategori A
Fladelast 1,50 kN/m2
Punktlast 2,00 kN
Naturlast
Snelast - kN/m2
Vindsug - kN/m2 Figur 3-3:Eksempel på lastspecifikation – hul-
dæk for bolig
LASTSPECIFIKATION NR.: F3
Lodrette laster – karakteristiske værdier
Bunden, permanent last
Egenvægt, dækelement 3,65 kN/m2
Egenvægt, tagkonstruktion - kN/m2
3,65 kN/m2
Fri, permanent last
Gulvopbygning 1,00 kN/m2
Lette skillevægge 0,50 kN/m2
Installationer 0,25 kN/m2
Nedhængt loft 0,25 kN/m2
Tagopbygning mv. - kN/m2
2,00 kN/m2
Nyttelast, kategori B
Fladelast 2,50 kN/m2
Punktlast 3,00 kN
Naturlast
Snelast - kN/m2
Vindsug - kN/m2 Figur 3-4: Eksempel på lastspecifikation – hul-
dæk for kontor og lettere erhverv
LASTSPECIFIKATION NR.: F4
Lodrette laster – karakteristiske værdier
Bunden, permanent last
Egenvægt, dækelement 3,65 kN/m2
Egenvægt, tagkonstruktion - kN/m2
3,65 kN/m2
Fri, permanent last
Gulvopbygning 1,00 kN/m2
Lette skillevægge 1,00 kN/m2
Installationer 0,25 kN/m2
Nedhængt loft 0,25 kN/m2
Tagopbygning mv. - kN/m2
2,50 kN/m2
Nyttelast, kategori E
Fladelast 7,50 kN/m2
Punktlast 7,00 kN
Naturlast
Snelast - kN/m2
Vindsug - kN/m2 Figur 3-5: Eksempel på lastspecifikation – hul-
dæk for erhverv
41
3 | Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Hvordan de forskellige laster skal kombineres og med hvilke partialkoefficienter,
fremgår af EC0 og EC1 samt de tilhørende nationale annekser. Det har dog væ-
ret nødvendigt at lave en fortolkning af EC0 og EC1 for at få en konsistent løs-
ning for lodret lastnedføring. I de følgende afsnit beskrives de fortolkninger, der
er foretaget.
3.1.1 Nyttelast
Nyttelast inddeles i forskellige kategorier afhængig af anvendelse:
Kategori A: Boliger
Kategori B: Kontorer
Kategori C: Samlingslokaler
Kategori D: Butikslokaler
Kategori E: Erhverv (tungere)
Kategori F: Parkerings- og trafikarealer (lettere)
Kategori G: Parkerings- og trafikarealer (tungere)
Kategori H: Tagarealer
Når en dominerende nyttelast virkende på flere etageadskillelser kan henføres til
samme kategori, tillader EC1, at der foretages en reduktion af den samlede last-
virkning på de lodret bærende konstruktioner, når der er tale om nyttelast inden
for én af kategorierne A – D.
I EC1 introduceres til dette formål n-metoden, hvor den resulterende lastvirk-
ning af en dominerende nyttelast inden for samme kategori (A – D) virkende på
n etager over den betragtede konstruktionsdel reduceres med faktoren:
n = (1 + (n – 1)0)/n
Denne metode kan eksempelvis ikke uden videre anvendes i situationer, hvor en
lastandel A▪q virkende på delarealet A resulterer i forskellige snitkræfter i den
betragtede konstruktionsdel afhængigt af, hvilket etagedæk lastandelen påsæt-
42
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger | 3
tes. Dette er generelt tilfældet for lodret bærende elementer som søjler og væg-
ge, hvor en lastandel påført etagedækket lige over elementet resulterer i helt
andre momentvirkninger end samme lastandel påført højereliggende etagedæk.
Derfor ses her på situationen, hvor en dominerende nyttelast, qEd = qk, virker
på et delareal, A, på n etagedæk over hinanden. Den resulterende lodrette
lastvirkning på den underliggende konstruktion bliver da:
NEd = n n A qk = (1 + (n – 1)0) A qk = A qk + A (n – 1)0 qk
Det ses, at denne resulterende lastvirkning netop svarer til, at nyttelasten vir-
kende på et etagedæk betragtes som dominerende; mens nyttelasterne inden
for samme kategori på de øvrige etagedæk betragtes som ledsagende.
For at tage hensyn til momentvirkningernes afhængighed af lastandelenes pla-
cering er der i denne fremstilling derfor valgt en stramning af n-metoden på
følgende form:
Når en dominerende nyttelast, qk, inden for én af kategorierne A-D virker på
flere etagedæk, påsættes belastningen qk på ét etagedæk og belastningen
0 qk på de øvrige etagedæk, idet den underliggende konstruktion altid skal
undersøges for belastningen qk påsat det etagedæk, der fører til den ugun-
stigste virkning.
Denne regel for anvendelsen af lastreduktion inden for samme kategori kan med
fordel også anvendes som en generaliseret metode til komplekse konstruktioner.
3.1.2 Sne- og vindlast
I dimensioneringstilfælde, hvor nyttelaster virker samtidig med andre variable
laster, for eksempel vind eller sne, skal den totale nyttelast i lasttilfældet be-
tragtes som en enkelt last. Dette betyder, at hvor vind eller sne er den domine-
rende last, må alle nyttelaster reduceres med 0. Omvendt må sne- og vindla-
sten reduceres, når nyttelasten er dominerende, hvilket den ofte er.
43
3 | Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Vindlast vil næsten altid give en opadrettet last i form af sug på taget. Det er
derfor som oftest ikke relevant at medtage vindlasten i den lodrette lastnedfø-
ring, og det vil ikke blive gjort her.
3.1.3 Brand og ulykke
I ulykkestilfældet påføres konstruktionen en dominerende ulykkeslast, eksem-
pelvis påkørsel eller brand. Den dominerende ulykkeslast er ikke en del af last-
nedføringen, men har betydning for hvilke partialkoefficienter, der skal bruges
ved lastnedføringen. De variable nyttelaster opdeles i primær og andre. Dette
fortolkes på samme måde som dominerende og øvrige variable laster i forbin-
delse med den almindelige lastnedføring for vedvarende og midlertidige dimen-
sioneringstilstande. I overensstemmelse hermed påføres maksimal nyttelast på
én etage for hver lastkategori A-D, mens nyttelast på de øvrige etager reduce-
res. For lastkategori E-G reduceres der som udgangspunkt ikke.
I brandtilfældet benyttes faktoren ψ1 ved områder med maksimal nyttelast og ψ2
for områder, hvor nyttelasten reduceres. For ulykkestilfælde i øvrigt bruges fak-
toren ψ2 begge steder.
3.2 Lastkombinationer
3.2.1 Vedvarende eller midlertidige dimensioneringstilfælde
Lastnedføringen gennemføres for STR-grænsetilstande, som er karakteriseret
ved:
”STR: Indvendigt svigt eller meget stor deformation af konstruktionen eller kon-
struktionsdele, herunder fundamenter, pæle, kældervægge osv., hvor styrken af
konstruktionsmaterialerne er bestemmende.”
Last på de forskellige etager kombineres ved lastkombinationer i henhold til
EC0.
44
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger | 3
Vedvarende og
midlertidige
dimensione-
ringstilfælde
Permanente laste Dominerende
variabel last
Øvrige
variable laste
Ugunstige Gunstige
(Formel 6.10a) KFI Gj,sup Gkj,sup Gj,inf Gkj,inf
(Formel 6.10b) ξ KFI Gj,sup Gkj,sup Gj,inf Gkj,inf KFI Q,1Qk,1 KFI Q,iψ0,iQk,i
Figur 3-6: Regningsmæssige lastværdier, STR og GEO, jf. EC0 DK NA, tabel
A1.2(B)
Reduktionsfaktoren ξ sættes til 1,0 for STR-grænsetilstande.
Værdier af ψ-faktoren og partialkoefficienten, , samt karakteristiske nyttelaster,
Qk, fremgår af de nationale annekser. KFI afhænger af konsekvensklassen. Tal-
værdien for KFI findes ligeledes i det nationale anneks. Se mere om konsekvens-
klasse i afsnit 3.2.1.1.
Lastvirkningen på et konstruktionselement fra nyttelast virkende på flere etager
udregnes ved at påføre den fulde nyttelast på én etage for hver lastkategori A-
D, mens nyttelasten reduceres på de øvrige etager.
På de etager, hvor der påføres fuld nyttelast, bestemmes nyttelasten ved:
,1 ,1k FI Q kq K Q
På de etager, hvor nyttelasten reduceres, bestemmes nyttelasten ved:
, 0, ,k FI Q i i kq K Q i
Den farligste kombination på hvert etageniveau skal undersøges.
45
3 | Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
3.2.1.1 Konsekvensklasse
Som det fremgår af det forrige afsnit afhænger størrelsen af bidraget fra både
permanent last og variabel last af, hvilken konsekvensklasse konstruktionen kan
henføres til. Definitionen på de forskellige konsekvensklasser er angivet i EC0.
Der kan vælges mellem CC1, CC2 og CC3 og klasserne er kendetegnet ved hen-
holdsvis lille, moderat og stor konsekvens ved et eventuelt svigt. Konsekvens-
klassen har kun betydning i vedvarende eller midlertidige dimensioneringstilfæl-
de. I Danmark benyttes følgende værdier for konsekvensfaktoren, KFI:
Konsekvensklasse CC1 CC2 CC3
KFI 0,9 1,0 1,1
3.2.2 Ulykkesdimensioneringstilfælde
Lastnedføringen gennemføres for ulykkestilfælde i henhold til EC0 afsnit 6.4.3.3.
Last på de forskellige etager kombineres ved lastkombinationer i henhold til EC0
DK NA:2007 tabel A1.3. Værdier af ψ-faktoren samt karakteristisk nyttelast, Qk,
fremgår af de nationale annekser.
Ulykkesdimensionerings-
tilfælde
Permanente laste Ikke-
dominerende
Ugunstige Gunstige
Domi-
nerende
ulykkes-
last
Eventu-
el pri-
Andre
Brand (Formel 6.11a/b) Gkj,sup Gkj,inf Ad ψ1,1Qk,1 ψ2,iQk
Ulykke i øvrigt (Formel Gkj,sup Gkj,inf Ad ψ2,1Qk,1 ψ2,iQk
*) Variable laster er de laster, der er indeholdt i tabel A.1.1
Figur 3-7: Regningsmæssige lastværdier til brug ved lastkombinationer ved
ulykkesdimensioneringstilfælde, jf. EC0 DK NA, tabel A1.3
Lastvirkningen på et konstruktionselement fra nyttelast virkende på flere etager
udregnes ved at påføre den maksimale nyttelast på én etage for hver lastkate-
gori A-D, svarende til primær variabel last, mens nyttelasten reduceres på de
øvrige etager.
46
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger | 3
På de etager, hvor der påføres maksimal nyttelast, bestemmes nyttelasten ved:
1,1 ,1kq Qk
k
k i
for brand
2,1 ,1kq Q for ulykke i øvrigt
På de etager, hvor nyttelasten reduceres, bestemmes nyttelasten ved:
2, ,k iq Q
Den farligste kombination på hvert etageniveau skal undersøges.
3.3 Lodret lastnedføring
3.3.1 Excentriciteter
Lodrette laster vil altid være placeret med en excentricitet i forhold til søjler og
vægges centerlinjer. Excentriciteten skyldes dels forsætning af elementernes
midterplaner fra etage til etage, og dels de enkelte elementers afvigelse fra den
plane form. Excentriciteterne resulterer i en tværpåvirkning i form af et moment
på søjler og vægge.
Samtidig skal der tages højde for excentriciteter stammende fra vederlag for
dæk og bjælker. For huldæk regnes reaktionen at kunne angribe i det farligste
tredjedelspunkt i vederlaget svarende til en trekantet spændingsfordeling. Her-
udover skal der tages hensyn til tolerancen, ± ½ T, på vederlagsdybden. For
denne er det sædvanligt at regne med en tolerance på 20 mm, det vil sige ±10
mm. Ydergrænserne for reaktionens placering i forhold til teoretisk placering kan
hermed findes som vist på figuren. Det ses, at ydergrænserne for reaktionspla-
ceringen for en given teoretisk vederlagsdybde, c’, fastlægges ved at oplyse
tolerancen ± ½ T.
47
3 | Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
½ T
For elementer oplagt på mellemlægsplader i vederlaget er det normalt tilstræk-
keligt at oplyse tolerancen på mellemlægspladens placering. Med et passende
disponeret vederlag vil mellemlægspladen altid kunne få fuldt anlæg. Også her
regnes reaktionen angribende i farligste tredjedelspunkt, hvorved afvigelsen fra
teoretisk placering er givet ved ± ½ T som anført på figur 3-9.
Vederlagstolerancerne kan eventuelt oplyses på de nøgleplaner, der omtales i
afsnit 3.1.
½ T
Venstre yderstilling:
amin = 1/3 (c’-½T)
Teoretisk placering:
a0 = ½ c’
Højre yderstilling:
amax = 2/3 (c’+ ½ T)
amax
a0
amin
c’
½ T
Venstre yderstilling:
amin = 1/3 c’ - ½ T
amin = a0 –(1/6 c’ + ½ T)
Højre yderstilling:
amax = 2/3 c’ + ½ T
amax = a0 + (1/6 c’ + ½ T)
½ T
Teoretisk placering:
a0 = ½ c’
a0
amin
c’
amax
Figur 3-9: Vederlag ved oplægning
på mellemlægsplader
Figur 3-8: Vederlag ved direkte
oplægning
48
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger | 3
3.3.2 Lodret last på søjler og vægge
Den lodrette last på en søjle eller væg inddeles i tre bidrag:
1. n0 er last fra overliggende etager inklusiv søjlen/væggen i det pågæl-
dende snit. n0 angriber søjlen/væggen med en excentricitet e0.
2. nv er last fra det venstre dæk umiddelbart over søjlen/væggen, angri-
bende med en excentricitet ev.
3. nh er last fra det højre dæk umiddelbart over søjlen/væggen, angriben-
de med en excentricitet eh.
nh n0
nv
e0 eh ev
Figur 3-10:Definition af excentriciteter og normalkræfter på søjle og væg
Inddelingen er nødvendig for at kunne bestemme den samlede excentricitet af
den normalkraft, hvormed søjlen/væggen belastes. For hver etage skal de mi-
nimale, reducerede og maksimale værdier af n0, nv og nh udregnes. Dette gøres
for at bestemme den farligste lastkombination. Maksimale lastværdier svarer til,
at den pågældende last betragtes som dominerende. Ved reducerede lastværdi-
er reduceres lasten med faktoren 0. For minimale lastværdier medtages kun
den bundne last.
3.3.3 Vedvarende eller midlertidige dimensioneringstilfælde
De maksimale, reducerede og minimale lastværdier udregnes på følgende vis for
de vedvarende eller midlertidige dimensioneringstilstande:
49
3 | Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Maksimalværdier, nv og nh:
, ,sup
, ,sup
( ) 0,5
( - )( )
FI k fri k g k q
FI k fri k G k Q
n K g g q L
L sK G G Q L
Reducerede værdier, nv og nh:
, ,sup 0
, ,sup 0
( ) 0,5
( )( )
FI k fri k g k q
FI k fri k G k Q
n K g g q L
L sK G G Q L
Minimalværdier, nv og nh:
,inf
,inf
0,5
( - )k g
k G
n g L
L sG L
Hvor L er dækkets spændvidde og s er afstanden fra en linjelast til bærelinjen.
Fladelaste betegnes g og q, mens G og Q betegner bidrag fra linjelast.
Maksimalværdier, n0:
For maksimalværdier bestemmes lasten fra overliggende etager ved som tidlige-
re nævnt ved at påføre fuld nyttelast på én etage, mens de øvrige etager fra
samme kategori påføres en reduceret nyttelast. Alle kombinationer af lastopstil-
linger beregnes, så den farligste kan findes.
Når den samlede maksimallast n0 bestemmes, skal to dimensioneringstilfælde
undersøges.
1. Dominerende snelast
,max ,sup ,sup , , 0, , ,o FI Gj kj FI sne k sne FI Q i i k nytte in K G K Q K Q
2. Dominerende nyttelast
,max ,sup ,sup 0, ,
,1 , ,1 , 0, , ,
o FI Gj kj FI sne sne k sne
FI Q k nytte FI Q i i k nytte i
n K G K Q
K Q K Q
50
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger | 3
Reducerede og minimale værdier, n0:
Last fra overliggende etager bestemmes for reducerede og minimalværdier ved
simpel summering af last fra dæk på de enkelte etager samt egenvægt i bære-
linjer.
3.3.4 Ulykkesdimensioneringstilfælde
De maksimale, reducerede og minimale lastværdier udregnes på følgende vis i
brandtilfældet:
Maksimalværdier, nv og nh:
, 1
, 1
0,5
( - )k fri k k
k fri k k
n g g q L
L sG G Q L
Reducerede værdier, nv og nh:
, 2
, 2
0,5
( )k fri k k
k fri k k
n g g q L
L sG G Q L
Minimalværdier, nv og nh:
,inf
,inf
0,5
( - )k g
k G
n g L
L sG L
Hvor L er dækkets spændvidde og s er afstanden fra en linjelast til bærelinjen.
Fladelaste betegnes g og q, mens G og Q betegner bidrag fra linjelast.
Som udgangspunkt sættes g,inf lig 1,0, da EC0 ikke opererer med denne faktor i
ulykkestilfælde.
Last fra overliggende etager, n0, bestemmes efter samme principper som for
vedvarende eller midlertidige dimensioneringstilstande.
51
3 | Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
3.3.5 Eksempel – Lastnedføring
3.3.5.1 Vedvarende eller midlertidige dimensioneringsttilfælde
I nærværende eksempel foretages en gennemregning af en lastnedføring for en
5-etages bygning for vedvarende eller midlertidige dimensioneringstilfælde. Der
benyttes laster svarende til lastspecifikationer og nøgleskema i afsnit 3.1. Bære-
linjen modul B/4-5 betragtes. figur 3-11 og figur 3-12 viser en sammenfatning.
Fladelaste gk gfri,k qk q 0 Kategori
(kN/m2) (kN/m2) (kN/m2)F1 1,20 0,65 0,72 1,50 0,60 NF2 3,10 2,00 1,50 1,50 0,50 AF3 3,65 2,00 2,50 1,50 0,60 BF4 3,65 2,50 7,50 1,50 1,00 EKontor med arkiv
g,inf = 0,90 Konsekvensklasse: KFI = 1,00
BoligarealerKontorer
Egenvægt, g,sup = 1,00
Tagflade, sne
Figur 3-11: Belastninger og partialkoefficienter for beregningseksempel
På figur 3-12 vises geometri af lastopland, samt hvilke flade- og linjelaste de
forskellige etager er belastet af. Derudover vises også egenlasten i bærelinjen.
4. sal-v F1 F1 4. sal-h
3. sal-v F2 F2 3. sal-h
2. sal-v F2 F2 2. sal-h
1. sal-v F3 F4 1. sal-h
Stue-v F3 F4 Stue-h
Kld.
gk = 8,0kN/m
gk = 8,0kN/m
gk = 8,0kN/m
gk = 8,0kN/m
gk = 15kN/m
8,0m 6,0m
Figur 3-12: Visuel præsentation af etager og lastopland, lodret snit
52
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger | 3
Da det er for omfattende at vise beregningen af den samlede lastnedføring i
dette eksempel, gennemføres blot beregningerne for bestemmelse af lastvirk-
ningerne på den bærende konstruktion i 1. sal. De øvrige lastvirkninger be-
stemmes på tilsvarende vis. Der snittes umiddelbart over dæk mellem stue og 1.
sal.
Af figur 3-12 fremgår det, at der på etagerne over 2. sal er 2 etager med nytte-
last fra kategori A og 1 etage med last fra kategori N (snelast). Nyttelasten er
dominerende i forhold til snelasten. For at bestemme den maksimale reaktion
fra overliggende etager, n0, på 2. sal, skal der derfor kun påføres fuld nyttelast
på én etage med nyttelast, kategori A. Etagen med snelast, kategori N, og den
anden etage med nyttelast, kategori A, skal påføres reduceret nyttelast.
Maksimalværdier:
0
1,0 1,0 3,10 2,00 1,0 1,50 1,50 0,5 8,00 29,4kN/m
1,0 1,0 3,10 2,00 1,0 1,50 1,50 0,5 6,00 22,1kN/m
1,0 1,0 1,20 0,65 1,0 0,72 1,50 0,6 0,5 8,00 6,00
1,0 1,0 (3,10 2,00) 1,0 1,50
v
h
n
n
n
1,50 0,5 8,00 6,00
1,0 1,0 3 8,00 1,0 92,9kN/m
Reducerede værdier:
0
1,0 1,0 3,10 2,00 1,0 1,50 0,5 0,5 8,00 24,9kN/m
1,0 1,0 3,10 2,00 1,0 1,50 0,5 0,5 6,00 18,7kN/m
1,0 1,0 1,20 0,65 1,0 0,72 1,5 0,6 0,5 8,00 6,00
1,0 1,0 (3,10 2,00) 1,0 1,50 1,
v
h
n
n
n
5 0,5 0,5 8,00 6,00
1,0 1,0 3 8,00 1,0 85,1kN/m
53
3 | Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Minimalværdier:
0
3,10 0,90 0,5 8,00 11,2kN/m
3,10 0,90 0,5 6,00 8,4kN/m
1,20 0,90 0,5 8,00 6,00
3,10 0,90 0,5 8,00 6,00
3 8,0 0,90 48,7kN/m
v
h
n
n
n
Det sidste led ved summation af last fra overliggende etager, n0, består af egen-
vægt i bærelinjen. I dette eksempel regnes med et bjælke-/søjlesystem med en
egenvægt på 8 kN/m. For reaktionen fra 2. sal skal der medregnes i alt 3 bjæl-
ker fra etagerne: Tag, 3. sal og 2. sal.
3.3.5.2 Ulykkesdimensioneringstilfælde
Ovenstående eksempel beregnes nu for brandtilfældet. Bemærk at faktorerne
KFI, ξ og q alle sættes til 1, da disse faktorer ikke indgår i beregningen for ulyk-
kestilfældet. g,inf sættes som udgangspunkt ligeledes til 1.
Fladelaste gk gfri,k qk q 0 Kategori
(kN/m2) (kN/m2) (kN/m2)F1 1,20 0,65 0,72 0,20 0,00 NF2 3,10 2,00 1,50 0,30 0,20 AF3 3,65 2,00 2,50 0,40 0,20 BF4 3,65 2,50 7,50 0,80 0,70 EKontor med arkiv
g,inf = 0,90 Konsekvensklasse: KFI = 1,00
BoligarealerKontorer
Egenvægt, g,sup = 1,00
Tagflade, sne
Figur 3-13: Inddata for beregningseksempel
Som i afsnit 3.3.5.1 gennemføres beregningen for bestemmelse af reaktioner
kun for reaktionerne fra 2. sal. Der snittes umiddelbart over dæk mellem stue og
1. sal. Geometri for de forskellige etager og lastpåførsel fremgår af figur 3-12.
54
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger | 3
Maksimalværdier:
0
3,10 2,00 1,50 0,30 0,5 8,00 22,2kN/m
3,10 2,00 1,50 0,30 0,5 6,00 16,7kN/m
1,20 0,65 0,72 0,00 0,5 8,0 6,0
3,10 2,00 1,50 0,30 0,5 8,0 6,0
3 8,00 75,8kN/m
v
h
n
n
n
Reducerede værdier:
0
3,10 2,00 1,50 0,20 0,5 8,0 21,6kN/m
3,10 2,00 1,50 0,20 0,5 6,0 16,2kN/m
1,20 0,65 0,72 0,00 0,5 8,0 6,0
3,10 2,00 1,50 0,20 0,5 8,0 6,0
3 8,00 74,8kN/m
v
h
n
n
n
Minimalværdier:
0
3,10 1,0 0,5 8,0 12,4kN/m
3,10 1,0 0,5 6,0 9,3kN/m
1,20 1,0 0,5 8,0 6,0
3,10 1,0 0,5 8,0 6,0
8,0 1,0 3 57,1kN/m
v
h
n
n
n
Eksempel slut
55
3 | Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
3.4 Lastspecifikationer
3.4.1 Fastlæggelse af søjle- og væglaste
Ved dimensionering af søjler og vægge gælder det om at finde de farligste kom-
binationer af maksimal, minimal og reducerede lastværdier i sammenhæng med
eventuelle tværlaster, eksempelvis vind. Endvidere kan det for større byggerier
være hensigtsmæssigt at gruppere søjler og vægge og på denne måde undersø-
ge flere bygningsdele på samme tid.
Ved dimensionering er det i praksis kun nødvendigt at se på tilfælde, hvor tvær-
lasten påføres i samme retning som den forudsatte udbøjningsretning.
For søjler betegnes det som hovedtilfælde I, når der forudsættes udbøjning på
tværs af bjælkeaksens retning. Dette underinddeles i hovedtilfælde I-a og I-b
afhængigt af den forudsatte udbøjningsretning. Tilsvarende svarer hovedtilfælde
II-a og II-b til udbøjning på i bjælkeaksens retning. Principielt skal alle disse fire
hovedtilfælde undersøges, men alene ud fra symmetribetragtninger vil man ofte
kunne nøjes med at gennemregne de to af hovedtilfældene.
For vægge er der kun to relevante hovedtilfælde, I-a og I-b, da det forudsættes,
at en væg altid er stabil overfor udbøjning i sin egen plan.
Der skal udarbejdes en separat lastnedføring for brandtilfældet.
3.4.2 Tværlast hidrørende vind på søjler og vægge
Den maksimale og den reducerede tværlast bestemmes i henhold til EC0.
Maksimal vindlast fås eksempelvis til:
kQFId wKw 1,max,
Reduceret vindlast fås til:
kiQFIredd wKw ,01,,
56
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger | 3
3.4.3 Normalkraft fra lastnedføring
I beregningerne er normalkræfterne defineret således, at N1 og N0 bidrager med
moment med samme fortegn som den påsatte tværlast, mens N2 virker stabili-
serende. Det vil sige, at lastnedføringens resultater nv og nh indgår forskelligt i
beregningen af N1 og N2 afhængigt af udbøjningsretningen.
N1 N0
N2
e0 e1 e2
w
Figur 3-14:Definition af vindlast i forhold til normalkræfter på søjle og
3.4.3.1 Søjler
dækfelt 1-v dækfelt 1-h
B2 dækfelt 2-v dækfelt 2-hx
B1
y(bjælkeakse)
Figur 3-15: Lastnedføring på en søjle, (iht. www.bef.dk, Specifikation af søj-
lelaste) med udbøjningsretninger i de 4 hovedtilfælde vist
II-b
I-b II-a
I-a Udbøjningsretninger i hovedtilfælde:
57
3 | Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Figur 3-15 viser lastnedføring for en søjle. Strækningen B1 kan være belastet på
en måde, og strækningen B2 på en anden. Længderne B1 og B2 er den halve
afstande mellem søjlerne i søjlerækken.
Et lastnedføringsskema, som vist i afsnit 3.5.1, kan bruges til at uddrage den
maksimale reducerede værdi af nv, nh og n0, den maksimale værdi af nv, nh og
n0 og den mindste minimale værdi af nv, nh og n0, for den pulje af vægge som
ønskes analyseret i en og samme beregning.
Dette bevirker, at beregningen udføres ud fra det værste tilfælde af værdierne
nv, nh og n0. Disse værdier behøver nødvendigvis ikke at høre sammen. Blot
beskriver de lasten inden for den pulje af vægge, som er valgt.
Afhængig af tværlastens retning bestemmes N1, N2 og N0 efter følgende formler i
de fire hovedtilfælde:
Hovedtilfælde I-a
1 , 1 , 2
0 0, 1 0, 2
2 , 1 , 2
1 2
1 2
1 2
h dækfelt h dækfelt
dækfelt dækfelt
v dækfelt v dækfelt
N n B n B
N n B n B
N n B n B
Hovedtilfælde I-b
1 , 1 , 2
0 0, 1 0, 2
2 , 1 , 2
1 2
1 2
1 2
v dækfelt v dækfelt
dækfelt dækfelt
h dækfelt h dækfelt
N n B n B
N n B n B
N n B n B
Hovedtilfælde II-a
1 , 1 , 1
0 0, 1 0, 2
2 , 2 , 2
1 1
1 2
2 2
h dækfelt v dækfelt
dækfelt dækfelt
h dækfelt v dækfelt
N n B n B
N n B n B
N n B n
B
Hovedtilfælde II-b
1 , 2 , 2
0 0, 1 0, 2
2 , 1 , 1
2 2
1 2
1 1
h dækfelt v dækfelt
dækfelt dækfelt
h dækfelt v dækfelt
N n B n B
N n B n B
N n B n B
58
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger | 3
3.4.3.2 Vægge
dækfelt v dækfelt h
nv + n0 + nh
B1
nv + n0 + nh
Typisk endesektion i stabiliserende væg
Typisk vægsektion med vinduesåbninger etc.
B1 = b
n0
b b
b er den effektive vægbredde anvendt i vægberegningen
Figur 3-16 viser lastnedføring for en væg. Bredden b er her defineret som den
massive del af væggen. Herved er det muligt at tage hensyn til huller.
Belastningen findes fra et af lastnedføringsskemaerne vist i afsnit 3.5.1. Her
bestemmes den maksimale reducerede værdi af nv, nh og n0, den maksimale
værdi af nv, nh og n0 og den mindste minimale værdi af nv, nh og n0.
Som i søjleberegningen kan vægberegningen laves for en pulje af vægge udreg-
net på baggrund af de værste tilfælde af værdierne nv, nh og n0. Som for søjler-
ne behøver disse værdier ikke at være sammenhørende men blot repræsentere
den pulje af vægge, brugeren ønsker at slå sammen i en beregning.
Afhængig af tværlastens retning bestemmes N1, N2, N0 efter følgende formler i
de to hovedtilfælde:
Figur 3-16: Lastnedføring på en væg
I-a I-b
59
3 | Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Hovedtilfælde I-a
1 ,
0 0,
2 ,
1
1
1
h dækfelt
dækfelt
v dækfelt
N n B
N n B
N n B
Hovedtilfælde I-b
1 ,
0 0,
2 ,
1
1
1
v dækfelt
dækfelt
h dækfelt
N n B
N n B
N n B
3.4.4 Lasttilfælde
Alle relevante lasttilfælde for en søjle eller en væg skal undersøges. Her vises 9
lasttilfælde, der definerer det nødvendige undersøgelsesomfang inden for hvert
hovedtilfælde. Hvert lasttilfælde er benævnt med et bogstav fra A til I og er for
en søjle og en væg bestemt ud fra samme filosofi. Filosofien er først at bestem-
me det punkt, der ligger tættest på ordinataksen. Dette gøres ved at påsætte
maksimal vindlast på søjlen/væggen samtidig med minimale værdier af normal-
kræfterne. Herefter øges normalkraften ved at påsætte reduceret værdi af N1
kombineret med minimal værdi af N0 og N2. Normalkraften øges endnu mere
ved at medtage reduceret værdi af N1 og N0. Sluttelig påsættes reduceret værdi
af N0, N1 og N2 sammen med maksimalværdi af vinden. Herved falder momen-
tet, mens normalkraften stiger. Dette giver i alt fire punkter A, B, C og D, som
angivet i figur 3-17.
D
CB
A
EF
G
H
I
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000N (kN)
M (
kNm
)
Maksimal vindlast
Reduceret vindlast
Figur 3-17: Konstruktion af lasttilfælde
60
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger | 3
Efterfølgende arbejdes der med reducerede værdier af vindlasten, som først
kombineres med maksimal værdi af N1 og minimale værdier af N0 og N2. Dette
beskriver det punkt, der ligger tættest ordinataksen for reduceret vindlast. Her-
efter øges normalkraften ved i kombination af maksimal N1 at have reduceret
værdi af N0 og minimal værdi af N2. Ved flere overliggende etager kan tilfældet,
hvor man har maksimal værdi af N0 kombineret med maksimal værdi af N1 og
minimal værdi af N2 give et punkt, der er mere kritisk. Den maksimale normal-
kraftpåvirkning findes i et af to lasttilfælde. Det første hvor maksimal værdi af
N1 og N2 kombineres med reduceret værdi af N0. Det andet hvor alle tre værdier
er maksimale. Ovenstående er det, der kendetegner lasttilfældene E, F, G, H og
I.
I tilfælde af bygninger med samme lastkategori på alle etager, for eksempel
boliger, bortfalder lasttilfælde H og I, da enten N1 eller N0 kan reduceres.
De enkelte lasttilfælde kan i kort form skrives som:
A. Min N1+min N0+ min N2
B. Reduc N1+min N0+ min N2 Med maksimal vindlast C. Reduc N1+reduc N0+min N2
D. Reduc N1+reduc N0+reduc N2
E. Max N1+ min N0+ min N2
F. Max N1+ reduc N0+ min N2
G. Max N1+ reduc N0+ max N2 Med reduceret vindlast
H. Max N1+ max N0+ min N2
I. Max N1+ max N0+ max N2
På figur 3-18 angiver punkterne A - I to indhyldningskurver, som altid skal ligge
inden for den tykt optegnede bæreevnekurve, her vist for en slank søjle.
61
3 | Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
D
CB
AE F
G
H
I
0
2
4
6
8
10
12
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450N (kN)
M (
kNm
)
Figur 3-18: Indhyldningskurverne skal ligge inden for
bæreevnekurven ikke blot punkterne
Det er vigtigt i analysen af søjler og vægge, at N1 er den normalkraft, der er
drivende i forhold til udbøjningsretningen. Det er dog ikke altid til at forudse
udbøjningsretningen, for eksempel kan de termiske udbøjninger ændre udbøj-
ningsretningen ved brand på træksiden. Her kan det være farligere at antage, at
værdien, som er angivet for N2, er den drivende normalkraft. Dette betyder, at
det er nødvendigt at undersøge alle 9 lasttilfælde for udbøjning i alle retninger
for at være sikker på, at de kritiske lasttilfælde er dækket. Dette svarer til de
føromtalte fire hovedtilfælde for søjler og to hovedtilfælde for vægge.
62
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger | 3
3.4.5 Eksempel – Fastlæggelse af søjlelaste
I dette afsnit gives et eksempel på, hvordan lasttilfældene opstilles for en søjle.
Som udgangspunkt benyttes søjlen i modul B/4 fra figur 3-1. Lastnedføringsre-
sultaterne i modullinje B er angivet i afsnit afsnit 3.5.1. Der ønskes en lastopstil-
ling, der gælder for søjlerne på 1. til 3. sal. Søjlen vil være belastet i dækfelt 1
på både højre og venstre side af bjælken samt i dækfelt 2 på venstre side, mens
højre side af dækfelt 2 er uden for bygningen.
3.4.5.1 Vedvarende og midlertidige dimensioneringstilstande
Fra lastnedføringstabellen i afsnit 3.3.5.1 fås værdier for dækfelt 1, 2. sal umid-
delbart. For dækfelt 2 er nv-værdierne de samme som for dækfelt 1, da belast-
ningen er ens. Højre side af dækfeltet er ubelastet og last fra højereliggende
dæk n0 fås ved at summere nv-værdierne efter reglerne beskrevet i afsnit 3.3.3
og lægge egenlast i bærelinjen til. Hele lastnedføringen for linje B er beregnet i
afsnit 3.5.1, og resultaterne fra lastnedføringen for Modul 1-5 er gengivet i figur
3-20 og figur 3-21.
B1
x
B2
Dækfelt 2-v
Dækfelt 1-h
A
B
4 1 7
C
Dækfelt 1-v
Dækfelt 2-h
5,6m 5,6m
8,0
m
6,0
m y
Figur 3-19: Belastningsområde for søjlen modul B/4
63
3 | Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Etage
nv no nh nv no nh nv no nh
(kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m)
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Tag 11,7 8,0 0,0 10,0 8,0 0,0 4,3 7,2 0,0
3. sal
2. sal
1. sal 37,6 96,3 0,0 31,6 91,8 0,0 13,1 55,4 0,0
Stue 37,6 148,9 0,0 31,6 138,4 0,0 13,1 82,1 0,0
Kld. 180,5 170,0 95,2
maksimalværdier minimalværdierreducerede værdier
29,4 27,7 0,0 24,9 26,0 0,0 11,2 18,7 0,0
29,4 63,4 0,0 24,9 58,9 0,0 11,2 37,1 0,0
Figur 3-20: Lastnedføring for Linje B, Modul 1-4 (Dækfelt 2). Reaktioner på
underliggende konstruktion.
Etage
nv no nh nv no nh nv no nh
(kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m)
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Tag 11,7 8,0 8,8 10,0 8,0 7,5 4,3 7,2 3,2
3. sal 29,4 36,5 22,1 24,9 33,5 18,7 11,2 22,0 8,4
2. sal 29,4 92,9 22,1 24,9 85,1 18,7 11,2 48,7 8,4
1. sal 37,6 144,5 52,2 31,6 136,6 52,2 13,1 75,4 9,9
Stue 37,6 249,3 52,2 31,6 235,4 52,2 13,1 111,9 9,9
Kld. 333,1 319,2 134,9
maksimalværdier minimalværdierreducerede værdier
Figur 3-21: Lastnedføring for Linje B, Modul 4-5 (Dækfelt 1). Reaktion på
underliggende konstruktion
Idet der ønskes at minimere antallet af søjle beregninger puljes 2. og 3. sal ,
resultatet fremgår af figur 3-22.
nv no nh nv no nh nv no nh
(kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m)Dækfelt 1 29,4 92,9 22,1 29,4 85,1 18,7 11,2 22,0 8,4Dækfelt 2 29,4 63,4 0,0 24,9 58,9 0,0 11,2 18,7 0,0
maksimalværdier reducerede værdier minimalværdier
Figur 3-22: Opsummering af reaktionerne fra dækfelt 1 og 2. Reaktioner på
underliggende konstruktion (i 1. sal)
64
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger | 3
Herunder udregnes de resulterende normalkræfter N1, N0, og N2 for hovedlasttil-
fældene I og II. Tilfælde I-b dækker bøjning om modulllinje B, med et resulte-
rende moment mod modullinje C. Tilfælde II-a dækker bøjning om modullinje 4,
med et resulterende moment mod modullinje 1. Søjlen bør ligeledes dimensio-
neres for lasttilfældene I-a og II-b, men det vil ikke blive vist i dette eksempel.
Hermed kan de 9 lasttilfælde for hovedtilfælde I-b og II-a opstilles
Hovedtilfælde I-b
1 , 1 , 2
0 0, 1 0, 2
2 , 1 , 2
1 2
1 2
1 2
v dækfelt v dækfelt
dækfelt dækfelt
h dækfelt h dækfelt
N n B n B
N n B n B
N n B n B
Hovedtilfælde II-a
1 , 1 , 1
0 0, 1 0, 2
2 , 2 , 2
1 1
1 2
2 2
h dækfelt v dækfelt
dækfelt dækfelt
h dækfelt v dækfelt
N n B n B
N n B n B
N n B n B
Efter nogen regning findes resultaterne gengivet på figur 3-23.
Resulterende lasttilfælde, lodrette lastandele N1 (kN) N0 (kN) N2 (kN) Tværlast w
Hovedtilfælde I - b : A: Min N1 + min N0 + min N2 63 114 24 MaxB: Reduc N1 + min N0 + min N2 139 114 24 MaxC: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 139 403 24 MaxD: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 139 403 52 MaxE: Max N1 + min N0 + min N2 165 114 24 Reduceret F: Max N1 + reduc N0 + min N2 165 403 24 Reduceret G: Max N1 + reduc N0 + max N2 165 403 62 Reduceret H: Max N1 + max N0 + min N2 165 438 24 Reduceret I: Max N1 + max N0 + max N2 165 438 62 Reduceret
Hovedtilfælde II - a : A: Min N1 + min N0 + min N2 55 114 31 MaxB: Reduc N1 + min N0 + min N2 122 114 31 MaxC: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 122 403 31 Max
D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 122 403 70 Max
E: Max N1 + min N0 + min N2 144 114 31 Reduceret F: Max N1 + reduc N0 + min N2 144 403 31 Reduceret G: Max N1 + reduc N0 + max N2 144 403 82 Reduceret
H: Max N1 + max N0 + min N2 144 438 31 Reduceret I: Max N1 + max N0 + max N2 144 438 82 Reduceret
y
N1N2
No
x
N2N1
No
w
w
Figur 3-23: Lasttilfælde A-I, hovedtilfælde I-b og hovedtilfælde II-a.
3.4.5.2 Ulykkesdimensioneringstilfælde
Fra lastnedføringstabellen i afsnit 3.3.5.2 fås værdier for dækfelt 1, 2. sal umid-
delbart. For dækfelt 2 er nv-værdierne de samme som for dækfelt 1, da belast-
ningen er ens. Højre side af dækfeltet er ubelastet og last fra højereliggende
dæk n0 fås ved at summere nv-værdierne efter reglerne beskrevet i afsnit 3.3.3
65
3 | Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
og lægge egenlast i bærelinjen til. Hele lastnedføringen for linje B er beregnet i
afsnit 3.5.1, og resultaterne fra lastnedføringen for, Modul 1-5 er gengivet i figur
3-24 og figur 3-25.
Etage
nv no nh nv no nh nv no nh
(kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m)
0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Tag 8,0 8,0 0,0 7,4 8,0 0,0 4,8 8,0 0,0
3. sal 22,2 24,0 0,0 21,6 23,4 0,0 12,4 20,8 0,0
2. sal 22,2 53,6 0,0 21,6 53,0 0,0 12,4 41,2 0,0
1. sal 26,6 83,2 0,0 24,6 82,6 0,0 14,6 61,6 0,0
Stue 26,6 124,8 0,0 24,6 122,2 0,0 14,6 91,2 0,0
Kld. 149,4 146,8 105,8
maksimalværdier minimalværdierreducerede værdier
Figur 3-24: Lastnedføring for Linje B, Modul 1-4 (Dækfelt 2). Reaktioner på
underliggende konstruktion
Etage
nv no nh nv no nh nv no nh
(kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m)
0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Tag 8,0 8,0 6,0 7,4 8,0 5,6 4,8 8,0 3,6
3. sal 22,2 30,0 16,7 21,6 29,0 16,2 12,4 24,4 9,3
2. sal 22,2 75,8 16,7 21,6 74,8 16,2 12,4 54,1 9,3
1. sal 26,6 121,6 36,5 24,6 120,6 34,2 14,6 83,8 11,0
Stue 26,6 199,7 36,5 24,6 194,4 34,2 14,6 124,4 11,0
Kld. 258,5 253,2 149,9
maksimalværdier minimalværdierreducerede værdier
Figur 3-25: Lastnedføring for Linje B, Modul 4-5 (Dækfelt 1). Reaktioner på
underliggende konstruktion
Idet der ønskes at minimere antallet af søjleberegninger puljes 2. og 3. sal, re-
sultatet fremgår af figur 3-26.
66
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger | 3
nv no nh nv no nh nv no nh
(kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m)Dækfelt 1 22,2 75,8 16,7 21,6 74,8 16,2 12,4 29,4 9,3Dækfelt 2 22,2 53,6 0,0 21,6 53,0 0,0 12,4 20,8 0,0
maksimalværdier reducerede værdier minimalværdier
Figur 3-26: Opsummering af reaktionerne fra dækfelt 1 og 2 for brandtilfældet.
Reaktioner på underliggende konstruktion (i 1. sal)
Herunder udregnes de resulterende normalkræfter N1, N0, og N2 for hovedlasttil-
fældet I-b, som svarer til bøjning om modullinje B, med et resulterende moment
mod modullinje C. Søjlen bør ligeledes dimensioneres for lasttilfældene I-a, II-a
og II-b, men det vil ikke blive vist i dette eksempel.
Hermed kan de 9 lasttilfælde for hovedtilfælde I-b opstilles, som vist i afsnit
3.4.3.1. Efter nogen regning findes resultaterne gengivet på figur 3-23.
Resulterende lasttilfælde, lodrette lastandele N1 (kN) N0 (kN) N2 (kN) Tværlast w
Hovedtilfælde I - b : A: Min N1 + min N0 + min N2 69 127 26 -
B: Reduc N1 + min N0 + min N2 121 127 26 -
C: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 121 358 26 -
D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 121 358 45 -
E: Max N1 + min N0 + min N2 124 127 26 -
F: Max N1 + reduc N0 + min N2 124 358 26 -
G: Max N1 + reduc N0 + max N2 124 358 47 -
H: Max N1 + max N0 + min N2 124 127 26 -
I: Max N1 + max N0 + max N2 124 127 47 -
x
N2N1
No
w
Figur 3-27: Lasttilfælde A-I, hovedtilfælde I-b, brandtilfælde
Eksempel slut
67
3 | Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
3.5 Beregningsprogrammer
3.5.1 Modul til lastnedføring
Nedenfor ses den samlede udskrift fra lastnedføringsprogrammet på www.bef.dk
med inddata for vedvarende og permanente lastkombinationer med inddata
svarende til linje B, modul 4-5 fra eksemplet i afsnit 3.3.5.
Lastnedføring version 2.0 / EC Udgivet af Betonelement-Foreningen mar. 2009
Sag: Nr.:Emne: Init:
Vedvarende dimensioneringstilstande (kombination 6.10b)
Fladelaste gk gfri,k qk q 0 Kategori
(kN/m2) (kN/m2) (kN/m2)
F0 0,00 0,00 0,00
F1 1,20 0,65 0,72 1,50 0,60 N
L1 og L2 betegner linielaste. F2 3,10 2,00 1,50 1,50 0,50 A
Lv og Lh er dækkenes spændvidder. F3 3,65 2,00 2,50 1,50 0,60 B
Resultanter på underliggende væg F4 3,65 2,50 7,50 1,50 1,00 E
eller bjælke: F5 1,50 1,00 E
NB: EC1 3.3.1(2)P fjerner reelt lastreduktion for kategori E-G i normale lastkombinationer
Linielaste gk gfri,k qk q 0 Kategori
(kN/m) (kN/m) (kN/m)
L0 0,00 0,00 0,00
nv og nh : Laste fra dæk i etagen L1 1,50 0,50 A
no : Last fra højereliggende dæk og L2 1,50 0,60 B
fra egenvægte i bærelinie
Etagegk gfri,k Lv Fladelast Linielast sv Lh Fladelast Linielast sh nv no nh nv no nh nv no nh
(kN/m) (kN/m) (m) (m) (m) (m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m)
0,00 F0 L0 0,00 0,00 F0 L0 0,00 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Tag 0,00 0,00 8,00 F1 L0 0,00 6,00 F1 L0 0,00 11,7 8,0 8,8 10,0 8,0 7,5 4,3 7,2 3,2
3. sal 8,00 0,00 8,00 F2 L0 0,00 6,00 F2 L0 0,00 29,4 36,5 22,1 24,9 33,5 18,7 11,2 22,0 8,4
2. sal 8,00 0,00 8,00 F2 L0 0,00 6,00 F2 L0 0,00 29,4 92,9 22,1 24,9 85,1 18,7 11,2 48,7 8,4
1. sal 8,00 0,00 8,00 F3 L0 0,00 6,00 F4 L0 0,00 37,6 144,5 52,2 31,6 136,6 52,2 13,1 75,4 9,9
Stue 8,00 0,00 8,00 F3 L0 0,00 6,00 F4 L0 0,00 37,6 249,3 52,2 31,6 235,4 52,2 13,1 111,9 9,9
Kld. 15,00 0,00 333,1 319,2 134,9
Vejledning: PC-statik: Lodret lastnedføring efter EC0 + EC1 Udgivet på www.bef.dk december 2008 NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker
Laste på venstre dækfelt maksimalværdier minimalværdierEgenvægt i bærelinie Laste på højre dækfelt reducerede værdier
0,90
23 - 4545JFJ
BetonelementhusetLinie B, modul 4 - 5
g,inf =
Tagflade, sne
Boligarealer
Kontorer
Kontor med arkiv
Egenvægt, g,sup = 1,00 1,00 Konsekvensklasse: KFI =
Tag-v F1 F1 Tag-h
3. sal-v F2 F2 3. sal-h
2. sal-v F2 F2 2. sal-h
1. sal-v F3 F4 1. sal-h
Stue-v F3 F4 Stue-h
Kld.
L1 L2
sv sh
Lv Lh
venstre dækfelt højre dækfelt
nhnv
no
Figur 3-28:Lastnedføring for Linje B, Modul 4-5
I eksemplet er der i linje B, modul 5-7 regnet med, at søjle/bjælke-systemet er
ændret til en 180 mm tyk betonelementvæg. Dette er indlagt i den efterfølgende
udskrift fra lastnedføringsprogrammet, idet egenvægtene i bærelinjen er øget til
gk = 15 kN/m.
Dette betyder en del for størrelsen af n0; mens nv og nh er uændrede i forhold til
det ovenfor gennemgåede.
68
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger | 3
Lastnedføring version 2.0 / EC Udgivet af Betonelement-Foreningen mar. 2009
Sag: Nr.:Emne: Init:
Branddimensioneringstilstande
Fladelaste gk gfri,k qk 1 2 Kategori
(kN/m2) (kN/m2) (kN/m2)
F0 0,00 0,00 0,00
F1 1,20 0,65 0,72 0,20 0,00 N
L1 og L2 betegner linielaste. F2 3,10 2,00 1,50 0,30 0,20 A
Lv og Lh er dækkenes spændvidder. F3 3,65 2,00 2,50 0,40 0,20 B
Resultanter på underliggende væg F4 3,65 2,50 7,50 0,80 0,70 E
eller bjælke: F5 0,00 0,00 0,00 0,80 0,70 E
Linielaste gk gfri,k qk 1 2 Kategori
(kN/m) (kN/m) (kN/m)
L0 0,00 0,00 0,00
nv og nh : Laste fra dæk i etagen L1 0,00 0,00 0,00 0,30 0,20 A
no : Last fra højereliggende dæk og L2 0,00 0,00 0,00 0,40 0,20 B
fra egenvægte i bærelinie
Etagegk gfri,k Lv Fladelast Linielast sv Lh Fladelast Linielast sh nv no nh nv no nh nv no nh
(kN/m) (kN/m) (m) (m) (m) (m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m)
0 0,00 F0 L0 0,00 0,00 F0 L0 0,00 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Tag 0,00 0,00 8,00 F1 L0 0,00 6,00 F1 L0 0,00 8,0 8,0 6,0 7,4 8,0 5,6 4,8 8,0 3,6
3. sal 8,00 0,00 8,00 F2 L0 0,00 6,00 F2 L0 0,00 22,2 30,0 16,7 21,6 29,0 16,2 12,4 24,4 9,3
2. sal 8,00 0,00 8,00 F2 L0 0,00 6,00 F2 L0 0,00 22,2 75,8 16,7 21,6 74,8 16,2 12,4 54,1 9,3
1. sal 8,00 0,00 8,00 F3 L0 0,00 6,00 F4 L0 0,00 26,6 121,6 36,5 24,6 120,6 34,2 14,6 83,8 11,0
Stue 8,00 0,00 8,00 F3 L0 0,00 6,00 F4 L0 0,00 26,6 199,7 36,5 24,6 194,4 34,2 14,6 124,4 11,0
Kld. 15,00 0,00 258,5 253,2 149,9
Vejledning: PC-statik: Lodret lastnedføring efter EC0 + EC1 Udgivet på www.bef.dk december 2008 NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker
0
Kontor med arkiv
0
0
Tagflade, sne
Boligarealer
Kontorer
Egenvægt, g,sup = 1,00 1,00 Konsekvensklasse: KFI =1,00
23 - 4545JFJ
BetonelementhusetLinie B, modul 4 - 5
g,inf =
Laste på venstre dækfelt maksimalværdier minimalværdierEgenvægt i bærelinie Laste på højre dækfelt reducerede værdier
Tag-v F1 F1 Tag-h
3. sal-v F2 F2 3. sal-h
2. sal-v F2 F2 2. sal-h
1. sal-v F3 F4 1. sal-h
Stue-v F3 F4 Stue-h
Kld.
L1 L2
sv sh
Lv Lh
venstre dækfelt højre dækfelt
nhnv
no
Figur 3-29: Lastnedføring for Linje B, Modul 4-5 (Brand)
Lastnedføring version 2.0 / EC Udgivet af Betonelement-Foreningen mar. 2009
Sag: Nr.:Emne: Init:
Vedvarende dimensioneringstilstande (kombination 6.10b)
Fladelaste gk gfri,k qk q 0 Kategori
(kN/m2) (kN/m2) (kN/m2)
F0 0,00 0,00 0,00
F1 1,20 0,65 0,72 1,50 0,60 N
L1 og L2 betegner linielaste. F2 3,10 2,00 1,50 1,50 0,50 A
Lv og Lh er dækkenes spændvidder. F3 3,65 2,00 2,50 1,50 0,60 B
Resultanter på underliggende væg F4 3,65 2,50 7,50 1,50 1,00 E
eller bjælke: F5 1,50 1,00 E
NB: EC1 3.3.1(2)P fjerner reelt lastreduktion for kategori E-G i normale lastkombinationer
Linielaste gk gfri,k qk q 0 Kategori
(kN/m) (kN/m) (kN/m)
L0 0,00 0,00 0,00
nv og nh : Laste fra dæk i etagen L1 1,50 0,50 A
no : Last fra højereliggende dæk og L2 1,50 0,60 B
fra egenvægte i bærelinie
Etagegk gfri,k Lv Fladelast Linielast sv Lh Fladelast Linielast sh nv no nh nv no nh nv no nh
(kN/m) (kN/m) (m) (m) (m) (m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m)
0,00 F0 L0 0,00 0,00 F0 L0 0,00 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Tag 0,00 0,00 8,00 F1 L0 0,00 6,00 F1 L0 0,00 11,7 15,0 8,8 10,0 15,0 7,5 4,3 13,5 3,2
3. sal 15,00 0,00 8,00 F2 L0 0,00 6,00 F2 L0 0,00 29,4 50,5 22,1 24,9 47,5 18,7 11,2 34,6 8,4
2. sal 15,00 0,00 8,00 F2 L0 0,00 6,00 F2 L0 0,00 29,4 113,9 22,1 24,9 106,1 18,7 11,2 67,6 8,4
1. sal 15,00 0,00 8,00 F3 L0 0,00 6,00 F4 L0 0,00 37,6 172,5 52,2 31,6 164,6 52,2 13,1 100,6 9,9
Stue 15,00 0,00 8,00 F3 L0 0,00 6,00 F4 L0 0,00 37,6 277,3 52,2 31,6 263,4 52,2 13,1 137,1 9,9
Kld. 15,00 0,00 361,1 347,2 160,1
Vejledning: PC-statik: Lodret lastnedføring efter EC0 + EC1 Udgivet på www.bef.dk december 2008 NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker
Laste på venstre dækfelt maksimalværdier minimalværdierEgenvægt i bærelinie Laste på højre dækfelt reducerede værdier
0,90
23 - 4545JFJ
BetonelementhusetLinie B, modul 5 - 7
g,inf =
Tagflade, sne
Boligarealer
Kontorer
Kontor med arkiv
Egenvægt, g,sup = 1,00 1,00 Konsekvensklasse: KFI =
Tag-v F1 F1 Tag-h
3. sal-v F2 F2 3. sal-h
2. sal-v F2 F2 2. sal-h
1. sal-v F3 F4 1. sal-h
Stue-v F3 F4 Stue-h
Kld.
L1 L2
sv sh
Lv Lh
venstre dækfelt højre dækfelt
nhnv
no
Figur 3-30: lastnedføring for Linie B, Modul 5-7
69
3 | Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
3.5.2 Moduler til specifikation af søjle- og væglaste
Nedenfor er vist en udskrift af programmet søjlelaste på www.bef.dk med data
svarende til eksemplet i afsnit 3.4.5.1.
Eksemplet puljer reaktioner på søjleelementerne i 1. til 2. sal, og værdierne for
nv, n0 og nh er afpasset hermed ved overførslen af data fra lastnedføringsske-
maet.
De resulterende 9 lasttilfælde er for hvert af de 4 hovedtilfælde opstillet, så de
er klar til direkte overførsel til søjleberegningen, se afsnit 8.3. Under søjlebereg-
ningen suppleres de resulterende lodrette laster, N1, N0 og N2, med oplysning
om deres respektive excentriciteter målt fra søjlens midterakse. Disse excentri-
citeter skal i hvert lasttilfælde ansættes til den farligste værdi inden for de muli-
ge tolerancer, jf. afsnit 3.3.1. Det vil i praksis betyde, at excentriciteterne for N1
og N0 i hvert lasttilfælde vælges størst mulige, og at excentriciteten for N2 væl-
ges mindst mulig, da det er denne kombination, der resulterer i det størst tæn-
kelige moment i søjlen for den pågældende udbøjningsretning.
SØJLELASTE, version 2.0 / EC Udgivet af Betonelement-Foreningen mar. 2009
Sag: Nr.:Emne: Init:
Resulterende lasttilfælde, lodrette lastandele N1 (kN) N0 (kN) N2 (kN)
Hovedtilfælde I - a : A: Min N1 + min N0 + min N2 24 114 63B: Reduc N1 + min N0 + min N2 52 114 63C: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 52 403 63D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 52 403 139E: Max N1 + min N0 + min N2 62 114 63
F: Max N1 + reduc N0 + min N2 62 403 63G: Max N1 + reduc N0 + max N2 62 403 165H: Max N1 + max N0 + min N2 62 438 63I : Max N1 + max N0 + max N2 62 438 165
Hovedtilfælde I - b : A: Min N1 + min N0 + min N2 63 114 24B: Reduc N1 + min N0 + min N2 139 114 24C: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 139 403 24D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 139 403 52E: Max N1 + min N0 + min N2 165 114 24F: Max N1 + reduc N0 + min N2 165 403 24G: Max N1 + reduc N0 + max N2 165 403 62H: Max N1 + max N0 + min N2 165 438 24I : Max N1 + max N0 + max N2 165 438 62
Lastbredder Dækfelt 1: B1 = 2,80 m Dækfelt 2: B2 = 2,80 m Hovedtilfælde II - a : A: Min N1 + min N0 + min N2 55 114 31Lastnedføringsskema B: Reduc N1 + min N0 + min N2 122 114 31Lodrette laste: nv no nh nv no nh C: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 122 403 31
(kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 122 403 70
Største maksimalværdier 29,4 92,9 22,1 29,4 63,4 0,0 E: Max N1 + min N0 + min N2 144 114 31Største reduc. værdier 24,9 85,1 18,7 24,9 58,9 0,0 F: Max N1 + reduc N0 + min N2 144 403 31Mindste minimalværdier 11,2 22,0 8,4 11,2 18,7 0,0 G: Max N1 + reduc N0 + max N2 144 403 82
Tværlaste i hovedtilfælde I - a I - b II - a II - b H: Max N1 + max N0 + min N2 144 438 31- linielaste på side af søjle (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) I : Max N1 + max N0 + max N2 144 438 82
Maksimal tværlast, wmax 3,60 3,60 0,00 0,00 Hovedtilfælde II - b : A: Min N1 + min N0 + min N2 31 114 55Reduc. tværlast, wreduc 1,80 1,80 0,00 0,00 B: Reduc N1 + min N0 + min N2 70 114 55Vejledning: C: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 70 403 55Inddata vedrørende lodrette last kan overføres fra modulet "lodret lastnedføring". D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 70 403 122Under resulterende lasttilfælde svarer hovedtilfælde I - a og I - b til udknækning på tværs E: Max N1 + min N0 + min N2 82 114 55af bjælken; medens II - a og II - b svarer til udknækning på langs med bjælken. For hvert F: Max N1 + reduc N0 + min N2 82 403 55hovedtilfælde skal lasttilfælde A, B, C og D kombineres med maksimal tværlast. Lasttilfælde G: Max N1 + reduc N0 + max N2 82 403 144
E, F, G, H og I skal kombineres med reduc. tværlast ved eftervisning af søjlens bæreevne. H: Max N1 + max N0 + min N2 82 438 55
NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker I : Max N1 + max N0 + max N2 82 438 144
Modul B / 4-5 Modul B / 1-4
23 - 4545JFJ
BetonelementhusetSøjle i modul B/4, 1. - 2. sal (STR 6.10b)
y
N1N2
No
y
N2N1
No
x
N1N2
No
x
N2N1
No
w
w
w
w
dækfelt 1-v dækfelt 1-h
B2 dækfelt 2-v dækfelt 2-hx
B1
y(bjælkeakse)
Figur 3-31: Lastspecifikationer for søjle i modul B/4, 1-2. sal (STR 6.10b)
70
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger | 3
SØJLELASTE, version 2.0 / EC Udgivet af Betonelement-Foreningen mar. 2009
Sag: Nr.:Emne: Init:
Resulterende lasttilfælde, lodrette lastandele N1 (kN) N0 (kN) N2 (kN)
Hovedtilfælde I - a : A: Min N1 + min N0 + min N2 26 127 69B: Reduc N1 + min N0 + min N2 45 127 69C: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 45 358 69D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 45 358 121E: Max N1 + min N0 + min N2 47 127 69
F: Max N1 + reduc N0 + min N2 47 358 69G: Max N1 + reduc N0 + max N2 47 358 124H: Max N1 + max N0 + min N2 47 362 69I : Max N1 + max N0 + max N2 47 362 124
Hovedtilfælde I - b : A: Min N1 + min N0 + min N2 69 127 26B: Reduc N1 + min N0 + min N2 121 127 26C: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 121 358 26D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 121 358 45E: Max N1 + min N0 + min N2 124 127 26F: Max N1 + reduc N0 + min N2 124 358 26G: Max N1 + reduc N0 + max N2 124 358 47H: Max N1 + max N0 + min N2 124 362 26I : Max N1 + max N0 + max N2 124 362 47
Lastbredder Dækfelt 1: B1 = 2,80 m Dækfelt 2: B2 = 2,80 m Hovedtilfælde II - a : A: Min N1 + min N0 + min N2 61 127 35Lastnedføringsskema B: Reduc N1 + min N0 + min N2 106 127 35Lodrette laste: nv no nh nv no nh C: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 106 358 35
(kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 106 358 60
Største maksimalværdier 22,2 75,8 16,7 22,2 53,6 0,0 E: Max N1 + min N0 + min N2 109 127 35Største reduc. værdier 21,6 74,8 16,2 21,6 53,0 0,0 F: Max N1 + reduc N0 + min N2 109 358 35Mindste minimalværdier 12,4 24,4 9,3 12,4 20,8 0,0 G: Max N1 + reduc N0 + max N2 109 358 62
Tværlaste i hovedtilfælde I - a I - b II - a II - b H: Max N1 + max N0 + min N2 109 362 35- linielaste på side af søjle (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) I : Max N1 + max N0 + max N2 109 362 62
Maksimal tværlast, wmax 0,00 0,00 0,00 0,00 Hovedtilfælde II - b : A: Min N1 + min N0 + min N2 35 127 61Reduc. tværlast, wreduc 0,00 0,00 0,00 0,00 B: Reduc N1 + min N0 + min N2 60 127 61Vejledning: C: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 60 358 61Inddata vedrørende lodrette last kan overføres fra modulet "lodret lastnedføring". D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 60 358 106Under resulterende lasttilfælde svarer hovedtilfælde I - a og I - b til udknækning på tværs E: Max N1 + min N0 + min N2 62 127 61af bjælken; medens II - a og II - b svarer til udknækning på langs med bjælken. For hvert F: Max N1 + reduc N0 + min N2 62 358 61hovedtilfælde skal lasttilfælde A, B, C og D kombineres med maksimal tværlast. Lasttilfælde G: Max N1 + reduc N0 + max N2 62 358 109
E, F, G, H og I skal kombineres med reduc. tværlast ved eftervisning af søjlens bæreevne. H: Max N1 + max N0 + min N2 62 362 61
NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker I : Max N1 + max N0 + max N2 62 362 109
Modul B / 4-5 Modul B / 1-4
23 - 4545JFJ
BetonelementhusetSøjle i modul B/4, 1. - 2. sal; BRAND
y
N1N2
No
y
N2N1
No
x
N1N2
No
x
N2N1
No
w
w
w
w
dækfelt 1-v dækfelt 1-h
B2 dækfelt 2-v dækfelt 2-hx
B1
y(bjælkeakse)
Figur 3-32: Lastspecifikation for søjle i modul B/4, 1-2. sal (ulykkeslast, brand)
Med excentriciteterne oplyst sammen med de lodrette lastandele kan resultater-
ne fra de 9 lasttilfælde, A-I, under et hovedtilfælde omsættes til 9 sæt sammen-
hørende værdier af normalkraft og moment, (Ned,M0Ed), der ved søjleberegnin-
gen sammenholdes med søjlens bæreevnekurve i et (N,M)-diagram svarende til
den pågældende udbøjningsretning. Dette er ofte tilstrækkeligt at gennemføre
for ét af de to hovedtilfælde I-a og I-b samt for ét af de to hovedtilfælde II-a og
II-b. Af udskriften ses eksempelvis, at det er I-b og II-a, der bliver de farligste
tilfælde, da de giver større værdier af N1 end henholdvis I-a og II-b. Ved et-
hvert niveau af den samlede normalkraft giver de dermed også de største mo-
menter om søjlens to hovedakser.
På www.bef.dk findes også et tilsvarende beregningsprogram til specifikation af
de dimensionsgivende belastninger på vægge. For vægge er kun de to udbøj-
ningsretninger vinkelret på væggens plan aktuelle, svarende til hovedtilfældene
I-a og I-b.
Til gengæld skal man være opmærksom på, om væggen indgår i bygningens
stabiliserende system, da der i væggens endesektioner så vil ske en forøgelse af
71
3 | Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
72
de lodrette belastninger i forhold til den rene, lodrette lastnedføring som følge
af, at væggen samtidig optager de væltende momenter på bygningen som en
skive, se afsnit 5.2. Dette kan håndteres ved i væggens endesektioner at intro-
ducere et tillæg til normalkræfterne fra den lodrette lastnedføring i særlige data-
felter hertil, som på programudskriften i dette tilfælde er nulstillede.
Det viste eksempel illustrerer et tilfælde svarende til, at der i modul B/5-7 i ek-
semplet fra afsnit 3.4.5 er indlagt en betonelementvæg med en 1,0 m bred
vægpille mellem to døre, der hver har bredden 1,0 m. For vægpillen fås dermed
B1 = 2,0 m. Eksemplet puljer samtlige reaktioner fra vægelementer fra kælder
til 3. sal, og værdierne for nv, n0 og nh er afpasset hermed ved overførslen af
data fra lastnedføringsskemaet.
VÆGLASTE, version 2.0 / EC Udgivet af Betonelement-Foreningen mar. 2009
Sag: Nr.:Emne: Init:
Resulterende lasttilfælde, lodrette lastandele N1 (kN) N0 (kN) N2 (kN)
Hovedtilfælde I - a : A: Min N1 + min N0 + min N2 6 27 9
B: Reduc N1 + min N0 + min N2 104 27 9
C: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 104 527 9
D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 104 527 63
E: Max N1 + min N0 + min N2 104 27 9
F: Max N1 + reduc N0 + min N2 104 527 9
G: Max N1 + reduc N0 + max N2 104 527 75
H: Max N1 + max N0 + min N2 104 555 9I : Max N1 + max N0 + max N2 104 555 75
Hovedtilfælde I - b : A: Min N1 + min N0 + min N2 9 27 6
B: Reduc N1 + min N0 + min N2 63 27 6
C: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 63 527 6
D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 63 527 104
E: Max N1 + min N0 + min N2 75 27 6
F: Max N1 + reduc N0 + min N2 75 527 6
G: Max N1 + reduc N0 + max N2 75 527 104
H: Max N1 + max N0 + min N2 75 555 6I : Max N1 + max N0 + max N2 75 555 104
Lastbredde B1 = 2,00 m Evt. tillæg til lodret last fra stabilitetsberegning
Lastnedføringsskema I hovedtilfældene er max n0 kombineret med reduc n0 reduc. max reduc. max
Lodrette laste fra lastnedføringsskema nv no nh og reduc n0 kombineret med max n0 i de tilfælde, hvor no no no no
(kN/m) (kN/m) (kN/m) n0 kommer fra vindlast - og omvendt ved masselast. (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m)
Største maksimalværdier 37,6 277,3 52,2 Normalkraft ved dimensionsgivende vandret last 0,0 0,0 0,0 0,0Største reduc. værdier 31,6 263,4 52,2 Normalkraft ved samme lodrette last, men uden vandret last 0,0 0,0 0,0 0,0Mindste minimalværdier 4,3 13,5 3,2 Resulterende tillæg til lodret last 0,0 0,0 0,0 0,0
Tværlaste i hovedtilfælde I - a I - b Vejledning:
Fladelaste på væg: (kN/m2) (kN/m2) Inddata vedrørende lodret last kan overføres fra modulet "lodret lastnedføring". Ved undersøgelse af ende-
Maksimal tværlast 0,40 0,40 sektioner i stabiliserende vægge kan tillægget til de lodrette laste hentes fra modulet "stabilitet". På den sikre
Reduc. tværlast 0,20 0,20 side kan herfra benyttes max-værdierne også i kolonnerne "reduc." Hvis det vælges at bruge værdier svarende
Resulterende tværlaste på vægside: (kN/m) (kN/m) reduc. vind på bygningen ved undersøgelse af en væg, skal forholdene ved masselast også kontrolleresMaksimal tværlast, wmax 0,80 0,80 Under resulterende lasttilfælde svarer hovedtilfælde I - a og I - b til udknækning ud af væggens plan. For hvert Reduc. tværlast, wreduc 0,40 0,40 hovedtilfælde skal lasttilfælde A, B, C og D kombineres med maksimal tværlast. Lasttilfælde E, F, G, H og I skal
NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker kombineres med reduc. tværlast.
fra masselast
23 - 4545JFJ
BetonelementhusetVæg B/6-7, kld.-3. sal (STR 6.10b)
Modul B / 5-12
fra vindlast
N1N2
No
N2N1
No
w
w
dækfelt v dækfelt h
nv + n0 + nh
B1
nv + n0 + nh
Typisk endesektion i stabiliserende væg
Typisk vægsektion med vinduesåbninger etc.
B1 = b
n0
b b
b er den effektive vægbredde anvendt i vægberegningen
dækfelt v
dækfelt v
dækfelt h
dækfelt h
Figur 3-33: Lastspecifikation for væg i linje B modul 5-7, kælder til 3. sal
(STR 6.10b)
4 hoVEdSTABIlITET
4 HOVEDSTABILITET
4.1 Generelt
4.2 Vandretlastfordeling
4.2.1 Eksempel-Halefterkassesystemet
4.2.2 Eksempel-Halefterskeletsystemet
4.2.3 Eksempel-Tværvægsbyggeri
4.3 Opstillingafgeneraliseretmodel
4.3.1 Eksempel-Kombinationsbygning
4.4 Beregningsprogrammer
4 | Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
4.1 Generelt
Enhver bygning skal være stabil over for alle forekommende kombinationer af
lodrette og vandrette belastninger.
For hver aktuel lastkombination eftervises bygningens stabilitet ved at eftervise,
at følgende tre betingelser alle er opfyldte:
1. Hver enkelt bygningsdel er i stabil ligevægt.
2. Hver enkelt bygningsdel kan modstå de påførte kræfter.
3. Samlingerne mellem de enkelte bygningsdele kan overføre de fornødne kræf-ter fra bygningsdel til bygningsdel.
For de lodrette belastninger svarer punkt 1 blot til den sædvanlige lastnedføring
gennem bygningen. Dette fører for hver bygningsdel til et antal laster, som byg-
ningsdelen skal undersøges for i forskellige kombinationer.
Figur 4-1: Lodret snit Figur 4-2: Dækplan
74
Vindtryk
Wtryk
Wtryk
W W
Wtryk
Wsug
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet | 4
Nogle af bygningsdelene vil endvidere være aktive ved optagelse af vandrette
belastninger på bygninger, eksempelvis således:
a: Facadeelementerne optager vindlasten ved pladevirkning, idet de fører vind-
lasten videre til etagedækkene. Samtidig optager facadeelementerne lodret
last.
b: Etagedækkene fører ved skivevirkning vindlasten videre til stabiliserende
skivevægge. Samtidig optager etagedækkene lodret last.
c: De stabiliserende skivevægge fører ved skivevirkning kombinationen af vind-
lastresultanterne og samtidigt virkende lodret last ned til fundament.
Redegørelsen for optagelse af vandrette belastninger fører således til et ekstra
sæt lastkombinationer, som de pågældende bygningsdele skal undersøges for,
på linje med lastkombinationerne for lodret last alene.
Figur 4-3: Vægopstalt
Figur 4-4: Principdiagram for
statisk beregning
W1
WNRES
W2
W3
Hovedstabilitet
Bygningsdels-
statik
Detailstatik
- etagekryds
- dækskiver - fuger
- vægskiver - beslag
- dækelementer - element-
detaljer - bjælker
- søjler
- facadeelementer
- fundamenter
75
4 | Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Principielt rummer hovedstabiliteten således hele den statiske beregning. En
sikker gennemførelse af den statiske beregning vil imidlertid sædvanligvis kræ-
ve, at den udarbejdes i en overskuelig struktur. Eksempelvis som illustreret i det
følgende diagram hvor pilene repræsenterer videregivelse af belastninger.
Oplysningerne kan alternativt gå modsat de viste pile i form af oplysning om
modstandsevner.
I denne sammenhæng er emnet hovedstabilitet herefter begrænset til at omfat-
te en fastlæggelse af belastningerne på de forskellige bygningsdele.
4.2 Vandret lastfordeling
De vandrette belastninger på bygningen er som regel enten vindlast eller mas-
selast og eventuelt jordtryk på kældervægge.
Foruden den farligste vindlast virkende direkte på de enkelte bygningsdele, er
det også nødvendigt at bestemme vindlastens resultanter på bygningen for at
kunne vurdere bygningens overordnede stabilitet. Ved denne beregning ses bort
fra indvendige vindtryk, da disse ikke giver nogen resulterende vandret belast-
ning på bygningen. Vindlastens resultanter angives normalt som linjelaster på
dækskiverne svarende til forskellige vindretninger, idet vandret last på tagop-
bygning føres til tagdæk og vandret last på hver etages facader fordeles ligeligt
til de omgivende dæk.
76
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet | 4
Den overordnede stabilitet skal også vurderes for seismisk last. Det seismiske
dimensioneringstilfælde håndteres ved at vurdere konstruktionerne for vandret
masselast. Den vandrette masselast er en ulykkeslast, der både dækker virk-
ninger af skævheder i opførelsen samt mindre jordrystelser. Lastens størrelse
beregnes normalt i Danmark som 1,5% af de regningsmæssige lodrette belast-
ninger, hvor det er tilladt at se bort fra snelast og reducere nyttelastens bidrag,
da der ikke regnes med fuld nyttelast på alle etager samtidig.
Ligesom vindlastens resultanter angives den vandrette masselasts resultanter
sædvanligvis som linjelaster på dækskiverne. Masselasten varierer meget fra
byggeri til byggeri, men normalt vil en overslagsmæssig beregning med følgen-
de regningsmæssige værdier af bidraget til den vandrette masselast pr. m2 eta-
geareal være dækkende:
– Tagdæk: Ad = 0,15 kN/m2
– Etagedæk, boliger Ad = 0,15 kN/m2
– Etagedæk, kontor Ad = 0,15 kN/m2
– Etagedæk, tungt erhverv Ad = 0,20 kN/m2
Figur 4-5: Linielaster på dækskiver
1
2
3
W1
W2
W3
77
4 | Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
I de fleste tilfælde vil disse værdier kunne reduceres en del ved en nøjere efter-
regning af den aktuelle bygning.
Den vandrette masselast regnes at kunne virke i enhver retning, idet resultan-
ten på de forskellige dækskiver alle virker i samme retning på samme tid.
I bygninger med kælder forekommer der vandrette laster udover vindlast og
masselast. De udvendige kældervægge påvirkes af jordtryk og eventuelt også af
vandtryk. For den overordnede stabilitet har dette specielt betydning, hvis der er
forskel i terrænniveauet mellem husets facader.
I så tilfælde vil dækket over kælderen blive påvirket af en resulterende vandret
last, svarende til forskellen i jordtryk på de to sider af bygningen.
Figur 4-6: Tværsnit i kælder med ensidigt jordtryk
Der eksisterer flere modeller til bestemmelse af reaktionernes fordeling; model-
ler, der sikrer, at reaktionerne holder dækskiven i ligevægt, og som samtidig
fordeler reaktionerne i forhold til de stabiliserende vægges forskellige stivheder.
For byggerier indtil 5-6 etagers højde med stabiliserende vægskiver er bestem-
melse af vægskivernes stivhed meget usikker, fordi bevægelse i fundament og
glidning i samlinger bidrager væsentligt til de samlede flytninger. Bestemmelse
af reaktionsfordelingen baseres derfor ofte på en skønsmæssig vurdering af de
enkelte vægskivers stivhed. Disse forhold betyder, at visse dele af konstruktio-
nen vil blive belastet til kapacitetsgrænsen før andre, når lasten vokser op. Hvis
konstruktionen disse steder var af sprød karakter, ville videre belastning her
78
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet | 4
føre til brud, før de sidste stabiliserende bygningsdele nåede den forudsatte
udnyttelse.
Derfor er det altid nødvendigt med gennemgående sammenhængsarmering i
dækskiverne, ligesom samlingerne i det stabiliserende system bør udformes på
en måde, så sprødbrud undgås. Dette er da også en klar forudsætning for de
følgende eksemplers enkle metoder til bestemmelse af reaktions- fordelingen.
For analyse af byggerier, der ikke dækkes af de gennemgående eksempler, kan
henvises til: Skivebygningers statik, 1985, forelæsningsnotat nr. 68 fra Institut-
tet for Husbygning, DTH.
Ved analyse af den overordnede stabilitet kan der spares en del regnearbejde,
hvis man tidligt kan vurdere om det er vindlast eller masselast, der er dimensio-
neringsgivende. Det skyldes, at man så ikke skal lave detailberegninger for både
vindlast og vandret masselast.
0,9G l
x
xl
· ·f FI kK w
Vindlast
(EQU/STR)
l
dv
Vandret masselast
(Ulykkeslast)
2(1,0· 1,0· · )G N l
Figur 4-7: Last på vægge
79
4 | Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Under forudsætning af at egenlasten sikrer stabiliteten, kan der for glidning og
moment opstilles efterfølgende forsimplede udtryk, hvor man med sikkerhed kan
sige, at vindlast er dimensioneringsgivende. Udtrykket er opstillet ud fra figur 4-
7.
2
· ·· · 0,9·
0,9· 1,0· 1,0· · 1,0·f FI k d d
Q FI k d
K w v vK w v
G G N G
hvor
Q er partialkoefficienten på vindlast
FIK er en koefficient, der afhænger af konsekvensklassen
kw er den karakteristiske værdi af vindlastens resultant på dækskiven
dv er den vandrette masselast på dækskiven målt udjævnet pr. løbende meter af dækskiven
Der kan opstilles en lignende øvre grænse for, hvornår masselasten er dimensi-
oneringsgivende. Det sker ved at antage, at den karakteristiske nyttelast aldrig
overstiger 1,8 gange egenvægten.
2
· ·
0,9· 1,0· 1,0· · 1,0· 1,0·0,7·1,8·
· · 0, 4· ; 1,8·
Q FI k d d
Q FI k d
K w v v
G G N G G
K w v N G
Herved kan nedenstående udtryk benyttes som sikre grænser, der beskriver,
hvornår hhv. vindlast eller vandret masselast er dimensioneringsgivende.
· · 0, 4·Q FI k dK w v Masselast er dimensioneringsgivende
· · 0,9·Q FI k dK w v Vindlast er dimensioneringsgivende
80
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet | 4
Denne grænses kan beregnes mere præcist i tilfælde, hvor nyttelasten kendes
bedre. F.eks. for en kontor- eller boligblok gælder:
· · 0,5· ; 1, 2· & Nyttelast i kategori A eller BQ FI k dK w v N G
Når det er det indre arbejde i væggen, der er dimensioneringsgivende, vil græn-
sen afhænge af partialkoefficienten. Der kan indgå forskellige partialkoefficien-
ter, men for at opstille grænsen for hvornår masselast er dimensioneringsgiven-
de, skal den største partielkoefficient benyttes. Den største værdi er 1,45, idet
det antages, at væggen altid er minimumsarmeret og ikke regnes i lempet kon-
trolklasse.
· · 1· · 0,7·Q FI k
Q FI k dd c
K wK w v
v
Tilsvarende kan opstilles for vindlasten
· · 1· · 0,9·Q FI k
Q FI k dd s
K wK w v
v
Ovenstående betyder i praksis, at for kontorbygninger og boligbyggeri bliver
vindlast normalt dimensioneringsgivende for tværstabilitet, hvis bredden er min-
dre end 20m. For stabilitet i bygningens længderetning vil masselasten ofte væ-
re dimensioneringsgivende.
Når dækskivernes farligste vandrette lastresultanter er bestemt i de forskellige
retninger, er næste opgave at bestemme de tilhørende vandrette reaktioner på
dækskiven ved de stabiliserende vægge eller søjler.
81
4 | Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
4.2.1 Eksempel - Hal efter kassesystemet
x
y
H
B = 19,2 m
L = 33,6 m
Figur 4-8: Isometri
Bygningen forudsættes beliggende i et område med nogen bebyggelse, så ha-
stighedstrykket findes af EC1 svarende til terrænklasse II og med z = 7,5 m:
0,66 / ²wq kN m
Facader og gavle er over for vindlast simpelt understøttet ved terræn og tag-
dæk. Ses bort fra tangentiel vindlast på facaden og regnes med ct = 0,04 for
tangentiel vindlast på taget, bliver den karakteristiske vindlastresultant på
dækskiven for vind på langs ad bygningen:
2
1 2
2
0,5·( )· · ·
0,5·7,5·(0,7 0,3)·0,66 33,6·0,04·0,66
6,5
2,86 0,89 3,74 /
x w t wi
Hw c c q L c q
H
kN m
82
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet | 4
For vind på tværs af bygning er formfaktoren for tangentiel vindlast på taget
ct = 0,04, så den karakteristiske værdi af vindlastresultanten på tværs af byg-
ningen bliver
For vind på tværs af bygning er formfaktoren for tangentiel vindlast på taget
ct = 0,04, så den karakteristiske værdi af vindlastresultanten på tværs af byg-
ningen bliver
2
1 2
2
0,5·( )· · ·
0,5·7,5·(0,7 0,3)·0,66 19, 2·0,04·0,66
6,5
2,86 0,51 3,36 /
x w t wi
Hw c c q L c q
H
kN m
For den vandrette masselast på tagdækskiven kan regnes med en regnings-
mæssig værdi af størrelsen
0,15 / ²dA kN m
Regningsmæssig vandret lastresultant på tagdækskiven:
1. På langs ad bygning:
,
,
· · 1,5·1,0·3,74 5,61 /
· 33,6·0,15 5,04 /x d Q FI k
x d d
w K w kN m
v L A kN m
· · 0,9·Q FI k dK w v Vindlast er dimensioneringsgivende
Figur 4-9: Tværsnit i hal
c1 = 0,7 c2 = 0,3
H =
7,5
m
Hi =
6,5m
Figur 4-10: Længde-
snit i tag med ovenlys
83
4 | Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
2. På tværs af bygning:
,
,
· · 1,5·1,0·3,36 5,04 /
· 19,2·0,15 2,88 /y d Q FI k
y d d
w K w kN m
v B A kN m
· · 0,9·Q FI k dK w v Vindlast er dimensioneringsgivende
For vind på langs ad bygningen regnes tagdækskiven simpelt understøttet af de
langsgående facader.
Reaktionen på hver facade bliver
, ,0,5· · 0,5·19,2·5,61 53,9x d x dR B w kN
som fordeles videre til facadeelementerne.
Rx,d
Rx,d
Wx,d
Figur 4-11: Dækskive
84
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet | 4
b = 2,4 m
Hi H
Vy
Figur 4-12:
Tilsvarende fås for vind på tværs:
, ,0,5· · 0,5·33,6·5,04 84,7y d y dR B w kN
som i dette tilfælde kan fordeles jævnt over gavlelementerne i hver gavl. For det
enkelte gavlelement fås
, ,
2, 4· ·84,7 10,6 /
19,2y d y d
bV R kN element
B
Herefter skal styrken af væg- og tagskive samt samlingerne mellem skiverne og
stabilitet som væg eftervises.
Bemærk at der ved den overordnede stabilitetsberegning er set bort fra eventu-
elt sug/tryk på inderside af facadernes opkanter over tag.
85
4 | Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Lokale vindkræfter
Det indvendige sug eller overtryk har betydning for vindbelastningen på de en-
kelte dele af facaderne og taget. Den karakteristiske fladelast på de enkelte
bygningsdele bestemmes ved
( )·k i yw c c q w
N m
N m
N m
hvor ci og cy er formfaktoren for vindlast på henholdsvis inder- og yderside af
bygningsdelen.
Største opadrettede vindlast på taget svarer til indvendigt overtryk, ci = 0,2
sammen med udvendigt sug, cy = 1,4:
(0,2 2,0)·0,66 1,06 / ²kw k
Største udadrettede vindlast på facader svarer til indvendigt overtryk, ci = 0,2
sammen med udvendigt sug, cy = 0,7:
(0,2 0,7)·0,66 0,46 / ²kw k
Største indadrettede vindlast på facader svarer til indvendigt undertryk, ci = 0,3
sammen med udvendigt tryk, cy = 0,9:
(0,3 1,2)·0,66 0,99 / ²kw k
Disse fladelaster indgår i de forskellige lastkombinationer, der skal undersøges
for hver enkelt bygningsdel.
Eksempel slut
86
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet | 4
4.2.2 Eksempel - Hal efter skeletsystemet
Bygningen forudsættes beliggende nær en fjord, så hastighedstrykket findes af
EC1 svarende til terrænklasse I og med z = 8,0 m:
0,81 / ²wq kN m
Facader og gavlpartier er over for vindlast understøttet ved fundament og tag.
Alle søjler regnes indspændt i fundament og i toppen forbundet til et uendeligt
stift tagdæk.
c1 = 0,7 c2 = 0,3
H =
8,0
m
Hi =
6,8
m
Der ses bort fra tangentiel vindlast på facaden og regnes med ct = 0,02 for tan-
gentiel vindlast på taget. Herved bliver den karakteristiske vindlastresultant på
dækskiven for vind på langs ad bygningen:
2
1 2
2
0,5·( )· · ·
0,5·8,0·(0,7 0,3)·0,82 48,0·0,02·0,81
6,8
3,81 0,78 4,59 /
x w t wi
Hw c c q L c q
H
kN m
Figur 4-13: Tværsnit i hal
87
4 | Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
og for vind på tværs:
2
1 2
2
0,5·( )· · ·
0,5·8,0·(0,7 0,3)·0,82 28,8·0,02·0,81
6,8
3,81 0,47 4,28 /
y w t wi
Hw c c q L c q
H
kN m
For den vandrette masselast på tagdækskiven kan anvendes en regningsmæssig
værdi af størrelsen
0,15 / ²dA kN m
Regningsmæssig vandret lastresultant på tagdækskiven:
1. På langs ad bygning:
,
,
· · 1,5·1,0·4,59 6,88 /
· 48·0,15 7,20 /x d Q FI k
x d d
w K w kN m
v L A kN m
· · 0,9·Q FI k dK w v Vindlast er dimensioneringsgivende
2. På tværs af bygning:
,
,
· · 1,5·1,0·4,28 6,42 /
· 28,8·0,15 4,32 /y d Q FI k
y d d
w K w kN m
v B A kN m
· · 0,9·Q FI k dK w v Vindlast er dimensioneringsgivende
88
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet | 4
Figur 4-14: Isometri af bærende system
Den vandrette lastresultant fordeles af dækskiven til søjletoppene i forhold til
søjlernes stivhed. I eksemplet regnes søjlerne i de to facadelinjer at være ens
med stivhederne og for udbøjning henholdsvis på langs og
på tværs af bygningen. Søjlerne i midterlinjen regnes at have de tilsvarende
stivheder og . For den aktuelle bygning forudsæt-
tes
2( / )LEI l
2( / )L LEI l
2( / )BEI l
2( /B EI l ) B
1,8L B
Med n = 5 søjler i hver linje på langs af bygningen fås følgende reaktion på
dækskiven ved hver søjletop for vind på langs ad bygningen:
y
x
L = 48 m
B = 28,8 m
Facadesøjle:
, 2
,,
2 2 2
·· 28,8·6,88
10, 4· 2 5 2 1,8
·
x dx dL
x dL
LL L L
EIB w
B wlR kN
nEI EI EIn
l l l
89
4 | Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Midtersøjle:
, 2
,,
2 2 2
· ·· · 28,8·6,88·1,8
18,8· 2 5 2 1,8
·
x d Lx d LL
x dL
LL L L
EIB w
B wlR kN
nEI EI EIn
l l l
Tilsvarende fås for vandret last på tværs af bygningen:
Facadesøjle:
,
,
· 48,0·6,4216,2
· 2 5 2 1,8y d
y dB
L wR kN
n
Midtersøjle:
,
,
· · 48,0·6,42·1,829,2
· 2 5 2 1,8y d L
y dL
L wR kN
n
Ud over de anførte vandrette laster fra vind og masselast skal søjlerne beregnes
for vandrette bremsekræfter fra eventuelle kraner.
Eksempel slut
Figur 4-16: Opstalt af søjler
Figur 4-15: Skivelastens overføring
til søjlerække
W
Rd
Hi
90
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet | 4
4.2.3 Eksempel - Tværvægsbyggeri
Bygningen forudsættes beliggende i bymæssig bebyggelse, så hastighedstrykket
findes af EC1 svarende til terrænklasse III og med z = 16,0 m:
0,62 / ²wq kN m
Der regnes med tangentiel vindlast svarende til ct = 0,04 på facader og gavle.
Den karakteristiske værdi af den totale vindlastresultant på dækskive mellem
etagerne bliver derved for vind på langs ad bygning:
H = 16.0 m
L = 50,4 m
B=9,6m
Figur 4-17: Isometri
c1 = 0,8 c2 = 0,5
Figur 4-18: Tværsnit i nederste etage
91
he =
2,8
m
4 | Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
1 2· ·( )· 2· · · ·
9,6·2,8·(0,8 0,5)·0,62 2·50, 4·2,8·0,04·6, 2
21,67 3,50 25,17
x e w e t ww B h c c q L h c q
kN kN kN
For vind på tværs af bygning føres den tangentielle vindlast på gavlene direkte
til fundament af gavlskiverne. Den karakteristiske vindlastresultant på en
dækskive mellem etagerne er dermed for vind på tværs af bygning:
1 2·( )·
2,8·(0,7 0,3)·0,62
1,74 /
y e ww h c c q
kN m
For den vandrette masselast på hver af dækskiverne mellem etagerne regnes
svarende til bolig med en regningsmæssig værdi af størrelsen
0,15 / ²dA kN m
For hver dækskive mellem etagerne fås dermed følgende regningsmæssige
vandrette laster:
1. På langs ad bygning:
,
,
· · 1,5·1,0·25,17 37,75 /
· 9,6·50,4·0,15 72,58 /x d Q FI k
x d d
w K w kN m
v L A kN m
Idet nyttelasten er mindre end 1,4 gange egenvægten, og nyttelasten hen-
føres til lastkategori A, ses det, at masselasten er dimensioneringsgivende,
idet:
· · 0,7·Q FI k dK w v
2. På tværs af bygning:
,
,
· · 1,5·1,0·1,74 2,60 /
· 9,6·0,15 1,44 /y d Q FI k
y d d
w K w kN m
v B A kN m
· · 0,9·Q FI k dK w v Vindlast er dimensioneringsgivende
92
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet | 4
Figur 4-19: Tagets kontur
En tilsvarende bestemmelse af lastresultaterne på dækskiven under taget af-
hænger af tagets udformning.
1. På langs ad bygningen er masselasten i det viste eksempel afgørende, så der
kan regnes med
, ,' 1,0·x d xW W d
2. På tværs af bygningen er vindlasten afgørende:
1 20,5· 0,5· ·tan ·( )·
0,5·1,74 0,5·9,6·1,0·(0,7 0,3)·0,62
3,84 /
y y ww w B c c q
kN m
idet tagets højde er 0,5 tanB
, · · 1,5·1,0·3,84 5,77 /y d f FI yw K w kN m
c'1 = 0,7 c'2 = 0,3
a = 45°
For last på langs ad bygningen fordeler dækskiven lastresultanten ligeligt til de
n = 3 stabiliserende længdevægge ved trapperummene.
93
4 | Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Fordelingen kan anvendes, selv om længdevæggen ikke står i lastresultantens
angrebslinje, idet excentricitetsmomentet på dækskiven blot optages via reakti-
oner ved tværvæggene.
Reaktionen på hver dækskive mellem etagerne bliver ved hver af de stabilise-
rende længdevægge
,,
72,624, 2
3x d
x d
vR kN
n
De vandrette kræfter på en stabiliserende længdevæg kan dermed optegnes
som vist på vægopstalten, hvor faktoren kx betegner forholdet mellem den
vandrette last på tagdæk skiven og den vandrette last på de øvrige dækskiver.
Aktuelt er regnet med kx = 1,0 jævnfør det for W´xd angivne.
Figur 4-20: Plan Stabiliserende længdevæg
Wx,d
7,2 2,4 7,2 7,2 2,4
For vandret last på tværs af bygningen kan dækskiven regnes at føre lasten ind
til tværvæggene svarende til en simpel fordeling efter afstandene mellem tvær-
væggene. For en indvendig tværvæg nr i, der ligger med afstandene li-1 = 7,2 m
og li = 2,4 m til de to nabotværvægge bliver
, 1 ,0,5·( )·
0,5·(7, 2 2, 4)·2,60 12,5
iy d i i y dR l l w
kN
94
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet | 4
De vandrette kræfter på den enkelte tværvæg bliver som vist på opstalten, idet
,
,
5,772,21
2,60y d
yy d
wk
w
Herefter skal de enkelte vægskivers styrke og stabilitet eftervises, jfr. afsnit 5.2.
,
,
,
,
· 24
24,4
24,4
24,4
x x d
x d
x d
x d
k R , 4kN
R kN
R kN
R kN
Figur 4-21: Vægopstalt, længdevæg
Figur 4-22: Vægopstalt, tværvæg
Eksempel slut
95
,
,
,
,
· 27,7
12,5
12,5
12,5
x x d
x d
x d
x d
k R kN
R kN
R kN
R kN
he
he
he
he
4 | Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
4.3 Opstilling af generaliseret model
Dækskiven betragtes nu med systemet af stabiliserende vægge indtegnet:
Figur 4-23: Plan af dækskive
Dækskiven forudsættes at være uendelig stiv. Dækskivens bevægelse vil være
sammensat af en vandret translation, , og en drejning, , om systemets vrid-
ningscentrum.
De stabiliserende vægges deformation forudsættes at vokse proportionalt med
den vandrette last.
Figur 4-24: Opstalt, stabiliserende væg
96
W
Dækskive
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet | 4
Dækskiven med systemet af stabiliserende vægge beskrives i et sædvanligt
(x,y) koordinatsystem.
Dækskivens reaktion ved vægge parallelt med x-aksen betegnes Rxi, og den
enkelte af disse vægges stivhed betegnes i D, hvor D er en fælles reference-
værdi. Værdien i bliver således den enkelte vægs relative stivhed.
Tilsvarende for vægge parallelt med y-aksen betegnes dækskivens reaktion Ryj,
og de tilsvarende stivheder betegnes j D
De relative stivheder, i og j , kan i mange tilfælde fastlægges ved et rent
skøn, blot dette skøn afspejler størrelsesordenen af den enkelte vægs stivhed.
Det afgørende er at nå frem til en reaktionsfordeling, der er i ligevægt med de
ydre kræfter.
X
Rx,i
yi
y0
x0
xi
X
y
Ry,j
Figur 4-25: Beskrivelse i (x,y) koordinatsystem
97
4 | Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
For den vandrette resultant xW af kræfterne på dækskiven i x-aksens retning
angribende i systemets vridningscentrum bliver dækskivens bevægelse en ren
translation, , i x-aksens retning. De tilhørende reaktioner bliver
( ) · ·xi x iR W D
Den samlede reaktion er
1 1
1
· · · · ·n n
xx i i n
i ii
i
WW D D D
hvilket indsat i udtrykket for Rxi(Wx) giver
1
( ) ixi x n
ii
xR W W
Betingelsen for at resultanten Wx angribende i afstanden yo fra x-aksen netop
angriber i systemets vridningscentrum er, at det resulterende moment af kræf-
terne Rxi om et punkt med y-koordinaten yo er nul. Denne betingelse kan skri-
ves:
0 01 1
1
0 01 1 1
10
1
·( ) 0 ·( ) 0
·( ) 0 · 0
·
n ni
xi i ini i
ii
n n n
i i i i ii i i
n
i ii
n
ii
R y y y y
y y y y
yy
98 4.3-1
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet | 4
Tilsvarende fås for kræfter i y-aksens retning:
10
1 1
·
( )
m
j jj j
yi y ym n
j jj j
x
R W W x
4.3-2
En vilkårlig vandret resultant på dækskiven kan ækvivaleres med en resultant
gennem systemets vridningscentrum plus et moment, wM , om dette vridnings-
centrum. For et rent moment, wM , på systemet bliver dækskivens bevægelse
en ren drejning, , om systemets vridningscentrum. Reaktionen ved de enkelte
vægge bliver da:
0
0
( ) ( )· ·
( ) ( )· ·xi w i i
yj w i j
R M y y D
R M x x D
Disse reaktioners resulterende moment om vridningscentret kan skrives således:
0 01
0 01
2 20 0
1 1
·( )· · ·( )
·( )· · ·( )
· ( ) (
n
w i i ii
n
j j jj
n m
w i i j ji j
M y y D y y
x x D x x
M D y y x x
)
Indføres systemets relative vridningsstivhed ved
20
1 1
( ) ( )n m
w i i j ji j
20I y y x x
4.3-3
kan det resulterende vridningsmoment skrives
99
4 | Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
· · · ww w
w
MM D I D
I
Indføres dette i udtrykkene for reaktionerne ved de enkelte vægge bliver:
0
0
( ) ( )·
( ) ( )·
wxi w i
w
wyi w j j
w
MR M y y
I
MR M x x
I
i
Endelig summeres bidragene fra translation og vridning, så reaktionerne på de
enkelte vægge i alt bliver:
0
1
0
1
( )·
( )·
i Wxi x in
Wi
i
j Wyi y j jm
Wj
j
MR W y y
I
MR W x x
I
i
4.3-4
4.3-5
Vridningsmomentet, Mw, bestemmes for en vilkårlig vandret lastresultant W som
·wM W z
hvor z er den vandrette lastresultants momentarm om vridningscentret (xo,yo).
Figur 4-26: Vandrette lastresultanter på dækskive
100
zy
Wx
(x0, y0)
zx Wy
(x0, y0)
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet | 4
For bygninger indtil 5-6 etagers højde vil væggenes reelle stivhed kunne anta-
ges at være proportional med deres respektive modstandsevner. For sådanne
bygninger kan den relative stivhed for en stabiliserende væg anslås som den
mindste af værdierne 1 , 2 og 3 i henhold til det viste skema.
For 1 og 2 betragtes det mest kritiske element i væggen, idet ho regnes op
til tagdæk fra underside af det pågældende element.
0a 1 2 3
1,0
1,5
2,0
2,0
2
0 2
la
h
2 21 2
20 / 30
h h
h
2 2
1 220 / 30
l l
h
Ikke–bærende væg
Bærende væg
h0h
h1
h2
1 2
Skemaets angivelser er kun skønsmæssige, og størrelserne er valgt for at undgå helt urime-
lige reaktionsfordelinger. I visse tilfælde vil det være formålstjentligt at vælge andre parame-
terværdier
Figur 4-27: Skønnede værdier for relative stivheder
101
4 | Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
4.3.1 Eksempel - Kombinationsbygning
Kombinationsbyggerier er gerne kendetegnet ved forholdsvis få stabiliserende
vægge, der koncentrerer sig omkring trappetårne og andre skakte. I dette ek-
sempel præsenteres anvendelsen af den generaliserede model til bestemmelse
af lastfordelingen på de stabiliserende vægge.
Bygningen forudsættes beliggende i et kvarter med spredt erhvervsmæssig be-
byggelse, så hastighedstrykket findes af EC1 svarende til terrænklasse II og
med z = 14,6 m:
0,82 / ²wq kN m
B = 11,6 m
L = 36 m
H =
14,
6 m
x
y
Figur 4-28: Isometri
102
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet | 4
Der regnes med tangentiel vindlast svarende til ct = 0,02 på facader og gavle.
Den karakteristiske værdi af den totale vindlastresultant på en dækskive mellem
etagerne bliver dermed for vind på langs ad bygningen:
1 2· ·( )· 2· · · ·
11,6·3, 4·(0,8 0,5)·0,81 2·38,0·3, 4·0,02·0,81
41,5 4, 2 45,7
x e w e t wW B h c c q L h c q
kN
Tilsvarende for vind på tværs:
1 2· ·( )· 2· · · ·
38·3, 4·(0,8 0,5)·0,81 2·11,6·3, 4·0,02·0,81
136,0 1,3 137,3
x e w e t wW L h c c q B h c q
kN
Figur 4-29: Tværsnit i bygning
c1 = 0,8 c2 = 0,5
h' = 1,0 m
he = 3,4 m
he = 3,4 m
he = 3,4 m
he = 3,4 m
103
4 | Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Det skal bemærkes, at bidraget fra tangentiel vindlast er relativ beskedent.
For den vandrette masselast på hver af dækskiverne mellem etagerne regnes
svarende til tungt erhverv med en regningsmæssig værdi af størrelsen
0,20 / ²dA kN m
Den regningsmæssige totale vandrette lastresultant på hver dækskive mellem
etagerne bliver da:
1. På langs ad bygning:
,
,
· · 1,5·1,0·45,7 68,57 /
· 11,6·36,0·0,20 83,52 /x d Q FI k
x d d
w K w kN m
v L A kN m
Det kan ikke umiddelbart vurderes hvilken af de to tilfælde, der er dimensi-
oneringsgivende, men for at forsimple eksemplet udføres beregningerne
kun for masselast.
2. På tværs af bygning:
,
,
· · 1,5·1,0·137,3 206,0
· 0,9·11,6·36,0·0,20 83,5y d Q FI k
y d d
w K w kN
v B A kN
· · 0,9· ·Q FI k FI dK w K v Vindlast er dimensioneringsgivende
En tilsvarende bestemmelse af lastresultanterne på dækskiven under taget af-
hænger af tagets udformning:
1. På langs ad bygning udføres en gennemregning for masselasten, og idet tag-
etagen regnes udnyttet svarende til taglast med Ad = 0,15 kN/m2 fås
, ,
0,150,75·
0,20 ,x d x dv v x dv
104
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet | 4
2. På tværs af bygningen er vindlasten afgørende, så her fås
dækskive under tag:
2 2,
, ,
0,5·( ) 0,5·(34 1,0)0,84·
3,4·3,4y de
y d y d x de e
wh hw w
h h
,w
næstøverste dækskive:
2 2,*
, ,
0,5·( ) 0,5·(1,0)1 1 0
3,4·3,4y d
y d y d x de e
whw w
h h
,,96·w
De her anførte lastresultanter vil for den skitserede bygning angribe i bygnin-
gens midterakser. Ved mere uregelmæssige bygninger eller ved store bygnin-
ger, der kræves undersøgt for vridning, vil de vandrette lastresultanter kunne
angribe langs andre linjer.
Med eksemplets regulære form på bygningen er det naturligt at indlægge (x,y)-
systemet med akse i facade- og gavllinje. Som vist på planen regnes væggene
parallelt med x-aksen at være bærende, medens væggene parallelt med y-aksen
ikke er bærende.
y
x3y
4,0
3x
2y
2x
1y
4,0
3,6
31,2
18,0
W y
27,2
W x
5,8
4,8
9,6
2,4
3,6
1x
Figur 4-30: Plan af dækskive
105
4 | Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Først findes hver vægs relative stivhed og placering i (x,y)-systemet.
Væg nr. i yi
1x 0,140 4,8m2x 0,173 9,6m3x 0,173 2,4m
Væg nr. j xj
1y 0,187 0,0m2y 0,070 27,2m3y 0,047 31,2m
idet de stabiliserende vægges højde er 13,6 m og de alle regnes massive.
0 0
0, 486 , 0,304
2,75 , 3,36
5,65 , 11,08
64,8 ² ,
i j
i i j j
w
y m x m
y m x
I m
m
kNm
kNm
For vandret last på langs ad bygningen fås for normaletager:
, 83,52 83,5·(5,8 5,65) 12,19x d wW kN M
For vandret last på tværs af bygningen fås for normaletager:
, 206,0 206·(18 11,08) 1426y d wW kN M
Reaktionen på de stabiliserende vægge fra hvert etagedæk findes nu af formler-
ne 4.3-4 og 4.3-5.
for forWx,d Wy,d
1x 24,1 kN 2,6 kN2x 29,9 kN -15,1 kN3x 29,6 kN 12,4 kN
Væg nr.Rxi
for forWx,d Wy,d
1y 0,4 kN 81,1 kN2y -0,2 kN 72,4 kN3y -0,2 kN 52,4 kN
Væg nr.Ryi
106
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet | 4
Da både Wxd og Wyd kan skifte fortegn, findes farligste reaktion af skemaet som
den numerisk største reaktion for hver væg.
For masselast reduceres reaktionerne fra tagdækket med faktoren 0,75 mens
reaktionerne fra vindlast, på de øverste etager, reduceres med faktorerne 0,84
og 0,96, jævnfør den første del af eksemplet.
Herefter består opgaven i stabilitets- og styrkeeftervisning for hver vægskive for
belastninger som anført nedenfor.
Hvis det nu viser sig, at væg ikke kan modstå de beregnede reaktioner, kan
det forsøges at omregne den vandrette last fordeling med en mindre værdi af
3y
j for denne væg. Dette har dog kun mening, hvis den første gennemregning
fører til at de øvrige vægge ikke udnyttes fuldt ud. I det aktuelle eksempel spe-
cielt væg . 2y
18,0kN 67,9kN
24,1kN 77,6kN
24,1kN 81,1kN
24,1kN 81,1kN
Væg nr. 1 Væg nr. 1x y
Figur 4-31: Vægopstalter
Eksempel slut
107
4 | Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
108
4.4 Beregningsprogrammer
Stabilitetsanalyser bliver ofte ret omfattende, og det er oplagt at anvende færdi-
ge beregningsprogrammer til brug herfor.
På www.bef.dk findes et beregningsmodul, der foretager vandret lastfordeling og
undersøgelse af vægskivernes stabilitet for bygninger i op til 6 etager. Neden-
stående udskrift viser beregningsmodulets brugerflade under en beregning af
samme bygning som gennemgået i foregående afsnit.
Som det ses af delresultaterne for væg 1, der svarer til det foregående eksem-
pels væg 1y, stemmer de resulterende vandrette reaktioner, V, på væggen fra
vindlasten overens med resultaterne yiR fra eksemplet.
Endvidere ses, at der med det valgte system af stabiliserende vægge er behov
for at forankre væggene til bygningens basis, og programmet gør opmærksom
på, at der for væg 1 og 3 skal ses nærmere på risikoen for glidning af det øver-
ste vægelement. Se nærmere om disse forhold i afsnit 5.2.
Væg dim. væghøjde rel. stivh. Etage Højde
x1 y1 x2 y2 t etager a0 Ankre h_etg y_Wx W_x x_Wy W_ynr. (m) (m) (m) (m) (m) (antal) til basis (m) (m) (KN) (m) (KN)1 0,00 0,00 0,00 4,80 0,24 4 1,5 1004 kN !
! Etage 4 NB: se væg ved mrk. !
6 0,00 0 0,00 02 27,20 4,00 27,20 7,60 0,24 4 1,0 734 kN 5 0,00 0 0,00 03 31,20 0,00 31,20 2,40 0,24 4 1,5 2567 kN 4 3,40 6,00 0 18,00 1724 0,00 4,80 3,60 4,80 0,24 4 2,0 3 3,40 6,00 0 18,00 1975 14,00 9,60 18,00 9,60 0,24 4 2,0 2 3,40 6,00 0 18,00 2066 31,20 2,40 35,20 2,40 0,24 4 2,0 1 3,40 6,00 0 18,00 2067
89
101112131415161718192021222324252627
Generelle parametre for vægge Væg 1 n_max = 1440 kN/m
Maks. normaltryk s_max 6,00 Mpa Etage r_1 r_2 p P1 P2 V T N n Egenvægtsfaktor _g 0,80 (m) (m) (kN/m) (kN) (kN) (kN) (kN) (kN) (kN/m)
6 0,00 0,00 0,0 0 0 0 0 0 0
5 0,00 0,00 0,0 0 0 0 0 0 0 Sag : 4 0,00 0,00 0,0 0 0 68 22 1440 Sag nr.: 20-101 3 0,00 0,00 0,0 0 0 78 166 316 1440 Init: JFJ 2 0,00 0,00 0,0 0 0 81 466 692 1440
1 0,0 0 0 81 1004 1305 1440
Betonelementhuset 97
Stabilitet af væg nr. 1
1. endepunkt 2. endepunkt Laste på dækskiver over etager
+ W_y7, Vind:
Nulstil vægge
Lasttilf:
Vis vægplan: Etage 4
Rediger væg Godkend væg
1
2
3
4
5
6
789101112131415161718192021222324252627
W
(0,0)
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
7, Vind: + W_y
Definer etagekonturer
Definer lasttilfælde
Udskriv beregningsresultater
Figur 4-32: Beregningsprogram
5 SKIVESTATIK
5 SKIVESTATIK
5.1 Dækskiver
5.1.1 Homogenhuldækskive
5.1.2 Huldækskiveberegnetvedstringermetoden
5.1.3 Eksempel–Regneeksempel
5.2 Vægskiver
5.2.1 Vægopstalter
5.2.2 Enkeltelementersskivestyrke
5.2.3 Eksempel–Vægbeståendeafflerevægelementer
5.3 Beregningsprogram
5 | Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
5.1 Dækskiver
Eftervisning af dækelementers evne til at overføre vandrette skivekræfter adskil-
les almindeligvis fra beregningen af dækelementerne for lodret last. For over-
skuelighedens skyld betragtes dækskiven i denne sammenhæng derfor som en
selvstændig bygningsdel.
Dækskivens fugearmering fastlægges ved beregningen for vind- og masselast.
Dog vil det for bygninger, der i henhold til sikkerhedsnormen kræves at kunne
modstå ulykkeslast, normalt være nødvendigt med yderligere fugearmering.
Desuden skal der altid sikres en minimum sammenhængsstyrke i dækskiven i
form af gennemgående armeringsforbindelser. Dette kan opnås ved, at der i alle
fuger etableres gennemgående trækforbindelser, så der både i tvær- og længde-
snit i den enkelte dækskive kan overføres en gennemsnitlig trækkraft på 15 kN
pr. løbende meter af tværsnittet for normal konsekvensklasse og 30 kN pr. lø-
bende meter af tværsnittet for høj konsekvensklasse.
I randfugerne skal der altid indlægges en gennemgående randstringer rundt
langs hele dækkets periferi. Denne randstringer bør normalt bestå af to arme-
ringsjern, hvert med en diameter på mindst 12 mm.
Ved alle stød i randstringeren bør fugearmeringen omsluttes af lukkede bøjler
svarende til det sædvanlige krav om tværarmering for stød. Stødlængden bør
mindst regnes som svarende til stød i samme snit, dvs. den normale foran-
kringslængde øget med 50%. Anvendes fugearmering med fyk = 550 MPa, og
regnes fck = 20 MPa for fugebeton, fås stødlængder som anført i skemaet.
Fugearmering Stødlængde Anbefalet tværarm. i randstringer
Y12 800 mm 5 bjl R5/stød
Y14 1000 mm 7 bjl R5/stød
Y16 1100 mm 9 bjl R5/stød
110
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik | 5
I længdefuger er det som regel tilstrækkeligt at anordne fugearmering ved ele-
mentender, idet elementernes hovedarmering kan fungere som trækforbindelse.
For at kunne regnes aktiv, skal fugearmeringen forankres effektivt ved elemen-
tende. Ved randfuger er det nødvendigt at støde en U-bøjle ind vinkelret på
randfugen, således at fugearmeringen i randfugen er omsluttet af U-bøjlen.
Figur 7.3.1/2 Armeringsføring ved længdefuge/randfuge
lan
Y12
la
Figur 7.3.1/1 Fugearmeringsp
U-bjl. Y10
2Y12
2Y12
Længdefuger
U-bjl. Y10
Tværfuge
2Y12
2Y12 Randfuger
10x1,2 m
Figur 5-1: Fugearmeringsplan
Figur 5-2: Armeringsføring ved længdefuge/randfuge
111
5 | Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
For at sikre en god forankring af fugearmeringen i dækelementernes forskyd-
ningszone under brand bør armeringen i længdefugerne mindst overholde føl-
gende krav:
a) Fugearmering skal altid mindst være Y12 i alle længdefuger, dog U-bøjler
Y10 i alle længdefuger ved dækrande
b) Fugearmeringen skal føres mindst la = 1,5 m ind i længdefugen på hver side
af tværfugen og ligge i et tilstræbt niveau omkring dækmidte.
c) De to vandrette ben i U-bøjlerne, der omslutter randstringeren, skal føres
mindst la = 1,5 m ind i længdefugen og ligge symmetrisk om et tilstræbt ni-
veau i dækmidte.
Placeringen af fugearmeringen – og dennes omstøbning – skal sikres under ud-
førelsen, eventuelt ved anvendelse af afstandsholdere.
Ved ribbedæk kan dækskivens sammenhæng opnås ved hjælp af et armeret
overbetonlag på dækelementerne, eller ved svejsesamlinger hvor svejseplader-
ne forankres med tværarmering i det enkelte element.
5.1.1 Homogen huldækskive
I grundtilfældet betragtes en dækskive med jævnt fordelt vandret last w.
Dækskiven forudsættes simpelt understøttet ved de to gavlvægge.
Figur 5-3: Dækskive
112
W
L
h
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik | 5
Dækelementerne regnes i dette tilfælde at spænde fra facade til facade.
Momentet ved skivemidte er
2
8
w LM
og regnes med en indre momentarm på z = 0,9 h skal randstringeren i facade-
fugen således kunne optage en træk kraft af størrelsen
2·
8·at c
w LN N
z
Den tilsvarende trykkraft i toppen af skiven skal kunne overføres som et jævnt
fordelt tryk vinkelret på dækelementerne, svarende til at Nc fordeles over en
trykzonehøjde y = 0,2 · h.
Figur 5-4: Snitkræfter i dækskive
Ved forskydningsundersøgelsen deles skiven op i et passende antal felter, og
hvert felt undersøges for sig.
113
0,9
h0,1
h0,
1 h
W CL
VI
Nc
Nat½ L
5 | Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Figur 5-5
I det viste eksempel deles hver halvdel af dækskiven op i to felter, I og II. Da en
væsentlig del af skivelasten, w, kan virke som et træk i læsiden, dimensioneres
hvert felts forskydningsarmering for den maksimale forskydningskraft, der op-
træder i feltet. Disse kræfter er for henholdsvis felt I og II:
,max ,max
· ·
2 4I I
w L w LV V I
Forskydningsarmeringen, der udgøres af fugearmeringen mellem dækelementer,
dimensioneres efter diagonaltrykmetoden, jfr. betonnormen, idet der anvendes
cot 1 . Med den indre momentarm z skal fugearmeringen i felt I dermed
kunne optage følgende trækkraft pr. længdeenhed i et snit parallelt med faca-
den:
,max ·
·cot 2·II
t
V w Ln
z z
Med dækelementbredden b giver dette et fugearmeringsareal pr. dækfuge på
· ·
2· ·It
yd
w L bA
z f
W CL
VI
14 L
14 L
Felt I Felt II
hvor fyd er fugearmeringens regningsmæssige flydespænding.
114
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik | 5
Eventuelt kan fugearmeringen koncentreres som 2 At i hver anden fuge. I de
fleste tilfælde er dækelementernes hovedarmering tilstrækkelig til også at kunne
fungere som skivens forskydningsarmering. Der skal så blot sørges for U-
bøjleforankringer ved fugeender og for stødjern over tværfuger. I felt II i det
viste eksempel kræves kun halvt så meget fugearmering som i felt I.
Også forskydningsoverførslen mellem to dækelementer skal undersøges. I det
viste eksempel er det i denne forbindelse igen VI, der er dimensionsgivende.
Uafhængigt af dækelementtypen må den dimensionerende forskydningskraft i
en dækfuge eller dæk-element ikke overstige 25 kN/m. Denne værdi opnås næ-
sten uden armering, når kohæsionsbidraget tages i regning. Det anbefales dog
altid, at støbeskellet armeres for en kraft på 5 kN/m. Armeringen af støbeskellet
på 5 kN/m må godt bruges til bøjning, brand og robusthed.
2· ·5 /s ydA f
kN mh
I flerskibsbygninger, hvor to dækelementender støder op til en tværfuge, skal
stringerarmeringen dimensioneres svarende til det samlede bidrag fra de to dæ-
kelementer.
Figur 5-6: Armering i tværfuge ved ét- og ved flerskibsbygninger
115
V
V
Asfyd
Asfyd
A1sfyd +
A2sfyd2
1
5 | Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Wg
Hårnålebøjlerved stød
(As + A's)fyd
(As + A's)fyd
2As f yd
h
Figur 5-7: Forhold ved gavl
Til den ovenfor beregnede værdi af As skal der ved gavle lægges et bidrag 'sA :
' ·
2·g
syd
h wA
f
hvor wg er resultanten på dækskiven for vindens sug på gavlen.
Armeringskraften (As + A´s) fyd skal være effektivt forankret ved gavlhjørner,
hvilket sædvanligvis sikres ved hjælp af en vinkelbøjle i gavlhjørnet.
Dækskiven bør normalt ikke designes med en smal breddevariant i dækket lig-
gende helt ud til en gavl eller tilsvarende. Dette skyldes, at det yderste dækele-
ment skal virke som en vandret bjælke. Bjælken skal dels optage normaltrykket
i fugen ind mod næste dækelement stammende fra forskydningsoverførslen
(Asfyd), dels eventuelt vindsug (A´sfyd). Se figur 5-7.
Uden for designet af selve dækskiven ligger en eftervisning af, at de vandrette
reaktioner kan overføres fra dækskive til vægskiver. Dette emne behandles i
afsnit 5.2.
116
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik | 5
5.1.2 Huldækskive beregnet ved stringermetoden
Skiver med mere kompleks geometri må opdeles i regulære felter, der hver for
sig kan designes ved hjælp af metoderne fra den homogene dækskive.
Her er stringermetoden i en udgave baseret på plasticitetsteorien et effektivt
hjælpemiddel. Ved denne metode inddeles skiven, eller en del af skiven, i en
række rektangulære felter med et net af stringere. Stringerne er idealiserede
træk-/trykstænger og de rektangulære felter mellem stringerne betragtes som
rene forskydningsmembraner.
Ofte er det kun en del af skiven, der undersøges ved hjælp af stringermetoden.
Eksempelvis, hvis den midterste del af skiven er homogen, kan skiven på mid-
terstrækningen designes for moment og forskydning på sædvanlig måde. Siden
designes så gavlsektionerne for sig, hvor der for eksempel kan være tale om
større skakthuller.
Figur 5-8: Dækskive med huller
I de sektioner, der skal undersøges ved hjælp af stringermetoden, vil det nor-
malt være en stor beregningsmæssig hjælp at regne med sektionens maksimale
forskydningskraft konstant over hele sektionen. Dette vil ikke føre til væsentligt
merforbrug af fugearmering.
117
Q Q
5 | Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Tilsvarende kan det være en fordel at tegne nogle af de rektangulære felter lidt
mindre end de egentlig er, hvis der derved kan vindes symmetri i sektionens
opdeling.
Ved opdelingen nummereres alle stringerne (1, 2, 3 ..... og a, b, c .....) og alle
forskydningsmembranerne (I, II, III .....)
Figur 5-9: Stringersystem
Stringerkræfterne, S, regnes konsekvent positive som træk, og for forskyd-
ningsspændingerne i forskydningsmembranerne regnes med den sædvanlige
fortegnskonvention for forskydningsspændinger.
118
a a a
d
c
b
a
2b
b
2b
1 2 3 4
I
Sd0
Sa0
II III
IV V
VI VII VIII
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik | 5
Figur 5-10: Fortegnsdefinition
Mellem forskydningsmembraner og stringere sker kraftoverførslen ved ren for-
skydning.
Figur 5-11: Beregning
af kræfter i stringer
For den udskårne sektion af dækskiven opstilles den over ordnede ligevægt.
Forudsættes kraften i stringer b og c at være lig med nul ved krydset med strin-
ger 4, fås
0 0
3·
5a d a
S Sb
Q
Herefter kan ligningerne, til bestemmelse af forskydningsspændingerne i for-
skydningsmembranerne opstilles. Dette gøres ved at opstille forskydningslige-
vægt for hver af de viste snit (A, B, C og X, Y, Z).
119
S S
2b
II III
II III
S = 2b(III - II)
5 | Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Figur 5-12: Indlagte snit
Disse ligevægte giver i det viste eksempel, når membrantykkelsen sættes til t =
1:
3:
53
:53
:5
: 2 2
: 2 2
: 2
I II III
IV V
VI VII VIII
I IV VI
II VII
III V VIII
aA a a a Q
ba
B a aba
C a a ab
X a a a Q
Y a a Q
Z a a a Q
Q
Q
Q
Q
2b
b
2b
I
3a
II III
IV V
VI VII VIII
X Y Z
5bQ
3a
5bQ
a a a
A
B
C
Disse ligninger er ikke lineært uafhængige. Der vil altid være én ligning for me-
get, når den ydre ligevægt er opfyldt. Dette kan indses ved at betragte en situa-
tion med kun ét membranfelt.
120
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik | 5
De to påførte stringerkræfter sikrer momentligevægten af feltet, Forskydningsli-
gevægt i snit A´ og X´ giver da enslydende
1
Q
b
hvilket svarer til den sædvanlige betingelse for forskydningsspændinger,
xy yx
A' Q'
X'
Q'
a'
a'
b'Q'
Q'a'
b'
b'
Figur 5-13: Situation ved ét membranfelt
Af de seks ligninger i eksemplet er der således kun fem uafhængige. Da der er
otte ubekendte forskydningsspændinger vælges de tre derfor frit. Ved regulære
skiver vil det ofte være bekvemt at vælge de ubekendte forskydningsspændin-
ger svarende til felterne beliggende langs to naborande som antydet ved skrave-
ring nedenfor.
Hermed kan de ubekendte forskydningsspændinger sædvanligvis findes uden at
kræve løsning af et egentligt ligningssystem.
121
5 | Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Figur 5-14: Forslag
til valg af felter med
uafhængige ubekendte
Vælges eksemplets forskydningsspændinger i område I, II, III, IV og VI som
ubekendte skønnes først de resterende tre forskydningsspændinger:
0,30
0,25
0,20
V
VII
VIII
Q
bQ
bQ
b
Som overtallig ligning vælges nu forskydningsligevægten i snit X, der går gen-
nem flere felter med ubekendte forskydningsspændinger. Også snit A går gen-
nem flere felter med ubekendte forskydningsspændinger og løses derfor til sidst.
De resterende fire ligninger løses nu let:
: · 0,3 0,6 0,30
: · 0,25 0, 2 0,6 0,15
: 2 · 2 0,25 0, 25
: 2 · 0,30 2 0,20 0,15
IV IV
VI VI
II VI
III III
Q aB a a Q
b b
Q Q aC a a a Q
b b b
Q QY b b Q
b b
Q QZ b b b Q
b b
Q
b
Q
b
Q
b
I II III
IV V
VI VII VIII
122
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik | 5
Hermed løses også den sidste ligning let:
: · 0, 25 0,15 0,6 0,20I IQ Q aA a a a Q
b b b
Q
b
I ligning X kan de fundne forskydningsspændinger eventuelt indsættes som kon-
trol.
Fordelingen af forskydningsspændingerne bliver da i alt som vist på figuren:
Figur 5-15: Forskydningsspændinger, faktor Q/b
De skønnede forskydningsspændinger kan give uforholdsmæssigt store værdier
for enkelte af de ubekendte ved løsning af ligningerne. I så fald kan det vælges
at ændre på nogle af de skønnede værdier, og derefter prøve om løsning af lig-
ningerne fører til en gunstigere fordeling af forskydningsspændingerne.
Nu kan stringerkræfterne bestemmes. Dette gøres sikrest ved at opstille lige-
vægt sektion for sektion for hver stringer.
123
- 0,2 - 0,25 - 0,15
- 0,3 - 0,3
- 0,15 - 0,25 - 0,20
5 | Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Figur 5-16: Kraftbestemmelse i stringer 2
Den sidste bestemmelse af S = 0 fungerer som kontrol af randbetingelsen for
stringeren.
For oversigtens skyld tegnes stringerkræfterne op som vist, idet det for stringer
4's vedkommende bemærkes, at kraften V forudsættes ophængt nederst i strin-
124
I II
VI VII
IV
- 0,2
- 0,2
- 0,25
- 0,25
- 0,3
- 0,3
- 0,15
- 0,15
- 0,25
- 0,25
S = 2b[-(-0,2)+(-0,25)] = -0,1QQb
S = -0,1Q+b[-(-0,3)] = 0,2QQb
S = 0,2Q+2b[-(-0,15)+(-0,25)] = 0Qb
S = 0
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik | 5
geren, svarende til at denne stringer virker som vederlag for den resterende
dækskive ind mod midten.
Figur 5-17: Optegning af stringerkræfter
Stringer 1 er forudsat kraftfri, idet forskydningskraften fra membranerne I, IV
og VI regnes ført direkte ind i vægskiven i gavlen.
I fugerne indlægges fornøden armering til at optage de beregnede stringerkræf-
ter. Hertil skal så yderligere indlægges fugearmering i hvert af felterne I-VIII
svarende til reglerne for en homogen dækskive med
V t h
hvor er den beregnede forskydningsspænding i det enkelte felt. Membrantyk-
kelsen, t, var i eksemplet sat til 1.
-0,1
-0,10,15
0,15
Faktor Qab
+0,6
-0,6
d
c
b
a
-0,1 0,2
-0,10,2
Faktor Q
1 2 3 4
1,0
125
5 | Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
5.1.3 Eksempel – Regneeksempel
En bygnings etageplan er som vist på figuren, hvor vind på tværs af bygningen
føres ud til gavlene via dækskiven. Dækelementerne spænder fra facade til
facade, dog ved skakt fra facade til længdeskillevæg.
Fugearmeringen skal fastlægges, idet der overalt anvendes armering med flyde-
spænding
550550 458
1,2yk ydf MPa f MPa
og idet der forudsættes normal kontrolklasse. Armeringsjern betegnes ved Yaa,
hvor Y angiver armeringskvaliteten og aa jernets diameter i mm.
Som randstringer anvendes 2Y12 hele vejen rundt om dækskiven. Denne
randstringer har armeringsarealet
Ø V
b1 = 6,0 m
b2 = 4,8 m
Wd = 3,0 kN/m
L = 43,2 m
2,4 m
Figur 5-18: Dækskive
2226sA mm
126
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik | 5
og dermed en regningsmæssig trækstyrke på
· 104ud s ydS A f k N
Robusthed
I et snit på tværs af dækskiven kan der således optages en gennemsnitlig træk-
kraft af størrelsen
1 2
2·19,2 /ud
ud
Sn kN m
b b
OK
Moment
Moment ved skivemidte kræver optagelse af en trækkraft i randstringeren:
2
1 2
·72
8·0,9·( )d
d ud
w LS kN S
b b
OK
Forskydning
Ved gavl Ø kræver forskydningsoverførslen i dækskiven, at der etableres tvær-
gående forskydningsarmering pr. dækelement svarende til
1 2
0,5· · ·17,4 ² / dækfuge
0,9·( )·d
tyd
w L bA mm
b b f
hvor der regnes med dækelementbredden b = 1,2 m.
Der indskydes U-bøjler, Y10 i hver fuge mellem dækelementerne, så randstrin-
geren omsluttes af U-bøjlerne. Disse har armeringsarealet
157 ² / tA mm dækfuge A
127
5 | Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
U-bøjlerne overfører trækkraften til dækelementerne. Med så beskedent behov
for tværarmering som i det aktuelle tilfælde, kan der regnes med at dækelemen-
ternes hovedarmering sikrer den nødvendige tværforbindelse mellem facaderne.
Støbeskel
Den maksimale forskydningsoverførsel er størst ude ved gavlen. Hvis forskyd-
ningskraften her er mindre end 25 kN/m, kan støbeskellet overføre lasten, så-
fremt støbeskellet armeres for 5 kN/m.
1 2 1 2
2 ·0,5· ·6 / 25 / 5 /s ydd
A fw LkN m kN m kN m
b b b b
hvilket giver:
· 27,0s ydA f k N
Forankring af gavl
På gavlen forudsættes samtidig et vindsug svarende til et udadrettet træk i
dækskiven af størrelsen
3,25 /gw kN m
Dette giver et bidrag til randstringerens mindste trækkapacitet på
1 2· 0,5· ·( ) 17,6s yd gA f w b b kN
Kombineret støbeskel og forankring af gavl
Nær bygningshjørnet skal randstringeren dermed i alt kunne optage en træk-
kraft af størrelsen
( )· 44,6s S ydA A f kN
128
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik | 5
Der indlægges 2Y12 hjørnejern i hvert bygningshjørne for at sikre randstringe-
rens forankring.
Gavl V
Ved gavl V undersøges dækskiven ved hjælp af stringermetoden.
1 2 3
c
b
a
Sc0
Sa0
Qd
Qd
a1 = 4,8 a2 = 3,6
b1 = 6,0
b2 = 4,8
I II
III
Figur 5-19: Stringersystem
Der regnes med konstant værdi af forskydningskraften over hele området:
0,5· · 64,8d dQ w L kN
Momentligevægt giver da:
1 20
1 2
0
( )50,4
50,4
a d
a
Q a aS k
b b
S kN
N
129
5 | Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Lodret forskydningsligevægt i snit gennem område II:
1
10,8 /II dQkN m
b
Vandret forskydningsligevægt i snit gennem område III:
1
10,5 /a
III sSkN m
a
Lodret forskydningsligevægt i snit gennem område I og III:
2
1
·2, 4 /
IIII dQ b
kN mb
Som overtallig ligning er således valgt vandret forskydningsligevægt i snit gen-
nem område I og III.
Forskydning (Gavl V)
Største forskydningsspænding optræder i område II. Der kræves her tværgåen-
de forskydningsarmering pr. dækelement svarende til
·28 ² / dækfuge
II
tyd
bA mm
f
U-bøjlerne Y10 udgør således også her sammen med dækelementernes hoved-
armering tilstrækkelig tværforbindelse i bygningen.
130
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik | 5
Stringer 1
I modellen fordres stringer 1 at kunne optage hele forskydningskraften. Dette
kræver armeringsarealet
21 141d
yd
QA m
f m
Der indlægges 1Y16~201 mm² i den pågældende fuge.
Stringer 2
Stringer 2 skal ved krydset med stringer b kunne optage en trækkraft af størrel-
sen
2 2 · 50,4b IIIS b kN
hvilket også kunne findes som
2 1·( ) 50,4b II IS b kN
Dette kræver et armeringsareal på
2 110 ²b
tyd
SA m
f m
Der indlægges Y16~201 mm2 i den pågældende dækfuge. Bemærk at stringer 2
netop er flyttet en dækelementbredde ind fra skakten for at sikre denne strin-
gers forankring i en sædvanlig dækfuge.
131
5 | Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Stringer b
Stringer b skal i krydset med stringer 2 optage en trækkraft på
22· 38,9II
bS a kN
svarende til armeringsarealet:
85 ²s
b bs
yd
SA m
f m
Fugearmering ved stringer 2
Hertil skal lægges fornøden armering til også at sikre optagelse af de tværgåen-
de forskydningskræfter langs stringer 2. Uanset størrelsen af forskydningskræf-
ter, skal støbeskellet armeres for 5 kN/m
2
2· ·10,5 / 25 / 5,0 / 26 ²
IIIS yd III
III S
A fkN m kN m kN m A mm
b
svarende til bidraget fra den nederste del af dækskiven og
1
2· ·2, 4 / 25 / 5,0 / 33 ²
IS yd III
III S
A fkN m kN m kN m A mm
b
fra den øverste del af dækskiven.
I fugen ved stringer 2 skal således mindst ligge en fugearmeringsmængde af
størrelsen
144 ²b I IIIb s s sA A A A mm
Der indlægges 2Y12 ~ 226 mm2.
132
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik | 5
Også forskydningskraftoverførslen i etagekrydsene ved gavlene skal sikres. Se
nærmere i afsnit 10.2.
Vedrørende fastholdelse af gavlen for vindsug i denne ende af bygningen be-
mærkes at kræfterne, der skal overføres til fugearmeringen, på grund af læng-
devæggen bliver væsentlig mindre end i modsatte bygningsende.
Figur 5-20: Stringersystem
Eksempel slut
Stødjern
U-bjl
Hjørnejern
Y8
1500
Y12
3000
1000
1000
2Y12
Stød
2Y12
800
2Y12
2Y12
2Y12 2Y
12
Y16
Y16
5 bjl R510
133
5 | Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
5.2 Vægskiver
Beregning af vægskiver omfatter i denne sammenhæng undersøgelse af kraft-
forløbene i skivens plan. For beregning af de enkelte vægelementers søjlestyrke
henvises til kapitel 8.
Skiveundersøgelserne kan dels dreje sig om hele vægopstalter, dels om enkelt-
elementer med komplekse understøtnings-, belastnings- eller udsparingsforhold.
5.2.1 Vægopstalter
Der betragtes en vægopstalt med vandrette og lodrette laster som vist. De
vandrette laster H er reaktionerne på væggen fundet ved den vandrette lastfor-
deling.
Figur 5-21: Skivekræfter på væg
H1
H2
H3
H4
V1
e1
V'1
q
G
134
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik | 5
De lodrette laster G er de enkelte vægges egenvægt, og de fordelte laster q er
belastningen fra de enkelte etagedæk. I mange tilfælde vil den farligste last-
kombination svare til maksimal vandret last samtidig med minimal lodret last.
Andre lastkombinationer kan være farligere. Eksempelvis hvis væggen er hårdt
udnyttet som søjle, eller hvis der er dørhuller i den ene side. Da vil det også
være relevant at undersøge forholdene for vandret last sammen med maksimal
lodret last på en del af, eller eventuelt hele konstruktionen. Sådanne vægges
sikkerhed mod væltning kan være forskellig i de to retninger.
På opstalten er vist nogle lodrette laster V. Disse svarer til eventuel kraftover-
førsel mellem den betragtede væg og nabovægge.
G
min q max q
Figur 5-22: Vægelement med destabiliserende lodret last over dørhul
q1
H1
V1 G1
V
element 1
q2
G2
H2
V2
T
N2' x
A
element 2
V
Figur 5-23: Stabilitetsundersøgelse
135
1'
2'
5 | Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Stabilitetsundersøgelsen omfatter principielt følgende punkter, a-e, for hvert
enkelt element i opstalten, hvor og betegner den resulterende vandrette
forskydningskraft og den resulterende ydre normalkrat på elementet:
*iH iN
a: Forskydningsundersøgelse i støbeskellet mellem vægelementet og ovenlig-
gende dæk.
Dette støbeskel regnes normalt glat, så for element 1 vist på figur 5-23 fås:
*1 1 1 1·( · ) , ·t ydH N A f F N G q 1 L
Her er friktionskoefficienten i støbeskellet µ = 0,5, N1 er den samlede ydre
normalkraft, der kan regnes til gunst i støbeskellet, At · fyd er et normalkraft-
bidrag fra opragende bøjler eller anden effektivt forankret armering gennem
støbeskellet, og ΔF er et eventuelt bidrag til forskydningskapaciteten fra dor-
ne etc. i elementets overside. Se nærmere i afsnit 10.2.
b: Forskydningsundersøgelse i støbeskellet mellem vægelement et og underlig-
gende dæk svarende til det i pkt. a gennemgåede. Hvis der i pkt. a ikke er
medregnet bidragene µ · At · fyd eller ΔF, kan pkt. b normalt springes over.
Eller skal det normalt eftervises at:
*1 1 1 1· ,H N N q ·L
c: Væltningsundersøgelse i snittet mellem vægelementet og underliggende dæk
Dette foretages eksempelvis som vist for element 2 ved at opstille momentli-
gevægtsligning omkring punkt A, idet x er afstanden fra punktet A til resul-
tanten af den samlede normalkraft i snittet svarende til den undersøgte last-
kombination.
Normalkraften 2N kan som regel regnes jævnt fordelt over længden 2x målt
fra punktet A svarende til linjelasten:
22 2
Nn
x
Denne linjelast må hverken overstige elementets søjlestyrke eller trykstyrken
af etagekrydset.
136
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik | 5
I visse tilfælde kan væltningssikkerheden øges ved hjælp af en lodret arme-
ring, der kan overføre en trækkraft T til den underliggende konstruktion. Det
skal da sikres, at den underliggende konstruktion kan optage trækkraften T.
Den lodrette armering i væggene kan etableres ved hjælp af stigbøjlesamlin-
ger eller ved hjælp af armering indstøbt i korrugerede rør indstøbt i elemen-
terne.
I indledende beregninger er det en fordel at regne forankringskraften placeret
i væggens midterlinje. Herved har man efterfølgende mulighed for en central
forspænding af væggen, samtidig med at en slap trækforankring ved elemen-
tets kant er på den sikre side, da det giver mindre normalkraft.
Hvis trækforankring er nødvendig kan for trykzonen i væggens underside
regnes med en fuld udnyttelse af væggens eller etagekrydsets bæreevne ni
over bredden 2x. Lodret ligevægt medfører, at reaktionen i trykzonen øges i
forhold til den lodrette normalkraft i væggen:
* *2· ·i i i i i i iN N T n x T N Ni
Hvorefter moment om punkt A giver
2* 2
2 4iH
i ii
ML LN n
n
Hvor MiH er det væltende moment
d: Styrkekontrol af samlingerne ved eventuel kraftoverførsel mellem vægele-
menter.Herunder også kontrol af at kræfterne V kan føres videre i nabovæg-
gene.
e: Kontrol af elementets egen skivestyrke.
Se nærmere i det følgende.
Det kan fra tilfælde til tilfælde variere meget, hvor mange af de beskrevne un-
dersøgelser det er nødvendigt at gennemføre for hvert enkelt element.
137
5 | Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
5.2.2 Enkeltelementers skivestyrke
For massive vægelementer, der indgår i de stabiliserende vægge, er der to ho-
vedtilfælde.
I første hovedtilfælde overføres al lodret last i etagekrydsene, hvor også de
vandrette laster overføres til elementet. Under forudsætning af at sikkerheden
mod væltning er tilfredsstillende alene ved udnyttelse af konstruktionens egen-
vægte (G og q), kan kræfterne altid føres ned som rent tryk gennem elementet
uden at fremkalde brud.
I det andet hovedtilfælde overføres der lodrette kræfter langs elementets side-
kanter. I så fald er det nødvendigt at indlægge særlig skivearmering i elementet,
da der ellers kan optræde væltning i forbindelse med trækbrud i betonen.
Skivearmeringens udformning afhænger af, hvorledes de lodrette kræfter V fø-
res ind i elementet. Overføres kræfterne via udragende hårnålebøjler med låse-
jern i de lodrette vægfuger kan skivearmeringen bestå af simple armeringsnet,
der kan overføre trækkræfterne i hårnålebøjlerne, som skal føres mindst en
forankringslængde ind i elementet.
Hvis kræfterne V føres ind i elementet via stigbøjlesamlinger eller lodret stødar-
mering indstøbt i korrugerede rør, indlægges der normalt særlig lodret armering,
hvortil kræfterne regnes overført. Endvidere indlægges U-bøjler omkring denne
lodrette armering for at sikre, at kræfterne kan drejes ned mod elementets fod-
punkt.
Endelig indlægges simple armeringsnet for at føre kraften T = V · cotθ på tværs
over til den modsatte side af skiven, hvor forankringen af kraften T modsvares
af en drejning af trykkraften ned gennem elementet.
138
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik | 5
Figur 5-24:
Første hovedtilfælde
Figur 5-25:
Brudrisiko ved andet
hovedtilfælde
Figur 5-26:
Indre kræfter i
andet hovedtilfælde
139
V
V'
x x
V
T T
T
V V
5 | Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Ved mere komplekse elementgeometrier kan stringermetoden anvendes til at
analysere elementet. Dette kan både være aktuelt for elementer, der indgår i
stabiliserende vægge, og for selvbærende vægskiver der virker som høje bjæl-
ker.
Forskydningsspændinger og stringerkræfter findes som beskrevet i afsnit 5.1.
Stringermetodens styrke består i at være en rationel måde at angribe opgaven
på. Ofte vil arbejdet med stringermodellen føre frem til, at man kan gennem-
skue en simpel statisk virkemåde for elementet.
For vægelementerne knytter der sig nogle særlige forhold til anvendelsen af
stringermetoden. Først og fremmest må stringerne indlægges i passende af-
stande fra elementrande og udsparinger. En afstand mellem stringer og fri kant
på ca. 10 % af forskydningsfelternes størrelse vil ofte være passende.
Hvis afstanden mellem to parallelle stringere bliver forholdsvis lille, kan det væ-
re rimeligst at slå de to stringere sammen til én. Dette kan eksempelvis være
tilfældet ved vinduesoverliggere med klemt geometri.
De ydre kræfter på elementet ækvivaleres med enkeltkræfter, der angriber
langs stringerakserne. Dette betyder, at vinduesoverliggere mv. skal undersøges
særskilt, når det overordnede kraftforløb i elementet er bestemt via stringer
metoden.
I det viste tilfælde er stringerne indlagt, så der dannes 8 forskydningsfelter. Der
kan opstilles i alt 7 ligninger svarende til forskydningsligevægt i snittene A, B, X,
Y, Z, Æ, Ø. Da der altid er én overtallig ligning, må der arbejdes med 6 ube-
kendte forskydningsspændinger.
140
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik | 5
X Y Z Æ Ø
P1 P2 P3 P4 P5 P6
For eksempel kan det vælges at skønne forskydningsspændingerne i felterne II
og III. Er der nogenlunde symmetri i den lodrette belastning, vil det i et tilfælde
som det viste normalt give rimelige løsninger hvis man sætter
3
II H
a
hvilket giver en god udnyttelse af felt II.
For felt III vil en positiv værdi af III modsvare opbygning af en trykkraft i den
øverste, vandrette stringer. Vælges III = 0, vil situationen svare til at kun
vægdelen mellem de to nederste stringere medvirker ved overføring af lodret
last ud til understøtningerne.
Figur 5-27: Vægskive med stringersystem
H
B
A
1 2 3 4 5 6
a
b
c
a3
b1I II III
IV V VI VII VIII
141
5 | Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Figur 5-28:
Forhold i øverste hjørne
For III kan vælges størrelsen
5
1
III P T
b
hvor T er trækkapaciteten af stringer 5. Dette valg vil netop svare til fuld udnyt-
telse af stringer 5 ved det nederste vindueshjørne.
Figur 5-29:
Udnyttelse af stringer 5
De resterende forskydningsspændinger findes nu af ligevægtsligningerne. Det vil
være bekvemt at vælge ligningen svarende til forskydningsligevægt i snit A som
142
IIIIII
a
P5
III b1
TIII
5
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik | 5
overtallig og at løse ligningen svarende til snit X sidst. De øvrige snit går hver
især netop gennem et felt med ubekendt forskydningsspænding.
Figur 5-30:
Udnyttelse af trykstringer
Der indlægges trækarmering til optagelse af positive stringerkræfter. For negati-
ve stringerkræfter kontrolleres det, at et symmetrisk betontværsnit indlagt om-
kring den teoretiske stringerakse kan optage de tilsvarende trykspændinger.
Til optagelse af forskydningsspændingerne i felterne kan indlægges jævnt fordelt
armering, der dimensioneres efter diagonaltrykmetoden med cot 1 .
Figur 5-31: Forskydningsarmering i felt
Med afstanden a mellem armeringsjernene kræver vandret ligevægt at
·cost bN N
143
tTryktværsnit
Fri rand
Stringerakse
Nt
Nt
Nb
Nb
s
s
5 | Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
medens lodret ligevægt kræver
·sin ·bN a
Af disse to ligninger fås
· ·cot
· cott
t
N a
N a for 1
Med cot 1 skal forskydningsarmeringen kunne optage samme kræfter i lod-
ret og vandret retning. kan fordeles på ét eller to armeringsnet efter ønske. tN
Det er yderst vigtigt, at forskydningsarmeringen forankres effektivt. Det kan
enten gøres ved at udforme forskydningsarmeringen som bøjler, der omslutter
stringerne, ved at støde forskydningsarmeringsjernene med U-bøjler der omslut-
ter stringerne, eller ved at føre forskydningsjernene en forankringslængde la ud
over de felter hvor den er aktiv. Eksempelvis som vist på figuren,
Figur 5-32: Eksempel på armering af felt
hvor forskydningsarmeringen i et felt under et vindue udgøres af lukkede bøjler i
lodret retning og af U-bøjler i vandret retning.
144
U-bøjle
Lukket bøjle
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik | 5
5.2.3 Eksempel – Væg bestående af flere vægelementer
Eksemplet benytter beregningsmetoden i afsnit 5.2.1 og behandler en stabilise-
rende væg, der som vist på figur 5-33 er belastet af nedenstående regnings-
mæssige laste:
i [-] 1 2 3 4hi [m] 3,6 3,6 3,6 4,0
qi [kNm] 15 15 15 15
Qi [kN] 93,3 93,3 93,3 103,6
Hi [kN] 70 50 50 50
Figur 5-33: Stabilitetsundersøgelse eksempel
145
H4
G4
q4
Element 4
L = 4,8m
h 4 =
4,0
m
Element 3
Element 2
Element 1
H3
H2
H1
q3
q2
q1
h 3 =
3,6
mh 2
= 3
,6m
h 1 =
3,6
m
G3
G2
G1
5 | Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
a: Forskydningsundersøgelse i støbeskellet mellem vægelement og overliggende
dæk
Støbeskellet mellem vægelement og overliggende dæk skal undersøges for for-
skydning. Det ses nedenfor, at støbeskellet for element 3 og 4 kan holde uarme-
ret, og at element 1 og 2 skal armeres. For beregning af etagekryds henvises til
afsnit 10.2.
*1 1
1 1
*1 1
70
· 15·4,8 72
· 0,5·72 36 Støbeskellet skal armeres
H H
N q L kN
H N kN
* *2 1 2
2 1 1 2
*2 2
70 50 120
· 72 93,3 15·4,8 237
· 0,5·237 119 Støbeskellet skal armeres
H H H kN
N N G q L kN
H N kN
* *3 2 3
3 2 2 3
*3 3
120 50 170
· 237 93,3 15·4,8 403
· 0,5·403 201 Bæreevne OK
H H H kN
N N G q L kN
H N kN
* *4 3 4
4 3 3 4
*4 4
170 50 220
· 403 93,3 15·4,8 568
· 0,5·568 284 Bæreevne OK
H H H kN
N N G q L kN
H N kN
b: Forskydningsundersøgelse i støbeskellet mellem vægelement og underliggen-
de dæk
Støbeskellet mellem vægelement og underlæggende dæk skal ligeledes under-
søges for forskydning. Det ses nedenfor, at alle støbeskel kan holde uarmeret.
1 1 1
*1 1
· 93,3 15·4,8 165
· 0,5·165 83 Bæreevne OK
N G q L kN
H N kN
2 1 2 2
*2 2
· 165 93,3 15·4,8 331
· 0,5·331 165 Bæreevne OK
N N G q L kN
H N kN
146
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik | 5
3 2 3 3
*3 3
· 331 93,3 15·4,8 495
· 0,5·496 248 Bæreevne OK
N N G q L kN
H N kN
4 3 4 4
*4 4
· 237 103,6 15·4,8 672
· 0,5·672 336 Bæreevne OK
N N G q L kN
H N kN
c: Væltningsundersøgelse.
Hver enkelt væg skal undersøges for væltning. For væg element 1 og 2 ses, at
det ikke er nødvendigt at forankre væggene. For element 3 og 4 skal elementer-
ne forankres, derfor indledes beregningerne for element 3 og 4 direkte med at
bestemme forankringskraften, der regnes at virke i midten af elementet.
1 1
1 1 1
1 1 1
1 1
½ ½·165·4,8 397 (Stabiliserende moment)
(Væltende moment)70·3,6 252
/ 397 252 /165 0,875
/ 2 165/ 2·0,875 94 /
10 ·250 2500 / OK
N
H
N H
M N L kNm
M V h kNm
x M M N m
n N x kN m
MPa mm kN m
2 2
2 1 1 1
2 2 2
2 2
½ ½·331·4,8 793
252 120·3,6 684
/ 793 684 / 331 0,331
/ 2 331/ 2·0,331 499 /
10 ·250 2500 / OK
N
H H
N H
M N L kNm
M M V h kNm
x M M N m
n N x kN m
MPa mm kN m
3
3 2 3 3
2 2* 33 3
3
*3 3 3
*3
33
10·250 2500 /
684 170·3,6 1296
4,8 (4,8) 12962 2500 2 567
2 4 2 4 2500
567 496 71
1 1 5670,113
2 2 2500
H H
H
n kN m
M M V h kNm
ML LN n
n
T N N
Nx
n
147
5 | Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
4
4 3 4 4
2 2* 44 4
4
*4 4 4
*4 4 4 4
10·250 2500 /
1296 220·4,0 2176
4,8 (4,8) 21762 2500 2 988
2 4 2 4 2500
988 672 316
/ 2371 2176 / 988 0,198
H H
H
N H
n kN m
M M V h kNm
L L MN n kN
n
T N N kN
x M M N m
Sikres trækforankringen ved forspænding vil resultanten ofte være placeret midt
i væggen, da væggene skal kunne optage last i begge retninger. Benyttes der-
imod slap armering vil man ofte kun regne armeringsstangen i den ene side
aktiv. Sikres det her at momentkapaciteten for denne forankring er den samme
som momentkapaciteten for den centralt placerede forankring, er løsningen på
den sikre side, da normalkraften bliver mindre end beregnet ovenfor.
For element 3 og 4 kan der således alternativt vælges at benytte slap armering,
som placeres 0,5 m fra elementets rand. Herved findes den nødvendige trækar-
mering som
333
3 3
44 34
4 4
½ ½·4,8 0,11· 39 1 1271 ·4,8 0,5 0,11
½·4,8 0,19½(316 71) ·( )· 131 1 25
4,8 0,5 0,19
aa
aa
L xTT kkN
L a x
L xkNT TT k
L a x
N Y
N Y
d: Styrkekontrol af samlingerne ved eventuel kraftoverførsel mellem vægele-
menter
Den nederste vægs højde på 4,0 m vil medføre, at væggen ofte skal leveres i to
dele, såfremt det er en elementvæg. Det lodrette støbeskel i væggen skal derfor
eftervises.
148
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik | 5
Elementet er påvirket af følgende lodrette laste.
4
4 4 4
131
½( · ) ½(103,6 15·4,8) 88a
b
V kN
N G q L k
N
Figur 5-34: Lodret støbeskel i stabiliserende væg
L/2
Element 4b
H4a H4b
V4a V4b
L4b
L4a
L/2
h 4
a4a
a4b
Element 4a
Støbeskel
B
A
T N’
149
5 | Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Den vandrette last fordeles således, at den skrå trykresultat rammer den lodret-
te trykresultant i bunden af væggen se figur 5-34.
4 44 4
4
4 44 4
4
4,8 0,5 0,19131· 135
4,0
4,8 1,2 0,1988· 75
4,0
aa a
bb b
L a xH T k
h
L a xH N kN
h
N
De to tryklinjer rammer støbeskellet i punkterne A og B, der målt fra toppen af
elementet har afstanden L4a og L4b.
4
4
1311,9 1,84
13588
1,2 1,4175
a
b
L m
L m
Den fælles trykresultant er placeret i afstanden eres fra toppen.
135·1,84 75·1,411,69
135 75rese m
Den effektive højde, som støbeskellet kan regnes at virke over, er:
2·min 3,39
2( )res
effres
el m
h e
Det fortandede areal vurderes at være ca. 0,5 x 50mm x 3,39m svarende til
84.740mm². Herved er støbeskellet belastet af følgende laster:
(135 75) / 84740 2,58
(131 88) / 84740 2,47n
Ed
MPa
v MPa
Herved findes forskydningsbæreevnen af det fortandede støbeskel uden arme-
ring til
150
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik | 5
20,5 ,
1,1 2 200,5· 0,9·2,58 0 0,5
1,45 1,45200,38 2,32 2,70 3,08
Rd cdt n yd cd
ck
Rd
Rd
v cf f ff
v
v MPa MPa
Herved kan det ses, at bæreevnen af støbeskellet er tilstrækkelig uden armering
idet
2,47 2,70Ed Rdv v
MPa MPa
e: Kontrol af elementets egen skivestyrke
Skivestyrke af element 1, 2 og 4b er i orden, da der er rent tryk i elementet. For
element 3 og 4a, der trækforankres, skal der, jævnfør figur 5-25 indlægges en
armeringsstang i toppen eller et net, der sikrer, at element ikke bryder. Dette
sikres ved at indlægge følgende armering.
,3 3 3
,4 4 4 4
Element 3
4,8 0,5 0,11·cot 39· 45 2 10
3,6
Element 4
·cot 135 2 16
v a a
v a a a a
T T kN Y
T T H kN Y
Da element 4 er delt af en lodret fuge, skal der i etagekrydset over element 4
mindst indlægges en tilsvarende fugearmering, 2Y16, som fører kraften T4a
vandret hen over den lodrette fuge.
Eksempel slut
151
5 | Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
152
5.3 Beregningsprogram
Nedenfor ses et udsnit fra den del af udskriften fra stabilitetsprogrammet på
www.bef.dk, der vedrører vægskivernes stabilitet. Det er samme program, som
er introduceret i afsnit 4.3, der således i tilknytning til den vandrette lastforde-
ling automatisk foretager en beregning af vægskivernes stabilitetsforhold, og
herunder bestemmer eventuelt nødvendige lodrette forankringskræfter.
Sammenlignes med eksemplet i afsnit 5.2.2 ses umiddelbart at være overens-
stemmelse i beregningen af forankringskræfterne, T, og at trykzonebredderne,
b_2 = 2 x også stemmer overens.
H_i-1 Lastvirkningerne H_i regnes positive i retningen fra væggens endepunkt(x1, y1) mod endepunkt (x2, y2)
V1 V2 For hver etage skal defineres følgendeH_i p: stabiliserende linielast på væg excl væggens egenlast
V1: lodret, last ved endepunkt (x1, y1)V2: lodret, last ved endepunkt (x2, y2)
(x1,y1) (x2,y2) Ved H_i > 0 virker V1 stabiliserende og V2 destabiliserendeVed H_i < 0 virker V2 stabiliserende og V1 destabiliserendeVed H_i > 0 overføres trykresultanten N (normalt) over længden b_2
T N Ved H_i < 0 overføres trykresultanten N (normalt) over længden b_1
b_1 b_2 T er den samlede, nødvendige lodrette trækforbindelse - symmetrisk i kontaktfladened mod underliggende væg. Længden af kontaktfladen betegnes L_eff.
Væg Etage h t r_1 r_2 L_eff H_i H_i* G q V1 V2 T N b_1 b_2 n n_maxnr. 1 (m) (m) (m) (m) (m) (kN) (kN) (kN) (kN/m) (kN) (kN) (kN) (kN) (m) (m) (kN/m) (kN/m)
6 0,00 0,00 4,80 0 0 0,00 0,0 0 0 0 0 4,80 0,00 0 25005 0,00 0,00 4,80 0 0 0,00 0,0 0 0 0 0 4,80 0,00 0 25004 3,60 0,25 4,80 70 70 93,31 15,0 0 0 0 165 0,00 1,75 94 25003 3,60 0,25 4,80 50 120 93,31 15,0 0 0 0 331 0,00 0,66 499 25002 3,60 0,25 4,80 50 170 93,31 15,0 0 0 71 567 0,00 0,23 2500 25001 4,00 0,25 4,80 50 220 103,68 15,0 0 0 316 988 0,00 0,40 2500 2500
Figur 5-35: Beregningsprogram
Det bør bemærkes, at beregningsprogrammet af tekniske grunde anvendes en
anden notation for etagerne end benyttet i gennemregningen i afsnit 5.2.
6ArMErEdE BJÆlKEr
6 ARMEREDEBJÆLKER
6.1 Brudgrænsetilstande
6.1.1 Bøjning
6.1.2 Forskydning
6.1.3 Vridning
6.1.4 Kombineretvridningogforskydning
6.1.5 Beregningafforankringskraft
6.1.6 Eksempel–Bjælkeberegningibrudgrænsetilstanden
6.2 Anvendelsesgrænsetilstande
6.2.1 Udbøjning
6.2.2 Revnevidder
6.2.3 Eksempel–Bjælkeberegningianvendelsesgrænsetilstanden
6.3 Beregningsprogram
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
6.1 Brudgrænsetilstande
I dette afsnit beskrives beregning af slapt armerede bjælker i det regningsmæs-
sige brudstadie. Afsnittet omhandler dimensionering af bjælker udsat for bøj-
ning, forskydning og vridning. Desuden angives en beregningsmetode til be-
stemmelse af den forankringskraft, som skal anvendes ved eftervisning af arme-
ringens forankring ved vederlaget.
6.1.1 Bøjning
I forbindelse med styrkeeftervisning af slapt armerede betonbjælker anvendes
den generelle metode for tværsnitsanalyse i EC2. Den generelle metode baserer
sig på en ikke-lineær arbejdskurve af betonen og en lineær-elastisk ideal-
plastisk arbejdskurve af armeringen.
6.1.1.1 Tværsnitsanalyse – generel metode
Ved tværsnitsanalyse af en bjælke i brudgrænsetilstanden anvendes resultater-
ne fra afsnit 2.1.3. Her blev resultanten af betonspændingerne, Nc, i tværsnittets
trykzone for en given betonkantspænding, 0, bestemt. For en bjælke uden nor-
malkraft gælder det altid at 0 . Dette kan reducere ligningerne fra afsnit
2.1.3 til:
203
1
11 2 2 ln(1
2cc
A BN k B B B
B
)
cc
cd
NN
bxf
og med denne resultants moment om nullinien givet ved:
'' 3 204
1
11 2 3 6 6ln(1
3 2cc
A BN k B B B B
B
)
2
' cc
cd
y NN
bx f
154
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
så resultantens placering målt fra nullinien kan bestemmes som:
2c cd c
c cd c c
y N bx f N Ny x
N bxf N Nc
I det følgende findes bidraget fra spændingerne til snitkræfterne i tværsnittet,
og ligevægtsligningerne for en bjælke og løses.
Nc
Nac
Nat1
x
cc
c1
0 c
MRd
b
h
y’
c2 Nat2
Figur 6-1: Definitioner, som anvendes ved tværsnitsanalyse
Tværsnittet, der benyttes, er armeret med et lag trykstænger med et areal Asc
og to lag trækstænger med arealerne Ast1 og Ast2 og med den geometriske pla-
cering givet ved cc, c1 og c2.
For en given værdi af den variable trykzonehøjde x og betonens tryktøjning i
tværsnitskanten 0, kan de geometriske betingelser for armeringstøjningerne i
tryklaget sc og i træklagene st1 og st2 skrives som:
0
11 0
22 0
csc
st
st
x c
xh x c
xh x c
x
Tryk/trækkræfterne i armeringen er hermed givet ved:
155
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Trykarmeringen
0minc
sc sac
sc yd
x cA E
N xA f
Trækarmeringen
10 1
1
1
min st sat
st yd
h x cA E
N xA f
20 2
2
2
min st sat
st yd
h x cA E
N xA f
Hvor fyd er armeringens regningsmæssige flydespænding. Det er nu muligt at
opstille ligevægtsligningerne, som vil bestemme tværsnittets bæreevne.
Projektionsligningen:
catatac NNNN 210
Momentligningen om tværsnittets nullinje:
1 1 2' 2Rd c c ac at atM y N x c N h x c N h x c N
Hvor y’ er afstanden fra nullinjen til betontrykspændingens resultant, som
nævnt ovenfor. MRd er tværsnittets momentkapacitet.
Her gives en kort opsummering af iterationsprocessen, som anvendes i det ge-
nerelle tilfælde:
1. Først vælges en værdi for kanttøjningen 0.
2. Herefter bestemmes x ud fra projektionsligningen.
3. Tværsnittets samlede momentkapacitet MRd fås af momentligningen om
tværsnittets nullinje.
4. En ny værdi af kanttøjningen vælges og det undersøges om resultatet
for MRd er gunstigere.
156
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
6.1.1.2 Kanttøjning
I stedet for at udføre iterationen som beskrevet i foregående afsnit, har det vist
sig rimeligt at antage, at kanttøjningen er lig med betonens brudtøjning, dvs. 0
= cu. figur 6-2 viser kurver for ”arealet under spændingsblokken”, Nc’, og ”pla-
cering af trykresultanten”, Nc’’. De fuldt optrukne kurver er bestemt ud fra anta-
gelsen om, at kanttøjningen er lig brudtøjningen. For de stiplede kurver er kant-
tøjningen blevet optimeret, så tværsnittets momentkapacitet bliver så stort som
muligt.
Forskellen på kurverne med kanttøjning sat lig brudtøjningen og kurverne med
optimeret kanttøjning ses at være meget lille, hvorfor det ved praktisk dimensi-
onering er rimeligt at antage 0 = cu. Hermed kan iterationen af kanttøjningen
springes over, og nullinjens beliggenhed, x, bestemmes direkte af projektions-
ligningen og momentkapaciteten, MRd, af momentligningen.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
'cN
''cN
f ck [MPa]
0,74
Figur 6-2: N'c og N''c optegnet for 0 = cu og for optimeret 0
157
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
6.1.1.3 Bøjning uden trykarmering
Trykarmering i en bjælke har normalt meget lille betydning for brudmomentet,
og det er derfor ofte rimeligt at se bort fra den i brudgrænsetilstanden. Derimod
har trykarmeringen langt større betydning ved beregninger i anvendelsesgræn-
setilstanden.
For en bjælke uden trykarmering kan der opstilles en simpel formel for moment-
kapaciteten på baggrund af tværsnittets armeringsgrad, . Armeringsgraden er
givet ved:
s yd
cd
A f
bdf
Hvor d er afstanden fra trækarmeringen til betonkanten.
Nc
Nac
Nat1
x
cc
c1
0 c
MRd
b
h
y’
c2 Nat2
Figur 6-3: Definitioner, som anvendes i tværsnitsanalyse
Betonens trykresultant Nc, ”arealet under spændingsblokken”, Nc’, og ”placering
af trykresultanten”, Nc’’ er beskrevet i afsnit 6.1.1.1. Herved kan projektionslig-
ningen stilles op, og trykzonens udbredelse bestemmes som:
0 0 ''at c cd cd c
c
dN N bdf bxf N x
N
158
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
Resultantens placering målt fra nullinien fås til:
''
''
c
c
Ny x
N
Den indre momentarm er givet ved følgende, idet sammenhængen 'c
dx
N
udnyttes:
55,0111'
2'
'''
'
''
dN
NNd
N
Nxdyxchz
c
cc
c
c
Værdien er valgt som en konservativ betragtning på
baggrund af en antagelse om, at den kanttøjning, der giver den største mo-
mentbæreevne, er brudtøjningen cu. Værdien ses at være rimelig ud fra figur 6-
4, hvor er optegnet for et bredt spektrum af betonstyrker.
Den kraftigt optrukne linje er udregnet for en kanttøjning lig brudtøjningen. Den
stiplede linje angiver de tilsvarende værdier for et tværsnit, hvor kanttøjningen
er optimeret.
' '' ' 2( ) /( ) 0,c c cN N N
' '' ' 2( ) /( )c c cN N N
55
Momentligevægten opskrives for moment om betonens trykresultant. Hermed
fås kun et bidrag fra trækarmeringen, og momentkapaciteten kan bestemmes
direkte:
21 0,55Rd at cdM z N bd f for st sy
Ovenstående udtryk gælder kun, når der er flydning i armeringen. Dette kontrol-
leres ved at undersøge, om tværsnittets armeringsgrad er mindre eller lig den
balancerede armeringsgrad. Den balancerede armeringsgrad, bal, er et udtryk
for den armeringsgrad, der netop giver flydning i armeringen.
bal
159
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Sammenhængen mellem tøjning og armeringsgrad kan skrives:
' '
1 1c cst cu cu cu cu
dN Nd x d
x x d
1
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
f ck [MPa]
2'
'''
c
cc
N
NN
2
' ''
'
c
c
N N
N
Herved fås den balancerede armeringsgrad ved at erstatte armeringstøjningen,
st, med armeringens flydetøjning, sy:
'
1
cbal
sy
cu
N
Figur 6-4: c optegnet for 0 = cu og for optimeret 0
160
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
På den sikre side kan der regnes med følgende værdier; se også figur 6-2:
74,0' cN for MPa 50ckf
0,003sy for MPa 600ykf
En armeringsgrad på den sikre side fås således til:
40,0
0035,0
003,01
74,0
6.1.1.4 Minimum- og maksimumarmering
En armeret betonbjælke skal ifølge EC2 minimum have et armeringsareal, As,min,
for den langsgående trækarmering givet ved:
,min
0, 26max
0,0013
ctmt
yks
t
fb d
fA
b d
bt er trækzonens middelbredde, for rektangulære tværsnit fås bt = b.
fctm er middelværdien for betonens enaksede trækstyrke.
2 30,30ctm ckf f for betoner med fck 50 MPa
Armeringen begrænses i EC2 også med et maksimum for træk- eller trykarme-
ringens tværsnitsareal, As,maks:
, 0,04s maks cA A
Udtrykket gælder uden for områder med stød.
161
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
6.1.2 Forskydning
En bjælkes forskydningsbæreevne verificeres i et kritisk snit ved at sammenhol-
de forskydningskraften VEd med forskydningskapaciteten VRd. Når en bjælkes
reaktioner er fastlagt, findes forskydningskraften i et snit ved at kræve ligevægt
for en af de to bjælkedele, som det pågældende snit deler bjælken i. Ved be-
stemmelse af forskydningskraftkurven er det vigtigt at tage hensyn til, om la-
sten er bunden eller fri, da forskydningskraften i visse snit øges ved at fjerne
last fra dele af bjælken. Dette gælder især ved store enkeltkræfter. Den farligste
lastopstilling kan findes på følgende måde:
- Al last opfattes på den sikre side som fri last.
- Forskydningskraften i et givent snit bestemmes henholdsvis umiddelbart
til venstre og til højre for snittet, idet lasten opfattes som fri for den be-
tragtede bjælkedel. Den maksimale værdi af forskydningskraften for de to
beregninger benyttes.
For bjælken figur 6-5 bestemmes den kritiske forskydningskraft i snit A.
Venstre bjælkedel betragtes ved at opfatte lasten på stykket x som fri:
2
,
1
2Ed venstre A Ed
L xV R p
L
A
A
pEd
L
x RA RB
Figur 6-5: Bestemmelse af forskydningskraften for en bjælke
162
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
Højre bjælkedel betragtes og nu opfattes lasten på stykket l-x som fri:
2
,
1
2Ed højre B Ed
xV R p
L
Forskydningskraften i snit A fås nu som den største værdi af forskydningskraften
henholdsvis til venstre og til højre for snittet.
,
,
maxEd venstre
EdEd højre
VV
V
Bestemmes forskydningskraftkurven på almindelig vis for udelukkende bunden
last, vil kurven for bjælken i figur 6-5 danne en ret linje med et nulpunkt på
midten. Ved at benytte ovenstående metode til bestemmelse af forskydnings-
kraftkurven, fås en forskydningskraftkurve på den sikre side uden nulpunkter,
som vist på figur 6-6.
0
20
40
60
80
100
120
140
Forskydningskræfter i kN : :
[ ]EdV kN
Figur 6-6: Forskydningskraftkurve for en bjælke
163
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
6.1.2.1 Diagonaltrykmetoden
For armerede betonbjælker bestemmes forskydningskapaciteten ved diagonal-
trykmetoden. Det forudsættes i det følgende, at bjælken er forsynet med lodret
forskydningsarmering, i form af lukkede bøjler.
Figur 6-7: Forskydningsarmering udført som lukkede bøjler og opbøjede stænger
Ved bestemmelse af bjælkens forskydningskapacitet i snit A betragtes det viste
rombeformede udsnit af bjælken. Udsnittet overfører de lodrette kræfter som
vist på figur 6-8, mens vandret ligevægt og momentligevægt sikres via kræfter i
bjælkens trykzone Nc og i tyngdepunktet af hovedarmeringen Nat. Trykzone og
trækzonen regnes her koncentreret i deres respektive tyngdepunkter.
bw
A
A
Nc
Nat
V z
Figur 6-8: Placering af udsnit i bjælkekrop
164
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
A
Nat*
A
Nat
Nc Nc*
N’t = Nt - apEd
N’t
N’t
Nt
Nt
Nt
Selve bjælkekroppen tænkes nu opdelt i en række diagonale tryklameller, der
som vist på figur 6-9 forbinder et knudepunkt mellem en bøjle og hovedarme-
ringen på den ene side af snit A med et tilsvarende knudepunkt mellem bøjle og
trykzone på den anden side af A. Forskydningskraften VEd skal nu optages af de
n bøjler over trækningen z·cotfor at passere snit A, hvor z er den indre mo-
mentarm. Som en tilnærmelse kan z = 0,9d normalt benyttes. d er afstanden
fra trækarmeringen til den trykkede betonkant.
tEd NnV
Bemærk at n ikke nødvendigvis er et heltal. Med bøjleafstanden s bliver n:
cotzn
s
z
PEd
s
z cot
Figur 6-9: Udsnit med diagonale tryklameller
165
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Den lodrette trækkraft i den enkelte bøjle findes til:
cot cotw
t Ed t
s bsN V N
z
Hvor forskydningsspændingen i tværsnittet er indført ved følgende udtryk:
Ed
w
V
b z
Hvor bw betegner betonkroppens tykkelse. For et rektangulært tværsnit fås bw =
b.
Det ses, at jo større cot vælges, jo mindre bliver trækket i bøjlerne. Imidlertid
kan cot ikke vælges vilkårlig stor, hvilket kan indses ved at betragte en enkelt
tryklamel.
s
T T + Nb’cos
Nb’
b’
Nt
Figur 6-10: Forhold i knudepunkt mellem bøjle og hovedarmering
166
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
Den skrå kraft i tryklamellen fås ved at kræve lodret ligevægt af knudepunktet
mellem bøjle og hovedarmering:
' 'sin 0sin
tt b b
NN N N
Kraften Nb’ optages som enaksede betontrykspændinger i den skrå tryklamel:
'2' ' sin sin
b t tc
w w w
N N N
b b b b s b
Idet tryklamellens bredde er b’ =s·sin. Herefter indsættes det tidligere fundne
udtryk for Nt:
2
2
1 cotcot1 cot
1 cot
w
c
w
s b
s b
Hvor det ved indsætningen er benyttet, at
2
2
cot1
1sin
.
I henhold til EC2 skal trykspændingen i de skrå tryklameller overholde følgende:
c v cdf
Effektivitetsfaktoren v bestemmes for forskydning i henhold til det nationale
anneks:
0,7200
ckv
f
Derfor må cotikke vælges større ende at følgende ulighed er opfyldt:
21 cot
cot v cdf
167
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Er dette overholdt findes den nødvendige forskydningsarmering over stræknin-
gen z·cot ud mod vederlaget fra det betragtede snit A ved at kræve
t sw ywN A f d
Asw er forskydningsarmeringens tværsnitsareal i snittet, det vil sige for
bøjlearmering snittes gennem begge bøjlens ben
fywd er forskydningsarmeringens regningsmæssige flydespænding.
Med det fundne udtryk for Nt må bøjleafstanden ikke vælges større end
cotsw ywd
w
A fs
b
For slapt armerede bjælker med lodrette bøjler skal cot desuden holdes inden
for følgende intervaller:
1 cot 2,5
1 cot 2,0 for afkortet hovedarmering (normalt ikke interessant
for elementer)
Forskydningsbæreevnen kan kort opsummeres med følgende formler, hvor den
første gælder flydning i forskydningsarmeringen, og den anden svarer til det
skrå betontrykbrud:
· ·cot
min
1cot
cot
swywd
Rd w v cd
Az f
sV b z f
168
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
6.1.2.2 Minimumsarmering
I det nationale anneks til EC2 stilles nogle minimumskrav til forskydningsarme-
ringsforholdet og afstanden mellem forskydningsarmeringen.
Forskydningsarmeringsforholdet er givet ved:
sww
w
A
sb hvor ,min
0,063 ckw w
ywk
f
f
fck er betonens karakteristiske trykstyrke
fywk er forskydningsarmeringens karakteristiske flydespænding
Den maksimale afstand mellem forskydningsarmering målt langs bjælkeaksen
må ikke overstige smax.
Bøjlearmering: ,max 0,75ls d
Opbøjede stænger: ,max 0,6bs d
Desuden må tværafstanden mellem benene i en række af bøjler ikke overstige
st,max:
,max 0,75 600ts d mm
169
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
6.1.2.3 Dimensioneringsforløb
Ved dimensionering efter diagonaltrykmetoden findes først den maksimale for-
skydningskraft i bjælken, hvilket normalt i bjælkeelementer vil være ude ved et
vederlag. Bøjleafstanden kan vælges konstant langs hele bjælkeaksen, svarende
til den maksimale forskydningskraft. Dette er naturligvis på den sikre side. For
større bjælker kan det imidlertid være hensigtsmæssigt at optimere bøjleafstan-
den lidt mere. Her vælges en bøjleafstand over strækningen l1, bestemt på bag-
grund af forskydningen V1 i snit 1, og en anden bøjleafstand over l2 bestemt på
baggrund af forskydningen i snit 2.
Dimensioneringen forløber på følgende vis. Diagonaltrykkets vinkel ved vederla-
get, cotvælges så begge nedenstående udtryk opfyldes:
21 cot
cot v cdf
og 1 cot 2,5
zcot0 zcot1
l1 l2
z
V = 0
0 1 2
0 1
Figur 6-11: bjælke med forskellige trykhældninger
170
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
Afstanden mellem bøjlearmeringen over strækningen l1 bestemmes af
01
1
cotsw ywdA f zs
V
, 1 ms as x
hvor Asw er en bøjles tværsnitsareal, fywd er bøjlens regningsmæssige flyde-
spænding, og V1 er forskydningskraften i afstanden z·cotfra vederlaget. På
tilsvarende vis findes bøjleafstanden s2 over strækningen l2.
Som vist er det tilladt at regne med forskellig værdi af cot hen langs bjælkeak-
sen. I så fald bestemmes cot0 ved V0, cot1 ved V1, osv.
Større koncentrerede laster, P, kræver ekstra forskydningsarmering. Dette kan
der tages hensyn til ved eksempelvis at bestemme bøjleafstanden over stræk-
ningen l2’ svarende til, at der i snit 2 regnes med en formel forskydningskraft af
l’2 l2 – l’2
l1 l2
z
V = 0
0 1 2 P
1 0
Figur 6-12: bjælke med større enkeltkræfter
171
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
størrelsen V2 + P, hvor V2 er den reelle forskydningskraft i snit 2. Over stræk-
ningen l2’ findes således bøjleafstanden:
12
2
cot' sw ywdA f z
sV P
, 2 ms as x
På strækningen l2-l2’ bestemmes bøjleafstanden svarende til den reelle forskyd-
ningskraft V2 i snit 2.
6.1.3 Vridning
En bjælkes vridningsbæreevne verificeres i et kritisk snit ved at sammenholde
vridningsmomentet, TEd, med vridningskapaciteten, TRd. Vridning i en bjælke
opstår eksempelvis, hvis forskydningskraften eller reaktionen er placeret excen-
trisk i forhold til bjælkeaksen.
Bestemmelse af vridningsbæreevnen er baseret på diagonaltrykmetoden og
minder i høj grad om bestemmelse af forskydningsbæreevnen. Vridningsmo-
mentet forudsættes optaget som et lodret og et vandret kraftpar, Vl og Vv, som
vist på figur 6-13. Snitkræfterne antages at fordele sig svarende til en jævn
fordelt forskydningsspænding t over et tyndfliget tværsnit rundt langs bjælkens
periferi.
Vv
l vT b V h V h’ Vl Vl
Vv
b’
Figur 6-13: Indre kraftpar
172
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
tef
h’ = h – tef
b’ = b – tef
Figur 6-14: Tyndfliget tværsnit
Den effektive vægtykkelse af det tyndfligede tværsnit sættes til:
ef
At
u
hvor A er tværsnittets totale areal, inklusive hulrum, og u er den udvendige
omkreds:
2
A bh
u b
h
tef bør ikke regnes mindre end to gange afstanden mellem betonens yderkant og
længdearmeringens midtpunkt.
For vridningsmomentet T fås forskydningsspændingen i en væg i tværsnittet
til:
2tk ef
T
A t
173
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
hvor k ef efA b t h t er arealet omsluttet af midterlinjerne i det tyndfli-
gede tværsnit, inklusive hulrum. Forskydningsspændingen t omskrives til for-
skydningskræfter i tværsnitsvæggene:
,l t ef ef v t ef efV t h t V t b t
Eftervisningen af vridningsmomentets optagelse er nu reduceret til en opgave
bestående i at eftervise forskydningsoptagelsen i det tyndfligede tværsnits væg-
ge. Løsningen af denne opgave er helt analog til eftervisningen af bjælkens for-
skydningsbæreevne ved hjælp af diagonaltrykmetoden.
, ,
cotmin
cot 1/ cot
swywd
l Rd v Rd
w v cdef ef
Af
V V sb z fh t b t
Herefter kan vridningsbæreevnen findes:
, ,
cotmin
2
cot 1/ cot
swk ywd
Rd l Rd ef v Rd efef k t cd
AA f
sT V b t V h t
t A f
Armeringsarealet Asw det samme som ved forskydningsberegningen, det vil sige
for en bøjle snittes gennem begge bøjlens ben.
Effektivitetsfaktoren for vridningspåvirkning er i det nationale anneks til EC2
givet ved:
0,7 0,7200
ckt
f
174
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
6.1.4 Kombineret vridning og forskydning
Når bjælken påvirkes af kombineret forskydning og vridning, skal det eftervises,
at nedenstående udtryk er opfyldt.
1Ed Ed
Rd Rd
T V
T V
Vridningsmomentet udtrykkes ved forskydningskraften TEd = VEde. Ved indsæt-
telse i ovenstående og isolering af VEd fås:
·1,0 ...
·Ed Ed Rd Rd
EdRd Rd Rd R
T V T VV
T V V e T
d
Hermed fås en reduktion af tværsnittets forskydningskapacitet, som kan sam-
menlignes direkte med forskydningskraftkurven. Excentriciteten e varierer gen-
nem bjælken. På den sikre side kan den maksimalt forekommende excentricitet,
emax, anvendes i alle bjælkesnit. Alternativt laves en beregning for hvert kritisk
snit, med anvendelse af den nøjagtige excentricitet i snittet.
6.1.5 Beregning af forankringskraft
Forskydnings- og vridningspåvirkning af en bjælke giver anledning til trækkræf-
ter i længdearmeringen, se eksempelvis figur 6-15. Ved dimensionering af
længdearmeringen er det tilstrækkeligt at vælge en armeringsmængde svarende
til det maksimale moment. Ved vederlaget, hvor forskydningen ofte er størst, er
det imidlertid vigtigt at sikre, at længdearmeringen er forankret for den træk-
kraft, som forskydning og vridning er årsag til. I dette afsnit bestemmes foran-
kringskraften for henholdsvis forskydning og vridning, hvorefter de kombineres.
6.1.5.1 Forankring ved ren forskydning
Forankringskraften for forskydningspåvirkning bestemmes ved simpel momentli-
gevægt. Der tages moment om trykresultanten i afstanden zcot fra vederlaget.
Under forudsætning af at der er tilstrækkeligt med bøjler, og at de er jævnt
175
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
fordelt, kan forskydningsresultanten antages at angribe ½zcot fra vederlaget.
Det ses, at den lodrette kraft, der skal beregnes for, er forskydningskraften ved
vederlaget, V0.
Momentligevægt: 0 0 0
1 1cot cot cot
2 2td tdV z V z F z F V
1/2·z·cot()
V0
z
V0
Ftd
Fc
z·cot()
Figur 6-15 Forankringskraft ved ren forskydning
6.1.5.2 Forankring ved ren vridning
Ved vridningsoptagelse kan tværsnittet opfattes som et tyndfliget tværsnit med
forskydningsspændinger i de tynde vægge som vist på figur 6-16. Forankrings-
kraften for længdearmering ved vridning kan herefter findes for de enkelte tyn-
de vægge som forankring ved forskydning, afsnit 6.1.5.1. Dette giver en træk-
forankringskraft i hvert af tværsnittets hjørner. Den længdearmering, der tilføres
tværsnittet af hensyn til vridning bør fordeles over sidelængden, men for mindre
tværsnit kan den koncentreres i hjørnerne.
176
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
h
b
tef
Ftd,V Ftd,L
Ftd,L Ftd,V
Figur 6-16: Tværsnit påvirket til vridning
Forskydningsspændingerne i en enkelt tynd væg, , kan bestemmes jævnfør
afsnit 6.1.3 som:
2 2Ed Ed
tk ef ef ef ef
T T
A t h t b t t
Forskydningskraften i hver af de fire vægskiver kan nu bestemmes af
,Ed i t ef iV t z , hvilket giver følgende forskydningskræfter i henholdsvis de lod-
rette og vandrette vægge:
· ·( )2 ( )( ) 2( )
· ·( )2 ( )( ) 2( )
Ed EdL ef
ef ef ef ef
Ed EdV ef ef
ef ef ef ef
T TV t h t
t h t b t b t
T TV t b t
t h t b t h t
177
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Forankringskraften i de fire hjørner fås af 1
cot2tdF V :
,
,
·cot( )4( )
·cot( )4( )
Edtd L
ef
Edtd V
ef
TF
b t
TF
h t
Forankringskraften i det ene hjørne kan være forskellig fra forankringskraften i
det andet hjørne, afhængigt af tværsnittets dimensioner.
6.1.5.3 Forankring ved kombineret forskydning og vridning
Som udgangspunkt bestemmes den samlede forankringskraft for vridning og
forskydning som summen af de to bidrag. Forankringskraften i bunden af bjæl-
ken fås således principielt til:
, ,td bund td td L td VF F F F ,
,
Tilsvarende fås forankringskraften i toppen af bjælken principielt til:
, ,td top td L td VF F F
Da forankringskraften ikke nødvendigvis er ens i hjørnerne, bør kræfterne på
den sikre side bestemmes som vist nedenfor, således at forankringskraften kan
fordeles ligeligt mellem de to hjørner.
, ,
, , ,
2·max ;
2·max ;
td bund td td L td V
td top td L td V
F F F F
F F F
,
178
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
6.1.6 Eksempel – Bjælkeberegning i brudgrænsetilstanden
I dette eksempel betragtes en simpelt understøttet betonbjælke i brudgrænsetil-
standen. Bjælkens bæreevne bestemmes med hensyn til bøjning, forskydning,
vridning og forankring.
6.1.6.1 Beregningsforudsætninger
Tværsnit 420 mm x 300 mm
Karakteristisk betontrykstyrke fck = 35 MPa
Regningsmæssig betontrykstyrke fcd = 35/1,4 = 25 MPa
Armering 4 stk. Y16, én i hvert hjørne.
Asc = 402 mm2
Ast = 402 mm2
c = 40 mm
Karakteristisk flydespænding for længdearmeringen fyk = 500 MPa
Regningsmæssig flydespænding for længdearmeringen fyd = 500/1,2 = 417 MPa
Forskydningsarmering bøjler Y6.
Asw = 228 mm2
Karakteristisk flydespænding for bøjlearmeringen fyk = 410 MPa
Regningsmæssig flydespænding for bøjlearmeringen fyd = 410/1,2 = 342 MPa
Bjælkelængde L = 5000 mm
420 m
m
300 mm
2 stk. Y16
2 stk. Y16
Bjl. Y6 pr.
a=0,7 m L=5,0 m
pd = 14,0 kN/m
Qd = 35 kN
Figur 6-17: Bjælketværsnit og statisk system
179
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
6.1.6.2 Bøjning
Det maksimale regningsmæssige moment bestemmes ud fra lastopstillingen
figur 6-17. Momentkurven er givet ved:
21 1 1
2 2 2d
d d d d
Q aL xdM x p x L x Q a p x p L x Q
L L
a
Punktet for momentmaksimum findes:
1' 0 0
21 35 0,71 14 5,02 5,02 2,15
14
dd d
dd
d
Q aM x p x p L
L
Q ap L
Lx mp
Det maksimale moment findes ved indsættelse af x i udtrykket for momentkur-
ven:
5,0 2,15114 2,15 5,0 2,15 35 0,7 56,9
2 5,Ed 0M kNm
Der ses bort fra trykarmeringen. Hermed kan de simple formler fra afsnit 6.1.1.3
benyttes.
Armeringsgrad:
402 4170,0588
300 380 25s yd
cd
A f
bdf
0,4 ; det vil sige, at armeringsgraden er mindre end den balancerede ar-
meringsgrad. Der er således flydning i armeringen, og nedenstående udtryk for
momentkapaciteten kan anvendes.
180
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
Momentkapacitet:
2
2
1 0,55
0,0588 1 0,55 0,0588 300 380 25 61,6
Rd cd
Rd
M bd f
M kNm
Momentbæreevnen ses at være tilstrækkelig:
56,9 61,6Ed RdM kNm M kNm
Den indre momentarm bestemmes til brug for forskydningsberegningen:
1 0,55 380 1 0,55 0,0588 367,7z d mm
6.1.6.3 Forskydning
Tværsnittet forsynes med bøjlearmering bestemt efter diagonaltrykmetoden.
Diagonaltrykkets vinkel ved vederlaget vælges til cot = 1,5, hvilket er inden for
intervallet 1 cot 2,5 . Vinklen holdes konstant i hele bjælkens længde.
Bjælken inddeles i længder af . 3cot 367,7 10 1,5 0,55z m
Minimumsarmeringsgrad og den maksimale bøjleafstand findes:
,min
0,063 2 28 410205
3000,063 0,063 35ywkck sw
w wywk w ck
ff As m
f b f
,max 0,75 0,75 380 285ls d mm
m
Det vil sige, at bøjlerne placeres pr. maksimum 200 mm.
Herudover tjekkes, om tværsnittet er så bredt, at der behøves mere end én
bøjle pr. snit:
,max 0,75 0,75 380 285 600ts d mm mm
181
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Afstanden mellem bøjlebenene fås til: ,
hvilket er ok. Der behøves kun én bøjle pr. snit. ,max300 2 40 2 6 208 285tmm s mm
Forskydningskraften bestemmes for hvert område. Princippet fra afsnit 6.1.2
benyttes.
l’2
a=0,7 m
L=5,0 m
pd = 14,0 kN/m
Qd = 35 kN
l1 l2 – l’2
V1 V2 V3
Figur 6-18: Bestemmelse af forskydningskræfter
V1 (x=0,55m)
2
1,
2
22
1,
1
2
5,0 0,55 35 5,0 0,7114 27,7 30,1 57,8
2 5,0 5,0
0,551 114 0,4
2 2 5,0
dvenstre d
højre d
L x Q L aV p
L L
kN
xV p kN
L
1,1
1,
57,8max max 57,8
0, 4venstre
højre
V kNV k
V kN
N
182
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
Afstand mellem armeringsbøjler:
01 3
1
cot 2 28 342 367,7 1,5183
57,8 10sw ywdA f z
s mV
m
,
1 max 200s s mm
Bøjleafstanden vælges til 150 mm.
V2 (x=1,10m)
2 2
2,
22
2,
5,0 1,101 114 21,3
2 2 5,0
1,11 1 35 0,714 1,7 4,9 6,6
2 2 5,0 5,0
venstre d
dhøjre d
L xV p kN
L
Q axV p
L L
kN
N
2,2
2,
21,3max max 21,3
6,6venstre
højre
V kNV k
V kN
Punktlasten Qd er beliggende på strækningen l2. Derfor skal forskydningsarme-
ringen øges på strækningen l’2. Her regnes med forskydningskraften V2 + Qd.
Afstand mellem armeringsbøjler på strækningen l2:
12 3
2
cot 2 28 342 367,7 1,5496
21,3 10sw ywdA f z
s mV
m
,
2 max 200s s mm
Bøjleafstanden er givet ved smax og sættes til 200 mm.
Afstand mellem armeringsbøjler på strækningen l’2:
12 3 3
2
cot 2 28 342 367,7 1,5' 188
21,3 10 35 10sw ywd
d
A f zs m
V Qm
,
2 max' 200s s m m
Bøjleafstanden vælges til 150 mm.
183
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
V3 (x=4,45m)
I den modsatte ende af bjælken bestemmes forskydningskraften V3 beliggende
0,55 m fra understøtningen. Snit 3 er det snit, der giver den største forskyd-
ningskraft for den resterende del af bjælken.
2 2
3,
22
3,
5,0 4,451 114 0,4
2 2 5,0
4,451 1 35 0,714 27,7 4,9 32,6
2 2 5,0 5,0
venstre d
dhøjre d
L xV p kN
L
Q axV p
L L
kN
N
3,3
3,
0, 4max max 32,6
32,6venstre
højre
V kNV k
V kN
Afstand mellem armeringsbøjler:
23 3
3
cot 2 28 342 367,7 1,5324
32,6 10sw ywdA f z
s mV
m
,
3 max 200s s mm
Bøjleafstanden er givet ved smax og sættes til 200 mm, og den resterende del af
bjælken forskydningsarmeres ligeledes med minimumsarmering.
Til slut undersøges om trykstyrken i betonen overskrides for den valgte vinkel :
Største forskydningsspænding: 357,8 10
0,5300 367,7
Ed
w
VMPa
b z
Effektivitetsfaktor for forskydning: 35
0,7 0,7 0,525200 200
ckv
f
Følgende udtryk ligning skal opfyldes:
2 21 cot 1 1,50,5 1,1 0,525 25 13,1
cot 1,5v cdf MPa MPa MPa
Der er således ikke problemer med betontrykket i forhold til diagonaltrykkets
vinkel.
184
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
Forskydningskapaciteten udregnes for henholdsvis bøjler pr. 150 mm, bøjler pr.
200 mm og for trykbrud i beton. Disse kapaciteter er praktiske i forhold til den
følgende undersøgelse af kombineret vridning og forskydning.
Bøjler pr. 150 mm:
2 28· ·cot 367,7 342 1,5 70,4
150sw
Rd ywd
AV z f
s kN
Bøjler pr. 200 mm:
2 28· ·cot 367,7 342 1,5 52,8
200sw
Rd ywd
AV z f
s kN
Trykbrud i beton:
300 367,7 0,525 25668,2
cot 1/ cot 1,5 1/1,5w v cd
Rd
b z fV kN
6.1.6.4 Vridning
De påsatte laster antages nu at angribe bjælken med en excentricitet, hvilket
giver en vridningspåvirkning. Excentriciteten for den jævnt fordelte last pd sæt-
tes til 20 mm, mens den for enkeltkraften Qd sættes lig 50 mm. Vridningsmo-
mentet bestemmes i de samme tre snit, som vist i eksemplet afsnit 6.1.6.3.
Vridningsmomentet er givet ved Ed EdT V e , hvilket giver følgende værdier for
vridningsmoment og samlet excentricitet i de tre snit vist på figur 6-18:
1 1, 1, 1
2,127,7 20 30,1 50 2,1 36
27,7 30,1p p Q QT V e V e kNm e mm
2 2, 2, 221,3 20 0, 4 20p p Q QT V e V e kNm e mm
3 3, 3, 3
0,827,7 20 4,9 50 0,8 25
27,7 4,9p p Q QT V e V e kNm e mm
Det kritiske snit ses at være snit 1, både med hensyn til vridningsmoment og
excentricitet. I den videre beregning benyttes det maksimale vridningsmoment
på og den maksimale excentricitet på 2,1EdT k Nm mmax 36e m .
185
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
De geometriske parametre bestemmes.
Tværsnitsareal: 2300 420 126000A bh mm
Udvendig omkreds: 2 2 300 420 1440u b h m m
Effektiv tykkelse: 126000
87,51440ef
At m
u m
mm
Hvilket er større end 2 2 40 80c mm
Tværsnitsareal:
2300 87,5 420 87,5 70656k ef efA b t h t mm
Effektivitetsfaktoren for vridning er
350,7 0,7 0,7 0,7 0,368
200 200ck
t
f
Vridningskapaciteten for henholdsvis bøjler pr. 150 mm, bøjler pr. 200 mm og
for trykbrud i beton fås nu af:
Bøjler pr. 150 mm:
2 28· ·cot 70656 342 1,5 13,5
150sw
Rd k ywd
AT A f k
s Nm
Bøjler pr. 200 mm:
2 28· ·cot 70656 342 1,5 10,1
200sw
Rd k ywd
AT A f k
s Nm
Trykbrud i beton:
2 2 87,5 70656 0,368 2552,5
cot 1/ cot 1,5 1/1,5ef k t cd
Rd
t A fT kNm
Det ses at vridningskapaciteten set isoleret er fuldt tilstrækkelig, da TEd = 2,1
kNm TRd for begge bøjleameringsgrader.
186
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
6.1.6.5 Kombineret vridning og forskydning
Vridning og forskydningskapaciteterne skal kombineres, hvilket giver en reduce-
ret forskydningskapacitet, der kan sammenlignes direkte med VEd i det pågæl-
dende snit. På den sikre side benyttes e = 36 mm for alle snit.
Bøjler pr. 150: · 13,5 70,4
59,3· 70,4 0,036 13,5
Rd RdEd
Rd Rd
T VV k
V e TN
På strækningen l1 fås V1 = 57,8 kN 59,3 kN OK!
På strækningen l’2 fås V2 + Qd = 21,3 kN + 35 kN = 56,3 kN
59,3 kN OK!
Bøjler pr. 200: · 10,1 52,8
44,4· 52,8 0,036 10,1
Rd RdEd
Rd Rd
T VV k
V e TN
På strækningen l2 fås V2 = 21,3 kN 44,4 kN OK!
På strækningen l3 fås V3 = 32,6 kN 44,4 kN OK!
Den nødvendige forskydningsarmering for en kombineret påvirkning med for-
skydning og vridning er vist på figur 6-19.
l1 l’2 l2 – l’
0,7 m 4,3 m
pd = 14,0 kN/m / e = 20 mm
Qd = 35 kN / e= 50 mm
2
V1 V2 V3
Bjl. Y6 pr.
150 mm
Bjl. Y6 pr. 200 mm
Figur 6-19: Nødvendig bøjlearmering for kombineret forskydning og vridning
187
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
6.1.6.6 Forankringskraft
Længdearmeringen skal forankres for vridning og forskydning. Forankringen skal
ske for den maksimale forskydningskraft, hvilket i dette tilfælde er V0 ved veder-
laget nærmest enkeltkraften. V0 bestemmes og derefter det tilhørende vrid-
ningsmoment:
0
35 5,0 0,71 114 5,0 35 30,1 65,1
2 2 5,0
35 ·0,020 30,1 ·0,050 2,2
dd
Ed
Q L aV p L k
L
T kN m kN m kNm
N
Forankring ved ren forskydning:
0
1 1cot 65,1 1,5 48,8
2 2tdF V kN kN
Forankring ved ren vridning:
,
,
2, 2·cot( ) 1,5 3,9
4( ) 4 300 87,5
2,2·cot( ) 1,5 2,5
4( ) 4 420 87,5
Edtd L
ef
Edtd V
ef
TF k
b t
TF k
h t
N
N
Forankring ved kombination af forskydning og vridning:
, , ,
, , ,
2·max ; 48,8 2 3,9 56,6
2·max ; 2 3,9 7,8
td bund td td L td V
td top td L td V
F F F F kN kN kN
F F F kN kN
Eksempel slut
188
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
6.2 Anvendelsesgrænsetilstande
I anvendelsesgrænsetilstanden er der principielt to væsentlige emner, nemlig
udbøjning og revnevidder. Der stilles normalt krav til udbøjningernes maksimale
størrelse, dels af æstetiske årsager, men også rent funktionelt, hvor konstrukti-
onen bygges sammen med andre og mere følsomme bygningsdele, eksempelvis
en glasfacade. Revnevidder har betydning for betonens holdbarhed og mod-
standsevne mod vandindtrængning.
6.2.1 Udbøjning
Der er mange faktorer, der spiller ind, når der laves en tværsnitsanalyse i an-
vendelsesgrænsetilstanden. Størrelsen på udbøjninger er betinget af belastnin-
gens størrelse samt krybning og svind. Krybning afhænger af lastens varighed,
mens svind relaterer sig til betonens alder. Begge dele er detaljeret beskrevet i
afsnit 2.1.5 samt i afsnit 6.2.1.1 og 6.2.1.2.
Beregningerne vanskeliggøres yderligere, fordi betonens stivhed varierer afhæn-
gig af, hvorvidt tværsnittet er revnet eller urevnet. I anvendelsesgrænsetilstan-
den regnes med en lineærelastisk arbejdslinje for betonen, hvor trækstyrken
tages med i regning. Det urevnede tværsnit besidder således en trækkapacitet,
mens der ikke kan overføres træk gennem et fuldt revnet tværsnit. I praksis
befinder mange tværsnit sig i grænsetilstanden mellem urevnet og fuldt revnet
tværsnit, hvor trækkapaciteten er begrænset, men dog til stede. Tension stiffe-
ning er et udtryk for denne effekt i grænsetilstanden. Ved analyse af udbøjnin-
ger er det oftest nødvendigt at lave en beregning både for det urevnede og det
revnede tværsnit, hvorefter effekten fra tension stiffening kan vurderes og den
endelige udbøjning bestemmes. Dette vises i afsnit 6.2.1.3.
6.2.1.1 Krybning
Ved langvarig belastning kryber betonen, det vil sige, at betonens tøjning øges,
mens spændingen forbliver konstant. Dette har betydning for betonens stivhed
og dermed størrelsen af udbøjninger. Den letteste måde at tage højde for kryb-
189
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
ning i anvendelsesstadiet er ved at benytte faktoren , som angiver forholdet
mellem armeringens og betonens elasticitetsmodul. Grunden til at dette er den
mest rationelle måde, er at belastninger ofte består af en kombination af kort-
tids- og langtidslaste, hvor kun langtidslasten giver anledning til krybning. Før-
ste skridt i en udbøjningsanalyse er således at skønne hvor stor en andel af be-
lastningen, der er henholdsvis langtids- og korttidslast og dermed bestemme .
Dette er nærmere beskrevet i afsnit 2.1.4.
6.2.1.2 Svind
Svindets bidrag til udbøjningen kan beregnes med følgende formel:
21
10a
s csT
Su L
I
us er udbøjningstillægget fra svind
cs er svindtøjningen, der bestemmes iht. afsnit 2.1.5
Sa er armeringens statiske moment om tværsnittets tyngdepunktsakse
IT er tværsnittets transformerede inertimoment
er forholdet mellem armeringens elasticitetsmodul og betonens elastici-
tetsmodul, som beskrevet i afsnit 6.2.1.1
L er bjælkens spændvidde
For symmetriske urevnede tværsnit ses svindbidraget at falde bort, da det stati-
ske moment af armeringen om tyngdepunktet er nul.
6.2.1.3 Tension stiffening
Konstruktionselementers udbøjning afhænger af, om tværsnittet er revnet eller
urevnet. I overgangstilstanden mellem det urevnede og det fuldt revnede tvær-
snit er der en reduceret trækkapacitet omkring de begyndende revner. Effekten
af dette kaldes tension stiffening.
Grafen figur 6-20 viser en udbøjningsberegning dels for et urevnet og et revnet
tværsnit samt overgangen mellem de to kurver givet ved en beregning, hvor
tension stiffening medregnes.
190
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Beregnet udbøjning
Urevnet stivhed
Revnet stivhed u tension stiffening
M0Ed [kNm]
u [mm]
Flydning i armering begynder
Figur 6-20: Udbøjning for revnet og urevnet tværsnit, samt tension stiffening
Udbøjningen under hensyntagen til tension stiffening bestemmes ud fra følgende
formel:
1revnet urevnetu u u
er fordelingskoefficient, der tager hensyn til tension stiffening og den
bestemmes ved
2
1
s
sr
For urevnet tværsnit er =0. På den sikre side kan ses bort fra tension
stiffening (i.e. =1), og uurevnet er i så fald ikke nødvendig at beregne.
er en koefficient, der tager hensyn til lastvarigheden. For vægge og
søjler, hvor en stor andel af lasten som regel er egenvægt, skal sæt-
tes til 0,5. For en enkelt forekommende korttidslast sættes .
191
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
s er spændingen i trækarmeringen beregnet ud fra en antagelse om, at
tværsnittet er fuldt revnet.
sr er spændingen i trækarmeringen beregnet ud fra en antagelse af rev-
net tværsnit, men påvirket af den last, der netop forårsager den første
revne. sr bestemmes ud fra det moment, der fremkalder spændingen
fctm i den nederste betonfiber, når tværsnittet er påvirket af den nor-
malkraft, der er antaget i anvendelsesstadiet.
urevnet er udbøjningen bestemt ud fra en antagelse om, at tværsnittet er fuldt
revnet, dvs. trækstyrken af betonen ikke længere har nogen betyd-
ning.
uurevnet er udbøjningen bestemt ud fra en antagelse om, at tværsnittet er
urevnet.
For urevnet tværsnit sættes =0, hvilket betyder at der ikke er en kontinuert
overgang mellem revnet og urevnet tværsnit for = 0,5.
Det er vigtigt at gøre sig klart, at bidraget til udbøjningen fra tension stiffening
gør, at de beregnede udbøjninger og tværsnitsspændinger ikke giver en statisk
ækvivalent løsning.
Endvidere skal der som nævnt i afsnit 6.2.1.2 tillægges et udbøjningsbidrag fra
svind. Også for dette udbøjningsbidrag anvendes formlen for tension stiffening,
nu på formen:
, , 2
, ,
11
10a revnet a urevnet
s scT revnet T urevnet
S Su L
I I
Med fortegnet på su tages hensyn til, at tværsnitskonstanterne i denne fremstil-
ling beskrives i et koordinatsystem med y-aksen opad.
192
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
Bestemmelse af sr
Det moment, der netop revner tværsnittet, Mr, fås ved at sætte betonspændin-
gen i den trækpåvirkede betonkant lig trækstyrken fctm. Momentet bestemmes
ved hjælp af Navier, på baggrund af antagelse om urevnet tværsnit:
,
, 22
T urevnetrctm T r ctm
T urevnetT
IM hf y M f
hIy
fctm er middelværdien for betonens enaksede trækstyrke.
2 30,30ctm ckf f for betoner med fck 50 MPa
IT,urevnet er det transformerede inertimoment for urevnet tværsnit, som be-
stemmes i afsnit 6.2.1.5.
yT er afstanden fra tværsnittets centerlinje til tyngdepunktsaksen, ligele-
des bestemt i afsnit 6.2.1.5. Bemærk fortegnsregningen.
sr er spændingen i trækarmeringen bestemt på baggrund af antagelse om rev-
net tværsnit. Momentet Mr påføres tværsnittet, og der udføres en tværsnitsana-
lyse som beskrevet i afsnit 6.2.1.4. Hvis tværsnittet har mere end et trækarme-
ringslag, kan spændingen sr bestemmes som en vægtet værdi af trækarme-
ringsspændingerne.
6.2.1.4 Udbøjninger for fuldt revnet tværsnit
Nedenfor opstilles den statiske ækvivalens for et betontværsnit med trykarme-
ring samt to lag trækarmering påvirket af moment. I anvendelsesgrænsetilstan-
den benyttes en lineær-elastisk arbejdslinje, hvor forholdet mellem spændinger-
ne i beton og armering er givet ud fra tværsnittets geometri samt størrelsen .
193
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
sc/
st2/
x
cc
c1
0(1+ef) c
MEd
b
h
c2
st1/
Figur 6-21: Definitioner, som anvendes ved tværsnitsanalyse
Betonens kantspænding benævnes c. De geometriske betingelser giver hermed
armeringsspændingerne:
11
22
csc c
st c
st c
x c
xh x c
xh x c
x
Ligevægtsligningerne kan nu opstilles.
Projektionsligningen:
1 1 2 2
10
2 c sc sc st st st stbx A A A
Momentligningen om tværsnittets centerlinje:
1 1 1 2 2 2
1
2 2 3 2 2 2Ed c sc sc c st st st st
h x h h hM bx A c A c A c
194
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
Nullinjens beliggenhed findes ved at indsætte de geometriske betingelser i pro-
jektionsligningen. Dette giver en 2.grads-ligning, der kan løses for x.
Tværsnitsspændingerne kan bestemmes på følgende måde: Betonkantspændin-
genc findes ved indsættelse af x i momentligningen, og armeringsspændinger-
ne fås til slut af de geometriske betingelser ved at indsætte c.
Bjælkens udbøjningskurve antages at være parabelformet. Udbøjningen kan
tilnærmelsesvis skrives:
21
10u L
hvor er bjælkens krumning ved moment maksimum. Udtrykkes krumningen
ved hjælp af betonkantspændingen fås:
21
10c
revnets
u LE
x
For revnet tværsnit findes tværsnitkonstanterne ved at se bort fra betonarealet i
trækzonen, og det revnede tværsnits angrebspunkt vil altid ligge i nullinjen sva-
rende til afstanden x fra oversiden bestemt ovenfor. Til brug for beregninger af
svindbidraget til udbøjningen i revnet tilstand fås da
, e 1 1 2 2
3 2 21, e 1 1 2 23
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (
a r vnet sc c st st
t r vnet sc c st st
S A x c A h x c A h x c2)I bx A x c A h x c A h x c
Og tillægget fra svind bliver
, 2,
,
1
10a revnet
s revnet sct revnet
Su L
I
195
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
6.2.1.5 Udbøjning for urevnet tværsnit
Når betontværsnittet er urevnet er spændings og udbøjningsbestemmelsen end
del lettere end for revnet tværsnit. Beregningerne for urevnet tværsnit baseres
på transformeret tværsnit, hvor areal, statisk moment og inertimoment be-
stemmes. Armerings- og betonspændinger kan herefter findes ved hjælp af Na-
vier’s formel. I denne fremstilling påvirkes tværsnittet af både et bøjende mo-
ment og en normalkraft. Den anvendte metodik gælder derfor både for bjælker
og søjler.
y
For et rektangulært tværsnit med et lag trykarmering og to lag trækarmering
kan tværsnitskonstanterne opstilles på følgende vis.
Transformeret areal: 1 2( )T C S C sc st stA A A A A A A
Transformeret statisk moment om centerlinjen:
1 1 2 202 2 2T C S sc c st st
h h hS S S A c A c A c
Figur 6-22: Definitioner, som anvendes ved tværsnitsanalyse
MEd
0(1+ ef)
½ h yT
c
x
st1/
tyngdepunktsakse cc
c1
c2
sc/
st2/
NEd
196
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
yT angiver placering af tværsnittets tyngdepunktsakse i forhold til tværsnittets
centerlinje:
TT
T
Sy
A
Bemærk at yT her regnes positiv, når den ligger over centerlinjen. Dette betyder,
at yT ofte vil være negativ.
Transformeret inertimoment om tyngdepunktsaksen:
2 223
1 1 2
1
12 2 2 2T C S T sc T c st T st T
h h hI I I bh bhy A y c A y c A y c
2
2
Udbøjningen for en given momentpåvirkning MEd er nu tilnærmelsesvis:
21
10Ed
urevnetS
T
Mu L
EI
hvor bjælkens krumning er udtrykt ved det påførte moment og det transforme-
rede inertimoment:
Ed
sT
ME
I
For det rektangulære tværsnit med bestemt som ovenfor fås til brug for
beregningerne at svindbidraget til nedbøjningen:
TS
, e 1 2
, e
/ (a ur vnet T t sc st st
t ur vnet T
S S y A A A
I I
)
og tillægget bliver
197
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
, 2,
,
1
10a urevnet
s urevnet sct urevnet
Su L
I
Armeringsspændinger og betonkantspændingen for urevnet tværsnit findes af
Navier’s formel:
1 1
2 2
2
2
2
2
Ed Edc T
T T
Ed Edsc T c
T T
Ed Edst T
T T
Ed Edst T
T T
N M hy
A I
N M hy c
A I
N M hy c
A I
N M hy c
A I
NEd er lig nul for bjælker uden normalkraft, men er som nævnt medtaget her af
hensyn til senere søjle/væg beregninger.
6.2.2 Revnevidder
Revnevidder bestemmes i henhold til EC2. Revnevidderne bestemmes for lang-
tidslast ud fra en antagelse om, at tværsnittet er fuldt revnet. Dette betyder, at
de beregnede udbøjninger og revnevidder ikke svarer til den samme spændings-
tilstand.
Den maksimale revnevidde er givet ved:
cmsmmaksrk sw ,
sr,maks er den maksimale revneafstand.
sm er middeltøjningen i armeringen under den relevante lastkombination,
inklusiv virkningen af tvangsdeformationer og under hensyntagen til
virkningen fra tension stiffening.
cm er middeltøjningen i betonen mellem revnerne.
198
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
Forskellen mellem sm og cm kan beregnes som:
,,
,
1
0,6
ct effs t e p eff
p eff ssm cm
s s
fk
E E
s er spændingen i trækarmeringen under antagelse af revnet tværsnit.
fct,eff er middelværdien af betonens effektive trækstyrke på det tidspunkt,
hvor revnerne tidligst kan forventes at opstå. For betonelementer og
andre betonkonstruktioner hvor revnedannelsen først forventes efter
28 døgn fås: fct,eff = fctm.
e er forholdet Es/Ecm
p,eff er armeringsforholdet bestemt som
,
,
3 2max ; ;
2,5st st st
p effc eff
A A A
A b c b h x stA
bh
kt er en faktor, der afhænger af belastningens varighed. kt = 0,4 for lang-
tidslast.
sr,maks er den maksimale revneafstand som beregnes af:
1/3
, 3 1 2 4, ,
29,1 0,17 1,32 2r maks
p eff p eff
s k c k k k c h x
Her er koefficienterne sat til:
k1 = 0,8 for armering med stor vedhæftning
k2 = 0,5 for bøjning
k3 = 2/33, 4(25 /( / 2))c
k4 = 0,425 anbefalet værdi
er armeringsdiameteren for trækarmeringen
199
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
6.2.3 Eksempel – Bjælkeberegning i anvendelsesgrænsetilstanden
Bjælken fra afsnit 6.1.6 betragtes i anvendelsesgrænsetilstanden. Lastopstillin-
gen er den samme som ved brudgrænsetilstanden, dog regnes med følgende
karakteristiske laster:
12,0
35k
k
p kN m
Q kN
Det maksimale moment fås af momentkurven:
21 1 1
2 2 2k
k k k k
Q aL xkM x p x L x Q a p x p L x Q
L L
a
Punktet for momentmaksimum findes:
1' 0 0
21 35 0,71 12 5,02 5,02 2,09
12
kk k
kk
k
Q aM x p x p L
L
Q ap L
Lx mp
Det maksimale moment fås ved indsættelse af x i udtrykket for momentkurven:
5,0 2,09112 2,09 5,0 2,09 35 0,7 50,8
2 5EdM
,0
For beton med en karakteristisk trykstyrke på 35 MPa foreslås i afsnit 2.1.2 føl-
gende -værdier:
Langtidslast: 24,2
Korttidslast : 7,7L
K
200
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
I dette eksempel vurderes ca. 75% af lastvirkning at skyldes langtidslast, mens
de resterende 25% skyldes korttidslast. Den effektive -værdi bestemmes ved
vægtning:
24, 2 0,75 7,7 0, 25 20eff
6.2.3.1 Udbøjning for fuldt revnet tværsnit
De geometriske betingelser fås til:
4020
420 40 38020 20
sc c c
st c c c
x c x mm
x xh x c mm x mm mm x
x x
x
Dette indsættes i projektionsligningen og x bestemmes:
2 2
2
1 10 300
2 240 380
20 402 20 402
0 150 16080 3376800 105,7
c sc sc st st c
c c
bx A A x
x x
x x
x x x mm
For en forenklet tilnærmelse anvendes denne værdi af x i nærværende eksempel
både for langtids og korttidslast.
Betonkantspændingen findes ved at tage moment om tværsnittets centerlinje:
2
2
6 3
1
2 2 3 2 2
1 420 105,7 105,7 40 42050,8 300 105,7 20 402 40
2 2 3 105,7
380 105,7 42020 402 40
105,7 2
50,87,1
7,167 10
Ed c sc sc st st
c c
c
c
h x h hM bx A c A c
kNm
kNmMP
mm
a
2
201
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Der er ikke brud i betonen da 25c cdf MPa
Armeringsspændingerne fås af de geometriske betingelser:
40 105,7 4020 20 7,1 88
105,7
380 380 105,720 20 7,1 369
105,7
sc c
st c
xMPa
x
xMPa
x
Der er ikke flydning i armeringen da 417s ydf MPa . Hvis der havde væ-
ret flydning i armeringen, må nullinje og tværsnitsspændinger bestemmes for-
fra, hvor armeringsspændingen sættes lig flydespændingen.
Udbøjningen for revnet tværsnit bestemmes:
225
1 1 7,15000 16,8
2,0 1010 10105,7
20
crevnet
s
au L
E axmm
For svindbidragets vedkommende anvendes svindtøjningen fra eksemplet i afsnit
2.1.6
000, 0, 465sc sc
Tværsnitskonstanterne bliver i denne sammenhæng
, 1
3 2
3 2 21, 13
2 2 213
( ) ( )
402(105,7 40) 402(420 105,7 40) 83,9·10
( ) ( )
·300·105,7 20·402(105,7 40) 20·402(420 105,7 40) 758·10
a revnet sc c st
t revnet sc c st
S A x c A h x c
mm
I bx A x c A h x c
mm
6 4
202
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
Udbøjningsbidraget for svind bliver dermed
, 2, ,
,
33 2
6
1
10
1 83,9·100,465·10 ·20 5000 2,6
10 758·10
a revnets revnet s c
t revnet
Su L
S
mm
6.2.3.2 Udbøjning for urevnet tværsnit
For urevnet tværsnit findes udbøjningen ved hjælp af transformeret inertimo-
ment.
Transformeret areal:
2300 420 20 2 402 142080T C SA A A mm
Tværsnittet er symmetrisk, hvorfor tyngdepunktsaksen er sammenfaldende med
tværsnittets centerlinje.
Transformeret inertimoment om tyngdepunktsaksen:
2 23
23 2 9
1
12 2 2
1 420420 300 20 2 402 40 2,317 10
12 2
T C S sc c st st
h hI I I bh A c A c
mm
4
Udbøjningen for en given momentpåvirkning MEd er nu for urevnet tværsnit til-
nærmelsesvis givet ved:
225
9
1 1 50,85000 5,9
2,0 1010 102,317 10
20
Edurevnet
ST
Mu L
EI
mm
203
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Da tværsnittet er symmetrisk bliver , 0a urevnetS , og nedbøjningen fra svind er
derfor
, 0s urevnetu m m
6.2.3.3 Udbøjning for tværsnit mellem fuldt revnet og urevnet
Tværsnittet befinder sig et sted mellem fuldt revnet og urevnet. Den faktiske
udbøjning i denne tilstand findes ved at tage hensyn til tension stiffening.
Det moment, der netop revner tværsnittet og armeringsspændingen sr svaren-
de hertil, bestemmes jævnfør afsnit 6.2.1.3.
Trækstyrken fås til: 2 3 2 30,30 0,30 35 3,2ctm ckf f M Pa
Revnemoment udregnes på baggrund af urevnet tværsnit:
9, 2,317 10
3, 2 35,3420
' 02 2
T urevnetr ctm
IM f k
hy
Nm
Betonkantspændingen bestemmes på baggrund af revnet tværsnit, hvor nullin-
jedybden er givet ved x = 105,7 mm. Der sættes ind i momentligningen:
2
6
1
2 2 3 2 2
1 420 105,7 105,7 40 42035,3 300 105,7 20 402 40
2 2 3 105,7 2
380 105,7 42020 402 40
105,7 2
35,34,9
7,177 10
r c sc sc st st
c c
c
c
h x h hM bx A c A c
MPa
204
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
Armeringsspændingen findes ved de geometriske betingelser:
380 380 105,720 20 4,9 254
105,7sr c
xMPa
x
Fordelingskoefficienten, der tager hensyn til tension stiffening bestemmes af:
2 2254
1 1 0,625 0,704369
sr
s
MPa
MPa
hvor 0,5 0,5 1 0,75 0,625 svarer til, at belastning vurderes at be-
stå af 75 % langtidslast og 25 % korttidslast. Den samlede, resulterende udbøj-
ning af bjælken bliver derved
, ,( ) 1 ( )
0,704 (16,8 2,6) 1 0,704 (5,9 0) 15, 4
revnet s revnet revnet s revnetu u u u u
mm
6.2.3.4 Revnevidder
Revnevidden for langtidslast bestemmes jævnfør afsnit 6.2.2. Først findes for-
holdet sm - cm, idet der for langtidstilstanden anslås en armeringsspænding af
størrelsen:
, 0, 75·369 277s L MPa
,,
,
5
3, 21 277 0, 4 1 7,7 0,01340,0134 0,00086
2,0 10
ct effs t e p eff
p effsm cm
s
fk
E
Kontrol: 5
2770,6 0,6 0,00083
2,0 10s
sm cmsE
205
6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Følgende hjælpestørrelser er benyttet i beregningen:
, 3, 2ct eff ctmf f M Pa udregnet i afsnit 6.2.3.3.
7,7se k
cm
E
E
,,
3 2max ; ;
2,5
402 3 402 2 402max ; ;
300 2,5 40 300 420 105,7 300 420
max 0,0134;0,0128;0,0064 0,0134
st st st stp eff
c eff
A A A A
A b c b h x bh
Den maksimale revneafstand udregnes:
1/ 3
, 3 1 2 4, ,
1/ 3
29,1 0,172 2
16 1629,1 40 0,17 295,3
2 0,0134
r maksp eff p eff
s k c k k k c
Kontrol: , 1,3 1,3 420 105,7 408,6r makss h x mm
Den maksimale revnevidde for langtidstilstanden alene bliver således:
, 295,3 0,00086 0, 26k r maks sm cmw s mm
Eksempel slut
206
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6
6.3 Beregningsprogram
På www.bef.dk kan frit hentes et beregningsprogram, der håndterer samtlige
beregninger svarende til ovenstående afsnit 6.1 og 6.2. Nedenfor ses dette pro-
grams brugerflade/udskrift med bjælken fra regneeksemplet indlagt. Der ses at
være god overensstemmelse i resultaterne, og små forskelle som eksempelvis
resulterende nedbøjning (15,4mm og 15,8mm) skyldes mere præcises bereg-
ningsmodeller anvendt i programmet.
Sagsnavn: Sag nr.:Bygningsdel: Dato:Emne: Init:
Spændvidde Tværsnit h 420 mm
L 5,00 m b 300 mmLængdearmering c' = 40 mm beff 300 mm
d (mm) c (mm) antalTryklag t 16 40 2
Træklag 1 14 100 0
Træklag 2 16 40 2Bøjler d (mm) a (mm) cot
Type 1 6 150 1,50
Type 2 6 200 1,50
Partialkoefficienter Længdearmeringc 1,40 fyk 500 MPa
56,9 kNm < s 1,20 fyd 417 MPaBeton Bøjlearmering
fck 35 MPa fyk 410 MPa
p1 p2 p3 P1 P2 P3 fcd 25,0 MPa fyd 342 MPaLangtidsværdi (kN/m) 9,0 0,0 0,0 (kN) 28 0 0 Nedbøjninger Krybetal
Kar. værdi (kN/m) 12,0 0,0 0,0 (kN) 35 0 0 uL 13,1 mm RH 55%
Regnm. værdi (kN/m) 14,0 0,0 0,0 (kN) 35 0 0 ukar 15,8 mm to 28 døgn
Excentricitet, exc. (mm) 20 0 0 (mm) 50 0 0 Revnevidder o 2,04
x1 (m) 0,00 0,00 0,00 (m) 0,70 0,00 0,00 wk,L 0,26 mm Svindtøjning
x2 (m) 5,00 0,00 0,00 wk,kar 0,33 mm cs 0,45 o/oo
Kontrolparametre Langtid Brudstadie Momentkapacitet Forskydningskapacitet
M (kNm) 38,8 62,1 MRd 62,1 kNm v/ trykbrud i krop: VRd,0 457 kN
x (mm) 111,2 35,2 EIL,revnet 7397 v/ type 1 bøjler: VRd,1 60 kN
(o/oo) 0,19 3,15 EIkort,revnet 8678 v/ type 2 bøjler: VRd,2 45 kN
st (MPa) 282 417 Forskydningskraftens største excentricitet, exc.: 36 mm
z (mm) - 366 Forankringskrav til hovedarmering over lejer, Na : 57 kN
Vejledning PC-statik: Bjælkeberegning efter EC2 Udgivet på www.bef.dk december 2008 NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker
BJÆLKE, version 3.0 / EC Betonelement-Foreningen mar. 2010
Jævnt fordelte laste Punktlaste
23 - 45452010-03-01
JFJ
Betonelementhuset
Normale lastkombinationerBjælke i modul D-E/12, stueetage
Forskydningskræfter i kN
0
10
20
30
40
50
60
70
80
: : : :
Momenter i kNm
0
10
20
30
40
50
60
:
:
:
ML
Mkar
MEd
VEdVRd,1
VRd,2
z cotMEd,max MRd
kNm2
kNm2
c
c
c
tryklag t
træklag 1
c måles til midte jern
træklag 2
Pp
x2
x1
x1
L
c'
: L / 10
Figur 6-23: Beregningsprogram
Det bemærkes, at forskydningskapaciteten i udskriften er beregnet under hen-
syntagen forskydningskraftens excentricitet, altså inkl. effekten af vridning.
207
7ForSPÆndTE
ElEMEnTEr
7 FORSPÆNDTEELEMENTER
7.1 Princippervedforspændteelementer
7.1.1 Udførelse
7.2 Indledendeprojekteringmedforspændteelementer
7.3 Tværsnitsanalyse–rektangulærttværsnit
7.3.1 Anvendelsesgrænsetilstande
7.3.2 Brudgrænsetilstande
7.3.3 Eksempel–RB-bjælke
7.4 Vilkårligttværsnitmedforspænding
7.4.1 Anvendelsesgrænsetilstand,tværsnitsanalyse
7.4.2 Brudgrænsetilstand,tværsnitsanalyse
7.5 Beregningsprogram
7 | Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
7.1 Principper ved forspændte elementer
Der findes både før- og efterspændte betonkonstruktioner, og for begge typer
kan der benyttes retlinede eller kantede/krumme armeringstræk. Denne gen-
nemgang beskriver alene førspændte konstruktioner.
7.1.1 Udførelse
For at forklare hvordan førspændte bjælker virker, tages der udgangspunkt i
produktionen af bjælker med rette liner. Undervejs beskrives de tab i armering,
som der skal tages højde for ved bestemmelse af den regningsmæssige for-
spændingskraft.
1. Først spændes linerne op i formen.
2. Betonen udstøbes i formen, hvor de opspændte liner befinder sig.
3. Når betonen er hærdet til det foreskrevne niveau, kappes linerne.
4. Idet linerne kappes, trækker linerne sig ind i betonen, til der er ligevægt
mellem forskydningsspændingerne, der kan overføres mellem liner og
beton. Hermed er det først et stykke inde i betonen, at den fulde foran-
kringskraft er opnået.
5. Når linerne er forankret, vil der i forankringszonen overføres en kraft til
betonen, som medfører et tryk i betonbjælken. Dette vil medføre, at be-
tonen trykkes sammen, til den modsvarer kraften i linerne. Samtidig
med at betonen trykkes sammen, vil linerne blive forkortet, og kraften i
linerne minimeres.
6. Er linerne placeret excentrisk, vil bjælken samtidig begynde at krumme
til en tilstand, hvor der er momentligevægt. Ved beregning af denne
momentligevægt skal egenvægten medtages.
210
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer | 7
1)
2)
3)
På grund af materialedeformationerne bliver den effektive forspændingskraft i
det færdige element mindre end opspændingskraften benyttet under element-
fremstillingen. For gængse linetyper kan regnes med en effektiv forspæn-
dingskraft pr. line som anført nedenfor.
Linedimension 9,3 mm 12,3 mm 15 mm
Areal 63 mm2 93 mm2 150 mm2
Effektiv forspænding 65 kN 100 kN 160 kN
4)
5)
6)
P
Figur 7-1: Principper for førspændte elementer
211
7 | Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
7.2 Indledende projektering med forspændte elementer
Langt de fleste forspændte elementer i byggeriet er baseret på standardtvær-
snit, der kan findes i leverandørernes kataloger. Almindeligvis vil de forskellige
leverandører kunne tilbyde gængse elementer med samme hovedmål på tvær-
snittene.
For den projekterende vil det især være elementernes maksimale ydeevner, der
indledningsvist har interesse for hver af de mulige tværsnitsstørrelser. Alminde-
ligvis vil det samlet set føre til den billigste løsning, hvis man for den aktuelle
elementtype vælger det mindste tværsnit, der kan opfylde funktionskravene. I
den sammenhæng fokuserer den projekterende på oplysninger om:
g: Elementets egenvægt (kN/m)
VRd: Elementets regningsmæssige forskydningsstyrke i brudgrænsetilstan-
den (kN)
MRd: Elementets regningsmæssige momentkapacitet i brudgrænsetilstanden
(kNm)
Mbal: Balancemomentet, der er det moment fra ydre laster på elementet,
som netop udligner forspændingens momentvirkning, MP. Størrelsen
Mbal = - MP anvendes ved nedbøjningsvurderingerne, se senere. (kNm)
MOO: Dekompressionsmomentet, der er det moment fra ydre laster på ele-
mentet, som netop svarer til, at spændingen i den mindst trykkede fi-
ber i betonen antager værdien 0. (kNm)
Mcr: Revnemomentet, der er det moment fra ydre laster på elementet, som
netop svarer til at spændingen ét sted i betontværsnittet antager en
værdi svarende til betonens karakteristiske trækstyrke. (kNm)
212
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer | 7
EIk: Elementets stivhed overfor korttidslast, som med en korrektion også
kan anvendes til vurdering af nedbøjningerne over for langtidslast.
(kNm²)
f: Elementets typiske pilhøjde ved levering.
De funktionskrav, som den projekterende på baggrund af ovennævnte informa-
tioner vil sikre sig opfyldt er normalt, som anført nedenfor, idet førspændte ele-
menter vil være simpelt understøttede i konstruktionen.
Tværsnitskontroller:
Sikring af tilstrækkelig forskydningsbæreevne:
VEd VRd
hvor VEd er det størst forekommende forskydningskraft fra ydre laster i
brudgrænsetilstanden.
Sikring af tilstrækkelig momentbæreevne:
MEd MRd
hvor Med er det størst forekommende moment fra ydre laster i brud-
grænsetilstanden.
Sikre mod vedvarende dekompression:
MEq M00
hvor MEq er det størst forekommende moment fra ydre, quasipermanente
laster i anvendelsesgrænsetilstanden.
Sikre mod revnedannelse i tværsnittet:
MEk Mcr
hvor MEk er det størst forekommende moment fra ydre karakteristiske la-
ster i anvendelsesgrænsetilstanden.
Indledende kontrol af deformationsegenskaberne:
MEq 1,6 Mbal
213
7 | Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
For så vidt angår deformationsegenskaberne tilrådes at udføre nogle lidt mere
detaljerede vurderinger af deformationsegenskaberne før det endelige valg af
tværsnit.
Ved disse vurderinger tages hensyn til, at elementers stivhed over for langtids-
last er mindre end stivheden over for korttidslast pga. betonens krybning. Da
krybningseffekten yderligere afhænger af tidspunktet for belastningens påførsel
benyttes efterfølgende tre værdier af elementets stivhed:
Over for elementets egenvægt og forspænding:
/(1 )k pEI (overslagsmæssigt kan anvendes / 3,0kEI )
Over for øvrige quasipermanente laster:
/(1 )k qEI (overslagsmæssigt kan anvendes / 2,3kEI )
Over for korttidslaster:
kEI
I ovenstående er p og q slutkrybetallene for betonen svarende til henholdsvis
belastning påført ved tidspunktet for aktivering af forspændingen og belastnin-
gen påført som permanent last efter elementets indbygning.
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
0 50 100 150 200 250 300 350 4
0( , )t
00
Figur 7-2: Slutkrybetal
Forspænding aktiveres
0( , ) 2,0P pt
Langtidslast påsættes
0( , ) 1,3q qt
t0 (dage)
214
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer | 7
Ved deformationsvurderingen kan der med god tilnærmelse regnes med, at et
moment, M, fra den ydre belastning på et simpelt understøttet element med
spændvidde, L, og stivhed, EI, vil modsvares af en nedbøjning af størrelsen:
21
10E
Mu l
EI
medens udbøjningen fra forspændingsmomentet, der er konstant over elemen-
tets længde, vil være omkring:
21
8P
P
Mu l
EI
Hermed kan de forskellige belastningers bidrag til den resulterende nedbøjning
opgøres således:
Bidrag fra forspænding:
2(1 )·1
8p bal
PK
Mu l
EI
Bidrag fra elementets egenvægt.
2(1 )·1
10p g
gK
Mu l
EI
hvor Mg er momentet fra egenvægten.
Bidrag fra øvrig langtidslast:
2(1 )·1
10q q
qK
Mu l
EI
hvor Mq er momentet fra den quasipermanente belastning ekskl. elemen-
tets egenvægt.
Bidrag fra korttidslast:
21
10k q g
kK
M M Mu l
EI
hvor Mk er momentet på den samlede karakteristiske last.
215
7 | Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Ved deformationsvurderingen sammenholdes disse resultater typisk med følgen-
de funktionskrav:
Virkningen af de samlede langtidsbelastninger bør ikke føre til synlige
nedbøjninger, dvs.:
0 q p g qu u u u
Virkningen fra korttidsbelastning bør overholde:
400k
Lu
Pilhøjden ved levering på byggepladsen skal ligge inden for en rimelig
grænse svarene til, hvad der kan udlignes i den påtænkte gulvopbyg-
ning. Pilhøjden er i denne forbindelse synonym med den negative værdi
af nedbøjningen på leveringstidspunktet og er for et maksimalt for-
spændt tværsnit, erfaringsmæssigt af størrelsesordenen:
20 3 ( ) 50%p gf u u
I praksis vil elementleverandøren arbejde på at optimere forspændingen sva-
rende til de præcise forhold i det aktuelle projekt. I forhold til det maksimalt
forspændte tværsnit vil en reduktion af forspændingen umiddelbart resultere i
mindre værdier af Mbal og dermed mindre pilhøjde. Dette skal til gengæld afve-
jes med, at MRd, M00 og Mcr samtidig reduceres. Disse sammenhænge kan analy-
seres i detaljer via de metoder, der præsenteres i afsnit 7.3 og 7.4.
I tilknytning til udbøjningsforhold skal sluttelig nævnes, at elementernes stiv-
hed, spændvidde og egenvægt har betydning for byggeriets vibrationskomfort.
Sædvanligvis undgås problemer med svingninger fra almindelig gangtrafik på
etagedækkene, når der vælges dæk, der overholder:
L 35 á 40 gange dæktykkelsen
216
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer | 7
Se nærmere om vibrationskomfort i ”EN1990 DK NA:2007”. På grund af beton-
elementernes store egenvægt, vil det ofte kunne eftervises, at resonansfrekven-
ser omkring 6Hz er tilfredsstillende ved brug af den almene teori for bygnings-
dynamik.
7.3 Tværsnitsanalyse – rektangulært tværsnit
som det fremgår af afsnit 7.2 er det for forspændte elementer i høj grad anven-
delsesgrænsetilstande, der fordrer beregningsmæssig opmærksomhed. I denne
fremstilling tages i afsnit 7.3 og 7.4 derfor afsæt i anvendelsesgrænsetilstanden,
før forholdene i brudgrænsetilstanden præsenteres. Dels fordi det ofte vil være
forholdene i anvendelsesgrænsetilstanden, der vil være dimensionsgivende, dels
fordi forfatterne har vurderet, denne rækkefølge af begreberne vedrørende for-
spændte elementer er hensigtsmæssig.
7.3.1 Anvendelsesgrænsetilstande
I anvendelsesgrænsetilstanden antages forspændte betonelementer at være
urevnede. Da beregningsmodellen baseres herpå, skal denne antagelse verifice-
res i forbindelse med beregninger ved at kontrollere, at den største trækspæn-
ding i betonen ikke overstiger betonens trækstyrke.
Til analyse af urevnede tværsnit anvendes den tekniske elasticitetsteori for
transformeret tværsnit.
Konventionelt arbejdes for betonelementer med, at betontrykspændinger regnes
positive, og at et tværsnit beskrives i et retvendt koordinatsystem for beskue-
ren. Yderligere regnes momenter positive, når de giver tryk i elementets over-
side. For at imødekomme denne tradition er der til denne fremstilling valgt at
benytte orientering af koordinatsystemet og en fortegnsregning som angivet på
følgende figur.
217
7 | Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Figuren viser et tværsnit i en forspændt bjælke med hovedmålene b h . Endvi-
dere ses én af forspændingslinerne, den j’te med tværsnitsarealet Aj og koordi-
naterne (xj , yj) i det valgte (x , y)-system.
N
x
y
Ajyj
xj
yo
uy
My
t
Mx ux sh
b
xo
Figur 7-3: Principper for førspændte elementer
Den enkelte line regnes i det færdige element at have en effektiv forspæn-
dingskraft af størrelsen ,eff jp . Når der ikke optræder ydre normalkræfter i ele-
mentet, vil normalkraften, N, være i projektionsligevægt med den resulterende
forspænding i linerne:
,1
m
eff j Pj
N p N
218
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer | 7
Spændingen i den j´te line hidrørende fra forspændingen er:
,, (positiv som træk)eff j
p jj
p
A
Dermed bliver den resulterende trækspænding i linen ved de aktuelle snitkræf-
ter:
, ,1 2
yxs j p j j j
T T T
MMNt s
A I I
idet akserne i (s, t)-systemet er tværsnittets 1. og 2. hovedakse.
Til brug for tværsnitsanalysen er nu opgaven at bestemme de transformerede
tværsnitskonstanterne TA , 1,TI og 2,TI og at finde hovedaksernes placering
bestemt ved tværsnittets tyngdepunkt 0 0( , )x y . I første omgang bestemmes
tværsnitskonstanterne i (x, y)-systemet, idet betonens elasticitetsmodul anven-
des som referencemodul. I det transformerede tværsnit indgår forspændingsstå-
let derfor med vægten /s cEE .
2 213
1 1
2 31 12 3
1 1
212
1
m m
T j xj j
m m2
j j
x j j y j jj j
m
y j jj
A bh A I bh y A
S bh y A I b h x
S b h x A
A
Tværsnittets tyngdepunkt er da:
0 0y x
t t
S Sx y
A A
219
7 | Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
og inertimomentet om akserne gennem tyngdepunkter bliver:
2 20 0 0x x t y y 0 tI I y A I I x A
Ved beregningen af disse tværsnitskonstanter anvendes almindeligvis for
førspændte elementer en fast værdi af , eksempelvis:
12
Den resulterende tryknormalkraft, NP, i projektionsligevægt med forspændingen
virker i:
, ,1 1( , ) ,
m m
j eff j j eff jj j
p pp p
x p y p
x yN N
Dette er statisk ækvivalent med normalkraften NP virkende i tværsnittets tyng-
depunkt sammen med momenterne:
0
0
( )
( )xp p
yp p p
pM y y N
M x x N
I en bjælke med rektangulært tværsnit primært beregnet for optagelse af lodret-
te belastninger vil forspændingeslinerne almindeligvis være placeret symmetrisk
om tværsnittets lodrette midterakse. Dermed bliver xP = xo og M2P = 0. Yderlige-
re er standardelementer altid simpelt understøttede, så for den projekterende vil
det være forholdene knyttet til optagelse af de positive momenter ved bjælke-
midte, der har interesse. Svarende til det i afsnit 7.2 gennemgåede vil det for en
sådan bjælke blive følgende ydeevner, der beregnes til brug for undersøgelser i
anvendelsesgrænsetilstanden:
220
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer | 7
0 1
1,0000 0 00
1, 0
1,0
1, 0
1,
( )
: ( 0) ( ) 0
: ( 0) ( )
·
bal p p P
p pTbalc bal
T T T
p pTcr balcr c ct cr bal ct
T T T
K ck T
M y y N M
N NIM MM y y M M
A I y A
N NIM MM y y f M M
A I y A
EI E I
f
I tillæg hertil vil leverandøren i sine detaljerede beregninger foretage en række
yderligere kontroller af spændingsniveauer i både beton og i forspændingsliner-
ne ved forskellige snit langs bjælkens længdeakse og ved forskellige belast-
ningssituationer. Eksempelvis vil en kraftig forspænding i en situation, hvor
bjælken kun er belastet af sin egenvægt, kunne udløse store trækspændinger i
bjælkens overside. Nær understøtningen vil det ydre moment være negligibelt,
så betonspændingen bliver:
01,
( ) (p balc
T T
N My h h y
A I )
For at undgå overskridelse af betonens trækstyrke i denne situation, vil leveran-
døren ofte være nødt til at indlægge ekstra forspændingsliner øverst i elementet
eller opbøje en del af forspændingslinerne ud mod elementenderne, så det re-
sulterende negative moment i tværsnittet reduceres. For standardelementer vil
disse forhold være indarbejdet, når leverandøren oplyser ydeevnerne.
7.3.2 Brudgrænsetilstande
I dette afsnit beskrives beregning af forspændte armerede bjælker i det reg-
ningsmæssige brudstadie. De forhold, der skal bestemmes i brudstadiet, er
brudmomentet MRd, forskydningskapaciteten VRd, hvor der tages højde for en
eventuel excentrisk placering af lasten samt den nødvendige forankringskraft,
for at kunne optage forskydning og vridning. Først beskrives rektangulære bjæl-
ker med vandret nullinje, og efterfølgende for mere komplicerede former med
skrå nullinje er beskrevet under afsnittet vilkårlige tværsnit.
221
7 | Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
For beregning af forskydning og vridning samt nødvendig forankringskraft, kan
for rektangulære bjælker henvises til afsnit 6.1.2 Forskydning, 6.1.3 Vridning,
6.1.4 Kombineret vridning og forskydning og 6.1.5 Forankring, da beregningerne
er identiske med dem for slapt armerede bjælker.
Beregningen af momentkapaciteten foregår helt analogt til beregningen for slapt
armerede bjælker, med den væsentlige undtagelse, at der skal tages højde for
forspændingstøjningerne i spændarmeringen.
7.3.2.1 Bøjning
I forbindelse med styrkeeftervisning af forspændte betonbjælker anvendes den
generelle metode for tværsnitsanalyse i EC2. Den generelle metode baserer sig
på en ikke-lineær arbejdskurve af betonen og en lineær-elastisk ideal-plastisk
arbejdskurve af armeringen.
7.3.2.2 Tværsnitsanalyse – generel metode
Ved tværsnitsanalyse af en bjælke i brudgrænsetilstanden anvendes resultater-
ne fra afsnit 2.1.3. Her blev resultanten af betonspændingerne, Nc, i tværsnittets
trykzone for en given betonkantspænding, 0, bestemt ved:
2 2 203
1
1 11 1 2 1 2ln
2 1cc
cc
cd
A B BN k B B
B B
NN
bxf
og med denne resultants moment om nullinien givet ved:
'' 3 3 3 2 204
1
1 11 2 1 3 1 6 1 6ln
3 2 1cc
A B BN k B B B
B B
Fejl! Objekter kan ikke oprettes ved at redigere feltkoder.
så resultantens placering målt fra nullinjen kan bestemmes som:
222
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer | 7
2c cd c
c cd c c
y N bx f N Ny x
N bxf N Nc
I det følgende findes bidraget fra spændingerne til snitkræfterne i tværsnittet,
og ligevægtsligningerne for en bjælke løses.
Nc
Nac
Nat1
x
cc
c1
0 c
MRd
b
h
y’
c2 Nat2
Figur 7-4: Definitioner, som anvendes ved tværsnitsanalyse
Tværsnittet, der benyttes, er armeret med et lag liner i trykzonen med et areal
Asc og to lag liner i trækzonen med arealerne Ast1 og Ast2 og med den geometri-
ske placering givet ved cc, c1 og c2.
For en given værdi af den variable trykzonehøjde x og betonens tryktøjning i
tværsnitskanten 0, kan de geometriske betingelser for armeringstøjningerne i
tryklaget sc og i træklagene st1 og st2 skrives som følgende, idet der tages hen-
syn til forspændingen af armeringen:
0
111 0
1
222 0
2
c scsc
c s
stst
c s
stst
t s
x c P
x A E
Ph x c
x A E
Ph x c
x A E
Tryk/trækkræfterne i armeringen er hermed givet ved:
223
7 | Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Trykarmeringen
000
0
min1/ 9
1 ·0,02 /
pdac sc s ac
s
acpd pd
sc pd ac acpd s s s
fA E for
EN
f fA f for
f E E E
20
Trækarmeringen
1 1 1
1
0001 1
0
min1/ 9
1 ·0,02 /
pdat st s at
s
atpd pd
st pd at atpd s s s
fA E for
EN
f fA f for
f E E E
1 20
2 2 2
2
0002 2
0
min1/ 9
1 ·0,02 /
pdat st s at
s
atpd pd
st pd at atpd s s s
fA E for
EN
f fA f for
f E E E
2 20
Hvor fyd er armeringens regningsmæssige flydespænding. Bemærk at det i oven-
stående er valgt at regne kræfterne i ”trykarmeringen” i bjælkeoversiden positi-
ve som tryk. Dette er alene gjort af hensyn til analogien med forholdene i slapt
armerede bjælker, der i kapitel 6 blev gennemgået efter sædvanlige konventio-
ner for jernbetonbjælker med trykarmering. Det er nu muligt at opstille lige-
vægtsligningerne, som vil bestemme tværsnittets bæreevne.
Projektionsligningen:
catatac NNNN 210
Momentligningen om tværsnittets nullinje:
1 1 2'Rd c c ac at at 2M y N x c N h x c N h x c N
224
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer | 7
hvor y’ er afstanden fra nullinjen til betontrykspændingens resultant, som be-
stemmes i afsnit 2.1.1. MRd er tværsnittets momentkapacitet.
Her gives en kort opsummering af iterationsprocessen:
1. Det antages, at kanttøjningen i toppen af bjælken er lig brudtøjningen.
2. Herefter gættes på tøjningsfordelingen ved at gætte på placeringen af
nullinjen.
3. Det undersøges, om der er vandret ligevægt, hvis ikke gættes en ny nul-
linje dybde
4. Tværsnittets samlede momentkapacitet MRd fås af momentligningen om
tværsnittets nullinje.
7.3.2.3 Minimum- og maksimumarmering
Der skal sikres, at der ikke kan forekommer et skørt brud i bjælken. Det skal
sikres ved at armere bjælken med minimumsarmering. Minimumsarmering As,min
for en den langsgående trækarmering er ifølge EC2 givet ved:
0,1,min
0, 26max
0,0013
ctmt
p ks
t
fb d
fA
b d
bt er trækzonens middelbredde, for rektangulære tværsnit fås bt = b.
fctm er middelværdien for betonens enaksede trækstyrke.
2 30,30ctm ckf f for betoner med fck 50 MPa
Armeringen begrænses i EC2 også med et maksimum for træk- eller trykarme-
ringens tværsnitsareal, As,maks:
, 0,04s maks cA A
Udtrykket gælder uden for områder med stød.
225
7 | Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
7.3.3 Eksempel – RB-bjælke
I dette eksempel betragtes en simpelt understøttet betonbjælke i brudgrænsetil-
standen. Bjælkens bæreevne bestemmes med hensyn til bøjning. For forskyd-
ning, vridning og forankring henvises til fremgangsmåden for slapt armerede
bjælker.
7.3.3.1 Beregningsforudsætninger
Tværsnit 420 mm x 300 mm
Karakteristisk betontrykstyrke fck = 40 MPa
Regningsmæssig betontrykstyrke fcd = 40 MPa/1,4 = 28,6 MPa
Armering 10 stk. liner der hver har et tværsnitsareal på 93mm².
Asc = 186 mm2 Cc = 50 mm
Ast,2 = 372 mm2 C2 = 90 mm
Ast,1 = 372 mm2 C1 = 50 mm
Karakteristisk flydespænding for længdearmeringen
fyk = 1600 MPa
Regningsmæssig flydespænding for længdearmeringen
fyd = 1600 MPa/1,2 = 1333 MPa
Effektiv forspænding: 100 kN/line
420 m
m
300 mm
2 liner
2x4 liner
Bjl. Y6 pr. 150/200
Figur 7-5: Bjælketværsnit og statisk system
226
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer | 7
Bjælken regnes belastet af følgende jævnt fordelte linjelaster
3,0 / 24,0 /
18,0 / 30,0 /g k
L R
p pkN m kN m
p pkN m kN m
Derudover forudsættes, at linerne kappes efter 2 døgn, og at bjælken ind til da
er opbevaret ved en relativ luftfugtighed på 80%. Herved bestemmes krybetallet
til 2,35. Derudover forudsættes det, at lasten påføres efter 28 døgn, og at bjæl-
ken opbevares ved en gennemsnitlig luftfugtighed på 50%. Herved bestemmes
krybetallet til 1,83. Ved levering, som antages at være efter to dage, findes
krybetallet til 0,90.
0,90 , 2,35 , 1,86Levering Lager Langtid
7.3.3.2 Brudgrænse, bøjning
Momentkapaciteten bestemmes ud fra en antagelse af, at tøjningen i toppen af
bjælken er lig brudtøjningen. Det er i afsnit 6.1.1.2 vist, at dette er en fornuftig
antagelse, når der benyttes massive rektangulære tværsnit.
Derudover gættes der på at nullinjen er placeret x = 171,6mm fra toppen af
bjælken. Dette giver anledning til følgende tøjninger i linerne jævnfør afsnit
7.3.2.2.
3
0000000
311 0
001 01
311 0
002 01
171,6 50 100·103,03 (p3,5
171,6 93·195.000
420 171,6 90 100·103,5
171,6 93·195.000
420 171,6 50 100·103,5
171,6 93·195.000
c scsc
c s
stst
c s
stst
c s
x c P
x A E
Ph x c
x A E
Ph x c
x A E
000
000
os. som træk)
8,75 (pos. som træk)
9,56 (pos. som træk)
227
7 | Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Ud fra tøjningerne linierne kan kræfterne i stålet bestemmes
0 000 00
000
1600 /1, 23,03 6,8
195.000
3,03 ·93·2·195.000 110,1 (pos. som træk)
pdac
s
ac ac sc s
f
E
N A E kN
0 0 000 00 00
0001
13336,8 8,75 20
195.000
1/ 9 133393·4·1333 1 · 8,75 (pos. som træk)
0,02 1333/195.000 195.000
504,0
pd
s
at
f
E
N
kN
0 0 000 00 00
0001
13336,8 9,56 20
195.000
1/ 9 133393·4·1333 1 · 9,56 (pos. som træk)
0,02 1333/195.000 195.000
507, 4
pd
s
at
f
E
N
kN
Betonbidraget bestemmes jf. afsnit 6.1.1.2 til:
40 0,763 · 0,763·300·179,3·28,6 1175c c c c cdN f MPa N N bxf kN
Som kontrol af den gættede placering af nullinjen undersøges, om der er
vandret ligevægt:
1 20
0 110,1 504,0 507, 4 1121,5ac at at cN N N N
kN
Det ses at den gættede placering af nullinjen var korrekt, så omregning er ikke
nødvendig, og brudmomentet kan nu bestemmes ved at tage moment om nul-
linjen
1 1 2 2
3 3
3
'
0,582·171,6·1121,5·10 (171,6 50)·110,1·10 420 171,6 90 ·504,0·10
420 171,6 50 ·507,4·10
111,9 13,4 79,9 100,7 279,0
Rd c c ac at atM y N x c N h x c N h x c N
kNm
3
228
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer | 7
7.3.3.3 Anvendelsesgrænse, tværsnitskonstanter
Transformeret areal:
31 2( ) 300·420 12(186 372 372) 137·10T C sc st stA A A A A
Transformeret statisk moment om centerlinjen:
1 1 2 2
3 3
2 2 2
420 420 42012 186 50 372 90 372 50 893·10
2 2 2
T sc c st st
h h hS A c A c A c
mm
yT angiver placering af tværsnittets tyngdepunktsakse i forhold til tværsnittets
centerlinje:
3
3
893·106,5
137·10T
TT
Sy mm
A
Bemærk at yT her regnes positiv, når tyngdepunktsaksen ligger over centerlin-
jen. Dette betyder, at yT ofte vil være negativ.
Transformeret inertimoment om tyngdepunktsaksen:
2 223
1, 1 1 2 2
3
2 2 2
6
1
12 2 2 2
1300·420 300·420·( 6,5)²
12
420 420 42012 186 6,5 50 372 6,5 90 372 6,5 50
2 2 2
2082·10
T T sc T c st T st T
h h hI bh bhy A y c A y c A y c
mm
4
2
229
7 | Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
7.3.3.4 Laster på tværsnittet
Snitkræfter for forspændingen er givet ved.
10·100 1000PN k N
3 420 420 420100·10 · 2· -50+6,5 -4· -90-6,5 -4· -50-6,5
2 2 2
73,5
PM
kNm
Snitkræfter for ydre laster er:
218
218
218
·3,0·(7,2) 19
·18,0·(7,2) 117
·24,0·(7,2) 156
g
L
k
M kNm
M kNm
M kNm
7.3.3.5 Anvendelsesgrænse, spændingsbestemmelse
Ved levering er bjælken belastet af forspændingen og sin egenvægt, hvilket
giver betonspændingerne:
3 6 6
, 3 61,
3 6 6
, 3 61,
1000·10 19,6·10 73,5·10 4206,5 12,6
2 137·10 2082·10 2
1000·10 19,6·10 73,5·10 4206,5 1,69
2 137·10 2082·10 2
g pPc bund T
T T
g pPc top T
T T
M MN hy M
A I
M MN hy M
A I
Pa
Pa
I langtidstilstanden vil bjælken være belastet af forspændingskraften og lang-
tidslasten. Her vil spændingerne være som følger:
3 6 6
, 3 61,
3 6 6
, 3 61,
1000·10 117·10 73,5·10 4206,5 3,07
2 137·10 2082·10 2
1000·10 117·10 73,5·10 4206,5 11,8
2 137·10 2082·10 2
L pPc bund T
T T
L pPc top T
T T
M MN hy M
A I
M MN hy M
A I
Pa
Pa
230
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer | 7
Når de karakteristiske spændinger beregnes skal bjælken regnes belastet af
forspændingskræften og den karakteristiske last.
3 6 6
, 3 6
3 6 6
, 3 6
1000·10 156·10 73,5·10 4206,5 0,73
2 137·10 2082·10 2
1000·10 156·10 73,5·10 42015,86,5
2 137·10 2082·10 2
k pPc bund T
T T
k pPc top T
T T
M MN hy MPa
A I
M MN hMPay
A I
7.3.3.6 Anvendelsesgrænse, udbøjningsbestemmelse
Udbøjninger uden hensyn til krybning er givet nedenfor, for henholdsvis, for-
spænding, egenlast, langtidslast og karakteristisk last:
2 26
2 26
2 26
2 26
1 1 73,5(7,2) 8, 49
8 8 26934·2082·10
1 1 19, 4(7,2) 1,81
10 10 26934·2082·10
1 1 116,6(7,2) 10,78
10 10 26934·2082·10
1 1 155,5(7,2) 14,37
10 10 26934·2082·10
pp
k
gg
k
LL
k
kk
k
Mu L
EI
Mu L
EI
Mu L
EI
Mu L
EI
mm
mm
mm
mm
Ud for ovenstående udbøjninger for de forskellige laster kan udbøjningerne for
levering, langtidslast og karakteristisk last bestemmes.
( )·(1 )
(1,81 8, 49)·(1 0,90)
12,7
( )·(1 ) ( )·(1 )
(1,81 8, 49)·(1 2,35) (10,78 1,81)·(1 1,83)
3,0
( )·(1
Levering g p Levering
Langtid g p Lager L g Langtid
Karakteristisk g p Lager
u u u
mm
u u u u u
mm
u u u
) ( )·(1 ) ( )·(1 0)
(1,81 8, 49)·(1 2,35) (10,78 1,81)·(1 1,83) (14,37 10,78)·(1 0)
6,6
L g Langtid K Lu u u u
mm
Eksempel slut
231
7 | Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
7.4 Vilkårligt tværsnit med forspænding
Beregning af denne type tværsnit kræver mange delberegninger, der bedst eg-
ner sig for IT. I dette afsnit præsenteres de principper og matematiske modeller,
som IT-programmer til ingeniørmæssig anvendelse ofte baseres på. Se også
afsnit 7.5.
7.4.1 Anvendelsesgrænsetilstand, tværsnitsanalyse
For et tværsnit med det transformerede tværsnitsareal AT og med hovedinerti-
momenterne I1,t og I2,t om hovedakserne s og t kan betonspændingen i ethvert
punkt findes af formlen:
1 2
0 1, 2,
cc
T T T
E N M Mt s
E A I I
idet normalkræfter og spændinger i beton konventionelt regnes positive som
tryk. E0 er det transformerede tværsnits referencemodul, der med fordel kan
vælges som betonens E-modul. Nedenstående er kun gældende, så længe tvær-
snittet er urevnet, dvs. at den mindste betonspænding er større end betonens
trækstyrke.
Som vist på figuren er M1 og M2 de resulterende momenter om tværsnittets ho-
vedakser med normalkraften henført til tværsnittes tyngdepunkt.
I tværsnittet ligger desuden spændarmering i form af et antal forspændte stålli-
ner. Den enkelte line med arealet Aj regnes i det færdige element at have en
effektiv forspændingskraft af størrelsen ,eff j . Når der ikke optræder ydre nor-
malkræfter i elementet vil normalkraften N være i projektionsligevægt med den
resulterende forspænding i linerne.
,1
m
eff j pj
N p N
232
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer | 7
x
y
yj
xj
yo
b
x o
N
Aj
My
M2
M1
t
sv.
Mx sj
tj
Figur 7-6: Principper for førspændte elementer med vilkår-
Spændingen i den enkelte line hidrørende fra forspændingen er:
,, (positiv som træk)eff j
p jj
p
A
Dermed bliver den resulterende trækspænding i linen ved de aktuelle snitkræf-
ter:
,, ,
1, 2,
y exs j p j j j
T T T j
M pMNt s
A I I A
ff j
233
7 | Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Til brug for tværsnitsanalysen er det nu opgaven at bestemme tværsnitskon-
stanterne AT, I1,T og I2,T og at finde hovedakserne (s, t) bestemt ved tværsnit-
tets tyngdepunkt (xo, yo) og drejningsvinklen, v1 i forhold til det (x, y)-
koordinatsystem, der vælges til at beskrive tværsnittet i.
I første omgang bestemmes tværsnitskonstanterne i forhold til dette (x, y)-
koordinatsystem. Med betonens elasticitetsmodul, Ec0, som referencemodul for
det transformerede tværsnit bliver det transformerede tværsnitsareal:
1c
m
t jjA
A dA
A
hvor Ac er betonarealet i tværsnittet. Fladeintegraler af typen ( , )A
f x y dA kan
med brug af Stokes sætning, omsættes til et kurveintegral langs tværsnittets
rand på følgende form:
( , ) ( , ) hvor ( , ) ( , )x
A K
f x y dA F x y dy F x y f x y
Endvidere regnes med, at tværsnittets omkreds består af n lineære stykker.
Dermed kan udtrykket for betonens andel af det transformerede tværsnitsareal
omskrives således:
1c i
n
iA K k
dA xdy xdy
Det i’te kurvestykke, Ki, er et linjestykke, der løber mellem punkterne (x1i, y1i)
og (x2i, y2i). Det kan dermed beskrives ved en parameter, r, der løber mellem
værdierne 0 og 1, på følgende form:
1 2 1
1 2 1 2 1
( )
( ) ( )i i i
i i i i i
x x r x x
y y r y y dy y y d
r
234
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer | 7
Denne parameterfremstilling indsættes i kurveintegralet:
1
1 2 1 2 10
12 1 2 12
[ ( )]( )
( )( )i
i i i i i
k
i i i i
xdy x r x x y y dr
x x y y
Dermed kan det transformerede tværsnitsareal alt i alt udtrykkes som simple
summationer direkte ved koordinaterne til hjørnepunkterne i tværsnittes om-
kreds og lineplaceringerne i det valgte (x, y)-system.
12 1 2 12
1 1
( )( )n m
T i i i ii i
jA x x y y A
Samme metodik anvendes for de øvrige tværsnitskonstanter i (x, y)-systemet.
Først de statiske momenter:
1
212
1 1
121
1 2 1 2 121 10
2 2 211 2 2 1 2 16
1 1
( ( )) ( )
( ) ( )
c
i
m
yT j jjA
n m
j ji jK
n m
i i i i i ji j
n m
i i i i i i j ji j
S xdA x A
x dy x A
jx r x x y y dr x A
x x x x y y x A
1
1 1
1
1 2 1 1 2 1 2 11 10
12 2 2 1 1 2 1 1 2 16
1 1
( ( ))( ( ))( )
(2 2 )( )
c
i
m
xT j jjA
n m
j ji jK
n m
i i i i i i i i ji j
n m
i i i i i i i i i i j ji j
S ydA y A
xydy y A
jx r x x y r y y y y dr y A
x y x y x y x y y y y A
235
7 | Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Derefter inertimomenterne:
2 2
1
3 213
1 1
13 21
1 2 1 2 131 10
3 2 2 3 2 212 2 1 2 1 1 2 112
1 1
( ( )) ( )
( ) ( )
c
i
m
yT j jjA
n m
ji jK
n m
i i i i i ji j
n m
i i i i i i i i ji j
I x dA x A
x dy x A
x r x x y y dr x A
x x x x x x y y x A
2 2
1
2 2
1 1
13 2
1 2 1 1 2 1 2 11 10
2 2 2 2 212 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 112
1
2
1
( ( ))( ( )) ( )
( 3 2 2 3 ) ( )
c
i
m
xT j jjA
n m
ji jK
n m
i i i i i i i i ji j
n
i i i i i i i i i i i i i i i ii
m
jj
I y dA y A
xy dy y A
x r x x y r y y y y dr y A
x x x y x y y x y y x y x y y y
y A
Endvidere centrifugalmomentet:
1
212
1 1
121
1 2 1 1 2 1 2 121 10
2 2 2 2 212 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 124
1
( ( )) ( ( ))( )
( 3 2 2 3 ) ( )
c
i
m
xyT j j jjA
n m
j j ji jK
n m
i i i i i i i i j j ji j
n
i i i i i i i i i i i i i i i ii
Z xydA x y A
x ydy x y A
x r x x y r y y y y dr x y A
x y x y x x y x x y x y x y y y
1
m
j j jj
x y A
236
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer | 7
Når tværsnitskonstanterne i (x, y)-systemet er fundet, bestemmes tværsnittes
tyngdepunkt af:
0 0( , ) ,yT xT
T T
S Sx y
A A
Herefter henføres tværsnitskonstanterne til et koordinatsystem med akser paral-
lelle med x- og y-aksen og med origo i tværsnittets tyngdepunkt, idet størrelsen
af AT ikke påvirkes heraf:
20 0
20 0
0 0
y T yT T
x T xT T
0xy T xyT T
I I x A
I I y A
Z Z x y A
I dette koordinatsystem er de statiske momenter 0xT yTS S .
Endelig bestemmes tværsnittes hovedinertimomenter:
2
0 0 0 0 21 0
2
0 0 0 0 22 0
2 2
2 2
x T y T x T y TT x
x T y T x T y TT x
I I I II Z
I I I II Z
y T
y T
og drejningen af tværsnittes hovedakser i forhold til (x, y)-systemet bliver:
012
0 0
2arctan xy T
x T y T
Zv
I I
237
7 | Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Drejningsvinklen benyttes til at transformere snitmomenter kendt i (x, y)-
koordinatsystemet til momenter efter tværsnittes hovedakser:
1
2
cos( ) sin( )
sin( ) cos( )
x y
x y
M M v M v
M M v M
v
Dette gælder både momenter hidrørende fra ydre kræfter og fra forspændingen.
Den resulterende tryknormalkraft, Np, i projektionsligevægt med forspændingen
virker i:
, ,1 1
, ,1 1
( , ) ,
m m
j eff j j eff jj j
p p m m
eff j eff jj j
x p y p
x yp p
Dette er statisk ækvivalent med normalkraften Np virkende i tværsnittets tyng-
depunkt sammen med momenterne:
0
0
( )
( )
xp p
yp p P
PM y y N
M x x N
svarende til følgende forspændingsmomenter virkende i hovedakserne:
1 0 0
2 0 0
{ ( ) cos ( )sin }
{ ( )sin ( )cos }
p p p
p p p
P
P
M y y v x x v N
M y y v x x v N
238
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer | 7
Ved analyse af forspændte elementer undersøges forholdene almindeligvis ved
følgende lastniveauer i anvendelsesgrænsetilstanden:
A. Forspænding plus elementets egenvægt, svarende til momentvirknin-
gerne
M1p + M1g og M2p + M2g.
B. Forspænding plus samlet, quasipermanent last, svarende til moment-
virkningerne
M1p + M1q og M2p + M2q.
C. Forspænding plus samlet, karakteristisk last, svarende til momentvirk-
ningerne
M1p + M1k og M2p + M2k.
For et af hjørnepunkterne i tværsnittes omkreds med koordinaterne (xi, yi) i (x,
y)-systemet bliver koordinaterne i forhold til hovedakserne:
0 0
0 0
( ) cos ( )sin
( )sin ( ) cosi i i
i i i
s y y v x x vN
t y y v x x vN
P
P
Betonspændingen i hjørnepunktet bliver dermed i de tre nævnte lastniveauer:
A: 1 1 2 2
,1 2
p g p gc A i i
t t t
M M M MNt s
A I I
B: 1 1 2 2
,1 2
p q p qc B i i
t t t
M M M MNt s
A I I
C: 1 1 2 2
,1 2
p k p kc C i i
t t t
M M M MNt s
A I I
239
7 | Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Tilfælde A svarer til situationen, når forspændingslinerne kappes under element-
produktionen. Derfor kontrolleres normalt at:
, , 0,7ct k c A ckf f
hvor ckf og ,ct kf er betonens karakteristiske tryk- og trækstyrke på afformning-
tidspunktet.
I tilfælde B ønskes normalt hverken trykspændinger på mere end omkring 70 %
af betonens trykstyrke eller trækspændinger i betonen. Derfor sikres, at
,0 0,c B ck7 f
hvor ckf er betonens karakteristiske trykstyrke efter 28 modenhedsdøgn
I tilfælde C accepteres normalt, at betonspændingerne holder sig inden for føl-
gende interval:
, , 0,7ct k c C ckf f
hvor ckf og ,ct kf er betonens karakteristiske tryk- og trækstyrke efter 28 mo-
denhedsdøgn.
Ovennævnte grænser skal overholdes i alle omkredsens hjørnepunkter.
For forspændingsarmeringen vil man i alle tilfælde stræbe efter, at armerings-
spændingen ikke overstiger proportionalitetsgrænsen i nogen af linerne. Dette
volder ved sædvanlig elementproduktion normalt ingen vanskeligheder.
240
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer | 7
7.4.2 Brudgrænsetilstand, tværsnitsanalyse
I brudgrænsetilstanden er det nødvendigt at udføre tværsnitsanalysen som en
iterationsproces. Ved denne iterationsproces skønnes placeringen af snitlinjen,
eksempelvis givet ved nullinjens skæring, yo med y-aksen og drejningsvinklen,
v, i forhold til x-aksen.
x
y
ya
xa
yc N
NaM1
Mx
sv.
xc
c
tmax
Figur 7-7: Principper for førspændte elementer med vilkårlige tværsnit i
brudgrænsetilstanden
Til brug for analysen indlægges for hvert skridt i iterationsprocessen et (s, t)-
koordinatsystem som vist i figur 7-7 med s-aksen liggende i den skønnede nul-
linje. Da der i brudgrænsetilstanden ikke regnes med trækspændinger i betonen,
optræder i betontværsnittet kun trykspændingerne i trykzonen, hvis areal be-
nævnes A’c, der på figuren er vist skraveret.
241
7 | Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
I den hårdest trykkede fiber i tværsnittet svarende til ordinaten tmax vælges be-
tontryktøjningen, 0 , hvorefter tøjningerne overalt i tværsnittet kan bestemmes
ved:
0
max
tt
Ved praktiske anvendelser kan på den sikre side og uden væsentlig fejl benyttes
0 cu
Hermed kan også spændingerne i ethvert punkt i tværsnittet bestemmes ved
hjælp af arbejdskurverne for beton og forspændingsstål. Disse spændinger vil
være ækvalente med en trykkraft i betonen, Nc, angribende i (xc, yc) samt en
trækkraft i armeringen, Na, angribende i (xa, ya).
Det forudsættes nu, at den ydre normalkraft er NEd = 0, og at momentet om y-
aksen er givet som MEdy. Iterationsprocessen til bestemmelse af brudmomentet
om x-aksen kan så gennemføres efter følgende skema i figur 7-8:
Processen forenkles en del, hvis elementet fastholdes mod udbøjninger i x-
aksens retning, da man så kan sætte v = 0. I så fald er MEdy ikke givet, men
bestemmes af MEdy = Nc (xc – xa). Dette kan anvendes til at bestemme hvor
store reaktioner i x-aksens retning, der skal til for at fastholde elementet mod
udbøjning i denne retning.
I det generelle tilfælde bliver beregningerne ganske omfattende, men de kan
uden større vanskelighed automatiseres, når det grundlæggende formelsæt til
beregninger inden for et iterationstrin er på plads. Opstilling af dette formelsæt
gennemgås i det følgende som en dokumentation af den teoretiske baggrund for
de praktiske beregningsværktøjer.
242
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer | 7
y0 og v skønnes
Kontroller at Nc-Na=0
Ja Nej
For en given placering af (sj, tj)-systemet svarer til et sæt (xj, yj)-koordinater til:
0
0
cos ( )sin
sin ( )cos
j j j
j j j
s x v y y v
t x v y y
v
Denne transformation foretages for hver enkelt forspændingslines koordinater,
hvor den j’te forspændingslines koordinater i (s, t)-systemet betegnes (sj, tj).
Endvidere foretages transformationen for hvert enkelt hjørnepunkt i den trykke-
Ny værdi af y0 skønnes
Kontroller at Nc(xc-xa)=My
Ja Nej
Ny værdi af v skønnes
Brudmomentet om x-aksen bestemmes
Mud=Mx=Nc(yc-ya)
Figur 7-8: Procesdiagram
243
7 | Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
de zones stykkevist lineær omkreds. For det i’te lineære kurvestykke rundt langs
omkredsen betegnes begyndelsespunkt og slutpunkt henholdsvis (s1i, t1i) og
(s2i, t2i). Det gælder således, at (s1i+1, t1i+1) = (s2i, t2i).
For den enkelte forspændingsline kan tøjningen nu bestemmes af:
,, 0
max
eff j ja j
j s
p t
A E t
Ved tøjninger over flydegrænsen regnes med tøjningshærdningen som anført i
afsnit 2.3. Dermed bliver trækkraften i linen:
0
min0,1
10,9 / 0,9
pdj s aj aj
s
ajaj S pd pd
j ud aj udud c pd s
fA E for
EN
E f fA f for
E f E
j
Den resulterende trækkraft i forspændingslinerne bliver så:
1
m
a aj
N N
og denne resultant angriber i punktet (sa, ta):
1 1
m m
j aj j ajj j
a aa a
s N t N
s tN N
244
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer | 7
Næste skridt er at finde resultanten Nc, af betonspændingerne svarende til den
skønnede placering af nullinjen. Jævnfør afsnit 2.1 kan betonspændingen skrives
således som funktion af betontryktøjningen, c som følger:
21
1 1( 2)c c c
cc c
k
k
c
Med 0
maxc t
t
og hjælpekonstanterne:
0
1 max
0
1 max
0
1 max
(2 )
c
c
cdc
Ak t
B kt
D k ft
kan udtrykket for betonspændingen skrives:
2
( ) ,1
0 ,c
tD t A B t
Bt
t
0
0
Betontrykkets resultant findes nu som fladeintegralet over den trykkede del af
tværsnittet, Ac’:
2
( ( )1
c c
c c
A A
tN dA D t A B dA
Bt
245
7 | Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
I dette tilfælde anvendes Stokes sætning, så fladeintegralet omskrives til et
kurveintegral:
( , ) ( , ) hvor ( , ) ( , )x
A K
f x y dA F x y dy F x y f x y
Dermed omskrives fladeintegralet for Nc til:
2
2
1
( )1
( )1
c
K
m
i K
tN D s t A B dt
Bt
tD s t A B
Bt
dt
for det i’te kurvestykke, der løber lineært fra (s1i, t1i) til (s2i, t2i) på den trykkede
zones rand anvendes nu med fordel t som parameter, så parameterfremstillin-
gen ved t1i t2i bliver for linjestykket:
11 2 1
2 1
( ) ii i i
i i
t ts s s s
t t
t t
Med de lokale konstanter
1 2 2 1 2 1
2 1 2 1
i i i i i ii i
i i i i
s t s t s ss s
t t t t
kan udtrykket for s i parameterfremstillingen omskrives til:
i is s s t
246
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer | 7
Dermed bliver linjestykkets bidrag til Nc:
2
1
2
,
2, 3 4
1
2 12 3
2 22 12
3 32 1 1 2
,
( ) ( )1
1· ln
1
· ( )
· ( )2 2
· ( ) ,3
i
i
t
c i i it
ic i i i
i
i i i
i i i
i i i i
c
tN D s s t t A B dt
Bt
BtA B A BN D s s
B B Bt
A B A Bs s t t
B B
A A Bs s t t
B B
As t t t
B
N
it
1 20i i ifor t t
Betontrykresultanten er hermed bestemt:
,1
n
c ci
N N
i
Denne resultant ligger i afstanden tc fra s-aksen:
32
32
1
( )1
( )1
c c
i
c c c
A A
n
i K
tt N t dA t A B dt
Bt
tD s t A B dt
Bt
247
7 | Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Med samme parameterfremstilling som anvendt ovenfor, bliver det i’te linjestyk-
kes bidrag:
2
1
32
24 5
1
2 13 4
2 22 12 3
2
( ) ( ) ( )1
1( ) · ln
1
· ( )
· ( )2
3 3
i
i
t
c c i i it
ic c i i i
i
i i i i
i i i i
i i
tt N D s s t t A B dt
Bt
BtA B A Bt N D s s
B B Bt
A B A Bs s t t
B B
A B A Bs s t t
B B
A A Bs s
B B
3 32 1
4 42 1 1 2
1 2
· ( ) ,
· ( ) ,4
( ) 0
i i
i i i i
c c i i i
t t
Ais t t t t
B
t N for t t
Dermed bliver:
1
( )n
c c ii
cc
t Nt
N
Endelig bestemmes udtrykket for betontrykresultantens afstand fra t-aksen:
2 221
21
( ) ( )1 1
c c i
n
c c ciA A K
t ts N s dA s t A B dt D s t A B dt
Bt Bt
248
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer | 7
Der anvendes atter samme parameterfremstilling, så bidraget fra det i’te kurve-
integral bliver:
2
1
22
2 23 4 5
1
22 12 3 4
2 3
( ) ( ) ( )1
1( ) · ln
2 2 1
· ( )2
4 2 4
i
i
t
c c i i it
ic c i i i i i
i
i i i i i i
i i i
ts N D s s t t A B dt
Bt
BtA B A B A Bs N D s s s s
B B B Bt
A B A B A Bs s s s t t
B B B
A A B A Bs s s
B B B
2 2 22 1
2 3 32 13 2
2 4 42 1 1 2
1 2
· ( )
· ( )3 6
· ( ) ,8
( ) 0
i i i
i i i i i
i i i i
c c i i i
s t t
A A Bs s s t t
B B
Ais t t t t
B
s N for t t
Dermed bliver:
1
( )n
c c ii
cc
s Ns
N
Koordinaterne til resultanterne af kræfterne i armering (sa, ta) og i betonen (sc,
tc) regnes nu tilbage til (x, y)-systemet:
0
0
cos( ) sin( )
sin( ) cos( )
cos( ) sin( )
sin( ) cos( )
a a
a a a
c a
c a a
a
a
x s v t v
y y s v t v
x s v t v
y y s v t
v
Hermed er alle størrelser til brug i et iterationstrin i proceduren beskrevet i over-
sigtsskemaet fastlagt på en form, der er egnet til programmering. Det er denne
metodik, der er anvendt i beregningsprogrammet, vist i følgende afsnit.
249
7 | Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
7.5 Beregningsprogram
På www.bef.dk kan frit hentes et beregningsprogram, der håndterer samtlige
beregninger svarende til ovenstående afsnit 7.2,7.3 og 7.4. Nedenfor ses dette
programs brugerflade/udskrift med bjælken fra regneeksemplet fra afsnit 7.3.3
indlagt. Der ses at være god overensstemmelse i resultaterne.
Figur 7-9: Beregningsprogram
Forspændte betonelementbjælker udføres ofte med asymmetriske tværsnit. Et
eksempel herpå er vist i figur 7-10, hvor den første udskrift svarer til en situati-
on, hvor en bjælke med det viste tværsnit påvirkes af rent lodrette linjelaste.
Som det fremgår af udskriften, medfører tværsnittets form, at der for lodret last
opstår både lodrette og vandrette udbøjninger, og at nullinjen i brudstadiet lig-
ger skråt ned gennem tværsnittet.
På figur 7-11 er de lodrette linjelaste suppleret med fornødne vandrette kræfter
til fastholdelse af bjælken i vandret retning både for langtidslast, for karakteri-
stisk last og for brudlast. I anvendelsestilstanden ses, at den vandrette fasthol-
250
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer | 7
delse både aflaster spændingerne i tværsnittet og reducerer de lodrette udbøj-
ninger.
Sagsnavn: Sag nr.:Bygningsdel: Dato:Emne: Normale lastkombinationer, spændingsanalyse ved s = 4,80 m Init:
Element med hovedakser ved fagmidte Styrker fk fd Lager LangtidBeton 40 MPa 1,40 28,6 MPa 80% 55%
Liner 1600 MPa 1,20 1333 MPa 2 døgn 28 døgn
Bøjler 500 MPa 1,20 417 MPa 2,27 1,73
Forspændingsarmering Neutralisering ved s = 1,90 m
Mx y (mm) x- (mm) x+ (mm) max. min. A (mm2) Nf (kN)
Lag øv. 650 275 85 6 6 93 100Lag ml. 250 85 250 2 2 93 100Lag 4 0 0 0 0 0 0 0Lag 3 130 85 105 5 3 93 100Lag 2 90 85 105 5 3 93 100Lag 1 50 85 200 7 5 93 100Bøjler d (mm) a (mm) cot Samlet forspændingskraft
LODRETTE Tværsnitsgeometri - alle mål i mm Type 1 10 100 2,00 2500 kN
LASTE p1 p2 p3 P1 P2 P3 Krop: h0 = 700 b0 = 250 Type 2 10 125 2,00 234 mm
Langtidslast (kN/m) 43,0 0,0 0,0 (kN) 0 0 0 Hjørneblokke: Forskydningskapacitet Momentkapacitet
Kar. Last (kN/m) 48,0 0,0 0,0 (kN) 0 0 0 b1 b2 h2 h3 v/ trykbrud i krop: VRd,0 292 kN 901 kNm
Regnm. Last (kN/m) 55,0 0,0 0,0 (kN) 0 0 0 Blok A 200 200 150 150 v/ type 1 bøjler: VRd,1 270 kN Regningsmæssigt max. moment
Excentricitet (mm) 230 0 0 (mm) 0 0 0 Blok B v/ type 2 bøjler: VRd,2 216 kN 634 kNm
s1 (m) 0,00 0,00 0,00 (m) 0,00 0,00 0,00 Blok C Tværsnitskonstanter kort = Es / 0,7*Ecok = 7,2
s2 (m) 9,60 0,00 0,00 g = 6,00 kN/m, skal med i p1 Blok D 125 175 300 300 At 2,78E+05 mm2spændingsanalyse 12,0
TVÆRLAST v / langtidslast 0,0 kN/m Yderste liner i hvert lag mål- I1,t 1,49E+10 mm4Drejning af akser fra (x,y)-system:
v / kar. last 0,0 kN/m sættes fra kropmidte: x- og x+ I2,t 3,29E+09 mm4v = 0,369 rad
v / brudmoment 0,0 kN/m Lodret målsættes hvert lag liner Snitanalyse i s = 4,80 m Forsp. Langtidslast Kar. lastfra bjælkebund: y Mx (kNm) -258 495 553
SPÆNDVIDDE L = 9,60 m My (kNm) 12 0 0M1 (kNm) -236 462 516M2 (kNm) 104 -178 -199
Max. betonspændinger (MPa) 21,0 18,9 21,5- optræder ved: Blok C Blok B Blok B
Min. betonspændinger (MPa) -3,2 -0,6 -3,1- optræder ved: Blok B Blok C Blok C
Nedbøjninger Langtid Kar. last Lodret, uy (mm) 12,6 14,5 Vandret, ux (mm) 6,4 8,0
Bemærk: Beregningsmodulet er en beta-version. Der foreligger dermed ingen dokumenteret kvalitetsikring. NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker
Blok BLevering
-14,5
-13,9
-2518,0
Blok C-0,2
Egenvægt69
064
yf =
MRd
MEd
RH
too
Lineantal
Betonelement-Foreningen maj 2009
BetonelementhusetBjælke i modul D-E/12, stueetage
Krybedata
23 - 45452008-03-01
JFJ
FORSP. BJÆLKE, ver. beta-1
Jævnt fordelte laste Punktlaste
Linedata (pr. line)
Nf =
b1
b2
h2
h3
b1
b1 b1
b2b2
b2
h3
h3
h3
h2h2
h2
Blok DBlok C
Blok A Blok B
Krop
h0
b0
c
x- x+
½ ½
yPp
s2
s1
s1
L
Forskydningskræfter i kN
0
50
100
150
200
250
300
350:
:
:
:
VEd
VRd,1
VRd,2
z cot
Retning for ux
og tværlast
: L / 10
Figur 7-10: Beregningsprogram
I brudtilstanden ses, hvorledes nullinjen drejes til vandret for den påførte tvær-
last samtidig med, at momentkapaciteten over for lodret last stiger fra 901 kNm
til 1087 kNm. Til gengæld ses, at der fordres ganske store tværkræfter for at
fastholde en bjælke med denne tværsnitsform mod vandret udbøjning i et ni-
veau omkring 35 % af den lodrette linjelast. Dette skal man være opmærksom
på, fordi kræfter af denne størrelse kan være vanskelige at overføre gennem
dækskiven. I det aktuelle eksempel overføres en trækforankringskraft til dæk-
ket, som hviler på bjælkekonsollen i højre side, af størrelsen 20 kN/m, hvilket
betyder, at der til hver bjælkeende skal overføres en vandret trykkraft af stør-
relsen:
12 9,6 20 / 96xF m kN m kN
251
7 | Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
252
samtidig med at dækket langs bjælken skal fungere som en vandret bjælke.
Snitkræfter af denne type kan ofte være vanskelige at overføre.
En praktisk løsning vil ofte være, at der sikres mulighed for at overføre de for-
nødne vandrette kræfter til fastholdelse af bjælken mod vandret udbøjning i
anvendelsestilstanden; medens man lader bjælken bøje vandret ud i brudtil-
standen.
Sagsnavn: Sag nr.:Bygningsdel: Dato:Emne: Normale lastkombinationer, spændingsanalyse ved s = 4,80 m Init:
Element med hovedakser ved fagmidte Styrker fk fd Lager LangtidBeton 40 MPa 1,40 28,6 MPa 80% 55%
Liner 1600 MPa 1,20 1333 MPa 2 døgn 28 døgn
Bøjler 500 MPa 1,20 417 MPa 2,27 1,73
Forspændingsarmering Neutralisering ved s = 1,90 m
Mx y (mm) x- (mm) x+ (mm) max. min. A (mm2) Nf (kN)
Lag øv. 650 275 85 6 6 93 100Lag ml. 250 85 250 2 2 93 100Lag 4 0 0 0 0 0 0 0Lag 3 130 85 105 5 3 93 100Lag 2 90 85 105 5 3 93 100Lag 1 50 85 200 7 5 93 100Bøjler d (mm) a (mm) cot Samlet forspændingskraft
LODRETTE Tværsnitsgeometri - alle mål i mm Type 1 10 100 2,00 2500 kN
LASTE p1 p2 p3 P1 P2 P3 Krop: h0 = 700 b0 = 250 Type 2 10 125 2,00 234 mm
Langtidslast (kN/m) 43,0 0,0 0,0 (kN) 0 0 0 Hjørneblokke: Forskydningskapacitet Momentkapacitet
Kar. Last (kN/m) 48,0 0,0 0,0 (kN) 0 0 0 b1 b2 h2 h3 v/ trykbrud i krop: VRd,0 302 kN 1087 kNm
Regnm. Last (kN/m) 55,0 0,0 0,0 (kN) 0 0 0 Blok A 200 200 150 150 v/ type 1 bøjler: VRd,1 284 kN Regningsmæssigt max. moment
Excentricitet (mm) 230 0 0 (mm) 0 0 0 Blok B v/ type 2 bøjler: VRd,2 227 kN 634 kNm
s1 (m) 0,00 0,00 0,00 (m) 0,00 0,00 0,00 Blok C Tværsnitskonstanter kort = Es / 0,7*Ecok = 7,2
s2 (m) 9,60 0,00 0,00 g = 6,00 kN/m, skal med i p1 Blok D 125 175 300 300 At 2,78E+05 mm2spændingsanalyse 12,0
TVÆRLAST v / langtidslast -2,2 kN/m Yderste liner i hvert lag mål- I1,t 1,49E+10 mm4Drejning af akser fra (x,y)-system:
v / kar. last -3,6 kN/m sættes fra kropmidte: x- og x+ I2,t 3,29E+09 mm4v = 0,369 rad
v / brudmoment -20,0 kN/m Lodret målsættes hvert lag liner Snitanalyse i s = 4,80 m Forsp. Langtidslast Kar. lastfra bjælkebund: y Mx (kNm) -258 495 553
SPÆNDVIDDE L = 9,60 m My (kNm) 12 25 41M1 (kNm) -236 471 531M2 (kNm) 104 -155 -161
Max. betonspændinger (MPa) 21,0 17,4 19,0- optræder ved: Blok C Blok B Blok B
Min. betonspændinger (MPa) -3,2 1,0 -0,5- optræder ved: Blok B Blok C Blok C
Nedbøjninger Langtid Kar. last Lodret, uy (mm) 10,8 12,2 Vandret, ux (mm) 0,0 0,0
Bemærk: Beregningsmodulet er en beta-version. Der foreligger dermed ingen dokumenteret kvalitetsikring. NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker
Blok BLevering
-14,5
-13,9
-2518,0
Blok C-0,2
Egenvægt69
064
yf =
MRd
MEd
RH
too
Lineantal
Betonelement-Foreningen maj 2009
BetonelementhusetBjælke i modul D-E/12, stueetage
Krybedata
23 - 45452008-03-01
JFJ
FORSP. BJÆLKE, ver. beta-1
Jævnt fordelte laste Punktlaste
Linedata (pr. line)
Nf =
b1
b2
h2
h3
b1
b1 b1
b2b2
b2
h3
h3
h3
h2h2
h2
Blok DBlok C
Blok A Blok B
Krop
h0
b0
c
x- x+
½ ½
yPp
s2
s1
s1
L
Forskydningskræfter i kN
0
50
100
150
200
250
300
350 :
:
:
:
VEd
VRd,1
VRd,2
z cot
Retning for ux
og tværlast
: L / 10
Figur 7-11: Beregningsprogram
8SØJlEr oG
VÆGElEMEnTEr
8 SØJLEROGVÆGELEMENTER
8.1 Brudgrænsetilstande
8.1.1 Tværsnitsanalyse–generelmetode
8.1.2 Dannelseafbæreevnekurvervedbrugafdesigndiagrammer
8.1.3 Minimumogmaksimumarmering
8.1.4 Eksempel–Søjleberegningibrudgrænsetilstanden
8.2 Anvendelsesgrænsetilstande
8.2.1 Eksempel–urevnettværsnit
8.2.2 Udbøjningforrevnettværsnit
8.3 Beregningsprogrammer
8.4 Skævbøjning
8.4.1 Eksempel,skævbøjning
8 | Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
8.1 Brudgrænsetilstande
I dette afsnit beskrives beregning af søjler og vægge i brudgrænsetilstanden.
Den generelle metode for tværsnitsanalyse gennemgås, og det demonstreres,
hvorledes der kan opstilles en rationel interationsprocedure til brug for nøjagtig
bestemmelse af søjler og vægges kapacitet over for kombinationer af excentrisk
virkende normalkraft og tværbelastning.
Det vises, hvordan en bæreevnekurve kan dannes ved hjælp af designdiagram-
mer, og der præsenteres en række dimensionsløse designdiagrammer, der di-
rekte kan anvendes i praktisk projektering.
Endvidere behandles tilfældet for skæv udbøjning, hvor udbøjningen sker i en
anden retning end tværsnittets hovedakser. Dette er primært relevant for søjler.
8.1.1 Tværsnitsanalyse – generel metode
Ved tværsnitsanalyse af en søjle eller en væg i brudgrænsetilstanden anvendes
resultaterne fra afsnit 2.1.1. Her blev resultanten af betonspændingerne, Nc, i
tværsnittets trykzone for en given betonkantspænding, 0, bestemt ved:
2 2 203
1
1 11 1 2 1 2ln
2 1cc
A B BN k B B
B B
cc
cd
NN
bxf
og med denne resultants moment om nullinjen givet ved:
'' 3 3 3 2 204
1
1 11 2 1 3 1 6 1 6ln
3 2 1cc
A B BN k B B B
B B
2
' cc
cd
y NN
bx f
254
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer | 8
kan resultantens placering målt fra nullinjen bestemmes som:
2c cd c
c cd c c
y N bx f N Ny x
N bxf N Nc
I det følgende findes bidraget fra spændingerne til snitkræfterne i tværsnittet,
og ligevægtsligningerne for en søjle/væg opstilles og løses.
Ved beregning af armeringsbidraget, skal der tages hensyn til krybningen. Det
gøres ved at øge betonens tøjning med faktoren (1 + ef), hvor ef er det effek-
tive krybetal givet ved:
0
moment fra langtidslast
moment fra samlet lastef
På denne måde medtages kun krybning fra den del af lastpåvirkningen, der er
langvarig. Bidraget fra krybning får ikke indflydelse på betonens spændingsblok,
men på de samhørende armeringstøjninger og udbøjninger.
Nc Nac
Nat
x
c
c
ef0 c
MRd
b
h
y’
NRd
Figur 8-1: Definitioner, som anvendes ved tværsnitsanalyse
255
8 | Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Det viste tværsnit er armeret med et lag tryk/træk-stænger i hver side, med
armeringsarealerne Asc og Ast. Armeringen er placeret i afstanden c fra beton-
kanten.
De geometriske betingelser for armeringstøjningerne er:
0
0
1
1
sc ef
st ef
x c
xh x c
x
Dermed kan tryk/trækkræfterne i armeringen udtrykkes ved:
Trykarmeringen:
ydsc
sscefac
fA
EAx
cxN 01
min
Trækarmeringen:
ydst
sstefat
fA
EAx
cxhN 01
min
Det er nu muligt at opstille ligningerne for den statiske ækvivalens, som fører
frem til bestemmelse af tværsnittets bæreevne, der for en given ydre normal-
kraft, NEd, udtrykkes ved det maksimale lastfremkaldte 1. ordens moment, som
søjlen samtidig kan optage. For en given kanttøjning, 0, og given ydre normal-
kraft, NEd, repræsenterer projektionsligningen,
Ed c ac atN N N N
for x < h en andengradsligning til bestemmelse af nullinjedybden x, eftersom
det fundne udtryk for Nc’ er uafhængigt af x, når = 0. Ved store normalkraftni-
veauer bliver x > h, og udtrykket for Nc’ bestemmes da først med skønnet værdi
af = (h – x)/x, hvorefter en ny værdi af x findes ved løsning af andengradslig-
256
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer | 8
ningen. Hertil hører en ny værdi af , der indsættes i udtrykket for Nc’, og an-
dengradsligningen løses på ny. Denne iterationsproces konvergerer i løbet af ret
skridt.
det totale tværsnitsmoment
mkring søjlens centerlinje af momentligningen
få
Når x er bestemt ved projektionsligningen, findes
o :
ataccRd NchNchNyxhM
21
21
'21
hvor y’ er afstanden fra nullinjen til betontrykspændingens resultant. Ved at
opstille momentligningen omkring tværsnittets centerlinje frem for omkring nul-
njen opnås et momentudtryk, der er velegnet til lineær programmering
fra momentforøgelsen når
øjlen deformeres ud fra sit lodrette plan, NEdu.
jlen/væggen kan belastes med, findes ud
a søjlens ligevægtsligning:
li
Momentbelastningen på en søjle/væg udgøres af to bidrag. Dels det lastfrem-
kaldte 1. ordens moment M0Rd fra en tværlast og / eller en excentrisk placeret
normalkraft. Dels 2. ordens momentet hidrørende
s
For en given kanttøjning, 0, og given ydre normalkraft, NEd, kan det maksimale
lastfremkaldte moment, M0Rd, som sø
fr
0
0 20
11
10
Rd Rd Ed
ef
Rd Rd Ed s
M M N u
M M N Lx
Her udnyttes at søjlen/væggens krumning er tilnærmelsesvis parabelformet,
med en formfaktor for krumningsforløbet på ca. 10. Det vil sige, at udbøjningen
r givet ved:
e
2max
1
10 su L
257
8 | Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Hvor Ls er søjlelængden og krumningen, max, udgør forholdet mellem kanttøj-
ningen og dennes afstand til nullinjen:
0
max
1 ef
x
Hermed er alle de nødvendige udtryk til en iterativ bestemmelse af søjlens bæ-
reevne klar. Iterationsprocessen kan med given ydre normalkraft, NEd, resume-
res således:
1. Først vælges en værdi for kanttøjningen 0.
2. Herefter bestemmes x ud fra projektionsligningen.
3. Tværsnittets samlede momentkapacitet MRd fås af momentligningen om
tværsnittets centerlinje.
4. Momentkapaciteten med hensyn til det lastfremkaldte 1.-ordens moment
M0Rd fås ved at trække udbøjningstillægget fra den samlede momentka-
pacitet.
5. En ny værdi af kanttøjningen vælges, og det undersøges om resultatet
for M0Rd er gunstigere.
Ved at gennemføre denne proces for et antal forskellige værdier af NEd, findes en
række sammenhørende punkter (NEd, M0Rd), der tilsammen definerer søjlens
eller væggens bæreevnekurve i et (NEd,M0rd)-diagram.
Det er den her beskrevne metode, der ligger til grund for beregningsmodulerne
præsenteret i afsnit 8.3.
8.1.2 Dannelse af bæreevnekurver ved brug af designdiagrammer
Det er især som følge af de ulineære effekter, at det i praksis er hensigtsmæs-
sigt at danne en bæreevnekurve for den søjle eller væg som betragtes. Når bæ-
reevnekurven fremstilles i et (Nd,M0rd)-diagram kan man enkelt kontrollere man-
ge lasttilfælde blot ved at sikre, at punkterne svarende til de værdier af NEd og
M0Ed, som søjlen eller væggen belastes af, ligger inden for bæreevnekurven.
258
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer | 8
Som nævnt kan bæreevnekurven dannes ved at gennemregne et antal punkter
ud fra den generelle metode, som er angivet i afsnit 8.1.1. Denne iterative be-
regningsprocedure er omstændelig at anvende som en håndregningsmetode.
Derfor præsenteres i det efterfølgende en række designdiagrammer i form af
dimensionsløse (NEd,M0rd)-diagrammer, som i mange tilfælde vil være tilstræk-
kelige til brug for en bæreevneeftervisning.
Diagrammerne med armeringens centerafstand c < 0,1 h vil normalt være vel-
egnede til vægge og søjler med tværsnitsdimensioner på mindst 300 mm; mens
diagrammerne med c < 0,2 h primært er tænkt til anvendelse ved vægge og
vægsøjler med mindre tværsnitsdimension.
På figur 8-2 er vist, hvorledes bæreevnekurven kan se ud, og hvorledes en sim-
plificeret beregning danner en bæreevnekurve på den sikre side. Af figuren ses,
at det ofte vil være tilstrækkeligt at omsætte designdiagrammerne til en bære-
venekurve ud fra ganske få repræsentative punkter. Ved at trække rette linjer
mellem disse punkter dannes en konservativ bæreevnekurve.
Designdiagrammerne i figur 8-3 til figur 8-13 giver en simpel måde at bestem-
me bæreevnen af en søjle eller væg for en given lastkombination. Ved at be-
tragte 3-4 repræsentative lastkombinationer kan en konservativ bæreevnekurve
optegnes. Designdiagrammerne angiver en enhedsløs sammenhæng mellem
normalkraften på en søjle eller væg og den dertil hørende momentkapacitet.
Kurverne afhænger af tværsnittets armeringsgrad, som for trækarmeringen
defineres:
' st ydt
cd
A f
bhf
Trykarmeringens armeringsgrad fås på tilsvarende vis.
259
8 | Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
DCBAEFGHI0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500N (kN)
M (
kNm
)
Figur 8-2: Nøjagtig bæreevnekurve (stiplet) i forhold til simplificeret
bæreevnekurve dannet ved hjælp af designdiagrammer (sort). Øverst
er vist bæreevnekurven for en kort søjle og nederst er vist bæreevne-
kurven for en slank søjle.
DCBAEFGHI0
10
20
30
40
50
60
70
0 100 200 300 400 500 600 700N (kN)
M (
kNm
)
260
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer | 8
8.1.2.1 Søjler
Diagrammerne er ikke gældende for vilkårlige tværsnit. Forudsætninger for brug
af diagrammerne er følgende:
Tværsnitsform: Gælder for rektangulære tværsnit
Betonstyrke: 20 MPa fck 50 MPa
Armeringsstyrke: 400 MPa fck 600 MPa
Afstand fra betonkant til center af hovedarmering, c h/10
Effektivt krybetal: ef = 1,6 svarende til tørt indeklima. Lavere
værdier af det effektive krybetal giver bæreevner
på den sikre side.
Herunder ses designdiagrammer for armeringsgraderne ’ = 0,05, ’ = 0,075,
’ = 0,10 og ’ = 0,125.
Ls/h = 10
Ls/h = 15
Ls/h = 20Ls/h = 25
Ls/h = 30
Ls/h = 5
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
M0Rd/bh2fcd
N/bhfcd
c = t = 0,05
Figur 8-3: Designdiagram til bestemmelse af bæreevne for søjler
261
8 | Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Ls/h = 10
Ls/h = 15
Ls/h = 20
Ls/h = 25
Ls/h = 30Ls/h = 35
Ls/h = 5
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
M0Rd/bh2fcd
N/bhfcd
c = t = 0,075
Figur 8-4: Designdiagram til bestemmelse af bæreevne for søjler
Ls/h = 10
Ls/h = 15
Ls/h = 20
Ls/h = 25
Ls/h = 30Ls/h = 35
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Ls/h = 5
M0Rd/bh2fcd
N/bhfcd
c = t = 0,10
Figur 8-5: Designdiagram til bestemmelse af bæreevne for søjler
262
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer | 8
Ls/h = 10
Ls/h = 15
Ls/h = 20
Ls/h = 25
Ls/h = 30Ls/h = 35
Ls/h = 5
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
M0Rd/bh2fcd
N/bhfcd
c = t = 0,125
Figur 8-6: Designdiagram til bestemmelse af bæreevne for søjler
8.1.2.2 Tyndere vægge og vægsøjler
Mange vægge udføres med en tykkelse på 120, 150 eller 180 mm. I så fald kan
diagrammerne i afsnit 8.1.2.1 ikke umiddelbart anvendes, fordi den lodrette
armerings centerafstand til vægoverfladen bliver større end h/10. I de efterføl-
gende diagrammer er vist designdiagrammer til brug for den type vægge og
søjler med følgende forudsætninger:
Betonstyrke: 20 MPa fck 50 MPa
Armeringsstyrke: fyk = 500 MPa
Afstand fra betonoverside til center armering: c 0,2 h
Diagrammerne er afstemt med forholdene svarende til tørt indeklima (RH =
50%) og med et forhold mellem momenter svarende til henholdsvis quasiper-
manent last og brudlast (M0Ed / MEq) af størrelsen 75%.
263
8 | Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Da betonelementvægge ofte udføres med armering kun svarende til den nød-
vendige transportarmering, er i diagrammerne medtaget bæreevnekurver helt
ned til mekaniske armeringsgrader på c = t = 0,015.
Ls /h = 16L
s /h = 18
Ls /h = 20
Ls /h = 22
Ls /h = 24
Ls/h = 260,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
M/bh2fcd
N/bhfcd
c = t = 0,015
Figur 8-7: Designdiagram til bestemmelse af bæreevne for vægge og
vægsøjler
264
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer | 8
Ls /h = 16
Ls /h = 18
Ls /h = 20
Ls /h = 22
Ls /h = 24
Ls/h = 260,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
M/bh2fcd
N/bhfcd
c = t = 0,025
Figur 8-8: Designdiagram til bestemmelse af bæreevne for vægge og
vægsøjler
Ls /h = 16
Ls /h = 18
Ls /h = 20
Ls /h = 22
Ls /h = 24
Ls/h = 260,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
M/bh2fcd
N/bhfcd
c = t = 0,050
Figur 8-9: Designdiagram til bestemmelse af bæreevne for vægge
og vægsøjler
265
8 | Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Ls /h = 16
Ls /h = 18
Ls /h = 20
Ls /h = 22
Ls /h = 24
Ls/h = 260,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
M/bh2fcd
N/bhfcd
c = t = 0,075
Figur 8-10: Designdiagram til bestemmelse af bæreevne for vægge
og vægsøjler
Ls /h = 16
Ls /h = 18
Ls /h = 20
Ls /h = 22L
s /h = 24
Ls/h = 26
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
M/bh2fcd
N/bhfcd
c = t = 0,100
Figur 8-11: Designdiagram til bestemmelse af bæreevne for vægge
og vægsøjler
266
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer | 8
8.1.3 Minimum og maksimum armering
I dette afsnit refereres nogle af de regler, der er anført i EC2, for minimum og
maksimum armering af betonsøjler og vægge.
8.1.3.1 Søjler
Længdearmering
Længdearmeringen skal placeres, så der er mindst én armeringsstang i hvert af
søjletværsnittets hjørner. For cirkulære søjler benyttes mindst fire længdearme-
ringsstænger.
Længdearmeringen i en søjle bør ikke være under 8 mm i diameter.
Den totale mængde længdearmering skal være større end As,min:
,min
0,10
max
0,002
Ed
yds
c
N
fA
A
NEd er den regningsmæssige normalkraft
fyd er den regningsmæssige flydespænding for armeringen
Ac er tværsnitsarealet af betontværsnittet
Samtidig bør arealet af længdearmeringen ikke overstige As,maks:
, 0,04s maks cA A
Udtrykket gælder uden for områder med stød. Ved stød kan As,maks = 0,08Ac
benyttes.
267
8 | Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Tværarmering
Diameteren for tværarmeringen bør være mindst 6 mm eller en fjerdedel af
længdearmeringsstængernes største diameter.
Afstanden mellem tværarmeringen bør ikke overstige scl,maks givet ved:
,
20 gange diameteren af længdearmeringen
min Den mindste søjledimension
400 mmcl makss
8.1.3.2 Vægge
Lodret armering
Arealet af den lodrette armering bør være mellem As,vmin og As,vmaks givet ved:
, min 0,002s v cA A
, 0,04s vmaks cA A
Hvis minimumsarealet er dimensionsgivende, bør halvdelen af dette areal place-
res ved hver overflade.
Afstanden mellem to tilstødende lodrette stænger må hverken overstige 3 gange
vægtykkelsen eller 400 mm.
Vandret armering
Arealet af den vandrette armering bør være mindst As,hmin givet ved:
, minc
25% af den lodrette armeringmax
0,001As hA
Afstanden mellem to vandrette de vandrette armeringsstænger bør ikke være
større end 400 mm.
268
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer | 8
8.1.4 Eksempel – Søjleberegning i brudgrænsetilstanden
I dette eksempel ses på hjørnesøjlen i modul B/4 fra lastnedføringseksemplet
afsnit 3.5.5. Søjlen dimensioneres for udbøjning om begge akser samt en kom-
bination heraf.
8.1.4.1 Beregningsforudsætninger
Tværsnit 420 mm x 300 mm
Karakteristisk betontrykstyrke fck = 35 MPa
Regningsmæssig betontrykstyrke fcd = 35 MPa/1,4 = 25 MPa
Armering 4 stk. Y16, én i hvert hjørne: Asc = 402 mm2
Ast = 402 mm2
c = 40 mm
Karakteristisk flydespænding fyk = 500 MPa
Regningsmæssig flydespænding fyd = 500 MPa/1,2 = 417 MPa
Søjlelængde Ls = 3500 mm om begge akser.
Figur 8-12: Søjleplacering og tværsnit
Bjl. Y6 pr. 200 mm
420 m
m
300 mm
2 stk. Y16
2 stk. Y16
A
B
C
41 7
269
8 | Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
8.1.4.2 Udbøjning om den stærke akse
Designdiagrammerne afsnit 8.1.2 benyttes til at danne en bæreevnekurve for
tværsnittet.
Armeringsgrad og forholdet mellem søjlelængde og tværsnitshøjde udregnes:
402 417' ' 0,053
300 420 25
yd
t ccd
Af
bhf
35008,3
420 sL
h
Der vælges nogle repræsentative værdier af den dimensionsløse størrelse
Nd/(bhfcd)
0,000 0,000 300 420 25 0kN
0, 440 0, 440 300 420 25 1386kN
0,760 0,760 300 420 25 2394kN
EdEd
cd
EdEd
cd
EdEd
cd
NN
bhf
NN
bhf
NN
bhf
Herefter aflæses kurverne for armeringsgraderne ' 0,05 og ' 0,075 , og
der interpoleres mellem de aflæste værdier:
0,000Ed
cd
N
bhf
02
' 0,05 0,040Rd
cd
M
bh f
02
' 0,075 0,060Rd
cd
M
bh f
02
0,053 0,050' 0,053 0,040 0,060 0,040 0,042
0,075 0,050Rd
cd
M
bh f
270
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer | 8
0,440Ed
cd
N
bhf
02
' 0,05 0,122Rd
cd
M
bh f
02
' 0,075 0,140Rd
cd
M
bh f
02
0,053 0,050' 0,053 0,122 0,140 0,122 0,124
0,075 0,050Rd
cd
M
bh f
0,760Ed
cd
N
bhf
02
' 0,05 0,062Rd
cd
M
bh f
02
' 0,075 0,073Rd
cd
M
bh f
02
0,053 0,050' 0,053 0,062 0,073 0,062 0,063
0,075 0,050Rd
cd
M
bh f
Søjlens momentkapacitet svarende til normalkraftpåvirkningerne bliver nu:
2
0 0kN 0,042 300 420 25 56kNm Rd EdM N
2
0 1386kN 0,124 300 420 25 164kNm Rd EdM N
2
0 2394kN 0,063 300 420 25 83kNm Rd EdM N
I Figur 8-13 er søjlens bæreevnekurve vist sammen med den tilnærmede defi-
neret ved punkterne A, B og C.
271
8 | Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
C
B
A
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500N Rd (kN)
M 0Rd (kNm)
Figur 8-13: Bæreevnekurve (iht. www.bef.dk, Søjleelementer) og tilnærmet
bæreevnekurve, bøjning om stærk akse (punkteret)
Søjlen undersøges for lasttilfælde A - I fra hovedtilfælde I-a som beskrevet i
kapitlet om lodrette lastvirkninger afsnit 3.5.5. Søjlen regnes tværbelastet af
vindlast på facaden med en lastbredde på 2,8 m.
Vindlasten udregnes i henhold til EC1.
Maksimal vind:
kN1,0 1,5 0,7 0,8 0,2 2,8 2,94
m
e FI p e pew K q z c lastbredde
Reduceret vind:
0
kN1,0 1,5 0,3 0,7 0,8 0,2 2,8 0,88
m
e FI p e pew K q z c lastbredde
272
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer | 8
Derudover skal der tages højde for det moment, der fremkommer ved, at nor-
malkræfterne er placeret excentrisk i forhold til søjlens centerlinje. N0 er reakti-
onen fra overliggende etager. N1 og N2 stammer fra bjælken i modullinje B, se
lastnedføringseksemplet afsnit 3.5.5.
e0
N0
e2 e1
N2 N1
w
420 mm
Figur 8-14: Belastning og geometri for bøjning om stærk akse
Følgende excentriciteter fås ved anvendelse af retningslinjerne fra afsnit 3.3.1,
idet den generelle udførelsestolerance T sættes til 20 mm. Endvidere skal det
bemærkes, at lastandelene N1 og N2 fra dækket over den betragtede søjle påvir-
ker søjlen indirekte via bjælkerne i bærelinjen, og at excentriciteterne e1 og e2
273
8 | Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
derfor svarer til afstanden fra søjle-/bjælkesystemets centerplan ud til placerin-
gen af dækkenes lodrette reaktion på bjælken:
0
1
2
20
233
200
e m
e m
e m
m
m
m
Nedenstående skema giver en opsummering af søjlens brudlasttilfælde under
hovedtilfælde I-b svarende til den farligste udbøjningsretning omkring den stær-
ke akse.
N1 N0 N2 w NEd M0Ed
A 63 114 24 2,94 200 16,7
B 139 114 24 2,94 277 34,6
C 139 403 24 2,94 566 40,4
D 139 403 52 2,94 595 34,6
E 165 114 24 0,88 302 37,3
F 165 403 24 0,88 591 43,1
G 165 403 62 0,88 630 35,4
H 165 438 24 0,88 626 43,8
I 165 438 62 0,88 664 36,1
Figur 8-15: Opsummering af søjlens lasttilfælde, stærk akse
NEd er søjlens samlede regningsmæssige lodrette belastning og fås som:
1 0 EdN N N N2
Søjlens regningsmæssige 1.-ordens-moment M0Ed fås som en sum af momentbi-
draget fra de excentrisk placerede normalkræfter og momentbidraget fra tvær-
lasten.
20 1 1 0 0 2 2
1
8 EdM N e N e N e wl
274
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer | 8
På Figur 8-16 er de 9 lasttilfælde vist i et M-N-diagram sammen med søjlens
bæreevnekurve.
A
EB
CDFGHI
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500N Rd (kN)
M 0Rd (kNm)
Figur 8-16: Søjlens lasttilfælde vist i et M-N diagram
8.1.4.3 Udbøjning om den svage akse
Bæreevnekurven for udbøjning om den svage akse dannes ligeledes ved brug af
designdiagrammerne afsnit 8.1.2.
Armeringsgrad og forholdet mellem søjlelængde og tværsnitshøjde udregnes:
402 417' ' 0,053
420 300 25
yd
t ccd
Af
bhf
350011,7
300 sL
h
275
8 | Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Der vælges nogle repræsentative værdier af den dimensionsløse størrelse
Nd/(bhfcd)
0,000 0,000 420 300 25 0kN
0,400 0,400 420 300 25 1260kN
0,740 0,740 420 300 25 2331kN
EdEd
cd
EdEd
cd
EdEd
cd
NN
bhf
NN
bhf
NN
bhf
Herefter aflæses kurverne for armeringsgraderne ' 0,05 og ' 0,075 , og
der interpoleres mellem de aflæste værdier:
0,000Ed
cd
N
bhf
02
' 0,05 0,040Rd
cd
M
bh f
02
' 0,075 0,060Rd
cd
M
bh f
02
0,053 0,050' 0,053 0,040 0,060 0,040 0,042
0,075 0,050Rd
cd
M
bh f
0,400Ed
cd
N
bhf
02
' 0,05 0,096Rd
cd
M
bh f
02
' 0,075 0,117Rd
cd
M
bh f
02
0,053 0,050' 0,053 0,096 0,117 0,096 0,099
0,075 0,050Rd
cd
M
bh f
276
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer | 8
0,740Ed
cd
N
bhf
02
' 0,05 0,034Rd
cd
M
bh f
02
' 0,075 0,048Rd
cd
M
bh f
02
0,053 0,050' 0,053 0,034 0,048 0,034 0,036
0,075 0,050Rd
cd
M
bh f
Søjlens momentkapacitet svarende til normalkraftpåvirkningerne bliver nu:
2
0 0kN 0,042 420 300 25 40kNm Rd EdM N
2
0 1260kN 0,099 420 300 25 94kNm Rd EdM N
2
0 2331kN 0,034 420 300 25 32kNm Rd EdM N
I Figur 8-17 er bæreevnekurven vist sammen med den tilnærmede defineret ved
punkterne A, B og C.
277
8 | Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
C
B
A
0
20
40
60
80
100
120
0 500 1000 1500 2000 2500 3000N Rd (kN)
M 0Rd (kNm)
Figur 8-17: Bæreevnekurve (iht. www.bef.dk, Søjleelementer) og
tilnærmet bæreevnekurve, bøjning om svag akse
Søjlen undersøges for lasttilfældene A - I fra hovedtilfælde II-a som beskrevet i
kapitlet om lodrette lastvirkninger afsnit 3.4.5. Der regnes ikke med tværlast på
søjlen. Derimod tages højde for det moment, der fremkommer ved, at normal-
kræfterne er placeret excentrisk i forhold til søjlens centerlinje. N0 er reaktionen
fra overliggende etager. N1 og N2 stammer fra bjælken i modullinje B, se last-
nedføringseksemplet afsnit 3.4.5, hovedtilfælde II-a. Bjælkerne understøttes på
hver deres konsol på søjlen. Geometrien er vist på figur 8-18.
278
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer | 8
e0
N1 N2
Følgende excentriciteter fås ved anvendelse af retningslinjerne fra afsnit 3.3.1, i
det den generelle udførelsestolerance T sættes til 20 mm:
0 20mm e T
1
2 1 300 2 125 ' 25 150 20 282mm
2 3 2 2 3 2
he c T
2
1 1 300 1 125 ' 25 150 20 222mm
2 3 2 2 3 2
he c T
Hvor c’ er vederlagspladen, som har en bredde på 150 mm og placeres midt på
konsollen.
Figur 8-18: Belastning og geometri for bøjning om svag akse
e1 e2
300 mm 200 mm 200 mm
N0 25 mm 25 mm
150 mm 150 mm
279
8 | Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Nedenstående skema giver en opsummering af søjlens lasttilfælde.
N1
(kN)
N0
(kN)
N2
(kN)
w
(kN/m)
NEd
(kN)
M0Ed
(kNm)
A 55 114 31 0 200 10,8
B 122 114 31 0 267 29,7
C 122 403 31 0 557 35,5
D 122 403 70 0 595 27,0
E 144 114 31 0 290 36,0
F 144 403 31 0 579 41,8
G 144 403 82 0 630 30,5
H 144 438 31 0 613 42,5
I 144 438 82 0 664 31,1
Figur 8-19: Opsummering af søjlens lasttilfælde, svag akse
NEd er søjlens samlede regningsmæssige lodrette belastning og fås som:
1 0 EdN N N N2
2 2
Søjlens regningsmæssige 1.-ordens-moment M0Ed fås som en sum af momentbi-
draget fra de excentrisk placerede normalkræfter.
0 1 1 0 0 EdM N e N e N e
På Figur 8-20 er de 9 lasttilfælde vist i et M-N-diagram sammen med søjlens
bæreevnekurve.
280
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer | 8
A
E
BC
D
F
G
H
I
0
20
40
60
80
100
120
0 500 1000 1500 2000 2500 3000N Rd (kN)
M 0Rd (kNm)
Figur 8-20: Søjlens lasttilfælde vist i et M-N diagram
Eksempel slut
8.2 Anvendelsesgrænsetilstande
I dette afsnit fokuseres udelukkende på udbøjningsbestemmelse for søjler og
vægge i anvendelsesgrænsetilstanden. Revneviddeberegning er tit ikke relevant
for søjler og vægge, da normalkraftpåvirkning gør, at tværsnittet ofte forbliver
urevnet.
Det kan eftervises, at et tværsnit er urevnet ved at vise, at normalkraftens re-
sultant befinder sig indenfor kernen af tværsnittet. Dette gøres i eksemplet,
afsnit 8.2.1.
Udbøjningsanalyse af søjler og vægge i anvendelsesgrænsetilstanden er princi-
pielt det samme som for bjælker. Betragtningerne omkring krybning, svind og
tension stiffening fra afsnit 6.2.1.1, 6.2.1.2 og 6.2.1.3 er derfor gældende. Ved
tværsnitsanalyserne for revnet og urevnet tværsnit skal søjlen/væggens nor-
malkraft medtages i ligevægtsligningerne. For det revnede tværsnit betyder
281
8 | Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
dette, at normalkraften giver anledning til 3. gradsligning, hvis løsning vises i
afsnit 8.2.2. For det urevnede tilfælde regnes med transformeret tværsnit som
vist i afsnit 6.2.1.5, og spændingerne bestemmes ved hjælp af Navier’s formel,
som vist i eksemplet afsnit 8.2.1.
8.2.1 Eksempel – urevnet tværsnit
Der benyttes samme tværsnit og lastopstilling som fra eksemplet afsnit 8.1.4.
Størrelsen af udbøjningen om den stærke akse ønskes fundet.
e0
N0
e2 e1
N2 N1
w
420 mm
Figur 8-21: Lastopstilling for karakteristisk last
282
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer | 8
De karakteristiske laster kan bestemmes ved en lastnedføring som vist i kapitel
3. I dette eksempel skønnes en værdi for de lodrette laster, ligesom forholdet
mellem langtids- og korttidslast beror på et skøn.
De karakteristiske lodrette laster N0, N1 og N2 sættes til i alt 470 kN. Lastens
excentricitet er den samme som i det tidligere eksempel, det vil sige 20 mm.
Karakteristisk vind udregnes i henhold til EC1:
0
kN0,3 0,7 0,8 0, 2 2,8 0,59
m
e p e pew q z c lastbredde
NEd er søjlens samlede regningsmæssige lodrette belastning og fås som:
1 2 0 110 320 40 470 EdN N N N kN
Søjlens regningsmæssige 1.-ordens-moment M0Ed fås som en sum af momentbi-
draget fra de excentrisk placerede normalkræfter og momentbidraget fra tvær-
lasten.
20 1 1 2 2 0 0
2
1
81
111 0,233 320 0,20 40 0,20 0,59 3,5 24,9kNm8
EdM N e N e N e wl
Søjletværsnit er ofte urevnede på grund af de store normalkræfter. Hvis den
resulterende normalkraft er placeret inden for tværsnittets kerne, er tværsnittet
urevnet. Kernens udstrækning fra tværsnitscenteret er 1/6 af tværsnitsdimensi-
onen.
283
8 | Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
1/6
H =
70 m
m
Ned
H =
420 m
m
e
1/6 B = 50 mm
B = 300 mm
Figur 8-23: Placering af den påførte normalkraft i forhold til kernen
Normalkraftens excentricitet om den stærke akse svarende til det samlede 1.
ordensmoment udregnes:
30 24,910 52,9mm
470 Ed
Ed
Me
N
Normalkraften ses umiddelbart at ligge inden for kernen. Denne excentricitet er
ikke normalkraftens reelle excentricitet, da bidraget fra søjleudbøjning og even-
tuelt svind mangler. Dog giver det en god indikation af normalkraftens placering.
Dette tværsnit formodes derfor at være urevnet.
284
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer | 8
Udbøjningsbidrag fra krybning medtages ved at benytte faktoren , der indirekte
giver betonens elasticitetsmodul. For beton med en karakteristisk trykstyrke på
35 MPa foreslås i afsnit 2.1.2 følgende -værdier:
0
Korttidslast : 7,7
Langtidslast: 1 1 2,13 7,7 24, 2
K
L K
I dette eksempel vurderes ca. 75% af lastvirkning at skyldes langtidslast, mens
de resterende 25% skyldes korttidslast. Den effektive -værdi bestemmes ved
vægtning:
24,2 0,75 7,7 0,25 20 eff
Tværsnitsanalysen for et urevnet tværsnit sker ved at udregne det transforme-
rede areal og inertimoment. Det betragtede tværsnit er symmetrisk, hvorfor
tyngdepunktsaksen ligger i tværsnittets centerlinje. Dette betyder samtidig, at
der ikke vil komme bidrag til udbøjningen fra svind.
420 m
m
300 mm
2 stk. Y16
2 stk. Y16
Bjl. Y6 pr. 200 mm
40 m
m
Figur 8-24: Søjletværsnit
2 2420 300 20 4 16 142085mm4
T C SA A A
285
8 | Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
3 2 21420 300 20 4 16 170 2,317 10 mm
12 49 4 T C SI I I
Udbøjningen midt på søjlen fås af:
20 0
2
5 9
2
11010
24,91, 4mm
10 2,0 10 2,317 10470
20 3500
Ed Ed urevnet Edurevnet S urevnet
S ST E
S
urevnet
M N u Mu L u
E E Td
II N
L
u
Det undersøges, om antagelsen om urevnet tværsnittet er korrekt ved at addere
udbøjningen midt på søjlen og normalkraftens excentricitet og kontrollere, at
den resulterende normalkraft stadig befinder sig inden for kernen.
1 152,9 1,4 54,3mm 420 70mm
6 6 urevnete u h
Hvis tværsnittet havde haft udbøjning fra svind, skal dette udbøjningstillæg
lægges til uurevnet, når udbøjning og tværsnitsspændinger bestemmes.
Udbøjninger om tværsnittets svage akse findes på tilsvarende vis.
Ønskes armeringsspændinger og betonkantspænding bestemt, kan de for urev-
nede tværsnit findes af Navier’s formel for bøjning om to akser, hvor udbøjnin-
gens tillæg til momenterne medregnes.
8.2.2 Udbøjning for revnet tværsnit
I dette afsnit betragtes en søjle/væg i anvendelsesgrænsetilstanden ved revnet
tværsnittet. Tværsnittet er armeret med et lag trykarmering og et lag trækar-
mering. I anvendelsesgrænsetilstanden benyttes en lineær-elastisk arbejdslinje,
286
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer | 8
hvor forholdet mellem spændingerne i beton og armering er givet ud fra tvær-
snittets geometri samt størrelsen .
Betonens kantspænding benævnes c. De geometriske betingelser fører til:
sc c
st c
x c
xh x c
x
Ligevægtsligningerne kan nu opstilles, idet den samlede normalkraft virkende på
tværsnittet betegnes NEd, og den samlede 1. ordens momentvirkning betegnes
M0Ed.
Projektionsligningen:
1
2
12
Ed c sc sc st st
Edc
sc s
N bx A A
Nx c h x c
bx A A tx x
Omskrivningen fås ved indsættelse af de geometriske betingelser i projektions-
ligningen.
Momentligningen om tværsnittets centerlinje:
0
1
2 2 3 2 2
Ed Ed Ed i
Ed c sc sc st st
M M N u
h x h hM bx A c A c
hvor ui er et gæt på udbøjningen.
Udtrykkene for c, sc og st indsættes i momentligningen og leddene samles:
287
8 | Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
3 21 10 6
4 2
62 2
62
Ed
Ed
sc st sc st Ed
Ed
sc st sc st
Ed
Mx h x
hN
A A A A Mh hh c c x
bh bh bh bh N
A A A A Mhh c h c c c h c
bh bh bh bh N
Ed
Dette er en 3. gradsligning i x på formen 3 21 2 3 0x a x a x a . Ligningen har
én reel løsning:
2 3 2 33 31 1 1 1 1 1
2 4 27 2 4 27x q q p q q p
Hvor p og q er givet ved:
22 1
31 1 2
1
32 1
27 3
p a a
q a a a
3a
Hermed kan trykzonehøjden x findes, og betonkantspændingen, c, kan umid-
delbart bestemmes ved indsættelse i momentligningen, hvilket giver:
2Ed
c
M
bh
288
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer | 8
Hvor
11 1 1 1 1
2 2 3 2 2sc st
c cA Ac ch hbh h bh h
,
x
h
Armeringen skal undersøges for flydning. Armeringsspændingerne findes af de
geometriske betingelser. Hvis armeringen flyder benyttes armeringens flyde-
spænding i ligevægtsligningerne i stedet for sc / st, og nullinjedybde og spæn-
dinger må bestemmes på ny.
Udbøjningen kontrolleres nu:
21
1
10c
i ss
u LE
x
Hvis ui+1 afviger væsentligt fra ui gentages beregningerne med ui+1 som næste
gæt på udbøjningen. Denne iteration fortsættes til tilfredsstillende overens-
stemmelse er opnået. Det bør bemærkes, at ovenstående ligningssystem kræver
stor præcision i de indgående talværdier for at give en fornuftig løsning.
Revnevidden findes på baggrund af spændingen i trækarmeringen på samme
måde som for en bjælke, se afsnit 6.2.2.
Eksempel slut
289
8 | Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
8.3 Beregningsprogrammer
Nedenfor ses en udskrift fra søjleprogrammet på www.bef.dk med inddata sva-
rende til det gennemgåede eksempel i afsnit 8.1.5.3 med udbøjning om den
svage akse. Data for belastningerne er direkte overført fra programmet beskre-
vet i afsnit 3.4.6, hovedtilfælde II-a.
Som vist i eksemplet stemmer denne bæreevnekurve overens med bæreevnerne
i de beregnede punkter på den tilnærmede bæreevnekurve baseret på designdi-
agrammerne.
Som en vigtig facilitet for kvalitetssikringen giver programmet mulighed for at
trække delresultater frem fra de forskellige brudlasttilfælde, på den aktuelle ud-
skrift er valgt tilfælde E, F og H. Delresultaterne betegnes kontrolparametre og
omfatter blandt andet oplysning om den optimerede værdi af kanttøjningen, 0 ,
med tilhørende nullinjedybde, x, svarende til momentbæreevnen, M0Rd, ved den
givne normalkraft. Med disse oplysninger kan en bruger relativ nemt kontrollere
programmets resultater uden selv at skulle gennemføre en iterationsproces.
Sagsnavn: Sag nr.:Bygningsdel: Dato:Emne: Init:
Materialer fck 35 MPa Regningsmæssige parametrefyk 500 MPa fcd 25,0 MPa
c 1,40 fyd 417 MPas 1,20 Ecd 24341 MPa
Søjlelængde Ls 3500 mm Krybetal
Tværsnit h 300 mm RH 50%b 420 mm to 28 døgn
c 40 mm o 2,13
Trykarm. da 16 mm M0Eqp/M0Ed 0,75
Antal 2 stk ef 1,60 Trækarm. da 16 mm Bøjler Generelt: ø 6 / 300 mm
Antal 2 stk Top og bund: ø 6 / 180 mm
Anvendelsestilstand Kritisk last (central)I anvendelsestilstand skønnes crd 21,37 MPa
til en passende værdi afhængig af c 0,32%
forholdet mellem lang- og kort- t 0,32%
tidslast: anv. = 15 Ncr 2834 kN
Kontrolparametre Anv. - Brudlasttilfælde N1 (kN) N0 (kN) N2 (kN) w (kN/m)
E F H tilfælde A 55 114 31 0,00NEd (kN) 290 579 613 470 B 122 114 31 0,00M0Ed (kNm) 36 42 42 36,0 C 122 403 31 0,00M0Rd (kNm) 63 82 84 - D 122 403 70 0,00
u (mm) 19,8 24,5 25,0 3,2 E 144 114 31 0,00wk (mm) - - - urevnet F 144 403 31 0,00
0 / (1+) (o/oo) 0,70 1,04 1,07 - G 144 403 82 0,00c0 (Mpa) 14,1 18,6 19,0 8,6 H 144 438 31 0,00st (Mpa) 417 417 417 6 I 144 438 82 0,00sc (Mpa) 234 378 395 108 120 330 20
x (mm) 113 134 137 urevnet 282 20 222Vejledning: PC-statik: Søjle- og vægberegning efter EC2 Udgivet på www.bef.dk december 2008 NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker
Anvendelsestilfælde:
Betonelement-Foreningen mar. 2008SØJLE, version 2.0 / EC2
Excentriciteter (mm) :
Betonelementhuset
Normale lastkombinationerSøjle i modul B/4, 1.-2. sal, hovedtilfælde II-a
23 - 45452010-03-01
JFJ
Brudlasttilfælde
DC
B
A
EF
G
H
I
0
20
40
60
80
100
120
0 500 1000 1500 2000 2500 3000N (kN)
M (
kNm
)
N1
N0
N2
w
c
c
h
b
NM
TværsnitLodret snit
e0
e2 e1
Figur 8-25: Beregningsprogram
290
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer | 8
For søjlen i det aktuelle eksempel svarer hovedtilfælde II-a til udbøjning om den
svage akse. I eksemplet har søjlen samtidig momentvirkning om den stærke
akse, svarende til hovedtilfælde I-b. Dette kræver en særskilt undersøgelse af
den kombinerede virkning af bøjning om de to akser, kaldet skæv bøjning. Se
nærmere i afsnit 8.4. Til anvendelse ved denne analyse i eksempel 8.4.1 er ne-
denfor vist resultaterne fra beregningen af søjlen svarende til hovedtilfælde I-b.
Det vil af dette eksempel fremgå, at søjlens bæreevneoverskud er væsentlig
mindre, end hvad der umiddelbart kunne forventes ud fra resultaterne i de til-
fælde, hvor der kun ses på udbøjning i én retning ad gangen.
Sagsnavn: Sag nr.:Bygningsdel: Dato:Emne: Init:
Materialer fck 35 MPa Regningsmæssige parametrefyk 500 MPa fcd 25,0 MPa
c 1,40 fyd 417 MPas 1,20 Ecd 24341 MPa
Søjlelængde Ls 3500 mm Krybetal
Tværsnit h 420 mm RH 50%b 300 mm to 28 døgn
c 40 mm o 2,13
Trykarm. da 16 mm M0Eqp/M0Ed 0,75
Antal 2 stk ef 1,60 Trækarm. da 16 mm Bøjler Generelt: ø 6 / 300 mm
Antal 2 stk Top og bund: ø 6 / 180 mm
Anvendelsestilstand Kritisk last (central)I anvendelsestilstand skønnes crd 23,00 MPa
til en passende værdi afhængig af c 0,32%
forholdet mellem lang- og kort- t 0,32%
tidslast: anv. = 20 Ncr 3051 kN
Kontrolparametre Anv. - Brudlasttilfælde N1 (kN) N0 (kN) N2 (kN) w (kN/m)
E F H tilfælde A 63 114 24 2,94NEd (kN) 302 591 626 470 B 139 114 24 2,94M0Ed (kNm) 37 43 44 24,9 C 139 403 24 2,94M0Rd (kNm) 100 132 135 - D 139 403 52 2,94
u (mm) 17,6 21,2 21,5 1,4 E 165 114 24 0,88wk (mm) - - - urevnet F 165 403 24 0,88
0 / (1+) (o/oo) 0,78 1,15 1,20 - G 165 403 62 0,88c0 (Mpa) 15,3 19,8 20,3 5,6 H 165 438 24 0,88st (Mpa) 417 417 417 -29 I 165 438 62 0,88sc (Mpa) 289 417 417 104 110 320 40 0,59
x (mm) 141 173 177 urevnet 233 20 200Vejledning: PC-statik: Søjle- og vægberegning efter EC2 Udgivet på www.bef.dk december 2008 NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker
Betonelement-Foreningen mar. 2008SØJLE, version 2.0 / EC2
Excentriciteter (mm) :
Betonelementhuset
Normale lastkombinationerSøjle i modul B/4, 1.-2. sal, hovedtilfælde I-b
23 - 45452010-03-01
JFJ
Brudlasttilfælde
Anvendelsestilfælde:
DC
B
A
EFGHI
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500N (kN)
M (
kNm
)
N1
N0
N2
w
c
c
h
b
NM
TværsnitLodret snit
e0
e2 e1
Figur 8-26: Beregningsprogram
Efterfølgende er endvidere vist et eksempel på en udskrift fra det tilsvarende
program til brug for beregning af betonelementvægge på www.bef.dk. Dette
program fungerer helt analog til søjleprogrammet. I eksemplet er indlagt en
armering svarende til transportarmeringen: et net ø5/150 mm i begge sider af
elementet.
291
8 | Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Sagsnavn: Sag nr.:Bygningsdel: Dato:Emne: Init:
Materialer fck 25 MPa Regningsmæssige parametrefyk 500 MPa fcd 17,9 MPa
c 1,40 fyd 417 MPas 1,20 Ecd 22483 MPa
Søjlelængde Ls 3500 mm Krybetal
Tværsnit h 180 mm RH 50%b 1000 mm to 28 døgn
c 30 mm o 2,77
Trykarm. da 5 mm M0Eqp/M0Ed 0,75
Antal 6,67 ef 2,07 Trækarm. da 5 mm Hvis væggen kun forsynes med ét lag
Antal 6,67 armering, skal det være træklaget.
Anvendelsestilstand Kritisk last (central)I anvendelsestilstand skønnes crd 13,08 MPa
til en passende værdi afhængig af c 0,07%
forholdet mellem lang- og kort- t 0,07%
tidslast: anv. = 20 Ncr 2385 kN
Kontrolparametre Anv. - Brudlasttilfælde N1 (kN) N0 (kN) N2 (kN) w (kN/m)
B C I tilfælde A 6 27 9 0,80NEd (kN) 140 670 764 70 B 104 27 9 0,80M0Ed (kNm) 9 20 17 4,1 C 104 557 9 0,80M0Rd (kNm) 14 23 23 - D 104 557 63 0,80
u (mm) 25,8 21,1 20,8 1,0 E 104 27 9 0,40wk (mm) - - - urevnet F 104 557 9 0,40
0 / (1+) (o/oo) 0,35 0,62 0,66 - G 104 557 75 0,40c0 (Mpa) 6,8 10,6 11,1 1,1 H 104 585 9 0,40st (Mpa) 417 137 106 2 I 104 585 75 0,40sc (Mpa) 86 276 302 18 49 9 12 0,60
x (mm) 50 110 119 urevnet 72 20 40Vejledning: PC-statik: Søjle- og vægberegning efter EC2 Udgivet på www.bef.dk december 2008 NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker
Excentriciteter (mm) :
Betonelementhuset
Normale lastkombinationerVæg modul B/6-7, kld.-4. sal (STR 6.10b)
23 - 45452010-03-01
JFJ
Brudlasttilfælde
Anvendelsestilfælde:
Betonelement-Foreningen mar. 2009VÆG, version 2.0 / EC2
D
C
B
A
E
F
G
H
I
0
5
10
15
20
25
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800N (kN)
M (
kNm
)
N1
N0
N2
w
c
c
h
b
NM
TværsnitLodret snit
e0
e2 e1
Figur 8-27: Beregningsprogram
Med den valgte bredde i eksemplet på 1000 mm, giver udskriften således en
umiddelbar fornemmelse af, hvor store belastninger en helt almindelig betone-
lementvæg (h = 180 mm) kan optage selv med ganske beskeden armering.
Eksemplet svarer med en armeringsgrad på c = t = 0,017 stort set til bære-
evnekurven for Ls/h = 20 i det første diagram i afsnit 8.1.2.
Belastningerne i de 9 brudlasttilfælde er overført fra eksemplet på en lastspecifi-
kation for vægge fra afsnit 3.4.6.
8.4 Skæv bøjning
Ovenstående designdiagrammer kan bruges til beregning af udbøjning om hen-
holdsvis den stærke og den svage akse. Det er også nødvendigt at undersøge
tilfældet med skævbøjning, hvor udbøjningen sker i et andet plan end søjlens to
symmetriplaner.
292
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer | 8
Det er muligt, om end besværligt, at lave en nøjagtig teoretisk løsning af tvær-
snitsligningerne for tilfældet med skævbøjning. I praksis kan på den sikre side
anvendes følgende bæreevnekriterium for den kombinerede påvirkning
00
0 0
1aa
EdyEdz
Rdz Rdy
MMM M
M0Ed,I og M0Ed,II er den lastfremkaldte momentbelastning om tværsnittets to
hovedakser.
M0Rd,I og M0Rd,II er tværsnittets momentkapacitet om de to akser over for det
lastfremkaldte moment. Det vil sige den samlede momentka-
pacitet fratrukket momenttillægget fra søjlens udbøjning
a er en eksponent, der afhænger af normalkraftniveauet NEd/NRd
NEd/NRd < 0,1 0,7 1,0 a = 1,0 1,5 2,0
med lineær interpolation for mellemliggende værdier.
NEd er den regningsmæssige værdi af normalkraften
NRd = Ac fcd + As fyd, hvor Ac og As er henholdsvis betontværsnit-
tets bruttoareal og armeringens tværsnitsareal.
I et momentdiagram kan dette bæreevnekriterium afbildes som vist nedenfor.
Det ses, at den relative udnyttelsesgrad af søjlens momentkapacitet ved kombi-
neret påvirkning øges med stigende normalkraftniveau.
Når en gruppe af lasttilfælde svarer til omtrent samme normalkraftniveau tages
inden for gruppen den største udnyttelsesgrad for momenterne for hver af de to
udbøjningsretninger (M0Ed,I / M0Rd,I henholdsvis M0Ed,II / M0Rd,II). Eksponenten, a,
vælges svarende til det laveste normalkraftniveau inden for gruppen.
293
8 | Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Ned/NRd :
= 0,7= 0,6= 0,5= 0,4= 0,3= 0,2< 0,1
M 0Ed,II / M 0Rd,II
M 0Ed,I / M 0Rd,I
Figur 8-28: Interaktionsdiagram for skæv bøjning ved forskellige niveauer
af normalkraft
8.4.1 Eksempel, skæv bøjning
Af programudskrifterne i afsnit 8.3 ses, at brudlasttilfældene E, F og H bliver de
farligste, både i hovedtilfælde I-b og II-a. Til brug for bestemmelsen af ekspo-
nenten a i bæreevnekriteriet findes først:
NRd = Ac fcd + As fyd = (300 420 25,0 + 4 201 417)/1000 = 3485 kN
Herefter kontrolleres den samlede udnyttelsesgrad for skæv bøjning:
Lasttilfælde NEd MEd,I M0Rd,I Lasttilfælde NEd MEd,II M0Rd,II Min(NEd/NRd) a (Med,I/MRd,I)a + (MEd,II/MRd,II)
a
(kN) (kNm) (kNm) (kN) (kNm) (kNm)
E 302 37 100 E 290 36 63 0,083 1,000 0,94F 591 43 132 F 579 42 82 0,166 1,055 0,80H 626 44 135 H 613 42 84 0,176 1,063 0,78
Kontrol af samlet udnyttelsesgradHovedtilfælde I-b Hovedtilfælde II-a
Figur 8-29: Resultat af skæv bøjning
294
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer | 8
Den største udnyttelsesgrad for skæv bøjning ses at være 0,94 < 1,0. Selv om
udnyttelsesgraderne for hovedtilfælde I og II hver for sig er beherskede, så er
søjlen stort set fuldt udnyttet for den kombinerede bøjningspåvirkning.
Eksempel slut
295
9BrAnd
9 BRAND
9.1 Materialeegenskaberunderbrand
9.1.1 Beton
9.1.2 Zonemetoden
9.1.3 Armering
9.1.4 Forspændingsstål
9.1.5 Eksempel–Temperaturbestemmelseogstyrkereduktion
9.2 Bjælkeribrandtilstanden
9.2.1 Bøjning
9.2.2 Forskydning
9.2.3 Eksempel–Bjælkeibrandtilstanden
9.3 Beregningsprogram
9.4 Søjlerogvæggeibrandtilstanden
9.4.1 Udbøjningfrakrybning
9.4.2 Termiskeudbøjninger
9.4.3 Søjle/vægreaktionensforsætningunderbrand
9.4.4 Eksempel–Søjleibrandtilstanden
9.5 Beregningsprogram
9 | Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
9.1 Materialeegenskaber under brand
9.1.1 Beton
Når betonkonstruktioner udsættes for brand, ændrer materialeegenskaberne sig
både for beton og armering. Dette giver andre arbejdslinjer end i kold tilstand.
Følgende udtryk bruges for arbejdslinjen for betonkonstruktioner udsat for
brand:
,
31,
1,
3
(2 ( ) )
c cc
cc
c
f
fc, er betonens énaksede trykstyrke ved betontemperaturen
c1, er tøjningen svarende til toppunktet på betonens arbejdslinje ved be-
tontemperaturen . Se efterfølgende tabel i figur 9-3.
Arbejdslinjerne ser typisk ud som vist på figur 9-1.
0
5
10
15
20
25
30
0 0,005 0,01 0,015 0,02 c
c (MPa)
c1,
f c,
M= 400 o C
M =200 o C
M = 20 o C
Figur 9-1: Typiske arbejdslinjer for beton ved forhøjede temperaturer
under brand
298
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand | 9
Det skal bemærkes, at arbejdslinjen gældende ved branddimensionering for
M=20oC ikke er den samme, som den der benyttes i kold tilstand.
I helt generel form vil tværsnitsanalyse af betonkonstruktioner være meget
komplekse, fordi temperaturen varierer hen over tværsnittet. Dermed kommer
udtrykket for arbejdslinjen også til at variere hen over tværsnittet. Til brug for
praktisk dimensionering ved brandpåvirkninger svarende til standardbrandkur-
ven er derfor udviklet den såkaldte zonemetode, der også er beskrevet som en
mulig beregningsmodel i EC2.
9.1.2 Zonemetoden
Ved zonemetoden opdeles et rektangulært tværsnit i et antal (2n x 2n) lige store
rektangulære felter, hvor . Til tidspunktet, t, efter standardbrandens be-
gyndelse bestemmes temperaturen ij midt i hvert af disse felter.
3n
9.1.2.1 Temperaturbestemmelse
Temperaturen i centerpunktet for hvert felt bestemmes jævnfør EC2 ud fra ne-
denstående formler. Et tværsnit angribes ofte af brand fra flere sider. Formlerne
angiver, hvordan temperaturbidraget fra brand på flere overflader beregnes.
Temperaturen i tværsnittet må ikke regnes mindre end 20C og temperaturtil-
væksten skal altid være positiv.
Ensidigt påvirket tværsnit
-1,9 ( )1 10( , ) 312 log (8 1) sin( - ( ) )2
k t xx t t e k t x
x er afstanden fra overfladen i m og t er tiden i minutter.
Temperaturen 1 kan ikke regnes mindre end 20 C.
Faktoren k(t) er givet ved:
( )
750pc
k tt
299
9 | Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
hvor
= 2300 kg/m3 er betonens densitet
cp = 1000 J/kg C er den specifikke varmekapacitet
= 0,75 W/m C er varmeledningsevnen
t er tiden i minutter
Sinusfunktionen regnes i radianer
Tosidigt påvirket tværsnit
12 1 1
1 1
(0, )( , ) ( , ) (2 - , )
(0, ) (2 , )t
x t x t w x tt w t
2 må ikke regnes mindre end 20 C. For 1 anvendes udtrykket for ensidigt på-
virket tværsnit, idet 1 = 0 dog anvendes for alle x-værdier større end den
mindste x-værdi, der giver 1 = 0.
Tresidigt påvirket tværsnit
2 1
3 2 11
( , ) ( , )( , , ) ( , ) ( , )
(0, )x t y t
x y t x t y tt
Hvor t er tiden i minutter, x og y er afstanden fra overfladen i m og 2w er tvær-
snitstykkelsen.
3 må ikke regnes mindre end 20 C. Principperne fra tosidigt påvirket tværsnit
for bestemmelse af 1 er gældende både for 1 og 2.
Et firesidet påvirket tværsnit kan for betonelementer i praksis behandles som
sammensat af to tresidigt påvirkede tværsnit. Se også afsnit 9.1.5.
Armeringens temperatur bestemmes på tilsvarende vis. For længdearmering
benyttes koordinaterne for centeret af hver enkelt armeringsstang. Temperatu-
ren for bøjlearmering findes ved at tage middelværdien af temperaturen i ek-
sempelvis ti punkter jævnt fordelt på den nederste halvdel af bøjlen.
300
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand | 9
9.1.2.2 Tværsnits- og styrkereduktion
I brandtilstanden regnes betontværsnittet svækket dels i form af en skadet
randzone, der ikke tages med i regning, og dels ved at reducere styrken af be-
ton og armering.
I hvert felt bestemmes herefter betonens styrkereduktionskoeffient, kc svarende
til den fundne temperatur:
, /c ck f ckf
For sædvanlige danske betoner med tilslag af sø- eller bakkematerialer eller af
granit kan styrkereduktionskoefficienterne findes af tabellen, figur 9-3. Der kan
interpoleres retlinet mellem tabellens værdier. Styrkereduktionsfaktorerne i ta-
bellen for danske betoner er beskrevet i artiklen ”Concrete strength for fire safe-
ty design” af Kristian Hertz i Magazine of Concrete Research, vol. 57, no. 8,
2005.
w w
1 2 . . . i . . . 2n
1
j
.
.
.
2n
ij
M
k c c1 cu
(oC)
20 1,000 0,0025 0,0200
100 0,991 0,0040 0,0225
200 0,965 0,0055 0,0250
300 0,925 0,0070 0,0275
400 0,867 0,0100 0,0300
500 0,772 0,1500 0,0325
600 0,609 0,2500 0,0350
700 0,392 0,2500 0,0375
800 0,207 0,2500 0,0400
900 0,099 0,2500 0,0425
1000 0,045 0,2500 0,0450
1100 0,002 0,2500 0,0475
1200 0,000 - -
Figur 9-3 Styrkereduktionskoeffi-
cienter,typiske danske betoner.
Figur 9-2: Tværsnitsopdeling, n = 3
301
9 | Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
For et tværsnit med brand på alle 4 sider er middelreduktionskoefficienten givet
ved:
2 2
, 21 1
1 0,2 /( )
(2 )
n n
c m c iji j
nk k
n
Herefter beregnes tykkelsen, az, af en nominel skadet randzone, der ved bereg-
ning af tværsnittet i brandtilfældet regnes inaktiv langs de sider af tværsnittet,
der er eksponeret for brand. For bjælker, plader og andre elementer, hvor der
ikke skal tages hensyn til 2. ordens effekter bruges udtrykket:
,1( )c m
zc M
ka w
k
hvor M er temperaturen i tværsnittes midtpunkt, og w er det halve af tværsnit-
tets mindste dimension.
For søjler, vægge og andre elementer, hvor 2. ordens effekter er af væsentlig
betydning for bæreevnen, anvendes følgende udtryk for den skadede randzone:
1,3
,1( )c m
zc M
ka w
k
Hvis tværsnittet kun er brandpåvirket på nogle af overfladerne ændres bereg-
ningen af kc,m som vist på figur 9-4; medens formlerne for az er uændrede. I
disse tilfælde skal temperaturer og styrkereduktioner kun beregnes for de mar-
kerede felter.
Ved den videre tværsnitsanalyse ses bort fra betonen i de skadede randzoner og
for det resterende tværsnit anvendes betonstyrke og arbejdslinje svarende til
temperaturen, M, i tværsnittets midtpunkt, M:
, ( )c c M ckf k f
302
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand | 9
n
jijc
n
imc k
n
nk
1
2
12, )(
2
/2,01
n
iicmc k
n
nk
2
1, )(
2
/2,01
n
iicmc k
n
nk
1, )(
/2,01
Tresidig brand Tosidig brand Énsidig brand
Skadede randzoner Skadede randzoner Skadet randzone
M M M
az
Figur 9-4: Middelreduktionsfaktor og skadede randzoner ved tre-, to- og
énsidig brand (n=3)
hvor kc(M) fortsat aflæses af tabellen i figur 9-3. Fra denne tabel aflæses nu
også c1(M), hvorefter betonens arbejdsline er fastlagt.
9.1.3 Armering
Ved dimensionering af betonelementer udsat for brand skal der tages hensyn til
armeringens ændrede styrkeparametre ved forhøjede temperaturer. Tempera-
turkurverne for en standardbrand fra afsnit 9.1.2.1 benyttes til at bestemme
temperaturen, , i tværsnittets enkelte armeringsjern. Når armeringens tempe-
ratur er bestemt, findes den tilhørende regningsmæssige værdi af armeringens
flydespænding, fsy, og elasticitetsmodul, Es, af tabellen i figur 9-5. Tabellen
viser styrkeværdier for tre forskellige typer armeringsstål. Den mest brugte ar-
meringstype i danske betonelementer er bratkølet stål. I tabellen interpoleres
ved mellemliggende værdier af temperaturen.
303
9 | Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
-stål
(oC) f sy, /f yk E s, /E sk f sy, /f yk E s, /E sk f sy, /f yk E s, /E sk
20 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00100 0,96 1,00 0,98 1,00 0,99 1,00200 0,88 0,90 0,94 1,00 0,95 0,87300 0,77 0,80 0,89 0,99 0,89 0,72400 0,65 0,70 0,78 0,96 0,78 0,56500 0,47 0,60 0,55 0,79 0,57 0,40600 0,27 0,31 0,27 0,48 0,30 0,24700 0,13 0,13 0,10 0,21 0,12 0,08800 0,05 0,09 0,00 0,08 0,05 0,06900 0,02 0,07 0,00 0,03 0,02 0,05
1000 0,01 0,04 0,00 0,00 0,01 0,031100 0,01 0,02 0,00 0,00 0,00 0,021200 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
Varmtvalset stål Bratkølet stål Kolddeformeret stål
Figur 9-5: Reduktionskoefficienter for armering ved forhøjede tempe-
raturer under brand
I tabellen betegner fyk og Esk henholdsvis armeringens karakteristiske flyde-
spænding og elasticitetsmodul i kold tilstand. Desuden er benyttet, at partial-
koefficienten for armeringens mekaniske egenskaber under brandpåvirkning,
s,fi, sættes til 1,0.
9.1.4 Forspændingsstål
For spændliner kan de regningsmæssige styrker og elasticitetsmoduler ved for-
højede temperaturer findes af figur 9-6.
-stål f p2,0, /f yp2,0k E s, /E sk
kolddeformerede bratkølede(oC) liner liner
20 1,00 1,00 1,00 1,00100 0,89 0,92 0,99 0,98200 0,71 0,84 0,87 0,95300 0,53 0,75 0,72 0,88400 0,33 0,52 0,46 0,81500 0,15 0,21 0,22 0,54600 0,05 0,06 0,10 0,41700 0,02 0,02 0,08 0,10800 0,01 0,01 0,05 0,07900 0,00 0,00 0,03 0,03
1000 0,00 0,00 0,00 0,00
f p0,1, /f p0,1k
Figur 9-6: Reduktionskoefficienter for spændliner ved forhøjede tempera-
turer under brand
304
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand | 9
9.1.5 Eksempel – Temperaturbestemmelse og styrkereduktion
I dette eksempel bestemmes temperatur, styrkereduktionsfaktor og skadet
randzone for et betontværsnit og armering ved en standardbrand af 60 minut-
ters varighed. Der regnes med samme tværsnitsdimensioner og armering som
benyttet ved søjle- og bjælkeeksemplerne afsnit 6.1.6 og 8.1.4. Temperaturfor-
delingen bestemmes dels for et tresidigt brandpåvirket tværsnit, dels for et fire-
sidigt brandpåvirket tværsnit. Førstnævnte svarer til en bjælke, der ved oversi-
den afskærmes af et betondæk. Sidstnævnte svarer til en fritstående søjle.
9.1.5.1 Beregningsforudsætninger
Tværsnit: 420 mm x 300 mm
Karakteristisk betontrykstyrke fck = 35 MPa
Armering 4 stk. Y16, én i hvert hjørne: c = 40 mm
Karakteristisk flydespænding for længdearmeringen fyk = 500 MPa
Forskydningsarmering bøjler Y6.
Karakteristisk flydespænding for bøjlearmeringen fyk = 410 MPa
9.1.5.2 Beton
Det betragtede tværsnit er 300 mm bredt og 420 mm højt. Med n = 3 fås en
tværsnitsinddeling som vist på figur 9-7.
Temperaturen i centerpunktet for hvert felt bestemmes:
Faktoren k(t) er givet ved:
2300 1000(60min) 14,63
750 750 0,75 60pc
kt
Kanttemperaturen beregnes
Kanttemperaturer ved brandpåvirket kant:
-1,9 14,63 0,01 10(0,60) 312 log (8 60 1) sin( -14,63 0,0) 836,82e C
Kanttemperatur ved modstående kant:
-1,9 14,63 0,3001 10(2 150,60) 312 log (8 60 1) sin( -14,63 0,300) 0,02e C
305
9 | Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
35 mm
70 mm
70 mm
70 mm
70 mm
70 mm
35 mm
50 m
m
25 m
m
25 m
m
50 m
m
50 m
m
50 m
m
50 m
m
Figur 9-7: Tværsnitsinddeling
Det ses, at en brand på den ene side af tværsnittet ikke giver anledning til tem-
peraturforøgelse på den modstående kant.
Temperaturen i nederste venstre felt beregnes
Felttemperatur ved brand fra venstre:
-1,9 14,63 0,0251 10(25,60) 312 log (8 60 1) sin( -14,63 0,025) 390,02e C
Felttemperatur ved brand fra højre:
-1,9 14,63 0,2751 10(2 150 25,60) 312 log (8 60 1) sin( -14,63 0,275) 0,3 0,02e C C
Summering af de to første bidrag:
12 1 1
1 1
(0,60)(25,60) (25,60) (2 150 - 25,60)
(0,60) (2 150,60)
836,8 390,0 0,0 390,0
836,8 0,0C
C C CC C
306
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand | 9
Felttemperatur ved brand nedefra:
-1,9 14,63 0,0351 10(35,60) 312 log (8 60 1) sin( -14,63 0,035) 275,72e C
Totaltemperatur fås ved summering af alle tre bidrag:
2 13 2 1
1
(25,60) (35,60)(25,35,60) (25,60) (35,60)
(0,60)
390,0 C 275,7 C 390,0 C 275,7 C =537,2 C
836,8 C
På samme måde findes temperaturen i de øvrige felter for et tresidigt brandpå-
virket tværsnit, angivet i skemaet herunder, figur 9-8, idet de resterende tem-
peraturkurver aldrig kan blive mindre end 20ºC.
y.x 25 mm 75 mm 125 mm 175 mm 225 mm 275 mm
385 mm 390,0 C 47,5 C 20,0 C 20,0 C 47,5 C 390,0 C
315 mm 390,0 C 47,5 C 20,0 C 20,0 C 47,5 C 390,0 C
245 mm 390,0 C 47,5 C 20,0 C 20,0 C 47,5 C 390,0 C
175 mm 390,0 C 47,5 C 20,0 C 20,0 C 47,5 C 390,0 C
105 mm 390,9 C 49,0 C 20,0 C 20,0 C 49,0 C 390,9 C
35 mm 537,2 C 307,6 C 275,7 C 275,7 C 307,6 C 537,2 C
Figur 9-8: Skema over felttemperaturer, brandpåvirkning fra tre sider
Det undersøges nu, om tværsnittet er så højt, at en temperaturforøgelse fra
brand nedefra når tværsnittets centerfelter.
Felttemperatur ved brand nedefra:
-1,9 14,63 0,1751 10(175,60) 312 log (8 60 1) sin( -14,63 0,175) 5,4 0,02e C C
Tværsnittets center ses ikke at være påvirket af branden. Temperaturfordelin-
gen ved et firesidet brandpåvirket tværsnit kan derfor uden problemer findes
ved at spejle nederste halvdels felttemperaturer ved tresidet brandpåvirket
tværsnit om midteraksen, se figur 9-9.
307
9 | Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
y.x 25 mm 75 mm 125 mm 175 mm 225 mm 275 mm
385 mm 537,2 C 307,6 C 275,7 C 275,7 C 307,6 C 537,2 C
315 mm 390,9 C 49,0 C 20,0 C 20,0 C 49,0 C 390,9 C
245 mm 390,0 C 47,5 C 20,0 C 20,0 C 47,5 C 390,0 C
175 mm 390,0 C 47,5 C 20,0 C 20,0 C 47,5 C 390,0 C
105 mm 390,9 C 49,0 C 20,0 C 20,0 C 49,0 C 390,9 C
35 mm 537,2 C 307,6 C 275,7 C 275,7 C 307,6 C 537,2 C
Figur 9-9: Skema over felttemperaturer, brandpåvirkning fra fire sider
For en 3-sidet brandpåvirket bjælke vil det være på den sikre side at betragte
nederste halvdel af bjælken. Det er her, at størrelsen på den skadede randzone
har størst betydning for bæreevnen. Middelreduktionsfaktoren bestemmes derfor
ud fra tværsnittets nederste halvdel, betragtet som 3-sidet brandpåvirket.
Reduktionsfaktoren kc() for betonens trykstyrke kan nu findes ud fra tempera-
turerne ved interpolation mellem værdierne i figur 9-2. For nederste venstre felt
fås således:
0,609 0,772537, 2 537, 2 500 0,772 0,711
600 500ck C
For de øvrige felter på nederste tværsnitshalvdel fås følgende reduktionsfaktorer
angivet i Figur 9-10:
y.x 25 mm 75 mm 125 mm 175 mm 225 mm 275 mm
385 mm
315 mm
245 mm
175 mm 0,873 0,997 1,000 1,000 0,997 0,873
105 mm 0,872 0,997 1,000 1,000 0,997 0,872
35 mm 0,711 0,921 0,935 0,935 0,921 0,711
Figur 9-10: Skema over reduktionsfaktorer for bjælke brandpåvirket fra tre sider
For firesidet brandpåvirkning fås reduktionsfaktorerne vist i figur 9-11.
308
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand | 9
y.x 25 mm 75 mm 125 mm 175 mm 225 mm 275 mm
385 mm 0,711 0,921 0,935 0,935 0,921 0,711
315 mm 0,872 0,997 1,000 1,000 0,997 0,872
245 mm 0,873 0,997 1,000 1,000 0,997 0,873
175 mm 0,873 0,997 1,000 1,000 0,997 0,873
105 mm 0,872 0,997 1,000 1,000 0,997 0,872
35 mm 0,711 0,921 0,935 0,935 0,921 0,711
Figur 9-11: Skema over reduktionsfaktorer, brandpåvirkning fra fire sider
Middelreduktionsfaktoren for begge tilfælde fås til:
2 2
, 21 1
2
1 0,2 /( )
(2 )
1 0,2 / 3 0,711 4 0,921 4 0,935 4 0,872 4 0,873 4 0,997 8 1,000 8
2 3
0,861
n n
c m c iji j
nk k
n
Den skadede randzone kan nu bestemmes.
For bjælker og plader:
, 0,8611 150 1 20,9
( ) 1
c mz
c M
ka w mm
k
For søjler og vægge:
1,3 1,3, 0,861
1 150 1 26,5( ) 1
c mz
c M
ka w mm
k
Tværsnittet dimensioneres for brand ved at benytte reduceret tværsnit samt
reduceret styrke og elasticitetsmodul for armeringen.
Betontemperaturen midt i tværsnittet ses at være 20,0 C, hvilket betyder, at
betonstyrken ikke skal reduceres.
309
9 | Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
9.1.5.3 Armering
Temperatur og styrkereduktion for længdearmering
Temperatur og styrkereduktion for længdearmeringen bestemmes. Der benyttes
samme temperaturkurver som for betontværsnittet. Længdearmeringens center
befinder sig 40 mm fra betonkanten.
Felttemperatur ved brand fra venstre:
-1,9 14,63 0,0401 10(40,60) 312 log (8 60 1) sin( -14,63 0,040) 229,52e C
Felttemperatur ved brand fra højre:
-1,9 14,63 0,2601 10(2 150 40,60) 312 log (8 60 1) sin( -14,63 0,260) 0,5 0,02e C C
Summering af de to første bidrag:
12 1 1
1 1
(0,60)(40,60) (40,60) (2 150 - 40,60)
(0,60) (2 150,60)
836,8 229,5 0,0 229,5
836,8 0,0C
C C CC C
Felttemperatur ved brand nedefra:
-1,9 14,63 0,0401 10(40,60) 312 log (8 60 1) sin( -14,63 0,040) 229,52e C
Totaltemperatur ved summering af alle tre bidrag:
2 13 2 1
1
(40,60) (40,60)(40,40,60) (40,60) (40,60)
(0,60)
229,5 C 229,5 C 229,5 C 229,5 C =396,1 C
836,8 C
Længdearmeringens reduktionsfaktorer findes ved at interpolere mellem værdi-
erne i tabellen, Figur 9-5. Der bruges varmvalset armeringsstål:
,
5 5,
0,65 0,77396,1 300,0 0,77 0,65 500 327
400 300
0,70 0,80396,1 300,0 0,80 0,70 2,0 10 1,41 10
400 300
sy yk
s s
f f MP
E E
a MPa
MPa MPa
310
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand | 9
Temperatur og styrkereduktion for bøjlearmering
Temperaturen af bøjlearmeringen findes som en middelværdi af 10 punkter på
den nederste halvdel af bøjlen. Armeringsbøjlens center befinder sig 29 mm fra
betonkanten. Der regnes med et tværsnit, der er påvirket af brand fra tre sider.
Felttemperaturerne rundt på armeringsbøjlen findes præcis som felttemperatu-
rerne for betonen afsnit 9.1.5.2. De fundne værdier er vist i skemaet, Figur
9-12.
y.x 29 mm 75 mm 125 mm 175 mm 225 mm 271 mm
175 mm 340,6 C 340,6 C
105 mm 341,5 C 341,5 C
29 mm 542,6C 368,8 C 340,6 C 340,6 C 368,8 C 542,6 C
Figur 9-12: Skema over felttemperaturer for bøjlearmering, brandpåvirkning fra
tre sider
Armeringsbøjlens middeltemperatur fås til:
12 542,6 2 368,8 2 341,5 4 340,6 386,8
10middel C C C C C
Bøjlearmeringens reduktionsfaktorer findes ved at interpolere mellem værdierne
i tabellen, Figur 9-5. Der bruges varmvalset armeringsstål:
,
5 5,
0,65 0,77386,8 300,0 0,77 0,67 410 275
400 300
0,70 0,80386,8 300,0 0,80 0,71 2,0 10 1,42 10
400 300
sy yk
s s
f f M
E E
Pa MPa
MPa MPa
Eksempel slut
9.2 Bjælker i brandtilstanden
Analysen af betontværsnit ved brand forløber i princippet som for kolde tværsnit
jævnfør afsnit 2.1.1.1. Dog er der den afgørende forskel, at betonens arbejdslin-
je under brand er anderledes end arbejdslinjen for kold beton.
311
9 | Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
9.2.1 Bøjning
9.2.1.1 Tværsnitsanalyse – Generel metode, betonbidrag
I det følgende gennemgås, hvordan betonens trykbidrag til tværsnittets lige-
vægtsligninger bestemmes. Betonens trykbidrag er det samme for både bjælker,
søjler og vægge. Dette afsnit kan derfor også anvendes ved søjleanalyse. I det
følgende afsnit findes armeringens bidrag ved bjælkeanalyse og ligningerne for
den statiske ækvivalens opstilles og løses.
Det antages, at betonens trækstyrke er nul.
y
0
h’
y’
Nc
c c
x
Figur 9-13: Definitioner, som anvendes ved tværsnitsanalyse
Spændingsfordelingen i det reducerede betontværsnit bestemmes ud fra ar-
bejdslinjen under brandpåvirkning, jævnfør afsnit 9.1.1. Tværsnittets tøjning
varierer lineært. Ved den ene betonkant fås tøjningen 0, som benyttes som
iterationsparameter. Spændingsvariationen fås ved at indføre tøjningen c, som
betegner betonens tøjning i et givet punkt i tværsnittet. Trykzonens højde er
variabel og angivet som x. Hermed kan c omskrives til den dimensionsløse form
angivet nedenfor. Ved omskrivningen benyttes substitutionen t = y/x, hvilket
giver c = t0.
312
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand | 9
Trykspændingen i betonen kan med samme notation som anvendt ved den kolde
beregning, skrives som:
02
, 1, 1,, ,3 33
0 1, 3301,
01,1,
3... 3 3
222
c c c cc c
ccc
cc
tf t
cf f
tt
Følgende konstanter indføres:
0
,13 2 cA ,
2
0
,13
cB
Hermed kan udtrykket for betonspændingen skrives som:
,3 3c c
tB f
A t
Resultanten af betonens trykspændinger bestemmes ved integration over tryk-
zonen:
1
'c cN b x d
t
Hvor b’ er betontværsnittets reducerede bredde og
0 for '
' for '
x h
x hx h
x
Indsættes udtrykket for c fås:
313
9 | Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
1
, 3 3
2 2 2
, 2 2
' ...
1 1 1 2 2' ln ln arctan arctan
6 3 31
c c
c c
tN b xBf dt
A t
B A A A A AN b x f
A A AA A
3
A
Trykresultanten udtrykkes dimensionsløst:
2 2 2
2 2,
1 1 1 2 2' ln ln arctan arctan
' 6 3 31c
cc
N B A A A A AN
b xf A A AA A
3
A
Herefter kan afstanden y’ fra resultantens placering til nullinjen bestemmes.
Dette gøres ved at bestemme resultantens moment omkring nullinjen.
12
1 22
, 3 3
32
, 3 3
' '
' ' ...
1 1' ' ln
3
c c
c c
c c
y N b x t dt
ty N b x Bf dt
A t
Ay N b x Bf
A
Betonresultantens moment om nullinjen skrives ligeledes dimensionsløst:
3
2 3,
' 1 1'' ln
' 3c
cc
y N AN B
b x f A3
Resultantens placering målt fra nullinjen kan herved bestemmes som:
2,
,
' ''' ''
' 'c cc c
c c c
b x f Ny N Ny x
N b xf N N
'
'c
9.2.1.2 Tværsnitsanalyse – Generel metode, armeringsbidrag
Armeringsbidraget bestemmes på samme måde som ved den kolde beregning.
314
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand | 9
Nc Nac
Nat1
x
cc’
c1’
0 c
MRd
b’
h’
y’
c2’ Nat2
Figur 9-14: Definitioner, som anvendes ved tværsnitsanalyse
Tværsnittet, der benyttes, er armeret med et lag trykstænger med et areal Asc
og to lag trækstænger med arealerne Ast1 og Ast2 og med den geometriske pla-
cering givet ved cc’, c1’ og c2’:
1 1
2 2
'
'
'
c c
z
z
c c a
c c a
c c a
z
Bemærk, at den skadede randzone kun trækkes fra, hvis der er brandpåvirkning
på den pågældende side.
For en given værdi af den variable trykzonehøjde x og betonens tryktøjning i
tværsnitskanten 0, kan de geometriske betingelser for armeringstøjningerne i
tryklaget sc og i træklagene st1 og st2 skrives som:
0
11 0
22 0
'
' '
' '
csc
st
st
x c
xh x c
xh x c
x
315
9 | Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Tryk/trækkræfterne i armeringen er hermed givet ved:
Trykarmeringen
0 ,
,
'
minc
sc sac
sc sy
x cA E
N xA f
Trækarmeringen
10 1 ,
1
1 ,
' '
min st sat
st sy
h x cA E
N xA f
20 2 ,
2
2 ,
' '
min st sat
st sy
h x cA E
N xA f
Hvor fsy, er armeringens flydespænding ved temperaturen . Det er nu muligt at
opstille ligevægtsligningerne, som vil bestemme tværsnittets bæreevne.
Projektionsligningen:
catatac NNNN 210
Momentligningen om tværsnittets nullinje:
1 1 2' ' ' ' ' 'Rd c c ac at at 2M y N x c N h x c N h x c N
hvor y’ er afstanden fra nullinjen til betontrykspændingens resultant. MRd er
tværsnittets momentkapacitet.
316
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand | 9
9.2.1.3 Bøjning uden trykarmering
I brandtilstanden gælder samme simple formel for en bjælkes momentkapacitet,
for bjælker uden trykarmering, som er gældende i kold tilstand. Armeringsgra-
den er givet ved:
,
,' 's sy
c
A f
b d f
hvor d’ er afstanden fra trækarmeringen til trykkanten af det reducerede beton-
tværsnit.
d’
c
Nat
Nc
0
x
c’
MRd
b’
h’
y’
d’
Figur 9-15: Definitioner, som anvendes i tværsnitsanalyse
Betonens trykresultant Nc, ”arealet under spændingsblokken”, Nc’, og ”placering
af trykresultanten”, Nc’’ findes som beskrevet i afsnit 9.2.1.1, med nullinjens
placering beliggende inden for tværsnittet, dvs. x h’.
Projektionsligningen stilles op, og trykzonens udbredelse bestemmes:
, ,
'0 0 ' ' ' '
'at c c cc
dN N b d f b xf N x
N
Resultantens placering målt fra nullinjen fås jævnfør afsnit 9.2.1.1:
''
''
c
c
Ny x
N
317
9 | Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Den indre momentarm er givet ved følgende, idet sammenhængen / cx d N
udnyttes:
'' ' ''
2' '' ' ' ' 1 ' 1 ' 1 0,55c c c
c c
N N Nz h c x y d x d d
N N
Brøken ' '' ' 2) ( )c c cN N N( er optegnet på figur 9-16 i forhold til kanttøjningen.
Kanttøjningen for betontværsnittet vælges ved tværsnitsanalysen til den værdi,
hvor momentkapaciteten er størst. Dette svarer til minimum af størrelsen ' '' '( ) (c c cN N N 2) . Dette minimum viser sig at ligge på ' '' ' 2( ) ( ) 0,c c cN N N 55 for samtlige temperaturer, præcis som i det kolde
tilfælde. Ved minimum af ' '' ' 2) ( )c c cN N N( er værdierne af N’c og N’’c samtidig
kontante hver for sig:
' 0,714
'' 0, 434c
c
N
N
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,040
2'
'''
c
cc
N
NN
T = 500oC
T = 300oC
T = 400oC
T = 200oC
T = 100oCT = 20oC
Figur 9-16: 2' '' '/c c cN N N optegnet for forskellige temperaturer i forhold
til kanttøjningen 0
318
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand | 9
Momentligevægten opskrives for moment om betonens trykresultant. Hermed
fås kun et bidrag fra trækarmeringen og momentkapaciteten kan bestemmes
direkte:
2,1 0,55Rd at cM z N b d f for ,st sy
Ovenstående gælder kun ved flydning i armeringen. Dette kontrolleres ved at
undersøge hvorvidt tværsnittets armeringsgrad er mindre eller lig den balance-
rede armeringsgrad. Den balancerede armeringsgrad er et udtryk for den arme-
ringsgrad, der netop giver flydning i armeringen. Den balancerede armerings-
grad bestemmes ved:
,
0
'
1
cbal
sy
N
hvor N’c = 0,714
0 aflæses af Figur 9-16 ved minimum af grafen ' '' '( ) (c c cN N N 2) ved den på-
gældende betontemperatur. For = 20 C fås 0 = 0,0035.
For varmvalset og bratkølet stål ses af tabellen, figur 9-5, at reduktionskoeffici-
enterne altid er mindre for stålstyrken end for elasticitetsmodulet. Med en mak-
simal stålstyrke, fyk = 600 MPa i kold tilstand vil sy, 0,003 dermed altid gæl-
de, så på den sikre side fås i brandtilfældet:
0,7140,38
0,0031
0,0035
bal
Dette er normalt opfyldt i brandtilfældet, hvis grænsen for normalarmeret tvær-
snit ( 0,40) er overholdt i kold tilstand, på grund af de forskellige partialkoef-
ficienter for beton og armering.
319
9 | Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
9.2.2 Forskydning
EC2 håndterer bæreevnen af armerede betonbjælker udsat for brand på to må-
der: dels via brug af tabeller, dels ved anvendelse af zonemetoden, der dog i
Danmark for bjælker kun er gældende for beregning af bøjningsbæreevnen.
Anvendes tabelværdierne ved design af armerede betonbjælker, er der ingen
krav til yderligere undersøgelser vedrørende bøjning, forskydning, vridning eller
forankring.
Den projekterende kan desuden selv justere tabelværdierne ved at se på de
aktuelle temperaturforhold i bjælken under brand og vælge et arrangement af
længdearmeringen, så der sikres en tilstrækkelig bøjningsbæreevne. I grænsen
svarer dette i det alt væsentlige til det resultat, man opnår ved anvendelse af
zonemetoden til bøjningsberegningen.
Uden en undersøgelse af forskydningsbæreevnen kan der efter forfatterens op-
fattelse opstå risiko for, at bjælker udformes, så der stort set ingen forskyd-
ningsbæreevne er tilbage i brandtilfældet, fordi temperaturen i bøjlerne hurtigt
kan blive meget høj på grund af dæklagsforholdene. I mangel af bedre, doku-
menteret beregningsmodel foreslås derfor, at bøjningsundersøgelsen i brandtil-
fældet suppleres med en forskydningsundersøgelse baseret på diagonaltrykme-
toden som i kold tilstand, idet der anvendes en reduceret flydespænding for
bøjlearmeringen pga. temperaturen og et reduceret betontværsnit som ved bøj-
ningsundersøgelsen. Minimumskravene til kropbredden bør fortsat opfyldes, så
det her foreslåede fungerer som et supplement til normens krav.
9.2.3 Eksempel – Bjælke i brandtilstanden
Bjælken fra eksemplet afsnit 6.1.6 betragtes i brandtilstanden. Bjælkens bære-
evne bestemmes med hensyn til bøjning og forskydning. Tværsnittet påvirkes af
60 minutters brand fra tre sider. Temperatur i beton og armering er bestemt i
eksemplet afsnit 9.1.5.
320
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand | 9
9.2.3.1 Beregningsforudsætninger
Tværsnit 420 mm x 300 mm
Skadet randzone az = 20,9 mm
b’ = 300 mm – 220,9 mm = 258,2 mm
h’ = 420 mm – 20,9 mm = 399,1 mm
d’ = 420 mm – 40 mm = 380 mm
Da bjælken ikke er brandpåvirket oppefra
Karakteristisk betontrykstyrke fck = 35 MPa
Betontemperatur midt i tværsnittet = 20,0 C
Regningsmæssig betontrykstyrke fc, = 35 MPa
Armering 4 stk. Y16, én i hvert hjørne. Asc = 402 mm2
Ast = 402 mm2
c = 40 mm
Karakteristisk flydespænding for længdearmeringen fyk = 500 MPa
Længdearmeringens temperatur = 396,1 C
Regningsmæssig flydespænding for længdearmeringen fsy, = 327 MPa
Regningsmæssigt elasticitetsmodul Es, = 1,41105 MPa
Forskydningsarmering bøjler Y6 Asw = 228 mm2
Karakteristisk flydespænding for bøjlearmeringen fyk = 410 MPa
Bøjlearmeringens temperatur = 386,8 C
Regningsmæssig flydespænding for bøjlearmeringen fsy, = 275 MPa
Regningsmæssigt elasticitetsmodul Es, = 1,42105 MPa
Bjælkelængde L = 5000 mm
321
9 | Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
420 m
m
300 mm
2 stk. Y16
2 stk. Y16
Bjl. Y6 pr. 150/200
L=5,0 m
pd = 10,0 kN/m
Figur 9-17: Bjælketværsnit og statisk system
9.2.3.2 Bøjning
Det maksimale regningsmæssige moment bestemmes ud fra lastopstillingen
Figur 9-17. Momentmaksimum er givet ved:
221 110 5,0 31,3kNm
8 8 Ed dM p L
Der ses bort fra trykarmeringen. Hermed kan de simple formler fra afsnit 9.2.1.3
benyttes.
Armeringsgrad:
,
,
402 3270,038
' ' 258, 2 380 35s sy
c
A f
b d f
Ovenstående udtryk gælder kun ved flydning i trækarmeringen. Fra den kolde
bæreevneberegning, afsnit 6.1.4.2 haves bal , hvilket vil sige, at der også
er flydning i armeringen i brandttilstanden, og nedenstående udtryk for mo-
mentkapaciteten kan anvendes.
Momentkapacitet:
2,
2
1 0,55
0,038 1 0,55 0,038 258,2 380 35 48,6kNm
Rd cM b d f
Momentbæreevnen ses at være tilstrækkelig:
31,3kNm 48,6kNm Ed RdM M
322
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand | 9
Den indre momentarm bestemmes:
' 1 0,55 380 1 0,55 0,038 372,1mm z d
9.2.3.3 Forskydning
Det undersøges, om den fundne bøjlearmering fra eksemplet i afsnit 6.1.6.3 er
tilstrækkelig i brandtilfældet. Diagonaltrykkets vinkel ved vederlaget vælges til
cot 2,0 , hvilket er inden for intervallet 1 cot 2,5 . Vinklen holdes kon-
stant i hele bjælkens længde. Forskydningskraften, V1, for
cot 372,1 2,0 0,74x z mm m bestemmes.
V1 (x=0,74m)
2 2
1,
22
1,
5,0 0,741 110 18,1kN
2 2 5,0
0,741 110 0,5kN
2 2 5,0
venstre d
højre d
L xV p
L
xV p
L
1,1
1,
18,1kNmax max 18,1kN
0,5kN
venstre
højre
VV
V
Forskydningsbæreevnen bestemmes for en bøjleafstand på 200 mm.
Bøjler pr. 200 mm:
,
2 28· ·cot 372,1 275 2,0 57,3kN
200 sw
Rd yw
AV z f
s
Trykbrud i beton:
', 258, 2 372,1 0,525 35
706kNcot 1/ cot 2,0 1/ 2,0
v cRd
b z fV
Hvor effektivitetsfaktoren for forskydning er givet ved:
350,7 0,7 0,525
200 200ck
v
f
Det ses, at en bøjlearmering Y6 pr. 200 mm er tilstrækkelig i brandtilfældet.
Eksempel slut
323
9 | Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
9.3 Beregningsprogram
Bjælkeprogrammet på www.bef.dk rummer også en modul til beregning af bjæl-
ker i bandsituationen. Nedenstående udskrift viser resultaterne af en beregning
svarende til eksemplet i afsnit 9.4.3.
I beregningseksemplet blev ved momentdimensioneringen set bort fra trykarme-
ringen, som derfor er nulstillet i programmet. En sammenligning af resultaterne
viser overensstemmelse med gennemregningen i afsnit 9.2.3.
Sagsnavn: Sag nr.:Bygningsdel: Dato:Emne: Init:
Spændvidde Tværsnit h 420 mm
L 5,00 m b 300 mmLængdearmering c' = 40 mm beff 300 mm
d (mm) c (mm) antalTryklag t 16 40 0
Træklag 1 14 100 0
Træklag 2 16 40 2Bøjler d (mm) a (mm) cot
Type 1 6 200 2,00
Type 2 6 200 2,00
Partialkoefficienter Længdearmeringc 1,00 fyk 500 MPa
31,3 kNm < s 1,00 fyd 500 MPaBeton Bøjlearmering
fck 35 MPa fyk 410 MPap1 p2 p3 P1 P2 P3 fcd 35,0 MPa fyd 410 MPa
Brand, tid: 60 min Stålreduktioner
Kar. værdi (kN/m) 12,0 0,0 0,0 (kN) 0 0 0 Bund: JA fsy, / fyk Es, / Es
Regnm. værdi (kN/m) 10,0 0,0 0,0 (kN) 0 0 0 Sider: JA Tryklag t: 1,00 1,00
Excentricitet, exc. (mm) 0 0 0 (mm) 0 0 0 Betonreduktioner Træklag 1: 1,00 1,00x1 (m) 0,00 0,00 0,00 (m) 0,70 0,00 0,00 Randzone: 21 mm Træklag 2: 0,65 0,70
x2 (m) 5,00 0,00 0,00 kc,M 1,00 Bøjlearmering: 0,67Kontrolparametre Momentkapacitet Forskydningskapacitet
M (kNm) 49,0 MRd 49,0 kNm v/ trykbrud i krop: VRd,0 707 kN
x (mm) 20,4 Tilslag: Søsand / granit v/ type 1 bøjler: VRd,1 58 kN
(o/oo) 3,25 Stål: Varmvalset v/ type 2 bøjler: VRd,2 58 kN
st (MPa) 327 Forskydningskraftens største excentricitet, exc.: 0 mm
z (mm) 372 Forankringskrav til hovedarmering over lejer, Na : 25 kN
Vejledning PC-statik: Bjælkeberegning efter EC2 Udgivet på www.bef.dk december 2008 NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker
Jævnt fordelte laste Punktlaste
23 - 45452008-03-01
JFJ
Betonelementhuset
BrandlastkombinationerBjælke i modul D-E/12, stueetage
BJÆLKE, version 2.0 / EC Betonelement-Foreningen mar. 2009
Forskydningskræfter i kN
0
10
20
30
40
50
60
70
: : : :
Momenter i kNm
0
5
10
15
20
25
30
35
40
:
:
Mkar
MEd
VEdVRd,1
VRd,2
z cotMEd,max = MRd
c
c
c
tryklag t
træklag 1
c måles til midte jern
træklag 2
Pp
x2
x1
x1
L
c'
: L / 10
Figur 9-18: Bjælketværsnit og statisk system
9.4 Søjler og vægge i brandtilstanden
Bæreevnen af søjler og vægge i brandtilstanden findes ved opstilling af lige-
vægtsligningerne for tværsnittet. Bæreevneeftervisningen er kompliceret, og
betonens kanttøjning og trykzonens udstrækning skal itereres frem. Metoden er
derfor ikke egnet til håndberegning. Det anbefales at anvende et computerpro-
gram eksempelvis Betonelementforeningens (www.bef.dk - Søjleelementer).
324
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand | 9
Tværsnitsanalysen forløber i princippet som tværsnitsanalysen for bjælker, af-
snit 9.2.1.1 og 9.2.1.2. Søjle- og vægberegningen vanskeliggøres af udbøjnin-
gens betydning for bæreevnen. Ud over den almindelige udbøjning skal der ta-
ges hensyn til udbøjning fra krybning i perioden op til branden, termisk udbøj-
ning og eventuelt forsætning af søjlereaktionen under brand.
I de følgende afsnit 9.4.1 og 9.4.2 gennemgås udbøjningsbidragene. I afsnit
9.4.4 gives et eksempel på en søjleberegning udført på computer. I eksemplet
afsnit 9.4.3 vises, hvordan computerberegningen kan kontrolleres.
9.4.1 Udbøjning fra krybning
En brandsituation er så kortvarig, at der ikke forekommer krybning undervejs.
Til gengæld skal der ved bæreevneberegninger for søjler og vægge tages højde
for den krybning, som har været op til brandtidspunktet. Den krybningsrelatere-
de udbøjning er generelt set meget lille, men har en mindre betydning for søjler
og vægges bæreevne. Krybning i brandtilfældet kan medtages ved at beregne
søjlen/væggens udbøjning for langtidslast. Beregningen foretages dels med og
uden krybning. Herefter bestemmes den krybningsrelaterede udbøjning som:
0ef efkrybningu u u
Beregningen af udbøjningerne foretages ud fra en lineærelastisk betragtning
under antagelse af, at tværsnittet er fuldt revnet. Beregningen foretages på
baggrund af det oprindelige betontværsnit. Krybningsbidraget bestemmes på
baggrund af den effektive krybefaktor, ef, der udgør en vægtet værdi af slut-
krybetallet:
0
moment fra langtidslast
moment fra samlet lastef
Krybningsudbøjningen bør bestemmes ud fra en passende referencebelastning.
Denne last kan eksempelvis sættes svarende til et lasttilfælde, hvor normalkraf-
ten Nd = 0 og momentet M0Ed som minimum sættes lig det maksimalt forekom-
mende moment i samtlige lasttilfælde. Ved at benytte et lasttilfælde hvor Nd = 0
325
9 | Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
som referencelast opnås den store fordel, at tværsnitsligningerne kan løses di-
rekte, så iteration undgås.
sc
sc/
st/
c 0(ef eller 0
st
sc
c
h
tværsnittets bredde er b
Nd M0Ed
x
Figur 9-19: Definitioner, som anvendes ved tværsnitsanalyse
Geometriske betingelser tilfældet med krybning:
0 01 , 1sc ef st ef
x c d xx x
Armeringsspændingerne findes ved at substituere /s s Es og 0 /c cE m ,
hvilket giver:
1 , 1s ssc c ef st c
cm cm
E Ex c h x c
x E x E ef
Ligevægtsligningerne kan nu opstilles.
Projektionsligningen:
1
21
0 12
Ed c sc sc st st
s sc c ef sc c
cm cm
N bx A A
E Ex c h x cbx A A
x E x E1 ef st
326
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand | 9
Nullinjens beliggenhed findes ved at indsætte de geometriske betingelser i pro-
jektionsligningen. For NEd =0 giver dette en 2.grads-ligning, der kan løses for x.
Momentligningen om tværsnittets centerlinje:
0
0
1
2 2 3 2
11
2 2 3 2
Ed c sc sc st st
Ed sef sc st
c cm
h x hM bx c A A
M Eh x h x c h x cbx c A A
E x x
Tværsnitsspændingerne kan bestemmes på følgende måde: Betonkantspændin-
genc findes ved indsættelse af x i momentligningen, og armeringsspændinger-
ne fås til slut af de geometriske betingelser ved at indsætte c.
Udbøjningen inklusiv krybning kan nu findes af:
211
10ef
c ef
scm
u LE x
For tilfældet uden krybning gælder samme formler, hvor det effektive krybetal
sættes lig nul, ef = 0.
Herefter findes udbøjningstillægget fra krybning som differencen mellem de to
beregnede udbøjninger.
9.4.2 Termiske udbøjninger
Ved brand på den ene side af en søjle/væg vil den varme side udvide sig, hvilket
giver en udbøjning af søjlen/væggen. De termiske tøjninger regnes generelt ikke
til gunst. For hvert hovedtilfælde med en given udbøjningsretning betyder dette,
at der altid ses bort fra de termiske tøjninger i tryksiden.
I brandtilfældet er det til gengæld væsentligt altid at kontrollere samtlige mulige
udbøjningsretninger for at tage hensyn til muligheden for, at termiske tøjninger
327
9 | Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
kan medføre en udbøjning, hvor søjlen bøjer ud i modsat retning af, hvad der
ville være forventeligt ved en isoleret vurdering af belastningstilfældene. Disse
forhold optræder især, når der er tale om en hidsig brandpåvirkning
Den termiske udbøjning i det enkelte hovedtilfælde bestemmes af:
521,1 101
8 's
termisk sed
L for revnede tværsnit
5, 2 , 2 21,1 101
8 'r kant r kant
termisk s
ke L
h
for urevnede tværsnit
hvor:
kr,kant2 = (1-2,35r,kant2 / fck), dog mindst 0
s er temperaturen i armeringen. Her benyttes armeringens temperatur-
tilvækst, det vil sige den aktuelle temperatur minus 20 C.
r,kant2 er temperaturen i den mindst trykkede kant af det reducerede tværsnit
r,kant2 er trykspændingen i den mindst trykkede kant før en eventuel instabili-
tetsberegning
LS er søjlelængden
h’ er højden af det reducerede tværsnit
d’ er den effektive højde fra armeringen til den mest trykkede kant af det
reducerede tværsnit
I beregningsudtrykkene er det sidste led (r,kant1kr,kant1) et udtryk for den resulte-
rende termisk betingede tøjning i søjlens trykside. I beregningerne ses der bort
fra bidraget fra disse tøjninger, hvilket for bestemmelse af bæreevnen ikke har
nogen væsentlig betydning, idet spændingen i tryksiden normalt er større end
0,425 fck, så man alligevel får kr,kant1 = 0.
9.4.3 Søjle/vægreaktionens forsætning under brand
Når en søjle/væg bøjer ud ved brand, kompenseres for denne udbøjning ved, at
søjlereaktionen flytter sig fra tværsnitscenteret. Denne effekt reducerer virknin-
gen af udbøjning. Ved at medregne reaktionens forsætning fås en øget bæreev-
ne, men virkningen bør kun medregnes, hvis det samtidig sikres, at eventuelle
328
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand | 9
underliggende konstruktioner i brandtilstanden dimensioneres for den excentrici-
tet reaktionen afleveres med.
Reaktionens forsætning indgår i ligevægtsligningen på følgende vis:
0 00, 4 0, 4 Rd Rd Ed R Rd Rd Ed RM M N u e M M N u e
Søjlen/væggens udbøjning betragtes i det øverste 2/5-dels punkt. Reaktionens
afvigelse fra tværsnittets centerlinje er på dette sted 2/5eR = 0,4eR.
Reaktionens forsætning bør ikke vælges større end følgende værdier:
1min 2
2
zR
termisk
h ae
e
På denne måde sikres, at reaktionen er inden for det intakte tværsnit, og at den
maksimale reduktion svarer til, at højst 80 % af den termiske udbøjning neutra-
liseres.
eR
0,4eR
2/5 L
2/5 L
1/5 L
Figur 9-20: Reaktionens forsætning under
329
9 | Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
9.4.4 Eksempel – Søjle i brandtilstanden
Bæreevneeftervisning af søjler i brandtilstanden er ikke egnet til håndberegning.
Det anbefales at anvende et computerprogram, eksempelvis Betonelementfor-
eningens (www.bef.dk - Søjleelementer). Se nærmere i afsnit 9.5. I dette ek-
sempel vises, hvordan computerberegningen kan kontrolleres.
Søjlen fra eksemplet afsnit 8.1.4 undersøges under en firesidet brandpåvirkning
af 60 minutters varighed for bøjning om den stærke akse. Til eksemplet er ud-
valgt lasttilfælde F, jævnfør programudskriften i afsnit 9.5.
9.4.4.1 Beregningsforudsætninger
Tværsnittets temperaturfordeling, skadet randzone og reduktion af materialepa-
rametre er bestemt i afsnit 9.1.5.
Tværsnit 420 mm x 300 mm
Skadet randzone az = 26,5 mm
b’ = 300 mm – 226,5 mm = 247,0 mm
h’ = 420 mm – 226,5 mm = 367,0 mm
Karakteristisk betontrykstyrke fck = 35 MPa
Betontemperatur midt i tværsnittet = 20,0 C
Regningsmæssig betontrykstyrke fc, = 35 MPa
Armering 4 stk. Y16, én i hvert hjørne.
Asc = 402 mm2
Ast = 402 mm2
c = 40 mm
Karakteristisk flydespænding for længdearmeringen fyk = 500 MPa
Længdearmeringens temperatur = 396,1 C
Regningsmæssig flydespænding for længdearmeringen fsy, = 327 MPa
Regningsmæssigt elasticitetsmodul Es, = 1,41105 MPa
Søjlelængde Ls = 3500 mm
330
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand | 9
Regningsmæssig normalkraft jævnfør afsnit 9.5
NEd=124,3 + 357,8 + 26,0 = 508,1kN
Regningsmæssigt 1. ordensmoment
M0Ed = N1e1 + N0E0 - N2e2 = 124,3·0,233 + 357,8·0,020 – 26,0·0,200
= 30,9kNm
9.4.4.2 Kontrol ved opstilling af tværsnittets ligevægtsligninger
Her kontrolleres beregningen ved at se, om tværsnittet er i ligevægt ved opstil-
ling af projektionsligningen for en given belastning. Det vanskelige ved søjlebe-
regning i brandtilstanden er de omfattende ligningssystemer, hvor ligevægten
skal itereres frem ved at gætte på betonens kanttøjning. Her udnyttes, at pro-
grammet oplyser værdierne for betonens kanttøjning, 0, og trykzonens ud-
strækning x. Hermed kan ligevægten opstilles og kontrolleres direkte uden itera-
tion.
For lasttilfælde F fås:
0 = 0,00196
x = 117 mm
Betonens bidrag til ligevægtsligningerne findes jævnfør afsnit 9.2.1.1. Først
udregnes hjælpestørrelserne A og B:
1,3 3
0
0,002502 2 1,
0,00196cA 607
2 2
1,
0
0,002503 3 4,881
0,00196cB
Her udnyttes, at betonens centertemperatur er 20,0 C, hvorefter c1 bestemmes
af tabellen figur 9-3.
331
9 | Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Betonens trykresultant fås af:
2 2 2
, 2 2
2
2
1 1 1 2 2' ln ln arctan arctan
6 3 31
4,881247,0 117 35
1,607
1 1 1,607 1,607 1 2 1,607 1,607ln arctan arctan
6 3 1,607 3 1,607 31 1,607
3
c c
B A A A A AN b x f
A A AA A
541,9kN
A
hvor det udnyttes at = 0, da x h.
De geometriske betingelser for tværsnittet kan umiddelbart opstilles, idet der
ikke regnes med krybning under brandforløbet:
0
0
'
zsc
zst
x c a
xh x c a
x
Tryk/trækspændingerne i armering og betonkant er hermed givet ved:
c az
az
h’
0
x c’
y’
Nc
Figur 9-21: Geometriske sammenhænge
332
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand | 9
Betonkant spænding
,
3 3
1,1,
3 3 0,00196 3533,2MPa
0,001960,00250 22
0,00250
c cc
cc
c
f
1,c c
Trykarmeringen
0 ,
,
5
min
117 40 26,50,00189 1, 41 10 244MPa
min 117327MPa
zs
sc
sy
x c aE
xf
Trækarmeringen
0 ,
,
5
'
min
367,0 117 40 26,50,00196 1,41 10 559MPa
min 117327MPa
zs
st
sy
h x c aE
xf
Der ses at være flydning i trækarmeringen.
244 402 97,9kN
327 402 131,7kN
ac
at
N
N
Projektionsligningen opstilles:
508,1kN 541,9 97,9 131,7 508,1kN 508,1kN
Ed c ac atN N N N
Ligevægten ses at være i orden
333
9 | Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Afstanden fra centerlinjen til betonens trykresultant findes:
22 3 3,
3 3
246,0 117 4,881 35'1 1 1 1,667 1' ln ln 76
3 3 541,9 1,667c
c
b x Bf Ay
N A
, 4mm
Momentligningen opstilles for moment om tværsnittets centerlinje:
1 1' ' ' '
2 2
1 1367,0 117 76, 4 541,9 367,0 40 26,5 97,9 131,7 116,5kNm
2 2
Rd c ac atM h x y N h c N N
9.4.4.3 Kontrol af udbøjning
Den samlede udbøjning består af bidrag fra søjleudbøjning, krybning og termisk
udbøjning Dette giver følgende udtryk for den totale udbøjning, u:
201
10 s krybning termisku L u ex
I det følgende bestemmes hvert af de tre bidrag.
Søjleudbøjning
Søjlen/væggens krumning er tilnærmelsesvis parabelformet, med en formfaktor
for krumningsforløbet på ca. 10. Det vil sige, at udbøjningen er givet ved:
2 201 1 0,001963500 20,5mm
10 10 117
su L
x
Hvor kanttøjning og trykzonehøjden umiddelbart fås af afsnit 9.4.4.2.
Udbøjning fra krybning
Belastningen op til brandtidspunktet vurderes at bestå af 75 % langtidslast og
25 % korttidslast. Det effektive krybetal udregnes på baggrund af slutkrybetal-
let, der blev bestemt i afsnit 2.1.3.1:
00,75 0,75 2,13 1,60ef
334
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand | 9
Udbøjningen inklusiv krybning bestemmes nu for perioden op til brandtidspunk-
tet. Der vælges en referencelast på:
0
0
30,9kNm
Ed
Ed
N
M
Med krybning
10 1
2s s
c c ef sc ccm cm
E Ex c h x cbx A A
x E x E 1 ef st
Talværdierne indsættes og 2. gradsligningen løses for x:
5
5
1 40 2,0 100 300 1 1,6 402
2 34077
420 40 2,0 101 1,6 402 96, 4mm
34077
xx
x
xx
x
Her benyttes
0,3 0,335 8
22000 22000 34077MPa10 10
cm
cm
fE
Betonkantspændingen findes ved indsættelse af x i momentligningen:
0
5
6
6
11
2 2 3 2
31 1 420 96, 4 420 2,0 10300 96, 4 40
2 2 3 2 34077
96, 4 40 420 96, 4 401 1,6 402 402
96, 4 96, 4
31 104,9
6, 250 10
Ed sef sc st
c cm
c
c
M Eh x h x c h x cbx c A A
E x x
6MPa
335
9 | Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Udbøjningen inklusiv krybning fås til:
2 21 4,96 1 1,61 1
3500 4,8110 10 34077 96, 4
ef
c ef
scm
u LE x
mm
Uden krybning
For tilfældet uden krybning sættes ef = 0. Trykzonehøjden fås da til:
5
5
1 40 2,0 100 300 402
2 34077
420 40 2,0 10402 67,1mm
34077
xx
x
xx
x
Betonkantspændingen fås tilsvarende til:
5
6
6
31 1 420 67,1 420 2,0 10300 67,1 40
2 2 3 2 34077
67,1 40 420 67,1 40402 402
67,1 67,1
31 107,9MPa
3,921 10
c
c
Udbøjningen uden krybning fås til:
2 20
1 1 7,93500 4,25mm
10 10 34077 67,1
ef
cs
cm
u LE x
Udbøjningstillægget fra krybning giver:
0 4,81 4,25 0,56mm 0,6mm ef efkrybningu u u
Termisk udbøjning
Den termiske udbøjning bestemmes af nedenstående udtryk, idet tværsnittet er
revnet:
5 52 21,1 101 1 1,1 10 376,1
3500 17,98 ' 8 353,5
s
termisk se Ld
mm
336
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand | 9
Hvor følgende mellemregninger er blevet benyttet:
Temperatur i længdearmeringen findes af afsnit 0:
396,1 20s C C
Den reducerede afstand fra længdearmering til trykket betonkant:
' 420 40 26,5 353,5mm zd h c a
Samlet udbøjning
Den samlede udbøjning fås ved at summere bidragene fra søjleudbøjning, kryb-
ning og termisk udbøjning:
20,1 0,6 17,9 38,6mm 39mm
søjle krybning termisku u u e
9.4.4.4 Bestemmelse af momentkapacitet MoRd
Det er muligt at bestemme det maksimale lastfremkaldte moment, M0Rd, som
søjlen/væggen kan belastes med ud fra søjlens ligevægtsligning:
0 00, 4 0, 4 Rd Rd Ed R Rd Rd Ed RM M N u e M M N u e
I dette eksempel regnes reaktionens forsætning eR = 0. Momentkapaciteten fås
til:
30 116,5 501,8 39 10 96,92kNm 97kNmRdM
Eksempel slut
337
9 | Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
338
9.5 Beregningsprogram
Den samlede udskrift af brandmodulet i søjleprogrammet på www.bef.dk er vist
nedenfor med inddata svarende til det gennemgåede eksempel i afsnit 9.5.4.
I programmet er i stedet for brandlasttilfælde A indlagt en belastning svarende
til den referencelast, der i eksemplet blev anvendt til bestemmelse af krybebi-
draget til udbøjningen.
Sagsnavn: Sag nr.:Bygningsdel: Dato:Emne: Init:
Materialer fck 35 MPa Regningsmæssige parametrefyk 500 MPa fcd 35,0 MPa
c 1,00 fyd,tryk 327 MPas 1,00 fyd,træk 327 MPa
Søjlelængde Ls 3500 mm Krybning Tværsnit h 420 mm o 2,13
b 300 mm M0Eqp/M0Ed 0,75
c 40 mm ef 1,60
Trykarm. da 16 mm Udbøjningstillæg fra krybning:
Antal 2 stk ukrybning 0,6 mm
Trækarm. da 16 mm ReduktionsparametreAntal 2 stk Randzone: a 26 mm
Brandpåvirkning, tid : 60 min Beton: kc,M 1,00Brand, trykside JA Trykarm: fsy, / fyk 0,65
Brand, trækside JA Es, / Es 0,70
Brand, sider JA Trækarm: fsy, / fyk 0,65
Es, / Es0,70
Kontrolparametre Ref-last Brandlasttilfælde N1 (kN) N0 (kN) N2 (kN) w (kN/m)
E F H A A 0 0 0 20,00NEd (kN) 277 508 513 0 B
M0Ed (kNm) 26 31 31 31 CM0Rd (kNm) 75 97 97 44 D
u (mm) 34,5 39,0 39,1 28,5 E 124 127 26 0,00wk (mm) - - - - F 124 358 26 0,00
0 (o/oo) 1,34 1,96 1,97 0,58 G 124 358 47 0,00c0 (Mpa) 26,1 33,1 33,2 12,1 H 124 362 26 0,00st (Mpa) 327 327 327 327 I 124 362 47 0,00sc (Mpa) 163 244 245 66 max exc( R )brand
x (mm) 102 117 117 70 233 20 200 0 mm
Vejledning: PC-statik: Søjle- og vægberegning efter EC2 Udgivet på www.bef.dk december 2008 NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker
SØJLE, version 2.0 / EC2 Betonelement-Foreningen mar. 2008
Excentriciteter (mm) :
Brandlasttilfælde
Betonelementhuset
BrandlastkombinationerSøjle i modul B/4, 1.-2. sal, hovedtilfælde I-b
23 - 45452010-03-01
JFJ
Tilslag: Søsand / granit Stål: Varmvalset
IHGFEA
BCD0
20
40
60
80
100
120
140
0 500 1000 1500 2000 2500 3000N (kN)
M (
kN
m)
N1
N0
N2
w
c
c
h
b
NM
TværsnitLodret snit
e0
e2 e1
Figur 9-22: Beregningsprogram
10dETAIlSTATIK
10 DETAILSTATIK
10.1 Detailberegningvedgitteranalogien
10.1.1 Gitterløsningermedlukkedebøjler
10.2 Forankringafhovedarmering
10.2.1 Forankringmedsimpelretlinetarmering
10.2.2Forankringmedu-bøjle
10.2.3Forankringmedpåsvejsttværarmering
10.2.4Andreforankringstyper
10.3 Anvendelseseksempler
10.3.1 Eksempel-Vederlagsforankring
10.3.2Eksempel-Bjælkehalvering
10.3.3Eksempel-Pladehjørne
10.4 Udstøbningssamlinger
10.4.1 Støbeskel
10.4.2Etagekryds
10 | Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Søjlekonsol Bjælkehalvering Skivevederlag
Figur 10-1: Eksempler på gitterløsninger
Detailstatikken omfatter lokale forhold i betonelementerne og ved sammenbyg-
ningsdetaljer. I betonelementsammenhæng kan detailstatikken i det væsentlig-
ste opdeles i følgende områder:
• Detailberegning ved gitteranalogien
• Beregning af udstøbningssamlinger
• Beregning af beslagsamlinger
I det følgende tænkes ved beregningen af udstøbningssamlinger og beslagsam-
linger kun på de dele, der ligger uden for betonelementerne. Den videre kraft-
indføring ind i betonelementerne omkring en samling behandles ved hjælp af
gitteranalogien. Gitteranalogien benyttes desuden til analyse af de lokale forhold
i betonelementer omkring udsparinger etc.
340
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik | 10
b
Figur 10-2: Trykstænger i gittermodeller
10.1 Detailberegning ved gitteranalogien
De sædvanlige dimensioneringsmetoder for moment og forskydningskraft er ikke
tilstrækkelige til detaljering af armeringsføring mv. For eksempel kan nævnes
detaljering af søjlekonsoller, bjælkehalveringer og skivevederlag.
I sådanne tilfælde er det en fremkommelig metode at indlægge et tænkt gitter i
konstruktionen, hvor armeringen optager trækkræfterne, og hvor tænkte gitter-
stænger af beton optager trykkræfterne.
I figur 10-1 er der kun vist de armeringsjern, der direkte indgår i gittermodeller-
ne. Yderligere randarmering og minimums bøjlearmering vil almindeligvis kom-
me på tale.
De antydede forankringsplader skal i første omgang opfattes som symbolske. De
skal blot ses som en understregning af, at armeringen skal være effektivt for-
ankret i gitterets knudepunkter. Dette vil normalt kunne opnås uden anvendelse
af egentlige ankerplader via en af følgende tre forankringsformer:
• bøjlers forankring ved hjørnejern
• forankring med u-bøjle
• forankring af retlinet, ribbestål-armering
Disse forhold behandles nøjere senere i dette kapitel.
341
10 | Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
I gittermodellerne er tryklamellerne af beton markeret med en skravering inden
for lamellens begrænsningslinjer. Midt i lamellerne er der desuden indtegnet en
punkteret linje, der markerer trykresultantens angrebslinje.
Fig. a Fig. b
A A
Fig. c
Snit A
c f cd
II
c
1 c
c
Figur 10-3: Betonprisme med plan spændingstilstand
Mellem gitterets knudepunkter tegnes tryklamellens begrænsningslinjer parallel-
le med hinanden. Herved udgøres spændingstilstanden i lamellen af et enakset
betontryk, σc, i lamellens retning:
1c cdf k
hvor b er lamellens bredde i planen, og hvor t er konstruktionstykkelsen. Indtil
videre forudsættes konstruktionen at være plan.
I en plan konstruktion må betontrykket i en tryklamel aldrig overstige betonens
regningsmæssige trykstyrke, fcd. Som antydet på Figur 10-3 c foregår brud i
beton ved, at betondelene omkring en brudlinje bevæger sig i forhold til hinan-
den. Denne bevægelse er sammensat af en glidning parallelt med brudlinjen,
342
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik | 10
, og en samtidig tværbevægelse vinkelret på brudlinjen, . Bruddet kan kun
opstå, hvis der er fri mulighed for en tværbevægelse, så følgende opfyldes:
||
tan
hvor φ er den såkaldte friktionsvinkel, der for beton kan regnes til 37°
Fig. a
Fig. b
c
1 c
1 c
c
1
Figur 10-4: Betonprisme med treakset spændingstilstand
I enhver plan konstruktion med spændingsforhold som vist på Figur 10-3 a og b,
er der altid mulighed for tværbevægelse vinkelret på planen.
Ved lokale, koncentrerede påvirkninger inde i en konstruktion kan forholdene
imidlertid stille sig helt anderledes. Her vil den omgivende beton hindre den frie
tværudvidelse, så betonen lokalt kommer under treakset tryk.
343
10 | Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Af snittet på Figur 10-4 b fremgår at tværtrykket σ1 yder modstand mod brud-
bevægelsen. Det kan vises, at brud i denne situation først opstår når
1c cdf k
hvor k, der afhænger af friktionsvinklen, for beton kan regnes til ca. 4,0.
Størrelsen af det tværtryk der kan regnes til gunst, kan sædvanligvis ikke be-
regnes direkte. Men der er vid erfaring for at tage effekten i regning. I EC2 ind-
regnes effekten især i to tilfælde, nemlig ved overførsel af kræfter til almindelige
bøjler og ved koncentreret last.
10.1.1 Gitterløsninger med lukkede bøjler
Betragtes en sædvanlig bøjlearmeret bjælke, giver figur 10-5 b tydeligt indtryk
af, at der må ske en overordentlig stor spændingskoncentration i betonen nede i
bøjlens ombukning. Til almindelig brug for opstilling af gittermodeller kan beton-
normens regler for forskydningsarmerede bjælker benyttes til en vurdering af,
hvor store gitterkræfter der kan accepteres. I henhold til betonnormen kræves
ved sædvanlig forskydningsdimensionering af bjælker, at bøjleafstanden s er
mindre end 0,75 · d · cotθ, dog højst 0,75 d, hvor d er afstanden fra overside-
Figur 10-5: Forhold i overgang mellem bøjle og længdearmering
Fig. aFig.b
Nc
0
344
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik | 10
bjælke til trækarmering. Med den størst tilladte værdi af s fås da kraften i en
bøjle:
12
·0,75· ·, 1 cot
cot·0,75· ·cot ·
, cot 1cot
t
t d
Nt d
2
hvor er den jævnt fordelte forskydningsspænding over tværsnittet svarende til
forskydningskraften i bjælken. Forskydningsspændingen har følgende relation til
trykspændingen σc i tryklamellerne:
2
cot
1 cot c
Da σc højst må antage værdien · fcd ses ved at indsætte udtrykket for t i ud-
trykket for Nt, at der altid vil kunne optages en bøjlekraft af størrelsen:
2
122
0,75· ·· , 1 cot
1 cot0,75· · ·cot
· , cot1 cot
cd
t
cd
t df
Nt d
f
2
1
Den tilsvarende trykkraft i den skrå gitterstang bliver
21 cotsin
tc t
NN N
Dette giver med den maximale værdi af Nt indsat at
2
122
0,75· ·· , 1 cot
1 cot0,75· · ·cot
· , cot1 cot
cd
t
cd
t df
Nt d
f
2
1
345
10 | Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Figur 10-6: Analogi til bjælkekrop
Figur 10-7: Kræfter i bøjle og tryklamel
Figur 10-8: Enkelt tryklamel i gitterfelt
346
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik | 10
Ved optegning af en gittermodel kan tryklamellerne således forudsættes at over-
føre et enakset betontryk af størrelsen fcd hvis den enkelte tryklamels bredde
ikke regnes større end:
2
122
0,8· · 1 cot 21 cot
·cot0,8· · cot 1
1 cot
z
bz
hvor den indre momentarm er sat til z = 0,9375 d. Denne substitution er foreta-
get, fordi bjælkens indre momentarm kan sidestilles med en tilsvarende system-
linjeafstand i en gittermodel.
Betragtes nu et gitterfelt med systemlinjeafstandene k og l, må den skrå tryk-
lamels bredde således ikke regnes større end
2
2 2
2 2
0,8· ·
·0,8· ·
kk l
k lbk l
k lk l
10.1-1
I henhold til det nationale anneks til EC2 regnes ved gitteranalogi med 0,8
2
2 2
2 2
0,64·
·0,64·
kk l
k lbk l
k lk l
Af hensyn til tolerancer på udførelsen bør der altid regnes med et »dæklag« på
mindst 20 mm langs tryklameller, der føres forbi huller, indadgående hjørner
etc. Afhængig af konstruktionsudformningen kan større »dæklag« være nødven-
dige for at sikre, at små skævheder ikke medfører et alvorligt bæreevnetab.
347
10 | Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Figur 10-9: Dæklag på tryklamel ved udsparing
I gittermodeller optegnes knudepunkter med lukkede bøjler som vist nedenfor,
hvor skæringspunktet mellem gitterstængernes systemlinjer er markeret med
en stjerne.
Ved knudepunktet med den vandrette tryklamel bør skæringspunktet mindst
holdes i afstanden y under bøjlens vandrette gren, hvor
·cos
2· ·c
cd
Ny
t f
Ifald den vandrette tryklamel skal optage vandrette kræfter hobet op fra flere
knudepunkter, for eksempel i en bjælkeoverside, gælder reglen kun fikseringen
af den enkelte skrå tryklamel. Optagelsen af den resulterende vandrette tryk-
kraft i bjælkeoversiden sikres da ved den sædvanlige momentundersøgelse.
Figur 10-10: Knudepunkt mellem
bøjle og vandret tryklamel
Figur 10-11: Knudepunkt mel-
lem bøjle og længdearmering
348
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik | 10
Ved knudepunkter mellem bøjler og hovedarmering henføres skæringspunktet til
krydset mellem bøjlens og hovedarmeringens centerakser. Det er her vigtigt
altid at sikre effektiv forankring af hovedarmeringen bag bøjlen.
10.2 Forankring af hovedarmering
For et armeringsjern kan vedhæftningen mellem beton og armering antage at
sikre en forankringskapacitet af størrelsen.
1 2 3 4 5
·4,bd bd
sd s
l fd ydf
hvor der er anvendt betegnelserne:
sd spændingen i armeringen på det sted hvorfra forankringen måles
armeringsjernets diameter
bdl den aktuelle forankringslængde
bdf vedhæftningsbrudspændingen
samt korrektionsfaktorerne vedrørende
– stangens form 10,7 1
– betondæklag 20,7 1
– tværarmering, ikke svejst 30,7 1
– tværarmering, svejst 40,7 1
– tværtryk 50,7 1
Det gælder endvidere at 2 3 5 ikke må regnes mindre en 0,7. Hvad angår
den aktuelle tværforankringslængde skal man normalt overholde.
(10 ;100 )bdl maks mm
349
10 | Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Hvis geometrien hindrer overholdelse af 10bdl , kan beregningen af foran-
kringskapaciteten eventuelt baseres på en korrigeret armeringsdiameter på
1
10 bdl
Hvor armeringen indesluttes med svejst tværjern over en direkte understøtning,
skal mindstekravet til forankringslængden ikke opfyldes, hvis det svejste tvær-
jern er placeret mindst 15 mm inde bag understøtningens kant.
Det generelle udtryk for korrektionsfaktorerne 1 til 5 er angivet i EC2’s afsnit
8.4. I de efterfølgende eksempler er det valgt at forudsætte, at de konstruktive
krav til tværarmering samt til dæklag for den aktuelle stangtype netop er op-
fyldt. Dermed bliver
1
2
3
4
0,1 for forankring af lige jern
0,7 for forankring af u-bøjler
1,0 for dæklag mindst 10· for lige jern og
dæklag vinkelret på u-bøjlens plan på mindst 3,0·
1,0
1,0 uden svejst tværarmer
0,7
5
ing
med svejst tværarmering
1,0 0,04 , 7,5
hvor 0 er tværtrykket i cm cm
cm
for MPa
MPa
350
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik | 10
10.2.1 Forankring med simpel retlinet armering
For den viste situation bliver:
11 2 3 4 5
1
·4
10 ·2,254 90, 7,5
(1 0,04 ) (1 0,04 )
10 ·2,254128,6 , 7,5
0,7
bd bdsd
ctdctd cm
cm cmsd yd
ctdctd cm
l f
ff MPa
ff
f M
Pa
Hvor sd er armeringsspændingen ved vederlagets kant.
Med partielkoefficienten 1,4c bliver de regningsmæssige betonstyrker:
10ø
≥ø
≥ø ≥ø
Vederlagszone
Figur 10-12: Forankring af lige jern ≥2ø
[ ] [ ]
20 14,3 1,11
25 17,9 1,28
30 21,4 1,45
35 25,0 1,60
40 28,6 1,75
45 32,1 1,90
50 35,7 2,04
ck cd ctdf MPa f MPa f MPa[ ]
Figur 10-13: Materiale parameter beton
351
10 | Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Endvidere indsættes
500500 417
1,2yk ydf MPa f MPa
hvorefter forankringskapaciteten målt ved sd er uafhængig af armeringsdia-
meteren for det forudsatte armeringsarrangement og kan aflæses af nedenstå-
ende diagram med tværtrykket, cm , over vederlaget ud af den vandrette akse.
0
50
100
150
200
250
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00cm [Mpa]
sd [Mpa]
fck = 40
fck = 35
fck = 30
fck = 25
fck = 20
Figur 10-14: Forankring af simpel retlinet armering
352
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik | 10
10.2.2 Forankring med u-bøjle
5ø 5ø
I dette tilfælde bliver 1 0,7 , så forankringsbidraget fra vedhæftningen kan
skrives:
11 2 3 4 5
1
·4
10 ·2, 254 1 128,6, 7,5
0,7 (1 0,04 ) (1 0,04 )
10 ·2, 254 1183,7 , 7,5
0,7 0,7
bd bdsd
ctdctd cm
cm cmsd
ctdctd cm
l f
ff MPa
ff MPa
Endvidere vil der i U-bøjlens runding blive opbygget i ringtryk i betonen, der
også giver et bidrag til forankringen. Når u-bøjlens bukkecenter er placeret
mindst 5ø fra vederlagets kant, vil effekten være analog til forholdene ved på-
svejst tværjern, hvor der kan antages en trykspænding i betonen af størrelsen:
( ) / 3 3td ctd cm cd cm cd ctdf y f f y f
Med dæklaget 3ø under armeringsjernene bliver
0,18(2·(3 / ) 1)0,015 0,14 0,055ø øy e
Ringtrykket svarer til, at der i u-bøjlens to ben tilsammen opnås en trækkraft af
størrelsen
3ø
8ø
Vederlagszone
Figur 10-15: Forankring af u-bøjle
353
10 | Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
2· 8 · ·btd tdF ø ø
Bidraget til forankringsstyrken fra ringtrykket bliver da:
2
2
4 18( ) / 0,055 93,1( ) , 0,164
24 1
8 3 15,3 , 0,1642
sd cdt cm cdt cm cm cd ctd
sd cd cd cm cd ctd
f f f f
f f f
f
Dermed kan den samlede forankringsstyrke udtrykkes som:
128,693,1( ) 0,164
1 0,04
128,615,3 7,5
1 0,04
183,7 15,3 7,5
ctd ctd cm cm cd ctdcm
sd ctd cd cm ydcm
ctd cd cm
f f f f
f f MPa
f f MPa
f
Det skal desuden opfyldes at sd ydf .
0
100
200
300
400
500
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00cm [Mpa]
sd [Mpa]
fck = 40
fck = 35
fck = 30
fck = 25
fck = 20
Figur 10-16: Forankring af U-bøjle
354
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik | 10
10.2.3 Forankring med påsvejst tværarmering
En løsning med påsvejst tværjern i samme dimension som to langsgående an-
kerjern, der indlægges som en samlet enhed (svarende til en u-bøjle), kan udfø-
res således:
De to armeringsjern med påsvejst tværjern giver et bidrag til vedhæftningen
svarende til 4 0,7 , hvilket giver:
11 2 3 4 5
1
·4
7 ·2,254 1 90, 7,5
0,7 (1 0,04 ) (1 0,04 )
7 ·2,254 1128,6 , 7,5
0,7 0,7
bd bdsd
ctdctd cm
cm cmsd
ctdctd cm
l f
ff MPa
ff MPa
Foran tværjernet opbygges et betontryk, der kan antages at blive:
( ) / 3 3td ctd cm cd cm cd ctdf y f f y f
Med dæklaget ø under armeringsjernene bliver
0,18(2·( / ) 1)0,015 0,14 ø øy e =0,0965
1½ø 5½ø
3½ø
3½ø ø
Figur 10-17: Forankring med påsvejst tværjern
Vederlagszone
7ø
355
10 | Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Over hvert armeringsjern kan tværjernet antages at have en effektiv bredde til
optagelse af dette tryk på:
0,51,16 ( / ) 7 36td yd td t yd tdl ø f l ø f
Dette vil med armeringsstyrker på 500ykf MPa og betonstyrker
20ckf MPa altid være opfyldt. Betontrykket på tværjernet svarer derfor til,
at der i hvert ankerjern opnås et bidrag til forankringskraften på:
0,5 21,16 ( / ) 1,16btd yd td td yd tdF ø f ø ø f
Bidraget til forankringskraften kan da skrives:
2 24
2
4,64
4,64( ) / 4,75 ( ) , 0,290
4,64·3· 2,56 , 0,290
stdsd yd td
yd ctd cm yd ctd cm cm cd ctd
sd
yd cd yd cd cm cd ctd
Ff
ø
f f y f f f f
f f f f f
f
For det påsvejste tværjern forudsættes forskydningskapaciteten af hver svejse-
samling til ankerjernene at opfylde:
20,5 ·4wd ydF ø f
Dette skal dokumenteres ved anvendelse af løsningen, hvilket kræver særlige
aftaler herom i det konkrete projekt.
356
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik | 10
Dette giver en begrænsning på 2sd på 0,5· ydf . Den samlede resulterende
forankringsstyrke for den forestående løsning kan dermed uafhængig af arme-
ringsdimensionen skrives:
1
2
1 2
90, 7,5
(1 0,04 )
128,6 , 7,5
4,75 ( ) , 0,2900,5
2,56 , 0,290
ctd cmcmsd
ctd cm
yd ctd cm cm cd ctd
sd yd
yd cd cm cd ctd
sd sd sd yd
f MPa
f MPa
f f f ff
f f f f
f
Forankringsstyrken for to armeringsjern med påsvejst tværjern i samme dimen-
sion bliver som vist på nedenstående diagram.
0
100
200
300
400
500
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00cm [Mpa]
sd [Mpa]
fck = 40
fck = 35
fck = 30
fck = 25
fck = 20
Figur 10-18: Forankring med påsvejst tværjern
357
10 | Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
10.2.4 Andre forankringstyper
Der findes andre forankringsmuligheder end de foran gennemgåede. For eksem-
pel kan der svejses tværplade for enden af armeringsjernene, eller der kan svej-
ses armeringsjern til en indstøbt lejeplade. I det sidste tilfælde er det vigtigt at
lejepladen forsynes med modhold, så forankringsbrud i form af glidning mellem
beton og lejeplade ikke kan opstå.
Ankerplade
Modhold
Figur 10-19: Forankring med ankerplader eller modhold
Som regel kræver specielle forankringer, at der udføres prøvning. På elementfa-
brikker udføres denne prøvning stikprøvevis som led i den løbende kvalitetskon-
trol.
10.3 Anvendelseseksempler
10.3.1 Eksempel - Vederlagsforankring
Nærværende eksempel er en fortsættelse af bjælken fra eksempel i afsnit 6.1.5,
hvor den maksimale forskydningskraft var 65,1kN, og den krævede forankrings-
kraft blev 56,6kN. Der gennemregnes de tre forskellige forankringsdetaljer, som
er behandlet ovenfor, og det ses herved, hvordan den krævede vederlag kan
minimeres.
Der regnes med armering med styrken:
500500 417
1,2yk ydf MPa f MPa
358
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik | 10
10.3.1.1 Forankring med simpel retlinet armering
Det ses, at afstandskravene er overholdt, og at spændingen over vederlaget er:
65,1/(200·300) 1,09cm MPa
så der kan opbygges følgende spænding i armeringsjernene
128 901,60 150
(1 0,04 ) (1 0,04·1,09)sd ctdcm
ydf MPa f
Herved er forankringskapaciteten
22 (16) 150 60,34
F kN OK
2ø16
26mm
26mm 26mm 204mm
160mm 40mm
300mm
Vederlagszone
Figur 10-20: Bjælkeende med lige jern
359
10 | Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
10.3.1.2 Forankring med u-bøjle
40 50 50
U-bjl Y10 300
3ø
Figur 10-21: Forankring af u-bøjle
Det ses, at afstandskravene er overholdt, og at spændingen over vederlaget er:
65,1/(140·300) 1,55cm MPa
Denne spænding er mindre end
0,164 0,164·25 1,6 2,5cm cd ctdf f MPa
så der kan opbygges følgende spænding i armeringsjernene
12892( )
1 0,04
1281,60 92(1,60 1,55) 508
1 0,04·1,55
sd ctd ctd cmcm
yd
f f
MPa f
Der kan således opnås fuld forankring, og herved er forankringskraften
22 10 417 65,44
F MPa kN OK
Den væsentligste fordel ved denne løsning er, at vederlagsdybden kan reduceres
til 140 mm, hvor der med løsningen i eksempel 10.3.1.1 kræves 200 mm.
360
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik | 10
10.3.1.3 Forankring med påsvejst tværarmering
25 15 55
300
Det ses at afstandskravene er overholdt, og at spændingen over vederlaget er:
65,1/(95·300) 2,28cm MPa
Denne spænding er mindre end
0,164 0, 29·25 1,6 5,65cm cd ctdf f MPa
så der kan opbygges følgende spænding i armeringsjernene
904,8 ( )
1 0,04
90 5501,6 4,8 (1,60 2, 28) 360,9
1 0,04·2,28 1,2
sd ctd yd ctd cmcm
yd
f f f
MPa f
Herved er forankringskraften
22 (10 ) 360,9 56,74
F mm MPa kN OK
Denne løsning er således kun at foretrække frem for forankring med U-bøjlen
som i afsnit 10.3.1.2, hvis der kun kan opnås meget små vederlagsdybder.
Eksempel slut
Ø10
3ø
Figur 10-22: Forankring med påsvejst tværjern
361
10 | Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
10.3.2 Eksempel - Bjælkehalvering
Figur 10-23: Bjælkeende
Oph
æng
ning
½ z·cot ½a
½ z·cot
zV
Fc
Ftd
R
a
b
r
F
Det forudsættes, at bjælken er forskydningsdimensioneret efter diagonaltrykme-
toden. Denne dimensionering føres ud til en passende afstand, a, fra søjle kon-
sollen. Denne afstand vælges så der bliver rimelig plads til at arrangere bøjler til
ophængning af lasten V samt til at forankre hovedarmeringen. Eksempelvis kan
der prøves med 1/2 · z · cotθ,
For den aktuelle bjælke forudsættes:
25 0,5 cot 1,0
1,28 390
342 0,525
135 240 ( )
cd
td
yd
d
f MPa
f MPa z mm
f MPa
V kN t mm Bjælkebredde
m
Den anførte friktionskoefficient µ, der i en del tilfælde kan være mindre end 0,5,
medfører, at tvangsdeformationer af bjælken pga. svind, krybning og tempera-
turbevægelser giver en vandret kraft µ · R på bjælkeenden. Denne vandrette
kraft kan i den aktuelle bjælke med god tilnærmelse regnes at virke i afstanden
d = 160 mm fra trykzonen. Se også figur 10-15. Endvidere regnes med:
200 180a mm b m
362
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik | 10
Ligevægtsligningerne giver da for den udskårne sektion af bjælken:
1 12 2
1 12 21 1
2 2
,
135
· ( cot )· · ·
·200 180 160cot ·1,0 0,5 135 192
390 390
192 0,5·135 125
d
t
t t
C C d
R V R kN
F z z a b R d R
a b dF R F
z z
F T R F kN
kN
Gittermodellen der anvendes er tegnet op på figur 10-24.
Figur 10-24:Gittermodel
c3
C
N1
Fc
295 180 90
3
1
1
N2C2
2R
R
V
Ft
N
d
Afstanden mellem trykzone og vandret ankerjern fastlægges i det aktuelle til-
fælde til z = 160 mm. Trykstangen mrk. C1 skal da optage kraften
2 2 2 2
11
180 160135 203
sin 160
R b zC R
d
kN
Af 10.1-1 findes lamelbredden:
2
1 2 2
1600,64 68,0
180 160c m
m
363
10 | Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Dette giver en trykspænding i lamellen på
31
1
203·1012,4
· 68,0·240c c
CdMPa f OK
c t
Det vandrette ankerjern, der er svejset til lejepladen, skal optage kraften
1 1
180· cot 0,5·135 135 219
160N R r k N
OK
Som ankerjern anvendes 4 S16:
314·201·342·10 245udN kN N
Kraften N1 - µR skal forankres til betonen. Elementleverandørerne råder over
forskellige standardløsninger, der sikrer denne forankring i normale tilfælde.
I specialtilfælde kan det være aktuelt at udforme lejepladen med modhold, der
kan overføre den vandrette kraft N1 - µR til betonen, se figur 10-25.
y
c
Figur 10-25: Eventuelt modhold på indstøbt lejeplade
Modholdets højde afgøres af
1
·c c
N Rdf
t y
364
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik | 10
hvor α ≥ 1 fastlægges ud fra reglerne for koncentreret last på betonen. Modhol-
det skal dimensioneres så kræfterne vist på Figur 10-25 kan optages. Afstivning
af modholdet kan være nødvendigt.
Ophængningsbøjlerne foran vederlaget skal optage kraften
2 135dN R kN
Der indlægges ophængningsbøjler, 3 bjl S10, som kan optage
323·2·78,5·342·10 161udN kN N OK
Nu fastlægges længden x ved at kræve vandret ligevægt i punktet, hvor trykdi-
agonalerne mrk. C2 og C3 møder det vandrette ankerjern:
1 2 2 3cot cot
295219 135 135 327
390 160 160
N N V
x xx mm
Kraften i tryklamellen, mrk. C2, bliver
2 22
22
327 (390 160)135 235
sin 390 160
NC k
N
Af 10.1-1, findes lamelbredden
2
2 2
(390 160)2 0,64 84,7
(390 160) 327c m
m
Dette giver en trykspænding i lamellen på:
32
2
235·1011,6
· 84,7·240c c
CdMPa f OK
c t
365
10 | Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Hovedarmeringen skal bag 1. ophængningsbøjle forankres for en kraft af stør-
relsen
2 2
327cot 135 192
390 160tF N kN
hvilket svarer til den tidligere bestemte trækkraft fundet ved momentligevægt
for bjælkesektionen.
Der anordnes 2 stk. U-bøjler, S16:
128,61,28 93,1(1,28 0) 284
1 0,04·0sd MPa
Herved kan 2 U-bøjler bære
24 16 284 2284ud tF kN F OK
Endelig sikres de vandrette ankerjerns forankring inde i bjælkekroppen, idet
ankerjernene føres en forankringslængde forbi knudepunktet med trykdiagona-
lerne mrk. C2 og C3:
1 2 3 4 51 1
1 2 3 4 5
·4 1· 7
4 4 2, 25bd bd
sd bd sdbd
l fl m
f
6 500 /1, 241 m
idet der indsættes σs = fyd. Ankerjernene skal således i alt have en længde på:
745 295 180 90 1130totl m m
Da bjælken i øvrigt er dimensioneret efter diagonaltrykmetoden, er yderligere
undersøgelser ikke nødvendige. Kraften i tryklamellen, mrk. C3, føres uden vide-
re ind i den sædvanlige bøjlearmering.
Eksempel slut
366
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik | 10
10.3.3 Eksempel - Pladehjørne
Gitteranalogien kan også anvendes til analyse af tredimensionale problemer,
eksempelvis et pladehjørnes bæreevne.
Som det fremgår af gittermodellen, forudsættes armeringen i pladehjørnet at
bestå af et sæt krydsende, lodretstillede U-bøjler samt en randarmering. Det er
forudsat, at bøjleafstanden er den samme som bøjlernes indvendige højde, z.
C1 er et sæt skråtstillede tryklameller i pladens randzoner:
1
2
2C P
N0 er en randarmering, der sikrer vandret ligevægt i hjørneknuden:
10 1 2
2
2N C P
C
N N
C
NCNN
N
C
N
CC
N
Z
Z
N N
Z
3
N3 C3
3 33
1
1
2
2
3
3
221
1
00
P
Z
Z
Figur 10-26: Pladehjørne Figur 10-27: Gittermodel
367
10 | Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
N1 er den lodrette forskydningsarmering i pladens randzoner:
11 1 2
2
2N C P
C2 er et sæt skråtliggende tryklameller i pladens underside. Disse tryklameller
sikrer vandret ligevægt parallelt med pladeranden i de nederste knudepunkter
mellem C1 og N1, uden at der hobes kræfter op i randarmeringen ud over kraften
N0.
2 1
2 22
2 2C C P
I samme knudepunkt sikrer N2 herefter ligevægt vinkelret på pladeranden:
12 2 2
2
2N C P
De skråtliggende tryklameller, C3, i pladens overside sikrer vandret ligevægt
parallelt med pladeranden i de øverste knudepunkter mellem C1 og N1, uden at
der hobes trykkræfter op i randzonens overside.
3 1
2 22
2 2C C P
Endelig findes N3 svarende til N2.
13 3 2
2
2N C P
368
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik | 10
Z
Q
Z
Indlægges nu et lodret snit inde i pladen parallelt med en pladerand, ses resul-
tanten af C3 og N3 over snitlængden z at være ækvivalent med en forskydnings-
kraft
13 2
2
2Q C P
idet normalkraftresultanten af C3 og N3 bliver
1 13 3 2 2
20
2C N P P
Tilsvarende er C2 og N2 i pladeundersiden i snittet ækvivalent med en tilsvarende
forskydningskraft Q, men modsat rettet den i oversiden. Inde i pladen er gitter-
kræfterne der med alt i alt ækvivalente med et vridende plademoment af stør-
relsen:
12
·v v
Q zm Q m
z P
I vridning tillader betonnormen at der formelt regnes med forskydningsspæn-
dinger i et tyndfliget tværsnit med en tykkelse på 2c.
Figur 10-28: Snit i plade
QC3
N3
Z
Vandret snit Lodret snit
369
10 | Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
h
2ct
t
t 2c
2cFigur 10-29: Tyndfliget tværsnit
Med en trykhældning på 45°, dvs. cotθ = 1, tillader EC2 i det tyndfligede tvær-
snit højst en forskydningsspænding af størrelsen
10,7 0,35· ·
cot 1/ cot cd cdf f
Dermed kræves at
1
2( 2 )·2 ·0,35· ·
20,7·( 2 ) · ·
cd
cd
C h c c f
P h c c f
Med dette opfyldt kan pladehjørnet altså optage hjørnekraften P, hvis hver af de
viste armeringsstænger kan optage en trækkraft af størrelsen 1/2 P. Bøjleaf-
standen, z, må dog ikke overstige 0,7 h.
Desuden bør afstanden mellem bøjlerne ikke være større end bøjlernes middel-
højde svarende til det aktuelle dæklag:
2· 2z h c ø
hvor c er det foreskrevne dæklag, og d er armeringsdiameteren.
370
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik | 10
Af hensyn til bøjlernes forankring skal der også indlægges randarmering i over-
siden.
10.3.3.1 Taleksempel
Betragtes et hjørne i en plade med flg. specifikationer:
21,4 342 15
0,385 160cd ydf MPa f MPa c mm
h mm
N
kan der maximalt optages en hjørnelast af størrelsen
0,7·(160 2·15)·15·0,385·21, 4 11, 2udP k
Armeringsjern S8 kan optage en trækkraft på
3 1250,1·342·10 17,2ud udT kN P OK
Bøjlerne anbringes med en afstand på højst
0,75·(160 15) 109
160 2·15 2·8 114
mmz
mm
371
10 | Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
10.4 Udstøbningssamlinger
Væg- og dækfuger udstøbes sædvanligvis med en særlig fugebeton, hvor den
maximale stenstørrelse vælges ud fra hensynet til de trange støbeforhold. Alli-
gevel må der ved vurderingen af disse samlingers styrke tages hensyn til risiko-
en for støbefejl ved indstøbning af armeringsjern med diametre, der gør, at jer-
net kun delvist omstøbes.
10.4.1 Støbeskel
Støbeskels forskydningsstyrke har ofte afgørende betydning for bygningens
overordnede stabilitet. Bæreevnen iht. EC2 er illustreret på figur 10-30 svarende
til armeringen liggende vinkelret på støbeskellet. Ved glatte støbeskel bør der
normalt ikke medregnes hele bidraget fra As · fyd på grund af deformationsfor-
holdene. Eksempelvis kan man begrænse armeringsbidraget, så det aldrig over-
stiger bidraget fra normalkraften.
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Fortandet
Ru
Glat
Meget glat
[MPa]Rdi
i
V
A
[MPa]s yd
i
N A f
A
Figur 10-30: Støbeskels forskydningsstyrke
for beton med fck = 20MPa
372
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik | 10
På figuren er anvendt følgende betegnelser:
dV : Forskydningskraften i støbeskellet.
N : Den samtidigt virkende tryknormalkraft vinkelret på støbeskellet.
sA : Tværsnitsarealet af den armering gennem støbeskellet, som deltager i for-
skydningsoptagelsen.
iA : Støbeskellets effektive areal. For fortandede støbeskel beregnes dette areal
som tandarealet.
Ved fastlæggelsen af Ai skal der tages hensyn til, hvorledes kræfterne forløber
hen over støbeskellet. Betragtes eksempelvis figur 5-23 kan udstrækningen af
de vandrette støbeskels effektive areal ved elementets underside ikke regnes
større end 2x.
Ved udnyttelse af bidraget fra armeringen As · fyd skal der tages hensyn til styr-
ken af konstruktionen omkring støbeskellet, se Figur 10-31 hvor et støbeskel
skal overføre en ren forskydningskraft Vd, idet der indlægges tværarmering for
hver ende af støbeskellet.
Spændingerne i støbeskellet bliver med skivetykkelsen t og for et meget glat,
glat eller ru støbeskel, hvor Ai = l · t og der ikke regnes med nogen ydre kraft
·
· ·s ydd
N
A fV
b t b t
Figur 10-31: Kræfter i fuge
dV
dV
I II
dV
c
lII
t
½A fyd
½A fyd
N
A' fyds
s
s
l
373
10 | Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Indlægges nu et vandret snit midt gennem element II ses, at element II her skal
kunne optage et moment af størrelsen
21 18 8· · · · ·N s ydM t l A f l
Optagelse heraf kræver lodret armering modsat støbeskellet, som for rimelige
forhold mellem c og l kan udformes som sædvanlig randarmering:
18·s yd s yd
M lA f A
c c f
For meget hårdt påvirkede støbeskel kan det være nødvendigt at forskydnings-
armere skiverne.
Denne analyse viser, at der ved dimensioneringen af de enkelte elementer om-
kring en fuge skal tages samme hensyn til spændingerne i støbeskellet som til
enhver anden ydre last på elementerne.
Hvis forholdet mellem c og bliver meget lille, kan konstruktionen omkring
støbeskellet ikke sikre fuld udnyttelse af støbeskellets forskydningsstyrke mel-
lem to tværforbindelser. Dette kan for eksempel være tilfældet hvor der etable-
res punktforbindelser mellem dækelementers langside og stringerarmeringen i
etagekryds, eller ved boltsamlinger i væghjørner. Her kan forholdene omkring
støbeskellet illustreres som på figur 10-33.
l
374
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik | 10
Der er i denne situation ingen normgivne regler for, hvor stor en længde l der
kan regnes med ved bestemmelse af støbeskellets effektive areal. Støbeskels-
formlerne er imidlertid baseret på forsøg med ren forskydning i støbeskellet,
hvilket svarer til forholdene i et vandret snit i en bjælke midt mellem træk- og
trykzone. Man vil her acceptere en afstand på 0,75 d mellem bøjlerne ved en
sædvanlig forskydningsdimensionering.
På den baggrund skønnes, at hver tværforbindelse kan aktivere støbeskellet
over en strækning på højst
0,75 1,50,50
cl c
hvor c er afstanden mellem støbeskellet og punktforbindelsens forankring.
Forskydningsstyrken af et støbeskel ved en punktforbindelse kan dermed bereg-
nes til det på figur 10-34, viste for henholdsvis ru og fortandede støbeskel.
På figurerne betegner Ac således det effektive areal af støbeskellet målt over
strækningen l = 1,5 c. Størrelsen Nt er tværforbindelsens trækkapacitet med
fradrag af eventuelle ydre trækkræfter, der samtidig skal optages af tværforbin-
delsen.
0,75
0,50
l d
c d
l
c
Nt
V
ll
c
c
l
d
Figur 10-33: Punktforbindelse
over støbeskel
Figur 10-32: Bjælkeanalogi
l l
375
10 | Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
0
10
20
30
40
50
0 20 40 60 80
0
10
20
30
40
50
0 20 40 60 80
[kN]RdiV [kN]RdiV=200kNi cdA f =200kNi cdA f
=150kNi cdA f =150kNi cdA f
=100kNi cdA f =100kNi cdA f
=50kNi cdA f =50kNi cdA f
[kN]s ydN A f [kN]s ydN A f
Figur 10-34: Ru støbeskels
styrke ved punktforbindelser
(fck = 20MPa)
Figur 10-35: Fortandet
støbeskels styrke ved punkt-
forbindelse (fck = 20MPa)
c
t' = c
1:2Figur 10-36: Trykspredning på tværs af skiveplan ved punktforbindelse
Hvor tværforbindelsen udgøres af en bolt eller en smal hårnålebøjle, bør støbe-
skellets effektive areal ikke regnes at have en udstrækning på mere end t' = c
på tværs af skivens plan, se figur 10-36.
10.4.2 Etagekryds
I etagekryds kræves lasten fra overliggende væg normalt ført ned gennem fu-
gebetonen. For extruderede dæk, der er skåret lodret af i enderne, kan dæke-
lementenden dog også regnes at overføre en del af lasten, hvis vederlaget un-
derløbes svarende til tilfælde 2 på Figur 10-37.
376
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik | 10
Lodret bæreevne for sædvanlige etagekryds kan beregnes ved
·ud ef cdN b a f
hvor fcd er den mindste af væggenes og fugebetonens regningsmæssige tryk-
styrker, og hvor b er længden af det aktuelle etagekryds. Størrelsen aef betegner
den effektive bredde af fugebetonen i etagekrydset, jævnfør figur 10-37.
a
a
a
Nd
Tilfælde 1
Extruderede huldæk
oplagt direkte på væg
aef = a
Tilfælde 2
Extruderede huldæk
oplagt med underløbning
aef = a + 100mm
Tilfælde 3
Dæk ned knastvederlag
oplagt direkte på væg
aef = a + 73mm
Figur 10-37: Etagekryds, standardudformninger
377
10 | Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
378
T
0
400
800
1200
1600
2000
0 10 20 30 40 50 60
Tilfælde 2
Tilfælde 3
Tilfælde 1
[kN/m]dN
[mm]a
Betonstyrke, fuge =20MPa
Figur 10-38: Bæreevner for sædvanlige etagekryds jf. figur 10-37
Med en fugebeton med karakteristisk betonstyrke på fck = 20 MPa vil der nor-
malt kunne regnes med bæreevne som vist på figur 10-38, hvor fugen i etage-
krydset er opfattet som en uarmeret konstruktion.
Hvis der lokalt under f.eks. dørsøjler er behov for større styrke af etagekrydset,
kan det vælges at udføre dækelementerne med udsparinger. Dermed kan den
effektive bredde af etagekrydset lokalt øges op til
efa t
hvor t er væggens tykkelse og T er tolerancen på placeringen af væggens mid-
terplan. Løsningen kræver, at dækelementernes dimension er valgt, så der kan
tolereres en bæreevnereduktion svarende til udsparingerne.
11TVAnGS
dEForMATIonEr
11 TVANGSDEFORMATIONER
11.1 Geometriændringer
11.2 Luftfugtighedensbetydning
11.3 Temperaturensbetydning
11.4 Lastensbetydning
11.5 Anvendelseseksempler
11.5.1 Eksempel–Fugeiindervæg
11.5.2 Eksempel–Fugemellemforpladerisandwichfacade
11.5.3 Eksempel–Altanbrystning
11.5.4 Eksempel–Ribbepladeiflerskibsbygning
11 | Tvangsdeformationer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
11.1 Geometriændringer
Især ved udformningen af samlingsdetaljer skal der tages hensyn til, at beton-
elementerne med tiden undergår deformationer, der er en følge af de fysiske
påvirkninger, som elementerne udsættes for.
De fysiske påvirkninger kan udløse betydelige længdebevægelser eller gensidige
vinkeldrejninger i samlingerne, og der kan være risiko for alvorlige skader, hvis
der ikke tages hensyn til disse forhold under projekteringen. De vigtigste på-
virkninger er i denne sammenhæng luftfugtighed, temperatur og last.
Disse påvirkninger kan alle medføre en relativ længdeændring, ε, af betonen. Er
påvirkningen ensartet på hele elementet, bliver elementets længdeændring:
· hvor L er elementets længde.L L
Påvirkningerne kan også medføre en krumning af elementet, hvis de medfører
forskelle i den relative længdeændring mellem to af elementtværsnittets over-
flader. Af den tilsvarende udbøjning, u, kan den hertil hørende vinkeldrejning af
elementenderne for et element, der er simpelt understøttet i hver ende, be-
stemmes ved
4u
L
hvor L fortsat er elementlængden.
Ovennævnte længdeændringer og vinkeldrejninger betegnes ofte som tvangsde-
formationer, fordi de i praksis ikke kan forhindres. Forsøg herpå vil i de fleste
tilfælde medføre problemer med afskalninger eller revnedannelser omkring ele-
mentsamlingerne.
De fysiske påvirkningers indflydelse på betonen er nøjere gennemgået i CTO's
publikation: »Betonbogen«. Den følgende summariske gennemgang sigter alene
på de praktiske forhold omkring betonelementer.
380
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tvangsdeformationer | 11
11.2 Luftfugtighedens betydning
Niveauet for omgivelsernes relative fugtighed betinger størrelsen af betonens
svind, idet betonen med tiden afgiver vand til den omgivende luft, hvilket med-
fører en formindskelse af betonvolumenet. Jo lavere relativ luftfugtighed, des
større vandafgivelse og dermed større svind.
Betonelementerne har normalt været lagret en vis periode før montagen. Herved
er det forholdsvis store begyndelsessvind overstået før elementets indbygning.
Det er derfor normalt kun restsvindet efter indbygning, der har interesse for den
projekterende.
For indendørs konstruktioner kan der i middel sædvanligvis forudsættes en rela-
tiv luftfugtighed på 50 %. Det tilsvarende restsvind efter indbygning kan med
normale betontyper til ikke-forspændte betonelementer anslås at svare til en
relativ længdeændring af størrelsen
3ca. 0,25·10 (indendørs)s
Med de betontyper der normalt anvendes til forspændte betonelementer, kan
der regnes med ca. halvt så store relative længdeændringer. Fortegnet på εs
indikerer, at der er tale om en forkortelse.
Betonens svind er i nogen grad reversibelt, idet betonen kan optage vand fra
omgivelserne, når den relative fugtighed stiger. Dette har betydning for uden-
dørs beton, hvor svindbevægelserne vil følge årstidsvariationerne i den relative
luftfugtighed. I sommerhalvåret kan i middel regnes med en relativ luftfugtighed
på ca. 60 %, medens middelværdien i vinterhalvåret kan komme op omkring 90
%. Med normale betontyper til ikke-forspændte betonelementer, kan der for
udendørselementer regnes med følgende relative længdeændringer svarende til
restsvindet efter indbygning:
3
3
ca. 0, 2·10 (udendørs, sommer)
ca. 0,1·10 (udendørs, vinter)
s
s
381
11 | Tvangsdeformationer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
For den udendørs beton regnes således med en årstidsvariation på
Δεs = ± 0,05 · 10-3 omkring et årsgennemsnit på εs = ca. -0,05 · 10-3.
11.3 Temperaturens betydning
For en temperaturændring ΔT kan den tilsvarende relative længdeændring af
betonen findes af
510T T , hvor ΔT indsættes i °C.
For indendørs konstruktioner kan temperaturen normalt antages at være kon-
stant året rundt. For udendørs konstruktioner er det sædvanligt at bedømme
temperaturbevægelserne for følgende yderpunkter:
20º (vinter) , 50º (sommer)MIN MAXT C T C
Den meget høje temperatur i sommerperioden gælder for elementer, der kan
blive udsat for direkte sollys. Den maximale temperaturforskel fra vinter til som-
mer bliver således 70 °C, svarende til en relativ længdeændring af størrelsen
30,7·10T
Der regnes således med en årstidsvariation på ΔεT = ± 0,35 · 10-3 omkring en
neutral stilling ved temperaturen T = + 15 °C. Bemærk at disse temperaturbe-
vægelser virker modsat af de reversible svindbevægelser. Den samlede årstids-
variation i temperaturbevægelser og svindbevægelser kan dermed regnes at
blive af størrelsen:
30,3·10T S
omkring en neutral stilling mellem sommer og vinter.
For udendørs elementer der kan blive udsat for direkte sollys, regnes normalt
med, at der kan opstå en temperaturdifferens på 20 °C mellem sol- og skygge-
382
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tvangsdeformationer | 11
side. Elementet vil svarende hertil få en udbøjning mod den varme side af stør-
relsen
3 20,025·10 /u L h
hvor L er elementets længde, og h er tykkelsen målt mellem den kolde og var-
me side.
Der kan i visse tilfælde opstå en ca. halvt så stor modsat rettet udbøjning på
grund af overfladeafkøling ved afgivelse af strålevarme en frostklar vinternat.
11.4 Lastens betydning
Når en betonkonstruktion påføres en belastning, deformeres betonen straks.
Denne deformation kaldes elastisk, idet den forsvinder, når lasten fjernes igen.
Hvis belastningen opretholdes gennem længere tid, vil deformationerne lang-
somt øges.
Dette fænomen kaldes for krybning. Krybningen kan med årene betyde, at slut-
deformationerne bliver 2 à 3 gange større end de elastiske deformationer. Hvis
lasten atter fjernes, vil det kun være de elastiske deformationer, der forsvinder.
I forspændte elementer er betonen udsat for en konstant aksial trykkraft hidrø-
rende fra forspændingen, hvilket medfører, at elementet forkortes. Den elastiske
del af denne deformation er udløst ved forspændingens etablering på fabrikken.
Efter indbygning af elementet vil krybningseffekten betyde, at elementet yderli-
gere forkortes med tiden. Denne mekanisme virker sammen med betonens
svind, og der må for forspændte elementer efter montagetidspunktet forventes
en forkortelse af størrelsen 0,3% fra svind og krybning.
Endvidere er det i kapitel 7 for de sædvanlige huldæk, plader og bjælker anført,
hvorledes udbøjningen kan bestemmes i form af en pilhøjdeændring svarende til
de aktuelle kort- eller langtidslaster. Jævnfør det tidligere anførte kan de tilsva-
rende vinkeldrejninger over vederlagene herefter bestemmes.
383
11 | Tvangsdeformationer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
11.5 Anvendelseseksempler
11.5.1 Eksempel – Fuge i indervæg
7,2 m 4,8 m
Figur 11-1: Opstalt af indervæg
Fugen i modullinje B forudsættes udstøbt ved montagen. Hvis elementernes
svindbevægelser kunne foregå frit, måtte der med tiden ventes en revne i fugen
af størrelsen
3 1 12 20, 25·10 ( ·7,2 ·4,8) 0,0015w m
I praksis viser revnerne sig dog at være en del mindre.
Hvis der stilles betydende krav til væggens lydisolering, bør det overvejes at
forsegle samlingen med en elastisk fuge der dækkes med væv, før væggen
overfladebehandles eller tapetseres. Herved kan det også undgås, at tapetet
revner ud for samlingen.
Alternativt kan det vælges at placere samlingen, hvor der støder en let væg op
til betonvæggen.
Eksempel slut
384
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tvangsdeformationer | 11
11.5.2 Eksempel – Fuge mellem forplader i sandwichfacade
L L
x
Figur 11-2: Vandret snit i facade
Den samlede bevægelse i fugen fra vinter til sommer kan forventes at blive:
31 12 22 | | ( ) 0,6·10s Tx L L L
En elastisk fuge kan normalt optage en deformation af størrelsen
0,25 MINx x
hvor xMIN er den mindste værdi af fugebredden i løbet af året. Hvis elementerne
monteres med fugebredden x i den neutrale stilling ved omkring 15 °C bliver:
12
120, 25( )
1
4,5
MINx x x
x x x
x x
Ved montagen bør fugebredden derfor ikke være mindre end svarende til at
3 310,6·10 2,7·10
4,5L x x L
385
11 | Tvangsdeformationer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Jævnfør eksemplet i afsnit 12.2.1 kan man specificere en tolerance på Tx = 16
mm svarende til en afvigelse på ± 8 mm på fugebredden. Med en teoretisk fu-
gebredde på x0 = 16 mm vil man således forvente, at der kun i ganske få tilfæl-
de realiseres en fugebredde mindre end
0,008x m
ved montagen. Denne fugebredde er således tilstrækkelig for
30,008 2,7·10 3,0L L m
For større elementlængder må der selvfølgelig sikres en større mindstebredde af
fugen. Med eksempelvis L = 4,8 m bør fugen mindst være
32,7·10 ·4,8 0,013 ( 4,8 )x L m
En tilsvarende teoretisk fugebredde på x + 1/2Tx mm vil normalt blive betragtet
som uhensigtsmæssig stor. Derfor vælges det ofte at fastholde en teoretisk fu-
gebredde på 16 mm, idet det så kræves at fuger, der falder under minimums-
værdien, skæres op til denne minimumsværdi, dvs. eksempelvis x = 13 mm for
L = 4,8 m.
Når denne løsning benyttes skal man ved udformningen af forpladens kantud-
formning være opmærksom på, at der kan blive skåret nogle millimeter af beto-
nen, bl.a. bør armeringens dæklag ud mod kanten øges tilsvarende.
Specifikationen af den omtalte tolerance på fugebredden ved montagen begræn-
ser størrelsen af eventuelt nødvendige opskæringer. Kravet om opskæring af for
små fuger giver desuden montageentreprenøren et incitament til øget præcision
i montagen, men et beskedent antal opskæringer må dog forventes ved ele-
mentbredder over L = 3,0 m. Problemet kan normalt ikke undgås ved blot at
skærpe tolerancekravene over for montageentreprenøren.
Eksempel slut
386
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tvangsdeformationer | 11
11.5.3 Eksempel – Altanbrystning
L = 4,8 m
h =
0,1
m
Figur 11-3: Vandret snit
Brystningselementets deformationer fra svind og temperatur vil i hver af samlin-
gerne ved modullinje A og B give længdebevægelser af størrelsen:
12
3 12
( )·
0,3·10 · ·4,8
0,007
s Tx L
x
x m
idet elementet ved modullinje A og B forudsættes fastgjort til den stabile rå-
huskonstruktion.
Samtidig kan brystningselementet ved direkte sollys forventes at få en krumning
svarende til en udadrettet udbøjning ved midte på
23 4,8
0,025·10 0,0060,1
u m
Dette svarer til en vinkeldrejning af elementenderne af størrelsen
4·0,0060,005
4,8
For at undgå skader skal fastgørelsen af brystningselementet udformes således,
at de fundne længdebevægelser og vinkeldrejninger frit kan foregå.
Eksempel slut
387
11 | Tvangsdeformationer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
11.5.4 Eksempel – Ribbeplade i flerskibsbygning
Figur 11-4: Længdesnit
14,4 m
Fuge Fuge
ribbeplade0,50
0,06
Ribbepladens belastning forudsættes sammensat således:
• egenvægt, element + overbeton: 4,09 kN/m2
• afretningslag mv.: 1,00 kN/m2
• nyttelast, ψ = 1,0: 5,00 kN/m2
De anførte belastninger er de karakteristiske værdier. Der regnes med, at 1/3 af
nyttelasten har permanent karakter. Momenter og stivheder som skal anvendes
til bestemmelse af pilhøjder og udbøjninger iht. afsnit 7.2 bestemmes til:
218
21 18 3
218
2
(4,09 1,0 5,0)·14,4 262 /
(4,09 1,0 ·5,0)·14,4 175 /
·4,09·14, 4 106 /
227 / (leverandør oplysning)
106000 / (leverandør oplysning)
k
L
g
bal P
k
M k
M k
M k
M M kNm m
EI kNm m
Nm m
Nm m
Nm m
388
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tvangsdeformationer | 11
Dette giver således følgende udbøjninger for henholdsvis karakteristisk last,
langtidslast, egenvægt og forspænding:
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1 262(14,4) 0,051
10 10 106000
1 1 175(14,4) 0,034
10 10 106000
1 1 106(14,4) 0,021
10 10 106000
1 1 227(14,4) 0,056
8 8 106000
kk
k
LL
k
gg
k
Pp
k
Mu L
EI
Mu L
EI
Mu L
EI
Mu L
EI
m
m
m
m
m
Leveringspilhøjden kan forventes at være
( )·(1 ) (0,021 0,056)·1,9 0,064Levering g p Leveringu u u
når (1 ) 1,9Levering . Egenvægt og anden permanent last vil sammen med
forspændingen med tiden ændre pilhøjden til ca.
( )·(1 ) ( )·(1 )
(0,021 0,056)·3,0 (0,034 0,021)·2,3 0,075
Langtid g p Lager L g Langtidu u u u u
m
Virkningen af forspænding og permanent last udbalancerer således hinanden i
det aktuelle tilfælde. Den egentlige korttidslast kan give anledning til følgende
ændring af pilhøjden:
( ) 0,051 0,034 0,017karakteristisk Langtid K Lu u u u m m m
Denne pilhøjdeændring svarer til en vinkeldrejning over vederlaget på:
4·0,0170,005
14,4
389
11 | Tvangsdeformationer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
390
I en fuge i oversiden af overbetonen vil dette svare til en bevægelse på
(0,500 0,060)·0,005 0,003x m
Denne fuge vil med tiden yderligere åbne sig på grund af ribbepladens svind og
krybning, der vil give elementet en længdeændring på
30,3·10 ·14,4 0,004L m
Denne længdeændring kan udløses ved den ene elementende alene, med min-
dre ribberne oplægges på neoprenelejer.
Ovennævnte tvangsdeformationer, og ΔL, kan sædvanligvis accepteres for den
normale vederlagsudformning med stål mod stål, hvis vederlagstrykket holdes
under 10 MPa. For vederlagstryk i størrelsen 10-15 MPa kan det anbefales at
anvende mellemlæg med 2 mm tykke glidelag af bly.
Anderledes stiller det sig, hvis der kan blive tale om gentagne bevægelser fra for
eksempel ændringer i temperatur og luftfugtighed. Hvis ribbepladerne eksem-
pelvis også udsættes for temperaturvariationer på 20 °C, bliver de tilsvarende
længdebevægelser
520·10 ·14,4 0,003TL m
Vederlaget bør i så fald udformes med neoprenelejer eller glidelag af teflon. I
alle tilfælde gælder det, at man ikke må hindre tvangsdeformationerne ved at
føre den armerede overbeton ubrudt hen over vederlagene i flerskibsbygninger
med mere end to fag ribbeplader i forlængelse af hinanden. Noget sådant giver
alvorlig risiko for grove revnedannelser i overbetonen eller revneskader i rib-
beenderne.
Eksempel slut
12TolErAnCEr
12 TOLERANCER
12.1 Håndteringaftolerancer
12.1.1 Betonelementersmål
12.1.2 Byggepladsmål
12.1.3 Grundlæggendetolerancebegreber
12.1.4 Vejledendeberegningtilvalgaftoleranceangivelser
12.2 Anvendelseseksempler
12.2.1 Eksempel–Fugeisandwichfacade
12.2.2 Eksempel–Opstillingafvægelementerogmontageafhuldæk
12 | Tolerancer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
12.1 Håndtering af tolerancer
Kvalitetskrav med hensyn til målfasthed af betonelementer og deres placering i
det færdige bygværk udtrykkes ved specifikation af tolerancer. En tolerance på
et længdemål eller et målpunkt er en specificeret intervallængde med en specifi-
ceret placering af intervallet, relativt til det tilstræbte længdemål eller målpunkt.
I teknisk-juridisk forstand betyder en tolerancespecifikation, at det uden indven-
dinger accepteres, at målfasthed er en tilstedeværende egenskab, hvis det reali-
serede længdemål eller målpunkt falder inden for toleranceintervallet. Toleran-
cebegrebet er behandlet detaljeret i DS 1050 »Tolerancer i byggeriet. Anvendel-
se af måltolerancer«, Dansk Standard, 1982, samt i Dansk Byggeri’s: »Hvor går
grænsen? - Beton – in situ, elementer og montage«, marts 2007.
12.1.1 Betonelementers mål
Kontrol af betonelementers hovedmål udføres som stikprøvekontrol, idet hvert
hovedmål kontrolleres for sig. Et parti af betonelementer godtages da normalt,
hvis kontrollen viser, at det med en passende sikkerhed (såkaldt konfidens) kan
hævdes, at højst 10 % af målene falder uden for toleranceintervallerne. De
nærmere betingelser for hvorledes kontrollen udføres (eksempelvis hvilke stik-
prøvestørrelser der vil blive anvendt) aftales mellem parterne. Som omtalt i det
følgende vil produktionen normalt blive indrettet på en betydelig lavere fejlpro-
cent end 10 %, for at stikprøvekontrollen kan få den fornødne konfidens.
Der anvendes principper som angivet i DS 1050. Det deri angivne såkaldte ind-
hyllingsprincip anvendes dog ikke ved sædvanlig produktion af betonelementer.
Betonelementers hovedmål omfatter længde, højde og bredde. Afhængig af
elementtype kaldes et af disse mål eventuelt elementtykkelse. Som nævnt i
eksemplerne er de normale tolerancer på hovedmålene oplyst i ”Hvor går græn-
sen?”, for hver af de der beskrevne elementtyper.
Foruden afvigelser på hovedmålene kan også elementets afvigelse fra den ideale
form være af interesse. Det kan dreje sig om krumninger, vindskævheder og
vinkelafvigelser.
392
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tolerancer | 12
Endelig bør den projekterende være opmærksom på målafvigelser vedrørende
indstøbningsdeles placering, samt udsparingers placering og størrelse.
12.1.2 Byggepladsmål
Afvigelse på elementernes placeringsmål fremkommer som en sum af unøjag-
tighed i afsætning og unøjagtighed i montagen.
Søjler, vægge og facader kan normalt placeres i overensstemmelse med følgen-
de toleranceangivelser:
– Vandrette placeringsmål: T = 16 mm (± 8 mm)
– Lodrette placeringsmål: T = 8 mm (± 4 mm)
– Lodstilling, vinkelafvigelse: T = 4 mm/m (± 2 mm/m)
Disse toleranceangivelser indeholder ikke bidrag fra unøjagtigheder i hovedaf-
sætningen, svarende til en samlet translation eller rotation af bygningen.
For placeringsmålene gælder toleranceangivelserne placeringen af elementets
bundflade. Ved vurdering af unøjagtighederne på oversidens placering skal der
også tages hensyn til betydningen af unøjagtighed med hensyn til lodstilling.
Der henvises i øvrigt til de følgende eksempler.
12.1.3 Grundlæggende tolerancebegreber
Det er standardnotation at betegne tolerancen med T, og at angive intervallets
placering ved B - pT, B + qT, hvor p og q er angivne positive tal med sum 1, og
B er det tilstræbte mål, der betegnes basismålet. Som regel sættes p = q = 1/2,
og intervallet angives ved
2
TB
Særlige forhold kan undertiden gøre det hensigtsmæssigt at fastlægge toleran-
ceintervallet usymmetrisk om B, altså at vælge p og q forskellige fra 1/2.
393
12 | Tolerancer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Som nævnt har toleranceangivelsen en klar teknisk-juridisk betydning. Nok så
vigtigt i praksis er imidlertid toleranceangivelsernes rolle som etiketter for med
hvilken nøjagtighed, der skal styres i fremstillingsprocessen for de forskellige
betonelementtyper og i den efterfølgende monteringsmetode. At styre efter ab-
solut overholdelse af alle toleranceangivelser er ikke blot unødvendigt, men også
urimeligt fordyrende. Af samme grund bør man ved projekteringen undlade at
stille ubegrundet snævre tolerancekrav. Ofte vil overskridelse af tolerancegræn-
serne for en mindre brøkdel af de elementer, der indgår i en sammenbygning,
ikke føre til vanskeligheder, og overskridelsen vil derfor aldrig blive opdaget.
Dette skyldes, at de enkelte elementers mål samspiller på statistisk vis, således
at store og små indbyrdes uafhængige målafvigelser med vekslende fortegn kan
tendere til at summere sig op langt mindre drastisk end den tilsvarende simple
addition af tolerancetallene angiver. Aktiv justering under montageprocessen
kan også ofte forhindre kassation af mindre nøjagtige elementer.
Erfaringen viser, at de observerede mål meget ofte med god tilnærmelse forde-
ler sig omkring basismålet i overensstemmelse med den normale sandsynlig-
hedsfordeling. Hvis dette findes ikke at være tilfældet, kan det være en indikati-
on af manglende kontrol over produktionsprocessen.
Den normale fordelings tæthedsfunktion er vist i figur 12-1. Den har en middel-
værdi µ, der svarer til punktet med størst tæthed. I produktions- og montage-
processerne tilstræbes dette punkt at være tæt ved basismålet, og naturligvis
meget tættere end T/2 for at der kan være plads til, at de fleste målafvigelser
fra B falder inden for B - T/2, B + T/2. Hvis det forudsættes, at µ = B, bestem-
mer bredden af tæthedsfunktionen entydigt hvor stor en brøkdel af en stor stik-
prøve af mål, der kan forventes at falde i toleranceintervallet. Bredden af tæt-
hedsfunktionen angives sædvanligvis ved afstanden σ langs mål-aksen fra punk-
tet µ med størst tæthed til det ene eller det andet af tæthedskurvens to vende-
punkter. Denne afstand er identisk med den såkaldte standardafvigelse.
394
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tolerancer | 12
Basismål B
T/2 T/2
Fejlemner Fejlemner
mål
Det skraverede areal repræsenterer fejlprocenten
Figur 12-1: Målenes fordeling i overensstemmelse med normalfordelingens
tæthedsfunktion (middelværdi µ og standardafvigelsen σ), samt illustration
af basismål B og toleranceintervallet B-T/2, B+T/2
Hvis man måler afstanden fra punktet µ til det ene eller det andet af tolerancein-
tervallets endepunkter i enheden σ, da er brøkdelen af de observationer der
falder under, henholdsvis over, toleranceintervallet entydigt bestemt ved hen-
holdsvis den nedre og den øvre af disse dimensionsløse afstande. I forbindelse
med kontrol af tolerancers overholdelse stilles sædvanligvis det krav, at højst 10
% af observationerne i en teoretisk uendelig stor stikprøve må falde uden for
toleranceintervallet. Hvis dette netop er tilfældet, og µ = B, da vil ca. 60 % af
observationerne falde i den centrale halvdel af toleranceintervallet.
12.1.4 Vejledende beregning til valg af toleranceangivelser
Det følger af det foregående, at hvis man gør den forudsætning, at produktions-
og montageprocesserne styres således, at en stort set konstant procentdel af
målene i det lange løb falder i det specificerede toleranceinterval, og at middel-
værdien µ er sammenfaldende med basismålet B, da er standard afvigelsen σ en
395
12 | Tolerancer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
fast brøkdel af tolerancen T. Det betyder, at den såkaldte fejlophobningslov, der
bestemmer standardafvigelsen for et sammensat mål ved standardafvigelserne
for de enkelte delmål, kan formuleres direkte i tolerancerne for de enkelte del-
mål.
Helt generelt kan man skrive et tilstræbt længdemål B, der er sammensat af n
delmål, som
1 1 2 2 ... n nB k B k B k B
hvor B1, B2,...,Bn er basismålene for de enkelte delmål, og hvor faktorerne k1,
k2,..., kn er bestemt ved den aktuelle geometri. Et eksempel er vist i figur 12-2,
hvor B er fugebredden f mellem to elementer med længderne B1 = c, B2 = d og
med placeringsmålene B3 = a, B4 = b. Konstanterne k1,k2,k3 og k4 bliver da hen-
holdsvis -1/2, -1/2, 1 og 1.
Forudsætter man, at toleranceangivelserne af alle parter i byggeprocessen an-
vendes med samme betydning med hensyn til hyppighed af svigtende opfyldelse
af tolerancekravet, fås for det sammensatte længdemålstolerance
2 2 21 1 2 2( ) ( ) ... ( )n nT k T k T k T 2
Venstre side udtrykker den ønskede nøjagtighed af det sammensatte mål. Tole-
rancerne T1,...,Tn på højre side må derfor vælges så denne ulighed er opfyldt. På
den anden side bør værdierne af økonomiske grunde vælges så store som ulig-
heden tillader.
Hvis uligheder af ovenstående type ikke tages i betragtning ved projekteringen,
kan man komme til at anføre tolerancekrav, der rummer indre modstrid. Ek-
sempelvis bør tolerancen T i ovenstående ulighed ikke anføres i byggebeskrivel-
sen, hvis T1,...,Tn alle er givne i denne. Tolerancen T er kun et hjælpemiddel for
den projekterende. Hvis der sørges for, at uligheden er tilfredsstillet ved valget
af T1,...,Tn, vil nøjagtighedskravet til sammenbygningsmålet under de givne
forudsætninger automatisk blive opfyldt.
396
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tolerancer | 12
Det fremgår, at det er vigtigt, at der kun stilles tolerancekrav for mål, der har
afgørende betydning for sammenbyggelighed, og i øvrigt at disse tolerancekrav i
alle tilfælde knyttes til klart definerede basismål. Fugeeksemplet i figur 12-2
viser, at man med specificerede tolerancer på elementbredder og placeringsmål
ikke samtidigt frit kan specificere en tolerance på bredden af fugen mellem de to
elementer. Ovenstående ulighed skal opfyldes. Den projekterende må derfor
beslutte sig for, hvilke mål der skal være styrende med hensyn til nøjagtighed.
Er der tale om bagvægselementer til en skalmuret facade, vil det normalt være
placeringsmålene a, der er vigtige med tanke på indbygning af døre og vinduer,
medens fugebredden f mellem bagvægselementerne er af mindre betydning. For
sandwichfacader vil det derimod normalt være fugebredden, der har betydning,
medens den nøjagtige placering af vindueshuller er mindre afgørende.
12.2 Anvendelseseksempler
12.2.1 Eksempel – Fuge i sandwichfacade
Figur 12-2: Sandwichfacade, hvor fugemålet er kritisk med hensyn til nøj-
agtighed
For elementopstillingen i figur 12-2 er fugebredden det kritiske sammensatte
mål, når det forudsættes at elementerne indgår i en facade. Som det ses af figu-
ren gælder
1 12 2 ,f c d a b
397
12 | Tolerancer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
eller skrevet på den formelle form
1 11 2 3 42 2 ,B B B B B
således at toleranceuligheden bliver
2 2 2 21 11 2 34 4T T T T T 2
4
gældende under de ovenfor anførte forudsætninger.
”Hvor går grænsen?” beskriver en række elementtyper med tilhørende angivel-
ser af de normalt brugte tolerancer på hovedmålene.
Hvis elementbredden er mellem 2,4 og 7,2 m, er den sædvanligt anvendte tole-
rance 16 mm. Antages at elementbredderne B1 og B2 ligger i dette interval haves
altså normalt, at T1 = 16 mm og T2 = 16 mm.
For placeringsmålene B3 og B4 gælder, at de under normal montagepraksis kan
opfyldes med tolerancerne T3 = T4 = 16 mm. Uligheden giver da
2 2 2 2 21 14 4·16 ·16 16 16 24T 2
Det ses altså, at hvis elementmålene og placeringsmålene realiseres statistisk
uafhængigt af hinanden med de givne nøjagtigheder, da må det accepteres, at
fugebreddens nøjagtighed ikke kan opnås bedre end svarende til en tolerance på
24 mm.
Bedre nøjagtighed kan opnås ved en ændret opstillingsprocedure. For eksempel
kan alle modullinjer afsættes først, hvorefter de enkelte elementer centreres
bedst muligt inden for deres modulområder.
Tolerancen på afsætningen af målene k, l og m kan forudsættes at være af stør-
relsen 12 mm.
398
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tolerancer | 12
Figur 12-3
Bemærk at dette ikke er identisk med tolerancen på modullinjernes placering,
idet der også må regnes med en tilsvarende unøjagtighed i placeringen af må-
lafsætningslinjen. Denne afvigelse er på figuren er betegnet e.
Centrering af element I inden for modulområdet svarer til at tilstræbe x = 0,
hvor
1 2x x x
Dette kan normalt realiseres inden for en tolerance på 10 mm. Af figuren ses nu
at
12 1 1 2 ( )x c x l k x l k c x
Tilsvarende for element II
11 2 ( )y m l d y
Fugebredden bliver således
1 11 1 2 2
1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2
( ) ( )f x y l k c x m l d y
f m k c d x y
Alle målene m, k, c, d, x og y på højre side kan forudsættes realiseret statistisk
uafhængigt af hinanden.
399
12 | Tolerancer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Med de tidligere anførte værdier for tolerancerne findes dermed:
2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 14 4 4 4 4 412 12 16 16 10 10 15,8 16T 2
Placeringsmålet for element I i forhold til den ideelt placerede målafsætningslin-
je er
11 2
1 12 2
1 1 12 2 2
( )
a e l x c
a e l l k c x c
a e l k x
Den tilsvarende toleranceulighed bliver
2 1 2 2 21 1 11 2 3 44 4 4
2 2 2 2 2 21 1 14 4 412 12 12 10 15,3 16
T T T T T
T
2
idet tolerancen på placeringen af målafsætningslinjen, der idealt svarer til e = 0,
sættes til T1 = 12 mm.
Med den beskrevne opstillingsprocedure opnås altså en nøjagtighed både på
fugebredden og placeringsmålet svarende til en tolerance på 16 mm.
Eksempel slut
12.2.2 Eksempel – Opstilling af vægelementer og montage af huldæk
Figur 12-4 viser en sammenbygning med en geometri, der medfører følgende
sammenhænge mellem de viste mål:
0
0
1 10 02 2
n
n
v h
a a H
b b H
L l a c b d l
400
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tolerancer | 12
Antag at vederlagsdybderne lv og ln er de kritiske mål med hensyn til nøjagtig-
hed. Antag desuden at montageprocessen styres ved målene an og bn, vinklerne
α og ß, samt ved forskellen
v hr l l
mellem venstre og højre vederlagsdybde, der tilstræbes at være 0. Der skal da
udover elementmålenes tolerancer specificeres tolerancer for disse monte-
ringsmål, således at begge vederlagsdybder med en ønsket nøjagtighed bliver
det tilstræbte mål
1 12 2( )n nl L a b c d 1
2 ,
der fås af ovenstående ligninger ved at sætte α = ß = 0 og l = lv = lh.
Figur 12-4
401
12 | Tolerancer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK
Af ligningerne fås højre vederlagsdybde:
1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 4 4 2 ,h n nl L a b H H c d r
eller skrevet på den generelle form:
1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 72 2 2 2 2 4 4 2 8B B B B B B B B B
for et sammensat mål. Her er B4 = αH og B6 = ßH. For elementmålene kan man
som angivet i ”Hvor går grænsen?” i overensstemmelse med sædvanlig praksis
foreskrive følgende tolerance værdier:
1
1
1
6 7
24 7, 2
: 40 7, 2 14, 4
60 14, 4
, : 10
T mm for L
L T mm for m L m
T mm for L
c d T T mm
m
m
For monteringsmålene an og bn kan man som i forrige eksempel sætte T2 = T3 =
16 mm. Desuden tillader normal monteringspraksis en lodstillingstolerance (vin-
kelafvigelsestolerance) på 4 mm/m. Med en væghøjde på H = 3 m fås da T4 = T5
= 12 mm.
I det følgende vises et eksempel på valg af en rimelig tolerance T8 på målet r,
når alle delmål, der bidrager til det sammen satte mål lh realiseres statistisk
uafhængigt af hinanden. Toleranceuligheden bliver:
2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 11 2 3 4 5 6 7 84 16 4
28
2 2 21 11 8 84 4
28
( ) ( )
356,5 7,2
212,5 612,5 7,2 14,4
1112,5 14,4
T T T T T T T T T
T for L
T T T for m L
T for L
m
m
m
402
BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tolerancer | 12
Ved projektering af en sammenbygning hvor L ≤ 7,2 m er basismålene valgt
således at T = 20 mm kan anses for at være en tilfredsstillende nøjagtighed for
vederlagsdybden. Det følger da af uligheden at T5 skal angives således at
2 28 4(400 356,5) 13,2 ( 7,2 )T L m
For dækelementer af denne korte længde er det muligt at styre oplægningen
med en så lille tolerance T8, at den i regnestykket ovenfor kan sættes til nul. Det
ses da, at den højst opnåelige nøjagtighed med værdien for de øvrige tolerancer
som angivet er
356,5 18,9 .T m m
Der opnås altså kun en ubetydelig nøjagtighedsforbedring ved at presse toleran-
cen ned fra en værdi på for eksempel 10 mm (der giver uligheden T ≥ 19,5 mm)
til en værdi nær nul. Selv for så stor en tolerance som T8 = 16 mm fås kun en
meget lille forøgelse af ulighedens højre side. Uligheden bliver i det tilfælde T ≥
20,5 mm. Denne ufølsomhed hænger naturligvis sammen med, at usikkerheden
på vederlagsdybden er stærkt domineret af usikkerheden på de mange øvrige
indgående statistisk uafhængigt realiserede delmål.
Eksempel slut
403
405
FORORD 7
1 GENERELT 11
1.1 Introduktion 12
1.2 Teoriogberegningeripraksis 14
1.3 Dokumentationafbærendekonstruktioner 15
1.3.1 Overordnedestatiskeberegninger 15
1.3.2 Bygningsdelsberegninger 16
2 GRUNDLÆGGENDEMATERIALEMODELLER 19
2.1 Beton 20
2.1.1 Middelarbejdslinje 20
2.1.2 Brudgrænsetilstande 22
2.1.3 Tværsnitsanalyse–generelmetode 23
2.1.4 Anvendelsesgrænsetilstande 26
2.1.5 Krybningogsvind 29
2.1.6 Eksempel–Beregningafslutkrybetalogslutsvind 32
2.2 Armeringsstål 36
2.3 Forspændingsstål 37
3 LODRETTELASTVIRKNINGER 39
3.1 Lodrettelaster 41
3.1.1 Nyttelast 43
3.1.2 Sne–ogvindlast 44
3.1.3 Brandogulykke 45
3.2 Lastkombinationer 45
3.2.1 Vedvarendeellermidlertidigedimensioneringstilfælde 45
3.2.1.1 Konsekvensklasse 47
3.2.2 Ulykkesdimensioneringstilfælde 47
Index
406
Index betonelementbyggerIersstatIk
3.3 Lodretlastnedføring 48
3.3.1 Excentriciteter 48
3.3.2 Lodretlastpåsøjlerogvægge 50
3.3.3 Vedvarendeellermidlertidigedimensioneringstilfælde 50
3.3.4 Ulykkesdimensioneringstilfælde 52
3.3.5 Eksempel–Lastnedføring 53
3.3.5.1 Vedvarendeellermidlertidigedimensioneringsttilfælde 53
3.3.5.2 Ulykkesdimensioneringstilfælde 55
3.4 Lastspecifikationer 57
3.4.1 Fastlæggelseafsøjle–ogvæglaste 57
3.4.2 Tværlasthidrørendevindpåsøjlerogvægge 57
3.4.3 Normalkraftfralastnedføring 58
3.4.3.1 Søjler 58
3.4.3.2 Vægge 60
3.4.4 Lasttilfælde 61
3.4.5 Eksempel–Fastlæggelseafsøjlelaste 64
3.4.5.1 Vedvarendeogmidlertidigedimensioneringstilstande 64
3.4.5.2 Ulykkesdimensioneringstilfælde 66
3.5 Beregningsprogrammer 69
3.5.1 Modultillastnedføring 69
3.5.2 Modulertilspecifikationafsøjle–ogvæglaste 71
4 HOVEDSTABILITET 73
4.1 Generelt 74
4.2 Vandretlastfordeling 76
4.2.1 Eksempel–Halefterkassesystemet 82
4.2.2 Eksempel–Halefterskeletsystemet 87
4.2.3 Eksempel–Tværvægsbyggeri 91
4.3 Opstillingafgeneraliseretmodel 96
4.3.1 Eksempel–Kombinationsbygning 102
4.4 Beregningsprogrammer 108
5 SKIVESTATIK 109
5.1 Dækskiver 111
5.1.1 Homogenhuldækskive 113
5.1.2 Huldækskiveberegnetvedstringermetoden 118
5.1.3 Eksempel–Regneeksempel 127
407
betonelementbyggerIersstatIk Index
5.2 Vægskiver 135
5.2.1 Vægopstalter 135
5.2.2 Enkeltelementersskivestyrke 139
5.2.3 Eksempel–Vægbeståendeafflerevægelementer 146
5.3 Beregningsprogram 153
6 ARMEREDEBJÆLKER 153
6.1 Brudgrænsetilstande 155
6.1.1 Bøjning 155
6.1.1.1 Tværsnitsanalyse–generelmetode 155
6.1.1.2 Kanttøjning 158
6.1.1.3 Bøjningudentrykarmering 159
6.1.1.4 Minimum–ogmaksimumarmering 162
6.1.2 Forskydning 163
6.1.2.1 Diagonaltrykmetoden 165
6.1.2.2 Minimumsarmering 170
6.1.2.3 Dimensioneringsforløb 171
6.1.3 Vridning 173
6.1.4 Kombineretvridningogforskydning 176
6.1.5 Beregningafforankringskraft 176
6.1.5.1 Forankringvedrenforskydning 176
6.1.5.2 Forankringvedrenvridning 177
6.1.5.3 Forankringvedkombineretforskydningogvridning 179
6.1.6 Eksempel–Bjælkeberegningibrudgrænsetilstanden 180
6.1.6.1 Beregningsforudsætninger 180
6.1.6.2 Bøjning 181
6.1.6.3 Forskydning 182
6.1.6.4 Vridning 186
6.1.6.5 Kombineretvridningogforskydning 188
6.1.6.6 Forankringskraft 189
6.2 Anvendelsesgrænsetilstande 190
6.2.1 Udbøjning 190
6.2.1.1 Krybning 190
6.2.1.2 Svind 191
6.2.1.3 Tensionstiffening 191
6.2.1.4 Udbøjningerforfuldtrevnettværsnit 194
6.2.1.5 Udbøjningforurevnettværsnit 197
6.2.2 Revnevidder 199
6.2.3 Eksempel–Bjælkeberegningianvendelsesgrænsetilstanden 201
6.2.3.1 Udbøjningforfuldtrevnettværsnit 202
6.2.3.2 Udbøjningforurevnettværsnit 204
6.2.3.3 Udbøjningfortværsnitmellemfuldtrevnetogurevnet 205
6.2.3.4 Revnevidder 206
6.3 Beregningsprogram 208
408
Index betonelementbyggerIersstatIk
7 FORSPÆNDTEELEMENTER 209
7.1 Princippervedforspændteelementer 210
7.1.1 Udførelse 210
7.2 Indledendeprojekteringmedforspændteelementer 212
7.3 Tværsnitsanalyse–rektangulærttværsnit 217
7.3.1 Anvendelsesgrænsetilstande 217
7.3.2 Brudgrænsetilstande 221
7.3.2.1 Bøjning 222
7.3.2.2 Tværsnitsanalyse–generelmetode 222
7.3.2.3 Minimum–ogmaksimumarmering 225
7.3.3 Eksempel–RB–bjælke 226
7.3.3.1 Beregningsforudsætninger 226
7.3.3.2 Brudgrænse,bøjning 227
7.3.3.3 Anvendelsesgrænse,tværsnits–konstanter 229
7.3.3.4 Lasterpåtværsnittet 230
7.3.3.5 Anvendelsesgrænse,spændingsbestemmelse 230
7.3.3.6 Anvendelsesgrænse,udbøjningsbestemmelse 231
7.4 Vilkårligttværsnitmedforspænding 232
7.4.1 Anvendelsesgrænsetilstand,tværsnitsanalyse 232
7.4.2 Brudgrænsetilstand,tværsnitsanalyse 241
7.5 Beregningsprogram 250
8 SØJLEROGVÆGELEMENTER 253
8.1 Brudgrænsetilstande 254
8.1.1 Tværsnitsanalyse–generelmetode 254
8.1.2 Dannelseafbæreevnekurvervedbrugafdesigndiagrammer 258
8.1.2.1 Søjler 261
8.1.2.2 Tynderevæggeogvægsøjler 263
8.1.3 Minimumogmaksimumarmering 267
8.1.3.1 Søjler 267
8.1.3.2 Vægge 268
8.1.4 Eksempel–Søjleberegningibrudgrænsetilstanden 269
8.1.4.1 Beregningsforudsætninger 269
8.1.4.2 Udbøjningomdenstærkeakse 270
8.1.4.3 Udbøjningomdensvageakse 275
8.2 Anvendelsesgrænsetilstande 281
8.2.1 Eksempel–urevnettværsnit 282
8.2.2 Udbøjningforrevnettværsnit 286
8.3 Beregningsprogrammer 290
8.4 Skævbøjning 292
8.4.1 Eksempel,skævbøjning 294
409
betonelementbyggerIersstatIk Index
9 BRAND 297
9.1 Materialeegenskaberunderbrand 299
9.1.1 Beton 299
9.1.2 Zonemetoden 300
9.1.2.1 Temperaturbestemmelse 300
9.1.2.2 Tværsnits–ogstyrkereduktion 302
9.1.3 Armering 304
9.1.4 Forspændingsstål 305
9.1.5 Eksempel–Temperaturbestemmelseogstyrkereduktion 306
9.1.5.1 Beregningsforudsætninger 306
9.1.5.2 Beton 306
9.1.5.3 Armering 311
9.2 Bjælkeribrandtilstanden 312
9.2.1 Bøjning 313
9.2.1.1 Tværsnitsanalyse–Generelmetode,betonbidrag 313
9.2.1.2 Tværsnitsanalyse–Generelmetode,armeringsbidrag 315
9.2.1.3 Bøjningudentrykarmering 318
9.2.2 Forskydning 321
9.2.3 Eksempel–Bjælkeibrandtilstanden 321
9.2.3.1 Beregningsforudsætninger 322
9.2.3.2 Bøjning 323
9.2.3.3 Forskydning 324
9.3 Beregningsprogram 325
9.4 Søjlerogvæggeibrandtilstanden 325
9.4.1 Udbøjningfrakrybning 326
9.4.2 Termiskeudbøjninger 328
9.4.3 Søjle/vægreaktionensforsætningunderbrand 329
9.4.4 Eksempel–Søjleibrandtilstanden 331
9.4.4.1 Beregningsforudsætninger 331
9.4.4.2 Kontrolvedopstillingaftværsnittetsligevægtsligninger 332
9.4.4.3 Kontrolafudbøjning 335
9.4.4.4 BestemmelseafmomentkapacitetMoRd 338
9.5 Beregningsprogram 339
410
Index betonelementbyggerIersstatIk
10 DETAILSTATIK 339
10.1 Detailberegningvedgitteranalogien 341
10.1.1 Gitterløsningermedlukkedebøjler 344
10.2Forankringafhovedarmering 349
10.2.1 Forankringmedsimpelretlinetarmering 351
10.2.2 Forankringmedu–bøjle 353
10.2.3 Forankringmedpåsvejsttværarmering 355
10.2.4 Andreforankringstyper 358
10.3Anvendelseseksempler 359
10.3.1 Eksempel–Vederlagsforankring 359
10.3.1.1 Forankringmedsimpelretlinetarmering 359
10.3.1.2 Forankringmedu–bøjle 360
10.3.1.3 Forankringmedpåsvejsttværarmering 361
10.3.2 Eksempel–Bjælkehalvering 362
10.3.3 Eksempel–Pladehjørne 367
10.3.3.1 Taleksempel 371
10.4Udstøbningssamlinger 373
10.4.1 Støbeskel 373
10.4.2 Etagekryds 377
11 TVANGSDEFORMATIONER 379
11.1 Geometriændringer 380
11.2 Luftfugtighedensbetydning 381
11.3 Temperaturensbetydning 382
11.4 Lastensbetydning 383
11.5 Anvendelseseksempler 384
11.5.1 Eksempel–Fugeiindervæg 384
11.5.2 Eksempel–Fugemellemforpladerisandwichfacade 385
11.5.3 Eksempel–Altanbrystning 387
11.5.4 Eksempel–Ribbepladeiflerskibsbygning 388
411
betonelementbyggerIersstatIk Index
12 TOLERANCER 391
12.1 Håndteringaftolerancer 392
12.1.1 Betonelementersmål 392
12.1.2 Byggepladsmål 393
12.1.3 Grundlæggendetolerancebegreber 393
12.1.4 Vejledendeberegningtilvalgaftoleranceangivelser 395
12.2Anvendelseseksempler 397
12.2.1 Eksempel–Fugeisandwichfacade 397
12.2.2 Eksempel–Opstillingafvægelementerogmontageafhuldæk 400